D 6.5 Helmertin kondensaatio

Usein käytetty, Friedrich Robert Helmertin³ ehdottama keino poistaa geoidin ulkopuolisten massojen vaikutus on kondensaatio. Tässä me-netelmässä kaikki mannermassat siirretään matemaattisesti suoraan alaspäin keskimerenpintaan yksinkertaiseksi massatiheyskerrokseksi

κ=ρH,

jossaHon topografian korkeus merenpinnasta jaρsen keskimääräinen ainetiheys. Tämä massapintatiheys voidaan tulkita patsaan massa-integraaliksi:

κ=ρ

ˆ R+H R

dz.

Pallon muotoisen Maan tapauksessa vastaava integraali on κ=ρ jossa ymmärretään, että massaa siirretään patsaan poikkileikkauksesta, jonka pinta-ala on r²/

R² merenpintaan, jossa pinta-ala on 1.

Helmertin kondensaation etu Bouguer-reduktioon verrattuna on, että massaa ei poisteta. Bouguer-reduktiohan on topografisten massojen laaja-mittainen laskennallinen poisto. Siksi toisin kuin Bouguer-reduktiossa, Helmertin kondensaatiossa painovoima-anomaliat eivät muutu syste-maattisesti.

LiitteessäDjohdetaan sarjakehitelmät pallogeometriassa, jotka ilmai-sevat topografian sekä ulkoista että sisäistä potentiaalia itse topografian

3Friedrich Robert Helmert (1843–1917) oli etevä saksalaisgeodeetti sekä matemaattisen ja tilastollisen geodesian tutkija.

Ó » Š . î á

Topografia

Kondensaatiokerros g^′ g

Ekvipotentiaalipinta

Kuva6.8. Helmertin kondensaatio ja sen aiheuttamat muutokset painovoima-kentässä.

D

H(ϕ,λ) ja sen eri potenssien ”asteosuuksien” funktioina. Liitteessä laajahkosti esitettyä johtamistapaa käytetään Maan painovoimakentän teoriassa paljon topografian painovoimavaikutuksen mallintamiseksi.

Teoriassa suppenemiskysymykset ovat vaikeita, vaikka emme tässä kiinnitä niihin erityistä huomiota.

D 6.6 Isostasia

D 6.6.1 Klassisia hypoteeseja

Jo 1700- ja 1800-luvun aikana, muun muassa Bouguer’n työn ansiosta Etelä-Amerikassa ja brittigeodeettien työn ansiosta Intian Himalajalla, oltiin tietoisia siitä, että vuoristot eivät olleet vain kivikasoja maankuo-ren päällä. Vuoria ympäröivä painovoimakenttä, tarkemmin luotiviivan poikkeamat, voitiin selittää vain olettamalla, että jokaisen vuoriston alla on kevyemmästä kiviaineesta koostuva ”juuri”. Tämän juuren ai-heuttajaksi arveltiin maankuoren lähes hydrostaattinen käyttäytyminen

Ó » Š . î á

Kuva6.9. Friedrich Robert Helmert.Humboldt University Berlin(2017).

D

geologisella aikaskaalalla. Tätä hydrostaattisen tasapainon oletusta kutsuttiinisostasiahypoteesiksi, myösisostaattiseksi kompensaatioksi.

Silloin, toisin kuin nykyisin, ei vielä ollut mahdollista saada fysikaali-sin menetelmin eli seismologialla tarkkaa tai edes oikeaa kuvaa siitä, minkä muotoisia nämä vuoristojen juuret oikeasti ovat. Siksi kehiteltiin yksinkertaistettuja työhypoteesejä.

Yksi klassinen isostaattinen hypoteesi on Prattin ja Hayfordin hy-poteesi. Sen ehdotti J. H. Pratt⁴1800-luvun keskivaiheilla (Pratt,1855, 1859,1864), ja J. F. Hayford⁵kehitti laskentaan tarvittavat matemaattiset apuvälineet. Hypoteesin mukaan vuoren alla olevan ”juuren” tiheys

4John Henry Pratt (1809–1871) oli brittiläinen pappismies ja matemaatikko, joka toimi Kolkatassa Intiassa arkkidiakonina.Wikipedia, John Pratt.

5John Fillmore Hayford (1868–1925) oli yhdysvaltalainen geodeetti, joka tutki isostasiaa

Ó » Š . î á

”Juuri”

”Juuri”

Geoidi

Luotiviiva- poikkeamat

maankuori maankuori

Vuori Vuori

Maan vaippa Maan vaippa

Kuva6.10. Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin.

D

vaihtelee vuoren korkeuden mukaan niin, että korkeimpien vuorten alla on kevyin materiaali, ja raja tämän kevyen juuriaineen ja tiheämmän Maan vaipan materiaalin välillä on vakiosyvyydellä. Tämä malli, jota nykyisin ei enää paljon käytetä, näkyy kuvassa6.11.

Toinen klassinen isostaattinen hypoteesi on G. B. Airyn⁶ käsialaa.

Koska W. A. Heiskanen⁷ käytti sitä laajasti ja kehitti sen matemaattista muotoa, sitä kutsutaan Airyn ja Heiskasen malliksi. Tässä mallissa oletetaan, että ”juuren” ainetiheys on vakio ja että isostaattinen kompen-saatio saadaan aikaan vaihtelemalla juuren uppoamissyvyyttä Maan vaippaan. Nykytietojen mukaan tämä vastaa paremmin sitä, mitä Maan

ja Maan muotoa.

6George Biddell AiryPRS(1801–1892) oli englantilainen matemaatikko ja tähtitieteilijä,

”Astronomer Royal” 1835–1881.

7Veikko Aleksanteri Heiskanen (1895–1971), ”the great Heiskanen” (Hermans,2007) oli etevä suomalainen geodeetti, joka toimi myös Ohiossa Yhdysvalloissa. Hänet tunnetaan isostasian ja maailman geoidin tutkimuksistaan (”Columbuksen geoidi”).

Ó » Š . î á

Kompen- saatio-syvyys

Kompen-saatiotaso Meri

Meri

Maankuori Maankuori Vuoristo

Vaippa Vaippa

Kuva6.11. Prattin ja Hayfordin isostaattinen hypoteesi.

D

Vastajuuri Vastajuuri

Meri Meri ρρ_ww

Vaippa Vaippa t₀

t₀ ρ_c

ρ_c

Vuoriston juuri Vuoriston juuri Maankuori Maankuori Vuoristo Vuoristo

ρ_m ρ_m

Kuva6.12. Airyn ja Heiskasen isostaattinen hypoteesi.

D

KatsoKakkuri(2008).

Ó » Š . î á

tt rr d d

rr H H

tt t₀

t₀

Juuri Juuri Vastajuuri

Vastajuuri

Kuva6.13. Isostaattisen kompensaation suureita.

D

sisällä todella tapahtuu. Tämä hypoteesi näkyy kuvassa6.12.

D 6.6.2 Laskentakaavoja

Airyn isostaattinen hypoteesi olettaa, että aineen pystypylvään koko-naismassa on jokaisessa paikassa sama. Siis olkoon maankuoren tiheys ρ_c, vaipan tiheys ρ_m, meriveden tiheys ρ_w, meren syvyys d, kuoren paksuustja topografian korkeusH. Saadaan

tρ_c+dρ_w− (t+d)ρ_m=c =⇒ t = −d(ρ_m−ρ_w) +c ρ_m−ρ_c merellä ja

tρ_c− (t−H)ρ_m=c =⇒ t = Hρ_m−c ρ_m−ρ_c

mantereella.con sopiva vakio⁸. Tässä on jätetty huomioimatta Maan kaarevuus ja käytetään ”litteän Maan mallia”.

Mantereen alla vuoriston juuren syvyys on r=t−H= Hρ_m−c

ρ_m−ρ_c −Hρ_m−hρ_c

ρ_m−ρ_c = Hρ_c−c ρ_m−ρ_c.

8Sen dimensio, maanpinnan painovoimangkanssa kertomisen jälkeen, onpaine:

Arkhimedeen lain mukainen maankuoren ja meriveden patsaan paine vähennettynä syrjäytetyn vaippa-aineen patsaan paineella.

Ó » Š . î á

Samoin meren alla

r=t+d= −d(ρ_m−ρ_w) +c

ρ_m−ρ_c + dρ_m−dρ_c

ρ_m−ρ_c = −d(ρ_c−ρ_w) +c ρ_m−ρ_c . Yhtälöissä vakioconmielivaltainenja ilmaisee sitä tosiasiaa, että taso, josta lasketaan juuren syvyys — tarkemmin ”kuoren keskimääräinen paksuus” — voidaan valita mielivaltaisesti.

Eri lähestymistapa: c:n sijasta käytetään ”nollatopografian kom-pensaatiotasoa”t₀, joka lasketaan yllä olevista yhtälöistä asettamalla H=d=0:

t₀(ρ_c−ρ_m) =c. Tästä saadaan mantereen alla juuren syvyydeksi

r= Hρ_c−t₀(ρ_c−ρ_m)

ρ_m−ρ_c =t₀+H ρ_c

ρ_m−ρ_c, (6.5) ja meren alla

r= −d(ρ_c−ρ_w) +t₀(ρ_c−ρ_m)

ρ_m−ρ_c =t₀−dρ_c−ρ_w

ρ_m−ρ_c, (6.6) yhtälöt, jotka ovat jonkin verran yksinkertaisempia ja myös intuitiivi-sempia.

Vieläkin kolmas kirjoitustapa:

Hρ_c+ (−r) (ρ_m−ρ_c) =c, (−d) (ρ_c−ρ_w) + (−r) (ρ_m−ρ_c) =c.

Siis ∑

rajapinnat

(poikkeama×tiheyskontrasti) =vakio.

Eri isostaattisten hypoteesien vaikutus painovoimaan on aika lailla sa-manlaista: painovoimamittausten perusteella hypoteeseja ei voi erottaa toisistaan. Hypoteesin valinnan vaikutus geoidiin on vahvempi.

Ó » Š . î á

D 6.6.3 Esimerkki: Norja

Etelä-NorjanHardangerin ylänkö(Hardangervidda) on keskimäärin 1100 m merenpinnan yläpuolella. Se on kansallispuisto, suosittu turistikohde ja Euroopan laajin puolitasanko. Sen läpi kulkeeBergensbanen, joka on Pohjois-Euroopan korkein linjarautatie.

Norjanmerion Atlantin valtameren osa Norjan rannikon edessä. Se ei kuulu mannerjalustaan ja on keskimäärin 2 km syvä.

Kysymyksiä

1) Kuinka syvällä Hardangerin ylängön juuri on kompensaa-tiotasont₀ alapuolella?

2) Paljonko on Norjanmeren vastajuuren negatiivinen syvyys saman kompensaatiotason suhteen?

3) Paljonko on Hardangerin ylängön juurensuhteellinensyvyys verrattuna lähellä olevaan Norjanmereen?

Vastauksia

1) Käytä yhtälöä6.5, joka antaa r−t₀ =H ρ_c

ρ_m−ρ_c =

=1100 m× 2670^kg/m³

(3370−2670) ^kg/m³ =4196 m.

Tässä käytettiin standardiarvoja maankuoren ja Maan vaipan kallion tiheydeksi.

2) Käytä yhtälöä6.6, joka antaa r−t₀ = −dρ_c −ρ_w

ρ_m−ρ_c =

= −2000 m× (2670−1030) ^kg/m³

(3370−2670) ^kg/m³ = −4686 m, jossa on lisäksi käytetty meriveden tiheyden standardiarvoa.

3) Syvyyskontrasti juuren ja vastajuuren välillä on 4196− (−4686) m = 8882 m. Vertailun vuoksi Mount Everestin korkeus on 8848 m merenpinnan yläpuolella.

Ó » Š . î á

660 km:n rajapinta Litosfäärin alapinta Mohorovičićin rajapinta

Conradin rajapinta

X

Benioffin vyöhyke Benioffin vyöhyke Konvektio

Konvektio AlityöntöAlityöntö

Maankuori Maankuori

Litosfääri Litosfääri

Astenosfääri Astenosfääri

Vaippa Vaippa

Laattaliike Keski-Atlantin selänne

Syvänmeren hauta Meri

Meri

Kuva6.14. Isostasian ja laattatektoniikan nykykäsitys. Syvänmeren haudat ovat tiettävästi isostaattisessa epätasapainossa.

D

D 6.6.4 Isostasian nykykäsitys

Nykyisin meillä on paljon parempi käsitys Maan sisäisestä tilasta. Isosta-sian käsite on kuitenkin edelleen pätevä. Realistisemman ymmärryksen Maan sisäisestä rakenteesta antaa kuva6.14.

Nykytutkimuksen tärkeä kiinnostuksen kohde on Maan jäämassojen, kuten mannerjäätiköiden, kasvamisen ja sulamisen vaikutus maankuo-ren pystyliikkeisiin. Tähän sisältyy sekä jäämassojen vaihtelun suora vaikutus että välillinen valtameren vesimassojen vaihtelun vaikutus.

Paleotutkimuskohdistuu jääkausisyklin vaihteluihin, kun moderni jääti-köiden vetäytyminen, esimerkiksi Alaskassa ja Huippuvuorilla,

aiheut-Ó » Š . î á

taa omanlaistaan, havaittavissa olevaa alueellista maankuoren nousua.

Lisää luvussa12.

D 6.6.5 Esimerkki: Fennoskandian maannousu

Viime jääkauden maksimin aikana noin 20 000 vuotta sitten Fenno-skandian päällä oli mannerjäätikkö, jonka paksuus oli maksimissaan 3 km.

Kysymyksiä

1) Kuinka syvä oli jääkuorman jättämä lommo Maan pinnalla, olettaen että se oli isostaattisesti kompensoitu?

2) Tällä hetkellä maa nousee Fennoskandian keskellä siellä, missä jään paksuus oli maksimissaan, nopeudella 10^mm/a. Kauanko lommon häviäminen kestäisi tällä tahdilla?

Vastauksia

1) Oletetaan jään tiheydeksi 920^kg/m³. Jos ylävaipan tiheys on 3370^kg/m³, saamme lommon syvyydeksi

∆H=3000 m× 920^kg/m³

3370^kg/m³ =819 m.

Huomaa, että jää syrjäyttää Maan vaipan ainetta ja maan-kuori vain välittää kuormitusta! Katso kuva12.1a.

2) Tahdilla 10^mm/alommon häviäminen kestää 819 m/

0,01^m/a = 81 900 vuotta. Osa tästä noususta on jo toteutunut viime jääkauden lopun jälkeen.

Todellisuudessa nousutahti on tietenkin hidastunut huomat-tavasti ajan myötä ja tulee hidastumaan vastaisuudessakin.

In document Fysikaalinen geodesia (sivua 166-175)