Hilbertin avaruuden ortonormaali kanta

Hilbertin avaruuden ortonormaali kanta

Pro gradu -tutkielma Antti Lankanen 258612

Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto

4. toukokuuta 2021

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Perustietoja 1

2.1 Normi ja normiavaruus . . . 2 2.2 Jonoista . . . 6

3 Sisätuloavaruudet 12

3.1 Sisätulo . . . 12 3.2 Ortogonaalisuus . . . 23 3.3 Ortokomplementti . . . 28

4 Päätulos 32

Lähteet 41

Tiivistelmä

Tässä tutkielmassa käsitellään Hilbertin avaruutta ja perehdytään etenkin Hilbertin avaruuden ortonormaaliin kantaan. Alkuun käydään läpi asioita, joita tarvitaan Hilbertin avaruuden käsittelyyn.

Tutkielma lähtee liikkeelle yleisesti vektoriavaruuksista, jonka jälkeen käsi- tellään metriikkaa ja sitä kautta päästään metrisiin avaruuksiin. Tämän jäl- keen syvennetään edelleen ja tarkastellaan vektorin pituuden kautta normia ja sitä kautta normiavaruuksia. Vektoriavaruuksien erikoistapauksena tarkas- tellaan jonoja sekä jonoavaruuksia. Sellainen metrinen avaruus, jonka jokai- nen Cauchyn jono suppenee, on täydellinen metrinen avaruus. Täydellistä normiavaruutta kutsutaan Banachin avaruudeksi.

Edellä mainittujen avaruuksien käsittelyn jälkeen on luonnollista siirtyä tar- kastelemaan sisätuloa, joka on hyvin keskeinen osa tutkielmaa. Kun sisätulot ovat määritelty, voidaan määritellä aiempien avaruuksien jatkoksi sisätuloa- varuus. Määritellään myös normi sisätulon avulla. Tämän jälkeen käydään läpi erilaisia sisätuloavaruuksien ominaisuuksia, joita tarvitaan myöhemmin.

Sisätulon ja sisätulon avulla määritellyn normin avulla päästään käsiksi tut- kielman kannalta oleellisimpaan avaruuteen, Hilbertin avaruuteen. Se on nor- minsa suhteen täydellinen sisätuloavaruus.

Tutkielman kannalta on oleellista tarkastella vektorien ortogonaalisuutta ja sitä kautta joukon ortonormaaliutta, jotka ovat jo tuttuja käsitteitä lineaa- rialgebran kurssilta. Näitä laajennetaan tässä tutkielmassa mielivaltaisiin si- sätuloavaruuksiin. Lisäksi tuodaan esille ortokomplementti sekä sen eri omi- naisuudet, joita tarvitaan vielä tutkielman päätuloksessa. Tutkielmassa käy- dään myös läpi lyhyesti vektoriavaruuden osajoukon konveksisuutta sekä sen Hilbertin avaruuteen liittyviä ominaisuuksia.

Vielä ennen tutkielman päätulokseen perehtymistä käydään läpi Hilbertin avaruuden aliavaruuksien ominaisuuksia. Lisäksi tutkielmassa tarkastellaan Besselin epäyhtälöä. Tutkielman varsinaisessa päätuloksessa on Hilbertin ava- ruuden ja sen ortonormaalin jonon osalta neljä keskenään yhtäpitävää väitet- tä. Näiden avulla lopulta todetaan millainen ortonormaalin jonon tulee olla, jotta kyseinen jono on Hilbertin avaruuden ortonormaali kanta.

Abstract

This thesis deals with Hilbert spaces and in particular orthonormal basis for Hilbert space. In the beginning it is useful to work through basics that are needed to understand and cover Hilbert spaces.

Starting point of this thesis is general vector spaces. After that metrics will be covered which leads us to metric spaces. From there it is natural to move on to the concept of norm and to the normed spaces. The focus is to con- nect characteristics of metric spaces into normed spaces. In addition some sequences and sequence spaces will be looked through. With relation to these concepts completeness of a metric space will be covered. The metric space is complete if every Cauchy sequence converges. A complete normed space is called a Banach space.

After aforementioned spaces it is natural to move on to consider the in- ner product, which is an important part of this thesis. When inner products have been dened inner product space is introduced as a continuation of pre- viously dened spaces. Also norm will be dened by inner product. Dierent properties of inner products are important later on so those will be cove- red. With inner product and norm it is possible to get access into the most important space of this thesis, which is the Hilbert space. That is an inner product space which is complete with respect to its norm.

It is important for this thesis to consider orthogonality of vectors which leads to orthonormality. Both of those terms are familiar from courses on li- near algebra, but in this thesis those concepts are generalized into arbitrary inner product spaces. In addition, orthogonal complement and its properties will be highlighted as those are needed in the leading motive of this thesis.

Convexity of linear subspaces, and their properties regarding Hilbert spaces are covered briey.

Finally some properties of subspaces of a Hilbert space and Bessel's inequa- lity will be covered. The aim of this thesis is to obtain four equivalent con- ditions, which describe key properties for a sequence to be an orthonormal basis for Hilbert space.

1 Johdanto

Tutkielmassa vektoriavaruudet ovat keskeinen asia, jota käsitellään. Liikkeel- le lähdetään metriikasta ja metrisistä avaruuksista. Tämän avaruuden omi- naisuuksia pyritään kuljettamaan mukana, kun syvennytään muihin avaruuk- siin. Metrisestä avaruudesta päästään normiavaruuteen sekä sisätuloavaruu- teen. Tutkielman kannalta kiinnostavin avaruus on sisätuloavaruus. Lisäksi perehdytään myös siihen, millainen on täydellinen avaruus.

Tutkielman päätuloksessa kantavektorien lineaarikombinaatiot täyttävät ko- ko avaruuden. Esimerkiksi tasossa R² tunnetaan kantavektorit ˆı = (1,0) ja ˆ

 = (0,1). Nämä kantavektorit ovat lineaarisesti riippumattomat ja niiden lineaarikombinaationa voidaan esittää kaikki tason R² vektorit. Vastaavasti voidaan ottaa yksi dimensio lisää eli laajentaa tämä ajatus avaruuteen R³. Kun lisätään yksi dimensio, lisätään samalla yksi vektori lisää, jolloin kanta- vektorit ovatˆı= (1,0,0), ˆ= (0,1,0)ja kˆ= (0,0,1). Nämä ovat edelleen li- neaarisesti riippumattomia ja niiden lineaarikombinaatioiden avulla voidaan esittää kaikki avaruuden R³ vektorit.

Vektorien kohtisuoruus on helposti ymmärrettävä käsite tasossa R² ja kun laajennetaan avaruuteen R³, pystytään vielä ymmärtämään ja jopa näke- mään kolme toisiaan vasten kohtisuoraa vektoria. Kun laajennetaan dimen- sioita edelleen, jopa ääretönulotteisiin vektoriavaruuksiin, vektorit voivat edel- leen olla kohtisuorassa toisiaan vasten. Kuitenkin jo neljän lineaarisesti riip- pumattoman keskenään kohtisuoran vektorin kuvitteleminen on haastellista kolmiulotteiseen maailmaan tottuneilla aivoilla. Tässä tutkielmassa pyritään löytämään keinoja käsitellä ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, joiden kan- tavektorit ovat keskenään kohtisuorassa toisiaan vasten.

Taso R² sekä avaruus R³ ovat tuttuja ja niitä on käsitelty kattavasti aiem- min. Niitä on myös kohtuullisen helppo ymmärtää. Tässä tutkielmassa pe- rehdytään, mitä tapahtuu silloin kun dimensioita lisätään aina äärettömään asti.

2 Perustietoja

Tässä luvussa käsitellään yleisesti perustietoja, joita tarvitaan tutkielmassa.

Perehdytään ensin vektoriavaruuksiin ja lopuksi tutkitaan vektorien välisiä kulmia. Luvussa pyritään laajentamaan kaksi- ja kolmiulotteisista vektoria- varuuksista useampiulotteisiin tapauksiin, jolloin näitä voidaan paremmin

hahmottaa ja käsitellä.

2.1 Normi ja normiavaruus

Vektoriavaruuksia on käsitelty jo lineaarialgebran kursseilla, joten ne voidaan olettaa tunnetuiksi. Tutkielmassa tarkastellaan sekä reaalisia että kompleksi- sia vektoriavaruuksia. Kun puhutaan reaalisista tai kompleksisista vektoria- varuuksista, tarkoitetaan reaali- ja kompleksikertoimisia vektoriavaruuksia.

Vektoriavaruuksien kerroinkunta voi siis olla R tai C. Tutkielmassa, mikäli ei ole väliä kumpaa kerroinkuntaa käytetään, merkitään sitä yleisesti F.

Määritelmä 2.1. Olkoon X mielivaltainen vektoriavaruus. Nyt epätyhjä joukko U ⊆X on aliavaruus, jos

1. x+y∈U kaikille x, y ∈U,

2. αx∈U kaikille x∈U ja α∈F.

[5, ss. 3-4]

Tämä tarkoittaa siis, että minkä tahansa kahden joukon U alkion summan tulee olla myös joukossa U. Lisäksi joukon U alkio kerrottuna millä tahansa skalaarilla tulee olla myös joukossa U. Tätä kutsutaan aliavaruustestiksi [5, s. 4]. Yleisesti tunnetaan, että vektoriavaruuden aliavaruus on myös vekto- riavaruus ja sitä kutsutaan vektorialiavaruudeksi.

Määritelmä 2.2. Olkoot V jaW vektoriavaruuksia. Funktiota T :V →W kutsutaan lineaarikuvaukseksi, jos

T(αx+βy) =αT(x) +βT(y) kaikilla x, y ∈V ja α, β ∈F. [4, s. 33]

Määritelmä 2.3. Lineaarikuvauksen T :V →W 1. ydin on joukko ker(T) :={x∈V :T(x) = 0}.

2. kuva-avaruus on joukko T(V) = {T(x) :x∈V}. [5, ss. 7-8]

Määritellään seuraavaksi etäisyysfunktio [5, s. 11].

Määritelmä 2.4. Kuvaus d:M×M →R on metriikka joukossaM, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat kaikille x, y, z ∈M:

1. d(x, y)≥0;

2. d(x, y) = 0 jos ja vain jos x=y; 3. d(x, y) = d(y, x);

4. d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z).

Paria (M, d) kutsutaan metriseksi avaruudeksi, jos kuvaus d on metriikka joukossa M. [5, s. 11]

Metriikka määrää etäisyysfunktion, joka on tärkeä työkalu, kun tarkastellaan jonojen suppenemista ja funktioiden jatkuvuutta metrisessä avaruudessa. [5, s. 11]

Määritelmä 2.5. Metrisen avaruuden (M, d) joukkoa B_x(r) = {y∈M :d(x, y)< r}

sanotaan avoimeksi palloksi, jonka keskipiste on x ∈ M ja säder > 0. [5, s.

13]

Jatkossa käsitellään jonoja, joten käydään läpi niiden suppeneminen metri- sessä avaruudessa.

Määritelmä 2.6. Metrisen avaruuden (M, d)jono{xn}suppenee kohti pis- tettä x∈M, mikäli jokaiselle ε >0 on olemassa jokinN ∈N siten, että

d(x, x_n)< ε

kaikille n ≥ N. Jono {xn} metrisessä avaruudessa (M, d) on Cauchyn jono, jos jokaiselle ε >0 on olemassa jokin N ∈N siten, että

d(x_m, x_n)< ε kaikille m, n≥N. [5, s.12]

Cauchyn jono on tärkeä käsite, jota hyödynnetään vielä myöhemmin tut- kielmassa. Määritellään seuraavaksi metrisen avaruuden ja sen osajoukkojen ominaisuuksia.

Määritelmä 2.7. Olkoon (M, d) metrinen avaruus ja joukko A⊂M. 1. JoukkoAon rajoitettu, jos on olemassa jokin lukub >0, jolled(x, y)<

b kaikillax, y ∈A.

2. Joukko A on avoin, jos voidaan muodostaa avoin ε >0 säteinen pallo mihin tahansa pisteeseen x∈A siten, että B_x(ε)⊂A.

3. JoukkoA on suljettu, jos joukko M\A on avoin.

4. Piste x∈M on joukon A kasautumispiste, jos jokainen tämän pisteen r > 0 säteinen palloympäristö B_x(r) sisältää pisteen y∈ A siten, että x6=y.

5. MerkintäA tarkoittaa joukonA sulkeumaa ja se on joukon Akaikkien kasautumispisteiden ja erillispisteiden joukko.

6. JoukkoA on tiheä joukossa M, jos A=M. [5, s. 13]

Edellä määriteltiin milloin metrisen avaruuden joukko on rajoitettu, avoin ja suljettu. Lisäksi määriteltiin mitä ovat joukon kasaantumispiste ja sulkeuma sekä milloin joukko on tiheä. Seuraavassa tuloksessa, jonka todistus sivuute- taan tunnettuna, käydään läpi näihin käsitteisiin liittyviä ominaisuuksia.

Lause 2.8. Olkoon (M, d) metrinen avaruus ja A⊂M.

1. Joukko A on suljettu ja on niiden joukon M suljettujen osajoukkojen leikkaus, jotka sisältävät joukon A.

2. Joukko A on suljettu jos ja vain jos A=A.

3. Joukko A on suljettu jos ja vain jos aina kun jono {a_n} ⊂A suppenee kohti x∈M, niin x∈A.

4. x∈A jos ja vain jos inf{d(x, y) :y∈A}= 0.

5. Avoin pallo B_x(r) on avoin joukko millä tahansa x ∈ M ja r > 0. Tämän avoimen pallon sulkeuma on

B_x(r) ={y∈M :d(x, y)≤r}.

6. Joukko A on tiheä joukossa M jos ja vain jos mitä tahansa alkiota x∈M sekä lukua ε >0 vastaa piste y∈A, jolle pätee d(x, y)< ε. [5, s. 14]

Luku aloitettiin käsittelemällä perusasioita vektoriavaruuksista sekä niiden aliavaruuksia. Metrisistä avaruuksista siirrytään seuraavaksi muihin avaruuk- siin. Vektorit ovat olennainen osa tutkielmaa, joten lähdetään liikkeelle vek- toreista ja erityisesti niiden pituuteen liittyvistä haasteista.

Yksinkertaisissa vektoriavaruuksissaR² jaR³ oleville vektoreille voidaan hel- posti määrittää pituus. Kuitenkin muissa tapauksissa, kuten ääretönulottei- sissa tai kompleksisissa vektoriavaruuksissa pituus ei ole niin selvä käsite. [5, s. 31]

Määritelmä 2.9. Olkoon X jokin F kertoiminen vektoriavaruus. Tällöin normi vektoriavaruudessa X on funktiok · k:X →R, jos

1. kxk ≥0 kaikillax∈X;

2. kxk= 0 jos ja vain jos x= 0;

3. kαxk=|α|kxk kaikilla x∈X ja α∈F; 4. kx+yk ≤ kxk+kykkaikilla x, y ∈X.

Vektoriavaruutta X kutsutaan normiavaruudeksi, mikäli X on varustettu normilla. [5, ss. 31-32]

VektoriavaruuksissaR² jaR³voidaan ymmärtää mitä tarkoittaa pituus. Kui- tenkin useampiulotteisissa vektoriavaruuksissa ei ole välttämättä täysin sel- vää millainen ominaisuus vektorin pituus on. Hyödynnetään siis normia pi- tuuden käsittelyssä. [5, s. 31]

Lemma 2.10. Olkoon X vektoriavaruus varustettuna normilla k · k. Jos d : X ×X → R on funktio d(x, y) = kx−yk, niin silloin pari (X, d) on metrinen avaruus.

Todistus. Käydään läpi, että funktio d(x, y) = kx − yk toteuttaa kaikki Määritelmän 2.4 ehdot. Hyödyntämällä normin ominaisuuksia Määritelmästä 2.9 ja kun x, y, z ∈X, niin

1. d(x, y) = kx−yk ≥0pätee suoraan Määritelmän 2.9 kohdan 1 nojalla;

2. d(x, y) = 0 jos ja vain jos x=y: nyt

d(x, y) =kx−yk= 0 ⇔ x−y = 0 ⇔ x=y;

3. d(x, y) = d(y, x): kirjoitetaan auki

d(x, y) = kx−yk=k −1(−x+y)k=| −1|ky−xk=ky−xk=d(y, x);

4. d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z): Määritelmän 2.9 kohdan 4 mukaan saadaan d(x, z) = kx−zk=kx+y−y−zk=k(x−y) + (y−z)k

≤ kx−yk+ky−zk=d(x, y) +d(y, z).

Funktio d toteuttaa kaikki metriikan ehdot, joten pari (X, d) on metrinen

avaruus. [5, s. 36]

MikäliX on vektoriavaruus varustettuna normillak·kjadon metriikka kuten Lemmassa 2.10, niin metriikkaadkutsutaan normiin liitetyksi metriikaksi [5, s. 36]. Näin saadaan normiavaruuden ja metrisen avaruuden välille yhteys, josta on paljon hyötyä myöhemmin. Erityisesti jatkossa, kun normiavaruu- dessa käytetään metrisen avaruuden ominaisuuksia, käytetään juuri normiin liitettyä metriikkaa [5, s. 36].

Lause 2.11. Olkoon vektoriavaruus X, jolla on normi k · k ja jonka ker- roinkunta on F. Olkoon tämän vektoriavaruuden jonot {x_n} ja {y_n}, jotka suppenevat vektoriavaruudessa X kohti vektoreita x ∈ X ja y ∈ X vastaa- vasti. Olkoon vielä kerroinkunnan F jono {αn}, joka suppenee kohti arvoa α ∈F. Tällöin

1.

kxk − kyk

≤ kx−yk; 2. limn→∞kx_nk=kxk; 3. limn→∞(x_n+y_n) = x+y; 4. limn→∞αnxn=αx.

Todistus. Ohitetaan. [5, ss. 37-38]

Normia ja normiavaruuden perusasioita hyödynnetään myöhemmin.

2.2 Jonoista

Tässä käsitellään tutkielman kannalta oleellisia jonojen ominaisuuksia sekä tärkeitä epäyhtälöitä. Edellä metrisen avaruuden yhteydessä käsiteltiin jonon suppenemista sekä mainittiin Cauchyn jono. Kuinka metriset avaruudet ja Cauchyn jonot sitten liittyvät toisiinsa?

Määritelmä 2.12. Metrisen avaruuden (M, d)sanotaan olevan täydellinen, mikäli jokainen avaruuden (M, d) Cauchyn jono suppenee. Joukko A ⊂ M on täydellinen avaruudessa(M, d), mikäli jokainen joukossaAoleva Cauchyn jono suppenee kohti jotakin joukon A alkiota. [5, s. 16]

Määritelmä 2.13. Olkoon (M, d) metrinen avaruus ja joukko A sen osa- joukko. Joukon A sanotaan olevan kompakti silloin, kun jokainen joukon A jono {x_n} sisältää osajonon, joka suppenee kohti jotakin joukon A alkiota.

Edelleen joukonA⊂M sanotaan olevan suhteellisesti kompakti, jos sulkeuma A on kompakti. Jos joukko M on itsessään kompakti, sanotaan parin (M, d) olevan kompakti metrinen avaruus. [5, s. 16]

Tutkielman kannalta oleellisin avaruus vaatii täydellisyyden määritelmän, joten käydään läpi myös täydellisen avaruuden ominaisuuksia eri joukoissa.

Lause 2.14. Olkoon metrinen avaruus (M, d) ja joukko A sen osajoukko, jolloin

1. joukon A ollessa täydellinen, se on suljettu;

2. joukon M ollessa täydellinen, joukko A on täydellinen jos ja vain jos se on suljettu;

3. joukon A ollessa kompakti, on se myös suljettu ja rajoitettu;

4. jokainen avaruuden F^k suljettu ja rajoitettu osajoukko on kompakti.

Todistus. Ohitetaan. [5, s. 17]

Jonot voivat myös muodostaa erilaisia avaruuksia. Määritellään seuraavaksi eräs tutkielman kannalta keskeinen jonoavaruus sekä sen normi.

Määritelmä 2.15. Olkoon 1≤p < ∞. Tällöin `^p on jonoavaruus,

`^p :=

(

{a_n} ⊂F:

∞

X

n=1

|a_n|^p <∞ )

.

Tämän jonoavaruuden standardi normi on

k{an}kp =

∞

X

n=1

|an|^p

!¹_p .

[1, s. 17]

Tämän tutkielman kannalta oleellisinta on tarkastella jonoavaruutta, jossa p = 2 eli jonoavaruutta `². Tätä jonoavaruutta käsitellään tarkemmin myö- hemmin. Tässä yhteydessä käydään läpi jonoavaruuteen liittyviä tuloksia.

Määritelmä 2.16. Positiivisten reaalilukujen p ja q, joille p+q=pq tai vastaavasti 1

p +1 q = 1, sanotaan olevan duaalieksponentteja. [4, s. 63]

Lause 2.17. Olkoon 1 < p < ∞ ja 1 < q < ∞ niin, että p ja q ovat duaalieksponentteja. Tällöin

k

X

j=1

|x_jy_j| ≤

k

X

j=1

|x_j|^p

!¹_{p k} X

j=1

|y_j|^q

!¹_q

kaikilla k ∈N. Väite pätee myös tapauksessa k =∞. [5, s. 28]

Tätä kutsutaan Hölderin epäyhtälöksi ja tässä muodossa epäyhtälö koskee erityisesti jonoja. Lauseella 2.17 on erikoistapaus, jota voidaan hyödyntää tässä tutkielmassa. Seuraavaa tulosta kutsutaan Schwarzin epäyhtälöksi.

Seuraus 2.18. Duaalieksponenttien erikoistapauksessa p = q = 2 Hölderin epäyhtälöstä saadaan

k

X

j=1

|x_jy_j| ≤

k

X

j=1

|x_j|²

!¹_{2 k} X

j=1

|y_j|²

!¹₂

kaikilla k ∈N. Väite pätee myös tapauksessa k =∞. [5, s. 29]

Schwarzin epäyhtälöä voidaan hyödyntää jonoavaruuden `² tarkastelussa.

Kuten Lauseen 2.17 epäyhtälö, myös Seurauksen 2.18 sekä seuraavan lauseen epäyhtälöt koskevat kyseisessä muodossaan vain jonoja. Seuraava tulos tun- netaan Minkowskin epäyhtälönä.

Lause 2.19. Olkoon 1≤p < ∞, jolloin

k

X

j=1

|x_j+y_j|^p

!¹_p

≤

k

X

j=1

|x_j|^p

!¹_p +

k

X

j=1

|y_j|^p

!_p¹

kaikilla k ∈N. Väite pätee myös tapauksessa k =∞. [5, s. 28]

Huomautus 2.20. Jonoavaruudelle `<sup>p</sup> on määritelty laskutoimitukset seuraa- vasti. Olkoon x={x1, x2,· · · } ∈`^p ja olkoon y ={y1, y2,· · · } ∈`^p. Tällöin

1. yhteenlasku on määritelty x+y = {x₁ +y₁, x₂ +y₂,· · · } ja Lauseen 2.19 sekä Määritelmän 2.15 mukaan

kx+yk_p =

∞

X

n=1

|x_n+y_n|^p

!¹_p

≤

∞

X

n=1

|x_n|^p

!¹_p +

∞

X

n=1

|y_n|^p

!¹_p

<∞, joten kaikilla x, y ∈`<sup>p</sup> pätee x+y∈`^p.

2. skalaarilla kertominen on määritelty αx={αx₁, αx₂,· · · }, jolloin kαxk_p =

∞

X

n=1

|αx_n|^p =

∞

X

n=1

|α|^p|x_n|^p =|α|^p

∞

X

n=1

|x_n|^p <∞

kaikilla x∈`<sup>p</sup> ja α∈F, joten αx∈`^p. [6, ss. 6-8]

Tärkeimmät jonoavaruuksiin liittyvät epäyhtälöt, sekä jonoavaruuden `² las- kutoimitukset on käyty läpi. Määritelmässä 2.15 määriteltiin jonoavaruudelle normi, joten on luonnollista tarkastella, onko normilla varustettu jonoavaruus normiavaruus.

Lause 2.21. Olkoon `<sup>2</sup> Määritelmän 2.15 mukainen jonoavaruus, missä p= 2 ja sillä vastaava normi. Nyt pari (`²,k · k2) on normiavaruus.

Todistus. On todistettava, että k · k2 on todella normi jonoavaruudessa `². Osoitetaan, että kaikki Määritelmän 2.9 ehdot pätevät.

1. Olkoon x = {x_n} ∈ `² mielivaltainen. Jonoavaruuden määritelmän mukaan P∞

n=1|x_n|² < ∞ ja neliön epänegatiivisuuden nojalla ehto kxk2 = (P∞

n=1|xn|²)

1

2 ≥0 on selvä.

2. Ehto kxk₂ = (P∞

n=1|x_n|²)¹² = 0 jos ja vain jos x= 0 on selvä.

3. Jonoavaruuden normin määritelmän mukaan

kαxk2 =

∞

X

n=1

|αxn|²

!¹₂

= |α|²·

∞

X

n=1

|xn|²

!¹₂

=|α|

∞

X

n=1

|x_n|²

!¹₂

=|α|kxk₂ pätee kaikille α∈F ja x∈`².

4. Minkowskin epäyhtälön eli Lauseen 2.19 nojalla

kx+yk₂ =

∞

X

n=1

|x_n+y_n|²

!¹₂

≤

∞

X

n=1

|x_n|²

!¹₂ +

∞

X

n=1

|y_n|²

!¹₂

=kxk₂+kyk₂ kaikilla x, y ∈`².

Kaikki Määritelmän 2.9 ehdot toteutuvat, joten k · k₂ on normi jonoavaruu- dessa `<sup>2</sup>. Siis pari (`²,k · k₂) on normiavaruus. [6, s. 10]

Huomautus 2.22. Vastaavalla tarkastelulla voidaan nähdä, että jonoavaruus

`^p on normiavaruus kaikilla p≥1.

Esimerkki 2.23. Olkoon jono x_i = {0,· · · ,0,1,0,· · · }, jossa jonon ainoa nollasta poikkeava alkio on arvoltaan yksi ja se on jononi:s jäsen. Nyt tämän jonon normi Määritelmän 2.15 mukaan on

kx_ik_p =

∞

X

n=1

|x_n|^p

!¹_p

= (0^p+· · ·+ 0^p+ 1^p+ 0^p+· · ·)^1p = 1 millä tahansa i=N.

Lemma 2.24. Jos 1 ≤ p < q < ∞, tällöin normeille pätee kxk_q ≤ kxk_p kaikilla x∈`<sup>p</sup>. Erityisesti `^p ⊂`^q. [1, s. 30]

Todistus. Olkoon 1 ≤ p < q < ∞, jolloin Määritelmän 2.15 mukaan mieli- valtaiselle x∈`^p pätee

kxk^q_q=

∞

X

n=1

|x_n|^q =

∞

X

n=1

|x_n|^q−p|x_n|^p

≤

sup

n∈N

|x_n|^{q−p ∞}

X

n=1

|x_n|^p

≤

∞

X

n=1

|x_n|^p

!^q−p_{p ∞} X

n=1

|x_n|^p

=

∞

X

n=1

|x_n|^p

!^q_p

=kxk^q_p.

(2.1)

Otetaan yhtälöstä puolittain q:s juuri, jolloin saadaan kxk_q ≤ kxk_p

ja edelleen `<sup>p</sup> ⊂`^q. [2, s. 38]

Esimerkki 2.25. Olkoon jonoavaruus `<sup>2</sup>, tarkastellaan siirto-operaattoria L : `² → `², L {x₁, x₂, x₃,· · · }

= {x₂, x₃, x₄,· · · }. Tämä siirto-operaattori

tekee muokkauksen {x₁, x₂, x₃,· · · } → {x₂, x₃, x₄,· · · } eli jonon ensimmäi- nen alkio jätetään pois. Siirto-operaattori on lineaarikuvaus avaruudelta `² itselleen, koska

L(αx+βy) = L

α{x1, x2,· · · }+β{y1, y2,· · · }

=L

{αx₁+βy₁, αx₂+βy₂,· · · }

={αx2+βy2, αx3+βy3,· · · }

=α{x₂, x₃,· · · }+β{y₂, y₃,· · · }

=αL(x) +βL(y)

kaikilla x, y ∈`² eli Määritelmän 2.2 ehto toteutuu.

Olkoon y = {y₁, y₂,· · · } ∈ `<sup>2</sup> mielivaltainen. Valitaan x = {0, y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>,· · · }. Koska y ∈ `², niin tällöin Määritelmän 2.15 mukaan täytyy olla myös, että x={0, y₁, y₂,· · · } ∈`². Nyt

L(x) = L

{0, y₁, y₂,· · · }

={y₁, y₂,· · · }=y.

Näin ollen siirto-operaattori L : `<sup>2</sup> → `² on surjektio. Siirto-operaattori L on lineaarikuvaus avaruudelta `<sup>2</sup> itselleen ja tämän vuoksi Määritelmän 2.3 sekäL surjektiivisuuden mukaan kuva-avaruusL(`²) on itse`². Koska siirto- operaattori jättää jonon ensimmäisen alkion pois, on ydin tällöin

ker(L) =

{x,0,0,· · · }:x∈F .

Eli jonon ensimmäinen alkio voi olla mitä tahansa kun muut alkiot ovat nollia. Edellä todettiin, että siirto-operaattori on surjektiivinen. Koska kaksi lähtöjoukon alkiota voivat kuvautua samalle maalijoukon alkiolle, ei siirto- operaattori ole injektiivinen. Näin ollen siirto-operaattorin L:`<sup>2</sup> →`² kään- teiskuvaus ei ole olemassa.

Mikäli jokainen metrisen avaruuden Cauchyn jono suppenee, on metrinen avaruus täydellinen. Aiemmin löydettiin metrisen avaruuden sekä normia- varuuden välille yhteys, jotta voidaan hyödyntää metrisen avaruuden omi- naisuuksia myös normiavaruudessa. Täydelliselle normiavaruudelle on oma nimensä.

Määritelmä 2.26. Täydellistä normiavaruutta kutsutaan Banachin avaruu- deksi. [5, s. 48]

Normiin liitetyn metriikan vuoksi normiavaruudet ovat myös metrisiä ava- ruuksia. Suppeneminen metrisessä avaruudessa käytiin läpi Määritelmässä 2.6, tarkastellaan seuraavaksi vastaavaa ominaisuutta normiavaruuden näkö- kulmasta.

Määritelmä 2.27. Olkoon X metrinen avaruus ja {x_k} jono tässä avaruu- dessa. Jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n, lauseke s_n = Pn

k=1x_k on jonon osasumma. Nyt sarjan P∞

k=1xk sanotaan suppenevan, jos raja-arvo limn→∞s_n on olemassa avaruudessa X. Tällöin voidaan määritellä

∞

X

k=1

x_k= lim

n→∞s_n.

[5, s. 49]

Tarkastellaan vielä sarjan suppenemista Banachin avaruudessa.

Lause 2.28. Olkoon X Banachin avaruus ja {x_k} tämän avaruuden jono.

Mikäli sarja P∞

k=1kx_kk suppenee, niin silloin myös sarja P∞

k=1x_k suppenee.

Todistus. Sivuutetaan. [5, ss. 49-50]

3 Sisätuloavaruudet

Edellä käsitellyistä normi- ja metrisistä avaruuksista syvennytään jatkossa vielä muihin avaruuksiin. Jotta näihin avaruuksiin päästään, on tarkastelta- va erästä keskeistä operaatiota. Tämän jälkeen päästään kohtisuoruuteen ja kuinka se toteutuu mielivaltaisissa vektoriavaruuksissa.

3.1 Sisätulo

Lähdetään liikkeelle ensin reaalisesta vektoriavaruudesta ja perehdytään vie- lä kompleksiseen vektoriavaruuteen.

Määritelmä 3.1. Sisätulo reaalisessa vektoriavaruudessaXon funktio(·,·) : X×X →R, missä kaikilla x, y, z ∈X ja α, β ∈R pätee

1. (x, x)≥0;

2. (x, x) = 0 jos ja vain josx= 0; 3. (αx+βy, z) =α(x, z) +β(y, z);

4. (x, y) = (y, x). [5, s. 51]

Määritelmä 3.1 pätee kyseisessä muodossaan vain reaalisille vektoriavaruuk- sille. Koska aina ei voida olla reaalisessa vektoriavaruudessa, on perusteltua määritellä sisätulo myös kompleksisissa vektoriavaruuksissa.

Määritelmä 3.2. Kun X on kompleksinen vektoriavaruus, sisätulo vekto- riavaruudessaX on kuvaus(·,·) :X×X →C, jolle pätee kaikillax, y, z ∈X ja α, β ∈C

1. (x, x)∈Rja (x, x)≥0;

2. (x, x) = 0 jos ja vain josx= 0; 3. (αx+βy, z) =α(x, z) +β(y, z); 4. (x, y) = (y, x).

[5, s. 53]

Lause 3.3. Funktio (·,·) : C^k×C^k → C, (x, y) =Pk

n=1x_ny_n määrää stan- dardin sisätulon vektoriavaruudessa C^k [5, s. 53].

Todistus. Osoitetaan, että Määritelmän 3.2 kaikki kohdat pätevät ja käyte- tään kompleksikonjugaattia tarvittaessa.

1. (x, x) =Pk

n=1x_nx_n =Pk

n=1|x_n|² ≥0, koska |x_n|² ≥0kaikillan, joten (x, x)∈R, ja(x, x)≥0;

2. (x, x) =Pk

n=1x_nx_n =Pk

n=1|x_n|² = 0 ⇔ x₁ =x₂ =· · ·=x_k= 0

⇔ x= 0;

3. (αx+βy, z) =Pk

n=1(αxn+βyn)zn=Pk

n=1(αxnzn+βynzn)

=αPk

n=1x_nz_n+βPk

n=1y_nz_n=α(x, z) +β(y, z); 4. (x, y) = Pk

n=1x_ny_n=Pk

n=1y_nx_n = (y, x).

Määritelmissä 3.1 sekä 3.2 on kohdassa 3 yhdistetty kaksi ominaisuutta yh- teen. Määritelmien mukaan täytyy olla (x + y, z) = (x, z) + (y, z) sekä (αx, y) = α(x, y), kaikilla x, y, z ∈X.

Määritelmä 3.4. Reaalista tai kompleksista sisätulolla varustettua vekto- riavaruutta X kutsutaan sisätuloavaruudeksi. [5, s. 53]

Tutkielman kannalta keskeinen avaruus on rakenteeltaan sisätuloavaruus, jo- ten sisätulot ovat tärkeä osa tutkielmaa. Käydään läpi erilaisia tutkielman kannalta oleellisia sisätulojen ominaisuuksia, joita voidaan myöhemmin hyö- dyntää. Jonoavaruudesta `² on todettu, että se on normiavaruus. Tarkastel- laan seuraavaksi, onko se myös sisätuloavaruus.

Lause 3.5. Josa={a_n} ∈`<sup>2</sup> jab={b<sub>n</sub>} ∈`², niin tällöin jono{a_nb_n} ∈`<sup>1</sup>. Lisäksi kuvaus (·,·) : `² ×`² → F, (a, b) = P∞

n=1anbn on sisätulo jonoava- ruudessa `². [5, s. 55]

Lauseen 3.5 sisätuloa kutsutaan standardiksi sisätuloksi avaruudessa `² [5, s.

55].

Todistus. Olkoot a, b∈`². Seurauksen 2.18 nojalla

∞

X

n=1

|a_nb_n| ≤

∞

X

n=1

|a_n|²

!¹_{2 ∞} X

n=1

|b_n|²

!¹₂

=kak₂· kbk₂ <∞,

eli {a_nb_n} ∈ `¹. Tällöin (a, b) = P∞

n=1a_nb_n on hyvin määritelty. Osoitetaan nyt, että jokainen Määritelmän 3.2 kohdista pätee avaruudessa `².

1. (a, a) = P∞

n=1a_na_n =P∞

n=1|a_n|² ≥0. 2. (a, a) = P∞

n=1|a_n|² = 0 implikoi, että a_n = 0 kaikilla n ∈ N, täl- löin on oltava, että a = 0. Vastaavasti a = 0 implikoi, että (a, a) = P∞

n=1|a_n|² =P∞

n=1|0|² = 0 kaikillan ∈N.

3. (αa+βb, c) =P∞

n=1(αa_n+βb_n)z_n=P∞

n=1αa_nz_n+P∞

n=1βb_nz_n

=α(a, z) +β(b, z).

4. (a, b) =P∞

n=1a_nb_n=P∞

n=1b_na_n= (b, a).

[5, s. 226]

Lauseen 3.5 nojalla jonoavaruudessa`<sup>2</sup> on standardi sisätulo, joten Määritel- män 3.4 mukaan jonoavaruus `² on sisätuloavaruus.

Sisätuloilla on monia ominaisuuksia, jotka seuraavat suoraan määritelmis- tä. Käydään näitä läpi tässä kohtaa tarkemmin, jotta myöhemmin voidaan palata näihin.

Lemma 3.6. Olkoon X kompleksinen sisätuloavaruus, sekä x, y, z ∈ X ja α, β ∈C:

1. (0, y) = (x,0) = 0;

2. (x, αy+βz) =α(x, y) +β(x, z);

3. (αx+βy, αx+βy) =|α|²(x, x) +αβ(x, y) +βα(y, x) +|β|²(y, y).

Todistus. Saadaan

1. (0, y) = (0·0, y) = 0 ja (x,0) = (0, x) = 0 = 0.

2. Tässä käytetään ensin Määritelmän 3.2 kohtaa 4, jonka jälkeen saman määritelmän kohtaa 3 ja lopuksi vielä kohtaa 4 uudelleen:

(x, αy+βz) = (αy+βz, x) =α(y, x) +β(z, x)

=α(y, x) +β(z, x) = α(x, y) +β(x, z).

3. Hyödynnetään tässä tämän lemman kohtaa 2 sekä Määritelmän 3.2 kohtaa 3:

(αx+βy, αx+βy) = α(αx+βy, x) +β(αx+βy, y)

=αα(x, x) +αβ(y, x) +βα(x, y) +ββ(y, y)

=|α|²(x, x) +αβ(y, x) +βα(x, y) +|β|²(y, y).

[5, s. 56]

Seuraus 3.7. Jos α =β = 1, niin Lemman 3.6 kohta 3 voidaan kirjoittaa muodossa

(x+y, x+y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) kaikilla x, y ∈X.

Lemma 3.8. Sisätuloavaruudelle X pätee 1. |(x, y)|² ≤(x, x)(y, y) kaikilla x, y ∈X,

2. kuvaus k · k:X →R, kxk= (x, x)¹² on normi avaruudessa X. [5, s. 56]

Lemman 3.8 ensimmäisen kohdan epäyhtälöä kutsutaan Cauchy-Schwarzin epäyhtälöksi, joka voidaan nyt normin merkintätapaa käyttäen kirjoittaa seu- raavasti

|(x, y)| ≤ kxkkyk, x, y ∈X.

Lemman 3.8 kohdassa 2 määritelty sisätuloavaruuden normin sanotaan ole- van sisätulon indusoima. Tämän vuoksi jokaista sisätuloavaruutta voidaan pitää normiavaruutena indusoidun normin suhteen. Jatkossa sisätuloavaruu- denX yhteydessä käytetyllä normilla tarkoitetaan indusoitua normia, vaikka sitä ei erikseen mainittaisi. Vaikka jokaisessa sisätuloavaruudessa on indusoi- tu normi, se ei tarkoita kuitenkaan sitä, että jokainen normi olisi indusoitu sisätulolla. Yleisesti normeilla ei ole kaikkia ominaisuuksia, mitä sisätulolla indusoiduilla normeilla on. [5, ss. 57-58] Edellä Määritelmässä 3.4 todettiin, että sisätuloavaruus voi olla reaalinen tai kompleksinen. Eli sisätuloavaruu- den kerroinkunta voi olla Rtai C. Seuraavissa sisätulon ominaisuuksia käsit- televissä todistuksissa käydään läpi reaalisten sisätuloavaruuksien tapauksien lisäksi kompleksisten sisätuloavaruuksien ominaisuuksia. Tätä varten voidaan palauttaa mieleen seuraava kompleksilukuja koskeva tulos.

Lause 3.9. Kompleksiluvun reaali- ja imaginääriosat voidaan ilmoittaa seu- raavasti:

1. <z = ¹₂(z+z), 2. =z = _2i¹(z−z), kaikilla z ∈C.

Todistus. Olkoon nyt kompleksiluku z =a+bi, missä a, b∈R. Tällöin 1. ¹₂(z+z) = ¹₂(a+bi+a−bi) = ¹₂ ·2a =a=<z,

2. _2i¹(z−z) = _2i¹(a+bi−(a−bi)) = _2i¹(a+bi−a+bi) = _2i¹ ·2bi =b ==z.

Lemma 3.10. Olkoon sisätuloavaruus X varustettuna sisätulolla (·,·), jol- loin kaikille u, v, x, y ∈X pätee

1. (u+v, x+y)−(u−v, x−y) = 2(u, y) + 2(v, x);

2. 4(u, y) = (u+v, x+y)−(u−v, x−y)+i(u+iv, x+iy)−i(u−iv, x−iy), kun kyseessä on kompleksinen sisätuloavaruus X.

[5, s. 58]

Todistus. Hyödynnetään Lemman 3.6 kohtaa 3, erityisesti Seurausta 3.7, jolloin

1. kirjoittamalla auki saadaan:

(u+v, x+y)−(u−v, x−y) = (u, x) + (u, y) + (v, x) + (v, y)

−((u, x)−(u, y)−(v, x) + (v, y))

= 2(u, y) + 2(v, x).

2. Vastaavasti kirjoitetaan auki

4(u, y) = 2(u, y) + 2(v, x)−2(v, x) + 2(u, y)

= 2(u, y) + 2(v, x) + 2i²(v, x) + 2ii(u, y)

= 2(u, y) + 2(v, x) + 2i(iv, x) + 2i(u, iy)

= 2(u, y) + 2(v, x) +i(2(iv, x) + 2(u, iy))

= 2(u, y) + 2(v, x) +i((iv, x) + (iv, x) + (u, iy) + (u, iy))

= 2(u, y) + 2(v, x) +i((u, x)−(u, x) + (u, iy) + (u, iy) + (iv, x) + (iv, x) + (iv, iy)−(iv, iy))

= 2(u, y) + 2(v, x) +i((u, x) + (u, iy) + (iv, x) + (iv, iy)

−(u, x) + (u, iy) + (iv, x)−(iv, iy))

= 2(u, y) + 2(v, x) +i((u+iv, x+iy)−(u−iv, x−iy)).

Ensimmäisen kohdan mukaan

2(u, y) + 2(v, x) = (u+v, x+y)−(u−v, x−y), hyödynnetään tätä, jolloin saadaan

4(u, y) = 2(u, y) + 2(v, x) +i((u+iv, x+iy)−(u−iv, x−iy))

= (u+v, x+y)−(u−v, x−y)

+i(u+iv, x+iy)−i(u−iv, x−iy).

[5, s. 226]

Lause 3.11. Olkoon X sisätuloavaruus, jossa on sisätulo (·,·) sekä sen in- dusoima normi k · k. Tällöin kaikille x, y ∈X pätee

1. kx+yk²+kx−yk² = 2 (kxk²+kyk²) ; 2. sisätuloavaruuden X ollessa reaalinen

4(x, y) = kx+yk²− kx−yk²;

3. vastaavasti sisätuloavaruuden X ollessa kompleksinen

4(x, y) =kx+yk²− kx−yk²+ikx+iyk²−ikx−iyk². [5, s. 58]

Todistus.

1. Aloitetaan todistus kirjoittamalla auki normin neliöt Lemman 3.8 koh- dan 2 mukaisesti

kx+yk²+kx−yk² = (x+y, x+y) + (x−y, x−y).

Käytetään nyt Lemman 3.6 kohtaa 3 hyödyksi, jolloin saadaan (x+y, x+y) + (x−y, x−y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)

+ (x, x)−(x, y)−(y, x) + (y, y)

= (x, x) + (y, y) + (x, x) + (y, y)

= 2(x, x) + 2(y, y) = 2 kxk²+kyk² . 2. Kyseessä on reaalinen sisätuloavaruus X, joten voidaan käyttää Mää-

ritelmän 3.1 kohtaa 3 sekä Lemman 3.6 kohtaa 3.

4(x, y) = (x, y) + (x, y) + (x, y) + (x, y) = (x, y) + (y, x) + (x, y) + (y, x)

= (x, x)−(x, x) + (x, y) + (y, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)−(y, y)

= (x, x) + (y, x) + (x, y) + (y, y)−(x, x) + (y, x) + (x, y)−(y, y)

= (x+y, x+y)−((x, x)−(y, x)−(x, y) + (y, y))

= (x+y, x+y)−(x−y, x−y) = kx+yk² − kx−yk².

3. Tässä tapauksessa sisätuloavaruus X on kompleksinen, joten hyödyn- netään nyt Määritelmän 3.2 kohtaa 3 ja Lemman 3.6 kohtaa 4 sekä kompleksilukujen ominaisuuksia. Jaetaan ensin vasen puoli reaali- ja imaginääriosiin 4(x, y) = 4<(x, y) + 4i=(x, y). Koska kompleksiarvoi- sen sisätulon reaaliosa on reaaliarvoinen sisätulo, niin edeltävän kohdan 2 nojalla:

4<(x, y) =kx+yk²− kx−yk².

Keskitytään tutkimaan imaginääriosaa 4i=(x, y). Aloitetaan jakamalla se osiin, jonka jälkeen voidaan hyödyntää Lauseen 3.9 kohtaa 2, jonka

mukaan 2i=z =z−z, tällöin saadaan

4i=(x, y) = −2(−2i=(x, y)) = 2(x, y)−2(x, y)

=i(−2i(x, y) + 2i(y, x))

=i(−i(x, y)−i(x, y) +i(y, x) +i(y, x))

=i (x, x)−i(x, y) +i(y, x) + (iy, iy)

−(x, x)−i(x, y) +i(y, x)−(iy, iy)

=i

(x, x) + (x, iy) + (iy, x) + (iy, iy)

− (x, x)−(x, iy)−(iy, x) + (iy, iy)

=i (x+iy, x+iy)−(x−iy, x−iy)

=i kx+iyk²− kx−iyk²

=ikx+iyk²−ikx−iyk². Nyt voidaan yhdistää kohdassa 2 saatu reaaliosa imaginääriosan kans- sa, jolloin saadaan

4(x, y) = 4<(x, y)+4i=(x, y) =kx+yk²−kx−yk²+ikx+iyk²−ikx−iyk². Lauseen 3.11 kohtaa 1 kutsutaan suunnikkassäännöksi ja sitä voidaan käyt- tää esimerkiksi osoittamaan, että vektoriavaruuden annettua normia ei ole indusoitu sisätulolla. Eli mikäli suunnikassääntö ei toteudu normille, ei nor- mia ole indusoitu sisätulolla. Myös Lauseen 3.11 kohdilla 2 ja 3 on omat nimet ja niitä kutsutaan polarisaatiokaavoiksi. [5, s. 58]

Edellä todettiin, että indusoidulla normilla varustettua sisätuloavaruutta X voidaan pitää normiavaruutena. Aiemmassa osiossa liitettiin metriikka nor- miin ja tätä ominaisuutta voidaan hyödyntää myös tässä. Tällöin sisätuloa- varuutta X voidaan pitää metrisenä avaruutena. Jatkossa mikäli käytämme jotakin metrisen avaruuden ominaisuuksia sisätuloavaruudessaX, ne on mää- ritelty normiin liitetyllä metriikalla. Yksi tärkeä sisätulon ominaisuus on sen jatkuvuus. [5, s. 59]

Lemma 3.12. Olkoon X sisätuloavaruus ja oletetaan jonojen {x_n} ja {y_n} olevan suppenevia jonoja sisätuloavaruudessa X. Jos limn→∞xn = x ja limn→∞y_n =y, niin

n→∞lim (x_n, y_n) = (x, y).

Todistus. Otetaan nyt jonojen sekä niiden alkioiden, joita kohti jonot sup- penevat, sisätulojen erotuksen moduli

|(x_n, y_n)−(x, y)|=|(x_n, y_n)−(x_n, y) + (x_n, y)−(x, y)|

≤ |(xn, yn)−(xn, y)|+|(xn, y)−(x, y)|

=|(x_n, y_n−y)|+|(x_n−x, y)|

≤ kx_nkky_n−yk+kx_n−xkkyk.

Edellä ensin kehitettiin lauseketta, jonka jälkeen käytettiin kolmioepäyhtälöä sekä Määritelmän 3.2 kohtaa 3. Lopuksi käytettiin vielä Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä. Nyt kx_nk on rajoitettu, koska jono {x_n} suppenee. Myös koska limn→∞x_n=xjalimn→∞y_n=y, niin epäyhtälön oikea puoli lähestyy nollaa, kun n lähestyy ääretöntä. Eli

|(x_n, y_n)−(x, y)| ≤ kxkky_n−yk+kx_n−xkkyk →0, kun n→ ∞, joten limn→∞(x_n, y_n) = (x, y). [5, s. 59]

Esimerkki 3.13. Otetaan tarkasteluun normiavaruus (`<sup>2</sup>,k · k<sub>2</sub>), missä jo- noavaruus `² ja sen normi k · k₂ ovat kuten Määritelmässä 2.15.

1. Kiinnitetään vektori x∈`², x={x1, x2,· · · }. Jos v_k={0,· · · ,0, x_k,0,· · · }, k∈N, niin P∞

k=1v_k=x.

2. Olkoon y = {y₁, y₂,· · · }, missä y_k = ¹_k kaikilla k ∈ N. Koska kyk²₂ = P∞

k=1|y_k|² =P∞ k=1

1

k² <∞, niin y ∈`². Jos v_k ={0,· · · ,0, y_k,0,· · · }, niin sarjaP∞

k=1kv_kk₂ hajaantuu, vaikka kohdan 1 nojallaP∞

k=1v_k=y.

3. SarjaP∞

k=1kv_kk₂, missäv_k={0,· · · ,0,_k¹2,0,· · · }suppenee. Näin ollen P∞

k=1v_k suppenee kohti avaruuden `² jonoa Lauseen 2.28 nojalla.

Ratkaisu

1. Muodostetaan osasummat S_n=

n

X

k=1

v_k ={x₁,0,· · · }+{0, x₂,0,· · · }+· · ·+{0,· · · ,0, x_n,0,· · · }

={x₁, x₂,· · ·, x_n,0,· · · }.

Otetaan nyt normi osasumman ja vektorin x erotuksesta, jolloin kS_n−xk²₂ =k{x₁, x₂, . . . , x_n,0,· · · } − {x₁, x₂,· · · , x_n, x_n+1,· · · }k²₂

=k{0,· · · ,0,−x_n+1,−x_n+2,· · · }k²₂

=

∞

X

k=n+1

|x_k|² →0, kun n→ ∞.

Huomaa, että jonoavaruuden `<sup>2</sup> määritelmän ja oletuksen x ∈ `² mu-

kaan _∞

X

k=1

|x_k|² <∞.

2. Vektorin v_k normiksi saadaan kv_kk₂ =

0, . . . ,0,1 k,0, . . .

2

= 1

|k|^{2 1}₂

= 1 k. Tällöin sarja P∞

k=1kv_kk₂ =P∞ k=1

1

k hajaantuu.

3. Valitaan nyt mielivaltainenk ∈N, jolloin vektorin w_k normi on

kv_kk₂ =

0, . . . ,0, 1 k²,0, . . .

2

= 1

|k²|^{2 1}₂

= 1

k², k ∈N. TällöinP∞

k=1kvkk2 =P∞ k=1

1

k² <∞jaP∞

k=1vk suppenee Lauseen 2.28 nojalla. [6, ss. 25-27]

Banachin avaruudeksi kutsuttiin normiavaruutta silloin, kun se on täydelli- nen. Normiavaruuksista siirryttäessä sisätuloavaruuksiin, voidaan kuvitella, että olisi olemassa myös täydellinen sisätuloavaruus ja tällä on myös on ni- mensä.

Määritelmä 3.14. Norminsa suhteen täydellistä sisätuloavaruutta kutsu- taan Hilbertin avaruudeksi. [5, s. 63]

Lause 3.15. Sisätuloavaruus `²,(·,·)

on Hilbertin avaruus.

Todistus. Hilbertin avaruudet ovat täydellisiä sisätuloavaruuksia. Olkoon jono {x_k} Cauchyn jono normiavaruudessa (`²,k · k₂), missä

xk ={xk,1, xk,2, . . . , xk,n, . . .}.

Jotta tämä avaruus olisi täydellinen, on jokaisen tämän avaruuden Cauchyn jonon supettava jotakin avaruuden (`²,k · k₂) jonoa kohden. Tämä todistus

tehdään kolmessa vaiheessa, joista ensimmäisessä etsitään ehdokasjono raja- arvolle. Tämän jälkeen näytetään, että tämä a todella kuuluu joukkoon `². Lopuksi näytetään, että limk→∞x_k=a.

Etsitään raja-ehdokas a = {a₁, a₂,· · · , a_n,· · · }, jota kohti jono {x_k} sup- penee, missä

xk ={xk,1, xk,2, . . . , xk,n, . . .}, kaikilla k∈N.

Jokaiselle kiinnitetylle indeksille n jono{x_k,n}on Cauchyn jono avaruudessa (C,| · |), koska

|x_k,n−x_l,n|² ≤

∞

X

j=1

|x_k,j−x_l,j|² =kx_k−x_lk²₂.

Oletuksen, Määritelmän 2.6 sekä Lemman 2.10 mukaan mille tahansa ε >0 on olemassa N ∈N, jolle

|x_k,n−x_l,n| ≤ kx_k−x_lk₂ < ε kaikillak, l≥N.

Koska avaruus (C,| · |) on täydellinen, niin jokaisella indeksillä n jo- no {x_k,n} suppenee kohti rajaa a_n ∈ C, kun k → ∞. Olkoon vektori a = (a₁, a₂, . . . , a_n, . . .)∈C^N.

Varmistetaan seuraavaksi, että a ∈ `<sup>2</sup>. Osoitetaan, että (x<sub>k</sub> − a) ∈ `², kun k on riittävän suuri. Koska jonoavaruus `<sup>2</sup> on vähennyslaskun suhteen suljettu, a∈`² voidaan tällöin päätellä kirjoittamalla

a=x_k−(x_k−a). (3.1)

Olkoon nyt ε >0, mielivaltainen ja valitaanM ∈N. Koska{x_k}on Cauchyn jono avaruudessa `², niin on olemassa N ∈N siten, että

M

X

j=1

|x_k,j−x_l,j|² ≤

∞

X

j=1

|x_k,j−x_l,j|² =kx_k−x_lk²₂ < ε²

kaikille k, l ≥ N. Tarkastellaan seuraavaksi edellä käsitellyn kaavan vasenta puolta ja annetaan l lähestyä ääretöntä:

l→∞lim

M

X

i=1

|xk,j−xl,j|² =

M

X

j=1

|xk,j− lim

l→∞xl,j|² =

M

X

j=1

|xk,j−aj|².

Tämä tarkoittaa, että

l→∞lim

M

X

j=1

|x_k,j−x_l,j|² ≤ε²,

ja edelleenPM

j=1|x_k,j−a_j|² ≤ε². Tämä pätee kaikilleM ∈N, jolloin voidaan tarkastella tilannetta, jossa annetaan luvun M lähestyä ääretöntä. Tällöin

saadaan _∞

X

j=1

|x_k,j−a_j|² ≤ε².

Nyt on osoitettu, ettäxk−a ∈`², jolloin tämän normi tässä avaruudessa on

kx_k−ak₂ =

∞

X

j=1

|x_k,j−a_j|²

!¹₂

≤ε,

millä tahansa k≥N. Kaavan 3.1 nojalla a∈`².

Edellä löydettiin ehdokasjono a raja-arvoksi ja todettiin, että a ∈ `<sup>2</sup>. Lisäksi todettiin, että mille tahansa ε > 0 on olemassa jokin N ∈ N, että d(x<sub>k</sub>, a) = kx<sub>k</sub> −ak<sub>2</sub> ≤ ε kaikilla k ≥ N. Määritelmän 2.6 mukaan tämä tarkoittaa siis sitä, että limk→∞x<sub>k</sub> = a, eli jokainen avaruuden `² Cauchyn jono suppenee kohti jotakin tämän avaruuden jonoa. Näin ollen jonoavaruus

`² on täydellinen ja siten Hilbertin avaruus. [6, ss. 31-33]

3.2 Ortogonaalisuus

Sisätuloa voidaan hyödyntää vektorien välisen kulman selvittämisessä. Lem- massa 3.8 esitettyä Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä soveltaen

|(x, y)| ≤ kxkkyk.

Mikäli x jay ovat nollasta poikkeavia vektoreita, reaalisille sisätuloavaruuk- sille pätee

−1≤ (x, y) kxkkyk ≤1.

Määritellään vektorien x ja y väliseksi kulmaksi θ = cos⁻¹

(x, y) kxkkyk

.

Kompleksisessa tapauksessa tämä ei välttämättä päde, sillä vektorien x ja y sisätulo saattaa olla kompleksinen. Tiedetään kuitenkin, että arkuskosini nollassa antaa kulmaksi 90^◦. Eli kun sisätulo (x, y) = 0 vektorit ovat kohti- suorassa toisiaan vasten. [5, s. 60]

Määritelmä 3.16. Olkoon X sisätuloavaruus sekäx ja y tämän avaruuden vektoreita. Vektoritx jay ovat kohtisuorassa toisiaan vasten eli ortogonaali- set, kun (x, y) = 0. [5, s. 60]

Ortogonaalisuutta merkitään x ⊥ y. Määritelmä 3.16 on mielekäs myös kompleksisissa vektoriavaruuksissa. Ortonormaaleja joukkoja on käsitelty jo lineaarialgebran kursseilla. Myöhempien tarkastelujen vuoksi laajennetaan näitä mielivaltaisiin sisätuloavaruuksiin [5, s. 61].

Määritelmä 3.17. Sisätuloavaruuden X osajoukon A sanotaan olevan or- tonormaali, kun (x, y) = 0 kaikilla x, y ∈ A ja x 6= y, sekä kxk = 1 kaikilla x∈A. [5, s. 61]

Vektoriavaruuden osajoukko on ortonormaali silloin, kun jokaisen osajouk- koon kuuluvan vektorin normi on yksi ja kun vektorit ovat pareittain ortogo- naaliset. Määritelmä 3.17 pätee yleisesti myös ääretönulotteisissa sisätuloa- varuuksissa.

Esimerkki 3.18. Sisätuloavaruuden R² osajoukko A = {a₁ = (1,0), a₂ = (0,1)} on ortonormaali. Määritelmän 3.17 mukaan, jotta joukko olisi orto- normaali tulee olla ka_nk= 1 kaikilla n∈ {1,2}.Nyt joukon A vektoreille

ka₁k² = (a₁, a₁) = 1·1 + 0·0 = 1, ka₂k² = (a₂, a₂) = 0·0 + 1·1 = 1.

Näiden vektorien normit ovat siis 1. Tarkastellaan vielä, että ovatko vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan:

(a₁, a₂) = 1·0 + 0·1 = 0.

Molemmat joukon Avektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, koska nii- den välinen sisätulo on 0. Näin ollen sisätuloavaruuden R² osajoukko A on ortonormaali joukko.

Määritelmä 3.19. Olkoon vektoriavaruus X ja A sen epätyhjä osajoukko A⊆X. Määritellään:

Sp{A}= ( _k

X

n=1

α_nx_n:α_n ∈F, x_n∈A, k = 1,2, . . . )

. (3.2)

Lineaarikombinaatioista koostuvaa joukkoa Sp{A} kutsutaan vektorijoukon A virittämäksi aliavaruudeksi. [3, s. 155]

Lause 3.20. Määritelmän 3.19 joukolle Sp{A} pätee:

1. Sp{A} on vektoriavaruuden X aliavaruus.

2. Jos A ⊆ B ⊆ X, missä B on avaruuden X aliavaruus, Sp{A} ⊆ B. [3, s. 155]

Vaikka vektorijoukko A sisältäisi äärettömän monta alkiota, Sp{A} muo- dostuu vain äärellisistä lineaarikombinaatioista. Seuraavassa tuloksessa mää- ritellään sisätuloavaruudelle kanta. Erityisesti kohdassa 1 olevan joukon {e₁,· · · , e_k} sanotaan olevan avaruuden X ortonormaali kanta [5, s. 61].

Lemma 3.21.

1. Missä tahansa sisätuloavaruudessaX,ortonormaali joukko{e₁,· · ·, e_k} on lineaarisesti riippumaton. Mikäli sisätuloavaruusX onk-ulotteinen, tällöin ortonormaali joukko {e₁,· · · , e_k} on tämän sisätuloavaruuden kanta. Tässä tapauksessa mikä tahansa sisätuloavaruuden X vektori x∈X voidaan ilmaista muodossa

x=

k

X

n=1

(x, e_n)e_n. (3.3)

2. Jos on olemassa sisätuloavaruuden X lineaarisesti riippumaton os- ajoukko {v₁, . . . , v_k} sekä S =Sp{v₁,· · · , v_k}, niin silloin on olemassa joukolle S ortonormaali kanta {e₁,· · · , e_k}. [5, s. 61]

Ennen Lemman 3.21 todistusta palautetaan lyhyesti mieleen lineaarialgebran kursseilta Gram-Schmidtin ortonormitusmenetelmä, jonka mukaan

bk+1 =vk+1−

k

X

n=1

(vk+1, en)en, ek+1 = b_k+1 kb_k+1k.

Tämän mukaan siis voidaan sisätuloavaruuden kannasta tehdä ortonormaali kanta. [3, s. 261]

Todistus. 1. Oletetaan, että joillakin α_n ∈ F, n = 1, . . . , k, pätee Pk

n=1α_ne_n = 0. Nyt voidaan ottaa sisätulo mielivaltaisen kantavektorin e_m kanssa, missä m = 1, . . . , k, jolloin

0 =

k

X

n=1

α_ne_n, e_m

! .

Kirjoitetaan summa auki, jolloin saadaan

0 = (α₁e₁+α₂e₂+· · ·+α_ke_k, e_m).

Tähän voidaan nyt soveltaa Lauseen 3.2 kohtaa 3, jolloin saadaan 0 = α₁(e₁, e_m) +α₂(e₂, e_m) +· · ·+α_m(e_m, e_m) +· · ·+α_k(e_k, e_m).

Nyt Määritelmän 3.17 mukaan (e_n, e_m) = 0 kaikilla n 6= m, joten edellä olevasta yhtälöstä saadaan

0 =α_m(e_m, e_m) = α_m, 1≤m≤k.

Näin ollen joukko {e₁,· · · , e_k} on lineaarisesti riippumaton.

Jos joukko{e₁,· · · , e_k}on kanta, niin silloin on olemassaλ_n∈F, n = 1, . . . , k niin, että voidaan kirjoittaa x = Pk

n=1λ_ne_n. Tämän jälkeen voidaan ottaa sisätulo tästä kaavasta kantavektorin em kanssa ja kirjoittaa se auki

(x, e_m) =

k

X

n=1

λ_ne_n, e_m

!

= (λ₁e₁+· · ·+λ_ke_k, e_m). (3.4) Tässä voidaan jälleen hyödyntää Määritelmän 3.2 kohtaa 3 sekä Määritelmää 3.17, jolloin saadaan

(λ₁e₁+· · ·+λ_ke_k, e_m) =λ₁(e₁, e_m) +· · ·+λ_k(e_k, e_m) =

k

X

n=1

λ_n(e_n, e_m) =λ_m, (3.5) missä m = 1, . . . , k. Yhdistämällä (3.4) ja (3.5) saadaan (3.3) .

2. Toinen kohta todistetaan induktion avulla.

Perusaskel: Todistetaan, että väite pätee arvolla k = 1. Koska v₁ 6= 0 ja kv₁k 6= 0, niin voidaan muodostaa vektori e₁ = v₁/kv₁k ja {e₁} on vaadittu kanta.

Induktio-oletus: Oletetaan, että väite pätee jollekin k ≥ 1. Olkoon vektori- joukko {v₁,· · ·, v_k+1} lineaarisesti riippumaton joukko. Induktio-oletuksen mukaan vektorijoukon virittämälle aliavaruudelle Sp{v₁,· · · , v_k} on olemas- sa ortonormaali kanta {e₁,· · · , e_k}. Nyt täytyy olla v_k+1 ∈/ Sp{v₁, . . . , v_k}, koska joukko {v₁,· · · , v_k+1} on lineaarisesti riippumaton. Näin ollen