Poistuvuus kvasikonformi- ja Sobolev-kuvauksille

Poistuvuus kvasikonformi- ja Sobolev-kuvauksille

Jyrki Takanen

Matematiikan pro gradu

Jyv¨askyl¨an yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kes¨a 2019

i

Tiivistelm¨a:Jyrki Takanen,Poistuvuus kvasikonformi- ja Sobolev-kuvauksille (engl.

Removability for quasiconformal maps and Sobolev functions), matematiikan pro gra- du -tutkielma, 29 s., Jyv¨askyl¨an yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kes¨a 2019.

T¨am¨an tutkielman tarkoituksena on tutkia kompaktien joukkojen poistuvuutta jatkuville Sobolev-funktioille sek¨a kvasikonformikuvauksille. Ty¨oss¨a esitet¨a¨an tunnet- tuja tuloksia poistuvista joukoista sek¨a esimerkkej¨a joukoista, jotka eiv¨at ole poistuvia ja jotka kertovat poistuvien joukkojen luonteesta.

Osoitetaan, ett¨a valituilla oletuksilla W^1,n Sobolev-avaruuden poistuvat joukot ovat kvasikonformisesti poistuvia ja tutkielman p¨a¨atuloksena todistetaan, ett¨a rajoi- tettujen John-alueiden reunat ovat poistuvia molempien funktioluokkien tapauksessa.

Tarkastelemme my¨os joitain t¨am¨an tuloksen yleist¨avi¨a tuloksia.

K¨a¨anteinen kysymys; ovatko kvasikonformisesti poistuvat joukot poistuvia Sobolev- avaruudessa on edelleen avoin ja eik¨a my¨osk¨a¨an kummankaan luokan poistuville jou- koille tunneta t¨aydellist¨a geometrista karakterisaatiota.

Lopuksi tarkastellaan tuloksia, jotka antavat ehtoja joukon kvasikonformiselle poistuvuudelle.

Avainsanat: Poistuvuus, John-alueet, kvasihyperbolinen metriikka, Whitney-hajotelma.

Sis¨ alt¨ o

Johdanto 1

Luku 1. Merkint¨oj¨a ja esitietoja 3

1.1. Merkinn¨at 3

1.2. Reaalianalyysi¨a ja Sobolev-avaruuksia 3

1.2.1. Sobolev-avaruudet 3

1.3. John-alueet 4

Luku 2. Konformi- ja kvasikonformikuvaukset 7

2.1. Konformikuvaukset 7

2.2. Kvasikonformikuvaukset 7

Luku 3. Whitney-hajotelma ja kvasihyperbolinen metriikka 9

3.1. Whitney-hajotelma 9

3.2. Kvasihyperbolinen metriikka 10

Luku 4. Poistuvuus Sobolev-funktioille 13

4.1. M¨a¨aritelm¨at ja perustuloksia 13

4.2. John-alueiden reunan poistuvuus 15

4.3. Yleistyksi¨a ja avoimia kysymyksi¨a 23

Luku 5. Kvasikonforminen poistuvuus 25

Kirjallisuutta 29

iii

Johdanto

Tutkielman aiheena ovat poistuvuus jatkuville Sobolev-funktioille ja kvasikonfor- mikuvauksille. Joukkoa E sanotaan poistuvaksi ehdon P mieless¨a jos jokainen jou- kossa Ω m¨a¨aritelty halutut ehdot toteuttava kuvaus, joka toteuttaa ehdonP joukossa Ω\E toteuttaa ehdonP koko m¨a¨arittelyjoukossa Ω. Poistuvuus-ongelman tarkoituk- sena on siis l¨oyt¨a¨a suurin joukko, joka ei tarkasteltavan funktioluokan n¨ak¨okulmasta eroa tyhj¨ast¨a joukosta.

Klassisesti ensimm¨ainen tulos t¨ah¨an suuntaan on Riemannin nime¨a kantava laa- jennuslause rajoitetuille analyyttisille funktioille, jonka mukaan yksitt¨aiset pisteet ovat poistuvia kyseisille funktioille. Yleisesti samaista ongelmaa tutki ensimm¨aise- n¨a Painlev´e vuonna 1888, h¨an osoitti, ett¨a riitt¨av¨a ehto poistuvuudelle on nollamit- taisuus 1-ulotteisen Hausdorff-mitan mieless¨a.

My¨ohemmin Ahlfors ja Beurling tutkivat niin kutsuttuja NED-joukkoja, jotka eiv¨at vaikuta joukon ekstremaaliseen pituuteen ja todistivat, ett¨a NED-joukot ovat poistuvia analyyttisille funktioille, joiden Dirichletin integraali on ¨a¨arellist¨a sek¨a uni- valenteille funktioille. Osoittautuu, ett¨a NED-joukot yhtyv¨at joukkoihin, jotka ovat poistuvia Sobolev-avaruudelleW^1,2 tasossa (ilman jatkuvuus oletusta). Yleisesti ava- ruuden W^1,n poistuvat joukot ovat kvasikonformikuvausten poistuvia singulaaripis- teit¨a.

Ty¨oss¨a tarkastelemme kompaktin joukon E poistuvuutta jatkuville funktioille f : Rⁿ → R, jotka kuuluvut Sobolev-avaruuteen W^1,p(Rⁿ\E), n ≥ 2, sek¨a kuvauksille jotka ovat homeomorfisia alueidenU jaU⁰ v¨alill¨a ja kvasikonformisia joukossaU\E.

Osoittautuu, ett¨a n¨aiden kuvausluokkien poistuvat joukot liittyv¨at vahvasti toi- siinsa. Tarkkaan ottaen poistuvuus Sobolev-funktioille on vahvempi ominaisuus kuin poistuvuus kvasikonformikuvauksille, eli Sobolev-funktioille poistuva joukko on pois- tuva my¨os kvasikonformikuvauksille. K¨a¨anteiseen kysymykseen vastausta ei tunneta.

My¨osk¨a¨an geometrista karakterisaatiota kummallekkaan joukkoluokalle ei tunneta.

Perusominaisuuksien lis¨aksi osoitamme, ett¨a John-alueiden reunat ovat poistuvia molempien luokkien kuvauksille. T¨am¨an tuloksen osoitti ensimm¨aisen kerran tason tapauksessa P. Jones artikkelissa [6]. Ty¨oss¨a seuraamme kuitenkin artikkelia [7], jossa tulos yleistet¨a¨an koskemaan my¨os korkeampia ulottuvuuksia.

Luvussa 1 k¨ayd¨a¨an l¨api tulosten kannalta olennaisia esitietoja ja aputuloksia se- k¨a selvyyden vuoksi joitain merkint¨oj¨a. Luvussa 2 esitell¨a¨an ty¨on kannalta olennaiset m¨a¨aritelm¨at ja tulokset kvasikonformi- ja konformikuvauksen teoriasta. Luvussa 3 esi- tell¨a¨an ty¨on p¨a¨atuloksessa keskeisess¨a osassa olevat ty¨okalut Whitney-hajotelma sek¨a kvasihyperbolinen metriikka. Luvussa 4 k¨asitell¨a¨an poistuvuutta Sobolev-funktioille

1

2 JOHDANTO

sek¨a muotoillaan ja todistetaan tutkielman p¨a¨atulos, John-alueiden reunan poistu- vuus. Lopuksi luvussa 5 k¨asitell¨a¨an poistuvuutta kvasikonformikuvauksille ja osoi- tetaan mm. ett¨a Sobolev avaruuden W^1,n poistuvat joukot ovat kvasikonformisesti poistuvia.

LUKU 1

Merkint¨ oj¨ a ja esitietoja

1.1. Merkinn¨at Merkint¨a Selitys

W(D) Alueen D Whitney-hajotelma x_Q Whitney-kuution keskipiste l(Q) Kuution sivun pituus

f(Q)

Qf = _m¹

n(Q)

Qf

|Q| kuution Qtilavuus = m_n(Q) SH(Q) Whitney-kuution varjo s(Q) varjonSH(Q) halkaisija

1.2. Reaalianalyysi¨a ja Sobolev-avaruuksia

Ty¨oss¨a oletetaan tunnetuiksi perusasiat mittateoriasta sek¨a Sobolev-avaruuksista sill¨a tasolla kuin ne k¨asitell¨a¨an syvent¨avien opintojen kurssilla. T¨ass¨a kappaleessa ker- rataan ty¨oss¨a tarvittavia reaalianalyysin ja Sobolev-avaruuksien perustuloksia ilman todistuksia.

Lause 1.1 (H¨older). Olkoon (xk) ja (yk) jonoja avaruudessa Rⁿ. T¨all¨oin

∞

X

k=1

|x_ky_k| ≤

∞

X

k=1

|x_k|^p

!1/p ∞

X

k=1

|y_k|^q

!1/q

, kun p, q ∈(1,∞) joille ¹_p + ¹_q = 1.

Lause 1.2 (Lebesguen tiheyspistelause). Olkoon A ⊂ Rⁿ Lebesgue-mitallinen.

T¨all¨oin

r→0lim⁺

m_n(A∩B(x, r))¯ m_n( ¯B(x, r)) = 1 melkein kaikilla x∈A,

r→0lim⁺

m_n(A∩B(x, r))¯ m_n( ¯B(x, r)) = 0 melkein kaikilla x∈Rⁿ\A.

1.2.1. Sobolev-avaruudet.

M¨a¨aritelm¨a 1.3. Olkoot Ω ⊂ Rⁿ avoin ja f ∈ L¹_loc(Ω). Funktio gj ∈ L¹_loc(Ω), 1≤j ≤n on funktion f j. heikko osittaisderivaatta (joukossa Ω), jos

Ω

f ∂ϕ

∂x_i dx=−

Ω

g_iϕ dx kaikillaϕ∈C₀^∞(Ω). Merkitsemme D_jf :=g_j.

3

4 1. MERKINT ¨OJ ¨A JA ESITIETOJA

M¨a¨aritelm¨a 1.4. Olkoon 1 ≤ p ≤ ∞. Funktio f kuuluu Sobolev avaruuteen W^1,p(Ω) jos f ∈ L^p(Ω) ja heikko osittaisderivaatta D_jf on olemassa ja kuuluu ava- ruuteen L^p(Ω) kaikilla 1≤j ≤n ja sanotaan, ett¨af kuuluu avaruuteen W_loc^1,p(Ω), jos f ∈ W^1,p(V) jokaiselle avoimelle V ⊂⊂ Ω. Merkinn¨all¨a V ⊂⊂ Ω tarkoitamme, ett¨a V ⊂ Ω ja V ⊂ Ω. Edelleen jos f = (f₁, . . . , f_n) on kuvaus joukolta Ω ⊂ Rⁿ joukolle Rⁿ ja f_i ∈W^1,p(Ω) jokaisella 1≤i≤n merkitsemme f ∈W^1,p(Ω;Rⁿ).

M¨a¨aritelm¨a 1.5. Olkoon Ω ⊂ Rⁿ. T¨all¨oin u : Ω → R on absoluuttisesti jatku- va suorilla (ACL) (joukossa Ω), jos m_n−1-melkein kaikilla koordinaattiakselien suun- taisilla suorilla l p¨atee u|_Ω∩l on absoluuttisesti jatkuva jokaisella suljetulla v¨alill¨a [a, b]⊂Ω∩l.

Lause 1.6 (ACL). Olkoot 1 ≤ p < ∞ ja Ω ⊂ Rⁿ. Jos u ∈ W^1,p(Ω), niin on olemassa g : Ω → R siten, ett¨a g on ACL joukossa Ω, g = u melkein kaikilla Ω ja D_ju=D_jg melkein kaikilla joukossa Ω kaikilla j = 1, . . . , n. K¨a¨ant¨aen jos funktio g on ACL joukossa Ω ja g, D_jg ∈L^p(Ω), 1≤j ≤n, niin g ∈W^1,p(Ω).

1.3. John-alueet

John-alueiden k¨asitteen esitteli F. John vuonna 1961 elastisuuden tutkimukseen liittyviss¨a t¨oiss¨a. Nimen n¨aille aluille antoivat O. Martio ja J. Sarvas. [12, s.1]

Karkeasti sanottuna alue on John jos alueen sis¨all¨a voidaan liikkua pisteest¨a toi- seen ilman, ett¨a joudutaan kulkemaan liian l¨ahelt¨a alueen reunaa.

John-alue voidaan m¨a¨aritell¨a avaruudenRⁿ∪ {∞} avoimena osajoukkona, mutta t¨ass¨a ty¨oss¨a tarvitsemme m¨a¨aritelm¨an ainoastaan tapauksessa, jossa alue on rajoitet- tu avaruudessa Rⁿ. M¨a¨aritelmi¨a on useita erilaisia, jotka ovat kuitenkin rajoitetussa tapauksessa John-vakiota vaille ekvivalentteja ks. [12].

M¨a¨aritelm¨a 1.7. Olkoon Ω ⊂ Rⁿ rajoitettu alue. Sanotaan, ett¨a Ω on John jos on olemassa vakiot a, b, joille 0 < b ≤ a < ∞ ja piste x₀ ∈ Ω jotka kutsutaan kantapisteeksi siten, ett¨a jokainenx∈Ω voidaan yhdist¨a¨a suoristuvalla k¨ayr¨all¨aγ ⊂ G jolle p¨atee

(γ)≤a, b s

l(γ) ≤d(γ(s), ∂Ω)

kaikilla 0 ≤ s ≤ l(γ). Merkint¨a l(γ) tarkoittaa k¨ayr¨an pituutta ja γ(s) on k¨ayr¨an esitys parametrisoituna kaarenpituudella siten, ett¨aγ(0) =x.

Lause 1.8. Rajoitettu alue Ω ⊂ Rⁿ on John, jos ja vain jos on olemassa > 0 siten, ett¨a kaikilla x, y ∈ Ω l¨oytyy suoristuva γ_x,y : [0, l(γ_x,y)]→ Ω parametrisoituna k¨ayr¨an pituudella siten, ett¨a

γ_x,y(0) =x, γ_x,y(l(γ_x,y)) =y ja

d(γ_x,y(t), ∂Ω)≥min(t, l(γ_x,y)−t).

Huomautus 1.9. (1) John-ehto on yleistys perinteisest¨a kartioehdosta sill¨a erotuksella, ett¨a kartion keskuksen sallitaan olla k¨ayr¨a pelk¨an janan sijasta.

1.3. JOHN-ALUEET 5

(2) Sile¨at- ja Lipschitz-alueet ovat John-alueita, sek¨a jotkin fraktaalimaiset alu- eet, kuten esimerkiksi Kochin lumihiutaleen rajaama alue K. My¨ohemm¨an kannalta on hyv¨a my¨os huomata, ett¨a jokaisen lumihiutaleen k¨ayr¨an yhdis- tetyn osajoukon pituus on ¨a¨aret¨on, tarkemmin H¹(A) =∞ jos A⊂∂K. (3) Toisin kuin Lipschitz-alueet ja niin kutsutut uniformit alueet, jotka voidaan

my¨os rajoitetussa tapauksessa osoittaa olevan John-alueita. John-alue voi sis¨alt¨a¨a sis¨a¨anp¨ain k¨a¨antyneit¨a k¨arki¨a jotka kutistuvat nopeasti. Ehto ei kui- tenkaan mahdollista ulosp¨ain suuntautuneita k¨arki¨a.

LUKU 2

Konformi- ja kvasikonformikuvaukset

T¨ass¨a luvussa annetaan ty¨oss¨a tarvittavat m¨a¨aritelm¨at ja tulokset kvasikonformi- kuvausten teoriasta. Toisin kuin konformikuvaukset joiden luokka kutistuu M¨obius- kuvausten rajoittumiksi kun n >2, on kvasikonfomikuvausten luokka paljon laajem- pi ja voidaan kvasikonformikuvaukset m¨a¨aritell¨a luonnollisesti avaruuteen Rⁿkaikilla n ≥ 2. Kuitenkin suurin osa poistuvuustuloksista on osoitettu tason kvasikonformi- kuvauksille ja vastaavasti monet sovellukset sijoittuvat tason tapaukseen, joten kes- kitymme t¨ass¨a ty¨oss¨a tarkastelemaan kvasikonformista poistuvuutta tasossa.

2.1. Konformikuvaukset

M¨a¨aritelm¨a 2.1. Kuvausf :D→C on konformikuvaus, josf on holomorfinen (kompleksisesti derivoituva) ja injektiivinen.

Lause 2.2. (1) Jos f : ˆC → Cˆ on holomorfinen (meromorfinen, jolla ei ole napoja), niinf on vakio.

(2) Konformikuvaukset f :C→C ovat muotoa f(z) = az+b, miss¨a a6= 0.

(3) Konformikuvaukset f : ˆC→Cˆ ovat M¨obius-kuvauksia.

2.2. Kvasikonformikuvaukset

Kvasikonformikuvaukset voidaan m¨a¨aritell¨a usealla eri tavalla ja m¨a¨aritelmien yh- t¨apit¨avyys on syv¨allinen tulos. Luvun tulokset todistuksineen l¨oytyv¨at teoksista [1]

ja [10].

Ty¨oss¨a tarvitsemme analyyttisen m¨a¨aritelm¨an, joka voidaan muotoilla seuraavasti M¨a¨aritelm¨a 2.3. Olkoot G ⊂ Cˆ alue ja f : G → f(G) suunnan s¨ailytt¨av¨a homeomorfismi. Kuvaus f on K-kvasikonforminen jos

(1) f on absoluuttisesti jatkuva melkein kaikilla suorilla ja (2) f toteuttaa dilataatio ehdon

maxα |∂αf(z)| ≤Kmin

α |∂αf(z)|

melkein kaikillaz ∈G.

Listataan joitain my¨ohemmin tarvittavia perusominaisuuksia ilman todistuksia Lause 2.4. (1) K-Kvasikonformikvauksen k¨a¨anteiskuvaus on kvasikonformi-

nen.

(2) Kvasikonformikuvaus kuvaa nollamittaiset joukot nollamittaisiksi sek¨a

|A|=

A

J_f(z)dz mitallisilla joukoilla A.

7

8 2. KONFORMI- JA KVASIKONFORMIKUVAUKSET

(3) Kuvausf on konforminen jos ja vain jos se on 1-kvasikonforminen

(4) (Weylin lemma) Jos f on kvasikonforminen ja f_z¯ = 0 melkein kaikilla z, niin f on konforminen.

LUKU 3

Whitney-hajotelma ja kvasihyperbolinen metriikka

3.1. Whitney-hajotelma

Whitney-hajotelma on standardity¨okalu monilla matematiikan aloilla. My¨ohem- min tarvitsemme seuraavan version rajoitetuille alueille, jossa vierekk¨aisten kuutioi- den sivujen suhde on korkeintaan kaksi. Merkint¨ojen yksinkertaistamiseksi voimme skaalaamalla olettaa, ett¨a diam(Ω) ≤ 1, jolloin hajotelmassa ei ole kuutioita, jotka ovat suurempia kuin m¨a¨aritelm¨ass¨a k¨aytetyt.

M¨a¨aritelm¨a 3.1. Olkoon Ω ⊂ R^N rajoitettu alue. Olkoon Q_n kaikkien sul- jettujen dyadisten kuutioiden kokoelma, joiden sivun pituus on 2⁻ⁿ. M¨a¨aritell¨a¨an Whitney-hajotelma kokoelmana F :=S

n∈NF_n, miss¨a joukot F_n m¨a¨aritell¨a¨an rekur- siivisesti asettamalla

F₁ =n

Q∈ Q₁ : [

Q⁰∈Q1

Q⁰∩Q6=∅

Q⁰ ⊂Ωo

ja

F_n=n

Q∈ Q_n+1 :Q6⊂F_n ja [

Q⁰∈Q_n+1 Q⁰∩Q6=∅

Q⁰ ⊂Ωo ,

miss¨a F_n =S

j≤n

S

Q∈F_jQ.

M¨a¨aritelm¨an 3.1 hajotelmalla on seuraavat ominaisuudet:

Lemma 3.2. (1) Ω =S

Q∈FQ (2) l(Q)<dist(Q,Ω^c)≤3√

N l(Q) = 3 diam(Q) kaikilla Q∈ F (3) intQ∩intQ⁰ =∅ kaikilla Q, Q⁰ ∈F, Q6=Q⁰

(4) Jos Q, Q⁰ ∈ F ja Q∩Q⁰ 6=∅, niin _l(Q^l(Q)0) ≤2.

Todistus. Todistetaan tapauksessa N = 2. Yleinen tapaus menee vastaavasti kun korvataan √

2 luvulla √

N. Ehdon (1) todistamiseksi olkoon x ∈ Ω ja valitaan n ∈ N siten, ett¨a x ∈ Q ∈ Q_n, miss¨a 2⁻ⁿ⁺²√

2 < dist(x,Ω^c) ≤ 2⁻ⁿ⁺³√

2. T¨all¨oin kaikille Q⁰ ∈ Q_n, joille Q⁰ ∩Q 6= ∅ p¨atee Q⁰ ⊂ Ω. Siten m¨a¨aritelm¨an mukaan joko Q ∈ F_n tai x ∈ Q ⊂ Q⁰⁰ ∈ F_i, jollain i < n. Ehtoa (2) varten kiinnitet¨a¨an Q ∈ F_n. T¨all¨oin Q⁰ ⊂ Ω kaikilla Q⁰ ∈ Q_n, joilla Q⁰ ∩Q 6= ∅. N¨ain ollen dist(Q,Ω^c) > 2⁻ⁿ = l(Q). Yl¨arajan todistamiseksi oletetaan, ett¨a dist(Q,Ω^c) > 3√

2 2⁻ⁿ. Olkoon Q₂ ∈ Qn−1 siten, ett¨a Q ⊂ Q₂. T¨all¨oin dist(Q₂,Ω^c) > √

2 2⁻ⁿ⁺¹ ja siten Q₃ ⊂ Ω kaikilla Q3 ∈ Qn−1, joilla Q2∩Q3 6=∅. Siten Q2 ∈Fn−1 tai Q2 ⊂Q4 ∈ Fi jollain i < n−1.

Molemmissa tapauksissa Q 6∈ Fn, mik¨a on ristiriita. Ehto (3) seuraa m¨a¨aritelm¨an rekursiivisuudesta ja siit¨a, ett¨a dyadiset kuutiot ovat sis¨akk¨aisi¨a. Oletetaan, ett¨a (4)

9

10 3. WHITNEY-HAJOTELMA JA KVASIHYPERBOLINEN METRIIKKA

ei ole totta. T¨all¨oin on olemassa Q₁ ∈ F_n ja Q₂ ∈ F_m siten, ett¨a n < m −1 ja Q₁∩Q₂ 6=∅. OlkoonQ₃ ∈ Q_n+1 siten, ett¨a Q₂ ⊂Q₃. T¨all¨oin

[

Q⁰∈Q_n+1 Q⁰∩Q₃6=∅

Q⁰ ⊂ [

Q⁰∈Q_n Q⁰∩Q16=∅

Q⁰ ⊂Ω

ja siten joko Q₃ ∈ F_n+1 tai Q ⊂ F_n. Kummassakin tapauksessa Q₂ ⊂ F_n+1 ja siten

Q₂ 6∈ F_m.

Huomautus3.3.Vaihtoehtoisesti, jos lievennet¨a¨an vaatimusta vierekk¨aisten kuu- tioiden sivujen suhteelle ja sallitaan vierekk¨aisille kuutioille l(Q)/l(Q)≤ 4, ehto (2) voidaan kirjoittaa muodossa (ks. [13, s. 167])

(2’) diam(Q)≤dist(Q,Ω^c)≤4 diam(Q).

3.2. Kvasihyperbolinen metriikka

Kvasihyperbolinen metriikka yleist¨a¨a klassisen hyperbolisen metriikan yhdesti yh- ten¨aisilt¨a kompleksitason alueilta yleisille Rⁿ:n alueille.

M¨a¨aritelm¨a 3.4. Olkoon D( Rⁿ alue. Joukon D kvasihyperbolinen metriikka k_D(x, y) m¨a¨aritell¨a¨an asettamalla kaikilla x, y ∈D

k_D(x, y) = inf

γ

γ

ds d(x, ∂D), miss¨a γ on pisteit¨a xja y yhdist¨av¨a suoristuva k¨ayr¨a.

M¨a¨aritelm¨a 3.5. Suoristuva k¨ayr¨aγ ⊂D on kvasihyperbolinen geodeesi jos kD(x1, x2) =

γ|_[x

1,x2]

ds d(x, ∂D)

kaikilla pistepareilla x₁, x₂ ∈γ, miss¨a merkint¨a γ|_[x1,x2] tarkoittaa pisteit¨a x₁, x₂ ∈D yhdist¨av¨a¨a osak¨ayr¨a¨a.

Lause 3.6. Olkoon D ( Rⁿ alue. T¨all¨oin jokaisella pisteparilla x₁, x₂ ∈ D on olemassa kvasihyperbolinen geodeesi.

Todistus. ks. [5].

Suoraan m¨a¨aritelmist¨a (ja huomautuksesta 3.3) saadaan seuraava arvio, jota tar- vitaan my¨ohemmin

Lemma 3.7. Olkoon D ⊂ Rⁿ rajoitettu alue ja W(D) sen Whitney-hajotelma.

T¨all¨oin kaikilla x₁, x₂ ∈Q ja Q∈ W(D) p¨atee k_D(x₁, x₂)≤1.

Todistus.

k_D(x₁, x₂)≤inf

γ

γ

ds

d(x, ∂D) ≤inf

γ

γ

ds

diam(Q) ≤ |x₁−x₂|

diam(Q) ≤ diam(Q) diam(Q) = 1.

3.2. KVASIHYPERBOLINEN METRIIKKA 11

Lause 3.8. Olkoon D( Rⁿ ja W(D)alueen Whitney-hajotelma. Olkoon x₁, x₂ ∈ D, joille |x₁−x₂| ≥d(x₁, ∂D)/2. T¨all¨oin

N(x1, x2)/C ≤kD(x1, x2)≤CN(x1, x2),

miss¨a N(x₁, x₂) on pisteit¨a x₁ ja x₂ yhdist¨av¨an kvasihyperbolisen geodeesin leikkaa- mien Whitney kuutioiden m¨a¨ar¨a ja C on vakio joka riippuu ainoastaan luvusta n.

Todistus. J¨alkimm¨ainen ep¨ayht¨al¨o seuraa suoraan Lemmasta 3.7. Ensimm¨ainen ep¨ayht¨al¨o seuraa, koska pisteiden v¨alinen et¨aisyys on verrannollinen kuutioiden ko- koon ja annettua kuutiota Q koskettaa korkeintaan d = d(n) kuutiota, sill¨a jos Q leikkaa geodeesia t¨aytyy sen kulkea pituus, joka on verrannollinen lukuun diam(Q) l¨avist¨aess¨a¨anQ:ta ymp¨ar¨oiv¨at kuutiot. N¨ain ollen l¨oytyy luvustad riippuva vakioC,

jolle N(x₁, x₂)/C ≤k_D(x₁, x₂).

LUKU 4

Poistuvuus Sobolev-funktioille

T¨ass¨a luvussa tarkastellaan poistuvuutta jatkuville Sobolev-funktioille. Osoitam- me, ett¨a kun 1 ≤ p < ∞ poistuva joukko on nollamittainen, sek¨a, ett¨a poistuvuus on lokaali ominaisuus. Luvun ja itse tutkielman p¨a¨atuloksena osoitamme, ett¨a John- alueiden reunat ovat poistuvia. Luvun lopuksi listaamme t¨am¨an tuloksen yleistyksi¨a, sek¨a joitakin avoimia kysymyksi¨a.

4.1. M¨a¨aritelm¨at ja perustuloksia

M¨a¨aritelm¨a 4.1. Kompaktia joukkoa K ⊂ U sanotaan W^1,p-poistuvaksi avoi- messa joukossaU jos jokainen jatkuva avaruuteenW^1,p(U\K) kuuluva kuvaus kuuluu avaruuteen W^1,p(U).

M¨a¨aritelm¨a4.2. Kompaktia joukkoaK ⊂RⁿsanotaanW^1,p-poistuvaksi jos jo- kainen jatkuva avaruuteenW^1,p(Rⁿ\K) kuuluva kuvaus kuuluu avaruuteenW^1,p(Rⁿ).

Huomautus 4.3. V¨alitt¨om¨asti n¨ahd¨a¨an, ett¨a poistuvalla joukolla K ei voi olla sis¨apisteit¨a. Muodostetaan funktio, joka on jatkuva ja jonka kantaja kuuluu joukkoon int(K), mutta joka ei ole Sobolev-funktio. T¨allainen saadaan esimerkiksi jatkamalla jatkuvaksi skaalatun Cantorin funktion ja int(K):n sis¨alt¨am¨an kuution karakteris- tisen funktion tulo. Funktio ei ole Sobolev, koska se ei ole absoluuttisesti jatkuva melkein kaikilla suorilla.

Osoitetaan seuraavaksi, ett¨a m¨a¨aritelm¨at 4.2 ja 4.1 ovat yht¨apit¨avi¨a eli ett¨a pois- tuvuus avaruudessaW^1,p on lokaali ominaisuus. N¨ain ollen voimme jatkossa rajoittua tarkastelemaan poistuvuutta avaruudessa W^1,p(Rⁿ).

Lemma 4.4. Olkoon 1 ≤ p < ∞ ja K ⊂ U ⊂ Rⁿ kompakti. K on W^1,p-poistuva alueessa U jos ja vain jos K on W^1,p-poistuva.

Todistus. Oletetaan, ett¨aKonW^1,p-poistuva joukossaU. Olkoong ∈W^1,p(Rⁿ\ K) jatkuva Rⁿ:ss¨a. T¨all¨oin g|_U ∈W^1,p(U \K) ja oletuksen nojalla g|_U ∈W^1,p(U).

Urisonin lemman nojalla on olemassa f₁ ∈ C₀^∞(U), 0 ≤ f₁ ≤ 1, jolle f₁ ≡ 1 joukossa K = {x ∈ U : d(x, K) ≤ }, miss¨a = d(K, ∂U)/2 > 0. T¨all¨oin f₂ = 1−f₁ ∈C^∞(R\K), spt(f₂)⊂Rⁿ\K ja

−

D^αg ϕ(f1+f2) = −

D^αg ϕf1−

D^αg ϕf2 =

gD^α(ϕf1) +

gD^α(ϕf2)

=

gD^α(ϕ(f₁+f₂)) kaikillaϕ∈C₀^∞(Rⁿ).

13

14 4. POISTUVUUS SOBOLEV-FUNKTIOILLE

K¨a¨ant¨aen oletetaan, ett¨a K on W^1,p-poistuva. Olkoon g ∈ W^1,p(U \K) jatkuva alueessa U. T¨all¨oin edell¨a k¨aytetylle funktiolle f₁ p¨atee f₁g ∈ W^1,p(Rⁿ\K) ja ole- tuksen nojalla f₁g ∈ W^1,p(Rⁿ). N¨ain ollen on olemassa avoin Ω, K ⊂ Ω ⊂ K, jolle g ∈W^1,p(Ω) ja vastaavalla argumentilla kuin edell¨ag ∈W^1,p(U).

Lemma 4.5. Olkoon 1 ≤ p < ∞. T¨all¨oin W^1,p-poistuva kompakti joukko on nol- lamittainen.

Todistus. Oletetaan, ett¨a kompakti K ⊂ Rⁿ on poistuva ja m_n(K) > 0. Huo- mautuksessa 4.3 todettiin, ett¨a joukolla K ei ole sis¨apisteit¨a. Koska m_n(K) > 0 on Lebesguen tiheyspistelauseen nojalla olemassa x₀ ∈K siten, ett¨a

m_n(B(x₀, r)∩K^c) m_n(B(x₀, r)) →0

kun r → 0. N¨ain ollen jokaisella i ∈ N on olemassa mielivaltaisen pieni r_i >0 siten, ett¨a

(4.1) m_n(B(x₀, r_i)∩K^c)≤2^−iprⁿ_i.

Voidaan olettaa, ett¨a x₀ = 0 ja merkit¨a¨anB_i =B(x₀, r_i). Oletetaan lis¨aksi, ett¨a jono (r_i)i∈N toteuttaa

ri+1 < ri/2<1/2 kaikillai∈N.

M¨a¨aritell¨a¨an φ : R → R jatkamalla |t|χ[−1/2,1/2](t) jatkuvaksi funktioksi, jonka jaksopituus on 1. Edelleen m¨a¨aritell¨a¨an kaikilla i∈N

φ_i(x) = c_iφ(m_i(2|x|

r_i −1))·χ_[ri/2,ri](|x|),

miss¨a c_i on jono positiivisia reaalilukuja ja m_i positiivisia kokonaislukuja. Funktio φi on radiaalisymmetrinen, joka heilahtelee mi jaksoa amplitudilla ci annuluksessa A(0;ri/2, ri). Nyt melkein kaikilla x∈A(0;ri/2, ri)

|∇φ_i(x)|= 2c_im_i ri

' c_im_i ri

. Siten

k∇φ_ik_L^p_(Rⁿ₎ = 2|B(0,1)|^1/pc_im_i(1−2⁻ⁿ)^1/pr

n p−1

i =C(n, p)c_im_ir

n p−1 i

ja (4.1) nojalla

(4.2) k∇φ_ik_L^p_(K^c₎ = 2c_im_i ri

A∩K^c

1dx 1/p

≤ 2c_im_i ri

(2^−ipr_iⁿ)^1/p = 2¹⁻ⁱc_im_ir^np−1. M¨a¨aritell¨a¨anf =P∞

i=1φi. Funktioidenφi kantajat ovat erilliset, jotenf suppenee ja

n→∞lim sup

x

|

∞

X

i=n+1

φi(x)|= lim

n→∞ sup

i≥n+1

ci/2,

4.2. JOHN-ALUEIDEN REUNAN POISTUVUUS 15

joten josc_i →0, sarjaP∞

i=1φ_i suppenee tasaisesti kohti jatkuvaa funktiota ja edelleen osasummien f_j =Pj

i=1φ_i jono suppenee kohti funktiota f L^p-normissa. Funktioiden φi kantajat ovat erillisi¨a, joten on jx ∈N siten, ett¨a

∇f(x) =∇φ_jx(x) =

∞

X

i=1

∇φ_i(x) melkein kaikilla x∈Rⁿ. N¨ain ollen (4.2):st¨a seuraa

(4.3) k∇fk_L^p_(K^c₎ ≤

∞

X

i=1

k∇φ_ik_L^p_(K^c₎.

∞

X

i=1

2⁻ⁱc_im_ir^np−1.

Nyt jos ep¨ayht¨al¨on (4.3) viimeinen sarja suppenee on osasummien f_j = Pj

i=1φ_i jo- no Cauchy-jono W^1,p(K^c):ssa, jolloin Sobolev-avaruuden t¨aydellisyyden nojalla f ∈ W^1,p(K^c). Toisaalta jos f ∈W^1,p(Rⁿ), niin

k∇fk^p_Lp(Rⁿ) =

∞

X

i=1

∇φ_i

p

=

∞

X

i=1

k∇φ_ik^p_Lp(Rⁿ)=

∞

X

i=1

C(n, p)c^p_im^p_ir^n−p_i ,

koska funktioiden φ_i kantajat ovat erillisi¨a. Haluamme, ett¨a viimeinen sarja hajaan- tuu, jolloin f 6∈W^1,p(Rⁿ).

N¨ain ollen todistus on valmis kunhan l¨oyd¨amme jonot c_i,m_i siten, ett¨ac_i →0

∞

X

i=1

2⁻ⁱc_im_ir^np−1 <∞ ja

∞

X

i=1

c^p_im^p_ir^n−p_i =∞.

Jos p≥n voimme valita c_i =r¹⁻

n p

i ·i^−1/p ja m_i = 1 kaikilla i ∈N. Jos 1≤ p < n t¨all¨oin voimme valitac_i =i^−1/p jam_i pienimm¨aksi kokonaisluvuksi, jollam_ir

n p−1

i ≥1.

T¨all¨oin (m_i−1)r

n p−1

i <1, jotenm_ir

n p−1

i ≤2.

Seuraus 4.6. Jos K on W^1,p-poistuva, niin K on W^1,q-poistuva, kun q > p.

Todistus. Olkoon 1 ≤ p < q < ∞, K ⊂ Rⁿ kompakti ja B avoin pallo, joka sis¨alt¨a¨a joukonK. Olkoonf ∈W^1,q(B\K) jatkuvaB:ss¨a. H¨olderin ep¨ayht¨al¨on nojalla f ∈W^1,p(B \K), joten oletuksen nojallaf ∈W^1,p(B).

N¨ain ollen funktiolla f on heikot derivaatat joukossa B ja poistuvan joukon nol- lamittaisuuden (Lemma 4.5) nojalla f, D^αf ∈L^q(B).

4.2. John-alueiden reunan poistuvuus

Nyt olemme valmiita todistamaan tutkielman p¨a¨atuloksen. Todistukset perustu- vat artikkeleihin [7], [4] ja [11]. Aluksi tarvitsemme seuraavat m¨a¨aritelm¨at.

M¨a¨aritelm¨a 4.7. Olkoon Ω ( Rⁿ avoin joukko. Sanotaan, ett¨a joukon Ω k¨ay- r¨a γ : I → Ω kasautuu joukkoon ∂Ω, jos on olemassa jono tj ∈ I siten, ett¨a limj→∞d(γ(tj), ∂Ω) = 0. Sanotaan, ett¨axon k¨ayr¨anγp¨a¨atepiste, jos limt→supI⁻γ(t) = x.

16 4. POISTUVUUS SOBOLEV-FUNKTIOILLE

M¨a¨aritelm¨a 4.8. Olkoon Ω ( Rⁿ avoin joukko. Kiinnitet¨a¨an kokoelma Γ jou- kon Ω reunalle kasaantuvia k¨ayri¨a, jotka alkavat kiinnitetyst¨a pisteest¨a z₀ ∈ Ω ja joiden kasaantumisjoukot peitt¨av¨at reunan∂Ω. M¨a¨aritell¨a¨an kuution Q⊂Ω varjoksi pisteest¨az₀ joukko SH(Q) asettamalla

SH(Q) := cl [

γ∩Q6=∅

γ(I)

∩∂Ω

Merkit¨a¨an varjon halkaisijaa s(Q) := diam(SH(Q)).

Tarkastelemme alueita joiden Whitney-hajotelmalle p¨atee geometrinen ehto

(4.4) X

Q∈W

s(Q)ⁿ<∞.

Tulemme osoittamaan, ett¨a ehdon (4.4) toteuttavat joukot ovat poistuvia avaruu- dessa W^1,n ja ett¨a muista oletuksista alueelle seuraa ehto (4.4). Ensin todistamme kuitenkin seuraavat lemmat, joita tarvitaan Lauseen 4.11 todistuksessa.

Lemma 4.9. Jos rajoitettu alue Ω⊂Rⁿ toteuttaa ehdon (4.4), niin ∂Ω on nolla- mittainen Lebesguen n-ulotteisen mitan mieless¨a.

Todistus. Olkoon k ∈ N. Kokoa l(Qj) = 2^−k olevia kuutioita on ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a, joten kuutiot voidaan j¨arjest¨a¨a koon mukaan laskevaan j¨arjestykseen. Olkoon > 0. T¨all¨oin l¨oytyy m ∈ N siten, ett¨a P∞

j=ms(Q_j)ⁿ < ja edelleen k₀ ∈ N siten, ett¨a kokoa l(Q) = 2^−k0 olevien kuutioiden varjotSH(Q) peitt¨av¨at reunan ∂Ω ja

X

Q:l(Q)=2^−k0

s(Q)ⁿ< .

N¨ain ollen kuutiot joiden sivun pituus on s(Q) peitt¨av¨at reunan∂Ω ja kun anne- taan →0 n¨ahd¨a¨an, ett¨a mn(∂Ω) = 0.

Lemma 4.10. Olkoon Ω ⊂ Rⁿ rajoitettu ja f ∈ W^1,p(Ω), 1 ≤ p < ∞. T¨all¨oin vierekk¨aisille Whitney-kuutioille Q, Q⁰ ∈ W(Ω) p¨atee

_Q

f −

Q⁰

f

≤2ⁿ

l(Q)

Q

|∇f|+l(Q⁰)

Q⁰

|∇f|

.

Todistus. Tiheyden perusteella riitt¨a¨a olettaa, ett¨af ∈C¹(Ω). Jos kuutiotQja Q⁰ ovat samankokoisia oletamme, ett¨a Q= [0, h]ⁿ ja Q⁰ = [h,2h]×[0, h]ⁿ⁻¹. T¨all¨oin

|f(z)−f(z+he₁)| ≤ _h

0

|∇f(z+te₁)|dt,

4.2. JOHN-ALUEIDEN REUNAN POISTUVUUS 17

kun z ∈ Q ja e₁ = (1,0, . . . ,0) ∈ Rⁿ. Huomataan, ett¨a z+he₁ ∈ Q⁰ ja merkit¨a¨an z = (x, y)∈R×Rⁿ⁻¹. Nyt

Q

f−

Q⁰

f

=

Q

(f(z)−f(z+e₁))dm_n(z)

≤

y∈[0,h]ⁿ⁻¹

_h

0

|f(x, y)−f((x, y) +he₁)|dm₁(x)dmn−1(y)

≤

y∈[0,h]ⁿ⁻¹

_h

0

_h

0

|∇f((x, y) +te₁)|dtdm₁(x)dmn−1(y)

≤

y∈[0,h]ⁿ⁻¹

_2h

0

_h

0

|∇f(x, y)|dtdm₁(x)dmn−1(y)

=h

Q∪Q⁰

|∇f|=l(Q)

Q

|∇f|+l(Q⁰)

Q⁰

|∇f|,

mist¨a v¨aite seuraa jakamalla puolittain luvulla m(Q)(= m(Q⁰)). Jos l(Q⁰) = 2l(Q), niin jaetaanQ⁰ 2ⁿdyadiseen kuutioon{Q˜_i}²_i=1ⁿ , joiden sivun pituus onl(Q). Jokaiselle Q˜_i on olemassa jono ∆₀, . . . ,∆_m kuutioita siten, ett¨a jokaisella j ≥ 1 ∆_j on jokin kuutio ˜Q_k, ∆₀ =Q, ∆_m = ˜Q_i ja per¨akk¨aiset ∆_j, ∆_j+1 ovat vierekk¨aisi¨a. K¨aytt¨am¨all¨a edelt¨av¨a¨a arviota vierekk¨aisille samankokoisille kuutioille m kertaa saadaan

_Q

f−

Q˜i

f

≤l(Q)

Q

|∇f|+ 2

m

X

j=1

l(∆_j)

∆j

|∇f|

≤l(Q)

Q

|∇f|+ 2ⁿl(Q⁰)

Q⁰

|∇f|.

N¨ain ollen

_Q

f −

Q⁰

f

≤

2ⁿ

X

i=1

1 2ⁿ

_Q

f −

Q˜i

f

≤l(Q)

Q

|∇f|+ 2ⁿl(Q⁰)

Q⁰

|∇f|.

Lause 4.11. Jos Ω toteuttaa ehdon

(4.5) X

Q∈W

(s(Q)/l(Q))^p0(n−1)|Q|<∞,

niin jokainen jatkuva f : Rⁿ → R, joka kuuluu avaruuteen W^1,p joukon Rⁿ \∂Ω rajoitetuissa osajoukoissa on ACL(Rⁿ).

Todistus. Kiinnitet¨a¨an rajoitettu alue U, joka sis¨alt¨a¨a reunan K :=∂Ω ja osoi- tetaan, ett¨a jokaiseen suuntaanλ∈Sⁿ⁻¹ p¨atee

(4.6)

U

|∂λf|=

U\K

|∂λf|

miss¨a ∂λf on funktion f heikko suuntaisderivaatta ∂λf := ∇f ·λ. Integraalilla tarkoitetaan sit¨a, ett¨a ensin integroidaanλ:n suuntaista suoraa pitkin ja t¨am¨an j¨alkeenU

18 4. POISTUVUUS SOBOLEV-FUNKTIOILLE

integroidaan kaikkien λ:n suuntaisten suorien yli, jotka leikkaavat joukkoa U. Siten identiteetti (4.6) tarkoittaa, ett¨a melkein jokaisellaλ:n suuntaisella suorallalfunktion f kokonaisheilahtelu on

l∩U\K|∂_λf|. Koskaf ∈W^1,p(U\K)⊂W^1,1(U \K), seuraa t¨ast¨a Fubinin nojalla, ett¨a∂_λf rajoitettuna melkein kaikilleλ:n suuntaisille suorille on integroituva funktio. Ottamalla kaikki suunnatλ ja alueet U saadaan f ∈ACL(Rⁿ), mik¨a todistaa v¨aitteen.

Todistetaan yht¨asuuruus (4.6). Kiinnitet¨a¨an suuntaλja suoral, joka onλ:n suun- tainen. Merkit¨a¨anf:n kokonaisheilatelua joukossal∩Ukaavalla

l∩U|∂_λf|:= Varl∩Uf.

Kokonaisheilahtelua

l∩U|∂_λf|voidaan approksimoida halutulla tarkkuudella lausek- keella

(4.7) X

j

|f(x_j)−f(y_j)|+

l∩U\∪j[xj,yj]

|∂_λf|,

miss¨a pareittain pistevieraat v¨alit [x_j, y_j] peitt¨av¨at joukon l∩K siten, ett¨a x_j, y_j ∈ l∩K.

Ehdon (4.5) nojalla kun Whitney-kuutiot pienenev¨at niiden varjojen halkaisijat l¨ahestyv¨at nollaa. N¨ain ollen voimme valita kuutioiden maksimikooksi ∆ niin pienen luvun, ett¨a ∆:n tai sit¨a pienemm¨an kuution varjo ei leikkaa kuin korkeintaan yht¨a v¨aleist¨a [x_j, y_j], kuutiot kuuluvat joukkoon U ja kokoa ∆ olevien kuutioiden varjot peitt¨av¨at reunanK.

Kiinnitet¨a¨an seuraavaksi v¨ali [xj, yj]. Koska kokoa ∆ olevia kuutioita on vain

¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a ja niiden varjot (jotka ovat kompakteja joukkoja) peitt¨av¨at joukon [x_j, y_j]∩K, voidaan [x_j, y_j] jakaa ¨a¨arelliseen m¨a¨ar¨a¨an v¨alej¨a [u_i, u_i+1] siten, ett¨au₀ = x_j ja u_n =y_j. Kompaktisuusargumentilla t¨am¨a voidaan tehd¨a siten, ett¨a jokaisella i joko (u_i, u_i+1) ∈ K^c tai u_i ja u_i+1 kuuluvat samaan varjoon SH(Q_i) ja on olemassa Γ:n k¨ayr¨at, jotka yhdist¨av¨atu_i:n jau_i+1:nQ_i:hin siten, ett¨a k¨ayr¨at eiv¨at leikkaa muita samankokoisia tai suurempia kuutioita.

Tapauksessa (u_i, u_i+1)∈K^c voidaan arvioida suoraan

|f(ui)−f(ui+1)| ≤

[ui,ui+1]

|∂λf|.

Siin¨a tapauksessa, ett¨au_i jau_i+1 kuuluvat samaan varjoon SH(Q_i) voidaanu_i ja u_i+1 yhdist¨a¨a k¨ayr¨all¨a γ_i, joka seuraa yht¨a Γ:n k¨ayr¨a¨a u_i:st¨a Q_i:hin ja jatkaa toista Γ:n k¨ayr¨a¨a Q_i:st¨a u_i+1:seen.

Merkint¨ojen yksinkertaistamiseksi merkit¨a¨an integroituvalle funktiolle φ, φ(Q) =

1

|Q|

Qφ.

Vierekk¨aisille Whitney-kuutioille Q ja Q⁰ (jolloin joko kuutioiden sivun pituudet ovat samat ja niill¨a on yhteinen tahko tai toisen kuution sivun pituus on puolet toisesta ja ne jakavat pienemm¨an tahkon) p¨atee (Lemma 4.10)

(4.8) |f(Q)−f(Q⁰)| ≤2ⁿ⁻¹(|∇f|(Q)l(Q) +|∇f|(Q⁰)l(Q⁰)).

Ottamalla Whitney-kuutiot, jotka leikkaavat k¨ayr¨a¨aγi ja poistamalla tarvittaessa ylim¨a¨ar¨aiset voidaan valita jono (Qj)j∈Z kuutioita siten, ett¨a sen h¨ann¨at suppenevat pisteisiin u_i ja u_i+1 ja per¨akk¨aiset kuutiot ovat vierekk¨aisi¨a, eli ne jakavat tahkon.

4.2. JOHN-ALUEIDEN REUNAN POISTUVUUS 19

K¨aytt¨am¨all¨a ep¨ayht¨al¨o¨a (4.8) t¨ah¨an jonoon saadaan

|f(u_i)−f(u_i+1)|=| lim

j→∞(f(Q_j)−f(Q₀))− lim

j→−∞(f(Q_j)−f(Q₀))|

≤

∞

X

j=−∞

|f(Q_j)−f(Qj−1)|

≤

∞

X

j=−∞

2ⁿ⁻¹(|∇f|(Q_j)l(Q_j) +|∇f|(Qj−1)l(Qj−1))

≤2ⁿ X

Q∩γi6=∅

|∇f|(Q)l(Q)

miss¨a summaus on yli kaikkien kuutioiden jotka leikkaavat γi:t¨a. Konstruktion perusteella kaikki kuutiot ovat korkeintaan kokoa ∆ ja kuuluvat joukkoon U. Nyt summaamalla arviot yli i:n saadaan

|f(x_j)−f(y_j)| ≤X

i

|f(u_i)−f(u_i+1)|

≤ X

[ui,ui+1]⊂K^c

[ui,ui+1]

|∂_λf|+ 2ⁿ X

[ui,ui+1]6⊂K^c

X

Q∩γi6=∅

|∇f|(Q)l(Q).

Ensimm¨aist¨a termi¨a voidaan arvioida yl¨osp¨ain variaatiolla

[xj,yj]\K|∂λf|. Toisessa termiss¨a kaikkien kuutioiden varjoissa on jokin pisteist¨au_ija kuutiot ovat korkeintaan kokoa ∆. Kuten seuraavasta p¨a¨attelyst¨a n¨ahd¨a¨an voidaan lauseketta |f(x_j)−f(y_j)|

arvioidessa olettaa, ett¨a kukin kuutio Q esiintyy edelt¨av¨ass¨a summassa vain kerran.

Jos Whitney-kuutionQ kautta kulkee kaksi eri k¨ayr¨a¨a γ_k ja γ_l,k < l, niin n¨aist¨a voidaan muodostaa uusi k¨ayr¨a joka yhdist¨a¨au_k:n suoraan pisteeseenu_l+1, ja voimme parantaa edellist¨a arviota muotoon

|f(x_j)−f(y_j)| ≤X

i<k

|f(u_i)−f(u_i+1)|+|f(u_k)−f(u_l+1)|+X

i>l

|f(u_i)−f(u_i+1)|,

jolloin summassa on v¨ahemm¨an kuutioita. Toistamalla t¨at¨a tarvittaessa voidaan olet- taa, ett¨a jokaista Whitney-kuutiota leikkaa korkeintaan yksi k¨ayr¨a.

N¨ain ollen arvio voidaan kirjoittaa muotoon (4.9) |f(x_j)−f(y_j)| ≤

[xj,yj]\K

|∂_λf|+ 2ⁿ X

SH(Q)∩[x_j,yj]6=∅

|∇f|(Q)l(Q).

Koska ∆:n valinnan nojalla mik¨a¨an korkeintaan ∆:n kokoinen kuutio ei leikkaa kuin korkeintaan yht¨a v¨ali¨a [xj, yj] p¨a¨attelemme, ett¨a jokainen kuutio esiityy arviossa (4.9) korkeintaan yhdelle j ja lis¨aksi kuution varjo leikkaa suoraa l. Summaamalla

20 4. POISTUVUUS SOBOLEV-FUNKTIOILLE

(4.9) yli j:n saadaan lausekkeelle (4.7) arvio X

j

|f(x_j)−f(y_j)|+

l∩U\∪_j[xj,yj]

|∂_λf|

≤X

j





[xj,yj]\K

|∂_λf|+ 2ⁿ X

SH(Q)∩[x_j,yj]6=∅

|∇f|(Q)l(Q)



+

l∩U\∪j[xj,yj]

|∂_λf|

≤2ⁿ X

SH(Q)∩l6=∅

|∇f|(Q)l(Q) +

l∩U\K

|∂_λf|.

Koska kokonaisheilahtelua

l∩U|∂_λf|voidaan arvioida lausekkeella (4.7) saadaan arvio (4.10)

l∩U

|∂λf| ≤2ⁿ X

SH(Q)∩l6=∅

|∇f|(Q)l(Q) +

l∩U\K

|∂λf|.

Lis¨aksi vain Whitney-kuutiot joiden koko on korkeintaan ∆ ovat mukana edelt¨av¨ass¨a arviossa (ja ∆ voidaan valita niin pieneksi kuin halutaan).

Kun huomataan, ett¨a Whitney-kuutio Q on mukana arviossa ainoastaan, jos sen varjo leikkaa suoraalja t¨allaisten suorien mitta on korkeintaans(Q)ⁿ⁻¹. Integroimalla arviota (4.10) kaikkien λ:n suuntaisten suorien l yli ja k¨aytt¨am¨all¨a Fubinia saadaan

U

|∂_λf|:=

l∩U

|∂_λf|

dµ(l)

≤ 

2ⁿ X

SH(Q)∩l6=∅

|∇f|(Q)l(Q) +

l∩U\K

|∂_λf|



dµ(l)

≤2ⁿ X

SH(Q)∩l6=∅

|∇f|(Q)l(Q)s(Q)ⁿ⁻¹+

U\K

|∂_λf|.

Ensimm¨ainen sarja suppenee, koska H¨olderin ep¨ayht¨al¨on nojalla (4.11)

X|∇f|(Q)l(Q)s(Q)ⁿ⁻¹ ≤X

|∇f|(Q)^p|Q|1/pX

(s(Q)/l(Q))^p0(n−1)|Q|1/p⁰

<∞, miss¨a oikean puolen ensimm¨ainen sarja on (H¨older¨oim¨all¨a integraalia) korkeintaan P|∇f|^p(Q)|Q| ja siten funktion f W^1,p(U \K) Sobolev-normin rajoittama. J¨alkim- m¨ainen sarja on ¨a¨arellinen ehdon (4.5) nojalla. Koska edelleen voimme olettaa, ett¨a vain lukua ∆ pienemm¨at kuutiot osallistuvat sarjaan ja ∆ voidaan valita niin pie- neksi kuin halutaan, joten kun ∆ →0, sarja l¨ahestyy nollaa ja se voidaan pudottaa arviosta ja p¨a¨adymme arvioon

U

|∂λf| ≤

U\K

|∂λf|.

Selv¨asti kyseess¨a on yht¨asuuruus. T¨am¨a todistaa halutun ehdon (4.6) ja v¨aitteen.

Lause4.12. Olkoonp≥1. Jos alueΩ⊂Rⁿtoteuttaa ehdon (4.5)kun1/p+1/p⁰ = 1, niin K =∂Ω on W^1,p-poistuva.

4.2. JOHN-ALUEIDEN REUNAN POISTUVUUS 21

Todistus. Joukko K on nollamittainen, joten funktio f ∈W^1,p(K^c) ja sen osit- taisderivaatat ovat integroituvia joukossa Rⁿ ja Lauseen 4.11 nojalla f on ACL ja

siten f ∈W^1,p(Rⁿ).

Seuraavaksi n¨aytet¨a¨an, ett¨a John-alue toteuttaa ehdon (4.4), t¨at¨a varten tulee n¨aytt¨a¨a, ett¨a kvasihyperbolisten geodeesien joukko toteuttaa M¨a¨aritelm¨an 4.8 ehdon John-alueessa eli ett¨a kvasihyperbolisten geodeesien p¨a¨atepisteet peitt¨av¨at alueen reu- nan. T¨at¨a varten osoitamme, ett¨a John-alueet toteuttavat seuraavan kvasihyperboli- sen reunaehdon.

M¨a¨aritelm¨a 4.13. Olkoon D ⊂ Rⁿ alue. Sanotaan, ett¨a D on H¨older-alue tai ett¨a se toteuttaa kvasihyperbolisen reunaehdon, jos on olemassa kantapiste x₀ ∈D ja vakiot 0< α≤1 ja c >0 joille p¨atee

(4.12) k_D(x, x₀)≤ 1

αlog

d(x₀, ∂D) d(x, ∂D)

+c kaikillax∈D.

Lemma 4.14. John-alue on H¨older-alue.

Todistus. Olkoon D ∈ Rⁿ John-alue vakioilla a ja b ja olkoonx₀ ∈D sen kan- tapiste. Olkoon annetulle x₁ ∈ D γ pisteit¨ax₁ ja x₀ yhdist¨av¨a k¨ayr¨a, joka toteuttaa John-alueen ehdot. Tarkastellaan kahta tapausta.

Oletetaan aluksi, ett¨a

(4.13) d(x1, ∂D)≥ a+b

a l(γ).

Nyt (4.13) nojalla

(4.14) d(x, ∂D)≥d(x₁, ∂D)− |x₁−x| ≥ b al(γ) kaikillax∈γ ja siten

kD(x1, x0)≤

γ

ds

d(x, ∂D) ≤ a b.

Toisaalta m¨a¨aritelm¨an mukaand(x, ∂D)≤a kaikillax∈D, joten k_D(x₁, x₀)≤ a

b +a

b log a

d(x₁, ∂D) ≤ a

b log 1

d(x₁, ∂D)+ a

b(loga+ 1).

Oletetaan sitten, ett¨a (4.13) ei p¨ade. T¨all¨oin voidaan valita k¨ayr¨an γ aito osak¨ayr¨a γ₁ pisteest¨ax₁ pisteeseen x₂ siten, ett¨a

d(x₁, ∂D) = a+b a l(γ₁).

Nyt k_D(x₁, x₂)≤ ^a_b aiemmin todistetun mukaan. Jos x ∈γ\γ₁ =:γ₂, t¨all¨oin m¨a¨ari- telm¨an mukaan

d(x, ∂D)≥b s l(γ) ≥ b

as,

22 4. POISTUVUUS SOBOLEV-FUNKTIOILLE

miss¨a x=γ(s). Siten k_D(x₂, x₀)≤

γ2

ds

d(x, ∂D) ≤ a b

_γ

l(γ1

ds s

= a b log

l(γ) d(x₁, ∂D)

a+b a

≤ a

b log a

d(x₁, ∂D) + 1.

N¨ain ollen saadaan

k_D(x₁, x₀)≤k_D(x₁, x₂) +k_D(x₂, x₀)

≤ a

b log a

d(x₁, ∂D)+ 1 + a b. Yhdist¨am¨all¨a tarkastellut tapaukset saadaan

k_D(x₁, x₀)≤a⁰log 1

d(x1, ∂D) +b⁰₀, miss¨a

a⁰ = a

b ja b⁰₀ = a

b(loga+ 1) + 1.

Osoitetaan seuraavaksi, ett¨a kvasihyperbolisten geodeesien pituus on tasaisesti rajoitettu John-alueille.

Lemma 4.15. Olkoon D ⊂ Rⁿ John-alue, jonka kantapiste on x₀. T¨all¨oin jokai- selle pisteest¨a x₀ alkavalle kvasihyperboliselle geodeesille γ ⊂D p¨atee

H¹(γ)≤C(n, D)d(x₀, ∂D), miss¨a vakio C =C(n, D) ei riipu polusta γ.

Todistus. Olkoot γ ⊂D pisteest¨a x₀ alkava kvasihyperbolinen geodeesi ja Q∈ W(D) Whitney-kuutio sek¨ax₁, x₂ ∈Q. Lemman 3.7 nojalla k_D(x₁, x₂)≤1, joten

H¹(Q∩γ)

l(Q) ≤C(n)

Q∩γ

ds

d(x, ∂D) ≤C(n) ja edelleen

(4.15) H¹(γ) = X

Q∈W(D) Q∩γ6=∅

H¹(Q∩γ)≤C(n) X

Q∈W(D) Q∩γ6=∅

l(Q).

M¨a¨aritell¨a¨an kaikilla j ∈N

D_j ={Q∈ W(D) :k_D(x₀, Q)≤3j}

ja D0 =∅. Nyt jokainen kuutio kuuluu joukkoon Dj \Dj−1 jollakin j ∈N.

Koska D toteuttaa kvasihyperbolisen reunaehdon (4.12) joillain vakioilla α ja c (Lemma 4.14) on voimassa

d(x, ∂D)≤d(x₀, ∂D)e^αcexp(−αk(x, x₀)).

Jos Q∈D_j \D_j−1, niin k_D(x, x₀)≥j−1 kaikilla x∈Q, joten d(x, ∂D)≤e^αcd(x₀, ∂D) exp(−αj).

4.3. YLEISTYKSI ¨A JA AVOIMIA KYSYMYKSI ¨A 23

Koska γ on pisteest¨a x₀ alkava kvasihyperbolinen geodeesi on Lauseen 3.8 nojalla olemassa vakio N ∈ N, joka ei riipu luvusta j ∈ N siten, ett¨a joukossa D_j \Dj−1 on korkeintaan N Whitney-kuutiotaQ, jotka leikkaavat k¨ayr¨a¨aγ. Nyt

X

Q∈W(D) Q∩γ6=∅

l(Q)≤c(n) X

Q∈W(D) Q∩γ6=∅

d(x_Q, ∂D) =

∞

X

j=1

X

Q∈D_j\Dj−1

Q∩γ6=∅

d(x_Q, ∂D)

≤N c(n, α, c)d(x₀, ∂D)

∞

X

j=1

exp(−αj)≤N c(n, α, c)d(x₀, ∂D),

josta yhdess¨a (4.15) kanssa seuraa v¨aite.

Lemma 4.16. Olkoon Ω ⊂ Rⁿ John-alue, jonka kantapiste on x₀ ∈ Ω. T¨all¨oin jokainen x ∈ ∂Ω on jonkin pisteen x₀ kautta kulkevan kvasihyperbolisen geodeesin p¨a¨atepiste.

Todistus. Olkoonx∈∂Ω ja tarkastellaan jonoax_k∈Ω, jollex_k →x. Olkoonγ_k kvasihyperbolinen geodeesi pisteess¨ax_kpisteeseenx₀. Lemman 4.15 nojallaH¹(γ_k) on tasaisesti rajoitettu riippumatta indeksist¨ak. T¨all¨oin Arzel`an-Ascolin lauseen nojalla on olemassa osajono γk, joka suppenee tasaisesti kohti suoristuvaa polkua γ, joka yhdist¨a¨a pisteet x ja x₀ ja jolle

H¹(γ)≤lim inf

k→∞ H¹(γk)<∞.

Osoitetaan, ett¨a γ on kvasihyperbolinen geodeesi. Olkoot y, z ∈ γ∩Ω mielivaltaiset pisteet ja yk, zk ∈ γk, k ∈ N, jonot pisteit¨a siten, ett¨a yk → y ja zk → z. T¨all¨oin Fatoun Lemman nojalla

γ|_[y,z]

ds

d(w, ∂Ω) ≤lim inf

k→∞

γk|_[yk,zk]

ds

d(w, ∂Ω) = lim inf

k→∞ k_D(y_k, z_k) =k_D(y, z), koskaγ_k on geodeesi jokaisellak. Toisaalta kvasihyperbolisen metriikan m¨a¨aritelm¨an nojalla

k_D(y, z)≤

γ|_[y,z]

ds d(w, ∂Ω).

Seuraus 4.17. John-alueiden reunat ovatW^1,n-poistuvia.

Todistus. Lemman 4.16 nojalla kvasihyperbolisilla geodeeseilla p¨a¨asee reunalle eli varjot peitt¨av¨at joukon reunan ja John-alueille p¨atee s(Q)≤Cl(Q), n¨ain ollen

X

Q∈W(Ω)

s(Q)ⁿ ≤C X

Q∈W(Ω)

l(Q)ⁿ=C|Ω|<∞.

4.3. Yleistyksi¨a ja avoimia kysymyksi¨a

Artikkelissa [7] todistetaan viel¨a Seurausta 4.17 yleisemm¨at tulokset

24 4. POISTUVUUS SOBOLEV-FUNKTIOILLE

Lause 4.18 ([7] Lause 2). Jos kiinte¨alle pisteelle z₀ ∈Ω alue Ω⊂Rⁿ toteuttaa (4.16) kd(·, z0)∈Lⁿ(ΩK)

t¨all¨oin K = ∂Ω on W^1,n-poistuva (ja kvasikonformisesti poistuva). Merkinn¨all¨a Ω_K tarkoitetaan joukkoon Ω sis¨altyv¨a¨a reunan K ymp¨arist¨o¨a.

Lause 4.18 todistetaan valikoimalla sopivasti Whitney-kuutioiden keskipisteit¨a yh- dist¨av¨at murtoviivat ja k¨aytt¨am¨all¨a n¨ait¨a M¨a¨aritelm¨an 4.8 k¨ayrin¨a, jonka j¨alkeen osoi- tetaan, ett¨a ehdon (4.16) toteuttava alue toteuttaa ehdon (4.4). Edelleen Lauseen 4.18 avulla todistetaan

Lause 4.19 ([7] Lause 3). Jos alue Ω toteuttaa reunaehdon d(x, ∂Ω)<exp(−(k_D(x, z₀))ⁿ⁻¹logk_D(x, z₀))^1/n/o(1))

kun x ∈ Ω l¨ahestyy reunaa ∂Ω kiinnitetyll¨a z₀ ∈ Ω, niin K = ∂Ω on W^1,n-poistuva (ja kvasikonformisesti poistuva).

josta erikoistapauksena saadaan, ett¨a my¨os aiemmin m¨a¨aritellyt H¨older-alueet ovat poistuvia ja seurauksena yhdesti yhten¨aisille tason alueille saadaan

Seuraus 4.20 ([7] Seuraus 4). Jos tason alue Ω on yhdesti yhten¨ainen ja Rie- mannin kuvaus lauseen kuvauksen φ:B(0,1)→Ω jatkuvuusmodulille p¨atee

ω_φ(t)<exp − r

log 1

t log log1 t/o(1)

!

kun t→0, niin K =∂Ω on W^1,2-poistuva (ja konformisesti poistuva).

Edelleen artikkelissa [9] Seurausta 4.20 parannetaan osoittamalla, ett¨a arvio p¨atee ilman toisen kertaluvun termi¨a log log¹_t.

Kuten jo johdannossa todettiin ei kysymykseen seuraako kvasikonformisesta pois- tuvuudesta W^1,n-poistuvuus tunneta vastausta edes tason tapauksessa. Lis¨a¨a avoi- mia kysymyksi¨a l¨oytyy artikkeleista [3] sek¨a [14]. Viimeaikaisia tuloksia Sobolev- funktioille on k¨asitelty artikkelissa [11].