Fysikaalinen geodesia

Martin Vermeer

FYSIKAALINEN

GEODESIA

Fysikaalinen g eodesia

Martin Vermeer

Aalto-yliopisto

Insinööritieteiden korkeakoulu Rakennetun ympäristön laitos

© 2020 Martin Vermeer

ISBN (pdf) 978-952-60-8941-6 ISSN 1799-4888 (pdf)

http://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-8941-6 Graafinen suunnittelu: Kansi: Tarja Paalanen

Helsinki 2020

Tekijä

Martin Vermeer Julkaisun nimi Fysikaalinen geodesia

Julkaisija Insinööritieteiden korkeakoulu Yksikkö Rakennetun ympäristön laitos

Sarja Aalto University publication series TIEDE + TEKNOLOGIA 1/2020 Tutkimusala Maanmittausoppi

Kieli suomi Tiivistelmä

Fysikaalinen geodesia tutkii Maan muotoa ja sen painovoimakenttää, jotka liittyvät läheisesti toisiinsa. Newtonin gravitaatioteoria on painovoimakentän ymmärtämisen perusta. Esitämme kenttäteoriaa ja kentän spatiaalikäyttäytymistä kuvaavia

osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Maanpinnan reunaehdot esitetään yhtälöiden ratkaisumenetelmien avulla. Keskeinen käsite on geopotentiaali.

Maan muotoa approksimoidaan pyörähdysellipsoidilla, jonka jälkeen tarkkaa muotoa voidaan kuvata pieninä poikkeamina tästä ellipsoidipinnasta. Myös korkeusjärjestelmät esitetään tässä yhteydessä. Lähestymistavan yleistys Maan painovoimakenttään antaa pieniä erotussuureita kuten häiriöpotentiaali ja painovoima-anomaliat.

Kirjassa käydään läpi painovoimakentän mallinnusmenetelmät, kuten kentän spektraa- likehitelmä pallofunktioita käyttäen, Stokesin yhtälö, nopeaan Fourier’n muunnokseen perustavat laskentatekniikat, remove-restore -menetelmä ja pienimmän neliösumman kollokaatio. Kirjassa esitellään myös painovoiman mittaustekniikat, sekä yhteydet geo- fysiikan kanssa, kuten isostasia, maaston vaikutus, keskimerenpinta, merenpintayhtälö sekä vuorovedet.

Avainsanat Maan muoto, painovoimakenttä, geopotentiaali, vertausellipsoidi, normaalikenttä, häiriöpotentiaali, painovoima-anomalia, geoidi, korkeusjärjestelmä, pallofunktiot, Stokesin yhtälö, remove-restore, pienimmän neliösumman kollokaatio,

gravimetria, isostasia, keskimerenpinta, vuorovedet ISBN (pdf) 978-952-60-8941-6

ISSN (PDF) 1799-490X

Julkaisupaikka Helsinki Painopaikka Helsinki Vuosi 2020 Sivumäärä 514 ^urnhttp://urn.fi/URN:ISBN:978-952-60-8941-6

Tämän kirjan tavoitteena on esittää yleiskuva Maan painovoimaken- tän¹ tutkimuksen nykytilasta, mukaan lukien ne geofysiikan osat, jotka liittyvät aiheeseen läheisesti. Yksi niistä on geodynamiikka eli muut- tuvan Maan tutkimus. Kirjan taustalla on yli kaksi vuosikymmentä kestänyt opetustyöni kahdessa helsinkiläisessä yliopistossa: Teknillisel- lä korkeakoululla, joka on nykyisin osa Aalto-yliopistoa, ja Helsingin yliopistolla. Kirja edustaa jokseenkin pohjoismaista perspektiiviä varsin globaaliin aiheeseen. Esitystapaan vaikuttaa myös tekijän oma tutki- mus gravimetrisen geoidimäärityksen alalla. Vaikka aiheesta löytyy jo erinomaisia oppikirjoja, toivon, että tämä teos löytää oman innokkaan lukijakuntansa.

Helsingissä 9. joulukuuta 2020

Martin Vermeer

1Kurssin alkuperäinen nimi Helsingin yliopistossa oli ”Maan painovoimakenttä”.

– i –

Kiitokset

Kiitokset monille opiskelijoille ja kollegoille vuosien saatossa saaduista hyödyllisistä kommenteista ja korjausehdotuksista. Tekstin muutaman vuoden takainen englanninnos aiheutti laajoja parannuksia, joista kiitok- set sekä ulkomaisille opiskelijoille että Aalto-yliopiston pedagogiselle koulutusohjelmalle.

Kiitoksia Olivier Francisille kuvasta11.8.

Muutama karttakuva piirrettiin Generic Mapping Toolsin avulla (Wessel ym.,2013).

Kielentarkistuksesta vastasi pätevästi Sanna Karppinen, Skarppi Kir- joituspalvelut. Liisa Vermeer antoi myös arvokkaita kielihuomautuksia.

Tarja Paalanen suunnitteli kannen. Laura Mure ja Matti Yrjölä auttoivat julkaisemistyössä.

Tämä sisältö lisensoidaan lisenssillä Creative Commons Nimeä 4.0 Kansainvälinen (CC BY 4.0), lukuunottamatta tekstissä mainitut tai muuten ilmeiset poikkeukset.

Ó Š . î á

Luvut

» 1. Gravitaatioteorian perusteita . . . 1

» 2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja . . . 41

» 3. Legendren funktiot ja pallofunktiot . . . 55

» 4. Normaalipainovoimakenttä . . . 85

» 5. Painovoimakentän anomaaliset suureet . . . 107

» 6. Geofysikaaliset reduktiot . . . 125

» 7. Korkeusjärjestelmät . . . 159

» 8. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt . . . 187

» 9. Spektraalimenetelmät, FFT . . . 225

» 10. Tilastolliset menetelmät . . . 247

» 11. Gravimetriset mittauslaitteet . . . 289

» 12. Geoidi, keskimerenpinta ja meritopografia . . . 317

» 13. Satelliittialtimetria ja satelliittipainovoimamissiot . . . 337

» 14. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet . . . 371

» 15. Maan painovoimakentän tutkimus . . . 385

» A. Kenttäteoria ja vektorianalyysi lyhyesti . . . 389

» B. Funktioavaruudet . . . 407

– iii –

» C. Miksi FFT toimii? . . . 423

» D. Helmertin kondensaatio . . . 427

» E. Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa . . . 437

Esipuhe i Taulukot xii Kuvat xiii Lyhenteet xix 1. Gravitaatioteorian perusteita 1 1.1 Yleistä . . . 1

1.2 Kahden massan välinen gravitaatio . . . 2

1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali . . . 5

1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali . . . 6

1.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista . . . 9

1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali . . . 11

1.7 Esimerkki: Massaviivan potentiaali . . . 14

1.8 Laplacen ja Poissonin yhtälöt . . . 16

1.9 Mittainvarianssi . . . 17

1.10 Yksinkertainen massatiheyskerros . . . 18

1.11 Kaksinkertainen massatiheyskerros . . . 19

1.12 Gaussin lause . . . 22

1.13 Greenin lauseet . . . 28

1.14 Chaslesin lause . . . 32

1.15 Reuna-arvotehtävät . . . 34

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 36

Ó Š . î á

Harjoitus 1 – 1: Maan ydin . . . 37

Harjoitus 1 – 2: Ilmakehä . . . 37

Harjoitus 1 – 3: Gaussin lause . . . 38

2. Laplacen yhtälö ja sen ratkaisuja 41 2.1 Laplacen yhtälön luonne . . . 41

2.2 Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaateissa . . . 43

2.3 Laplacen yhtälö napakoordinaateissa . . . 47

2.4 Pallo-, geodeettiset ja ellipsoidiset koordinaatit . . . 50

2.5 Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa . . . 52

2.6 Riippuvuus korkeudesta . . . 54

3. Legendren funktiot ja pallofunktiot 55 3.1 Legendren funktiot . . . 55

3.2 Pallofunktiokehitelmän symmetriaominaisuudet . . . . 62

3.3 Legendren funktioiden ortogonaalisuus . . . 64

3.4 Matalan asteluvun pallofunktiot . . . 66

3.5 Funktion hajottaminen asteosuuksiin . . . 68

3.6 Eri suureiden spektraaliesitykset . . . 70

3.7 Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät . . . 72

3.8 Ellipsoidifunktiot . . . 74

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 79

Harjoitus 3 – 1: Pallofunktiokehitelmän vaimennus korkeuden mukaan . . . 80

Harjoitus 3 – 2: Pallofunktioiden symmetriat . . . 81

Harjoitus 3 – 3: Pallofunktioiden etumerkkialueet . . . 82

Harjoitus 3 – 4: Pakonopeus . . . 83

Ó Š . î á

4. Normaalipainovoimakenttä 85

4.1 Normaalikentän perusajatus . . . 85

4.2 Keskipakoisvoima ja sen potentiaali . . . 87

4.3 Tasopinnat ja luotiviivat . . . 89

4.4 Luonnolliset koordinaatit . . . 93

4.5 Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa . . 95

4.6 Normaalipainovoima vertausellipsoidin pinnalla . . . . 97

4.7 Numeeriset arvot ja laskentakaavat . . . 98

4.8 Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä . . . 101

4.9 Häiriöpotentiaali . . . 103

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 105

Harjoitus 4 – 1: Somiglianan ja Pizzettin yhtälö . . . 105

Harjoitus 4 – 2: Keskipakoisvoima . . . 106

5. Painovoimakentän anomaaliset suureet 107 5.1 Häiriöpotentiaali, geoidin korkeus ja luotiviivan poik- keamat . . . 107

5.2 Painovoimahäiriöt . . . 112

5.3 Painovoima-anomaliat . . . 113

5.4 Painovoima-anomalioihin käytetyt yksiköt . . . 116

5.5 Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä . . . 116

5.6 Telluroidikuvaus ja ”kvasigeoidi” . . . 118

5.7 Ilma-anomaliat . . . 120

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 121

Harjoitus 5 – 1: Painovoima-anomalioiden spektri . . . 123

Harjoitus 5 – 2: Luotiviivan poikkeamat ja geoidin kaltevuus . 123 Harjoitus 5 – 3: Painovoima-anomalia ja geoidin korkeus . . . 123

Ó Š . î á

6. Geofysikaaliset reduktiot 125

6.1 Yleistä . . . 125

6.2 Bouguer-anomaliat . . . 126

6.3 Maastoefektit ja maastokorjaus . . . 130

6.4 Bouguer-palloanomaliat . . . 136

6.5 Helmertin kondensaatio . . . 138

6.6 Isostasia . . . 139

6.7 Isostaattiset reduktiot . . . 147

6.8 ”Isostaattinen geoidi” . . . 150

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 155

Harjoitus 6 – 1: Painovoima-anomalia . . . 155

Harjoitus 6 – 2: Bouguer-reduktio . . . 155

Harjoitus 6 – 3: Maastokorjaus ja Bouguer-reduktio . . . 156

Harjoitus 6 – 4: Isostasia . . . 156

7. Korkeusjärjestelmät 159 7.1 Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi . . . 159

7.2 Ortometriset korkeudet . . . 161

7.3 Normaalikorkeudet . . . 164

7.4 Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä . 171 7.5 Erotus ortometristen korkeuksien ja normaalikorkeuk- sien välillä . . . 174

7.6 Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta . . . 174

7.7 Normaalikorkeuksien tarkka laskenta . . . 177

7.8 Korkeuksien laskentaesimerkki . . . 178

7.9 Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus . . . 179

7.10 Tulevaisuuden näkymä: suhteellisuusteoreettinen vaa- itus . . . 182

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 184

Ó Š . î á

Harjoitus 7 – 1: Ortometristen korkeuksien laskenta . . . 184

Harjoitus 7 – 2: Normaalikorkeuksien laskenta . . . 185

Harjoitus 7 – 3: Ero ortometrisen korkeuden ja normaalikor- keuden välillä . . . 185

8. Stokesin yhtälö ja muut integraaliyhtälöt 187 8.1 Stokesin yhtälö ja Stokesin integraaliydin . . . 187

8.2 Esimerkki: Stokesin yhtälö napakoordinaateissa . . . . 190

8.3 Luotiviivan poikkeamat ja Vening Meineszin yhtälöt . 196 8.4 Poissonin integraaliyhtälö . . . 197

8.5 Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa . . . 200

8.6 Painovoima-anomalian pystygradientti . . . 202

8.7 Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä . . . 206

8.8 Remove-restore-menetelmä . . . . 212

8.9 Ydinfunktion modifikaatio . . . 214

8.10 Edistyneitä ydinfunktion modifikaatioita . . . 217

8.11 Blokki-integrointi . . . 219

8.12 Paikallisen vyöhykkeen vaikutus . . . 220

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 223

Harjoitus 8 – 1: Stokesin yhtälö . . . 223

9. Spektraalimenetelmät, FFT 225 9.1 Stokesin lause konvoluutiona . . . 225

9.2 Integrointi FFT:llä . . . 228

9.3 Ratkaisu leveys- ja pituusasteissa . . . 230

9.4 Data-alueen reunustaminen ja ikkunointi . . . 237

9.5 Geoidimallin laskenta FFT:llä . . . 239

9.6 FFT:n käyttö muissa yhteyksissä . . . 242

9.7 Maastokorjausten laskenta FFT:llä . . . 242

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 246

Ó Š . î á

10. Tilastolliset menetelmät 247

10.1 Epävarmuuden rooli geofysiikassa . . . 247

10.2 Lineaariset funktionaalit . . . 248

10.3 Tilastotiede Maan pinnalla . . . 249

10.4 Painovoimakentän kovarianssifunktio . . . 252

10.5 Pienimmän neliösumman kollokaatio . . . 254

10.6 Painovoima-anomalioiden prediktio . . . 266

10.7 Kovarianssifunktio ja astevarianssit . . . 269

10.8 Kovarianssien kasautumislaki . . . 272

10.9 Globaalit kovarianssifunktiot . . . 277

10.10 Kollokaatio ja spektraalinäkökohta . . . 278

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 282

Harjoitus 10 – 1: Ennustusvarianssi . . . 284

Harjoitus 10 – 2: Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio . . . . 284

Harjoitus 10 – 3: Painovoima-anomalioiden prediktio . . . 285

Harjoitus 10 – 4: Painovoima-anomalioiden prediktio (2) . . . 286

Harjoitus 10 – 5: Kovarianssien kasautuminen . . . 286

Harjoitus 10 – 6: Kaulan sääntö painovoima-anomalioille . . . 287

Harjoitus 10 – 7: Maanalaiset massapisteet . . . 288

11. Gravimetriset mittauslaitteet 289 11.1 Historia . . . 289

11.2 Relatiivinen eli jousigravimetri . . . 291

11.3 Absoluuttinen eli ballistinen gravimetri . . . 297

11.4 Verkkohierarkia gravimetriassa . . . 302

11.5 Suprajohtava gravimetri . . . 303

11.6 Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen . . . 306

11.7 Ilmagravimetria ja GNSS . . . 308

Ó Š . î á

11.8 Painovoimagradientin mittaus . . . 311

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 313

Harjoitus 11 – 1: Absoluuttinen gravimetri . . . 313

Harjoitus 11 – 2: Jousigravimetri . . . 314

Harjoitus 11 – 3: Ilmanpaine ja painovoima . . . 315

12. Geoidi, keskimerenpinta ja meritopografia 317 12.1 Peruskäsitteet . . . 317

12.2 Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit . . . 319

12.3 Geoidi ja postglasiaalinen maannousu . . . 321

12.4 Menetelmiä meritopografian määrittämiseksi . . . 324

12.5 Globaali meritopografia ja lämmönkuljetus . . . 325

12.6 Merenpinnan globaali käyttäytyminen . . . 329

12.7 Merenpintayhtälö . . . 330

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 334

Harjoitus 12 – 1: Coriolisvoima ja merivirtaus . . . 335

Harjoitus 12 – 2: Maan vajoaminen ja maannousun mekanismi 336 13. Satelliittialtimetria ja satelliittipainovoimamissiot 337 13.1 Satelliittialtimetria . . . 337

13.2 Risteyskohtatasoitus . . . 342

13.3 Satelliittiradan valinta . . . 351

13.4 In-flight-kalibrointi . . . 357

13.5 Retracking . . . 358

13.6 Merentutkimus satelliittialtimetrian avulla . . . 361

13.7 Satelliittipainovoimamissiot . . . 362

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 367

Harjoitus 13 – 1: Altimetria ja risteyskohtatasoitus . . . 368

Harjoitus 13 – 2: Satelliittirata . . . 369

Harjoitus 13 – 3: Keplerin kolmas laki . . . 369

Ó Š . î á

14. Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet 371

14.1 Teoreettinen vuorovesi . . . 371

14.2 Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio . . . 376

14.3 Vuoroveden pysyvä osa . . . 379

14.4 Korkeusjärjestelmien väliset vuorovesikorjaukset . . . 380

14.5 Meren ja ilmakehän kuormitus maankuoreen . . . 382

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 383

Harjoitus 14 – 1: Vuorovesi . . . 383

15. Maan painovoimakentän tutkimus 385 15.1 Kansainvälinen tutkimus . . . 385

15.2 Eurooppalainen tutkimus . . . 386

15.3 Pohjoismainen tutkimus . . . 387

15.4 Suomalainen tutkimus . . . 387

15.5 Oppikirjat . . . 388

A. Kenttäteoria ja vektorianalyysi lyhyesti 389 A.1 Vektorilaskenta . . . 389

A.2 Skalaari- ja vektorikenttiä . . . 393

A.3 Integraalit . . . 400

A.4 Aineen jatkuvuus . . . 404

B. Funktioavaruudet 407 B.1 Abstrakti vektoriavaruus . . . 407

B.2 Fourier’n funktioavaruus . . . 408

B.3 Sturmin ja Liouvillen differentiaaliyhtälöt . . . 412

B.4 Legendren polynomit . . . 418

B.5 Pallofunktiot . . . 418

Olenko ymmärtänyt tämän? . . . 421

Harjoitus B – 1: Fourier’n kantafunktioiden ortonormaalius . . 421

Ó Š . î á

C. Miksi FFT toimii? 423

D. Helmertin kondensaatio 427

D.1 Topografian ulkoinen potentiaali . . . 428

D.2 Topografian sisäinen potentiaali . . . 429

D.3 Kondensaatiokerroksen ulkoinen potentiaali . . . 430

D.4 Helmertin kondensaation kokonaispotentiaali . . . 431

D.5 Dipolimenetelmä . . . 434

E. Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa 437 E.1 Johtaminen . . . 437

E.2 Ratkaiseminen . . . 440

Kirjallisuutta 445 Hakemisto 465

Taulukot

3.2 Legendren liitännäisfunktioita . . . 58

3.3 Puoliaallonpituudet eri aste- ja järjestysluvuille . . . 61

3.4 Pintapallofunktion kartan piirtäminen . . . 64

3.5 EGM96 kertoimet ja keskivirheet . . . 75

3.6 Toisen lajin Legendren funktioita . . . 78

4.1 GRS80-normaalipotentiaalin pallofunktiokertoimia . . . . 102

5.1 Painovoiman vaihtelujen suuruusluokat . . . 116 8.1 Stokesin yhtälö kahdessa ulottuvuudessa,^octave-koodi . 195

Ó Š . î á

8.2 Painovoiman pystygradientin ydinfunktion johtaminen . 204

13.1 Altimetriasatelliitteja kautta aikojen . . . 338

13.2 Satelliitin korkeuden laskeminen sen kiertoajasta . . . 358

14.1 Teoreettisen vuoroveden eri periodeja . . . 375

Kuvat

1.2 Pallon ohut kuori koostuu renkaista . . . 7

1.3 Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydestä. . . 9

1.4 Kaksinkertainen massatiheyskerros . . . 20

1.5 Gaussin integraalilauseen graafinen selostus . . . 23

1.6 Pieni suorakulmainen laatikko . . . 25

1.7 Kahdeksan yksikön kuutio . . . 27

1.8 Greenin kolmas lause ulkoiselle pisteelle . . . 30

1.9 Greenin kolmas lause sisäiselle pisteelle . . . 31

1.10 Greenin kolmas lause kappaleen ulkoavaruudelle . . . . 32

1.11 Rautamalmikappale . . . 38

2.1 Gravitaatiokentän vaimennus korkeuden mukaan . . . . 46

2.2 Potentiaalikentän pystysiirto . . . 47

2.3 Pallokoordinaattien määritelmä . . . 51

2.4 Geodeettisten koordinaattien määritelmä . . . 52

3.1 Muutama Legendren polynomi . . . 56

3.2 Legendren liitännäisfunktioita . . . 58

3.3 Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla . . . 60

3.4 Pintapallofunktiot karttoina . . . 61

Ó Š . î á

3.5 Monopoli, dipoli ja kvadrupoli . . . 68

3.6 Potentiaalikentän säteittäissiirto . . . 71

4.1 Maan normaalipainovoimakenttä . . . 86

4.2 Gravitaatio ja keskipakoisvoima . . . 87

4.3 Tasopintojen kaarevuus . . . 91

4.4 Luotiviivan kaarevuus . . . 92

4.5 Luonnolliset koordinaatit . . . 94

4.6 Meridiaaniellipsi ja leveysastetyypit . . . 97

4.7 Normaalikentän potentiaali päiväntasaajan yläpuolella . 101 5.1 Geoidiundulaatiot ja luotiviivan poikkeamat . . . 108

5.2 Suomen geoidimalli . . . 109

5.3 Painovoima- ja normaalipainovoimakentän ekvipotenti- aalipintoja . . . 111

5.4 Eri vertauspinnat . . . 115

5.5 Painovoiman ilma-anomalioita Etelä-Suomessa. . . 122

6.1 Bouguer-laatan vetovoima . . . 127

6.2 Bouguer-laatta topografian approksimaationa . . . 129

6.3 Eri anomaliatyyppien käyttäytyminen vuoristossa . . . . 130

6.4 Maastokorjattuja Bouguer-anomalioita Etelä-Suomessa . 131 6.5 Maastokorjauksen laskeminen prismamenetelmällä . . . 132

6.6 Bouguer-anomalian laskennan vaiheet . . . 134

6.7 Erikoinen maaston muoto . . . 134

6.8 Helmertin kondensaatio ja painovoimakenttä . . . 139

6.9 Friedrich Robert Helmert . . . 140

6.10 Isostasia ja luotiviivojen taipuminen . . . 141

6.11 Prattin ja Hayfordin isostaattinen hypoteesi . . . 142

6.12 Airyn ja Heiskasen isostaattinen hypoteesi . . . 142

Ó Š . î á

6.13 Isostaattisen kompensaation suureita . . . 143

6.14 Isostasian nykykäsitys . . . 146

6.15 Isostaattisia painovoima-anomalioita Etelä-Suomessa. . . . 149

6.16 Isostaattinen reduktio kahtena pintatiheyskerroksena . . 152

6.17 Maaston muoto. . . 156

7.1 Vaaituksen periaate . . . 159

7.2 Korkeusvertauspilari Helsingin Kaivopuistossa . . . 162

7.3 Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut. . . 163

7.4 Päijänne: vesi virtaa ”ylöspäin” . . . 164

7.5 Mihail Sergejevitš Molodenski . . . 166

7.6 Molodenskin oivalluksen todistuksen graafinen aasinsilta 169 7.7 Geoidi, kvasigeoidi, telluroidi ja topografia . . . 170

7.8 Valohilakello . . . 183

8.1 Gravimetrisen geoidimäärityksen periaate . . . 188

8.2 Stokesin yhtälön integrointi geometrisesti. . . 189

8.3 Stokesin ydinfunktio . . . 190

8.4 Stokesin ydinfunktio ympyrällä . . . 194

8.5 Painovoima-anomalioiden ja geoidikorkeuksien simulaa- tio . . . 196

8.6 Legendren polynomien generoivan funktion geometria . 197 8.7 Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille . . . 203

8.8 Residual terrain modelling (RTM) . . . 210

8.9 Remove-restore-menetelmä kommutoivana kaaviona . . . 213

8.10 Modifioituja Stokesin ydinfunktioita . . . 216

8.11 Simpsonin integroinnin solmupistepainot kahdessa ulot- tuvuudessa . . . 221 9.1 Karttaprojektiokoordinaatit paikallisessa tangenttitasossa 226

Ó Š . î á

9.2 FFT-menetelmän kommutoiva kaavio. . . 230 9.3 ”Ikkunointi” 25 % . . . 238 9.4 FFT-muunnoksen esimerkkikuvia . . . 239 9.5 Suomen FIN2000-geoidi . . . 241 10.1 Geosentrinen kulmaetäisyys ja atsimuuttikulma . . . 253 10.2 Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa . . 260 10.3 Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta . . . . 261 10.4 Kollokaation esimerkki . . . 263 10.5 Globaalit kovarianssifunktiot astevariansseina . . . 279 10.6 Kehämäinen geometria . . . 281 11.1 Jean Richer’n raportti . . . 290 11.2 Autograv CG-5 jousigravimetri . . . 291 11.3 Jousigravimetrin toimintaperiaate . . . 294 11.4 Astatisoinnin idea . . . 297 11.5 Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate . . . . 298 11.6 FG5-tyyppinen absoluuttinen gravimetri . . . 299 11.7 Atomigravimetrin toimintaperiaate . . . 303 11.8 Kansainvälinen absoluuttigravimetrien vertailu . . . 304 11.9 Suprajohtavan gravimetrin toimintaperiaate . . . 305 12.1 Postglasiaalisen maannousun mekanismi . . . 323 12.2 Fennoskandian 63. pohjoisen leveyspiirin painovoimalinja 324 12.3 Meritopografian ja merivirtausten välinen yhteys . . . 327 12.4 GOCEn tuottama meritopografiakartta . . . 328 12.5 Merenpintayhtälö . . . 330 12.6 Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen . . . 333 13.1 TOPEX/Poseidon- ja Jason-satelliittien tulokset . . . 340

Ó Š . î á

13.2 Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä . . . 341 13.3 Eräs risteyskohtien yksinkertainen geometria . . . 344 13.4 Satelliittialtimetrian ratageometria . . . 349 13.5 Keplerin rata-alkiot . . . 352 13.6 Aurinkosynkronisen radan mekanismi . . . 354 13.7 ”No-shadow” -radan geometria . . . 355 13.8 Satelliittiradan esimerkki . . . 356 13.9 Altimetrian paluupulssin analyysi . . . 359 13.10 Jään tilavuus Pohjoisella jäämerellä . . . 360 13.11 Maan painovoimakentän määritys GPS-rataseurannan

avulla . . . 363 13.12 GRACE-satelliittien perusidea . . . 364 13.13 GRACE-mission tulokset . . . 365 13.14 Maan painovoimakentän määritys GOCE:n avulla . . . . 366 13.15 Satelliittialtimetrian ratojen geometria . . . 368 14.1 Teoreettinen vuorovesi . . . 372 14.2 Teoreettisen vuoroveden pääkomponentit . . . 376 14.3 Pysyvän vuoroveden eri osat . . . 380 A.1 Ulkoinen tulo eli vektoritulo . . . 392 A.2 Keplerin toinen laki . . . 393 A.3 Gradientti . . . 396 A.4 Divergenssi . . . 397 A.5 Rotaatio . . . 398 A.6 Stokesin rotaatiolause . . . 402

Ó Š . î á

A.7 Gaussin integraalilause . . . 404 B.1 Askelfunktion Fourier’n analyysi . . . 411 E.1 Gaussin integraalilause sovellettuna koordinaattiviivojen

mukaiseen tilavuusalkioon . . . 438

Ó Š . î á

ACSAdvanced Camera for Surveys, Hubblen avaruusteleskoopin laite3 AGUAmerican Geophysical Union386

BGIBureau Gravimétrique International, Kansainvälinen gravimetrinen toimisto 122,131,149,385,386

BVPboundary-value problem, reuna-arvotehtävä34

CHAMP Challenging Minisatellite Payload for Geophysical Research and Applications73,242,362,363

DMADefense Mapping Agency (Yhdysvallat)73

DORISDoppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite, ranskalainen satelliittipaikannusjärjestelmä338,339

DTMdigital terrain model, digitaalinen maastomalli132 EGM2008Earth Gravity Model 200861,74,115,122,131 EGM96Earth Gravity Model 199672,74,75

EGUEuropean Geosciences Union386 ENSOEl Niño Southern Oscillation317,340

ESAEuropean Space Agency, Euroopan avaruusjärjestö3,338,339,365 FASRanskan tiedeakatemian (Académie des sciences) jäsen418

FFTFast Fourier Transform, nopea Fourier’n muunnos15,148,194,212,214, 228,230–233,235–240,242,243,245,246,278,282,320,423,424 FGIFinnish Geospatial Research Institute, aiemmin Finnish Geodetic Institute,

Geodeettinen laitos387

– xix –

FIN2000geoidimalli (Suomi)240,241,320 FIN2005N00geoidimalli (Suomi)240,387

FRASFellow of the Royal Astronomical Society290

FRSFellow of the Royal Society (of London)4,17,220,290,375,376,418 FRSEFellow of the Royal Society of Edinburgh17,375,418

GDRgeophysical data record342,358

GFZGeoforschungszentrum(Potsdam, Saksa), Saksan geotieteiden tutkimuskes- kus362

GIAglacial isostatic adjustment321,332–334

GNSS Global Navigation Satellite Systems, sisältää amerikkalaisen GPS:n lisäksi myös muiden maiden satelliittipaikannusjärjestelmät, kuten venäläinen GLONASS ja eurooppalainen Galileo113,126,184,239, 240,308,309,320,321,324,338,342,357,358,361,366,378,379,382, 383,387

GOCEGeopotential and Steady-state Ocean Circulation Explorer73,242,279, 310,327,328,362,365–367

GPSGlobal Positioning System68,99,169,308,313,338,339,362,363 GRACEGravity Recovery And Climate Experiment73,242,363–365

GRAVSOFTGeopotentiaalin laskentaohjelmisto, pääosin Tanskassa kehitetty 240

GRS80Geodetic Reference System 19806,99,101,102,106,108,115,240,307, 320

GWR20GWR Instrumentsin rakentama suprajohtava gravimetri304

IAGInternational Association of Geodesy, Kansainvälinen geodeettinen assosi- aatio240,304,385,386

ICETInternational Center for Earth Tides386

ICGEMInternational Center for Global Earth Models386 IDEMSInternational Digital Elevation Model Service386 IGeCInternational Geoid Commission (vanhentunut)385,386 IGeSInternational Geoid Service (vanhentunut)385

IGETSInternational Geodynamics and Earth Tide Service304 IGFSInternational Gravity Field Service385,386

IMGC-02kuljetettava absoluuttinen nousu-ja-pudotus -tyyppinen gravimetri,

Ó Š . î á

rakentajana Istituto di Metrologia«G. Colonnetti», Torinossa Italiassa sijaitsevan tutkimuslaitoksenIstituto Nazionale di Ricerca Metrologican entinen nimi.301

ISGInternational Service for the Geoid385,386

J₂maapallon toinen dynaaminen muotokerroin, ”gravitaatiokentän litistynei- syys”74,99,102,353,367

Jasonamerikkalainen-ranskalais-eurooppalainen altimetriasatelliittisarja,TO- PEX/Poseidonin seuraajat338–340,354,367

JHUJohns Hopkins University3

KCBKnight Commander of the Bath, brittiläinen kunniaritarikunta375 KKJKartastokoordinaattijärjestelmä (Suomi)120

LAGEOSLAser GEOdynamic Satellite352

Lego™”Leg Godt”, suomeksi ”leiki hyvin”, tanskalainen leikkikalujen tavara- merkki25

LLRLunar laser ranging, laseretäisyysmittaus Kuuhun298

LSCleast-squares collocation, pienimmän neliösumman kollokaatio265 Mf Moon, fortnightly tide, Kuu, puolikuukausittainen vuorovesi375 N2000korkeusjärjestelmä (Suomi)161,164,240,319

N60korkeusjärjestelmä (Suomi)160,161,240,319,320

NAPNormaal Amsterdams Peil, korkeusjärjestelmä (länsi-Eurooppa)161 NASANational Aeronautics and Space Administration (Yhdysvallat)3 NAVD88North American Vertical Datum 1988161

NCnormal correction, normaalikorjaus181

NGANational Geospatial-Intelligence Agency (Yhdysvallat, aiemmin NIMA) 73,385

NIMANational Imagery and Mapping Agency (Yhdysvallat, aiemmin DMA) 73

NKGNordiska Kommissionen för Geodesi, Pohjoismainen geodeettinen komissio 387

NKG2004geoidimalli (Pohjoismaat)387 NKG2015geoidimalli (Pohjoismaat)387

NOAANational Oceanic and Atmospheric Administration (Yhdysvallat)328

Ó Š . î á

OCorthometric correction, ortometrinen korjaus179

OSUOhio State University, Columbus, Ohio, Yhdysvallat73 ppbparts per billion, miljardisosa116

ppmparts per million, miljoonasosa116

PRAREPrecise Range And Range-Rate Equipment, ei käytössä338 PRSPresident of the Royal Society2,118,141

RTMresidual terrain modelling208–210,223

SISystème international d’unités, kansainvälinen yksikköjärjestelmä11,37,99, 116,122

SK-42Neuvostoliiton vertausjärjestelmä, tunnetaan myös nimellä Krasovsky 1940 -vertausellipsoidi100

SLRsatellite laser ranging, laseretäisyysmittaus satelliitteihin338,351 SRALSynthetic Aperture Radar Altimeter339

SsaSun, semi-annual tide, Aurinko, puolivuotinen vuorovesi375 SSTsatellite-to-satellite tracking364

STScISpace Telescope Science Institute3 SWHsignificant wave height341,342

TCterrain correction, maastokorjaus130,132,133,135,136,245

TKKTeknillinen korkeakoulu (TKK), nykyisin osana Aalto-yliopistoa388 TOPEX/PoseidonTopography Experiment / Poseidon, amerikkalais-ranska-

lainen altimetriasatelliittixxi,319,338–340,354,367 UCOUniversity of California Observatories3

WGS84World Geodetic System 198468,99

x x

Ó Š . î á

1

D 1.1 Yleistä

Tässä luvussa esitetään Newtonin gravitaatioteorian perusteet. Intuitii- visesti gravitaatioteoria on helpointa ymmärtää ”kaukovaikutuksen”

(engl.action at a distance, lat.actio ad distans) ilmiönä, jossa kahden mas- san välinen voima on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen massojen välisen etäisyyden neliöön. Tämä on Newtonin yleisen gravitaatiolain kaikille tuttu ilmaisumuoto.

Olemassa on myös vaihtoehtoinen mutta samanarvoinen esitystapa, kenttäteoria, joka kuvailee gravitaatiota avaruuden kautta etenevänä ilmiönä, kenttänä. Etenemistä ilmaisevat kenttäyhtälöt. Kenttäteorian lähestymistapa ei ole yhtä intuitiivinen, mutta se on tehokas teoreettinen apuväline¹.

Tässä luvussa tutustutaan kenttäteoriassa keskeiseengravitaatiopo- tentiaalinkäsitteeseen. Käymme läpi myös yksinkertaisen ja kaksinker- taisenmassatiheyskerroksenaiheuttamat, teoreettisesti mielenkiintoiset

1Asialla on myös filosofinen puoli. Monelle, esimerkiksi Leibnizille, idea voimasta, joka hyppää kappaleesta toiseen tyhjän avaruuden kautta, oli mahdoton ajatus. Monet yrittivät selittää gravitaatiota — ja myös sähkömagnetismia ym. — ”maailmaneetterin”

avulla. Vasta suhteellisuusteorian myötä levisi käsitys, että fysikaalisen teorian ei tarvitsekaan tyydyttää ennakkoluuloamme siitä, mikä on niin sanotusti järkevä selitys

— niin kauan kuin se vain esittää fysikaaliset ilmiöt korrektisti.

– 1 –

potentiaalikentät. Niiden sovelluksista, sekä teoriassa että käytännössä, mainittakoon isostasia ja Helmertin kondensaatio, joiden ominaisuuksia tutkitaan seikkaperäisesti myöhemmissä luvuissa.

Tutustumme keskeisiinintegraalilauseisiin,kuten Gaussin ja Greenin lauseet, joiden avulla voidaan päätellä koko potentiaalikenttä ava- ruudessa vain tietyllä pinnalla annettujen kenttäarvojen perusteella.

Muut vastaavat esimerkit ovat Chaslesin lause ja Dirichletin ongelman ratkaisu.

Luvussa3näitä potentiaaliteorian perusteita sovelletaan Maan gravi- taatiokentän spektraaliesityksen,pallofunktiokehitelmän,johtamiseen.

Aluksi johdamme suurehkon määrän matemaattisia yhtälöitä, kuten tunnettuja integraaliyhtälöitä. Kyse on valitettavasti välttämättömästä pohjatyöstä. Yhtälöt eivät kuitenkaan ole itsetarkoitus, eikä niitä kan- nata opetella ulkoa. Yritä mieluummin ymmärtää niiden logiikka ja miten näihin tuloksiin on historiallisesti päädytty sekä hankkia itsellesi

”sormituntumaa” teorian luonteesta.

D 1.2 Kahden massan välinen gravitaatio

Maan painovoimakentän tutkimus alkaa sopivasti Isaac Newtonin² yleisestä gravitaation laista:

F=Gm₁m₂

ℓ² . (1.1)

Fon kappaleiden 1 ja 2 välinen vetovoima,m₁ jam₂ovat kappaleiden massat jaℓon niiden välinen etäisyys. Massat oletetaan pistemäisiksi.

VakioG,universaalinen gravitaatiovakio, on arvoltaan G=6,674·10^{−11 m3}/kg s².

2Sir Isaac NewtonPRS (1642–1727) oli englantilainen yleisnero, joka matematisoi tähtitieteen ja suuren osan geofysiikkaa pääteoksessaanPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematicaeli ”Fysiikan matemaattiset perusteet”.

Ó » Š . î á

Kuva1.1. Gravitaatio on universaalinen. Hubblen avaruusteleskoopin ku- vaama gravitaatiolinssi, galaksijoukko Abell 1689 etäisyydellä 2,2 miljardia valovuotta. Benitez ym.(2003).

Kiitokset:NASA, N. Benitez (JHU), T. Broadhurst (The Hebrew Uni- versity), H. Ford (JHU), M. Clampin (STScI), G. Hartig (STScI), G.

Illingworth (UCO/ Lick Observatory),ACSScience Team jaESA. D

Ó » Š . î á

G:n arvon määritti ensimmäistä kertaa Henry Cavendish³ käyttämällä herkkää torsiovaakaa eli kiertoheiluria (Cavendish,1798).

Olkoon m pieni kappale eli koemassa, esimerkiksi satelliitti, jaM suuri massa, kuten planeetta tai Aurinko. Silloin m₁ = M voidaan kutsuavetäväksimassaksi jam₂ =mvedetyksimassaksi, ja saadaan

F=GmM ℓ² . Newtonin liikelain mukaan

F=ma,

jossaaon kappaleenmgravitaatiokiihtyvyys. Tästä seuraa a=GM

ℓ².

Tästä yhtälöstä suure m = m₂ on kadonnut. Kyseessä on Galilein kuuluisa havainto, jonka mukaankaikki kappaleet putoavat yhtä nopeas- ti⁴ niiden massasta riippumatta. Tämä tunnetaan myös Einsteinin⁵ ekvivalenssiperiaatteena.

Sekä voimaFettä kiihtyvyysaovat samansuuntaisia kappaleita yh- distävän viivan kanssa. Siksi kirjoitetaan yhtälö1.1useinvektorimuotoon, jolla on suurempi ilmaisukyky:

a= −GMr−R

ℓ³ , (1.2)

3Henry CavendishFRS(1731–1810) oli brittiläinen luonnontieteilijä rikkaasta aatelis- suvusta. Hän teki uraauurtavaa työtä myös kemiassa. Hän oli erittäin ujo, ja kuuluisa neurologi Oliver Sacks retrodiagnostisoi hänet Aspergerin oireyhtymän potijaksi (Sacks,2001).

4Ainakin tyhjiössä. Apollo-astronautit esittivät vaikuttavasti, miten höyhen ja vasara putoavat Kuun pinnalla yhtä nopeasti!YouTube, Hammer vs. Feather.

5Albert Einstein (1879–1955) oli saksanjuutalainen teoreettinen fyysikko. Hän loi erityisen ja yleisen suhteellisuusteorian, sovelsi viimeksi mainittua kosmologiaan ja teki uraauurtavaa työtä kvanttimekaniikan parissa.

Ó » Š . î á

jossa vedetyn ja vetävän massan kolmiulotteiset paikkavektorit määri- tellään seuraavasti suorakulmaisissa koordinaateissa⁶:

r=xi+yj+zk, R=Xi+Yj+Zk, jossa yksikkövektorien kolmikko {

i,j,k}

on euklidisen avaruuden ortonormaali kanta⁷.

ℓ=∥r−R∥=

√

(x−X)²+ (y−Y)²+ (z−Z)² (1.3) on massojen välinen etäisyys Pythagoraan lauseen mukaisesti laskettu- na.

Vektoriyhtälössä1.2oleva miinusmerkki kertoo, että voiman suunta on päinvastainen kuin vektorinr−Rsuunta. Tämä vektori on vedetyn massanmpaikka vetävän massanMpaikasta laskettuna. Toisin sanoen tämä kertoo, että kyseessä onvetovoimaeikä työntövoima.

D 1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali

Gravitaatiokenttä on erikoinen kenttä: mikäli se on stationaarinen, eikä siis ajasta riippuvainen, se on konservatiivinen. Tämä merkitsee, että kappale, joka liikkuu kentän sisällä suljettua reittiä pitkin, ei ole matkan suoritettuaan menettänyt eikä voittanut energiaa. Tästä syystä voi kiinnittää jokaisen kentän pisteelle yksiselitteisesti ”tarran”, johon voi merkitä yksikkö- eli koemassan energiamäärän, jonka se on voittanut tai menettänyt matkustaessaan sovitustalähtöpisteestäkyseessä olevaan pisteeseen. Tarralle kirjoitettua arvoa kutsutaanpotentiaaliksi.

6Vektorin notaationa käytetään joko−→v-ilmaisua (nuolta kirjaimen yläpuolella) tai v-kirjainta (lihavoituna). Tässä käytetään lihavointia, paitsi kreikkalaisella kirjaimella merkityille vektoreille, joita ei voi lihavoida.

7Tämä merkitsee, että∥i∥=∥j∥=∥k∥=1 ja⟨i·j⟩=⟨i·k⟩=⟨j·k⟩=0, jossa normin määritelmä on∥a∥^def= √

⟨a·a⟩, ja⟨a·b⟩on avaruuden vektoriena,bskalaaritulo.

Ó » Š . î á

Huomaa, että lähtöpisteen valinta onmielivaltainen. Tähän merkittä- vään asiaan palataan myöhemmin.

Pistemäisen kappaleenMnäin määriteltypotentiaalifunktioon V = GM/

ℓ, (1.4)

jossaℓon taas, kuten yllä, vektorinr−Rpituusℓ=∥r−R∥.

VakiollaGMon maapallon tapauksessa (GRS80-järjestelmän mukai- nen, konventionaalinen) arvo

GM⊕ =3,986 005·10^{14 m3}/s².

Tämän hetken paras käytettävissä oleva fysikaalinen arvo on hieman tarkempi:

GM⊕ =3,986 004 4·10^{14 m3}/s².

D 1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali

Voimme kirjoittaa yhtälön1.4perusteella laajan kappaleenMpotenti- aalin seuraavaan muotoon:

V(r) =G ˆ

M

dm(R) ℓ =G

ˆ

M

dm(R)

∥r−R∥. (1.5)

Tämä on integraali kappaleen massa-alkioidendmyli, jossa jokainen massa-alkio sijaitsee omalla paikallaanR. PotentiaaliVlasketaan pai- kallarja etäisyysℓ=∥r−R∥.

Johdamme nyt ohuen pallon muotoisen kuoren potentiaalin yhtälön, katso kuva1.2, jossa olemme laittaneet pallon keskipiste origoksiO.

Koska kapean rinkulan, leveysb·dθ, ympärysmitta on 2πbsinθ, on sen pinta-ala

(2πbsinθ) (b·dθ).

Olkoon kuoren paksuusp(pieni) ja sen ainetiheysρ. Saamme rinkulan kokonaismassaksi

2πpρb²sinθ dθ.

Ó » Š . î á

b dθ

p b

b

r P

ℓ θ

O

Kuva1.2. Pallon ohut kuori koostuu renkaista.

D

Koska rinkulan jokainen piste on samalla etäisyydellä ℓ pisteestä P, voimme kirjoittaa rinkulan potentiaaliksi pisteessäP:

V_P= 2πGpρb²sinθ dθ

ℓ .

Kosinisäännön avulla

ℓ² =r²+b²−2rbcosθ (1.6) saadaan yhtälön1.5avulla koko kuoren potentiaaliksi

VP =2πGρpb²

ˆ √ sinθ dθ

r²+b²−2rbcosθ.

Tämän integraalin laskemiseksi muutetaan integrointimuuttujaθ:sta ℓ:ksi. Differentioimalla yhtälö1.6saadaan

ℓ dℓ=brsinθ dθ, ja muistamalla, ettäℓ=√

r²+b²−2rbcosθ, saadaan VP =2πGρpb²

ˆ _ℓ2

ℓ₁

dℓ br.

Ó » Š . î á

Siinä tapauksessa, että pistePon kuoren ulkopuolella, ovat muuttujan ℓ integrointirajat ℓ₁ = r−b ja ℓ₂ = r+b, ja pisteen P potentiaaliksi saadaan

V_P =2πGρpb²[ ℓ br

]^ℓ=r+b

ℓ=r−b

= 4πGρpb² r .

Koska koko kuoren massa onM_b =4πb²ρp, seuraa, että kuoren po- tentiaali onsama kuin sen keskipisteessäOolevan samansuuruisen massan potentiaali:

VP = GM_b r ,

jossaron nyt laskentapisteenPetäisyys pallon keskipisteestäO. Näh- dään, että tämä on identtinen yhtälön1.4kanssa.

Pallon kuoren aiheuttama vetovoima, tarkemminkiihtyvyys, on⁸ aP= ∇V|_P = −4πGρpb²rP−rO

r³ = −GM_brP−rO

r³ ,

jossar=∥rP−rO∥. Tämä tulos on identtinen samanmassaisen, pistees- säOsijaitsevan, pistemassan aiheuttaman kiihtyvyyden kanssa, yhtälö 1.2.

Siinä tapauksessa, että pistePon kuoren sisäpuolella,ℓ₁ =b−rja ℓ₂ =b+r, ja yllä oleva integraali muuttuu seuraavaksi:

V_P =2πGρpb²[ ℓ br

]^ℓ=b+r

ℓ=b−r=4πGρpb.

Kuten nähdään, tämä on vakio eikä riipu pisteen P paikasta. Siksi

∇V_P =0 ja vetovoima potentiaalin gradienttina häviää.

Lopputulos on, että pallon muotoisen kuoren vetovoiman suuruus on, kuoren ulkopuolella,

a=∥a∥= GM r² ,

jossa M on kuoren kokonaismassa ja r = ∥rP−rO∥ havaintopisteen etäisyys kuoren keskipisteestä. Vetovoiman suuruus on 0 kuoren sisällä.

Kuvassa 1.3 on piirretty potentiaalin ja vetovoiman — tai kiihty- vyyden, joka on vetovoima per massayksikkö — käyrät. Jos kappale

8Tässä käytetään∇(nabla) -operaattoria, josta lisää osiossa1.5.

Ó » Š . î á

0

0 4πGρpb

→r b

4πGρpbb r Potentiaali

Kiihtyvyys 4πGρpb²

r²

Kuva1.3. Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydestärpallokuoren keskipisteestä.

D

koostuu monesta sisäkkäisestä pallon kuoresta, kuten melko tarkasti maapallo ja useimmat taivaankappaleet, osallistuvat kappaleen sisäisen vetovoiman muodostukseen vain ne massakerrokset, jotka ovat havain- topisteen ”sisäpuolella” ja siis lähempänä keskipistettä. Vetovoima on sama kuin silloin, jos kerrosten koko massa olisi keskitetty kappaleen keskipisteeseen. Tapausta, jossa massatiheysjakauma kappaleen sisäl- lä riippuu ainoastaan etäisyydestä sen keskipisteestä eikä leveys- tai pituusasteesta, kutsutaanisotrooppiseksi tiheysjakaumaksi.

D 1.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista

Kuten yllä argumentoitiin, on potentiaali V polkuintegraali. Kääntäen voidaan potentiaalista laskea gravitaation kiihtyvyysvektorin kompo- nentitdifferentioimallaV(x,y,z)paikan suhteeneli soveltamallagradientti- operaattoria, joka on vektorioperaattori:

a=∇V =gradV = ∂V

∂xi+ ∂V

∂yj+∂V

∂zk. (1.7)

Ó » Š . î á

Tässä symboli∇(nabla) on usein käytettyosittaisdifferentiaalioperaattori

∇=i ∂

∂x +j ∂

∂y+k ∂

∂z.

Tässä {i,j,k} on taas euklidisen avaruuden keskenään kohtisuorien yksikkövektorien ortonormaali kanta. Vektorit ovat samansuuntaisia (x,y,z)-akseleiden kanssa.

Kokeillaan tätä differentiaatiota massapisteenMpotentiaalikentän tapauksessa. Sijoita yllä olevat potentiaalinV 1.4 ja etäisyyden ℓ 1.3 yhtälöt⁹:

∂V

∂x = ∂V

∂ℓ

∂ℓ

∂x =GM·−1

ℓ² · x−X

ℓ = −GMx−X ℓ³ . Vastaavasti lasketaany- jaz-komponentit:

∂V

∂y = −GMy−Y

ℓ³ , ∂V

∂z = −GMz−Z ℓ³ .

Nämä ovat gravitaation kiihtyvyysvektorin komponentit, kun kentän

”lähde” on yksi pistemassaM. Tässä konkreettisessa tapauksessa yllä annettu vektoriyhtälö pitää paikkansa:

a=gradV =∇V.

Huomautus Fysikaalisessa geodesiassa — toisin kuin fysiikassa — po- tentiaali lasketaan aina positiiviseksi, jos vetävä massa M on

9Yhtälöstä

ℓ=

√

(x−X)²+ (y−Y)²+ (z−Z)²=(

(x−X)²+ (y−Y)²+ (z−Z)²)1/2

seuraa ketjusäännön avulla

∂ℓ

∂x =

∂(

(x−X)²+ (y−Y)²+ (z−Z)²)1/2

∂(

(x−X)²+ (y−Y)²+ (z−Z)²) ·∂(x−X)²

∂x =

= ¹₂(

(x−X)²+ (y−Y)²+ (z−Z)²)−1/2

·2(x−X) = x−X ℓ .

Ó » Š . î á

positiivinen (kuten tiettävästi aina on). Kuitenkin kappaleenm potentiaalienergiamassanMkentässäVon negatiivinen! Tarkem- min esitettynä kappaleenmpotentiaalinen energia on

E_pot = −Vm.

Gravitaation kiihtyvyysvektoria kutsutaan lyhyemmin ”gravitaatio- vektoriksi”.

D 1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali

Seuraavaksi tutkitaan kiinteää kappaletta, jonka massa on jakautunut avaruudessa eikä sitä siis ole keskitetty yhteen pisteeseen. Esimer- kiksi maapallon massajakauma avaruudessa voidaan kuvata aineen tiheysfunktiollaρ:

ρ(x,y,z) = dm(x,y,z) dV(x,y,z),

jossadmon massa-alkio jadVvastaava avaruuden tilavuusalkio.ρ:n dimensio on tiheys ja yksikköSI-järjestelmässä^kg/m³.

Koska gravitaation kiihtyvyys1.7on lineaarinen ilmaisu potentiaa- lissaV ja voima- tai kiihtyvyysvektorit voidaan summata lineaarisesti, seuraa siitä, että myös kappaleen kokonaispotentiaali saadaan summaa- malla kaikki sen osien potentiaalit yhteen. Esimerkiksinmassapisteen kokoelman potentiaali on

V(r) =G

∑n i=1

m_i ℓ_i =G

∑n i=1

m_i(Ri)

∥r−Ri∥,

josta saadaan gravitaation kiihtyvyys yksinkertaisesti soveltamalla gradienttilausetta1.7.

Kiinteän kappaleen potentiaali saadaan vastaavasti korvaamalla sum-

Ó » Š . î á

ma integraalilla seuraavalla tavalla¹⁰: V =G

˚

kappale

dm ℓ =G

˚

kappale

ρ

ℓ dV. (1.8)

Symboliρintegraalin sisällä merkitsee aineen tiheyttä massa-alkion dVpaikalla. Suure ℓ = ∥r−R∥ =

√

(x−X)²+ (y−Y)²+ (z−Z)² on mittauspisteen ja vetävän massa-alkion välinen etäisyys. Selvemmin:

V(x,y,z) =G

˚

kappale

ρ(X,Y,Z)

√

(x−X)²+ (y−Y)²+ (z−Z)²

dX dY dZ.

Kuten edellä näytettiin massapisteiden tapauksessa, on myös kiinteän kappaleen potentiaalinV ensimmäinen derivaatta paikan suhteen eli gradientti,

gradV =∇V =a, (1.9)

kappaleen vetovoiman aiheuttama kiihtyvyysvektori. Tämä pätee ylei- sesti.

D 1.6.1 Käyttäytyminen äärettömyydellä

Jos kappale on äärellisen kokoinen — toisin sanoen kokonaanϵ-säteisen, origoa ympäröivän pallon sisällä — ja sen tiheyskin on kaikkialla rajallinen, seuraa, että

∥r∥ →∞ =⇒ V(r)→0, koska kolmioepäyhtälön mukaan

ℓ=∥r−R∥⩾∥r∥−∥R∥⩾∥r∥−ϵ ja siis

∥r∥ →∞ =⇒ 1/ ℓ →0.

10Valitettavasti potentiaalille ja tilavuudelle käytetään lähes samoja symbolejaVjaV.

Ó » Š . î á

Gravitaation kiihtyvyyden kaikille kolmelle komponentille, siis myös vektorisuureen pituusarvolle, pätee sama:

∥r∥ →∞ =⇒ ∥∇V∥ →0.

Tulosta voidaan vielä tarkentaa: jos∥r∥ →∞, on taas kolmioepäyhtälön mukaan

ℓ=∥r−R∥⩽∥r∥+∥R∥⩽∥r∥+ϵ, ja siis

1

∥r∥+ϵ ⩽ 1

ℓ ⩽ 1

∥r∥−ϵ =⇒ 1

∥r∥ 1 1+ ϵ/

∥r∥ ⩽ 1 ℓ ⩽ 1

∥r∥ 1 1− ϵ/

∥r∥. Näemme taas notaatiollar=∥r∥, että

r→∞ =⇒ 1/

ℓ → 1/ r.

Kun sijoitetaan tämä integraaliin1.8, seuraa, että suurille etäisyyksille r→∞:

V =G

˚

kappale

ρ

ℓ dV≈ G r

˚

kappale

ρ dV= GM r ,

jossaM, tiheyden integraali kappaleen tilavuuden yli, on juuri senkoko- naismassa. Tästä nähdään, että suurella etäisyydellä äärellisen kokoisen kappaleenMkenttä onlähes identtinensen kentän kanssa, joka aiheu- tuu pistemassasta, jonka massa on sama kun kappaleenkokonaismassa.

Tämän tärkeän havainnon teki jo Newton. Ilmiön ansiosta voimme au- rinkokunnan taivaanmekaniikassa käsitellä Aurinkoa ja planeettoja¹¹ massapisteinä, vaikka tiedetään, että ne eivät sitä ole.

11Ainoa merkittävä poikkeus ovat planeettojen ja niiden kuiden väliset voimat sekä planeetan litistyneisyyden että vuorovesi-ilmiön takia.

Ó » Š . î á

D 1.7 Esimerkki: Massaviivan potentiaali

Pystyasennossa olevalla massaviivalla, jonka lineaarinen massatiheys on yksi, on potentiaali

V(x,y,z) =G ˆ H

0

1

√

(X−x)²+ (Y−y)²+ (Z−z)²

dZ, (1.10)

jossa (X,Y) on massaviivan paikka tasossa, (x,y,z) on potentiaalin laskentapisteen paikka, ja massaviiva ulottuu merenpinnalta Z = 0 korkeuteenZ=H.

Ensin kirjoitetaan∆x=X−x,∆y=Y−y,∆z=Z−z, ja potentiaalista tulee

V(∆x,∆y,∆z) =G ˆ _H−z

−z

1

√∆x²+∆y²+∆z²d(∆z).

Määräämätön integraali on ln(

∆z+√

∆x²+∆y²+∆z² )

ja integrointirajojen sijoitus antaa

V =GlnH−z+

√

∆x²+∆y²+ (H−z)²

−z+√

∆x²+∆y²+z² .

Nyt voimme kehittää tämän Taylorin sarjaksi muuttujassaHpisteen H=0 ympäri: yhtälön1.10ensimmäinen derivaatta on

∂V

∂H = G

√

(X−x)²+ (Y−y)²+ (H−z)²

= G ℓ

jossa ℓ(H) =

√

(X−x)²+ (Y−y)²+ (H−z)². Toinen derivaatta saa- daan ketjusäännön avulla:

∂²V

∂H² = ∂

∂H (G

ℓ )

=G· ∂ℓ⁻¹

∂ℓ · ∂ℓ

∂H =G·−ℓ⁻²·1

2ℓ⁻¹·2(H−z) =

= −GH−z ℓ³ .

Ó » Š . î á

Kolmas derivaatta, laskettu samalla tavalla:

∂³V

∂H³ = −G ∂

∂H

(H−z ℓ³

)

=G

(3(H−z)² ℓ⁵ − 1

ℓ³ )

=G3(H−z)²−ℓ² ℓ⁵ , ja niin edelleen. Taylorin kehitelmä on

V =

V|_H=0

  

0 +

∂HV|_H=0



G1 ℓ₀H+ ¹₂

∂²_HV⏐

⏐H=0



Gz

ℓ³₀H²+ ¹₆

∂³_HV⏐

⏐H=0

   G3z²−ℓ²₀

ℓ⁵₀ H³+· · · (1.11) jossa ℓ₀ =

√

(X−x)²+ (Y−y)²+z², siis tässä kehitelmässä käytetyt derivaattojen arvot saadaan sijoittamallaH=0.

Kysymys Miten voisimme käyttää tätä tulosta kokonaisen, realistisen maaston gravitaatiopotentiaalin laskemiseen?

Vastaus Tässä kehitelmässä kertoimet 1/

ℓ₀ ,¹₂ z/

ℓ³₀, . . . , kutenℓ₀, riip- puvat vain koordinaattienerotuksista∆x =X−xja∆y=Y−y, massaviivan paikan(X,Y)ja laskentapaikan(x,y)välillä — ja las- kentapaikan korkeudestaz. Jos maasto on annettuna hilan muo- dossa, voidaan arvioida yllä oleva kehitelmä1.11termi kerrallaan annetullez-arvolle ja kaikille mahdollisille(∆x,∆y)-arvopareille.

Jos hilan koko on vaikkapaN×N, tarvitaan vainN²laskutoimi- tusta jokaisen kertoimen laskemiseksi. Itse Taylorin kehitelmän evaluointi raa’alla laskentavoimalla koko maastolle, siis kaikille sekä maaston että laskentatason hilapisteille, vaatii sen jälkeen N² · N² = N⁴ laskutoimitusta, mutta ne ovat nyt yksinkertai- sempia: kertoimet on jo esilaskettu. Ja raaka voima ei ole edes paras ratkaisu: kuten tulemme näkemään, voidaan yllä oleva konvoluutiolaskea paljon nopeamminFFT:n (nopean Fourier’n muunnoksen) avulla.

Palaamme tähän aiheeseen laajemmin maastokorjauksen yhtey- dessä osioissa6.3ja9.7.

Ó » Š . î á

D 1.8 Laplacen ja Poissonin yhtälöt

Geopotentiaalintoinen derivaattapaikan suhteen eli gravitaation kiih- tyvyysvektorin ensimmäinen paikan derivaatta eli sendivergenssion myös geofysikaalisesti mielenkiintoinen. Voidaan kirjoittaa:

diva^def= ⟨∇ ·a⟩=⟨∇ ·(∇V)⟩=⟨∇ · ∇⟩V =

=∆V = ∂²

∂x²V+ ∂²

∂y²V+ ∂²

∂z²V, (1.12) jossa

∆^def= ⟨∇ · ∇⟩= ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z² on tunnettu symboli nimeltäLaplacen¹² operaattori.

Massapistepotentiaalin yhtälöstä1.4voidaan osoittaa suorittamalla kaikki osittaisdifferentiaatiot1.12, että

∆V =0, (1.13)

tunnettuLaplacen yhtälö. Tämä yhtälö pätee pistemassan ulkopuolella ja yleisemmin kaikkialla tyhjässä avaruudessa: kaikkien massojenhan voidaan limiitissä katsoa koostuvan pistemäisistä massa-alkioista. Tai yhtälössä1.8voidaan suoraan differentioida kolminkertaisen integraali- merkin sisällä käyttäen hyväksi sitä, että integraalin ja osittaisderivaatan vaihtaminen keskenään on sallittua, jos molemmat ovat olemassa.

Potentiaalikenttää, jolle Laplacen yhtälö1.13pätee, kutsutaanharmo- niseksikentäksi.

Siinä tapauksessa, että massatiheys ei ole kaikkialla nolla, saadaan toisenlainen yhtälö, jossaρon massatiheys:

∆V = −4πGρ. (1.14)

12Pierre-Simon, markiisi de Laplace (1749–1827) oli ranskalainen matematiikan ja luonnontieteiden yleisnero. Hän oli yksi niistä 72 ranskalaistiedemiehestä, insinööristä ja matemaatikkosta, joiden nimet kaiverrettiin Eiffel-torniin,Eiffel Tower, 72 names.

Ó » Š . î á

Tätä yhtälöä kutsutaanPoissonin¹³yhtälöksi.

Yhtälöpari

gradV =a, diva= −4πGρ

tunnetaan gravitaatiokentänkenttäyhtälöinä. Niillä on samanlainen rooli kuin sähkömagnetismissa Maxwellin¹⁴ kenttäyhtälöillä. Toisin kuin Maxwellin yhtälöissä yllä olevissa ei ole aikakoordinaattia mukana.

Tästä syystä niiden avulla ei voida johtaa yhtälöä, joka kuvaa Maxwel- lin sähkömagneettisten aaltojen vastaavien gravitaatioaaltojen kulkua avaruudessa.

Nykyisin tiedetään, että yllä olevat ”Newtonin kenttäyhtälöt” ovat vain likimääräisiä ja että tarkempi teoria on Einsteinin yleinen suh- teellisuusteoria. Kuitenkin fysikaalisessa geodesiassa Newtonin gravi- taatioteoria on yleensä riittävän tarkka, ja siksi tulemme rajoittumaan siihen.

D 1.9 Mittainvarianssi

Potentiaalin tärkeä ominaisuus on, että jos siihen lisätäänvakioC, mikään gravitaatioon liittyvä mitattavissa oleva suure ei muutu. Tätä kutsutaan mittainvarianssiksi (engl.gauge invariance).

Gravitaatio itse saadaan differentioimalla potentiaali: toimitus hävit- tää vakiotermin. Siksi potentiaalin määrittely on mielivaltainen: kaikki eriC:n valinnalla saadut potentiaalikentätVovat samanarvoisia.

Havainnoistakin saadaan vainpotentiaalieroja, kuten vaaitsijat hyvin tietävät.

13Siméon Denis Poisson (1781–1840) oli ranskalainen matemaatikko, fyysikko ja geodeetti, yksi Eiffel-tornin 72 nimestä,Eiffel Tower, 72 names.

14James Clerk MaxwellFRS FRSE(1831–1879) oli skotlantilainen fyysikko ja sähkö- magnetismin kenttäyhtälöiden keksijä. Hän löysi yhtälöiden aaltomaisen ratkaisun ja tunnistivalonsen kulkunopeuden perusteella sellaiseksi.

Ó » Š . î á

Usein valittu potentiaalin määritelmä lähtee siitä, että josr^def= ∥r∥ →

∞, silloin myös V → 0, mikä on fysikaalisesti järkevä ja antaa yk- sinkertaisia yhtälöitä. Kuitenkin maanpäällisessä työssä järkevämpi vaihtoehto voi ollaV =0 keskimerenpinnan kohdalla — vaikka sekään ei ole ongelmaton.

Esimerkiksi Maan massalle M⊕ fysikaalisesti järkevä potentiaalin esitys on palloapproksimaatiossa

V = GM⊕

r ,

joka häviää äärettömyyteen r → ∞, kun taas geodeettisesti järkevä esitys olisi

V = GM⊕

r −GM⊕

R ,

jossaR =∥R∥on maapallon säde. Jälkimmäinen potentiaali on nolla, siinä missär=Reli pallon muotoisen Maan pinnalla. Limiitissär→∞ sen arvo on−GM⊕/

R eikä nolla.

D 1.10 Yksinkertainen massatiheyskerros

Jos kappaleen pintaanSlevitetään massan ”pinnoite” massatiheydellä κ= dm

dS,

saadaan potentiaaliksi integraaliyhtälö, joka on muuten samannäköinen kuin yhtälö1.8, muttapintaintegraali:

V =G

¨

pinta

dm ℓ =G

¨

pinta

κ

ℓ dS. (1.15)

Tässä taasℓon etäisyys potentiaalin laskentapisteen ja integroinnissa liikkuvan massa-alkiondm— tai pinta-alkiondS— välillä. Massapinta- tiheydenκdimensio on^kg/m², siis erilainen kuin tavallisen eli tilavuuden massatiheyden dimensio, joka on^kg/m³.

Tämä tapaus on teoreettisesti mielenkiintoinen, vaikkakin fysikaali- sesti epärealistinen. FunktioVon näet kaikkialla jatkuva, myös pinnanS

Ó » Š . î á

kohdalla. Kuitenkin jo sen ensimmäiset derivaatat paikan suhteen ovat epäjatkuvia. Tämä epäjatkuvuus ilmenee pinnan suhteen kohtisuorassa olevassa suunnassa,normaaliderivaatassa.

Tutkitaan yksinkertaista tapausta, jossa pallo, sädeR, on pinnoitettu kerroksella, jonka pintatiheys on vakioκ. Laskemalla yllä oleva inte- graali1.15voidaan todistaa — monimutkaisesti, katso osio1.4— että ulkoinen potentiaali on sama, kuin jos kappaleen koko massa olisi pallon keskipisteessä. Myös osiossa 1.4 tuli todistetuksi, että pallon sisäinen potentiaali onvakio.

Siten ulkoinen vetovoima(r > R), jossaron laskentapisteen etäisyys pallon keskipisteestä, on

a_ext(r) =GM

r² =Gκ·4πR²

r² =4πGκ(R r

)² . Sisäinen vetovoima(r < R)on

a_int(r) =0.

Tämä merkitsee, että pallon pinnalla,r=R, vetovoima onepäjatkuva:

a_ext(R) −a_int(R) =4πGκ.

Tässä symmetrisessä tapauksessa nähdään, että a=∥a∥= ∂V

∂n, (1.16)

jossa differentiointimuuttujanedustaanormaalisuuntaa,joka on pintaan S nähden kohtisuorassa oleva suunta. Jos pinta S on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta,pätee yhtälö1.16yleisesti. Silloin vetovoimavektori

— tarkemmin kiihtyvyysvektori — on kohtisuorassa pintaanSnähden ja sen suuruus on sama kuin potentiaalin normaaliderivaatta.

D 1.11 Kaksinkertainen massatiheyskerros

Kaksinkertainen massatiheyskerros voidaan tulkitadipolitiheyskerroksek- si. Kerroksen dipolit ovat orientoituneet pinnan normaalin suuntaan.

Ó » Š . î á

ℓ

κ

−κ

P n

δ

Kuva1.4. Kaksinkertainen massatiheyskerros.

D

Jos dipoli koostuu kahdesta ”varauksesta”mja−mpaikoillar1jar2

siten, että niiden välinen sijaintierovektori on∆r=r1−r2, on dipolin momenttid=m∆r, vektorisuure. Katso kuva1.4.

Olkoon dipolikerroksen pintatiheys µ= dD

dS,

jossadDon ”dipolikerrosalkio”. Tämä kerros voidaan katsoa kahden yksinkertaisen kerroksen yhdistelmäksi. Jos on positiivinen kerros tiheydellä κ ja negatiivinen kerros tiheydellä −κ ja niiden välinen etäisyys onδ, syntyy pienilläδ-arvoilla likimääräinen vastaavuus:

µ≈δκ. (1.17)

Edellisen kappaleen mukaan, yhtälö1.15, kahden yksinkertaisen mas- satiheyskerroksen yhteenlaskettu potentiaali on

V =G

¨

pinta

κ (1

ℓ₁ − 1 ℓ₂

) dS.

Ó » Š . î á