Osoita, ett¨a bi-Lipschitz-kuvaus on injektio

Analyysi 2

8. harjoitus 2.-6.11.2009

1. Kuvaus f :Rⁿ →R^m on bi-Lipschitz-kuvaus, jos on olemassa sellai- nen L >0, ett¨a

1

L|x−y| ≤ |f(x)−f(y)| ≤L|x−y|

kaikilla x, y ∈Rⁿ. Osoita, ett¨a bi-Lipschitz-kuvaus on injektio.

2. Osoita, ett¨a yht¨al¨o x⁴₁ +x⁴₂ −2x₁x₂ = 0 m¨a¨arittelee sellaisen C¹- funktion g : ∆ → R, ett¨a g(1) = 1. T¨ass¨a ∆ ⊂ R on avoin joukko ja 1∈∆.

3. Laske kuvauksenf :R³ →R,

f(x₁, x₂, x₃) =x₁x₂x₃ kaikilla (x₁, x₂, x₃)∈R³, 3. kertaluvun osittaisderivaatat.

4. Tarkastellaan kuvaustaf :R² →R, f(x₁, x₂) =

Z x1

0

(x₂sint+ cos(x₂t))dt kaikilla (x₁, x₂)∈R². Laske ∂₁∂₂∂₂f(x₁, x₂).

5. M¨a¨arit¨a kuvauksen f :R² →R,

f(x₁, x₂) =e^x1x22 kaikilla (x₁, x₂)∈R², 2. asteen Taylorin polynomi origossa.

6. M¨a¨arit¨a kuvauksen f :R³ →R,

f(x1, x2) = e^x1x2+x3 kaikilla (x1, x2, x3)∈R³, 2. asteen Taylorin polynomi T₀² origossa.

7.Tarkastellaan teht¨av¨an 6 kuvaustaf. Arvioi erotusta|f(x)−T₀²(x)|, kun |x| ≤1.

Lis¨ateht¨av¨a

1. Oletetaan, ett¨a f : Rⁿ → R^m on C²-funktio. Osoita, ett¨a kaikilla a, h ∈Rⁿ

f(a+h) =f(a) +

n

X

j=1

∂_jf(a)h_j+ ¹₂

n

X

j,k=1

∂_k∂_jf(a)h_kh_j+|h|²η(h),

1

2

miss¨aη(h)→0 kun h→0.