LUT Metalli
Teräsrakenteiden laboratorio
LUJASTA TERÄKSESTÄ VALMISTETUN PALKIN POIKKILEIKKAUKSEN OPTIMOINTI
Diplomityön aihe on hyväksytty Lappeenrannan teknillisen yliopiston hallintoneuvostossa 1.7.2011.
Valvoja: Professori Timo Björk Tarkastajat: Professori Timo Björk
TkT Tapani Halme
Lappeenranta, Heinäkuu 2011 Olli-Pekka Hämäläinen
TIIVISTELMÄ
Lappeenrannan teknillinen yliopisto LUT Metalli
Teräsrakenteiden laboratorio
Tekijä: Olli-Pekka Hämäläinen
Otsikko: Lujasta teräksestä valmistetun palkin poikkileikkauksen optimointi Vuosi: 2011
Diplomityö
61 sivua, 21 kuvaa, 4 taulukkoa ja 5 liitettä Tarkastajat: Professori Timo Björk
TkT Tapani Halme
Avainsanat: lujat teräkset, poikkileikkaus, optimointi, lujuus vs jäykkyys, taivutuspalkki Parin viime vuosikymmenen aikana on kehitetty huomattavasti entistä lujempia teräslaatuja, joiden käyttö ei kuitenkaan ole yleistynyt läheskään samaan tahtiin. Korkeamman hinnan lisäksi yksi merkittävä syy tähän on, että suunnittelijoilla ei usein ole riittäviä tietoja siitä, millaisissa tilanteissa lujemman teräslaadun käytöstä on merkittävää hyötyä. Tilannetta ei myöskään helpota se, että käytössä olevat standardit eivät tarjoa lainkaan ohjeistusta kaikkein lujimpien,
myötörajaltaan yli 700MPa terästen käyttöön ja mitoitukseen. Tässä työssä pyritään tarjoamaan suunnittelijalle ohjeita ja nyrkkisääntöjä sopivan lujuusluokan ja profiilin valintaan sekä yleisesti lujempien teräslaatujen käyttöön.
Lujemman teräslaadun käytöllä voidaan keventää suunniteltavaa rakennetta ja saada aikaan huomattavia painonsäästöjä. Usein ongelmaksi nousevat kuitenkin stabiiliuskriteerit, sillä teräksen lommahduskestävyys määräytyy suuresti sen lujuusluokasta siten, että mitä lujempaa teräs on, sitä helpommin se lommahtaa. Kun tämä yhdistetään siihen, että lujempaa terästä käytettäessä rakenteesta tulee optimoituna muutenkin pienempi ja kevyempi, kasvaa näiden kahden asian yhteisvaikutuksena kantokyvyn mukaan mitoitetun rakenteen taipuma korkeampiin lujuusluokkiin edetessä hyvin nopeasti sallittujen rajojen yli. Työssä etsitään siksi keinoja
sopivan kompromissin löytämiseksi lujuuden ja jäykkyyden välille. Koska muotoilulla ja
poikkileikkauksella on suuri merkitys sekä taipuman että stabiliteetin kannalta, tutkitaan erilaisia poikkileikkausvaihtoehtoja ja etsitään optimaalista poikkileikkausta taivutuspalkille
matemaattisen optimointimallin avulla.
Kun eri poikkileikkausvaihtoehdot on käsitelty ja optimoitu taivutuksen suhteen, tutkitaan poikkileikkauksia myös muissa kuormitustapauksissa. Huomattavan raskaan laskentatyön takia apuna käytetään Matlab-ohjelmistoa itse optimointiin ja Femap-ohjelmaa muiden
kuormitustapausten tutkimiseen ja tulosten verifioitiin.
ABSTRACT
Lappeenranta University of Technology LUT Metal Technology
Laboratory of Fatigue and Strength Author: Olli-Pekka Hämäläinen
Title: Optimization of cross section of a beam made of high strength steel Year: 2011
Master’s Thesis
61 Pages, 21 Figures, 4 Tables and 5 Appendices Examiners: Professor Timo Björk
D.Sc. Tapani Halme
Keywords: high strength steel, cross-section, optimization, strength vs. rigidity, bending beam
During the past two or three decades increased development has taken place in the field of high strength steels. Manufacturers have developed steel grades of significantly higher strength than before. However, the use of these new materials has been relatively rare. Aside from higher price one remarkable reason for this is that designers often lack knowledge of in which cases would these high strength steels be the most useful. Lack of design standards doesn’t make things any easier: current standards do not offer any information on the use and dimensioning of steel grades with higher yield strength than 700 MPa. In this thesis the scope is to give a designer useful advice and general “rules of thumb” on how to choose an appropriate steel grade and how to make the most out of it with optimal profile design.
By using a high strength steel it becomes possible to lighten the structure and decrease its weight. Along with increased strength increases also liability for buckling, stability often becomes a limiting factor. Combined with the predisposition that a structure made of high strength steel usually becomes lighter when optimized, as a result a structure that has been designed with respect to load carrying capacity will be so slender that relatively large deformations will take place. Consequently some methods of finding a suitable compromise between strength and rigidity will be inspected in this thesis. Since the shape and cross-section of a beam have a drastic effect on both its stability and rigidity, several different cross-section alternatives will be put in comparison via developing a mathematical nonlinear optimization model for a beam subject to bending.
After different cross-sections were analyzed and optimal measurements for them were found, they were also analysed with other loading conditions to check their load carrying capacity. Due to extensive calculations, computer programs like Matlab and Femap were used - Matlab for optimization and Femap for analysis & verification of results.
ESIPUHE
Tämä diplomityö on tehty Lappeenrannan teknillisen yliopiston teräsrakenteiden laboratoriolle.
Professori Timo Björkin johdolla laboratoriolla on viime vuosina tehty useita lujateräksiin keskittyneitä tutkimuksia ja opinnäytetöitä, joista tämä työ sijoittuu matemaattisempaan kategoriaan. Tästä syystä haluan kiittää Timo Björkiä mieluisasta ja omien kiinnostuksen kohteideni mukaisesta aiheesta.
Työ on tehty osana Ruukin koordinoimaa TeOS-hanketta, jota myös TEKES tukee; kiitän molempia tahoja saamastani taloudellisesta tuesta.
Erityiskiitokset haluan välittää tutkijaopettaja Tapani Halmeelle yleisistä neuvoista ja vihjeistä sekä yksinkertaisesti paikalla olemisesta pahimpaan loma-aikaan. Kiitokset myös Heli Hakalalle juuri sopivan laajuisesta ja pikaisesta Femap-opastuksesta sekä Heini Käyhdylle
itseluottamuksen kohentamisesta.
Suurimmat kiitokseni ja nöyrimmät anteeksipyyntöni esitän avovaimolleni Anu Karhulle, joka on koko työntekoni ajan osoittanut ymmärrystä tutkimuksiani ja omalaatuisia työaikojani
kohtaan ja evästänyt minua niin henkisesti kuin fyysisesti läpi koko kuluneen kesän. Lupaan, että seuraavana kesänä pidän lomaa.
1 JOHDANTO………..1
1.1 Tausta……….1
1.2 Työn tarkoitus ja rakenne……….2
2 LUJATERÄSTEN KÄYTTÖ SUUNNITTELUSSA………...3
2.1 Lujaterästen hyviä puolia………..3
2.2 Lujaterästen huonoja puolia………...4
3 TARKASTELTAVAT PALKKIPROFIILIT………...9
3.1 Profiili 1: I-palkki………10
3.2 Profiili 2: Kotelopalkki………12
3.3 Profiili 3: Suorakaiderakenneputki………..15
3.4 Profiili 4: I-mallin kotelopalkki………...17
3.5 Profiili 5: Nurkistaan säteellä r pyöristetty rakenneputki………...18
3.6 Profiili 6: 8-kulmainen rakenneputki………..21
3.7 Profiili 7: I-palkki………...23
3.8 Profiili 8: I-palkki………...27
4 OPTIMOINTIMALLI………...30
4.1 Kohdefunktio ja rajoitteet………..30
4.2 Ratkaisijafunktio ja sen kutsuminen………..32
4.3 Ratkaisualgoritmi……….33
4.4 Profiilien optimointifunktioiden koostaminen………...36
4.4.1 I-palkin optimointifunktio……….39
4.4.2 Kotelopalkin optimointifunktio……….39
4.4.3 Suorakaiderakenneputken optimointifunktio………....40
4.4.4 I-mallin kotelopalkin optimointifunktio………....40
4.4.5 Nurkkapyöristetyn rakenneputken optimointifunktio………41
4.4.6 8-kulmaisen rakenneputken optimointifunktio…………..………42
4.4.7 Profiilien 7 ja 8 optimointifunktiot………43
4.5 Lopullinen optimointifunktio ”BeamCalc”………...45
5 PROFIILIEN SUORITUSKYKY MUISSA KUORMITUSTILANTEISSA………..45
5.1 Taipumajäykkyys y-suunnassa………..46
5.2 Kiertymäjäykkyys………..48
5.3 Vääntökuormitus: Ylä- ja alalaippaan kohdistuva voimapari………51
6 OPTIMOINTIMALLIN TULOKSET………..53
6.1 Keveys………...54
6.2 Taipuma……….55
6.3 Havaintoja profiilien keskeisistä mittasuhteista………58
7 JOHTOPÄÄTÖKSET JA JATKOKEHITYS………..60
LIITTEET
LIITE A. OPTIMOINTIFUNKTIOT
LIITE B. RAJOITE-, KOHDE- JA APUFUNKTIOT
LIITE C. KÄYRISTYMISJÄYHYYKSIEN LASKENTAFUNKTIOT
LIITE D. POIKKILEIKKAUSTEN MITTOJEN KEHITYS LUJUUDEN KASVAESSA LIITE E. FE-ANALYYSITULOKSET
a Kulman asteluku [°]
A Poikkileikkauksen pinta-ala [mm2]
A lineaaristen epäyhtälörajoitteiden kerroinmatriisi
A0 Koteloprofiilin sisäänsä sulkeman alueen pinta-ala [mm2] Aeq Lineearisten yhtälörajoitteiden kerroinmatriisi
b Vaakasuoran levykentän leveys [mm]
B Bimomentti [Nmm2]
B Lineaaristen epäyhtälörajoitteiden vakiomatriisi Beq Lineaaristen yhtälörajoitteiden vakiomatriisi
c Levykentän yleinen leveys [mm]
C Epälineaaristen epäyhtälörajoitteiden kerroinmatriisi Ceq Epälineaaristen yhtälörajoitteiden kerroinmatriisi
d Putken halkaisija [mm]
E Kimmomoduuli [MPa]
F Voima [N]
fun Minimoitava kohdefunktio [-]
fy Myötöraja [MPa]
G Liukumoduuli [MPa]
G Rajoiteyhtälö/-epäyhtälö
h Pystysuuntaisen levykentän korkeus [mm]
ho Palkin optimikorkeus [mm]
htot Palkin kokonaiskorkeus [mm]
Iv Vääntöneliömomentti [mm4]
Ix Neliömomentti x-akselin suhteen [mm4]
Iy Neliömomentti y-akselin suhteen [mm4]
Iω Käyristymisjäyhyys [mm6]
kL Vääntökuormituksen luokitteluparametri [-]
L Palkin pituus [mm tai m]
lb Muuttujien alarajat sisältävä matriisi
MRd Redusoitu taivutusmomentti [Nmm]
nyy1 Jännityssuhteella ψ = -1 kuormitetun levykentän PL3
mukainen suhde [-]
nyy2 Tasaisesti puristetun levykentän PL3 mukainen suhde [-]
nyy3 Tasaisesti puristetun, toisesta reunastaan vapaan levykentän
PL3 mukainen suhde [-]
r Nurkkapyöristys [mm]
rt Profiilin osapinnan etäisyys vääntökeskiöstä [mm]
Sω Sektoriaalinen staattinen momentti [mm4]
t Aineenpaksuus [mm]
ub Muuttujien ylärajat sisältävä matriisi
v Taipuma [mm]
W Taivutusvastus [mm3]
Wvaad Vaadittava vähimmäistaivutusvastus [mm3]
x Muuttujavektori
z Vinon levykentän leveys [mm]
δ Taipuma [mm]
ε Myötölujuuden huomioon ottava parametri standardissa EN 1993 [-]
η PL3 mukainen leveys/paksuussuhdekerroin [-]
λ Lagrangen kerroin [-]
∇ Gradienttioperaattori
σ Normaali- tai taivutusjännitys [MPa]
σmax Jännityksen maksimiarvo [MPa]
τ Leikkausjännitys [MPa]
ψ Jännityssuhde [-]
ω Sektoriaalinen koordinaatti [mm2]
EC3 Eurocode 3 -suunnitteluohje
FEM Finite Element Method, elementtimenetelmä (työssä käytetty myös lyhennettä FE-analyysi)
HSS High Strength Steel, lujateräs KKT Karush-Kuhn-Tucker
min minimoidaan; minimi PL3 Poikkileikkausluokka 3
S355 Teräs, jonka myötölujuus on 355 MPa s.t. ”subject to”, suhteessa rajoitteisiin
1 JOHDANTO
Tämä työ käsittelee lujasta teräksestä valmistettujen teräspalkkien suunnittelua ja optimointia.
Työn tarkoitus on olla konkreettisia suuntaviivoja ja yleistyksiä tarjoava ohjemateriaali suunnittelijoille, jotka joko joutuvat työssään käyttämään materiaalina lujia ja erikoislujia teräksiä tai jotka haluavat saada aikaan mahdollisimman optimaalisen rakenneratkaisun.
Pääasiallisina hyvyyden arviointikriteereinä käytetään luonnollisesti suunnitellun rakenteen keveyttä sekä kustannuksia. Optimaalisuuden takia työssä rajoitutaan pelkästään ns. kolmanteen poikkileikkausluokkaan. Aiheen laajuudesta johtuen itse optimointi suoritetaan pelkästään staattisen taivutuskuormituksen suhteen, mutta tutkittavien profiilivaihtoehtojen suorituskykyä tarkastellaan myös muissa kuormitustapauksissa.
1.1 Tausta
Lujien rakenneterästen ominaisuuksia on viime aikoina kehitetty huomattavan nopeasti. Siinä missä 30 vuotta sitten erittäin lujiksi teräksiksi luokiteltiin myötörajaltaan 450-890 MPa suuruiset teräkset, on nykyään saatavilla jo yli 1000 MPa teräksiä.[1] Tämän lisäksi esimerkiksi S460-teräksestä on tullut suunnittelukäytössä yhä suositumpaa, eikä siihen enää suhtauduta erikoisen lujana teräslaatuna. Tätä lujempia teräksiä kuitenkin kutsutaan edelleen
korkealujuusteräksiksi eli HSS-teräksiksi (High Strength Steels).[2]
Yleisimpiin käytössä oleviin rakenneteräksiin (S235, S355) on olemassa selkeät
suunnitteluohjeet Eurocode 3:ssa.[3] Nämä ohjeet ovat sovellettavissa sellaisinaan S460-luokan teräksiin asti. Standardin EN 1993-1-12 mukaisten täydennysten avulla nämä ohjeet ovat sovellettavissa myös korkeampiin lujuusluokkiin aina lujuuteen S700 asti.[4] Tätä lujempien terästen suunnitteluun ei kuitenkaan ole olemassa enää standardoituja sääntöjä, vaan jokaisen suunnittelijan täytyy itse olla vahvasti perillä kulloinkin käyttämänsä teräslaadun
ominaisuuksista.
vaan samat laskukaavat soveltuvat useimmiten varsin hyvin käytettäväksi myös näissä
tapauksissa. On kuitenkin olemassa muutamia ominaisuuksia, mitkä suunnittelijan on tärkeää ottaa huomioon HSS-rakenteiden lujuuslaskennassa ja valinnassa. Näistä ominaisuuksista tärkein on se, ettei teräksen kimmomoduuli E ole riippuvainen valitun teräslaadun lujuusluokasta; siten ultralujasta teräksestä valmistettu palkki kestää tavallisesta teräslaadusta valmistettua palkkia enemmän kuormitusta, mutta taipuu samalla tavalla. Tämän johdosta taipuma on syytä ottaa huomioon usein mitoituskriteeriksi muodostuvana tekijänä.
1.2 Työn tarkoitus ja rakenne
Työn tarkoituksena on muodostaa taivutuskuormitetuille palkkirakenteille optimointimalli, jonka avulla on mahdollista vertailla teräksen lujuusluokan ja poikkileikkauksen valinnalla saatavia vaihtoehtoja ja valita näistä kulloiseenkin tarkoitukseen sopivin. Aihetta käsitellään ensin teorian avulla läpikäyden ensin HSS-terästen käytön hyvät ja huonot puolet ja käytössä huomioon otettavat erikoisominaisuudet sekä aiheeseen liittyvät tärkeimmät laskukaavat. Tämän jälkeen käydään läpi tarkasteltavat poikkileikkausmuodot, esitetään niille johdetut optimoinnin kannalta oleelliset yhtälöt mm. profiilien poikkileikkaussuureille. Sitten esitellään optimointimallin koostamisen perusperiaatteet, esitetään kunkin profiilin vaatimat rajoiteyhtälöt ja –epäyhtälöt ja käsitellään erään soveliaan ratkaisualgoritmin toimintatapa sekä algoritmia hyödyntävän Matlab- funktion käyttö. Kun profiilien taivutuskuormituksen kannalta optimaaliset mittasuhteet on optimointimallin avulla löydetty, tutkitaan niiden suorituskykyä myös muiden
kuormitustapausten suhteen. Lopuksi tarkastellaan tuloksia ja otetaan niiden perusteella kantaa siihen, millaista profiilia kannattaa missäkin tapauksissa käyttää ja minkä lujuusluokan kanssa ko. profiilista saadaan eniten hyötyä. Kaikki tarkasteluun valitut profiilit ovat laskennan helpottamiseksi kaksoissymmetrisiä ja ne mitoitetaan siten, että ne kuuluvat periaatteessa optimaalisimpaan poikkileikkausluokkaan 3 (PL4 voi tuottaa kevyempiä ratkaisuja, mutta ne eivät usein ole käytännössä sallittuja). Lähestymistapa yritetään pitää läpi koko työn sellaisena, että aloitteleva suunnittelijakin pystyy ongelmitta seuraamaan ja hyödyntämään työn ohjeita ja tuloksia myös käytännössä. Luonnollisesti jonkinasteinen statiikan ja lujuusopin tuntemus on kuitenkin lähtövaatimus, eikä ohjelmoinnin perusteiden hallitsemisestakaan ole haittaa.
2 HSS-TERÄSTEN KÄYTTÖ SUUNNITTELUSSA
Teräsvalmistajat nimeävät usein tuotteensa siten, että tuotteen nimestä ilmenee teräksen myötölujuus (esim. Domex 700W, myötölujuus 700 MPa). Tämä arvo ei kuitenkaan ole absoluuttinen laatuluokitus, eikä korkeamman myötölujuuden omaava teräs korkeammasta hinnastaan huolimatta ole automaattisesti parempaa kuin matalamman myötölujuuden teräslaatu.
Sopiva, tai paremminkin riittävä lujuusarvo on aina tapauskohtainen ja suunnittelijan on se itse selvitettävä.
2.1 HSS-terästen hyviä puolia
Tärkein syy lujaterästen käyttöön on painonsäästö. Suuremman myötölujuuden ansiosta
rakenteiden painoa voidaan pienentää kestävyyden kärsimättä. Tästä syystä lujien terästen käyttö on yleisintä raskaissa ja suurikokoisissa rakenteissa – etenkin jänneväliltään suuremmissa
silloissa, joissa lujaterästen käytöllä voidaan saada aikaan jopa 20 % alkuperäistä kevyempi rakenne.[5] Rakenteen keventyminen aiheuttaa itsessään jo suuria materiaalisäästöjä, jotka kompensoivat lujien terästen korkeampaa hintaa, mutta lisäksi siitä on myös sekundäärisiä positiivisia seurauksia: mm. kuljetus- ja hitsauskustannukset laskevat. Mikäli rakenneosien poikkileikkaukset ovat geometrialtaan sellaisia, että stabiliteetti tai väsyminen ei ole kriittinen tekijä, voidaan lujateräksien avulla suunnitella ainepaksuudeltaan huomattavasti ohuempia rakenteita. Tällöin painonsäästön lisäksi saadaan aikaan säästöjä myös hitsauskustannuksissa, koska ohuempaa levyä voidaan hitsata vähemmällä hitsauslisäainemäärillä ja parhaassa
tapauksessa myös pienemmällä määrällä palkoja. Lujaterästen hitsauksen vaatimat mahdolliset erikoisjärjestelyt (esim. korotettu työlämpötila, lämmöntuontirajoitukset jne.) tosin voivat syödä tämän kustannusedun.[2]
Yleisesti voidaan sanoa, että mitä raskaammin kuormitettu rakenne on kyseessä ja mitä suurempi merkitys rakenteen omalla painolla on, sitä kannattavampaa lujaterästen käyttö on. Tämän nyrkkisäännön lisäksi rakenteen kuormitustavalla on suuri vaikutus lujuusluokan valintaan.
Tasaisessa vetokuormituksessa lujaterästen koko kapasiteetti päästään hyödyntämään parhaalla tavalla, sillä tällöin stabiliteetti ja taipuma eivät ole rakenteen suorituskyvyn kannalta määrääviä kriteereitä. Tästä syystä esimerkiksi staattisesti kuormitettujen vetosauvojen ja
lommahtamattomien levy- ja kuorirakenteiden materiaaliksi kannattaa periaatteessa valita niin lujaa terästä kuin vain kustannusteknisesti on kannattavaa, koska suuremmasta lujuusluokasta on pelkästään hyötyä. Sitä vastoin puristuskuormituksessa määrääväksi tekijäksi saattaa muodostua rakenteen nurjahdus tai lommahdus; tällöin lujuusluokka kannattaa luonnollisesti valita
stabiiliusreunaehtojen mukaan.[6]
Teräksen leikkauskuormituskestävyys on suoraan verrannollinen sen myötölujuuteen, joten leikkausjännitystä vastaan tehokas keino on valita korkeamman lujuusluokan teräs. Sama pätee myös vääntökuormitukseen. Taivutuskuormituksessa taas stabiilius- ja taipumarajoitteet aktivoituvat jos lujuusluokkaa nostetaan riittävästi, joten esimerkiksi taivutuspalkkeja suunniteltaessa suuremman lujuuden omaava teräs voi jossain tilanteessa olla jopa selvästi alkuperäistä valintaa huonompi ratkaisu. Tämä monimutkaisuus tekee taivutuskuormitetuista rakenteista erityisen haastavia ja mielenkiintoisia optimoitavia. Koska taivutuspalkit ovat lisäksi erittäin yleisiä teräsrakenteita, keskitytään tässä työssä erityisesti taivutuskuormitukseen.
2.2 HSS-terästen huonoja puolia
Lujaterästen käytön suurimpia esteitä ovat hinta ja saatavuus. Terästen jälleenmyyjät eivät yleensä pidä valikoimissaan S355-terästä lujempaa laatua, ja etenkin pienien määrien tilaaminen on erittäin kallista.[7] Yksityishenkilölle tai pikkuyritykselle tilanne on siis hankala, koska lujaterästä täytyisi tilata suoraan tehtaalta tai isoilta tukkureilta suuria määriä ja toimitusajat saattavat olla huomattavan pitkiä. Luonnollisesti lujateräkset ovat tehtaaltakin tilattuna tavanomaisia teräksiä kalliimpia, mutta hintaero ei tällöin ole erityisen suuri. Varsinkin jos suhteutetaan teräslaadun hinta sen myötörajan mahdollistamaan kantokykyyn, huomataan että lujateräkset ovat tässä mielessä varsin edullisia (kuva 1). Tämä ei kuitenkaan kerro kaikkea, sillä
suuremmasta lujuusluokasta ei luonnollisesti ole mitään etua, ellei tuota lujuutta päästä käyttämään hyödyksi.
Kuva 1. Teräslaatujen hinnan suhde kantokykyyn sekä myötölujuuden hinta (levymateriaalin suhteellinen hinta jaettuna myötölujuudella) alkuvuodesta 2007.[2]
Mikäli rakenteessa päädytään käyttämään lujaterästä, on muistettava kiinnittää huomiota kustannusten lisäksi myös niiden muihin rajoittaviin ominaisuuksiin. Näistä tärkein on rakenteelle asetettavat taipumarajoitukset, sillä vaikka lujempi teräs kestääkin enemmän kuormitusta, on sillä käytännössä sama kimmomoduuli kuin tavallisella teräksellä ja näin ollen se taipuu aivan samalla tavalla. Jos esimerkiksi S355-teräksestä valmistettu palkki korvataankin kestävyydeltään vastaavalla kevyempirakenteisella S700-teräspalkilla, taipuu lujateräksinen palkki vastaavassa kuormituksessa huomattavasti enemmän. Muun muassa Eurocode 3 asettaa tietynlaisessa käytössä oleville hitsatuille rakenteille taipumarajoitteita, jotka voidaan
lujateräksiä käytettäessä helposti vahingossa ylittää, ellei suunnittelija ole tarkkana.
Tehokkain keino pienentää taipumaa on lisätä taivutuspalkin kokonaiskorkeutta. Tätä taas rajoittavat poikkileikkauksen stabiiliusvaatimukset: lujempi teräs on herkempää lommahtamaan, sillä teräksen lommahdusherkkyys on suoraan verrannollinen parametriin ε kaavan
√ (1)
mukaisesti, missä fy on teräksen myötölujuus megapascaleina. Näin ollen myötölujuuden kasvaessa ε pienenee ja lommahdusherkkyys kasvaa. Tämä käy ilmi kuvassa 2 esiintyvästä taulukosta, missä on esitetty PL3 mukaiset leveys/paksuussuhteet c/t eri lujuuksisille teräksille erilaisilla jännitysjakaumilla. Kun levykenttä mitoitetaan näiden suhteiden mukaan, saadaan materiaalin myötölujuus hyödynnettyä mahdollisimman täysimääräisesti, sillä poikkileikkaus lommahtaisi tällöin juuri myötölujuuden suuruisella puristusjännityksellä – toisin sanoen sekä rakenteen stabiilisuus- että kantokykyrajoitteet saavutetaan samaan aikaan. Kun mitoitus stabiiliuden ja taipumien perusteella on saatu valmiiksi, voi tilanteen mukaan olla tarpeellista myös tarkastaa rakenteen ominaisvärähtelytaajuudet esimerkiksi FEM-laskennalla, sillä lujasta teräksestä valmistettu rakenne on usein herkempi värähtelyille.
Kuva 2. Poikkileikkausluokka 3:n mukaiset leveys/paksuussuhteet eri teräslaaduille.[6]
Erityisen lujien teräslaatujen mitoituksessa joudutaan nopeasti standardointiongelmiin: EC3:n pätevyysalue ei sellaisenaan riitä kuin lujuusluokkaan S460 asti, ja standardin EN 1993-1-12 laajennuksetkaan eivät vie mitoitusohjeita lujuusluokkaa S700 pidemmälle. Tästä syystä
myöskään kuvan 2 PL3 mittasuhdetaulukossa ei ole leveys/paksuussuhteita kuin lujuusluokkaan S700 asti. Standardin puutteesta huolimatta erityislujilla teräksillä on suoritettu kuitenkin
kohtuullinen määrä stabiiliuskokeita, joissa on huomattu, ettei lujuusluokan korottaminen merkittävästi muuta lommahduskäyttäytymistä totutuista laskusäännöistä. Näin ollen kuvan 2 taulukko on ekstrapoloitavissa kaavan 1 avulla myös ultralujille teräksille ainakin lujuusluokkaan S960 asti, eivätkä tähänastiset koetulokset anna aihetta epäillä kaavan 1 pätevyyttä vielä tätäkään lujemmilla teräslaaduilla.[8] Tällä periaatteella ekstrapoloidut PL3 mukaiset suhteet S700:ta lujemmille teräksille on esitetty alapuolella taulukossa 1.
Lujuusluokka
S800 S900 S960 S1000 S1100 S1200
↓Ψ / ε → 0,542 0,511 0,495 0,485 0,462 0,443
1 20,8 19,6 18,9 18,6 17,7 16,9
0,75 23,2 21,9 21,2 20,8 19,8 19,0
0,5 26,2 24,7 23,9 23,4 22,4 21,4
0,25 29,9 28,2 27,3 26,7 25,5 24,4
0 34,0 32,1 31,1 30,4 29,0 27,8
-0,25 40,0 37,7 36,5 35,8 34,1 32,7
-0,5 47,3 44,6 43,2 42,3 40,3 38,6
-0,75 55,9 52,7 51,0 50,0 47,7 45,6
-1 65,8 62,0 60,1 58,9 56,1 53,7
Vapaa reuna 7,6 7,2 6,9 6,8 6,5 6,2
Taulukko 1. PL3 mukaisten suhteiden laajennus S700:ta lujemmille teräksille.
Stabiilius- ja taipumaongelmien lisäksi lujilla teräksillä on selkeästi suurempi alttius jännityskorroosioon. Tämä on otettava huomioon erityisesti vetojännityksessä olevien
rakenteiden suunnittelussa: mikäli rakenne päätetään valmistaa lujateräksestä, se on tarkastettava jännityskorroosiovaurioiden varalta riittävän usein.
Väsyttävän kuormituksen alaisissa rakenteissa lujemman teräksen käytöstä ei usein ole hyötyä, sillä ainepaksuuksien pienentäminen voi lisätä jännitysvaihteluväliä, jolloin rakenteen
väsymiskestävyys kärsii.[2] [9] Haurasmurtumaan johtava kriittinen särökokokin on lujilla teräksillä pienempi. Väsymisen teorian mukaan teräksen lujuusluokalla ei myöskään ole suoraa yhteyttä väsymiskestävyyteen; suuremman lujuusluokan teräksiä käyttämällä voidaan tosin kokeiden mukaan nostaa rakenneosan väsymisrajaa, mutta vain jos osan jälkikäsittely
(hitsaussaumojen hiominen ja kiillotus, epäjatkuvuuskohtien tasoittaminen) suoritetaan riittävän huolellisesti. Tämä käy ilmi kuvan 3 kuvaajista. Erityisen hyvin teräksen suurempaa
peruslujuutta päästään hyödyntämään tilanteissa, jolloin staattinen jännitystaso eli keskijännitys on korkea, mutta jännitysvaihtelut ovat pieniä ja niitä on vähän.[10]
Kuva 3. Materiaalin lujuuden vaikutus väsymiskestävyyteen. Huom. Vaaka-akselilla kuvissa ei ole myötölujuus vaan murtolujuus.[11]
Viimeisenä tekijänä tulee ottaa huomioon lujemman teräslaadun erityiset valmistusvaatimukset.
Lujempien terästen hitsaaminen on usein hankalampaa ja vaatii rakenteita valmistavalta
yritykseltä usein sekä luotettavia ja tarkkoja laitteita (hitsausautomaatit) että pätevää ja kokenutta henkilökuntaa. Myös hitsauksen laadunvalvonnan tarkkuus on sitä tärkeämpää, mitä lujempaa terästä käytetään – juurikin väsymismurtumaan johtavan kriittisen särökoon pienuuden takia.
Luonnollisesti ohuempi ja kevyempi rakenne on muutenkin alttiimpi vähäisemmillekin hitsausvirheille, sillä esimerkiksi seinämävahvuudeltaan 6 mm paksuisen kotelopalkin
hitsaussaumassa oleva 3 mm särö on vaikutukseltaan huomattavasti dramaattisempi kuin mitä se olisi vaikkapa 10 mm seinämävahvuisen palkin hitsaussaumassa. Tarkkuutta ja laadukkaita laitteita vaaditaan siis myös laadunvalvontapuolelta: mikäli hitsausvirhe havaitaan vasta asennuspaikalla, ei korjaushitsaus välttämättä onnistu paikan päällä.
Tarkasteltavaksi valittiin kahdeksan poikkileikkaukseltaan erilaista profiilia, joiden
suorituskykyä vertailtiin keskenään. Samalla tutkittiin, kuinka profiilien eri osien mitat ja niiden väliset mittasuhteet muuttuvat, jos materiaalin myötölujuutta kasvatetaan. Lisäksi oltiin
kiinnostuneita profiilien jäykkyydestä. Profiileiksi valittiin sekä perinteisiä, yksinkertaisia malleja että tarkoituksella myös hieman monimutkaisempia geometrioita. Matemaattisen mallinnuksen helpottamiseksi valinta rajoitettiin pelkästään kaksoissymmetrisiin profiileihin, jolloin neutraaliakseli sijaitsee aina palkin keskellä. Näin ollen mm. palkin neliömomenttien laskeminen on huomattavasti yksinkertaisempaa, ja palkin taivutusvastuskin voidaan helposti laskea neliömomentin avulla kaavasta
(2)
missä htot on palkin kokonaiskorkeus, Ix on palkin x-akselin (tässä työssä palkin pääjäyhyysakseli) suhteen laskettu neliömomentti ja W palkin taivutusvastus.
3.1 Profiiili 1: I-palkki
I-profiili on hitsatuissa rakenteissa yleinen perusprofiili. Se on erittäin suosittu talo- ja teollisuusrakenteissa, ja sopii hyvin käytettäväksi myös pilarina, mikäli laipat valmistetaan riittävän leveinä.[12] I-palkin poikkileikkauksen optimointiin on tarjolla runsaasti ohjeistusta mm.
Levyrakenteiden Suunnittelu- kirjan luvussa 4, mistä löytyy PL3 suhteiden mukaan mitoitettavan I-palkin optimikorkeudelle valmiiksi ratkaistu kaava
√ (3)
missä η on PL3 taulukon (ks. kuva 2) mukainen leveys/paksuussuhde palkin uumalevylle ja W on palkilta vaadittu taivutusvastus.[6] Koska yleisesti kaikille taivutuspalkeille pätee palkkia kuormittavan taivutusmomentin, materiaalin myötölujuuden ja taivutusvastuksen välinen yhtälö
(4)
voidaan I-palkin optimikorkeus esittää materiaalin myötölujuuden funktiona ratkaisemalla yhtälöstä 3 taivutusvastus W ja sijoittamalla se kaavaan 2:
√ (5)
Tämän perusteella voidaan siis sanoa, että kuormituksen kasvu korottaa ja materiaalin lujuuden kasvu madaltaa I-palkin optimaalista kokonaiskorkeutta. Kun otetaan huomioon vielä parametrin ε (kaava 1) pienentävä vaikutus suhdelukuun η, madaltuu optimikorkeus lujuusluokkaa
nostettaessa myös tästä syystä. Runsaan optimointi-informaation ansiosta I-palkin avulla on helppoa tarkastella optimointimallin toimivuutta vertaamalla mallin antamia tuloksia muualla kirjallisuudessa ratkaistuihin optimointiesimerkkeihin.
I-palkin geometriasuureiksi valittiin uuman korkeus h, laipan leveys b, uuman paksuus t1 ja laipan paksuus t2. Näiden suureiden avulla laskettuna voidaan muodostaa palkin
poikkileikkaukselle ominaisille tunnusluvuille seuraavat lausekkeet:
I-palkin poikkileikkauksen pinta-ala
(6)
I-palkin neliömomentti x-akselin suhteen
(7)
I-palkin neliömomentti y-akselin suhteen
(8)
( ) (9)
Käyristymisjäyhyyksien Iω laskeminen käsin on huomattavan työlästä, eikä laskentaproseduuria siksi esitetä kokonaisuudessaan tässä yhteydessä. Niin I-palkille kuin muillekin tässä
käsiteltäville profiileille perusohje on kuitenkin seuraava:
Lasketaan ensin sektoriaalinen koordinaatti ω profiilin jokaisessa kulmapisteessä kaavasta ∫ (
∮ ) (10)
missä rt on profiilin osapinnan i kohtisuora etäisyys vääntökeskiöstä, A0 on profiilin sisäänsä sulkeman alueen pinta-ala (I-palkin ja muiden ei-kotelomaisten rakenteiden tapauksessa A0 = 0), s on kyseisen osapinnan pituus ja ti osapinnan i paksuus. Tämän jälkeen voidaan
käyristymisjäyhyys Iw laskea pintaintegraalina:
∫ (11)
Koska tässä työssä käsitellään vain kaksoissymmetrisiä profiileja, voidaan proseduuria helpottaa laskemalla sektoriaaliset koordinaatit ja käyristymisjäyhyys vain profiilin ensimmäiselle
neljännekselle ja kertomalla näin saatu käyristymisjäyhyys neljällä. Kuvassa 4 on esitettynä vielä I-profiilin periaatekuva, mihin geometriasuureet on merkitty.
Kuva 4. I-profiilin periaatekuva ja poikkileikkauksen geometriasuureet. Uuman korkeus h on yksinkertaistuksen vuoksi mitoitettu laippojen keskelle.
2.2 Profiili 2: Kotelopalkki
Kotelopalkki on erittäin suosittu profiili raskaissa rakenteissa ja erityisesti pilarina suuren vääntöjäykkyytensä ansiosta.[12] Sitä käytetään tästä syystä usein I-palkin korvaajana tilanteissa, joissa I-palkkirakenne olisi suuren kuormituksen, sivuttaisvoimien tai vääntömomentin johdosta
valmis kaava, mikä saadaan kaava 4 sijoittamalla muotoon
√ (12)
Kotelopalkki käyttäytyy siis tässä suhteessa samalla tavalla kuin I-palkki – sen optimikorkeus on vain matalampi, mikä omalta osaltaan suurentaa taipumaa. Laipoista voidaan kuitenkin toisen uumalevyn lisäyksen johdosta tehdä leveämpiä, mikä puolestaan suurentaa taivutusvastusta ja hillitsee taipuman kasvua.
Kotelopalkin geometriasuureiksi valittiin uuman korkeus h, laipan vapaan reunan leveys b1, laipan kotelon sisälle jäävän keskiosan leveys b2, uumalevyjen paksuus t1 ja laipan paksuus t2. Näiden suureiden avulla ilmoitettuna kotelopalkin vastaavat poikkipintasuurelausekkeet ovat:
Poikkileikkauksen pinta-ala
(13)
Neliömomentti x-akselin suhteen
( ) ( )
(14)
Neliömomentti y-akselin suhteen
( ) (15)
Vääntöneliömomentti
(16)
Lisäksi käyristymisjäyhyys Iw laskettiin kappaleessa 3.1 esitetyn periaatteen mukaisesti. Kuvassa 5 on esitetty kotelopalkkiprofiilin periaatekuva geometriasuureineen.
Kuva 5. Kotelopalkkiprofiilin periaatekuva ja poikkileikkauksen geometriasuureet. Uuman korkeus h on yksinkertaistuksen vuoksi mitoitettu laippojen keskelle.
3.3 Profiili 3: Suorakaideputkipalkki
Putkipalkkien käyttö on viime vuosikymmeninä yleistynyt merkittävästi mm. parantuneiden mitoitusohjeiden seurauksena. Putkipalkkien etuja ovat mm. hyvä vääntöjäykkyys ja suuri
tärkeä esteettisyys.[12] Yleisintä putkipalkkien käyttö on kevyemmissä ja pienikokoisemmissa rakenteissa, jolloin mitoitusperusteena ei yleensä ole poikkileikkauksen stabiilius eikä siten mitoituskaan tapahdu PL3 suhteiden mukaan. Estettä tälle ei kuitenkaan ole, joten otetaan tämä palkkiprofiili mukaan tarkasteluun.
Geometriasuureiksi suorakaideputkipalkin tapauksessa valittiin korkeus h, leveys b sekä koko profiilin läpi vakiona pysyvä paksuus t. Nurkkapyöristykset jätettiin huomioon ottamatta niiden vähäisen vaikutuksen vuoksi PL3:ssa. Näiden merkintöjen avulla poikkipintasuureet voidaan laskea seuraavilla kaavoilla:
Poikkileikkauksen pinta-ala
( ) (17)
Neliömomentti x-akselin suhteen
(18)
Neliömomentti y-akselin suhteen
(19)
Vääntöneliömomentti
(20)
Kuvassa 6 on esitetty suorakaideputkipalkkiprofiilin periaatekuva geometriasuureineen.
Kuva 6. Suorakaideputkipalkkiprofiilin periaatekuva ja geometriasuureet.
3.4 Profiili 4: I-mallin kotelopalkki
Neljänneksi profiiliksi valittiin harvinaisempi ratkaisu, mikä on vastaa muodoltaan I-palkkia, mutta on sisältä ontto. Tämän profiilin etuna on, että palkin keskimmäisen uumalevyn suurinta puristusjännitystä saadaan pienennettyä maksimiarvosta σmax arvoon σ1 ja näin ollen uumalevyn h/t-suhdetta voidaan suurentaa suhteessa
ja keskimmäisen uumalevyn paksuutta voidaan siten ohentaa (tai vaihtoehtoisesti uumaa korottaa).[6] Lisäksi palkin taivutusjännitys jakautuu nyt kolmelle eri uuman osalle, jolloin uuman jatkeina toimivat osat voidaan mitoittaa myös PL3 mukaisesti.
Profiilin geometriasuureiksi valittiin uuman korkeus h1, uuman jatkeiden korkeus h2, laippalevyn leveys b1, uuman ja uumanjatkeiden välisen levyn leveys b2 sekä ainepaksuus t. Näiden
suureiden avulla merkittynä profiilin poikkipintasuurelausekkeet saavat seuraavat muodot:
Poikkileikkauksen pinta-ala
( ) (22) Neliömomentti x-akselin suhteen
( )
( )
(23)
Neliömomentti y-akselin suhteen
( ) ( )
(24)
Vääntöneliömomentti
( ( ))
(25)
Kuvassa 7 nähdään kyseisen profiilin periaatekuva geometriasuureineen.
Kuva 7. I-kotelopalkkiprofiilin periaatekuva geometriasuureineen.
3.5 Profiili 5: Nurkistaan säteellä r pyöristetty suorakaiderakenneputki
Kylmämuovaamalla valmistettujen rakenneputkien nurkissa on aina pienet r -säteiset pyöristykset. Profiilissa 3 nämä pyöristykset ja niiden vaikutus jätetään huomioimatta, joten tämän profiilin avulla voidaan tutkia olisiko nämä pyöristykset syytä tehdä totuttua suuremmalla pyöristyssäteellä. Näin ollen myös pystysuorien sivujen PL3 mukaista suhdetta voidaan
suurentaa kaavan 21 mukaisesti, kun otetaan huomioon kaarevien nurkkaosien aiheuttama pystysuorien levykenttien maksimijännitystä alentava vaikutus.
Geometriasuureiksi tälle rakenneputkelle valittiin palkin sivun pystysuoran osuuden korkeus h, palkin ylä-/alareunan vaakasuoran osuuden leveys b, nurkkien ulkopyöristyssäde r sekä paksuus t. Toisin kuin muiden profiilien kohdalla, geometriasuureet jouduttiin nyt laskukaavojen takia valitsemaan ulkomitoiksi muiden profiilien keskilinjamittojen sijaan. Rautaruukin
suunnitteluohjeesta[13] löytyviä kaavoja muokkaamalla saadaan tämän profiilin poikkipintasuureiden laskukaavat ilmaistua seuraavasti:
Poikkileikkauspinta-ala
( ) ( )( ) (26) Neliömomentti x-akselin suhteen
( )( )
( )( )
((
( )) (
) ( ) )
((
( )) ( ) (
)( ) (
( )) ) (27)
Neliömomentti y-akselin suhteen ( )( )
( )( )
((
( )) (
) ( ) )
((
( )) ( ) (
)( ) (
( )) ) (28)
Vääntöneliömomentti
( ( ) ( ))
(( )( ) ( ) ( )) ( ) ( )
(29)
Oheisessa kuvassa 8 nähdään vielä palkin periaatekuva geometriasuureineen.
Kuva 8. Nurkistaan pyöristetyn suorakaiderakenneputken poikkileikkaus ja geometriasuureet.
3.6 Profiili 6: 8-kulmainen putkipalkki
Tavallisen nelikulmaisen suorakaideputkipalkin ongelmaksi muodostuu palkin pystysuuntaisten seinämien lommahdus. Tätä voidaan ehkäistä muotoilemalla palkista 8-kulmainen, jolloin taivutusjännitysjakauma kohdistuu yhden yhtenäisen levykentän sijasta kolmeen levykenttään.
Kuten aikaisempien profiilien 4 ja 5 tapauksissa, myös tässä voidaan itse pystysuoran (keskimmäisen) levykentän PL3 mukaista suhdetta suurentaa kaavan 21 mukaisesti.
Geometriasuureiksi tälle profiilille valittiin pystysuoran seinämän pituus h, vaakasuoran seinämän leveys b, vinon seinämän leveys z, paksuus t sekä pystysuoran ja vinon
seinämäosuuden välinen kulma a. Näiden suureiden avulla tämän profiilin poikkipintasuureille johdettiin seuraavat kaavat:
Poikkileikkauspinta-ala
( ) (30)
Neliömomentti x-akselin suhteen
( ) ( ) ( )
(31)
Neliömomentti y-akselin suhteen
( ) ( ) ( )
(32)
Vääntöneliömomentti
( ( ) )
(33)
Kuvassa 9 nähdään tämän profiilin periaatekuva.
Kuva 9. Profiilin 6 poikkileikkaus ja geometriasuureet.
3.7 Profiili 7: Kahdesta sigmaprofiilista valmistettu kotelopalkki
Kahdesta kylmämuovatusta ns. sigmaprofiilista voidaan valmistaa kotelopalkki hitsaamalla profiilit vastakkain yhteen. Näin saatavan profiilin etuna on peräti viidestä levykentästä
koostuvat uumat, joiden ansiosta profiili voidaan muotoilla huomattavan korkeaksi käyttäen silti ohutta ainepaksuutta. Taivutusjännityksen jakautuessa näin monen levykentän kesken päästään mitoittamaan jokainen levykenttä erikseen PL3 suhteiden mukaan. Lisäksi edelleen voidaan keskimmäisten levykenttien suhteita kasvattaa kaavan 21 mukaisesti aivan samalla periaatteella kuin aikaisempien profiilienkin tapauksissa. Näin saatavalla profiililla on myös hyvä
vääntövastus.
Geometriasuureiksi tälle kotelopalkille valittiin keskimmäisen uumaosion korkeus h1, uuman vinon osuuden levykentän leveys z, lähinnä laippoja sijaitsevien uumaosioiden korkeus h2,
laippojen leveys b1, uuman keskimmäisen osion ja vinon osion välinen kulma a sekä ainepaksuus t. Profiileja yhdistettäessä laippojen keskelle jäävä paksunnos jätettiin huomiotta
poikkileikkaussuureita laskettaessa, mutta otettiin huomioon laipan lommahdusleveyden puolittavana tekijänä. Näitä merkintöjä käyttämällä profiilin poikkileikkaussuureet saadaan ilmoitettua seuraavasti:
Poikkileikkauksen pinta-ala
( ) (34) Neliömomentti x-akselin suhteen
( )
( ) ( )
( )
(35)
Neliömomentti y-akselin suhteen
( ) ( ) ( )
(36)
Vääntöneliömomentti
( ( ) )
(37)
Kuvassa 10 nähdään tämän profiilin poikkileikkauskuva geometriasuureineen.
Kuva 10. Profiilin 7a periaatekuva geometriasuureineen.
Edellisen profiilin kanssa hyvin samankaltainen profiili saadaan, mikäli sigmaprofiilien laipat kylmämuovataan alun perin 180 astetta vastakkaiseen suuntaan. Jos nämä profiilit yhdistetään vastaavalla tavalla, tuloksena on profiili, millä on täysin sama poikkileikkauspinta-ala ja sama neliömomentti x-akselin suhteen kuin alkuperäiselläkin profiililla, mutta kasvaneen leveyden ansiosta suurempi neliömomentti y-akselin suhteen. Tästä syystä tämän profiilin optimimitat ovat samat kuin alkuperäisen, joten kyseinen profiili on helppo ottaa tarkasteluun mukaan – optimointi kun tarvitsee suorittaa vain kerran. Tarkastelua varten on siis vain muodostettava uudet lausekkeet eriäville suureille: neliömomentille y-akselin suhteen sekä
vääntöneliömomentille. Näiden lausekkeet saadaan alkuperäisen profiilin geometriasuureiden kirjaimia käyttäen seuraaviin muotoihin:
Neliömomentti y-akselin suhteen
( ) ( ) ( )
(38)
Vääntöneliömomentti
( ( ) )
(39)
Tästä huomataan, että lausekkeet ovat miltei samat: ainoa ero on kaavoissa 36 ja 37
esiintyneiden kahden miinusmerkin muuttuminen plusmerkeiksi kaavoihin 38 ja 39. Viitataan tästedes alkuperäiseen profiiliin sekaannusten välttämiseksi nimellä 7a ja tähän muokattuun profiiliin nimellä 7b. Alla olevassa kuvassa 11 nähdään vielä tämän muokatun profiilin periaatekuva ilman geometriasuureita.
Kuva 11. Profiilin 7b periaatekuva.
Edellisen profiilin uuman muoto on stabiiliuden kannalta erittäin edullinen, mutta vakiona pysyvän materiaalipaksuuden vuoksi laipat eivät pääse kasvattamaan profiilin neliömomenttia x- akselin suhteen läheskään niin paljoa kuin mikä olisi mahdollista, jos laipat valmistettaisiin paksummasta teräksestä normaalin kotelopalkin tapaan. Otetaan siksi tarkasteluun viimeisenä profiilina edellinen tuplasigmaprofiili, mutta määrätään uumien ja laippojen paksuudet lähtökohtaisesti erisuuriksi. Tämän lisäksi jatketaan laippoja vielä hieman uumalevyjen
ulkopuolisiksi lipoiksi. Tällainen laipan leventäminen on järkevää valmistusteknisistä syistäkin.
Tämän profiilin geometriasuureiksi valittiin keskimmäisen uumaosion korkeus h1, uuman vinon osuuden levykentän leveys z, lähinnä laippoja sijaitsevien uumaosioiden korkeus h2, laipan uumalevyjen välisen osan leveys b1, laipan kotelo-osan yli menevän ”lipan” leveys b2, uuman keskimmäisen osion ja vinon osion välinen kulma a sekä uuman ja laipan ainepaksuudet t1 ja t2. Laipan keskelle kotelon sisälle päätettiin myös tässä profiilissa sijoittaa levykentän b1 PL3 mukaisen leveyden puolittava vahvike, joka kuitenkin profiilin 7 tapauksen tavoin jätettiin poikkileikkaussuureiden laskennassa huomiotta. Näin saatiin poikkileikkaussuureille seuraavat lausekkeet:
Poikkileikkauksen pinta-ala
( ) ( ) (40) Neliömomentti x-akselin suhteen
( )
( ) ( )
( ) ( )
(41)
Neliömomentti y-akselin suhteen
( )
( )
( ) ( ) (42)
Vääntöneliömomentti
( ( ) )
(43)
Kuvassa 12 nähdään tämän profiilin periaatteellinen poikkileikkauskuva geometriasuureineen.
Samoin kuin profiili 7, myös profiili 8 voidaan muotoilla kääntämällä kylmämuovatut uumaprofiilit toisin päin ja saada näin aikaan leveämpi ja sivuttaiskuormituksen kannalta parempi rakenne. Samoin kuin profiilin 7 tapauksessa tämänkin muokatun profiilin
poikkileikkauspinta-ala sekä neliömomentti x-akselin suhteen olisivat muotoilusta riippumatta samat ja näin ollen optimointi antaa samat tulokset molemmille profiiliversioille. Otetaan siis mielenkiinnon vuoksi tämäkin vaihtoehto mukaan ja annetaan sille nimi 8b. Tämän muokatun profiilin neliömomentiksi y-akselin suhteen saadaan määritettyä
( )
( )
( ) ( )
(44)
( ( ) )
(45)
jolloin nähdään, että samoin kuin profiilien 7a ja 7b tapauksessa 8b:n kaavat saadaan suoraan korvaamalla 8a:n kaavoissa esiintyvät kaksi miinusmerkkiä plusmerkeillä. Kuvassa 13 nähdään vielä periaatekuva profiilista 8b.
Kuva 12. Profiilin 8a periaatteellinen poikkileikkauskuva geometriasuureineen.
Kuva 13. Profiilin 8b periaatekuva.
4 OPTIMOINTIMALLI
Matematiikan perussääntö funktioiden ääriarvoista on, että jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa joko derivaatan nollakohdissa tai määrittelyvälin päätepisteissä.
Yksinkertaisimpia optimointiongelmia voidaankin ratkoa tämän periaatteen avulla suoraan derivoimalla kohdefunktio ja määrittämällä derivaatan nollakohdat. Palkkiprofiilien optimointi on kuitenkin moniulotteista optimointia, koska muuttujia on yhtä monta kuin kulloisessakin profiilissa on geometriasuureita, eikä laskenta siten useinkaan onnistu käsin laskentana. Tästä syystä myös tässä työssä turvaudutaan optimointiongelman numeeriseen ratkaisemiseen Matlab- ohjelmiston avulla. Jotta ongelma voidaan syöttää tietokoneelle ratkaistavaksi, täytyy se
kuitenkin muotoilla ohjelmalle sopivaan muotoon.
4.1 Kohdefunktio ja rajoitteet
Hitsattujen rakenteiden optimoinnissa pyritään useimmiten mahdollisimman kevyeen rakenteeseen, joten on luonnollista valita palkki optimoitavaksi sen painon suhteen. Koska
minimoitavaksi kohdefunktioksi valita yksinkertaisesti profiilin poikkileikkauksen pinta-ala.
Optimointiongelmalle voidaan asettaa joko yhtälörajoitteita, joilla määrätään tietyn lausekkeen arvo joksikin ennalta määrätyksi arvoksi, tai ”yhtä suuri tai suurempi/pienempi kuin” –
muotoisia epäyhtälörajoitteita. Usein optimointiongelma sisältää molempia rajoitetyyppejä.
Tässä tapauksessa tärkeimmäksi rajoitteeksi valittiin palkilta vaadittava taivutusvastus, mikä laskettiin kaavan 4 mukaan valitun teräksen lujuusluokan ja vaadittavan momentinkeston perusteella. Tämä vaadittu taivutusvastus asetettiin rajoitteessa yhtä suureksi kuin kaavan 2 mukainen taivutusvastus. Periaatteessa tämä rajoite olisi voitu muotoilla myös muotoon
(46)
sillä ei luonnollisesti ole haitaksi, mikäli palkin taivutusvastus on yli vaaditun. Tätä ei kuitenkaan tehty, sillä kaikkia geometriasuureita käsiteltiin jatkuvina ja jatkuvien muuttujien ollessa
kyseessä on todistettu tosiasia, että rajoitteita tiukentamalla ei päästä parempaan
lopputulokseen.[14] Lisäksi valinnalla haluttiin korostaa tämän rajoitteen tärkeyttä: vaikka mallin antama lopullinen ratkaisu ei jostain syystä olisikaan optimaalisin mahdollinen, täyttäisi se kuitenkin kestävyysvaatimukset, eikä virheestä aiheutuisi onnettomuusvaaraa, sillä käytetty menetelmä priorisoi yhtälörajoitteet ja asettaa niiden täyttämisen epäyhtälömuotoisten rajoitteiden edelle.
Muista rajoitteista tärkeimmät ovat profiilin levykentille asetettavat PL3 mukaiset
leveys/paksuussuhteet. Nämä rajoitteet ovat aina suoraan taulukosta katsottuna epälineaarisia ja muotoa
(47)
Mikäli kaavan 47 epäyhtälö kuitenkin kerrotaan puolittain paksuudella t, saadaan rajoite näin lineaariseen muotoon
(48)
Tämä rajoitemuoto on käsin laskennan kannalta kätevin, sillä mikäli kaikki rajoitteet ovat
lineaarisia, voidaan optimointi suorittaa huomattavasti yksinkertaisemmin. Ongelmaksi kuitenkin muodostuvat profiilien 4-8 uumat, jotka koostuvat useammasta eri levykentästä ja näin ollen niiden PL3 suhteita joudutaan muokkaamaan levykenttien kulloistenkin mittojen mukaan mm.
kaavan 21 mukaisesti sekä kuvassa 2 esiintyvässä taulukossa esitettyjen ψ-arvojen muuttuessa.
Tämä muuttaa näiden profiilien rajoitteet epälineaarisiksi. Onneksi tämä ei ole ongelma
tietokonelaskennassa, vaan usein epälineaarisia rajoitteita käyttämällä päästään jopa varmemmin konvergoituvaan ratkaisuun.
4.2 Ratkaisijafunktio ja sen kutsuminen
Matlabissa on moniulotteisen epälineaarisen optimointiongelman ratkaisemiseen valmis funktio nimeltä fmincon. Tämän käyttämiseksi ongelma formuloidaan ensin standardimuotoon
min f(x)
s.t.
(49)
missä f(x) on minimoitava kohdefunktio ja viisi seuraavaa riviä ovat muuttujavektoriin x kohdistuvia rajoitteita: lineaariset epäyhtälörajoitteet (rivi 1), lineaariset yhtälörajoitteet (rivi 2), epälineaariset epäyhtälörajoitteet (rivi 3) ja epälineaariset yhtälörajoitteet (rivi 4) muodostetaan omiksi matriisiyhtälöryhmikseen. Rivin 5 muotoon taas syötetään muuttujan x alarajat lb sekä ylärajat ub omina vektoreinaan.[15]
Rivien 1 ja 2 mukaiset lineaariset rajoitteet Matlab osaa käsitellä suoraan kerroinmatriisien (A ja Aeq) ja vakiovektoreiden (B ja Beq) avulla, mutta rivien 3 ja 4 mukaisten epälineaaristen
rajoitteiden syöttämiseksi on tehtävä erillinen funktiotiedosto nonlcon, mihin funktiot Cx ja Ceqx
suoraan, mutta helpointa on tehdä siitäkin erillinen funktiotiedosto, sillä tämä mahdollistaa haluttaessa myös kohdefunktion gradientin ja Hessin matriisin syöttämisen (ks. luku 4.3). Kun ongelma on saatu esitettyä tässä muodossa, voidaan seuraavaksi yrittää ratkaista optimaalinen ratkaisuvektori X kutsumalla fmincon-funktiota komennolla
X=fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,nonlcon,options) ,
missä x0 on ratkaisun alkuarvausvektori. Options-kenttään voidaan spesifioida tiettyjä lisäehtoja tai –ohjeita käyttäjän tarpeiden mukaan; perustapauksissa funktion vakioasetukset ovat kuitenkin useimmiten täysin riittävät ratkaisun saavuttamiseksi, eikä niihin tarvitse ainakaan
ensimmäiseksi koskea. Tällaisessa tapauksessa options-kenttä jätetään lopusta pois. Mikäli jotakin edellä mainituista rajoitteista ei käytetä, merkitään kyseis(t)en rajoitte(id)en kohdalle kutsukomentoon tyhjä matriisi []. Jos ongelmassa esimerkiksi ei ole lineaarisia
epäyhtälörajoitteita, X:n arvoille ei ole ylärajaa ja asetuksiin ei kosketa, kutsukomento on tällöin X=fmincon(fun,x0,[],[],Aeq,Beq,lb,[],nonlcon) .
Kun optimiratkaisu X on löytynyt, informoi funktio käyttäjää kertomalla ratkaisun lisäksi myös aktiiviset epäyhtälörajoitteet sekä aktiiviset ala- ja ylärajarajoitteet. Hyödyllisenä lisätietona funktio kertoo myös, mikä aiheutti optimoinnin päättymisen, ts. mikä funktion katkaisuehdoista täyttyi. Tämän perusteella voidaan päätellä, onko saatu vastaus miten suurella
todennäköisyydellä todellakin kohdefunktion globaali minimi vai onko laskennassa tullut esimerkiksi iterointikertojen maksimiraja vastaan.
4.3 Ratkaisualgoritmi
Fmincon minimoi annetun kohdefunktion käyttäjän asettamilla rajoitteilla huomattavan nopeasti, eikä käyttäjän välttämättä tarvitse tietää itse ratkaisuprosessista mitään. On kuitenkin suureksi hyödyksi ymmärtää funktion käyttämän algoritmin toimintaa, sillä tietyistä syistä optimointi ei välttämättä aina konvergoi kohti optimaalista ratkaisua. Lisäksi algoritmin toimintaa voidaan useissa tapauksissa nopeuttaa ja tarkentaa sopivilla lisäasetuksilla.
Perusasetuksena fmincon käyttää ratkaisussa trust region reflective-algoritmia, mikä on ns.
”large-scale”-algoritmi.[16] Tämä ei tarkoita sitä, että ratkaisua haettaisiin jotenkin erityisen laajalta alueelta, vaan sitä, että ratkaisussa ei käytetä tai varastoida dataa täysiin matriiseihin; kun ongelma on purettu lineaarisiksi yhtälöryhmiksi, käsitellään ratkaisuprosessissa vain tiettyä osaa tai osia yhtälöryhmämatriiseista kerrallaan. Tämä nopeuttaa laskentaa huomattavasti.
Valitettavasti kyseistä algoritmia ei voida käyttää, mikäli ongelma sisältää sekä
muuttujarajoituksia lb ja ub että lineaarisia rajoitteita. Lisäksi epälineaarisia rajoitteita algoritmi ei osaa käsitellä ollenkaan. Näistä syistä ratkaisualgoritmia on tämän ongelman tapauksessa vaihdettava ns. ”medium-scale”-algoritmiin nimeltä Active set, mikä osaa käsitellä kaikenlaisia rajoitteita. (Mikäli käyttäjä ei ole tätä vaihdosta tehnyt, osaa Matlab suorittaa algoritmin vaihdon itse.)
Active set-algoritmin toiminta perustuu monien muiden optimointi- ja datasovitusalgoritmien tapaan neliösummien minimoimiseen. Tässä kyseinen algoritmi käyttää apuna minimoitavia Karush-Kuhn-Tuckerin (lyh. KKT) yhtälöitä. Selkeyden vuoksi aloitetaan algoritmin johtaminen helposta perustilanteesta optimoinnin aihepiirin ulkopuolelta:
Tutkitaan monen muuttujan funktion f(x) ääriarvoja tilanteessa, missä ratkaisun pitää täyttää side-ehto (eli toisin sanoen rajoite) g(x) = 0. Lagrangen kertoimien menetelmällä funktion minimi tai maksimi tällä side-ehdolla saadaan gradienttien avulla yhtälöryhmästä
{∇ ( ) ∇ ( )
( ) (50)
missä Lagrangen kerroin λ on nollasta eriävä.[17] Vastaavalla tavalla voidaan määritellä minimoitava kohdefunktio f ja sitä koskevat rajoitteet G muotoon
min f(x)
s.t. { ( )
( ) (51)
missä yhtälöt Gi(x) ovat lineaarisia tai epälineaarisia yhtälörajoitteita, kun i = 1,…,m ja
lineaarisia tai epälineaarisia epäyhtälörajoitteita, kun i = m+1,…,n. Tällöin minimikohta voidaan ratkaista käyttämällä KKT-yhtälöitä:
{
∇ ( ) ∑
∇ ( ) ( )
(52)
Näistä yhtälöistä nähdään, että ratkaisupisteessä X kohdefunktion ja aktiivisten rajoitefunktioiden gradientit kumoavat toisensa (yhtälö 1). Aktivoitumattomien rajoitefunktioiden Lagrange-
kertoimet saavat tällöin arvon nolla (yhtälöt 2 ja 3).[16] [18] Periaatteeltaan algoritmi vastaa siis täysin normaalia monen muuttujan funktion ääriarvolaskentaa. Rajoitteiden määrä ja
lausekkeiden vaikeus vain aiheuttavat niin suuria hankaluuksia käsin laskentaan, että koneellinen ratkaisu on ainoa järkevä vaihtoehto.
Perusalgoritmi on toimiva ja löytää ratkaisun melko usein, mutta koska algoritmi on ”middle- scale”-tyyppiä ja kuljettaa mukanaan koko ajan kaikkia matriiseja, jättää sen nopeus toivomisen varaa. Tätä voidaan kuitenkin parantaa syöttämällä funktioiden derivaattoja, sillä
normaalitilanteessa fmincon laskee sekä kohdefunktiolle että epälineaarisille rajoitefunktioille jokaisella iteraatioaskeleella likimääräisen gradientin ja Hessin matriisin käyttämällä
iteraatiopisteen ja sen jonkin lähipisteen äärellisiä erotuksia (ns. ”finite difference method”).
Mikäli näille funktioille lasketaan käyttäjän toimesta gradientit ja Hessin matriisit valmiiksi, nopeutuu laskenta huomattavasti näiden derivaatta-approksimaatioiden jäädessä pois. Lisäksi valmiiksi syötetyt lausekkeet antavat tarkkoja arvoja gradientille ja Hessin matriisille, minkä ansiosta laskentatarkkuuskin paranee. Joissain tilanteissa laskenta voi saavuttaa pisteen, jossa ratkaisu on sallittu, mutta äärellisten erotusten antama gradienttiapproksimaatio veisikin
seuraavan ratkaisun ei-sallitulle alueelle. Jos tällöin kohdefunktio on sattumalta sellaista muotoa, että se saa sallitun alueen ulkopuolella kompleksisia arvoja, ratkaisija kaatuu. Jos käyttäjä on
antanut valmiiksi lasketut gradientit sekä kohdefunktiolle että epälineaarisille rajoitefunktioille, myös tältä ongelmalta vältytään.[18]
Funktiolla voidaan ottaa huomioon myös mahdolliset inhimilliset virheet gradienttien
syöttämisessä, mikäli asetetaan päälle ”DerivativeCheck”-lisäasetus. Tämä toiminto tarkastaa, että käyttäjän antama gradientti ja äärellisten erotusten perusteella laskettu gradientti antavat samansuuntaisia arvoja ja antaa tarvittaessa käyttäjälle eroavaisuuksista varoituksen.
Periaatteessa huippuunsa optimoidussa koodissa tätä toimintoa kannattaisi luonnollisesti käyttää vain aluksi ja poistaa se käytöstä, kun gradientit on todettu oikein syötetyiksi, mutta ainakaan tämän ongelman testeissä toiminnolla ei ollut tieteellisesti todettavissa olevaa vaikutusta ratkaisuaikoihin. Sitä vastoin pelkkien kohdefunktion gradienttien syöttäminen nopeutti
laskentaa 60-70 prosenttia, joten sillä on algoritmin toimintaa huomattavasti tehostava vaikutus.
Tämän ongelman laskut on suoritettu Matlabin versiolla R2006b, missä algoritmivaihtoehdot on rajattu edellä mainittuihin kahteen. Viimeisimmissä versioissa (R2010a, R2011a) fmincon- funktioon on tarjolla kaksi muutakin algoritmia, joiden pitäisi olla huomattavasti edellä kuvattua Active set-algoritmia tehokkaampia. Näitä ei päästy kokeilemaan, mutta toisaalta jo nyt käytetty algoritmikin tuotti luotettavan oloisia tuloksia hyvin kohtuullisilla laskenta-ajoilla. Välttämätöntä tarvetta uudemmille versioille ei siis tässä käytössä ole.
4.4 Profiilien optimointifunktioiden koostaminen
Jokaiselle profiilille muodostettiin oma optimointifunktionsa, johon määriteltiin kohdefunktio (profiilin poikkileikkauspinta-alan lauseke), rajoitteet sekä muut profiilikohtaiset asetukset ja alkuarvot. Kappaleessa 4.1 käsiteltyjen oleellisimpien rajoitteiden (taivutusvastusvaatimus ja PL3 mukaiset leveys/paksuussuhderajoitteet) lisäksi jokaiselle profiilille täytyi määrittää joitakin lisäasetuksia ja geometrisiä reunaehtoja, jotta saadut ratkaisut saatiin pysymään realistisina.
Näitä profiilikohtaisia erikoisrajoitteita käsitellään kaikille profiileille yhteisien tekijöiden läpikäymisen jälkeen.
(yksikössä MPa), profiililta vaadittava (redusoidun) momentin kantokyky Mrd (yksikössä Nmm), materiaalin osavarmuuskerroin gamma sekä optionaalista palkin taipuman laskentaa varten palkin pituus L (yksikössä mm) sekä palkin kiinnitystyyppi type: Mikäli käyttäjä syöttää vain ensimmäiset kolme parametria, funktio laskee vain palkin optimimitat ja poikkileikkaussuureet, mutta mikäli edellisten lisäksi syötetään myös pituus- ja kiinnitystiedot, ohjelma laskee lisäksi myös palkin taipuman millimetreissä. Kiinnitystyyppivaihtoehtoja on neljä, ja taipuma lasketaan kunkin tapauksessa seuraavan taulukon 2 mukaisesti:
type Kiinnitystapa Taipuma
1 Ulokepalkki, pistekuorma
vapaassa päässä
2 Ulokepalkki, tasainen kuorma
koko matkalla
3 2-tukinen palkki (nivel- ja
rullatuki), pistekuorma keskellä 4 2-tukinen palkki (nivel- ja
rullatuki), tasainen kuorma
Taulukko 2. Palkin kiinnitystyypit ja taipumien laskenta kussakin tapauksessa.
Jokaisen profiilin vaadittu taivutusvastus Wvaad laskettiin heti funktion aluksi kaavasta 4.
Kaikkien profiilien rajoitefunktioissa tarvittiin PL3 mukaisia suhteita, jotka skaalautuvat teräksen myötölujuuden fy funktiona. Niinpä näiden tärkeimpien suhdelukujen laskemiseksi muodostettiin yksinkertainen apufunktio suhteetPL3, minkä ainoana parametrina oli myötölujuus. Tämä funktio määrittää kyseiset suhteet kaavan 1 ja kuvan 2 mukaisten kaavojen avulla ja antaa ulos suhdeluvut nyy1, nyy2 ja nyy3, mitkä vastaavat molemmista reunoista tuetun puristetun levykentän c/t-suhteita Ψ:n arvoilla 1 ja -1 sekä vapaareunaisen levykentän c/t-suhdetta tässä järjestyksessä. Nämä valittiin funktion ulostuloiksi siksi, koska ne ovat kaikkein käytetyimmät
suhdeluvut: joidenkin profiilien kanssa tarvittavat monesta levykentästä koostuvat uumat ja skaalaukset aiheuttavat tarpeen löytää PL3 mukainen suhde muuttuvalle Ψ:n arvolle, mutta ne määritettiin kyseisten profiilien rajoitefunktioihin erikseen.
Yleisesti jokaisen profiilin mitoille tuli antaa ylä- ja alarajat, joiden avulla varmistettiin profiilien mittasuhteiden pysyminen mielekkäissä lukemissa. Jokaisen mitan alarajaksi määritettiin siten 3 mm ja ylärajaksi 3000 mm – lukuun ottamatta ainepaksuuksia, joiden ylärajat asetettiin 40 millimetriin. Tämän lisäksi profiileissa 6, 7 ja 8 esiintyy kulma a, jonka täytyy olla riittävän suuri, jotta kulman erottamia levykenttiä voidaan tarkastella lommahdusteknisesti erillisinä osina, mutta kuitenkin pysyä geometrian vaatimissa rajoissa. Kokeellisesti on osoitettu, että 30 astetta pienemmillä kulmilla esiintyy levykenttien välillä interaktiota ns. snap-through-ilmiön kautta: tällöin kulma-alue ei toimi riittävänä pitkittäisjäykisteenä ja vierekkäiset levykentät lommahtavat yhdessä. Tästä syystä kulman a alarajaksi annettiin 30 astetta. Yläraja asetettiin geometrian vaatimuksista 90 asteeseen.
Kohdefunktioksi syötettiin aina profiilin poikkileikkauspinta-alan lauseke ja sille laskettiin valmiiksi gradientti. Tämän jälkeen options-valintoihin tehtiin muutokset ’GradObj’,’on’ ja
’DerivativeCheck’,’on’, jotta funktio tietäisi sekä hakea lasketun gradientin että verrata sen arvoja itse äärellisten erotusten avulla laskemiinsa arvoihin. Optimointiprosessin alkuarvopiste x0 valittiin ensin vain mittasuhteiltaan jollain tavalla järkeväksi, minkä jälkeen tähän pisteeseen lisättiin Matlabin rand-toiminnolla pieni satunnainen lisä. Tämä tehtiin, jotta gradienttien oikeellisuuden tarkistava derivaattatesti ei vahingossakaan tuottaisi ns. ”false-positive”-tulosta, eli antaisi väärin laskettujen gradienttien läpäistä testiä – mikä on mahdollista, jos
alkuarvopistejoukon alkiot ovat sattumalta sopivan suuruisia kokonaislukuja.[19] Lopuksi iteraatioiden maksimimäärä MaxFunEvals muutettiin vielä varmuuden vuoksi 5000 iteraatioon, jotta optimointi ehtisi varmasti etenemään loppuun asti.
Kun fmincon-funktiota oli tämän jälkeen kutsuttu, otettiin sen avulla saatu ratkaisu
jälkikäsittelyyn. Koska teräslevyjen paksuuskoot (leveyksistä ja pituuksista puhumattakaan) ovat
millimetriin siten, että jos tarkan ratkaisun antama mitta oli vähemmän kuin 0,1 mm yli, pyöristettiin mitta alaspäin, mutta jos taas yli 0,1, niin ko. mitta pyöristettiin ylöspäin. Nämä pyöristetyt mitat tallennettiin kunkin profiilin ratkaisuksi, jonka avulla tämän jälkeen laskettiin profiilin poikkipintasuureet: poikkipinta-ala, taivutusvastus, profiilin kokonaiskorkeus,
neliömomentti molemmissa pääsuunnissa, vääntöneliömomentti, käyristymisjäyhyys ja tarvittaessa myös taipuma.
4.4.1 I-palkin optimointifunktio
I-palkin optimointifunktio oli muodoltaan helpoin. Palkin PL3 mukaiset mittasuhteet syötettiin lineaarisiksi yhtälörajoitteiksi, jolloin sekä palkin uuma että laippa mitoitettiin aina kyseisten suhteiden mukaan. Epälineaarinen yhtälörajoite taivutusvastukselle koostettiin sijoittamalla Ix
kaavasta 7 kaavaan 2 ja merkitsemällä erotus W - Wvaad nollaksi. Jotta voitiin ohjailla ratkaisua varmuuden vuoksi järkevään suuntaan, syötettiin epälineaarisiksi epäyhtälörajoitteiksi lisäksi muutama apurajoite:
{
(53)
Nämä apurajoitteet eivät ole oikeita rajoitteita, vaan ovat tarkoitettu vain ratkaisujen
ohjailemiseen sopiville raiteille. Tästä syystä optimointi on silloin todennäköisesti onnistunut, kun yksikään näistä rajoitteista ei aktivoidu lopullisessa ratkaisussa.
4.4.2 Kotelopalkin optimointifunktio
Kotelopalkin optimointi ei suuresti eronnut edellisestä profiilista. Nyt kotelopalkin laipan PL3 mukaiset mittasuhteet syötettiin lineaarisiksi yhtälörajoitteiksi ja epälineaarisiksi
epäyhtälörajoitteiksi jätettiin ainoastaan uumalevyjen mittasuhteet. Epälineaariseksi
yhtälörajoitteeksi tuli taivutusvastusten W ja Wvaad erotus ja yhtälö koostettiin samalla tavoin
kuten I-palkinkin tapauksessa – nyt vain sijoittamalla Ix kaavasta 14. Ajossa mitään ohjailevia apurajoitteita ei tarvittu, vaan optimointi konvergoi suoraan näillä rajoitteilla PL3 mukaisiin mittasuhteisiin alkuarvoista riippumatta.
4.4.3 Suorakaideputkipalkin optimointifunktio
Myös suorakaideputkipalkin optimointi onnistui ongelmitta. Epälineaariseksi yhtälörajoitteeksi asetettiin jälleen palkin taivutusvastuksen ja vaaditun taivutusvastuksen erotus, mihin sijoitettiin Ix kaavasta 18 ja epälineaarisiksi yhtälörajoitteiksi määriteltiin palkin pysty- ja vaakalevyjen PL3 mukaiset mittasuhteet. Funktio saatiin konvergoimaan helposti pelkästään näillä asetuksilla.
Satunnaisesti joillain alkuarvoilla funktio kuitenkin antoi käytännön kannalta mahdottomia mittasuhteita, joten näiden tapausten karsimiseksi funktiolle annettiin lisäksi seuraavat ohjaavat apurajoitteet:
{
(54)
4.4.4 I-mallin kotelopalkin optimointifunktio
I-mallinen kotelopalkki on geometrialtaan huomattavasti edellisiä monimutkaisempi. Koska palkin uumat koostuvat kolmesta (tai periaatteessa viidestä) erillisestä levykentästä, joudutaan sen tapauksessa pakostakin muokkaamaan PL3:n suhteita kaavan 21 mukaisesti. Epälineaarinen yhtälörajoite taivutusvastuksille saadaan koostettua aikaisempien tapausten tavalla käyttämällä neliömomenttina Ix kaavan 23 antamaa lauseketta; epälineaaristen epäyhtälörajoitteiden joukko muodostuu neljän ”oikean” rajoitteen ja kahden apurajoitteen summana seuraavaksi
epäyhtälöryhmäksi:
