The geometrical model of the calculation formula of the punching shear capacity of the reinforced concrete slab

Talonrakennustekniikka

ESKO SISTONEN

TERÄSBETONILAATAN LÄVISTYSKAPASITEETIN LASKENTAKAAVAN GEOMETRINEN MALLI

Diplomityö, joka on opinnäyttee­

nä jätetty tarkastettavaksi diplo­

mi-insinöörin tutkintoa varten Espoossa 22.08.1997.

Työn valvoja:

Apul.prof. Seppo Huovinen Työn ohjaaja:

DI Mika Lydman TEKNILLINEN KORKEAKOULU

Rakennus- ja yhdyskuntatekniikan osaston kirjasto

И-М! I И’ЛЯЗГГ i гиа .jJteÄ

___ ______ _

яⁿ

и

ш а:-

Ш

Teräsbetonilaatan lävistyskapasiteetin laskentakaavan geometrinen malli Päivämäärä: 22.08.1997

Osasto: —

Rakennus-ja yhdyskuntatekniikan osasto

Sivumäärä: 147 + liitt. 71 s.

Professuuri:

Talonrakennustekniikka

Koodi: Rak-43

Työn valvoja: Apulaisprofessori Seppo Huovinen

Työn ohjaaja: Diplomi-insinööri Mika Lydman

lEEHrEEEBBEE

taiVu^tVarten--Va miStettllM kymmenen koelaattaa> joissa tutkimuksen kohteena oli teräsbetonUaata^lävistymiseen.11 ™ки,и$ kikk—udomamattoman

Ь^^оЛхЛ

I

Murtovarmuus vaihteli koelaatoilla välillä 1,39 - 1,82 laskettuna

onservatiivinen. Tulosten perusteella normeissa pyöreälle pilarille asetettu rajoitus D _ 3,5d vaikuttaa turhalta. Etäisyydelle 0,5d asetettu kriittinen leikkaus kas purin pituuden arvoa liikaa verrattaessa kahta erikokoista pilaria keskenään vattaa

kopuolelle. Kriittisen leikkauksen sopiva sijainti riippuu lähinnä käytettävästä skentamalhsta. Lavistyskartion kaltevuuskulma vaihteli keskiarvona välillä 32° -

> ,aivut«:™een VaÍkUttaVat aÍnakÍn be,°nin luj№- korkeus

Kodaattojen testauksen yhteydessä suoritettiin lovipalkeilla murtoparametrien hetn? MUrt?ener?H Gp antaa kuVan betonin hauraudesta. Murtoenergialla ja betonm punstusluj uudella on tietty yhteys riippuen suurimmasta raekoosta.

a^ädalävistyskapasileettia^1111^611 РаГате"' ^ mahd°,liSöti

”Г lopUSSa, on esitetty kaksi tapaa määrittää lävistyskapasiteetti:

eri^:npepz:tp=pe„r:L7,alli sekä be,onin ja

AVAINSANAT: Lävistyskapasiteetti, kriittinen leikkaus, lävistyskartion geometria

Author and name of the thesis: Sistonen, Esko

The geometrical model of the calculation formula of the punching shear capacity of the reinforced concrete slab

Date: 22.08.1997

Pages: 147 p.+ app. 71 p.

Faculty:

Faculty of Civil and Environmental Engineering

Professorship:

Structural Engineering and Building Physics

Code: Rak-43

Supervisor: Associate Professor Seppo Huovinen

Instructor: Mika Lydman, M.Sc.

reor 'h Were rebforcerne^^Kl th^effecTof

umn diameter on a slab without shear reinforcement were studied.

The eÉaraeíerisítc safety against failure varied between 1,39 - 1,82. The safety factor ecreases perceptibly as the column size increases. The building code of Finland is all too rigid as to the smaller column sizes. On the basis of the

limitation of the circular column diameter D < 3,5d seems to be critical section, set to 0,5d from the column makes the value of the too large compared with different column sizes.

test results, the unnecessary. A control perimeter The test results

different hmirlin comP^ed with the theoretical results, which were based on the uilding codes and calculation models. The СЕВ-FIP model code CMC 90) grves the besuesu,,. The conto, perimeter in MC 90 is ,coated outside *= S

‘.Sir

i“* the Sla^s’ *e fracture Parameters were measured with test specimens fracture energy GF shows the brittleness of concrete.The fracture energy and the compressive strength of the concrete have

aggrecate size. Hence the fracture strength. With this fracture

were

a connection depending on the maximum energy is a parameter similar to the tensile rgy the punching capacity could possibly be predicted.

ene

At the end of the study two models of punching have been presented: one based rfaCe-a 0fthe Punchm8 cone and the other based on the summatation of the influence of the concrete and that of the flexural reinforcement.

on

KEYWORDS: Punching capacity, critical section, the geometry of the punching

cone

Tämä diplomityö on tehty Teknillisen korkeakoulun Rakennus- ja yhdyskuntatekniikan osastolla talonrakennustekniikan syventymiskohteessa. Työ

projektia: kehittynyt raudoitustekniikka paikallavalurakentamisessa.

tavoitetutkimushankkeessa oli Teknologian edistämiskeskus

rahoittajina Fundía betoniteräkset Oy, Lohja Rudus Oy sekä Polarkudos Oy.

on osa ‘kestävä kivitalo’ - Päärahoittajana (TEKES) ja muina

Työn valvojana oli apulaisprofessori Seppo Huovinen j Mika Lydman. Heille haluan esittää suuren kiitoksen jotka edesauttoivat työn

a ohjaajana diplomi-insinööri saamista opastuksista ja neuvoista, suorittamisen. Fundía Betoniteräkset Oy:n edustajana projektissa toimi Casper Ålander, jota kiitän hyvin sujuneesta yhteistyöstä.

Laboratoriokokeiden laboratoriohenkilökuntaa,

suorittaminen _{ei olisi} onnistunut ilman asiantuntevaa johon kuuluivat yli-insinööri

erikoislaboratoriomestari Pekka Tynnilä sekä

Veli-Antti Hakala, laboratoriotyöteknikot Pertti Alho ja Hannu Kaartinaho. Heitä kiitän kitkattomasti

sujuneesta yhteistyöstä. Kodaattojen ja koekappaleiden valmistamisessa ja valussa apunani toimi laboratorioteknikko M Makkonen, jolle lausun kiitoksen mallikkaasti sui

arkku sujuneesta yhteistyöstä. Makkosen omaan taloon’ olivat osaltaan elävöittämässä ja viljelemät aforismit, kuten ‘hyvä työ

innostamassa työn suorittamisessa.

Espoossa 22.08.1997

Esko Sistonen

SISÄLLYSLUETTELO

TIIVISTELMÄ

ABSTRACT OF THE MASTER’S THESIS ESIPUHE

SISÄLLYSLUETTELO...

MERKINNÄT...

5 8

1 JOHDANTO

11

1.1 Tutkimuksen tausta.

1.2 Tutkimuksen tavoite

11 12

2 PILARILAATAN LASKENTAMENETELMIÄ...

2.1 Lävistysmekanismin teoreettinen tarkastelu...

2.2 Laskentamenetelmiä lävistyskapasiteetin laskemiseksi...

2.2.1 Kriittisen leikkauksen tarkastelu...

2.2.2 Plastisuusteoreettinen ylärajaratkaisu (Bræstrup & Nielsen) 2.2.3 Yksinkertaistettu plastisuusteoria (Jiang & Shen)...

2.2.4 Kinnusen ja Nylanderin laskentamalli...

2.2.5 Shehatan laskentamalli...

2.2.6 Reganin laskentamalli...

2.2.7 Ménetreyn analyyttinen laskentamalli...

2.2.8 Huovisen malli...

2.3 Taivutuskapasiteetin laskenta myötöviivateorialla...

2.3.1 Vapaasti tuettu neliölaatta pyöreällä pilarilla...

2.3.2 Muita laatojen myötöviivakuvioita...

13 13 15 15 16 18 21 25 28 30 34 35 35 38

3 MURTOENERGIA...

3.1 Murtoenergian määrittäminen betonille...

3.2 Kahden parametrin menetelmä...

3.3 Koekappaleen kokoon perustuva menetelmä...

3.4 Murtoenergian ja murtoparametrien välinen yhteys

41 41 44 47 50

6 KOETULOSTEN VERTAILU LASKENNALLISTEN TULOSTEN KANSSA 91 6.1 Lävistyskapasiteetti eri maiden normien mukaan laskettuna

6.1.1 Suomen rakentamismääräyskokoelman osa B4.... . 6.1.2 Eurocode 2...

6.1.3 CEB-FIP:n mallinormi (MC 90)...

6.1.4 ACI 318-89...

6.1.5 BS 8110-85...

6.1.6 DIN 1045...

6.1.7 BBK 94...

6.1.8 NS 3473...

91 91 93 95 98

100 102

105 4 KOEOHJELMA...

4.1 Laatat ja vertailukoekappaleet...

4.2 Materiaalit...

4.2.1 Betoni...

4.2.2 Betoniteräs...

4.3 Laattojen ja vertailukoekappaleiden valmistus ja säilytys 4.4 Kokeiden suoritus...

4.4.1 Laatojen tuenta, kuormitus-ja mittausjärjestelyt 4.4.2 Laattojen koestuksen kulku...

4.4.3 Murtoenergian mittaaminen...

4.4.4 Vetolujuuden mittaaminen betonista...

5 KOETULOKSET

5.1 Koelaattojen murtokuormat...

5.2 Koelaattojen lävistyskartiot...

5.3 Koelaattojen taipumat...

5.4 Koelaattojen tukien painumat...

5.5 Koelaattojen nurkkien nousu...

5.6 Lävistyskartion erkanema laatasta 5.7 Murtoenergia...

5.8 Betonin vetolujuus...

UI

O N O N C x lV ll V lV lV lV lL Z l 0 4 U )U )4 0 4 0 0 ^ V )U > U )

7 LÄVIST Y SKAP ASITEETIN LASKENTAKAAVAN MALLINNUS 7.1 SrMK B4:n lävistyskaavan kehitysmahdollisuudet...

7.2 Lävistymiseen vaikuttavat parametrit...

7.3 Lävistyskartion pinta-alaan perustuva mallinnus...

7.4 Lävistyskapasiteettin mallintaminen superponoimalla...

8 YHTEENVETO JA LOPPUPÄÄTELMÄT 140

KIRJALLISUUSLUETTELO 144

LIITTEET

Liite 1 Koelaattojen mitta-ja raudoituspiirustukset

Koelaattojen voima-taipuma-kuvaaj at pilarin reunassa Koelaattojen taipumaviivat

Koelaattojen tukien painumat Koelaattojen nurkkien nousu

Valokuvat koelaattojen alapinnoista lävistymisen ja purkamisen jälkeen Valokuvat koelaattojen lävistyskartioista

Piirustukset lävistyskartioista ristilinjoilta 5-6 ja 7-8

Lovipalkkien voima-taipuma-ja voima-raon levenemä-kuvaajat Liite 10: Tuloksia muista lävistystutkimuksista

Liite 2 Liite 3 Liite 4 Liite 5 Liite 6 Liite 7 Liite 8 Liite 9:

6.2 Taivutuskapasiteetti...

6.3 Laskennallisten tulosten vertailu

107 111

UJUJK)К)Ы OsU)4^

A A|ig

^sx AS>

A'sx A'sy

Au В c

Cu

CMOD CTODc D D_max E

Ec Es

F G,

gf

G_FO HO

к

KL L P Pu

P

1 u.koe

pinta-ala (m2)

lovipalkin murtumisvyöhykkeen projektiopinta-ala (mm2) taivutusraudoituksen pinta-ala x-suunnassa (mm2)

taivutusraudoituksen pinta-ala у-suunnassa (mm2) puristusraudoituksen pinta-ala x-suunnassa (mm2) puristusraudoituksen pinta-ala у-suunnassa (mm2) kriittisen leikkauksen pinta-ala (mm2)

pilarin halkaisija/ sivun pituus (mm) kulmakerroin (m/N)

kulmakerroin (m/N) raon levenemä (mm)

krriitinen särön kärjen avauma (mm) pilarin halkaisija (mm)

suurin raekoko (mm) kimmokerroin (N/mm2)

betonin kimmokerroin (N/mm2) teräksen kimmokerroin (N/mm2) voima, kuorma (kN)

murtoenergia (N/m) murtoenergia (N/m)

murtoenergian perusarvo (Nmm/mm2) pidikeanturin korkeus (mm)

kerroin

kriittinen jännitysintensiteetti tekijä (PaVrñ) laatan jänneväli, palkin pituus (mm)

pistekuorma (kN) murtokuorma (kN)

murtokuorman koetulos (kN) palkin jänneväli (mm)

lävistyskapasiteetin laskenta-arvo (kN) MERKINNÄT

"uC/D

>

Vck

w w

ac ao

b b0 c

C0 Cf

d dx dy e f=

f1CC

f_cck f_1ccm f_ck f_cm fet f1ctm

^cfspf fАит fv f,yk f.ym h

lävistyskapasiteetin ominaisarvo (kN) paino (N)

absorboitunut energia (Nm)

kriittinen tehollinen särön pituus (mm) loven korkeus (mm)

poikkileikkauksen leveys (mm)

kriittisen leikkauksen piiri (ACI 318-89) (mm) raudoitusta suoj aavan betonipeitteen paksuus (mm)

lävistyskartion murtokohdan etäisyys pilarin keskeltä (mm) pysyvä halkeaman pituus (mm)

poikkileikkauksen tehollinen korkeus (mm)

poikkileikkauksen tehollinen korkeus x-suunnassa (mm) poikkileikkauksen tehollinen korkeus у-suunnassa (mm) lävistysvoiman epäkeskisyys (mm)

betonin kuutiopuristusluj uus (MPa) betonin lieriöpuristuslujuus (MPa)

betonin lieriöpuristuslujuuden ominaisarvo (MPa) betonin lieriöpuristuslujuuden keskiarvo (MPa) betonin kuutiopuristusluj uuden ominaisarvo (MPa) betonin kuutiopuristusluj uuden keskiarvo (MPa) betonin vetolujuus (MPa)

betonin vetolujuuden keskiarvo (MPa) betonin halkaisuvetolujuus (MPa)

betoniteräksen murtoluj uuden keskiarvo (MPa) Lävistyslujuus (MPa)

betoniteräksen myötöluj uuden ominaisarvo (MPa) betoniteräksen myötöluj uuden keskiarvo (MPa) laatan paksuus (mm)

paksuustekijä, kerroin karakteristinen pituus (mm) massa (kg)

positiivinen myötömomentti (kNm/m)

33

a ^

näytteiden lukumäärä, suhde jännityksen keskittymistekijä

säde (mm)

kriittisen leikkauksen piiri (mm) tuen tai kuorman piiri (mm) puristusvyöhykkeen korkeus (mm)

tehollinen puristusvyöhykkeen korkeus (mm) sisäinen momenttivarsi (mm)

kerroin, suhde, kulma

kuormituksen epäkeskisyyden huomioiva kerroin, suhde tehokkuskerroin

taipuma lovipalkin lopullisessa murtumisessa (mm) kulma, tangon halkaisija

epäkeskisyystekijä (BBK 94) kulma (rad)

paksuustekijä

empiirinen kerroin (Bazant)

lävistysluj uuden ominaisarvo (EC2) (MPa) suhteellinen teräspinta-ala (%o)

betonin tiheys (kg/m3)

suhteellinen teräspinta-ala x-suunnassa (%0) suhteellinen teräspinta-ala у-suunnassa (%0) normaal(jännitys (MPa)

leikkauslujuus (MPa)

leikkauslujuuden perusarvo (MPa)

lävistysluj uuden laskenta-arvo (MC 90) (MPa) lävistysluj uuden ominaisarvo (MC 90) (MPa) kerroin, paksuustekijä

kerroin

tangon halkaisija (mm)

jakoväli (sama x-ja y-suuntaan)

> .N

У г- е

c

^

1 JOHDANTO

1.1 Tutkimuksen tausta

Teknillisen korkeakoulun talonrakennustekniikan osastolla on meneillään ‘kestävä kivitalo -tavoitetutkimushanke. Tämä diplomityö on osa tutkimustyön alla olevaa projektia käsitellen leikkausraudoittamattoman teräsbetonilaatan lävistymistä.

Tutkimuksen taustalla on suurehko leikkausraudoittamattomien ristiinraudoitettujen pilarilaattojen lävistyskapasiteetin laskentakaavan antamien arvojen välillä esimerkiksi

ero

Suomen rakentamismääräyskokoelman osan B4 ja Eurocode 2:n kesken.

Nykyiset eri normien laskentamenetelmät perustuvat pilarin

etäisyydelle sijoitetun kriittisen leikkauksen rajoittaman piirin ja lävistyslujuuden avulla lasketun lävistyskapasiteetin määrittämiseen. Lävistysmurrossa syntyvän tavallisesti likimain katkaistun kartion muotoisen laatan osan kaltevuuskulma vaakatasoon nähden vaihtelee riippuen tarkastelupisteestä siten, että laatan vedetyllä puolella kulma loivempi. Lävistyskartion kaltevuus jyrkkenee pilarin reunaa lähestyttäessä.

reunasta tietylle

on

Vertailtaessa kriittisen leikkauksen lähestymistapaa lävistyskartion

geometriaan, havaitaan sillä olevan hyvin vähän tekemistä varsinaisen lävistymisen kanssa. Käytössä olevat normit ovat kuitenkin käyttökelpoisia riippuen siitä, miten hyvin ne on aiemmin suoritettujen koetulosten avulla sovitettu käyttäen

varmuusmarginaalia ominaisarvoina määritettynä.

todelliseen

riittävää

1.2 Tutkimuksen tavoite

Tämän tutkimuksen tavoitteena on suurten paikallisten rasitusten alaisena olevan leikkausraudoittamattoman teräsbetonilaatan läpileikkautumiskestävyyden mitoitus, eri laskentamenetelmien vertailu ja rakenteen todelliseen toimintaan perustuvan mitoitusmenetelmän kehitys.

Tehdyn koelaattasarjan avulla on tavoitteena selvittää

poikkileikkauksen sijainti laskentamallissa. Koetuloksia verrataan eri normeihin ja muihin laskentamenetelmiin. Tutkimuksessa tutkittavina muuttujina ovat pilarin halkaisija ja taivutusteräsmäärä, joiden avulla pyritään havainnoimaan niiden vaikutusta lävistymiseen.

sopivan kriittisen

Muualla tehtyihin lävistystutkimuksiin on liitetty murtoenergia yhtenä mahdollisena parametrina kuvaamaan lävistysilmiötä. Koelaattojen koestuksen yhteydessä suoritetaan murtoenergiamittaukset erillisistä lovipalkeista. Koetulosten ja aiemmin suoritettujen tulosten avulla pyritään selvittämään, kuinka murtoenergiaa voitaisiin käyttää yhtenä parametrina lävistyskapasiteetin laskentakaavan mallintamisessa.

2 PILARILAATAN LASKENTAMENETELMIÄ

2.1 Lävistysmekanismin teoreettinen tarkastelu

Pilarilaatoissa paikallinen leikkausmurto tapahtuu pilarin ja leikkaushalkeaman ympäröimän kartiomaisen laatan osan leikkautuessa äkillisesti laatan läpi (kuva 2.1).

Sisäinen vinohalkeama syntyy laattaan yleensä, kun murtokuormasta on saavutettu noin 60%. Halkeama etenee kuorman kasvaessa kohti laatan puristettua pintaa eli pilarilaatan tapauksessa laatan alapintaa1. Laatoilla, joilla taivutuskapasiteetti on huomattavasti suurempi kuin lävistyskapasiteetti, vinohalkeama syntyy vasta aivan ennen laatan äkillistä murtumista.

--- V—

S _$

shear supported b y_ _

inclined radial com pressi îi cracking betöre I ai ly re cracking at failure

-*vr

Kuva 2.1 Pilarilaatan läpileikkautumien.

Laatan vedetyllä piimällä syntyneitä sisäisiä halkeamia ei voida havaita, sillä ne eivät ole erotettavissa syntyneistä taivutushalkeamista. Neliöpilarisilla suorakaidelaatoilla radiaalisen puristuman on havaittu olevan suurimmillaan pilarin reunassa, mutta vähenevän hyvin voimakkaasti säteittäisen etäisyyden kasvaessa. Pyöreäpilarisilla ympyrälaatoilla tangentiaalinen puristuma näyttää aina olevan suurempi radiaalista, joka pilarin reunassa pienenee ennen murtoa, joskus puristuman muuttuessa jopa vedoksi.

Lävistymisen tapahtuessa laatan puristuspuolella tavallisesti ainoa vaurio on reikä pilarin tai pistekuorman kohdalla. Murrossa laatasta irtoavan kartion sisäisen

Shehata, I. A. & Regan, P. E. Punching in R.C. Slabs, s. 1726 - 1728.

kaltevuuskulman on havaittu olevan 30o-35°. Lävistyminen voi tapahtua jykemmälläkin vinohalkeaman kulmalla ilman huomattavaa lisäystä murtokuormassa. Lävistyskartion leikkaushalkeamat laatan vedetyllä puolella sijaitsevat yleensä n. l,0-l,5d:n etäisyydellä pilarin

taivutusraudoituksesta.

Etäisyys voi olla suurempikin riippuen

reunasta. esimerkiksi

Lävistysmurron jälkeen laatan kuormitettavuus on n. 20% murtokuormasta ja lävistyskartion ulkopuolella taivutusteräkset repivät laatan pintabetonia irti. Kuvasta 2.2 ilmenee laatan käyttäytyminen lävistymisen jälkeen1.

Z У/.

Ш/.

■¿tø- (b)

2 (al

V//////A

E

E

(di

Kuva 2.2 Pilarilaatta läpileikkautumisen jälkeen.

Kuva 2.2a vastaa tilannetta, jossa puristusteräksiä ei mene pilarin läpi. Tällöin yläpi suojabetonikerros repeytyy irti vaamavaikutuksesta. Kuvat 2.2b ja 2.2c ilmentävät puristusraudoituksen rakennetta jäykistävää vaikutusta. Kuva 2.2d kuvastaa laatan käyttäytymistä suurilla muodonmuutoksilla lävistymisen jälkeen. Puristusraudoituksen on todettu vaikuttavan laatan murtokuormaan vähän tai ei ollenkaan, sillä alapinnan teräkset alkavat kantaa kuormaa vasta lävistymisen tapahduttua. Sen sijaan

puristustangot voivat toimia.

innan

vaarnoina

Regan, P. E. & Bræstrup, M. W. Punching Shear in Reinforced Concrete, s. 210 - 211.

2.2 Laskentamenetelmiä lävistyskapasiteetin laskemiseksi

2.2.1 Kriittisen leikkauksen tarkastelu

Useimpien maiden betoninormeissa ilman

teräsbetonilaattojen lävistyskapasiteetti tapauksessa, jossa pilari sijaitsee kaukana nurkista ja reunoista perustuu kaavaan (2.1)1.

leikkausraudoitusta olevien

vd =t-u-Td.

(2.1) Kaavassa Vd on lävistyskapasiteetin suunnitteluarvo,

yleensä tehollinen korkeus,

etäisyydellä kuormitusalueen tai pilarin xd on

t on laatan paksuuden suuruus, u kriittisen leikkauksen piirin pituus, yleensä tietyllä reunasta. Leikkausjännityksen suunnitteluarvo yleensä betonin puristusluj uuden funktio, jossa on otettu huomioon lävistymiseen vaikuttavia tekijöitä, kuten raudoituksen määrä ja laatan paksuus.

control surface

V

I

> II

t

I

Kuva 2.3 Kriitisen leikkauksen periaate.

Kuormitusalueen ollessa pyöreä edellinen kaava voidaan kirjoi«

aa muotoon

Vd=t-7r(B + 2ßt)xd.

(

2

2

Comité Euro-Intemational du Béton. Ultimate Limit State Design Models, s. 233 -234.

Kaavassa В on pilarin halkaisija ja ß tekijä, joka on riippuvainen kriittisen leikkauksen piirin etäisyydestä kuormitusalueen reunasta. Kuvaan 2.3 perustuva yllä oleva kaava täysin empiirinen: lävistysilmiö ei ole lainkaan verrannollinen kuormitetun alueen ympärillä olevan lieriömäisen tarkasteltavan pinnan leikkausjännitykseen. Tästä huolimatta ratkaisua pidetään lävistyskapasiteetin laskennassa teoreettisena pohjana, sillä käytettyjen parametrien, suunnittelulujuuden xd ja tekijän ß, valinta perustuu koetuloksiin. Menetelmä on kuitenkin yksinkertainen ja parametrien oikealla valinnalla johtaa kohtuullisen tarkkoihin arvoihin murtokuormasta.

on

CEB-FIP:n betonirakenteiden mallinormin (1978) lävistyskaava1 on pohjana Suomen betoninormien lävistyskaavalle. Sen mukaan lävistyskapasiteetti

muotoon

voidaan saattaa

X =к(1 + 50р)1,6-тм -u-d к = 1,6 — d > 1.0,

TRd = suunnittelulävistyslujuus (MPa).

(2.3) jossa

Mallmormissa betonin suunnitteluleikkausluj uuden oletetaan olevan 25% betonin suunnitteluvetolujuudesta. Samaa betonin vetolujuutta käytettäessä päästään Suomen betoninormien kaavassa samaan lopputulokseen kuin vanhemmassa mallinormissa. Eri normien kriittiseen leikkaukseen perustuvia lävistyskaavoja käsitellään kuudennessa luvussa.

2.2.2 Plastisuusteoreettinen ylärajaratkaisu (Bræstrup & Nielsen)

Lävistysluj uus betonille voidaan laskea plastisuusteorian avulla2.

Betoni oletetaan jäykäksi, täysin plastiseksi materiaaliksi. Murron oletetaan keskittyvän rotationaalisesti

alkaen kuormitusalueen reunasta ja jatkuen aina laatan toiselle puolelle asti. Betoni murtopinnassa tasojännitystilassa ja sen oletetaan noudattavan modifioitua Coulombin murtokriteeriä (kuva 2.4).

on

Comité Euro-Intemational du Béton. СЕВ-FIP Model Code 1978 for Concrete Structures, s. 131 - 137.

Bræstrup, M. W. Axisymmetric Punching of Plain and Reinforced Concrete, s. 4 - 20.

Ф/4 т

Jf

£

// /

/

/ lCn

v-

fc f

Kuva 2.4 Modifioitu Coulombin murtokriteeri.

Ylärajaratkaisu lävistävälle voimalle saadaan

asettamalla tehty ulkoinen työ yhtä suureksi sisäisen työn dissipation kanssa. Murtopinnan muoto optimoidaan siten, se minimoi ylärajaratkaisua. Betonin jäykkäplastinen konstitutiivinen malli kuvataan

että kolmella materiaaliparametrilla: sisäinen kitkakulma

Ф (betonille 37°), betonin vetolujuus ft ja puristusluj uus fc.

Optimaalinen murtopinta on löydettävissä iteraatiolaskennalla. Ylärajan mukaista ratkaisua ei voida esittää

Kuitenkin yksinkertaisella numeerisella laskennalla

suoraan, sillä se on löydettävissä vain iteroinnin kautta.

voidaan murtokuormakäyrästö esittää geometnsten parametrien ja materiaaliparametrien funktiona. Likimääräinen ratkaisu lävistykapasiteetin kaavalle voidaan esittää olettamalla

murtopinta katkaistuksi Tämä johtaa kartioksi, joka on laatan tasoon nähden kulmassa

ylärajaratkaisuun

a < л /2-ф.i

Vd = h-7t(B + hcota)Td

(2.4a)

(2.4b)

24 ™S0trUP M' W- Punching ofReinforced Concrete Slabs: Code Rules, Plastic Analysis, Test Results, s.

^¡L = l К. V

C к f' ⁼ 1

t c /

К — — l^m + 2(l - Vm+T)J

m_f;_

m —r =--- , f. v,

f, = betonin tehollinen vetolujuus (MPa) v„f_CC

jossa

(2.6a)

(2.6b) (2.6c)

2 Bræstrup M. W. Ten Lectures on Concrete Plasticity, s. 137 - 138.

Jiang, D-H. & Shen, J-H. Strength of Concrete Slabs in Punching Shear, s. 2578 - 2591.

Kaavassa K on kerroin, joka on saatu koetulosten perusteella. Tehokkuuskertoimeksi koetulosten ja teorian välillä on empiirisesti määritetty1

_ 4,22

Y"vr

Kaavan avulla huomataan, että yfc = 4,22^. Täten kaavan kerroin K=4,22.

Tehokkuuskerroin on otettu käyttöön, jotta plastisuusteorian mukaiset murtokuormat vastaisivat koetuloksia. Malli ottaa huomioon vain betonin vaikutuksen. Vertailtaessa kriittisen leikkauksen mukaista lävistyskaavaa plastisuusteoreettiseen likiratkaisuun huomataan, että lävistyksen kriittinen leikkaus tarkastelu

ylärajaratkaisua. Täten normeissa olevilla kriittiseen leikkaukseen

vastaa plastisuusteoreettista perustuvilla lävistyskapasiteetin laskentakaavoilla voidaan sanoa olevan teoreettinen perusta, vaikka ne suurilta osin perustuvatkin testituloksiin.

2.2.3 Yksinkertaistettu plastisuusteoria (Jiang & Shen)

Jiang ja Shen ovat Bræstrupin avustuksella kehittäneet paremmin käytännön suunnittelutyöhön soveltuvan plastisuusteoreettisen ylärajaratkaisun yksinkertaisemman mallin2. Teoriassa käytetään modifioitua Coulomb-Mohrin parabolista murtokriteeriä (kuva 2.5). Paraabelin yhtälön muodossa oleva myötöehto voidaan kirjoittaaa leikkausjännityksen Tnt ja normaalijännityksen an avulla

4^“

fc = betonin tehollinen puristuslujuus (MPa) vt = tehokkuuskerroin puristukselle

vc = tehokkuuskerroin vedolle

ft = kokeessa mitattu betonin vetolujuus (MPa) fc = kokeessa mitattu betonin puristuslujuus (MPa).

Modified Coulomb

Tnt

Eq. 1 М(<г„.Т% *

N

ft

Kuva 2.5 Coulomb-Mohrin parabolinen murtokriteeri.

Jännitysten kohtisuoruusehdosta seuraa:

tana = 2K—f (2.7a)

Tn,

an = (1 - Keot2 a) f, tnt = 2K cot a f¡.

(2.7b) (2.7c) Ylärajaratkaisun löytämiseksi oletetaan kuvan 2.6 mukainen

murtomekanismi, jossa osassa III osien I ja II murtopintaan käytetty sisäinen energia yhtä suureksi ulkoisen kuorman tekemän työn kanssa, voidaan lävistyskapasiteetti

lävistyskartio siirtyy siten, että muodonmuutoksia tapahtuu vain ollessa täysin jäykkiä. Merkitsemällä

saattaa muotoon

P - ft

J(l

2

8

A

P

Г Г

Ш

II II

n I t lu

1

%

/Z x

Kuva 2.6 Murtomekanismi.

Merkitsemällä murtopinnan sädettä funktiolla r = r(x) ja käyttämällä iteraatiolaskentaa hyväksi, löydetään pienin ylärajaratkaisu, joka voidaan esittää muodossa

[ df d2+ 2K-h2 ' 4 4 In d, - In d

?=nf.ⁱ (2.9a)

i

df = d + 2htana. (2.9b)

Kaavan merkinnät selviävät kuvasta 2.7.

Г

h a

i X i

d1 D

Kuva 2.7 Yksinkertaistettu murtopinta ja käytetyt muuttujat.

s

(2.11)

Ratkaisuksi saadaan reaalinen juuri

h f d2 h d2

a = arccot 3 — 1 + J1- + 3 — 1-J1- (

2

12

Kd Kd 27Kh2

Saatu murtokuorman arvo tulee kertoa aiemmin esitetyllä tehokkuuskertoimella y, jotta saataisiin mahdollisimman hyvin

lävistyskapasiteetille.

koetulosta vastaava teoreettinen tulos

2.2.4 Kinnusen ja Nylanderin laskentamalli

Seuraavassa on esitetty Kinnusen ja Nylanderin teorian1 yksinkertaistettu malli2.

Lähtökohtana siinä on radiaalisilla halkeamilla erotettujen jäykkien laattasuikaleiden malli kuvan 2.8 mukaisesti. Malli pohjautuu pyöreäpilarisille ympyrälaatoille tehtyihin kokeisiin. Kuormitetun alueen leveys määritetään

В n (2.13)

b = pilarin sivun pituus.

jossa

‘ Kinnunen, S. & Nylander, H. Punching of Concrete Slabs without Shear Reinforcement, s. 70 - 87.

Nylander, H. & Kinnunen, S. Genomstansning av betongplatta vid innerpelare. s. 1 - 14.

Murtokuorman ratkaisun yksinkertaistamiseksi oletetaan murtopinta suoraksi, jolloin r = d/2 + xtancc. Sijoittamalla tämä murtokuorman yhtälöön (2.9) saadaan ratkaisuksi

id ^ P = rcfc (tana + Kcota) — + tana h2

vh J ⁽

2

10

Murtokuorman raja-arvo löydetään derivoimalla P kulman a suhteen ja merkitsemällä nollaksi, jolloin saadaan

o

iR

оП

* 1

Öoo

- ^

Tr

F=T, n 4(8*11)

\

Cl lí

f¥

Kuva 2.8 Kinnusen ja Nylanderin malli: merkinnät.

Pyöreän pilarin tapauksessa kuormitetun alueen leveys on yhtä suuri kuin pilarin halkaisija. Arvolla В

lävistyslujuus määritetään

raja B/d<3,5. Leikkausraudoittamattomille laatoille on

fvl =0,6^ a-f^{vl,id *} (2.14)

Lujuusparametria fvl verrataan ominaisleikkausluj uuteen kaavalla

T F

(2-15)

v.nom

7t-d(B + d) ’

Laskentamenetelmä perustuu täten kriittiseen leikkaukseen: pilarista etäisyydellä 0,5d olevasta leikkauksesta lasketaan tehollisella korkeudella ja lyhyimmän mahdollisen purin pituudella kerrottu lieriön muotoisen alueen pinta-ala. Laatan paksuuden huomioiva kerroin riippuu tehollisesta korkeudesta seuraavasti:

5=1,4

5=1,6-d

5=i,o

, kun d < 0,2 m

, kun 0,2 < d < 0,6 (m) , kun d > 0,6 m.

(2.16a) (2.16b) (2.16c)

äh,

K>

MMo

E5

■a-k

X

»

/

(2.17)

Kaavassa z on poikkileikkauksen sisäinen momenttivarsi geometrisella raudoitussuhteella p. Jos B/c>0.3, on kaavaan (2.17) korvattava termi B/c luvulla 0.3.

Suhde z/d määritetään

z _ 3 + 200kp

d ~ З + ЗООкр’ (2.18)

jossa kerroin k määritetään betonin lieriöpuristuslujuuden fcc ja teräksen myötölujuuden fst avulla seuraavasti:

k = 1 (2.19)

0,57 + 0,43- — 13

400 4

Säde rs määntetään rajaksi, jossa taivutusraudoitus saavuttaa myötörajan. Alueen ulkopuolella taivutus on luonteeltaan kimmoisessa tilassa. Kuvan 2.8 mukaisesti myötääminen tapahtuu koko raudoitetulla alueella, kun rs > c/2. Tällöin murto on luonteeltaan taivutusta. Menetelmä antaa täten jatkuvan riippuvuuden lävistymisen ja taivutusmurron välille. Säde rs lasketaan kaavasta (2.20)

380 K,-d.

rs = (

2

20

4

Kaavan kerroin K[ on laskettavissa suhteen B/d ja tekijän lOOkp funktiona seuraavasti:

Ideaalinen läpileikkautumislujuus fvi ¡d määritetään ominaisleikkauslujuudeksi, joka vastaa tilannetta, jossa kaikki raudoitus momentin nollakohtien välisellä alueella myötää. Vapaasti tuetuilla laatoilla momentin nollakohtien väli c voidaan merkitä yhtäsuureksi kuin laatan jänneväli L. Ideaalinen luj uusparametri lasketaan seuraavasti :

D-IN

оI03

IЙч-i Q.CQI-otN+

k

^ J 3,8 + 0,4 -• 1

B lOOkp

К, = ■К2; lOOkp<1 (2.21а)

100kp + - В К2 = 1

к2 = 0,7+ 0,15 B/d

, kun B/d < 2 , kun B/d > 2

3,8 + 0,4-

K, = B •K2; lOOkp>1 (2.21b)

100kp + - B K2= 1

K2 = 0,7+ 0,15 B/d

, kun B/d < 2 , kun B/d > 2.

Lavistyskartion vedetyllä puolella olevan murtokohdan etäisyys pilarin keskeltä merkitään pituudella c0 ja se lasketaan kaavasta

-•- + 1,8 d.2 d1 В (2.22)

Kaavan (2.14) reduktiokerroin a määritetään

ot = 2— 1 + Ini ———

l2rs , kun c0 < rs < c/2 (2.23a) c

a = 2— 1 + ln — , kun rs < c0 (2.23b)

ч2со j c

a = 1 , kun rs > c/2 (2.23c)

Kaavojen (2.14) ja (2.15) mukaisesti rajakuorma on laskettavissa

pu =fv, -u, -d. (2.24)

Kaavassa U! on kriittisen leikkauksen piiri etäisyydellä 0,5d pilarin reunasta.

(d-д-)

(Ь)

~N "'Г

P

d^r. _О •*- Дф Т

Z d

1— d/4

*1 /^{С\ I "}

d^=r

(c)

Kuva 2.9 Lävistysmurtomalli: kuormitusalue ja vaikuttavat voimat.

I S-!!Îat!;!' A‘ Simplified Model for Estimating the Punching Resistance of Reinforced Concrete Slabs S. JÒ4 -371.

2.2.5 Shehatan laskentamalli

Tässä esitettävä menetelmä pohjautuu Kinnusen ja Nylanderin alkuperäiseen laskentamalliin. Sen ovat esittäneet Shehata1 ja Regan. Vapaasti tuettu ympyrälaatta jaettu jäykkiin säteittäisiin lohkoihin, jotka ovat kiertyneet kiertokeskuksen CR ja ovat asettautuneet pilarin kylkeen neutraaliakselin tasolle.

on ympäri

1 Í

ro Detail A

(a)

m

-e-|t=<KMÌ)

у

!u* ft1

J

k'’1

CLV

Jäykkien lohkojen mallintamisen idea on esitetty kuvassa 2.9, jossa on myös vaikuttavat voimat. Kokeiden avulla on määritetty leikkautuvan murtopinnan kaltevuuskulmaksi likimäärin 20° vaakatasoon nähden, kun on saavutettu n. 50-70% murtokuormasta.

Säteittäisen lohkon keskuskulmaksi merkitään Дф. Lohkoa kuormittaa ulkoinen kuorma Р(Дф/2л) säteellä Taivutusraudoituksen komponentti Р5(Дф on laatan muodonmuutoksista johtuen säteittäinen, kuten myös puristava voimakomponentti Рс[Дф. Betonin kantavaa voimaa merkitään dFcr ja radiaalista voimaa teräksessä dFsr, kun se kohtaa lävistyspinnan. Voimakomponentti dFct osoittaa lohkoa vastaan kohtisuoran kuorman betonissa. Lävistyksessä tapahtuvaa muutosta vetoraudoituksen

r=rp.

asemassa eli vaamavaikutusta merkitään dD. Teräsbetonilaatoissa muodonmuutosten takia teräksissä olevat voimat kasvavat mitättömästi, joten komponentit Fst, dFsr ja dD voidaan olettaa olevan merkityksettömiä.

Voimien tasapainoehdosta tangentin suunnassa seuraa, että komponenttien dFst ja dFct välillä vallitsee yhteys

Р5,Дф = FcAt>- (2.25)

Siirtämällä ulkoisen kuorman Р(Дф/2л) vaikuttamaan kuvan 2.9c mukaiseen pisteeseen o saadaan radiaaliseksi momentiksi mr tasapainoehdon mukaisesti

mr = Р5,Дфг = Рс,Дфг, (2.26)

Kaavassa z on poikkileikkauksen sisäinen momentti varsi. Voimien tasapainoyhtälöistä vertikaalisessa ja horisontaalisessa suunnassa säteen suuntaisessa tasossa seuraa

dFcr -sinlO0, (2.27a)

dFsr =dFCr-coslO°, dFcr =dAc10

dFsr = P, • rw • Дф ■ da

(2.27b) (2.27c) (2.27d)

b>

sr >

P = 2тт • r0 • x ■ nc • f • Ç • tan 10o (2.32) (2.33)

dAc = r0 • Дф x (2.27e)

coslO0 J’

öb=nc-fc. (2.27f)

Kaavaryhmässä x on neutraaliakselin etäisyys laatan puristetun puolen pinnalta, r0 pilarin säde, d laatan tehollinen korkeus, nc jännityksen keskittymistekijä sekä pr radiaalinen raudoitussuhde, joka on yhdenvertainen normaalissa käytössä olevien raudoitusverkkojen antamien geometristen raudoitussuhteiden arvojen kanssa.

Neutraaliakselin korkeudeksi ehdotetaan käytettäväksi

x = 0,8d(npe)1/2 ^\l/2

<. ^CC (2^.28⁾

fy

Pe =P —^ (2.29)

4500

n = —E (2.30)

Ее’

Kaavassa fcc on betonin lieriöpuristuslujuus ja pe teräksen myötölujuutta vastaava raudoitussuhde laskettuna ominaislujuuden 500 MPa avulla. Teräksen kimmokertoimen Es ja betonin kimmomoduulin Ec suhde määrittää termin n. Jännityksen keskittymistekijä nc on empiiristen kokeiden pohjalta määrätty likimääräisenä funktiona

nc =1,4—| ,y/2 >1,25.

(2.31) lr0

Asetettu raja 1,25 approksimoi suuren pilarin lähellä paksuissa laatoissa olevaa jännitystilaa. Sijoittamalla yhtälöön (2.27) voimakomponentti dFcr ja ottamalla

huomioon laatan paksuuden vaikutus kertoimella Ç saadaan lävistyskapasiteetiksi

S

o o

ifrt

Kaavan neutraaliakselin korkeus voidaan tarkempien arvojen puuttuessa arvioida x * 0,8d(np)1/2. Saatu laskentamalli lävistykselle soveltuu hyvin käytännön suunnittelutyöhön sen selkeyden ansiosta.

2.2.6 Reganin laskentamalli

Regan esittää lävistyskapasiteetille riippuvuuden murtopinnan geometriaan p i Sen mukaan ominais] ännitys on yhtä suuri kuin vaikuttava keskeinen k katkaistun kartion tai

kuvan 2.10 mukaista mallia.

erustuen.

uorma jaettuna pyramidin pinta-alalla, kun peruskaltevuuskulmana 0 käytetään

émè,

i

% ^ji #

>

Kuva 2.10 Murtopinnat ominaisjännityksen laskemiseksi.

Irtileikkautuvan katkaistun kartion kaltevalla pinnalla vallitseva jännity

s a lasketaan kaavalla

P ______ __ _____________P-sin6P

A K.hV(ÏW^)(B + h.cote) 7T-h(B + h-cot0) '

G = ^—

(2.34)

Kaavassa h on laatan paksuus ja В kuormitetun alueen leveys. Jännitystä murtolujuuteen cru, joka määritetään seuraavasti:

verrataan

Ôu=0,134s3/ÏÔÔH^.

(2.35)

Regan, P. E. The Depence of Punching Resistance upon the Geometiy of the Failure Surface

. s. 3 - 8.

--- 0,45 %; d=175 mm --- 0,65 %; d=173 mm - - - • 1,19 %; d=169 mm

2,38 %; d=169 mm --- 1,19 %; d=119 mm

0 = arctan 0,13 0,175

ю

20 30 40 50 60 70 80

Puristuslujuus (MPa)

Kuva 2.11

Lävistyskartion kaltevuuskulman riippuvuus puristusluiuudesta.

40 45 50

2/3

(2.38) Kaavassa p on suhteellinen teräspinta-ala ja fcu kuutiopuristuslujuus. Laatan paksuuden

uomtotva kerro,n on määritetty tehollisen korkeuden d (yksikkönä [mm])

avulla

Çs=il­

ei ' _(2.36)

Regan on kokeellisesti määrittänyt yhteyden murtolujuuden

kaltevuuskulman 0 välille au> ja lävistyskartion

seuraavasti:

öu = 0,175tan3/26.

(fj2/3 (2.37)

Sijoittamalla kaava (2.35) kaa

(2.37) saadaan kulmalle 0 lauseke vaan

i

/:/

CO СЛoro enoUi

Kaltevuuskulma ClOO rh

V ::,r ^

sy

-v X

S ./

k4> : вЩ ' '2

Kuva 2.12 Betonin lävistyslujuus ja merkinnät.

Ménetrey, P. Analytical Computation of the Punching Strength of Reinforced Concrete, s. 503 - 511.

Y._X

A4.A

a

Lävistyskartion kaltevuuskulma on täten verrannollinen laatan paksuuteen taivutusraudoituksesta ja betonin puristuslujuudesta. Kuvassa 2.11 on esitetty viisi esimerkkitapausta kaavaan (2.38) parametrien vaikutuksesta kulmaan 0. Sijoittamalla kaava (2.37) lausekkeeseen (2.34) voidaan lävistyskapasiteetti lausua muodossa

Pu = 0,175fc2u/3 • tan3/2 0 • ^ti• h^l + cofe^B + h • cot 0). (2.39)

Tapauksessa, jossa kuormiob ja tuenta eivät sovellu kulman 0 määrittämiseen, voidaan olettaa murtopinnan syntyvän siihen kohtaan, jossa pienin rajakuorma saavutetaan eli silloin kun <ЭРц / <90 = 0. Saatu lävistyskapasiteetin lauseke on verrannollinen puristusluj uuteen (Pu «:fc2u/3), pilarin halkaisijaan, laatan paksuuteen ja lävistyskartion kaltevuuskulmaan 0.

2.2.7 Ménetreyn analyyttinen laskentamalli

Ménetrey esittää lävistyskartion geometriaan ja koetulosten analyyttiseen mallintamiseen perustuvan lähestymistavan lävistyskapasiteetin laskemiseksi. Mallissa superponoidaan eri tekijöiden vaikutus murtokuorman määrittämiseksi. Kuvassa 2.12 on periaatekuva betonin ottaman lävistyslujuuden laskemiseksi.

h

...•>

0,35 + 0,46p-0,lp2, p<2%

, P >2%

0,87 (2.44)

B=,omn lävstyslujuus määritetään integroimalla murtopinnan yli veriikaaHnen vetojanmtys a,. Katkaisnm kartion muotoisen murtopinnan määrittää säteiden r, ja r2 valun jäävä tehollisena toimiva alue. Säde r, lasketaan pilarin säteen r, ja tehollisen korkeuden d avulla kaltevuuskulman ollessa a seuraavasti:

r, =rs+---.1 d

10 tana ^(2.40)

Kartion kaltevuuskulmaksi on valittu Eurocode 2:n

OU 1/10 laatan tehollisesti korkeudesta. Säde r2 on ulotettu

taivu,

mukainen kulma 34°. Etäisyys (rpr )

a se on

(2.41)

Sateiden r, ja r2 väliin jäävä vaipan pinta-ala A = kaltevan pinnan pituus

л(г1 + r2)s> jossa laskennassa käytetty s on

s = ^W-^y+{o,

9

(2.42)

Analyyttinen betonin

alaan ja vetojännitykseen kaavalla

ottama lävistyslujuus määritetään verrannollisena kartion pinta-

X =7t(r, +r2)S'öv = 7l(r1+r2)s.fc2t/3^.

n-p.

Lävistyslujuus on riippuvainen betonin vetolujuudesta: X oc f2/3.

Parametrit r| ja p edustivat,a,vu,usraudoi,ukseu, laa,au paksuudeu ja pilarin säteen vaikutusta. Kertoimet on määritetty kokeellisten tulosten avulla. Laatan vetoraudoituksen

prosentuaalinen pinta-alasta määrittää kertoimen £ P laatan tarkasteltavan poikkileikkauksen oi

osuus

Perustuen laatan koon vaikutukseen ominaisleikkausluj neljän eripaksuisen koelaatan avulla laskettuna seuraavasti:

uus Tn on määritetty kokeellisesti

( d V,/2

= l,55fct 1 + -1 . I 34J

T„ (2.45)

Tähän lauseeseen nojautuen on kerroin p määritetty seuraavasti:

( A

(2.46) d

Kaavassa da on suurin raekoko. Laatan koon vaikutus

suhteella h/r, = 2, jossa h on laatan paksuus. Pilarin säteen vaikutuksen ilmoittava parametri p on numeerisiin tuloksiin perustuen

on määritetty vakioksi asetetulla

^ = 0,1 (rs / h)2 - 0,5(rs / h) +1,25 , (rs / h) < 2,5

» (rs / h) >2,5 (2.47)

0,625

Betonin vetolujuutena käyteään CEB-FIP:n mallinormii 1

un pohjautuen kaavaa

f=.=0,33fc2c/3,

fcc = lieriöpuristuslujuus (MPa).

(2.48) jossa

Ménetrey esittää lävistyskapasiteetin laskemiseksi vaikuttavien voimien supeiponointia

Vpun = Vc + Vd0W + Vsti + Vprt.

(2.49) Lävistyskapasiteetti koostuu

vaamavaikutuksesta V

jannevoimasta Vprt. Summauksen idea on esitetty kuvassa 2.13.

täten betonin leikkausraudoituksen

ja raudoituksen vaikutuksesta Vc,

dow> ottamasta osuudesta Vsti ja

Comité Euro-Intemational du Béton. СЕВ-FIP Model Code 1990. s. 33

-35 ja 115- 116.

„у

: 4§

Si

¡r-*"dow

^prt P

sti г s

>1a X W

■:ж

tv

--ix/г¡ i

Kuva 2.13 Lävistyskapasiteetin superponointi ja merkinnät.

Vaarnoilla tarkoitetaan

kappaleeseen upotettuna estävät lävistymisessä raudoitteet toimivat

metallitappeja, jotka kahteen toisiinsa sivuttain liittyvään näiden keskistä siirtymistä. Teräsbetonilaatan

vaarnoina estäen lävistyskartion irtoamista.

Tarvittava leikkausvoima vaarnoina toimivien raudoitteiden sii

siirtymiseksi lävistymisessä on laskettavissa kaavalla (2.50), joka on johdettu mallinormin esittämästä kaavasta.

Xow 7 5] Ф$ Vf=c 'fyÜ -Ç2) si

Z n

not,

ф5 = raudoitustangon halkaisija (mm) fy = teräksen myötölujuus (MPa) n = vaamatappien lukumäärä.

(2.50) jossa

Lausekkeen termi Ç otettu käyttöön ilmaisemaan aksiaalisten vaamavoimien välistä parabolista yhteyttä. Se määritetään aksiaalisen as avulla Ç = as / fy. Vetojännitys on lausuttavissa geometria huomioiden

on voimien ja

vetojännityksen

a =--- Hüü___V tana^]As ’

As— yhden vaamatapin poikkileikkausala (mm2).

(2.51)

jossa

cd

CO.

Vaamavaikutuksen ottaminen huomioon lävistyskapasiteetin iteraatioon: on arvattava lävistysvoima V

laskennassa johtaa jonka avulla termi Ç voidaan määrittää.

Tätä kautta saatua arvoa Vdow verrataan arvattuun voimaan, joka sisältää esimerkiksi pun>

tiedetyn voiman Vc ja arvioidun voiman arvon Vjow. Yleensä kaksi tai kolme iteraatiokierrosta riittää. Esitetty malli käytännön suunnitteluun hyvin soveltuva, mutta ongelmaksi voi muodostua se, kuinka hyvin valittu kulman

on

arvo vastaa erityyppisiä laattoja.

2.2.8 Huovisen malli

Huovinen esittää läpileikkautumiskapasiteetin laskemista

kartion projektiopinta-alan avulla. Lävistyskartion kaltevuuskulmalla projektiopinta-alaksi

betonin vetolujuuden ja a saadaan

a fd h

A = л - +--- V2 tana

d2 h Ÿ h-dl

-TT--- = 714 tana tana (2.52)

Kaavassa d on pilarin halkaisija ja h laatan paksuus. Betonin vetolujuuden pystykomponentiksi kaltevuuskulman a avulla saadaan

f = f

'Lctk 1ctk •cosa.

(2.53) Lävistyskapasiteetiksi saadaan nyt

h h -d

X =f=,k-A = fctk ■cosa - л (2.54)

tana tana

Laskentamalli ei Reganin mallin mukaisesti esitä lävistyskartion kaltevuuskulman riippuvuutta vaikuttavista parametreista (tehollinen korkeus, suhteellinen teräspinta-ala ja puristusluj uus).

Huovinen, S. I-haan toiminta teräsbetonilaatan läpileikkautumisessa. s. 49.

2.3 Taivutuskapasiteetin laskenta myötöviivateorialla

Plastisuusteoriaan perustuvan myötöviivateorian avulla voidaan selvittää teräsbetonilaatan kantokyky, mikäli laatan muodonmuutoskyky on riittävä1. Laatan kantokyky eli taivutuskapasiteetti on avuksi tarkistettaessa, tapahtuuko lävistysmurto pienemmällä kuormalla kuin taivutusmurto. Tässä esitetyt kaavat ovat käyttökelpoisia vapaasti tuettujen laattojen taivutuskapasiteettia arvioitaessa.

2.3.1 Vapaasti tuettu neliölaatta pyöreällä pilarilla

Pistekuorman rasittaman teräsbetonilaatan murtomekanismi on periaatteessa samanlainen kuin tasaisesti kuormitetun laatan murtomekanismi, muodonmuutoskyvyn ollessa riittävä. Kuvassa 2.14 esitetty myötöviivakuvio isotrooppiselle reunoiltaan vapaasti tuetulle neliölaatalle, jossa laatan nurkat voivat nousta irti tuiltaan. Seuraavassa

on

esitetään laskennan kulku pääpiirteittäin. Pilarin koon vaikutus otetaan huomioon murtokuormaa määritettäessä.

Pistekuorman raja-arvon etsiminen on kaksivaiheinen. Pienillä keskuskulman arvoilla ф pilarin viereiset horisontaaliset ja vertikaaliset myötöviivat ovat ympyrän tangenttina ja pilarin viereinen diagonaalinen myötöviiva lähestyy ympyrän kehää keskuskulman kasvaessa (kuva 2.14a). Tietyllä kulman arvolla pilarin viereinen diagonaalinen myötöviiva kohtaa ympyrän kehän, jolloin se ei enää voi ylittää sitä, vaan siitä tulee vuorostaan tangentti (kuva 2.14b). Suuremmilla keskuskulman arvoilla pilarin viereinen horisontaalinen ja vertikaalinen myötöviiva erkanee ympyrän kehältä (kuva 2.14c).

arvon

Merkitsemällä etäisyyttä laatan reunan keskeltä myötöviivan leikkauspisteeseen arvolla ÇL, voidaan kaikki tuntemattomat parametrit määrittää suoraan geometrian avulla. Raja, jossa siirrytään laskennan toiseen vaiheeseen määräytyy pilarin keskipisteen ja

diagonaalisen myötöviivan välisen kohtisuoran etäisyyden DE avulla. Kaavalla (2.55) voidaan esittää tämä etäisyys.

Moittinen, J. Ristiin raudoitetun teräsbetonilaatan raudoituksen kehittäminen, s.30 - 33.

L/2 L/2

* *

a)

% X

O —i

-4

X

L

*

L/2 L/2

* *

b) _{Z \}

z \

z \

^=r Q

\ _Z

\ _z

\ _z

L

* *

L/2 L/2

c)

z X

z \

z _X

z

Q

4

z

X z

X z

X z

X z

L

*

Kuva 2.14

Vapaasti tuetun neliölaatan myötöviivakuvio.

DE = —f=(^+ 0,5)D,1 (2.55)

D - pilarin halkaisija (mm).

jossa

Merkitsemällä etäisyydeksi pilarin säde D/2, saadaan haluttu raja-arvo määritettyä.

£ = 0,5(V2-l) = 0,2071.

periaatetta, saadaan merkitsemällä sisäinen energia yhtäsuureksi ulkoisen kuorman tekemän työn kanssa rajakuormalle lauseke

Tulokseksi saadaan Soveltamalla virtuaalisen työn

L V 2^2 +0,5 L-dJ( Ç + 0,5 L = laatan jänneväli (mm).

Pu =8 m;^ €[0,2071;0,5], (2.56)

jossa

Derivoimalla lauseke £,:n suhteen saadaan minimi arvolla E, = 0,2071 kuvan 2.14b tilanne, jossa sekä horisontaalinen että diagonaalinen myötöviiva ovat ympyrän tangentteina. Sijoittamalla saatu arvo edelliseen lausekkeeseen, saadaan murtokuormaksi

p

-=,6(

?-<¿

)

Il-d |m, (2.57)

m = myötömomentti (kNm/m).

jossa

Laskennan toisessa vaiheessa tehtävän ratkaisu on muuten samanlainen kuin ensimmäisessä vaiheessa sillä poikkeuksella, että nyt pilarin viereinen diagonaalinen myötöviiva on ympyrän tangenttina. Toisen vaiheen raja määräytyi kaavasta (2.55), joka vastaa keskuskulman arvoa ф = 45°. Aivan kuten edellisessäkin vaiheessa virtuaalisen työn periaatteen mukaisesti annetaan myötömekanismille yhden yksikön

siirtymä alaspäin. Rajakuormalle saadaan lauseke

suuruinen

V

Pu=8 V2(Ç + 0,5)L-D D + 1 m;E, g[0;0,2071], (2.58)

Pu = murtokuorma (kN).

5 + 0,5

A

jossa

о ч _X.

X

- -X

16,0 \

X _/

\

14,0 л-

X \

\\ N

\ \

\ \

--- D=0; L=vakio --- 0=200; L=1770 ____ 0=200; L=1570 --- 0=300; L=1670 ____ 0=400; L=1770 0=500; L=1870 --- 0=600; L=1970

- - • 0=700; L=2070 - 0=900; 1=2270 - - 0=1200; L=2570

Kuva 2.15 Rajakuorman lausekkeet käyrämuodossa muuttujien D ja L arvoilla.

2.3.2 Muita laattojen myötöviivakuvioita

Kuvassa 2.16 on esitetty kolmelle muulle tapaukselle myötöviivakuvio ja niiden avulla saatavat murtokuormat1. Reunoiltaan vapaasti tuetun neliölaatan, jossa pilari on neliön muotoinen, on saatu ratkaisu murtokuormalle lähellä edellä pyöreälle poikkileikkaukselle saatua ratkaisua (Pfiex=Pu). Tapauksessa, jossa vapaasti tuetun laatan nurkat on ankkuroitu on myötömekanismi kuvan 2.17a mukainen. Ylärajaratkaisu neliölaatalle saadaan soveltamalla edellä esitettyä vapaasti tuetun laatan myötöviivateoreettista ratkaisua, sillä poikkeuksella, että laskenta voidaan suorittaa yhdessä vaiheessa:

Regan, P. E. & Bræstrup, M. W. Punching Shear in Reinforced Concrete, s. 80 - 94.

Sijoittamalla yhtälöön raja-arvo i; = 0,2071 voidaan lauseke saattaa samaan muotoon kuin kaava (2.56). Kuvassa 2.15 on eri muuttujan arvoilla D ja L esitetty kaavat (2.56) ja (2.58) käyrästönä. Kuvasta huomataan pienimmän murtokuorman saavutettavan raja- arvolla = 0,2071.Täten lopulliseksi ratkaisuksi murtokuormalle Pu kelpaa kaava (2.57) ja myötöviivakuviona voidaan käyttää kuvan 2.14 keskimmäistä tapausta.

\ \ \\

\-

*.\x\\\:i

\

i#

/

/ / /

z’—

/-

/ / /

/ /

z / /

шx o

4xo

(

Ho

ЛТ

roo

¡I7

ooo°>

р||«=2"т'[пгв] РПех= 8m' [îTB-0'171 Р»ех=МЙг]

Kuva 2.16 Vapaasti tuettuj en laattoj en myötökuvioita j a vastaavat murtokuormat.

vertikaaliset myötöviivat tulevat ympyrän tangenteiksi vasta keskuskulman arvolla ф = 90°. Laskennassa tulee ottaa huomioon viuhkamekanismin vaikutus. Rajakuormalle voidaan johtaa kaava

.r L/2 f L/2

*

b) 2 C

a)

O X-br —I O

■bf K-4

■br -br

L L

*

Kuva 2.17 Vapaasti tuetun neliölaatan myötöviivakuvio, kun nurkat on ankkuroitu.

Pu = 8(г^о)^+2^т;^ G[0;0’5]’

(2.59 a)

ar

n

on—I

x\

h

n*

/у \N

Í0,5-^

0,5 + U’

ф = 2 arc tan (2.59 b)

ф = keskuskulma.

jossa

Rajakuormalle voidaan etsiä minimi antamalla Ç:lle eri arvoja. Minimi saavutetaan, kun keskuskulma ф = 0°, jolloin ratkaisuksi saadaan

Pu=8 L m. (2.60)

L-D

Ratkaisusta huomataan, että viuhkamekanismin osuus supistuu pois ja myötöviivakuvio on kuvan 2.17b mukainen. Tämä on järkevää, sillä yleensä vain tasaisesti kuormitetuissa laatoissa viuhkamekanismi on määräävä murtokuormaa laskettaessa (kuva 2.17a).

Saaduissa tuloksissa ei ole huomioitu laatan oman painon vaikutusta, sillä se on merkityksettömän pieni varsinkin pienillä jänneväleillä.

Vertailtaessa eri tavoin tuettuja pilarilaattoja, voidaan todeta seuraavaa kaavojen (2.57) ja (2.60) nojalla: taivutuskapasiteetti kasvaa 20,7% tapauksessa, jossa laatan nurkkien nousu on estetty verrattuna tapaukseen, jossa laatta on reunoiltaan täysin vapaasti tuettu.

3 MURTOENERGIA

Betonin murtumismekanismin ymmärtämiseksi kehittetty malleja, joilla pystyttäisiin arvioimaan paremmin betonin käyttäytymistä. Syitä siihen, koska ja mihin halkeamat

on

rakenteissa muodostuvat, voidaan paremmin käsittää murtumismekanismien avulla.

Murtoparametnen mallintamisen pohjana on kuvitteellisen murtumismallin käyttäminen lovipalkin avulla. Pyrkimyksenä on se, kuinka esimerkiksi teräsbetonirakenteisiin tämä malli voitaisiin ottaa mukaan suunnittelun apuvälineenä1.

3.1 Murtoenergian määrittäminen betonille

Eras tapa arvioida betonin lujuus- ja sitkeysominaisuuksia avulla murtoenergia GF2. Taulukossa 3.1

poikkileikkausarvot. Kuvassa 3.1

ja kuormitusjärjestelyt. Tällä murtumismallilla seuraavasti: koekappaleen murtuessa vaurioituneeseen

energia voidaan ilmaista parametrilla 0F, jolla tarkoitetaan murtopinnan murtoenergiaa pmta-alayksikkoa kohden. Itse kokeessa mitataan palkin keskikohdan taip

on määrittää lovipalkin on esitetty kokeessa käytetyn lovipalkin esitetty koekappaleiden poikkileikkaus sekä tuenta- on

voidaan murtoenergia määrittää vyöhykkeeseen absorboituva

umaa.

Taulukko 3.1 Koekappaleiden dimensiot.

Maks. raekoko Korkeus Leveys Pituus Jänneväli

Dmax (mm) d (mm) b (mm) L (mm) S (mm)

1...16 100 ±5 100 ±5 840 ±5 800 ±5

16,1...32 200 ±5 100 ±5 1190 ±5 1130 ± 5

32,1.„48 300 ±5 150 ± 5 1450 ±5 1385 ±5

48,1.„64 400 ±5 200 ±5 1640 ±5 1600 ±5

2 1' ^Pplicati0nS of Fracture Mechanics to Reinforced Concrete, s. 579 - 597

means „fThree-PoinUSerKTrests òn^otchecl Beams^s. 2^5^290.ПеГ^ 0^^ortarant^ C0,lcrete by

Kuva 3.1 Koekappaleiden poikkileikkau

s, tuenta-ja kuormitus]äijestelyt.

Mittaus esitetään kuorma-taipuma käyränä, jossa käyrän ja vaaka-akselin pinta-ala ilmaisee

Murtoenergia lasketaan kaavalla

väliin jäävä energian W0 kuvan 3.2 mukaisesti.

murtumiseen tarvittavan

Alig

m = mj + 2m2 Aiig— (d -ao)b,

Gf = murtoenergia (N/m)

(3.1a) (3.1b) (3.1c) jossa

W0 energia voima-taipuma käyrän pinta-alana (Nm) m, = palkin massa kerrottuna palkin jännevälin ja pituud

en suhteella (kg) m2 - kuormituskojeen osan massa, joka ei ole kiinnittyneenä koneeseen, mutta liikkuu palkin mukana murtoon asti (kg)

ö0 = taipuma palkin lopullisessa murtumisessa (m) Alig= murturmsvy öhy kkeen projektiopinta-ala (m2).

Edellä esitetty lauseke pätee, kun kuormitussu kuormaa kasvatetaan taipumaan nähden

saavutetaan 30-60 sekunnin päästä kokeen alusta. Palkin keskikohdan taipuma ja vastaava kuorma rekisteröidään siihen saakka kunnes

kahteen osaan.

linjalla olevien kahden oi vähintään 0,01

unta on ylhäältä alaspäin. Itse kokeessa suunnilleen vakiona siten, että maksimi kuorma

palkki on kokonaan haljennut Taipuma tulee määrittää palkkiin tukien yläpuolelle

asetetun samalla tulee olla pisteen avulla. Muodonmuutoksen mittatarkkuus

mm.

<-

O"y

jr -.

m|v>

<4

k

z

1600

1200

Beam HSC3-136 800

400 ■ W0

5„

0 4—г

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Deflection 5 (mm)

Kuva 3.2 Tyypillinen kuorma-taipuma käyrä energian W0

määrittämiseksi.

Betonin haurautta voidaan arvioida karakteristisen pituuden lch avulla1. Se antaa välille. Samanmuotoisilla yhteyden murtoenergian GF ja kimmomoduulin E,

koekappaleilla pienempi ominaispimuden

osoittaa materiaalin olevan hauraampi.

arvo Karakteristinen pituus betonille määritetään kaavasta

ec-gf

f2 ‘xct

lch =

(3.2)

Kaavassa fct on betonin aksiaalinen suora vetolujuus. Murtoenergian GF ja heriöpuristuslujuuden fcc välille on kokeellisesti määritetty kaavan (3.3) mukainen yhteys

f X0'7

*cc I

GF =GF0 ИГ

(3.3) 10

Kaavassa G_F, on murtoenergian perusarvo, joka riippuu maksimi raekoosta seuraavasti:

0,025

GF0 =-0,030 ,kun D 0,038

f 8 mm

= - 16 mm 32 mm

[Nmm/mm2]. (3.4)

2™IS"8’ A' The The0retical Basis of a Method to determine the Fracture E Comité Euro-Intemational du

nergy Gf of Concrete, s.

Béton. СЕВ-FIP Model Code 1990 (Design Code).

s. 36- 37.

LoadF(N)

250

О

--- lu.u 15.0 17.5 20 0

Crack mouth opening displacement, CMOD (irr2 mm)

Kuva 3.3 Koekappaleiden poikkileikkaus ja tyypillinen kuorma-CMOD käyrä.

Taulukossa 3.2 suositellut lovipalkin dimensiot. Loven korkeuden korkeuteen tulee olla a0/d = 1/3 ja jännevälin suhde palkin korkeutee suurin leveys on 5 mm. Palkin loven voi tehdä joko muotilla tai sahaamalla.

on suhde palkin

n S/d = 4. Loven

Shah, S. P. & Carpinteri, A. Fracture Mechanics Test Methods for Concrete, s. 3 - 10

28.6mm

i IP

i

1

I _{76 mm}

/ _{1X122.4 mm}

II _{I SOSmrnXj}

notch

- I,I clip gauge

controls CMOD.__

I, 1 III Ci m

III

3.2 Kahden parametrin menetelmä

Tämän menetelmän avulla voidaan

määrittää kaksi dimensioista riippumatonta murtoparametria: kriittinen jännitysintensiteetti tekijä K’c ja kriittinen särön kärjen avauma CTODc‘. Kahden parametrin menetelmässä (TPM =

loven molemmille puolille aukeamiskohtaa CMOD.

two parameter model) asetetaan pidikeanturit, joilla mitataan halkeaman suun Kokeessa edetään kahta poikkeusta lukuunottamatta samalla tavalla kuin murtoenergian määrittämisessä. Kuvassa 3.3

esitetty koekappaleiden poikkileikkaus ja täydellisesti suoritetun kokeen kuorma-CMOD käyrä. Kok

jatkuvasti rekisteröidä loven

on

cessa tulee aukeamista CMOD ja vastaavaa kuormaa. CMOD:n määrittämisessä käytettävän anturin tulee sijaita keskellä palkkia, jotta mhin1ni.al.iln mahdollista vääntövaikutusta.

suun

UISöNLoad,P(N)

o

rz d ä Е Ю

-ч к н о

Taulukko 3.2 Koekappaleiden dimensiot.

Maks. raekoko

^max (mm)

Korkeus Leveys Pituus Jänneväli

d (mm) b (mm) L (mm) S (mm)

1...25 150 ± 5 80 ±5 700 ±5 600 ±5

25...50 250 ± 5 150 ± 5 1100 ±5 1000 ±5

Kokeen aikana maksimikuorman saavuttamisen jälkeen kuorma tulee ainakin kerran ajaa alas, jonka jälkeen kuorma nostetaan uudelleen ylös. Kuorman poiston tulee tapahtua silloin, kun kuorma noin 95% maksimikuormasta. Aivan ensimmäisen kuorman noston mukaisesta käyrän osasta voidaan määrittää kulmakerroin C¡ ja

on

kuorman laskemisen ja uudelleen nostamisen osalta kulmakerroin

Kokeesta saatujen tulosten avulla voidaan suorittaa materiaaliominaisuuksien laskenta.

Cu (kuva 3.3).

Kimmokerroin E lasketaan kokeesta määritetyn kuorman kulmakertoimen C¡

lausekkeella

avulla

E_6S-a0-V,(g) Cj-d^b

4(00 = 0,76-2,28«+3,87a2 -2,04a3

(3.5a)

+ 0-a)2

0,66

a0 + HO d + HO ’

E = kimmokerroin (MPa)

C¡ = kulmakerroin kuormituksen alussa (m/N) HO= CMOD-mitta-anturin korkeus (m).

a = (3.5c)

jossa

Kaavassa olevat muut termit ovat koekappaleiden dimensioita ja selviävät kuvasta 3.3.

Edellisen lausekkeen kimmokertoimen avulla voidaan määrittää ns. kriittinen tehollinen särön pituus ac, joka määritellään seuraavasti:

ac = a0 + cf,

Cf = pysyvä halkeaman pituus maksimikuormalla (m).

(3.6) jossa