LUKUALUEETLuonnolliset luvutN

LUKUALUEET

Luonnolliset luvut N

Kokonaisluvut Z

Merkinnät:

N

x 

N

x 

Rationaaliluvut Q

luvut, jotka voidaan esittää murtolukuina

Esimerkki 2

Esitä x supistettuna murtolukuna, kun x = 0,444…

x = 0,444...

10x = 4,444…

10x - x = 4,444… - 0,444…

9x = 4 |:9







  

 m,n Z, n 0 n

Q m

Jokainen kokonaisluku Päättyvä desimaaliluku

Päättymätön jaksollinen desimaaliluku

1.1.3 - 4. Laskutoimituksia rationaaliluvuilla

1. Laventaminen

Osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla.

2. Supistaminen

Osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla.

E.1.

Lavenna luvulla 4

3

2 E.2.

Supista ¹⁸₂₄

3. Kertolasku

Sekamurtoluvut muutetaan ensin varsinaisiksi murtoluvuiksi.

Tulon osoittajaksi osoittajien tulo ja nimittäjäksi nimittäjien tulo.

Lopuksi supistetaan, jos voidaan. (Supistaa voi jo tekijöitäkin!)

4. Jakolasku

Jaettava kerrotaan jakajan käänteisluvulla.

Jatko kuten edellä 3:ssa

E.3. E.4.

5 3

5. Yhteenlasku

Murtolukuja saa laskea yhteen ja vähentää, kun niillä on sama nimittäjä.

Tarvittaessa lavennetaan.

Tällöin osoittajaksi tulee osoittajien summa (erotus) ja nimittäjäksi yhteinen nimittäjä

E.5.

a)Laske

4 3 3 2 

Laskulait

Vaihdantalait a + b = b + a

ab = ba

Liitäntälait (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc)

Osittelulaki a(b + c) =ab + ac 2(3x+1) = 2∙3x + 2∙1 =6x + 2

Tulon nollasääntö ab = 0, jos ja vain jos a = 0 tai b = 0



Vastaluku

Luvun a vastaluku on -a

Vastalukujen summa on nolla:

a + (-a) = 0 Käänteisluku

Luvun a käänteisluku on 1/a (a0) Käänteislukujen tulo on yksi:

a ∙ 1/a = 1, a  0 Esimerkki 4

Määritä

a) Luvun -8 vastaluku b) 2/3 käänteisluku

a) 8, sillä

-8 + 8 = 0. Siis -(-8) = 8 b) 3/2, sillä

2 1 3 3

2   2

3 2

1 

Vastaluvun ominaisuuksia

-(-a) = a

-(a + b) = -a - b a - b = a + (-b)

a(-b) = (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab

a(b - c) = ab - ac Esimerkki 5

a) 2 * (-4) *(-5) = 40 b) 6(2x - 4) = 12x - 24 c) (-2)⁴ = 16

Likiarvot

Merkitseviä numeroita

Kaikki muut paitsi desimaaliluvun alussa olevat nollat

Kokonaisluvun lopussa olevien nollien merkitsevyys riippuu asiayhteydestä

Esimerkki 6

Kuinka monta merkitsevää numeroa on a) 2001

4

b) 0,0023 2

c) 32 000

Laskeminen likiarvoilla

Tulos ilmoitetaan niin monen merkitsevän numeron tarkkuudella kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa Jos kyse ainoastaan yhteen- tai vähennyslaskusta, vastaus

ilmoitetaan niin monen desimaalin tarkkuudella kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa

Esimerkki 7 Likiarvoille

a) 1,03 * 2,5 = 2,575  2,6 b) 2,30 + 120,1  122,4

1.2.3. Itseisarvo

*luvun etäisyys nollasta







 

0 kun x

, x

0 kun x

, x x -

Siis

•positiivisen luvun itseisarvo on luku itse

•negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku

•nollan itseisarvo on nolla

E.1

a) 4 = 4

 4

b) = 4

c) 3  3  ( 3  3)  3  3

sillä 3  3 on negatiivinen

PROSENTTILASKUJA

1 ‰ = = 0,001 1 % = = 0,01₁₀₀¹ ₁₀₀₀¹

1) p% luvusta a p a

100

PROSENTTI PROMILLE

Esimerkki 1

Pesuaineessa on 8 % fosforia?

Kuinka paljon sitä on 1500 grammassa?

g g 120 1500

100 *

8 

tai

0,08 * 1500 g = 120 g Muunnetaan p% desimaaliluvuksi

Kerrotaan luku a tällä desimaaliluvulla

2) Kuinka monta prosenttia luku a on luvusta b

%

100 b

a

Esimerkki 2

Kuinka monta prosenttia 5 on luvusta 200?

% 200 100

5  _{= 2,5 %}

tai

025 ,

5 0

 = 2,5 % muunnetaan prosenteiksi

b a

3) p% lukua a suurempi luku

p a 100) 1

( 

Esimerkki 3

Mikä luku on 4 % suurempi kuin 25?

1,04 * 25 = 26

4) p% lukua a pienempi luku

p a 100) 1

( 

Esimerkki 4

Mikä luku on 4 % pienempi kuin 25?

0,96 * 25 = 24

5) Kuinka monta prosenttia luku a on suurempi kuin luku b

a>b>0

%

100

 b

b a

Esimerkki 5

Kuinka monta prosenttia luku 15 on suurempi kuin 12?

15-12 = 3

% 25

% 12 100

3  

6) Kuinka monta prosenttia luku b on pienempi kuin luku a

Esimerkki 6

Kuinka monta prosenttia luku 12 on pienempi kuin 15?

15-12 = 3

% 20

% 15 100

3  

%

100

 a

b a

a>b>0

Esimerkki 7

Vaaleissa erästä puoluetta kannatti 12 % Edellisellä kerralla kannatus oli ollut 8 %.

Kuinka monta prosenttiyksikköä kannatus oli muuttunut?

12- 8 = 4

4 prosenttiyksikköä

Esimerkki 8.

Korko 4,5 %

Kuinka suuri talletuksen on oltava, jotta korko olisi 180 € vuodessa?

x = talletuksen määrä

0,045 * x = 180 :0,045 x = 4000

V: 4000 €

Kirjan esimerkki

Lääkeliuoksen väkevyys 10%. Litra liuosta

Kuinka paljon vettä on lisättävä, jotta saadun liuoksen väkevyys 4 % x = lisättävän veden määrä

Liuos Väkevyys Määrä (l) Lääkkeen määrä

Vanha 10 % 1 0,1

Uusi 4 % 1+x 0,04(1+x)

0,04(1+x) = 0,1 0,04 + 0,04x = 0,1

0,04x = 0,1-0,04 0,04x = 0,06 | :0,04

Kirjan esimerkki

Työntekijöiden palkkoja korotettiin 10 % Tämän jälkeen palkkoja alennettiin 10 % Työntekijöiden alkuperäinen palkka = 100a I: 1,1* 100a = 110a

II: 0,9 * 110a = 99a

Tämä on 99 % alkuperäisestä palkasta, joten palkka ei ole sama kuin alussa vaan 1 % pienempi

(10 % otettiin eri luvuista!!!!!)

Suoraan verrannollisuus

* Suureiden suhde pysyy vakiona ts. suureet muuttuvat samassa suhteessa

x y

x₁ y₁

x₂ y₂

2 1 2

1

y y x

x 

x₁y₂ = x₂y₂ Jos muuttujat y ja x suoraan verrannollisia, niin y = kx (k = verrannollisuuskerroin)

Esimerkki 1

Ratkaise verranto

x 3 5

2 

2x = 3*5 2x = 15 |:2 x = 7½

Esimerkki 2

15 kg porkkanoita maksaa 34,50 mk.

a) Kuinka paljon maksaa 11 kg porkkanoita

b) Muodosta porkkanoiden määrän x ja hinnan y välinen yhtälö 15

11 = 34,50

y 15y = 11 *34,50 15y = 379,50  :15 y = 25,30

a) b)

15

x = 34,50 y

15y = 34,50x |:15 y = 2,3x

Esimerkki 3

Auton jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön.

Auto pysähtyi nopeudesta 80 km/h 35 metrin matkalla.

Kuinka pitkä jarrutusmatka vähintään tarvitaan pysäyttämään nopeudesta 50 km/h?

x 35 50

80

2

2



80²x = 50² *35

6400x = 87500 |:6400 x 14

Kääntäen verrannollisuus

* Suureet muuttuvat käänteisessä suhteessa

* Suureiden tulo pysyy vakiona

x y

x₁ y₁

x₂ y₂

1 2 2

1

y y x

x 

x₁y₁ =x₂y₂

Jos muuttujat x ja y ovat kääntäen verrannollisia, niin y = (k = verrannollisuuskerroin)

x

k

Työn kesto (h) maalareiden lukumäärä

7 5

2 x

7

2 x

= 5

Esimerkki 4

Viisi maalaria maalasi talon seitsemässä tunnissa.

Kuinka monta maalaria tarvitaan, jotta työ valmistuisi kahdessa tunnissa?

2x = 35 :2 x = 17,5

POTENSSIT

eksponentti

kantaluku aⁿ = a ·a · · · ·a

Esim 1a) 3⁴

= 3 · 3 · 3 · 3 = 81.

b) (-2)⁴

= (-2) ·(-2) ·(-2) ·(-2) = 16 c) -2⁴

= -(2 · 2 · 2 ·2) = -16 n kpl

nZ₊

e) 3¹ = 3 f) 0⁵ = 0

3) (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ

5) (a^m)ⁿ = a^mn 1) a^m ∙ aⁿ = a^m+n

POTENSSIN LASKUSÄÄNTÖJÄ

0) (a

)

2 ^m_n  a^mn  a

a

0) (b

)

( )

4 ⁿ  _nⁿ 

b a b

a

Esimerkki 2 a) x³ · x²

= x³⁺² = x⁵

c) (2x)³

= 2³x³ = 8x³

) ₅ ^{6 5 1}

6

x x

x x

b x  ^  

e) (x³)⁴

2 2

2 2 2

9 1 9

3

3 x x x

x )

d) (   

Esimerkki 3

2 12

) ₂

4

x a x

2 5

2 6

) x x

x x b x







2 5

2 1 6







x x

7 9

x

 x

= x^9-7

2 4

2 12 

 x = 6x²

c) 0,01⁹⁹⁹ · 100⁹⁹⁹

=(0,01 · 100)⁹⁹⁹ =1⁹⁹⁹

= 1

Käytetään kaavaa (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ

käänteiseen suuntaan

a⁰ = 1, a  0

Nollas ja negatiivinen potenssi

a N

a^p  1_p a  0 ja p

siis 0⁰ ei ole määritelty

Esimerkki 4 a) 5⁰

= 1 b) 2^-3

8 1 2

1

3





c) 4^-1

4 1 4

1

1 



2 3 2

1 2

) 1 3

)( 2

   d

a ) b

b ( a a

a

 1



Eli kun luku korotetaan potenssiin -1, niin saadaan luvun käänteisluku

Kun eksponentti on 0 tai negatiivinen, niin potenssin laskulait säilyvät

Kymmenpotenssimuoto

a·10ⁿ, missä 1a10 ja nZ Kerroin on ykkösen ja kymmenen välillä sekä eksponentti kokonaisluku

Esimerkki 1

a) 320 000 000 000 = 3,2 · 10¹¹

b) 0,000 000 232 = 2,32 · 10^-7

Tarkista laskin 2⁹⁰  1,24 ·10²⁷ 2^-90  8,08 ·10^-28

32 000 000 000 000 / 16 000 000 000 = 2000

3,2 EXP 13 / 1,6 EXP 10

Neliöjuuri

a b

a   b  0 ja b



Luvun a neliöjuuri:

Juurrettava a ei saa olla negatiivinen

Esimerkki 1

Laske neliön sivun pituus.

A=9m² A=14,6m²

a) b)

m m

a ) 9  3 ^{b ) 14 , 6 m  3 , 82 m}

sillä

, 4 16

) 

a

4 0

4² = 16

c )  10

Esimerkki 2

09 , 0 )

b = 0,3

Esimerkki

Tutki neliöjuuren määritelmän avulla, onko

1234 1522766

) 

a

i) 1234 0

ii) 1234² = 1522756  1522766 Vastaus: ei ole

Yhtälö x

= a

x² = a

0 a

ai

t  







a x

a x

Jos a < 0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua Jos a=0, niin yhtälön ratkaisu on x=0

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö a) x² = 9

 9



 x

x = 3

b) x² - 121 = 0

 121



 x

c)

4x² + 16 = 0



4x² = -16 |:4



x² = -4 ei ratkaisua

reaalilukujoukossa



 x²=121

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö

0 12

2 x  

12 2 x 

 6 x

x = 6² x = 36

| :2

Kuutio ja kuutiojuuri

R a

b

a   b

 a 

3

Luvun a kuutiojuuri:

Huom. Juurrettava voi olla myös negatiivinen

Siis luvun a kuutiojuuri on se luku, jonka kolmas potenssi eli kuutio on a

sillä

, 3 8

)

 a

2³ = 8

Esimerkki 1

sillä ,

3 27

)

b

(-3)³ = -27

Yhtälö x

= a

x³ = a

R a

,

3







a x

Esimerkki 2

27x³ = -1 | :27

27

3

  1

 x

1

   1

Kuutiojuuren laskusääntöjä

3 3

3

ab  a b

3 3

3

b

a b

a 

a a 

3 3

a a



3

)

(

1.

2.

3.

4.

Esimerkki 3 Sievennä

3

24

) a

3

8  3



3

3

8 3



3

3

 2

3

27 ) 8

b

3 3

27

 8

3

 2

3

32

2

)

3

32  2



3

64



= 4

3 3

2 ) 16

3

8



=2

3

3

2 16

)  e

3

3

2  8  2



3 3

3

2  8 2



3

3

2

3 2



Muut juuret

Parilliset juuret

0 a

sekä

parillinen on

n ,

a

n luetaan: n:s juuri a:sta

tarkoittaa yhtälön xⁿ = a ei negatiivista ratkaisua Parittomat juuret

R a

sekä pariton

on n ,

a

n

tarkoittaa yhtälön xⁿ = a ratkaisua

Esimerkki 4

16

a)

= 2, sillä 2⁴ = 16 ja

2  0

16

-

b)

c)

- 32

ei määritelty = -2,

sillä

2⁵ = -32

Yleinen potenssi

Murtopotenssi

Huom. Murtopotenssit vain ei-negatiivisille kantaluvuille

0 a

ja Z n

1





 ⁿ _

n a

a

an 1

0 a

ja Z n

m, )

( ^m   

 ^{n n m} _

n m

a a

a

Murtopotenssi ⁿ

m

a

5 ) a

Esimerkki 1

Esitä murtopotenssina 6 )⁵ b

2 1

 5 ⁵

1

 6 ₃

2 ) 1 c

3 1

2

 1  2^1₃

Esimerkki 2 Esitä juurena

3 1

5 )

a ^{ 3 5 3}

1

5 ) ^

a  3¹₅

3 1

5

 1

Esimerkki 3

Kirjoita luvun 2 potenssina

4 1

8 ⁴

1 3) 2

 (  2⁴³

3 1

8 ³

1 3) 2

 (  2¹  2 3

2

8  ³ 8²  ³ 64  4

4 3

81  (⁴ 81)³ =3³

Esitä a:n potenssina

a

a ²

1

a a 

  a²³

Laske

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö -2(x - 1) = x - 1 -2x +2 = x - 1

-2x - x = -1 - 2

-3x = -3 | : (-3)

x = 1

Nimittäjien poistaminen

2 1 2 4

3 1

2       x x

x |  6

) 1 (

2 6 2 6 4

3 1

62       x x

x

2(2x - 1) - 3(4x -2) = -6x - 6 4x - 2 - 12x + 6 = -6x - 6 4x - 12x + 6x = -6 + 2 - 6 -2x = -10 | : (-2) x = 5

Tarkistus

sijoitetaan x = 5 *)

vasen puoli = 3 - 9 = -6 oikea puoli = -5 - 1 = -6

*)

Onglmanratkaisu yhtälöllä

Esimerkki

Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 1998. Mikä on suurin luvuista?

Luvut: x

x+1, x+2

x + (x+1) + (x+2) = 1998 3x + 3 = 1998

3x = 1998 - 3 3x = 1995 | :3 x = 665

Lineaarinen yhtälö ax = b, a = 0

jos a = 0, niin

ratkaisuja ovat kaikki reaaliluvut tai yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua

Esimerkki 1

Osoita, että yhtälö x(x+1) -x² = x toteutuu kaikilla x:n arvoilla eli on identtisesti tosi

x(x+1) - x² = x x² + x -x² = x x - x = 0 0x = 0

Esimerkki 2

Osoita, että yhtälö x(x+1) -x² = x + 1 ei toteudu millään x:n arvolla eli on identtisesti epätosi

x(x+1) - x² = x + 1 x² + x -x² = x + 1 x - x = 1 0x = 1 0 = 1

a) x² +4

x = 3 x= -3

a) 3² + 4 (-3)² + 4

= 9 + 4 = 13 =9 + 4 = 13

b) -x² + 4x

x = 3 x= -3

b) -3² + 4*3 -(-3)² + 4*(-3)

= -9 + 12 = 3 = -9 - 12 = -21