CEB-FIP:n mallinormi (MC 90)

mukaan tarkasteltavan leikkauksen piiri lasketaan etäisyydeltä 2d pilarin reunasta (kuva 6.5). Leikkautuvan alueen piiri u, pyöreille pilareille on muotoa

Mallinormin

4 Comité Euro-Intemational du Béton. СЕВ-FIP model code 1990. s. 6.49 - 6.59.

VR1 = vR, -u-d.

(

6

.

11

)

EC 2.n antamat arvot koeohjelman mukaisille

Kuvassa 6.4 on havainnollistettu koetulosten suhtautumista EC 2:n lävistyskaavaan.

laatoille on esitetty kohdassa 6.3.

o♦■<

U, = 7t(D + 4d).

(

6

.

12

)

Kuva 6.5 Tarkasteltavan alueen piirin u, määrittäminen (MC 90).

Leikkausraudo ittamattoman määritetään kaavasta

teräsbetonilaatan 1 ävi sty skestävy y den laskenta-arvo

TRd=0,12Ç(l00p.fcck)1/3.

(6.13) Kaavan kerroin Ç ottaa huomioon laatan

korkeuden d (yksikkönä [mm]) funktiona kaavalla

paksuuden. Se määritetään tehollisen

5 = 1 +

200

(6.14) d

Lävistyslujuus on suoraan

(6.13) kerroin 0,12 sisältää materiaalin

on 1,5. Karakteristinen leikkauskestävyys on täten

verrannollinen ominaispuristuslujuuteen (xR ocf^.3). Kaavan osavarmuuskertoimen5. Murtorajatilassa kerroin

TRk=0,184(lOOp.fcck)'/3.

(6.15) Lavistyskapasiteetti määritetään leikkausraudoittamattomalle teräsbetonilaatalle

Hallgren, M. Punching Shear Capacity of Reinforced High Strength Concrete Slabs.

s. 21.

Ж \

z

\

/

/ / E / \

z—\ I

/ \z

Ж !

z X

I

:

I

\ /

1200

200 300 400 500 600 700 800 900

Pilarin halkaisija D (mm)

.... 0,45 %

Kuva 6.6 Pilarin halkaisijan ja murtokuorman välinen riippuvuus (MC 90).

Prjc =

ÏRk

-U, • d < 0,5fck2 -u0 -d. (6.16)

Kaavassa Uq on kuormitetun alueen piiri (pyöreälle pilarille u0 = ttD) ja fck2 halkeilleen betonin ominaispuristuslujuus, joka määritetään kaavasta

f1cck

f,u=0,6 1- Fcck ■ (6.17)

250

Mallmormin mukaan lävistyskapasiteetille on täten asetettu betonin kriittistä halkeiluastetta vastaava tila, jota se ei saa ylittää. Kuvassa 6.6 on esitetty normin suhtautuminen koetuloksiin, käyttäen käyrien piirtämisessä samoja periaatteita kuin aiemmin esitettiin. Mallinormi pohjautuu plastisuusteoreettiseen ylärajaratkaisuun yhdistettynä Kinnusen ja Nylanderin laskentamalliin. Lävistyskaava

samanmuotoinen kuin kohdassa 2.2.2 esitetty plastisuusteoreettinen ratkaisu ja yhtäläinen Reganin esittämän mallin kanssa sillä poikkeuksella, että vaipan pinta-alan laskenta on korvattu lieriön pinta-alan määrittämisellä tarkasteltavassa leikkaukse

on lähes

as d . V?ì 2 b0

yf

, j

2 ~T M

V»5 f b»d- (6.19)

Kaava on muutettu SI-yksiköiksi. Kerroin ßc on kuormitetun alueen pidemmän ja lyhyemmän sivun pituuksien suhde. Pyöreälle pilarille kerron ßc = 1. Kerroin as ottaa huomioon pilarin sijainnin. Tapauksessa, jossa pilari on kaukana vapaasta reunasta

6 ACI 318-89. Building Code Requirements for Reinforced Concrete, s. 161 - 170.

Mallinormissa suhteelliselle teräspinta-alalle ja pilarin halkaisijan koolle ei ole asetettu rajoitusta. Tältä pohjalta analysoitaessa normikaavan antamat arvot ovat hyvin vertailukelpoisia. Kuten EC 2:ssa oli, niin myös mallinormissa koetulosten ja normikaavan antamien arvojen keskinäinen absoluuttinen ero kasvaa pilarin koon kasvaessa. Mallinormin sovitus koetuloksiin on kuitenkin onnistunut, sillä koetulosten suhde normikaavaan pysyy likimain vakiona kaikilla tapauksilla. Normikaavan antamat taulukoituna kohdassa 6.3. Betonin puristuslujuuden yläraja kaavalle on 90 MPa kuutiolla ja 80 MPa lieriöllä määritettynä.

arvot on

6.1.4 ACI 318-89

ACI j 18.n mukaan kriittisen leikkauksen piiri b0 lasketaan pilarin reunasta etäisyydeltä 0.5d, yhtäläisesti Suomen betoninormien kanssa (k

lauseke on täten

6.1). Pyöreälle pilarille piirin uva

b0 = tt(D + d). (6.18)

Leikkausraudoittamattomalle teräsbetonilaatalle ACI antaa kaavaryhmän, jossa pienimmän arvon antama kaava on yhtä suuri kuin lävistyskapasiteetti seuraavasti:

o-cr

K)"со+

1200

200 300 400 500 600 700 800 900

Pilarin halkaisija D (mm)

Kuva 6.7 Pilarin halkaisijan ja murtokuorman välinen riippuvuus (ACI 318-89).

Tarkasteltavalla välillä pienimmän arvon antaa alimmainen lauseke. Kuvan käyristä huomataan puristuslujuuden huomattava vaikutus: koeohjelman toisen vaiheen laattojen alempi puristuslujuus näkyy normissa selvästi (kuvan kaksi alinta käyrää). Lisäksi kuvassa on huomion arvoista

pienemmällä suhteellisella teräspinta-alalla

se, että keskenään vertailtavissa olevissa käyrissä saavutetaan suurempia arvoja kuin suuremmilla. Tämä johtuu siitä, että esimerkiksi laatoissa L1-L3 tehollinen korkeus

on suurempi kuin laatoissa L4-L6. Samoilla puristuslujuuksilla normin määräävän kaavan

arvo onkin riippuvainen ainoastaan tehollisesta korkeudesta ja pilarin halkaisijasta. Kohdassa 6.3 on esitetty ACI:n antamat tulokset numeerisessa muodossa antama

kerroin as = 40. Kaavassa fc Kaavan termille

betonin ominaispuristuslujuus määritettynä lieriöllä on

raja 8,3 MPa. Tämän mukaisesti kaava (6.19) voimassa, kun lieriöpuristuslujuus on korkeintaan 69 MPa. ACI:n kaavassa on merkille

on asetettu on

pantavaa se, että taivutusraudoituksen ja laatan paksuuden vaikutus huomioimatta. Kuvassa 6.7

on jätetty esitetty koetulosten suhtautuminen ACI:n on

lävistyskaavaan.

Voima(kN)

Kuva 6.8 Leikkautuvan alueen piirin u määrittäminen (BS 8110-85).

Pyöreälle pilarille saadaan piirille lauseke

u = 4(D + 3d).

(6.20) Kriitisessä leikkauksessa vaikuttava leikkausjännitys vc lasketaan kaavasta

i/s f 400 Vм

vc =0,79(100p) d (6.21)

BS:n mukaan maksimileikkausjännitys v arvoista

on suurempi kaavan (6.22) antamista

max

vmax =max(0,8VC;5)

fcu = kuutiopuristusluj uus (MPa).

[MPa], (6.22)

jossa

Suhteellinen teräspinta-ala p < 30%o ja suhde 400/d > 1. Lävistyskapasiteetin lauseke voidaan maksimileikkausjannitys huomioiden saattaa muotoon

BS 8110. British Standard, Structural Use of Concrete, s. 3/11 - 3/28.

6.1.5 BS 8110-85

BS 8110:n mukaan1 kriittisen leikkauksen

piiri u muodostuu pilarin reunasta etäisyydelle l,5d piirrettyjen tangenttien muodostamasta suorakaiteesta tai neliöstä (kuva 6.8).

Q.C#l

---

1

CLlii

-oin

s

800

200 300 400 500 600 700 800 900

Pilarin halkaisija D (mm)

Kuva 6.9 Pilarin halkaisijan ja murtokuorman välinen riippuvuus (BS 8110-85).

Kaavassa (6.23) asetettua rajaa ei koelaatoilla ylitetty. Raja tulee määrääväksi lähinnä pienillä pilarin halkaisijoilla. Kuvasta huomataan kertoimen kc vaikutus varsinkin laatan L7 yhteydessä vertailukäyrää alentavana tekijänä. Kohdassa 6.3 on esitetty BS:n antamat numeeriset arvot koelaatoille

X = kc • vc -u d < v^max •u„-d. (6.23)

Kaavassa Uq on kuormitetun alueen (pilarin) piiri. Kerroin kc ottaa huomioon betonin lujuuden seuraavasti:

fl , kun fcu < 25 MPa , kun fcu > 25 MPa

ke=- f ^l/3^cu (6.24)

25

BS:n kaava on voimassa, kun betonin kuutiopuristuslujuuslujuus on korkeintaan 40 MPa. Kuvasta 6.9 ilmenee koetulosten suhtautuminen BS:n lävistysk

aavaan.

6.1.6 DIN 1045

DIN.in mukaan kriittisen leikkauksen piiri pyöreälle pilarille lasketaan samalla tavalla kuin Suomen betoninormeissa eli u = rc(D + d). Kriitisessä leikkauksessa vaikuttava leikkausjännitys tu2 lasketaan kaavasta

=°’{1+ЫГр^

Tu (6.25)

fyk - betoniteräksen myötölujuus (MPa).

jossa

Suhteelliselle teräspinta-alalle p on asetettu kaavan (6.26) mukainen raja

0,015 0,3125 — "

P = ^(Px +Py)^ mim

(6.26) f1yk

Lävistyskapasiteetti on sallituja jännityksiä käyttäen

X = 1,75тц -u-d. (6.27)

Kaavassa kerroin 1,75 käyttökuorman varmuuskerroin, joka on minimivaatimus murtoon nähden. Kuvassa 6.10 on esitetty koetulosten suhtautuminen DIN:in lävistyskapasiteetin laskentakaavaan. Kuvassa suhteellisen teräspinta-alan mukaiset käyrät on määritetty kaavan (6.26) mukaisesti mitatuilla materiaaliarvoilla.

vaikuttaa laattojen L8-L10 todellisen geometrisen raudoitussuhteen arvoon 11,9 %0 pienentävästi, jolloin redusoiduksi arvoksi saadaan 10,7 %o. Varmuustaso koetuloksiin nähden pienenee pilarin koon kasvaessa, sillä absoluuttinen ero normin ja koetulosten välillä pysyy likimain vakiona. Kohdassa 6.3 on esitetty DIN:in lävistyskaavan antamat numeeriset tulokset.

on

Kaava

2 DIN 1045. Betong und Stahlbeton, Bemessung und Ausführung, s. 71 - 73.

Regan, P. E. & Bræstrup, M. W. Punching Shear in Reinforced Concrete, s. 85 - 86.

— 0,45%

200 300 400 500 600 700 800 900

Pilarin halkaisija D (mm)

Kuva 6.10 Pilarin halkaisijan ja murtokuorman välinen riippuvuus (DIN 1045).

6.1.7 BBK 94

Ruotsin betoninormi, BBK1 mukaisesti.

määrittää kriittisen leikkauksen piirin u, kuvan 6.11

.—S'

Kuva 6.11 Leikkautuvan alueen piirin u, laskeminen (BBK 94).

Pyöreälle pilarille piiri määritetään kuten Suomen normeissa eli u, Leikkauskestävyys lävistykselle määritetään seuraavasti:

= tt(D + d).

Hallgren, M. Punching Shear Capacity of Reinforced High Strength Concrete Slabs.

s. 16-18.

1,4 ,kund<0,2m

,kun 0,2m < d < 0,5m 1,3-0,4d ,kun 0,5m < d < l,Om

,kun d > l,Om 1,6-d

(6.29) 0,9

Betonin vetolujuus fct on BBK:ssa taulukoituna puristuslujuusluokittain1. Betonin veto­

ja puristuslujuuden välillä on lujuusluokilla K8...K60 yhteys

fct= 0,165.fc2k/3. (6.30)

Suhteelliselle teräspinta-alalle p Lävistyskapasiteetti on BBK:n mukaan

raja р = л/р^<10%о.

määrätty on

X = Л • u, • d • fvl. (6.31)

Kaavassa ц on epäkeskisyystekijä, joka pyöreälle pilarille epäkeskisyydellä

e on muotoa

n =

_{2 ■ e '}1 _(6.32)

1 +D + d

Keskeisellä kuormalla kerroin r| - 1. BBK:n lävistyskaava on muutamia yksityiskohtia lukuunottamatta identtinen Suomen betoninormien antaman kaavan kanssa.

Lavistyskaava on voimassa pyöreille pilareille, joiden halkaisija D < 3,5d. Kuvasta 6.12 ilmenee koetulosten ja BBK.n keskinäinen suhtautuminen. Koetulosten ja normikaavan keskinäinen absoluuttinen ero pysyy likimain vakiona, joten suhteellinen

melko jyrkästi. BBK.n antamat numeeriset arvot koelaatoille on esitetty kohdassa 6.3.

arvo pienenee

BBK 79. Bestämmelser för betongkostruktioner, band 1. s. 22 ja 110 - 113.

fvi =Ç(l + 50p)0,45fct. (6.28)

Kaavassa E, on laatan paksuuden huomioiva kerroin, joka määritetään lausekkeesta

JÏX

a) Innersøyler

200 300 400 500 600 700 800 900

Pilarin halkaisija D (mm)

Kuva 6.12 Pilarin halkaisijan ja murtokuorman välinen riippuvuus (BBK 94).

6.1.8 NS 3473

Norjan betonistandardi NS 34731 määrittää kriittisen leikkauksen piirin u pilarin reunasta etäisyydelle l,0d piirrettyjen tangenttien muodostaman suorakaiteen tai neliön avulla kuvan 6.13 mukaisesti.

Antatt dimensionerende snitt

Fri kant

i IpH -LÜl.J

b) Søyle nær kant

Kuva 6.13 Leikkautuvan alueen piirin u laskeminen (NS 3473).

Piirin lausekkeeksi pyöreälle pilarille saadaan täten u = 4(D + 2d).

INS 3473. Prosjektering av betongkonstruksjoner, s.18 - 19 ja 26 - 32.

V

NS 3473 määrittää lävistyskapasiteetin epäyhtälön (6.33) avulla:

Xk =0,33-kv-(fctk +kAp)-u-d<0,66-kv-fctk -u-d.

(6.33)

Kaavassa vakiokerroin kA - 100 MPa. Laatan paksuuden vaikutus otetaan huomioon kertoimella kv vakiokertoimen d¡ = 1,0 m ja tehoillisen korkeuden d funktiona

kv e[l,0;l,4].

kv=l,5- (6.34)

i

Betonin vetolujuus on NS 3473:ssa taulukoitu puristuslujuusluokittain. NS:n mukaiset lujuusarvot betonille on esitetty taulukossa 6.1.

Taulukko 6.1 Lujuusluokitusta vastaavat lujuudet NS 3473:n mukaan (MPa).

Luj. LC1 C25 C35 C45 C55 C65 C75 C85 C95 C105

luokka 5 LC2 LC3 LC4 LC5 LC6 LC7 LC8

*) 5 5 5 5 5 5 5

Kuutio 15 25 35 45 55 65 75 85

fck

Lieriö 12 20 28 36 44 54 64 74 84 94

fxcck

Veto 1,55

2,10

2,55 2,95 3,30 3,65 4,00 4,30 4,60 4,90

fctk

4LC = kevyttä runkoainetta sisältävä betoni

Koelaatoille saadaan lineaarisella interpolaatiolla vetolujuudeksi ensimmäisessä vaiheessa f. 2,44 MPa (fcm - 32,7 MPa) ja toisessa vaiheessa f = 2,05 MPa (fcm = 24,1 MPa). Kuvassa 6.14 on esitetty koetulosten ja NS 3473 :n lävistyskaavan keskinäinen suhtautuminen. Käsitellyistä normeista Norjan betonistandardi

otin ctm

on ainoa, jossa lävistyskaava antaa suuremman tuloksen kuin koelaattojen murtokuorma (Laatat

L8-L10). Lävistyskaava on johdettu leikkaushaavasta ajateltuna ristiin kaksi palkkia.

- 0,45%

200 300 400 500 600 700 800 900

Pilarin halkaisija D (mm)

Kuva 6.14 Pilarin halkaisijan ja murtokuorman välinen riippuvuus (NS 3473).

Kuvan käyrien piirtämisessä kaavan (6.33) asettama raja lävistyskapasiteetille ei ylittynyt tarkasteltavalla välillä. NS 3473 :ssa koetulosten suhde normikaavaan pienenee loivasti pilarin koon kasvaessa. NS 3473 :n antamat numeeriset arvot koelaatoille on esitetty kohdassa 6.3.

6.2 Taivutuskapasiteetti

Koelaattojen taivutuskapasiteetin laskenta myötöviivateorian avulla laskettuna esitetty kohdassa 2.3.1. Murtokuorman Pu lauseke on muotoa

on

P" = 16(75-'(ггб)”

(6.35)

Myötömomentti voidaan laskea käyttämällä betonin puristusjännityksen jakautumiskuviona suorakaidetta. Poikkileikkauksen betonin puristusresultantti on

N==Ac.f(

cm

= yb.fcm=0,8xbf

_(6.36)

▻

■♦o

У = tehollinen puristusvyöhykkeen korkeus (mm)

neutraaliakselin etäisyys poikkileikkauksen puristetusta reunasta b = betonipoikkileikkauksen leveys (mm)

fCm = betonin kuutiopuristuslujuus (MPa).

jossa

x =

Vetoraudoituksen resultantti Fs määritetään

Fs=As-fym,

As = vetoraudoituksen pinta-ala (mm2/m) fym = betoniteräksen myötölujuus.

(6.37) jossa

Poikkileikkauksessa vaikuttavien voimien tasapainoehdosta Fs = Nc seuraa

fym = p. A.t.

0,8b fcm 0,8 fcm A

(6.38) x =

Poikkileikkauksen sisäinen momenttivarsi z tehollisen korkeuden d avulla lausuttuna on

z = d - 0,4x. (6.39)

Myötömomentti on nyt laskettavissa kaavasta

P-fyrn)

m = A • f • z = p • f • d2 1 -_{s ym}

i

^{ym (6.40)}

2-fcm /

Taulukossa 6.2 on koelaatoille saadut myötöviivateorian mukaiset murtokuormat mitatuilla materiaali- ja poikkileikkausarvoilla. Murtokuorman havaitaan olleen taivutuskapasiteetin suhteen kolmella ensimmäisellä laatalla suurimman. Tämä johtuu laattojen pienestä taivutusraudoitusmäärästä. Todellisuudessa kuitenkin mahdollinen taivutusmurto saavutettaisiin yleensä suuremmilla kuormilla kuin myötöviivateorian mukaan laskettuna, sillä mm. laatan holvaantuminen ja teräksen myötölujittuminen voivat vaikuttaa taivutuskapasiteettia suurentavina tekijöinä.

em.

L5 27 161 111,7 956

L6 27 164 113,8 978 0,82

L7 34 163 108,1 808 0,59

L8 60 150 173,6 1904 0,58

L9 60 148 171,2 1876 0,59

LIO 60 149 172,4 1894 0,57

Kuvassa 6.15 on esitetty koetulosten suhtautuminen teoreettiseen taivutuskapasiteettiin.

Vertailukäyrät on määritetty käyttämällä laatan paksuutena vakioarvoa h = 200 mm.

Betonin puristuslujuutena on käytetty taulukossa 4.5 ilmoitettuja arvoja ja teräksen myötölujuutena taulukon 4.6 mukaisia arvoja. Laatan jänneväli on asetettu vakioksi vastaamaan koelaattoja siten, että pilarin reunan etäisyys tuelta on 685 mm laattojen Ll- L4 ja L8-L10 yhteydessä sekä 785 mm laatan L7 yhteydessä.

Kuvasta havaitaan laattojen L4-L6 (p = 6,5 ^%o) ylittävän laattojen L1-L3 (p = 4,5 ^%o) vertailukäyrän. Tämän perusteella pienemmällä rauhoitusasteella laattojen L4-L6 murtotapa olisi todennäköisesti ollut taivutusmurto. Laatat L8-L10 (p = 11,9 %o)

alittavat niukasti laatan L7 (p = 6,5 %o) vertailukäyrän, joten myös niiden murtotapa olisi ollut taivutusmurto, jos raudoituksena olisi ollut esimerkiksi laatassa L7 käytetty taivutusteräsmäärä. Betonin lujuuden vaikutusta taivutuskapasiteettiin havainnollistaa kuva 6.16, jossa vertailukäyrät on sovitettu vastaamaan koelaattojen dimensioita.

Kuvasta havaitaan laattojen L1-L7 vertailukäyristä, että taivutuskapasiteetti ei enää kasva merkittävästi puristusluj uuden lisääntyessä. Täten em. laatoilla suuremmalla puristuslujuudella murtotavaksi saataisiin todennäköisesti taivutusmurto.

L4 27 159 110,3 946 0,73

Taulukko 6.2 Koelaattojen taivutuskapasiteetti.

Laatta x (mm) z (mm) m (kNm/m) Pu (kN) ^{P / P}1 u,koe' r u

LI 19 164 80,2 610 0,82

m

o

40 СТлooCO

o o

UIu>toOn40

-JK>to

o

CO CO

CO04C4

4040

tou>

М Г

1900

Betonin lujuus (MPa)

- D=200;L=1570 D=400;L=1770

• D=200;L=1770 D=900;L=2270

Betonin lujuuden vaikutus taivutuskapasiteettiin.

200 300 400 500 600 700 800 900

Pilarin halkaisija, D (mm)

Kuva 6.15 Pilarin halkaisijan vaikutus taivutuskapasiteettiin.

400

Laattojen L8-L10 vertailukäyrä on vielä kokeessa saavutetuilla puristuslujuusluokilla varsin voimakkaasti kasvava. Loiveneminen alkaa likimain puristuslujuudella 40-50 MPa. Vertailukäyrät osaltaan havainnollistavat sen, kuinka lähellä teoreettista taivutuskapasiteettia koelaattojen murtokuormien yhteydessä oltiin. Kuten kuvastakin havaitaan, oli varmuus taivutuksen suhteen suurin juuri laattojen L8-L10 yhteydessä (vrt. taulukko 6.2).

In document The geometrical model of the calculation formula of the punching shear capacity of the reinforced concrete slab (sivua 96-112)