1 Helmikuun 2012 vaikeat kirjevalmennustehtävät
Vastauksia voi lähettää sähköpostilla osoitteeseen laurihallila@gmail.com, tai postitse osoitteeseen Kalliorinteenkuja 1, 02770 Espoo. Kysymyksiä tehtävistä voi esittää sähköpostitse.
1. Selvitä kaikkien sellaisten päättymättömien aritmeettisten jonojen lukumäärä, joissa luvut1 ja2005ovat ensimmäisten kymmenen luvun joukossa.
2. Etsi kaikki positiivisten kokonaislukujen kolmikot (a, b, c), joille pätee abc+ab+c=a3.
3. Etsi luku
21 1! +22
2! +23
3! +· · ·2100 100!
.
Luku[x]tarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka ei ole lukuaxsuurempi.
4. Osoita, että
n√
2005−m > 1 90n kaikille positiivisille kokonaisluvuille mjan.
5. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joita kohti on olemassa alkuluvutp jaqsiten, ettäp+ 2 =qja luvut 2n+pja2n+qovat myös alkulukuja.
6. Osoita, että
1
2n<{n√
7}<1− 1 6n
mille tahansa positiiviselle kokonaisluvullen({x}=x−[x]).
7. Etsi kaikki funktiot f : N→N jotka toteuttavat yhtälön f(m−n+f(n)) =f(m) +f(n)
kaikilla m, n∈N.
8. Osoita, että mille tahansa positiivisille reaaliluvuilleajabpätee
a2+b+3
4 b2+a+3 4
≥
2a+1
2 2b+1 2
.
9. Luvuta, b, cjadtoteuttavat ehdon
cos 2a+ cos 2b+ cos 2c+ cos 2d= 4(sinasinbsincsind−cosacosbcosccosd),
missä0< a, b, c, d < π/2. Etsi kaikki mahdolliset summana+b+c+darvot.
10. a) Funktio f : N →N toteuttaa ehdon f(n) =f(n+f(n)) mille tahansa luonnolliselle luvullen. Osoita, että jos funktionf arvojen lukumäärä on äärelli- nen, niinf on jaksollinen funktio.
b) Anna esimerkki ei-jaksollisesta funktiostaf : N→N, jollef(n) =f(n+f(n)) mille tahansa luonnolliselle luvullen.
1
