ARMA-mal lit

Autoregressiivistä stokastista prosessia, jonka keskiarvo on nolla, kuvaa yhtälö

akXt-k + et i k= 1

(9) missä e^- on valkoista kohinaa. Aikasarjan uusi arvo on siis p:n edellisen arvon 1ineaarikombinaatio lisättynä satun­

naismuuttujan e^ arvolla; kyseessä on AR(p)-prosessi. Jos prosessin keskiarvo poikkeaa nollasta, y^-rn paikalle sijoi­

tetaan aikasarjan arvon ja keskiarvon erotus. Vastaavasti nollakeskiarvoinen q:nnen kertaluvun MA-prosessi (Moving Average) määritellään

Yt = ¿b k= 1

ket-k + et (10⁾

eli aikasarjan alkio on tässä satunnaismuuttujan peräkkäis­

ten arvojen liukuva, painotettu keskiarvo. Yhdistämällä nämä määritelmät saadaan ARMA(p,g)-prosessi.

Jos aikasarja sisältää trendin, malli sovitetaan sarjan d;nnen kertaluvun differensseihin. Tällöin puhutaan ARIMA(p,d,q)-mallista (I=Integrated), koska alkuperäistä epästationaarista dataa kuvaava malli saadaan tavallaan integroimalla sovitettu ARMA-malii.

ARMA-mallin valinnassa ja sovittamisessa ovat keskeisellä sijalla aikasarjan tavallinen ja osittainen autokorrelaa- tiofunktio. Autokorrelaatiotunktiota approksimoidaan ns.

näytteen autokorrelaatiokertoimi11a

missä N on tutkittavan aikasarjajakson pituus ja y aikasar­

jan keskiarvo. Autokorrelaatio r^ kertoo, miten voimak­

kaasti viiveen k erottamat saman aikasarjan alkiot riippu­

vat toisistaan. Osittaisista autokorrelaatioista on lisäksi poistettu lyhytaikaisempien korrelaatioiden välillinen vaikutus /13/. Puhtaan AR- tai MA-prosessin luonne ja ker­

taluku näkyvät autokorrelaatioissa kuvan 9 tapaan.

Mallin tyyppi selviää periaatteessa vertaamalla aikasarjan autokorrelaatioita eri prosessien teoreettisiin autokorre- laatiofunktioihin. Yleensä kuitenkin joudutaan sovittamaan usean eri kertaluvun malleja ja tasapainottamaan tarkkuus- ja yksinkertaisuusvaatimukset /61/. Jos mallintaminen

halu-taan kokonaan automatisoida, sopiva rakenne tulisi tuntea melko tarkasti etukäteen.

Autocorrelation Coefficients

+ 1

Partial Autocorrelation Coefficients

Autocorrelation Coefficients

Partial Autocorrelation Coefficients

Kuva 9. Esimerkit AR(2)- ja MA(2)-prosessin tavallisista ja osittaisista autokorrelaatiokertoimista /62/. a) Puhtaan AR(p)-prosessin osittaiset autokorrelaatiot menevät nol­

laan, kun viive on suurempi kuin p. b) Puhtaan MA(q)-pro­

sessin tavalliset autokorrelaatiot häviävät, kun viive on suurempi kuin q.

ARMA-malli sovitetaan minimoimalla ennustevirheiden neliö­

summa

E = Ee? (12)

t=i

mallin parametrien ay ja suhteen. Käytännön sovellutuk­

sissa tyydytään useimmiten puhtaaseen AR-mal1iin , koska MA-termien sovittaminen on huomattavasti työläämpää ja koska MA-prosessia voidaan approksimoida korkeamman kerta­

luvun AR-maHilla /61/. AR-malIin tapauksessa ennustevirhe on

h=yt-è

»kXt-k

k=l (13)

ja lausekkeen (12) minimointi palautuu eripituisista auto- korrelaatioista r^ koostuvan matriisin kääntämiseen, johon on kehitetty useita nopeita algoritmeja /49,61/. Suosittuja estimointimenetelmiä ovat myös Bürgin algoritmi ja edesta­

kainen pienimmän neliösumman algoritmi /49/. Ne lähtevät minimoitavasra funktiosta, joka sisältää sekä eteenpäin että taaksepäin ennustettaessa syntyvän virheneliösumman.

ARMA-mallit kuvaavat tehokkaasti signaalin lyhytaikaisia vaihteluita. Jos signaali sisältää voimakkaan trendin, integroidunkaan ARMA-malIin käyttö ei ole kovin mielekästä, sillä differentioimisoperaatio vaikuttaa tällöin mallin käytökseen enemmän kuin työläästi määritetyt ARMA-kertoi- met /13/. Anestesian ja tehohoidon alalla ARMA-malleja on sovellettu lähinnä EEG-monitorointiin /10,11,41,76/.

5.4 Monimuuttujäiset mallit

Monimuuttujaisissa aikasarjamalleissa esiintyy kuvattavan aikasarjan ja kohinan lisäksi vähintään yksi selittävä muuttuja, joka yleensä on toinen aikasarja. Jos monimuuttu- jaisella mallilla halutaan samanaikaisesti kuvata useita uiostuloaikäsarjoja, yhden malliyhtälön sijasta on kirjoi­

tettava yhtälöryhmä.

Ns. siirtofunktiomalleissa haetaan siirtofunktiot selitet­

tävän aikasarjan ja kunkin selittävän muuttujan välille.

Jäljelle jäävä osa aikasarjasta katsotaan kohinan aiheutta­

maksi /69/. Yksinkertaisin esimerkki siirtofunktiomalleis- ta on lineaarinen regressiomalli

yt = axt + Ы- et ,

missä y on selitettävä muuttuja, x selittävä muuttuja ja virhe. Selittävänä muuttujana voi olla myös aika, jol­

loin aikasarjaan itseensä sovitetaan suora tai muu käyrä trendin esille saamiseksi. Kun selittäviä muuttujia on useita, regressioanalyysi saattaa luoda näennäisiä syy- seuraussuhteita. Mikäli selittävät muuttujat korreloivat keskenään, rikotaan nimittäin perusolettamusta riippumatto­

mista selittäjistä /13/. Siirtofunktiomalleihin kuuluvat myös monimuuttujäiset ARMA-mallit

Yt = ¿акУ1-к + X}bkxt_k + X)ck*t-k + ••• + ¿}dket_k + et , (15)

k=l k⁼⁰ k⁼⁰ k⁼¹

missä X{-, z t, • • ovat selittäviä aikasarjoja. Tässä esimer­

kiksi x : n ja у: n välinen siirtofunktio on

H(z)

Yksimuuttujäiset aikasarjamallit käsittelevät tutkittavaa systeemiä mustana laatikkona, josta tulevaa signaalia seli­

tetään vain omalla historiallaan. Monimuuttujaisiakin mal­

leja voidaan sovittaa kiinnittämättä huomiota todellisiin

riippuvuussuhteisiin muuten kuin ehkä sisäänmenomuuttujia valittaessa. Potilasvalvontaan liittyvän ARMA- tai siirto- funktiomalIin parametreillä ei yleensä ole selviä fysiolo­

gisia vastineita.

Varsinaiset fysiologiset mallit kartoittavat elimistön todellisia syy - seuraussuhteita. Tehohoidon ja anestesian alueella tällaisia malleja on rakennettu lähinnä nestehoi­

don suunnittelua ja seurantaa varten. Mallit ovat varsin monimutkaisia: esimerkiksi viitteessä /19/ kuvattu neste­

tasapainoinani käsittää 17 ensimmäisen kertaluvun diffe­

rentiaaliyhtälöä ja 74 algebrallista yhtälöä.

Tehohoidossa ja anestesiassa voisi olla käyttöä potilasval- vontamal leil le , jotka yhdistäisivät useista mittaussuureis- ta saatavan informaation esimerkiksi hälytyksiä tai poti­

laan tilan ennustamista varten. Mallit voisivat kuvata esimerkiksi jonkin elinjärjestelmän normaalia toimintaa tai hoidon vaikutusta jonkin tärkeän fysiologisen suureen tulevaan kehitykseen. Verenkierto-, hengitys- ym. suureista lienee kuitenkin huomattavasti vaikeampi löytää syitä ja seurauksia kuin nestedynamiikasta, jossa sisäänmenosuureet on helppo määritellä. Toisaalta voidaan sanoa, että kaikki fysiologisten parametrien mittaukset perustuvat joko eks­

plisiittiseen (epäsuorat mittaukset) tai ainakin tulkitsi­

jan mielessä olevaan malliin tutkittavan ilmiön mekanis­

meista.

Koska fysiologisten mallien rakentaminen ja sovittaminen on erittäin vaikeaa, potilasvalvonnassa lienee enimmäkseen tyydyttävä yksinkertaisiin signaalimalleihin. Karkeatkin yksi- ja monimuuttujäiset mallit saattavat olla hyödyksi esimerkiksi hälytysten apuna.

5.5 Parametrien rekursiivinen estimointi

Kohdassa 5.3 mainituilla ARMA-mal lien es timo int imene tel mil­

lä tai tavallisella regressiotekniikal la voidaan analysoida syöttödataa erillisissä jaksoissa. Reaaliaikaisessa valvon­

nassa tarvitaan myös menetelmiä, jotka prosessoivat syöttö­

tietoja sitä mukaa, kuin niitä saadaan, ja muuttavat sovi­

tettavan mallin parametreja joka askeleella. Tarkoituksena on tällöin joko mukautua signaalin muutoksiin tai siirtää laskentatyötä tapahtuvaksi jo ennen kuin koko tarkasteltava signaalijakso on rekisteröity. Aikarekursiivisessa esti­

moinnissa päivitetään parametriestimaatit sisältävää vekto­

ria ê, tyypillisesti yhtälön êt — + Ktet

(17)

mukaisesti, missä matriisi $t-i kuvaa parametrien säännön­

mukaista muuttumista hetkien t-1 ja t välillä, K f- on kor- jausmatriisi (yhden ulostulomuuttujan tapauksessa vektori) ja virhevektori et saadaan vähentämällä kunkin ulostulo­

muuttujan uusimmasta mittausarvosta edellisten parametrien antama ennuste /91/.

Määritellään yleinen aikasarjamalli /2/

yt = ctet + vt et = Ф1_iet_! + wt .

Tässä y^- sisältää aikasarjojen hetkellä t mitatut arvot, 6t on n-dimens ioinen parametrivektori, mxn-matriisi Ct kuvaa mittausarvojen syntymistä ja m-ulotteinen vektori vt on normaalijakautunutta mittauskohinaa, jonka kovarians- simatriisil on Rt« nxn-matriisi *t-i kuvaa parametrien de­

terminististä muuttumista hetkien t-1 ja t välillä, ja normaalijakautunut vektori v?t, jonka kovarianssimatriisi on Qt, sisältää parametrien satunnaiset muutokset.

Malli (18) sisältää erikoistapauksena mm. ARMA-mallit, lineaarisen regressiomallin ja kohdassa 5.2 esitetyn line­

aarisen kasvun mallin. Esimerkiksi yksimuuttujaisen ARMA- mallin tapauksessa =

(yt-i

> ••<Yt-p'et-l•••'et-q) • Line­

aarisen kasvun malli saadaan yhtälöiden (18) mukaiseen muotoon, kun muistetaan, että keskimääräinen signaalitaso Mt ja trendi T^ tulee tulkita mallin parametreiksi, ja kirjoitetaan

Laskennallisesti yksinkertaisin tapa estimoida mallin (18) parametrit rekursiivisesti on asettaa yhtälössä (17) vakiomatriisiksi. Esimerkiksi lineaarisen kasvun mallille saadaan tällöin estimointiyhtälöt

Mt = Mt_! + Tt_x + aet

(20⁾ Tt — Tt_ x + fet ,

m: n ulostulomuuttujan lineaarinen

(18)

1 Kahden muuttujan x ja y välinen kovarianssi Cov(x,y) on odotusarvo E|(x-#*x)(y-/i,)l , missä й,on x:n ja i*,y:n odotusarvo /13/. Tietyn vektorin y kovarianssimatriisi sisältää vektorin komponenttien väliset kovarianssit Cov(yifyj).

missä ennustevirhe ~ Yt ~ (Mt-1 + Tt-i). Vakiot a ja ç valitaan nollan ja ykkösen väliltä, jotta vanhoille para- metriestimaateille tulisi eksponentiaalisesti pienenevät painot. Menetelmä ei salli kohinavarianssien R^- ja Qt muu­

toksia eikä ylipäätään ota mittausvirheitä ja mallin epä­

tarkkuutta erikseen huomioon.

Rekursiivinen pienimmän neliösumman (Recursive Least Squa­

res, RLS) estimointialgoritmi perustuu säätötekniikan puo­

lella kehitettyyn Kalman-suodattimeen /2,91/. Kuvassa 10 on esitetty lohkokaaviona sekä aikasarjamal1i (18), jonka ulostulona ovat mittausarvovektorit y-f-, että Kalman-suoda- tin, joka ohjaa parametriestimaatte j a öt|t ennustevirheen et avulla. Suodatusyhtälöt määräävät, miten suuri osa tästä tiedosta käytetään hyväksi ja missä määrin ennustevirheiden katsotaan johtuvan mittauskohinasta.

a

measurements

Kuva 10. a) Lineaarinen aikasarjama 11i (18) ja b) Kalman- suodatin, yhtälöt (21) - (26)./2/

Jatkossa alaindeksi t|t-l liittyy seuraavan parametrivek- torin ennustamiseen hetken t-1 tietojen perusteella ja alaindeksi t|t hetkellä t tuotettuun lopulliseen parametri- estimaattiin. Parametrivektorin ja mittausarvon ennusteet saadaan yhtälöistä

^ 111-1 = Ф t-1ö1-111-1

ÿt|t-i = CtÔt|t_i . (21)

Kun aikasarjojen uudet arvot y^- on mitattu, voidaan määrit­

tää ennustevirhe

«t = y.-Ctêt,t_i (22)

ja parantaa ennustetta öt(t_x ; ât|t = + Ktet .

(23)

êt|t on nyt haettu parametriestimaatti. nxm-ulotteinen korjausmatriisi saadaan yhtälöstä

(24) missä nxn-matriisi Pt|t-1 kuvaa parametriennusteiden öt|t_i odotettua virhekovarianssia ja lasketaan kaavasta

Pt|t-i = + Qt-i • (25)

Matriisi P-tlt, joka puolestaan kuvaa lopullisten parametri­

kö)

Kalman-suodattimen yhtälöt näyttävät monimutkaisilta, mutta niiden periaate on yksinkertainen. Kuten yhtälöistä (25) ja (24) nähdään, suuri epävarmuus mallin parametreista kasvattaa Qj-:n kautta korjausmatriisia Kj- ja vahvistaa siten suodattimen kykyä oppia ennustevirheistä. Voimakas mittauskohina eli suuri Rt taas vähentää suodattimen herk­

kyyttä. Mittausarvojen lisäksi Kalman-filtteri vaatii syöt­

tötietoina kohinavarianssit ja Q^- sekä parametriesti- maattien alkuarvot è0 ja alkuarvojen epävarmuutta kuvaavan matriisin P0.

Jos aikasarjamal lissa asetetaan Ф4-1 = I ja Qt = 0 kaikille t, suodatin tulkitsee asian siten, että mallin parametrit pysyvät todellisuudessa vakioina ja epätarkkuudet johtuvat pelkästään mittausvirheistä. Tällöin korjausmatriisi auto­

maattisesti pienenee ajan myötä ja parametriestimaatit suppenevat "oikeita" arvojaan kohti /91/. Mikäli parametri­

en samoina pysymisestä ei olla varmoja, Qf- on määriteltävä nollasta poikkeavaksi.

AikasarjamalIin sisältäessä MA-termejä ei voida käyttää edellä kuvattua RLS-algoritmia. Tässä tapauksessa sovelle­

taan useimmiten rekursiivista suurimman todennäköisyyden menetelmää (Recursive Maximum Likelihood, RML) /91/.

6. TRENDIANALYYSI JA ENNUSTAMINEN

Nykyiset potilasmonitorit seuraavat automaattisesti vain valvontasuureiden absoluuttisia arvoja : muutossuuntia ja muutosnopeuksia ei oteta lainkaan huomioon. Kriittinen muutos havaitaan myöhään etenkin, jos suureelle on voimak­

kaiden normaalien vaihteluidensa takia jouduttu asettamaan väljät hälytysrajät (kuva 11). Toisaalta rajojen tiukenta­

minen lisää vääriä hälytyksiä.

UPPER PLPRP

LOUER RL PR fl

TIRE OELPY

NUMBER OF BEATS

Kuva 11. Muutoksen havaitseminen hälytysrajojen avulla:

väljien rajojen vaikutus /21/.

Tilanteen vakavuudesta tiedetään jo paljon enemmän, mikäli suureen absoluuttiseen arvoon yhdistetään tieto muutoksen suunnasta. Hälytys voitaisiin antaa esimerkiksi silloin, kun suureen arvo on tiettyjen rajojen ulkopuolella ja sekä lyhyen että pitkän aikavälin trendi osoittaa normaalialu­

eesta poispäin /5/. Muutosnopeus saadaan erikseen näky­

viin derivoimalla paikallista sovitefunktiota tai käyttä­

mällä sellaista aikasarjamal1ia, jossa trendikomponentti on eksplisiittisesti mukana. Mallien avulla voidaan myös ekstrapoloida suureen kehitystä tulevaisuuteen.

Kuvassa 12 on havainnollistettu aikasarjaprosessin erilai­

sia muutostiloja. Ihanteellinen monitorointimenetelmä ta­

soittaisi stabiilissa tilanteessa mahdollisimman tehokkaas­

ti signaalin satunnaista vaihtelua, mutta reagoisi kuiten­

kin nopeasti signaalitason ja trendin muutoksiin. Yksittäi­

set häiriöpisteet eli transientit tulisi eliminoida, jollei niitä ole poistettu jo signaalin esikäsittelyssä.

a) No chonge

Kuva 12. Monitoroitavan aikasarjan perustilat /31/.

a) stabiili tila (ei muutosta tai tasainen kehitys), b) transientti, c) signaalitason muutos, d) trendin muutos.

Teollisuusprosessien laadunvalvonta tähtää jonkin prosessin laatua kuvaavan suureen pitämiseen mahdollisimman vakaana /12/. Merkittävät muutokset suureen keskiarvossa johtavat korjaustoimiin. Yksinkertaisin seurantakeino on hälytysra- jojen asettaminen tasolle T± 3<r , missä T on valvontasuu- reen tavoitearvo ja o suureen keskihajonta. Tällöin on erittäin epätodennäköistä, että hälytys aiheutuisi suu­

reen normaaleista edestakaisista vaihteluista. Toisaalta lievät keskiarvon muutokset jäävät huomaamatta kuten kuvas­

sa 11. Asiaa voidaan jonkin verran auttaa asettamalla lä­

hemmäksi tavoitearvoa varoitusrajät ja edellyttämällä, että tietty määrä peräkkäisiä mittaustuloksia osuu näiden rajojen ulkopuolelle. Muutosten havaitsemista varten on kehitetty myös menetelmiä, jotka ottavat paremmin huomioon va Ivon ta suureen historian. Tällaisia menetelmiä käsitellään kohdassa 6.1.

Ennustamismenetelmät ovat kehittyneet pääasiassa taloudel­

lisen aikasarja-analyysin piirissä /27,62/. Ennusteita laadittaessa oletetaan, että aikasarjan taustalla oleva prosessi jatkuu samanlaisena, jolloin tulevaisuus voidaan määrittää menneisyyden ja nykyhetken perusteella. Periaat­

teessa olisi selvitettävä taustaprosessin todelliset syyt ja lainalaisuudet ja rakennettava niistä dynaaminen kausaa­

linen malli. Käytännössä joudutaan yleensä tyytymään yksin­

kertaisempiin malleihin, jotka antavatkin usein riittävän hyviä lyhyen ja keskipitkän aikavälin ennusteita.

Ennus tamismene tel män valinta riippuu mm. aikasarjan ominai­

suuksista, käytettävissä olevan mittaustiedon määrästä ja halutusta ennusteen kantamasta. Ennusteeseen vaikuttavaa mittaustietoa tulisi kerätä huomattavasti kantamaa pitem­

mältä ajalta. Ennusteen luotettavuutta arvioidaan tavalli­

sesti sen perusteella, miten hyvin malli sopii tunnettui­

hin aikasarjan arvoihin.

Anestesian ja tehohoidon automaattinen valvontasysteemi voisi antaa varoituksen, kun tarkasteltavan suureen ennuste osuu hälytysrajojen ulkopuolelle. Ennusteen tulisi ulottua vähintään muutamien minuuttien päähän, jotta ennakoivasta hälytyksestä ehtisi olla hyötyä. Vastaavasti hälytysrajan ylittävästä mittausarvosta ei ehkä tarvitsisi hälyttää, mikäli monitoroitava suure näyttää olevan nopeasti palaa­

massa normaaliksi. Kuvassa 12 esitetyt valvontasuureen muu­

tokset havaittaisiin seuraamalla ennustevirheen kehitystä.

Tehohoidossa voitaisiin lisäksi laatia hitaasti muuttuville ja harvoin määritettäville valvontasuureille pitkän aikavä­

lin ennusteita hoidon suunnittelua varten.

6.1 Muutosten detektointi

Cus urn (cumulative sum) on tilastollisen laadunvalvonnan väline, jonka avulla voidaan havaita muutokset prosessi- muuttujan keskiarvossa /12,58/. Valvontasuureen absoluutti­

sen arvon sijasta tarkastellaan suureen ja tavoitearvon T erotuksien kumulatiivista summaa

St=E(y.-T)=St_1 + (yt-T). (27) i<t

Kun suureen keskiarvo muuttuu tavoitearvosta, kumulatiivi­

nen summa lähtee selvään nousuun tai laskuun (kuva 13) . Cusum-käyrän derivaatta ilmaisee valvontasuureen paikalli­

sen keskiarvon ja tavoitearvon erotuksen.

Cusum-käyriä on perinteisesti tarkasteltu V-kirjaimen muo­

toisen mallineen avulla. Vastaava laskennallinen käsitte­

ly on ns. päätösvälialgoritmi /12/. Referenssiarvoksi ote­

taan tällöin tavoitetason ja epätyydyttävän tason puolivä­

lissä sijaitseva suureen arvo. Kumulatiivisen summan las­

kenta aloitetaan aina, kun mittaussuure ylittää referens- siarvon. Jos summa palaa nollaan, prosessi on hallinnassa, mutta jos päätösraja ylittyy, suureen keskiarvo on merkit­

tävästi muuttunut. Detektoinnin herkkyys riippuu päätösvä- 1in suuruudesta.

4 2 О -2 -4

A Raw data

^у^ЛдАлУХ/^

i i i i i 1

10 20 30 40 50 60

В Cusum

-2

--4 —

Kuva 13. Tavallinen valvontakäyrä ja vastaava Cusum-käyrä /28/. Keskiarvo muuttuu hetkellä t = 30.

Mikäli tutkittava signaali sisältää jatkuvan trendin, Cu­

sum-käyrä karkaa nopeasti yli kaikkien rajojen. Suurin haitta menetelmän kliinisen soveltamisen kannalta on kui­

tenkin se, että tavoitearvon valinta vaikuttaa ratkaisevas­

ti tuloksiin /21/. Yleensähän ei ole tarpeellista pitää fysiologista suuretta millään tarkasti määritellyllä tasol­

la, vaikka jonkinlaisia vertailuarvoja voidaankin määrittää esimerkiksi laskemalla suureen keskiarvo joltain terveeltä henkilöryhmältä saaduista tuloksista tai samalta potilaalta mitatusta signaalijaksosta. Cusum-menetelmä sopii fysiolo­

gisen suureen seurantaan lähinnä silloin, kun suureen kes­

kiarvo pysyy enimmäkseen vakiona ja ollaan nimen omaan kiinnostuneita mahdollisista keskiarvon muutoksista.

Kumulatiiviset summat soveltuvat ennustevirheiden seuran­

taan paremmin kuin itse signaalin monitorointiin /30,85/.

Ennustamisen yhteydessä voidaan laskea ennuste virhe iden taaksepäisiä kumulatiivisia summia

Si=et + et_1+ ••■+et_i+i, i= • (28) Jos jokin summista ylittää sille asetetut rajat, aika­

sarjassa on tapahtunut muutos, jota ennustusalgoritmi ei ole kyennyt seuraamaan.

Triggin seurantasignaali TTS määritellään eksponentiaali- tasoitetun ennustevirheen SE ja ennustevirheen eksponen- tiaalitasoitetun itseisarvon SÄE osamääränä /58/ :

TTS t

SEt SAEt

SEt SAEt

aet + (1- a)SEt-1 cc I et I H- (1 — a)SAEt_ x , et = У» - У111-1 •

0«x<l

(29⁾

Tasoitusvakio a on tyypillisesti suuruusluokkaa 0,1 - 0,2.

Jos tarkoituksena on havaita valvontasuureen keskiarvon muutokset, yhden askeleen päähän ulottuvana ennusteena

ÿ * 11-1 käytetään useimmiten eksponentiaalitasoitettua mit­

taussignaalia:

ÿt|t-i = + (1- »)yt-i|t-2 • (30)

Triggin signaali pysyy lähellä nollaa, kun ennusteet ovat tarkkoja. Arvo +1 tai -1 merkitsee, että valvottavan aika­

sarjan keskiarvo on varmasti muuttunut. Kutakin seuranta- signaalin arvoa vastaa tietty todennäköisyys keskiarvon merkittävälle muutokselle. Triggin signaalilla voidaan tarkkailla minkä tahansa muunkin ennustamismenetelmän suo­

rituskykyä. Tällöin riippuu ennustamismenetelmän ominai­

suuksista, millaiset valvottavan prosessin muutokset näky­

vät seurantasignaalissa.

Kuvassa 14 on seurattu sydämen lyöntitiheyden kehitystä Triggin menetelmällä. Koska Triggin signaali ei suoranai­

sesti kerro muutoksen voimakkuudesta, seurantasignaalin arvo ei sovi ainoaksi hälytyskriteeriksi. Pienistä askel- muutoksista koostuva trendi jää kokonaan huomaamatta, jos seurantasignaali ehtii palautua nollaan muutosten välillä /21/. Triggin menetelmää voidaan sen sijaan hyvin käyttää ennustamisen apuna.

Kuva 14. a) Askelmuutoksen sisältävä jakso sydämen lyönti- tiheyden rekisteröinnistä, b) Triggin seurantasignaali TTS ja 99%: n luottamusrajat sille, että lyöntitiheyden keskiar­

vo on merkittävästi muuttunut. /21/

Patient condition factor (PCF) /40/ on Triggin signaalin modifioitu versio, joka ottaa huomioon muutoksen kliinisen merkityksen. Valvontasuureelle asetetaan rajat Vmin ja Vmax sekä keskiarvo eli tavoitearvo Vave. Potilaan tilan kehit­

tymistä kuvaava suure saadaan kertomalla Triggin seuranta- signaali valvontasuureen arvosta у-j- riippuvalla painofunk- tiolla :

PCFt

y,-v V - V_{v max ave}

yt-v, V • - Vv min T ave

ave TTS TTSt

t ,kun yt>Vave

, kun y t < V Bve . (31)

Muutos keskiarvon suuntaan tulkitaan siis myönteiseksi ja muutos keskiarvosta poispäin kielteiseksi kehitykseksi.

Lisäksi muutosta painotetaan sitä voimakkaammin, mitä kau­

empana tavoitearvosta se tapahtuu. Kuvassa 15 on seurattu PCF:n avulla hoitotoimenpiteen vaikutusta sydämen lyöntiti- heyteen.

100 r

TRTRS

Kuva 15. Ylhäällä sydämen lyöntitiheyden rekisteröinti, johon on merkitty Valsalva-toimenpiteen kesto. Alhaalla Triggin seurantas ignaa 1 i (TRTS) sekä patient condition factor (PCF). Potilaan tilan katsotaan olevan stabiili, kun PCF pysyy asetettujen rajojen sisäpuolella. /40/

PCF : n laskenta edellyttää tavoitearvon valintaa kuten Cu- sum-menetelmäkin, joskaan referenssiarvon muuttaminen ei vaikuta PCF-tekijään niin voimakkaasti kuin kumulatiiviseen summaan. Potilaan tilan paranemista, huonontumista ja en­

nallaan pysymistä vastaavat PCF:n arvoalueet on määriteltä­

vä kokemuksen perusteella. Tehtävää hankaloittaa se, että PCF : n asteikko riippuu myös valvontasuureelle asetetuista

rajoista Vmin ja Vmax /21/. PCF hillitsee Triggin seuran- tasignaalin liiallista vaihtelua, mutta ei poista Triggin menetelmän rajoituksia. Painofunktio saattaisi olla käyttö­

kelpoinen muussakin yhteydessä : esimerkiksi painotunktion ja signaalin muutosnopeuden tulo voisi kuvata valvontasuu- reen kehitystä.

6.2 Käyränsovitusmenetelmät

Valvontasuureelle saadaan yksinkertainen ennuste sovitta­

malla mittauspisteisiin jokin käyrä pienimmän neliösumman menetelmällä ja ekstrapoloimalla käyrää tulevaisuuteen.

Sovitefunktio voi olla esimerkiksi suora, yleinen polynomi, eksponenttifunktio tai logistinen funktio. Funktion muodon valintaan ei ole muuta kriteeriä kuin sovitteen hyvyys.

Valitettavasti samoihin mittauspisteisiin voi usein sovit­

taa suunnilleen yhtä hyvällä menestyksellä erityyppisiä käyriä, jotka kuitenkin antavat hyvin erilaisia ennusteita

/13/.

Lineaarisen sovitef unktion parametrit on mahdollista laskea myös kohdassa 5.5 selostetulla rekursiivisella pienimmän neliösumman menetelmällä. Jos aikasarjan luonne muuttuu sovitusjakson aikana, lopullinen sovitesuora saattaa kui­

tenkin painottua liiaksi jakson alkupään pisteisiin /91/.

Käyränsovitusmenetelmiä on sovellettu lähinnä keskipitkän tähtäimen taloudellisessa ennustamisessa /62/. Reaaliai­

kaiseen poti las vai vontaan menetelmät sopivat huonosti, mutta niitä voitaisiin ehkä käyttää analysoitaessa hitaasti muuttuvien fysiologisten suureiden kehitystä.

Paikallisia sovitekäyriä käytetään hyväksi myös numeeri­

sessa derivoinnissa. Karkein esimerkki tästä on tavalli­

nen kahden pisteen differenssi, joka on kahden datapisteen kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Kolmeen pisteeseen voidaan sovittaa tarkka parabeli tai regressiosuora. Jäl­

kimmäisessä tapauksessa suoran kulmakerroin vastaa keski­

määräistä derivaattaa. Tavallisten polynomien lisäksi so- vitteina on käytetty mm. splinejä.

6.3 Box - Jenkins-ennustaminen

Boxin ja Jenkinsin menetelmässä haetaan mittaustietoihin sopiva ARIMA(p,d,q)-malli ja ennustetaan seuraava aikasar­

jan arvo kaavasta

(32) missä et = et - ja zt on aikasarjan d:s differenssi - esi­

merkiksi kerran integroidulle mallille (d = 1) zt = y»-yt-i ja zt|t-i = ÿ 111_ x - Ус-i . missä on aikasarjan arvo. Vakio c sisältää aikasarjan keskiarvon tai integroidun mallin ta­

pauksessa keskimääräisen d:nnen asteen trendikomponentin.

Tähdättäessä aikasarjan arvoon Yt+n on käsiteltävä välipis- teiden ennusteita 8t+1|t,... ,zt+n-i|t kuten oikeita mittausarvo­

ja. Menetelmällä saadaan myös luottamusväli ennusteelle.

Box - Jenkins-mallit on sovitetaan perinteisesti interak­

tiivisesti, ts. ennustusohjelman käyttäjä tutkii erityyp­

pisten mallien sopivuutta ja valitsee parhaan rakenteen.

Mallin valintaan on kehitelty myös automaattisia algorit­

meja /27,38/, mutta identifiointi on silti liian työlästä onnistuakseen reaaliajassa. Jos mallin rakenne lyödään ennalta lukkoon, parametrit voidaan kyllä estimoida melko nopeasti jaksosta mittausarvoja. Huomattakoon kuitenkin, että MA-termejä sovitettaessa joudutaan iteroimaan, joten kertaluku q ei voi käytännössä olla kovin suuri.

Kuvassa 16 on esitetty ARIMA(0,1,2)-mal1in mukainen ennuste plasman kaiiumpitoisuuden aikasarjalle. Keskimääräinen trendi c on määritelty mallin parametriksi ja estimoitu muiden kertoimien mukana. Kuten kohdassa 5.3 todettiin, ARIMA-mallit kuvaavat ensisijaisesti aikasarjan lyhytai­

kaista vaihtelua. Aikasarjan parilla seuraavalla arvolla on suuri merkitys ennustettaessa esimerkiksi kuukausittais­

ta myyntiä. Sitä vastoin potilasvalvonnassa ennusteen tuli­

si yleensä ulottua useiden näytevälien päähän, etenkin jos näytteitä saadaan muutamien sekuntien välein. Pitkän tähtäimen ARIMA-ennusteesta AR- ja MA-kerrointen vaikutus häviää, ja ennuste zt+n|t lähestyy aikasarjan tai trendin keskiarvoa c. Box - Jenkins-proseduuri on turhan raskas tämän tuloksen toteamiseen, joten trendiennusteet kannat­

taa laatia yksinkertaisemmilla menetelmillä.

Boxin ja Jenkinsin menetelmää voisi ajatella sovellettavan lähinnä sellaisiin fysiologisiin signaaleihin, jotka ovat normaalitilassaan stationaarisia. Trendin ilmaantuminen tai muu poikkeama normaalitilan mallista havaittaisiin tällöin ennustevirheen perusteella.

[К*]р

2

-1 *

О

О 10 20 30 40 50

Kuva 16. Plasman K+-pitoisuuden aikasarja ja sovitetun ARIMA (0,1,2)-malIin antama ennuste 20 päivän päähän /23/.

Kaltevat katkoviivat ilmoittavat ennusteen 95%:n luottamus­

välin ja vaakasuora katkoviiva suureen normaalialueen ala­

rajan.

6.4 Eksponentiaalitasoitusmenetelmät

Eksponentiaalitasoitusmenetelmiä sovelletaan yleisesti lyhyen aikavälin ennustamiseen /62/. Näille menetelmille ovat ominaisia rekursiiviset estimointiyhtälöt ja uusimpien mittausten painottaminen vanhojen kustannuksella.

Tavallinen eksponentiaalitasoittaja esitettiin kaavassa (30) :

ÿt+i|t = <*yt + (1- ojÿtit-i , 0<q<1 ,

joka voidaan kirjoittaa myös muotoon

ÿt+i|t = ÿt|t-i + aet , (33)

missä e^- on ennustevirhe yt - y111— i • Sama ennuste saadaan itse asiassa ARIMA(0,1,1)-mal1ista, jonka parametri = a-1.

Tasoitusvakio voidaankin valita käymällä jokin edustava signaalijakso läpi eri a :n arvoilla ja minimoimalla ennus- tevirheen neliösumma a ;n suhteen. Aikasarjan seuraavaan arvoon tähtäävää ennustetta käytetään myös pitemmän tähtäi­

men ennusteena :yt+k|t = Yt+i|t .kun k > 1. Eksponentiaalitasoit­

men ennusteena :yt+k|t = Yt+i|t .kun k > 1. Eksponentiaalitasoit­

In document Matemaattiset menetelmät tehohoidon ja anestesian tietojen hallinnassa (sivua 30-0)