Pinta-ala euklidisessa tasogeometriassa

Pinta-ala euklidisessa tasogeometriassa

Jasmin Valkonen

Matematiikan pro gradu

Jyv¨askyl¨an yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kev¨at 2021

Tiivistelm¨a: Jasmin Valkonen, Pinta-ala euklidisessa tasogeometriassa (engl.Area in Euclid’s Geometry), matematiikan pro gradu -tutkielma, 40 si- vua, 1 liite, Jyv¨askyl¨an yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kev¨at 2021.

T¨ass¨a tutkielmassa tutkitaan pinta-alaa euklidisessa tasogeometriassa kah- den eri l¨aht¨okohdan kautta. Perusideana on tarkastella kahden eri monikulmion samakokoisuutta pinta-alafunktion sek¨a osittamisen n¨ak¨okulmasta. Aluksi ole- tetaan pinta-alafunktion olemassaolo ja my¨ohemmin perehdyt¨a¨an sen olemas- saolon todistamiseen, joka on yksi ty¨on p¨a¨atuloksista.

Pinta-alalle m¨a¨aritell¨a¨an t¨asm¨allinen k¨asite, pinta-alafunktio, jolle p¨atee nel- j¨a ominaisuutta. N¨aiden ominaisuuksien avulla pystyt¨a¨an todistamaan aikai- semmin koulusta tuttuja geometrian tuloksia kuten esimerkiksi suorakulmaisen kolmion ja suorakulmion pinta-alojen kaavat sek¨a Pythagoraan lause.

Kahden eri monikulmion samankokoisuutta voidaan tarkastella my¨os toisella tavalla, monikulmioiden osittamisella. K¨ayt¨ann¨on ongelma osittamisessa on se, kuinka pilkkoa monikulmio osiin, uudelleen j¨arjest¨a¨a n¨am¨a osat ja muodostaa haluttu monikulmio, jolla on sama pinta-ala kuin alkuper¨aisell¨a monikulmiolla.

Ty¨on toinen p¨a¨atulos Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause kertoo, ett¨a kak- si monikulmiota voidaan pilkkoa samanlaisiin osiin, joista voidaan muodostaa toinen monikulmio, jos ja vain jos monikulmioiden pinta-alat ovat yht¨a suuret.

Lauseen havainnollistamiseksi n¨aytet¨a¨an, miten tasasivuinen kolmio ositetaan neli¨oksi ja miten Pythagoraan lause todistetaan osittamisella.

Pinta-alan tutkimisen lis¨aksi ty¨oss¨a todistetaan pinta-alan olemassaolo. Pin- ta-alan olemassaolo tarkoittaa sit¨a, ett¨a on todella olemassa pinta-alafunktio, jo- ka t¨aytt¨a¨a m¨a¨aritelm¨an ehdot. Sekaannuksen v¨altt¨amiseksi m¨a¨aritell¨a¨an toinen k¨asite, kaava-ala (engl. formula area). Tarkoituksena on n¨aytt¨a¨a, ett¨a kaava- alafunktio on hyvin m¨a¨aritelty ja sille p¨atee samat ominaisuudet kuin pinta- alafunktiolle.

Avainsanat: Pinta-ala, euklidinen tasogeometria, pinta-alafunktio, Pytha- goraan lause, osittaminen, Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause, pinta-alafunkti- on olemassaolo.

Sis¨ alt¨ o

Johdanto 1

1 Esitiedot 3

2 Pinta-alafunktio 5

2.1 Geometrian tuloksia . . . 5 2.2 Pythagoraan lause . . . 9 3 Monikulmioiden samaosaisuus ja samasis¨alt¨oisyys 12 3.1 Samaosaisuus . . . 12 3.2 Samasis¨alt¨oisyys . . . 14

4 Pinta-alafunktion olemassaolo 16

4.1 Kaava-ala . . . 16 4.2 Kaava-alan ominaisuudet . . . 16 4.3 Kaava-ala ja pinta-ala . . . 22

5 Osittaminen 24

5.1 Monikulmioiden osittaminen . . . 24 5.2 Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause . . . 29 5.3 Pythagoraan lause . . . 32

Liitteet 37

Liite 1: Hilbertin aksioomat . . . 37

Kirjallisuutta 39

Johdanto

Euklidinen tasogeometria on saanut nimens¨a kuuluisan matemaatikon Eukleides Aleksandrialaisen mukaan. H¨an on koonnut matematiikan alkeiden oppikirjan Elementa, eli Alkeet. Kyseinen kirja on kaikkien aikojen tunnetuin ja luetuin matemaattinen teos ja se pohjautuu aksioomille, postulaateille ja m¨a¨aritelmille, joiden avulla teoksen muut tulokset johdetaan. [2, s. 155-166] Alkeet toimi al- keisgeometrian opetuksen pohjana yli 2000 vuotta, kunnes matemaatikko David Hilbert julkaisi kirjansa Geometrian perusteet vuonna 1899. Hilbertin aksioo- mat ovat edelleenkin nykyp¨aiv¨an aksiomaattisen geometrian pohja. [3, s. 849- 850] T¨am¨an ty¨on pohjaksi oletetaan Hilbertin tasogeometrian 13 aksioomaa ja paralleeliaksiooma sek¨a euklidisen tasogeometrian perusteet.

Tutkielman tavoite on tutkia pinta-alaa kahdella eri tavalla euklidisessa taso- geometriassa ja yhdist¨a¨a koulussa saatu tieto pinta-alasta matemaattisempaan ja t¨asm¨allisemp¨a¨an k¨asitykseen sek¨a pohtia pinta-alan olemassaoloa. Yl¨akoulus- sa ja lukiossa ei anneta pinta-alan m¨a¨aritelm¨a¨a, vaan yksinkertaisin l¨ahestymis- tapa sen hetkisell¨a osaamisella on puhua pinta-alan ominaisuuksista. Esimerkik- si tiedet¨a¨an, ett¨a kolmion pinta-ala on ¹₂ab, miss¨aa on kolmion kanta ja bsen korkeus. Koska Euklidisessa tasogeometriassa ei ole lukuja, pinta-alan k¨asitett¨a ei pystyt¨a tutkimaan t¨at¨a kautta. Tarvitaan siis joku muu tapa l¨ahesty¨a pinta- alaa.

Luvussa 2 m¨a¨aritell¨a¨an t¨asm¨allinen k¨asite pinta-alalle, pinta-alafunktio α.

T¨ass¨a vaiheessa oletetaan viel¨a pinta-alafunktion olemassaolo. Lukija johdatel- laan ensin k¨aytt¨am¨a¨an abstraktia m¨a¨aritelm¨a¨a pinta-alafunktiosta yl¨akoulusta tuttujen ja helppojen geometrian tulosten todistuksissa. Luvun lopuksi todiste- taan Pythagoraan lause, joka on yksi tunnetuimpia lauseita matematiikassa.

Luvussa 3 m¨a¨aritell¨a¨an samaosaisuuden ja samasis¨alt¨oisyyden k¨asitteet. Pin- ta-alaa voidaan my¨os tutkia n¨aiden k¨asitteiden kautta. T¨ass¨a ty¨oss¨a painotetaan kuitenkin vain samaosaisuuden k¨asitteen merkityst¨a. Kyseist¨a k¨asitett¨a tarvi- taan seuraavissa luvuissa.

Luvussa 4 pohditaan pinta-alafunktion olemassaoloa. Onko olemassa funk- tio, joka toteuttaa pinta-alan ominaisuudet? Sekaannuksen v¨altt¨amiseksi m¨a¨ari- tell¨a¨an uusi k¨asite, kaava-ala (engl. formula area). Tarkoituksena on n¨aytt¨a¨a, ett¨a kaava-alafunktio on hyvin m¨a¨aritelty ja se toteuttaa samat ominaisuudet kuin pinta-alafunktio. Pinta-alafunktion olemassaolon todistaminen on ty¨on en- simm¨ainen p¨a¨atulos.

Luvussa 5 pohditaan vaihtoehtoista tapaa tutkia pinta-alaa. T¨ass¨a ty¨oss¨a ai- kaisemmin pinta-alaa tutkittiin pinta-alafunktion avulla. Nyt tarkoituksena on pohtia, miten kaksi pinta-alaltaan yht¨a suurta monikulmiota voidaan n¨aytt¨a¨a yht¨a suuriksi. Miten esimerkiksi alla olevan kuvan monikulmiot voidaan kon- kreettisesti n¨aytt¨a¨a yht¨a suuriksi, kun tiedet¨a¨an, ett¨a niill¨a on sama pinta-ala?

Kuva 1: Kaksi samankokoista monikulmiota.

Kahden monikulmion samankokoisuutta voidaan tutkia osittamisen avulla.

K¨ayt¨ann¨oss¨a t¨am¨a tarkoittaa monikulmioiden pilkkomista osiin ja n¨aiden osien toteamista yhteneviksi. Luvussa 5 tutustutaan siis osittamisen k¨ayt¨ann¨on ongel- maan, miten monikulmio saadaan ositettua toiseksi monikulmioksi. Erilaisten monikulmioiden ositukset johdattelevat kohti ty¨on toista p¨a¨atulosta. P¨a¨atulos Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause kertoo kahden monikulmion olevan sa- maosaisia, jos ja vain jos niiden pinta-alat ovat yht¨a suuret. T¨am¨a tarkoittaa sit¨a, ett¨a mik¨a tahansa monikulmio voidaan osittaa toiseksi monikulmioksi, jos monikulmioilla on sama ala, tai jos kaksi monikulmiota voidaan pilkkoa saman- laisiin osiin, joista saadaan muodostettua toinen, niin monikulmioiden alat ovat yht¨a suuret. Luvun 5 loppuvaiheessa p¨a¨ast¨a¨an my¨os n¨akem¨a¨an k¨ayt¨ann¨on rat- kaisu yll¨a olevan kuvan ongelmaan sek¨a esitet¨a¨an Pythagoraan lauseelle viel¨a toinen todistus osituksen avulla.

Tutkielman p¨a¨al¨ahteen¨a toimii Robin Hartshornen kirja Geometry: Euclid and Beyond[6], josta l¨oytyv¨at tutkielman p¨a¨atulokset todistuksineen. Historia- katsaukset l¨oytyv¨at l¨ahteist¨a [1] - [5], [7], [10] ja [12]. Muilla l¨ahteill¨a on pyritty t¨aydent¨am¨a¨an ja tuomaan tutkielmaan mahdollisimman laaja kokonaisuus tar- vittavista yksityiskohdista. Tutkielman kaikki kuvat ovat kirjoittajan tekemi¨a.

Luku 1

Esitiedot

T¨ass¨a kappaleessa esitell¨a¨an tarvittavat m¨a¨aritelm¨at ja tulokset, joiden pohjalle tutkielma rakennetaan. Aluksi oletetaan tunnetuksi euklidisen tasogeometrian perusteet. Erityisesti oletetaan Hilbertin tason aksioomat (H1)-(H13) sek¨a pa- ralleeliaksiooma tunnetuksi sek¨a voimassa olevaksi. Kyseiset aksioomat l¨oytyv¨at liitteest¨a 1.

M¨a¨aritelm¨a 1.1. Olkoon tasossa kolme eri pistett¨aA, B jaC, jotka eiv¨at ole samalla suoralla. Kyseiset pisteet m¨a¨aritt¨av¨at kolmion4ABC.

Kolmion k¨arkipisteiksi sanotaan pisteit¨a A, B jaC. Kolmion sivuiksi sano- taan janojaAB, BC jaCA.Kolmion kulmiksi sanotaan kulmia]A=]CAB, ]B =]ABCja]C=]BCA.Kolmion sis¨aosan pisteet ovat kolmion sis¨apistei- t¨a. Jos kolmioilla ei ole yhteisi¨a sis¨apisteit¨a, ne eiv¨at peit¨a toisiaan.

M¨a¨aritelm¨a 1.2. Kolmiot 4ABC ja4DEF ovat yhdenmuotoiset, jos ]A∼=]D,]B∼=]E ja]C∼=]F

sek¨a

|AB|

|DE| =|BC|

|EF| = |AC|

|DF|.

Kolmioiden yhdenmuotoisuutta merkit¨a¨an 4ABC ∼ 4DEF. Yhdenmuo- toisuus tarkoittaa sit¨a, ett¨a kolmiot ovat samanmuotoiset, mutta eiv¨at v¨altt¨am¨at- t¨a samankokoiset. Yhdenmuotoisuuden toteamiseksi riitt¨a¨a kahden kulmapa- rin n¨aytt¨aminen yhtenev¨aksi, koska kolmion kulmasummalauseen nojalla kol- mannen kulmaparin t¨aytyy olla yhtenevi¨a. Kyseist¨a s¨a¨ant¨o¨a kutsutaan (KK)- s¨a¨ann¨oksi ja sen todistus l¨oytyy l¨ahteest¨a [8, s. 40-41].

M¨a¨aritelm¨a 1.3. Kolmiot4ABCja4DEF ovat yhtenev¨at, jos niiden kaikki vastinosat ovat yhtenevi¨a eli jos

AB∼=DE, AC∼=DF jaBC∼=EF sek¨a

]A∼=]D,]B ∼=]E ja ]C∼=]F.

Yhtenevyytt¨a merkit¨a¨an 4ABC ∼= 4DEF. K¨ayt¨ann¨oss¨a n¨aist¨a kuudesta ehdosta riitt¨a¨a osoittaa vain kolme, joista yhden t¨aytyy olla sivupari. Kaikkia yhtenevyyss¨a¨ant¨oj¨a ei voida todistaa lauseina, vaan n¨aist¨a t¨aytyy olla tunnet- tuna yksi, jonka avulla voidaan todistaa muita yhtenevyyss¨a¨ant¨oj¨a. Hilbert va- litsee aksioomaksi yhtenevyysss¨a¨ann¨on (SKS), jossa tunnetaan kolmioista vie- rekk¨aiset sivu-kulma-sivu -parit. Valitaan t¨ass¨a ty¨oss¨a my¨os yhtenevyyss¨a¨ant¨o (SKS) aksioomaksi, joka l¨oytyy liitteest¨a 1. Aksioomasta (SKS) saadaan kaksi muuta yhtenevyyss¨a¨ant¨o¨a: (KSK) ja (SSS). N¨ait¨a yhtenevyyss¨a¨ant¨oj¨a hy¨odynne- t¨a¨an t¨ass¨a ty¨oss¨a.

Lause 1.4(KSK). Kolmiot 4ABC ja 4DEF ovat yhtenev¨at, jos ]A∼=]D, AB∼=DE ja]B∼=]E.

Todistus. Todistus l¨oytyy l¨ahteest¨a [8, s. 17].

Lause 1.5 (SSS). Kolmiot 4ABC ja 4DEF ovat yhtenev¨at, jos AB ∼=DE, BC∼=EF ja CA∼=F D.

Todistus. Todistus l¨oytyy l¨ahteest¨a [8, s. 18-19].

M¨a¨aritelm¨a 1.6. Monikulmio on yhdiste ¨a¨arellisest¨a m¨a¨ar¨ast¨a kolmioita, jotka eiv¨at peit¨a toisiaan. Monikulmion jakoa kolmioiksi kutsutaan triangulaatioksi ja kaikkien tason monikulmioiden muodostamaa joukkoa merkit¨a¨an kirjaimella<.

Kuva 1.1: MonikulmionT triangulaatio{T1, T2, T3, T4}.

M¨a¨aritelm¨a 1.7. Nelikulmio ABCD on suunnikas, jos AB k DC ja ADkBC.

Lause 1.8. Jos nelikulmioABCD on suunnikas, niin sen vastakkaiset sivut ja vastakkaiset kulmat ovat yhtenevi¨a

Todistus. Todistus l¨oytyy l¨ahteest¨a [13, s. 12].

M¨a¨aritelm¨a 1.9. MonikulmiotP jaQovat yhtenev¨at, jos kaikki vastinsivut ja kaikki vastinkulmat ovat yhtenevi¨a.

M¨a¨aritelm¨a 1.10. Tason kuvausφon isometria, jos kaikille pisteille P jaQ p¨ateeP Q∼=φ(P)φ(Q).

Monikulmion isometrinen kuvaus kuvaa siis monikulmion uuteen paikkaan siten, ett¨a kaikki alkioiden v¨aliset et¨aisyydet s¨ailyv¨at samoina.

Luku 2

Pinta-alafunktio

Yl¨aasteen ja lukion geometrian tunneilla ei puhuta pinta-alan t¨asm¨allisest¨a m¨a¨aritelm¨ast¨a, vaan kerrotaan mit¨a ominaisuuksia pinta-alalla on. T¨am¨a on riitt¨av¨an yksinkertainen tapa l¨ahesty¨a pinta-alaa ja sen ominaisuuksia sen hetki- sell¨a osaamistasolla. Pinta-alan ominaisuuksien avulla pystyt¨a¨an laskemaan eri- laisille monikulmioille pinta-ala. T¨ass¨a kappaleessa on tarkoitus yhdist¨a¨a koulu- maailmasta tutut pinta-alan ominaisuudet pinta-alan k¨asitteeseen. M¨a¨aritell¨a¨an aluksi matemaattinen ja abstrakti esitys pinta-alalle eli pinta-alafunktio. Mer- kit¨a¨an pinta-alafunktiota kreikkalaisten aakkosten ensimm¨aisell¨a kirjaimella al- falla (α).MonikulmionP pinta-alaa merkit¨a¨an siisα(P).Oletetaan aluksi, ett¨a seuraavan m¨a¨aritelm¨an mukainen pinta-ala on olemassa. Palataan pinta-alan olemassaoloon my¨ohemmin luvussa 4.

M¨a¨aritelm¨a 2.1. Pinta-alafunktio Hilbertin tasossa on funktioα:< →R,jol- le p¨atee seuraavat ominaisuudet:

(1)Kaikille kolmioille T pinta-ala on suurempaa kuin nolla eliα(T)>0.

(2)Kahdella yhtenev¨all¨a kolmiollaT jaT⁰ on sama pinta-ala eliα(T) =α(T⁰).

(3) Jos kaksi monikulmiota H ja Q eiv¨at peit¨a toisiaan, niin monikulmioiden H ja Qyhdisteen pinta-ala on yht¨a suurta kuin monikulmionH pinta-ala sum- mattuna monikulmionQpinta-alaan eliα(H∪Q) =α(H) +α(Q).

(4)Yksik¨asitteisyyden vuoksi m¨a¨aritell¨a¨an neli¨on pinta-ala seuraavasti: Jos ne- li¨on sivun pituus on 1, niin sen pinta-ala on1.

2.1 Geometrian tuloksia

K¨ayd¨a¨an seuraavaksi l¨api yl¨akoulusta tuttuja tuloksia pinta-alalle. Todistetaan tulokset k¨aytt¨aen pinta-alafunktion m¨a¨aritelm¨a¨a 2.1. Aloitetaan neli¨on pinta- alasta, koska tulosta tarvitaan suorakulmion pinta-alan tuloksen todistukseen.

Sivuutetaan neli¨on pinta-alan todistus kappaleen aluksi ja esitet¨a¨an se vasta kappaleen lopuksi, sill¨a todistus ei ole yksinkertainen. Tulosten todistukset mu- kailevat l¨ahdett¨a [11].

Lause 2.2. Jos neli¨on sivun pituus on a,niin sen pinta-ala on a². Todistus. Todistetaan tulos kappaleen lopuksi.

Lause 2.3. Suorakulmion pinta-ala on ah, miss¨aa on suorakulmion kanta ja hon sen korkeus.

Todistus. Piirret¨a¨an neli¨o, jonka sivun pituus ona+halla olevan kuvan mukai- sesti. Ison neli¨on pinta-ala on lauseen 2.2 nojalla (a+h)²ja pienempien neli¨oiden

Kuva 2.1: Neli¨o, jonka sivun pituus ona+h.

pinta-alat ovatα(A₁) = a² ja α(A₂) =h². KoskaA, A₁, A ja A₂ eiv¨at peit¨a toisiaan, niin m¨a¨aritelm¨an 2.1 kohdan (3) nojalla ison neli¨on pinta-ala on yht¨a suuri kuin kahden suorakulmionAsek¨a neli¨oidenA₁jaA₂alat summattuna yh- teen eli (a+h)²= 2α(A)+α(A₁)+α(A₂).Avataan yht¨al¨on vasemmalla puolella oleva binomin neli¨o ja sijoitetaan suorakulmion ja neli¨oiden pinta-alat yht¨al¨on oikealle puolelle. Saadaana²+2ah+h²= 2α(A)+a²+h².V¨ahennet¨a¨an yht¨al¨on molemmilta puolilta termita²jah²ja jaetaan yht¨al¨o kahdella. T¨all¨oin saadaan α(A) =ah,jolloin suorakulmion pinta-ala on kanta kerrottuna korkeudella.

Lause 2.4. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on puolet vastaavan suorakul- mion pinta-alasta eliα(4ABC) =¹₂ah.

Todistus. Olkoon kolmio4ABC,jossa kulma]Con suora kulma. Olkoon piste D se piste, joka tekee kuviosta suorakulmion ADBC. Merkit¨a¨an AC =hja CB=a.Suorakulmion ADBC pinta-alaα(ADBC) =ahsaadaan lauseen 2.3 nojalla. M¨a¨aritelm¨an 2.1 kohdan (3) nojalla tiedet¨a¨an my¨os suorakulmion ADBC pinta-alan olevan α(4ABC) +α(4ABD). Suorakulmaiset kolmiot 4ABC ja 4ABD ovat yhtenev¨at, joten m¨a¨aritelm¨an 2.1 kohdan (2) nojalla α(4ABC) =α(4ABD).Nyt edell¨a olevan nojalla tiedet¨a¨an

ah=α(ADBC) =α(4ABC) +α(4ABD) = 2α(4ABC).

Kuva 2.2: Suorakulmainen kolmio4ABC.

Jaetaan yht¨al¨on 2α(4ABC) =ahmolemmat puolet kahdella ja saadaan tulos α(4ABC) = ¹₂ahtodistettua.

Lause 2.5. Kolmion4ABC pinta-ala on ¹₂ah,miss¨aaon kanta ja hon kor- keus.

Todistus. Olkoon kolmio4ABC.Olkoon pisteDsamalla suoralla pisteidenAja Ckanssa niin, ett¨a kulma]BDCon suora kulma. (Jos pisteest¨aBsuoralleAC piirretty korkeus osuukin pisteeseenC, niin vaihdetaan k¨arkien A jaC nimet, jolloin kulma ]BDC muodostuu ja voidaan jatkaa samaan tapaan.) Nyt on kolme vaihtoehtoa siit¨a, miss¨a piste Dsijaitsee:

Kuva 2.3: Kolme eri vaihtoehtoa pisteenD sijainnista kolmiossa4ABC.

(a) JosA=D,niin kolmio4ABCon suorakulmainen kolmio ja lauseen 2.4 nojalla kolmion pinta-ala on ¹₂bh.

(b) Jos A∗D∗C,niin olkoonAD=b1 jaDC =b2. M¨a¨aritelm¨an 2.1 koh- dan (3) nojalla tiedet¨a¨an ison kolmion4ABCpinta-alan olevan yht¨a suurta pie- nempien suorakulmaisten kolmioiden4BDAja4BDCalojen summan kanssa.

Lauseen 2.4 nojalla suorakulmaisten kolmioiden4BDA ja 4BDC pinta-alat ovatα(4BDA) =¹₂b1hjaα(4BDC) =¹₂b2h.Yhdistet¨a¨an yll¨a olevat tulokset

ja saadaan

α(4ABC) =α(4BDA) +α(4BDC) = 1

2b1h+1 2b2h.

Otetaan ¹₂h yhteiseksi tekij¨aksi, jolloin j¨a¨a ¹₂(b₁+b₂)h.Tiedet¨a¨an my¨os, ett¨a sivuAC=b₁+b₂=b,mist¨a saadaan v¨aiteα(4ABC) =¹₂bh.

(c) JosD∗A∗C,niin olkoon sivuAD=b⁰.Lauseen 2.4 nojalla tiedet¨a¨an kolmioiden 4BDC ja 4BDA pinta-alat, jotka ovat α(4BDC) = ¹₂(b⁰ +b)h ja α(4BDA) = ¹₂b⁰h. Vastaavasti kuin edellisess¨a kohdassa, m¨a¨aritelm¨an 2.1 kohdan (3) nojalla saadaan ison kolmion 4BDC pinta-ala summaamalla pie- nempien kolmioiden alat yhteen eli α(4BDA) +α(4ABC) = α(4BDC).

Ratkaistaan edellisest¨a kaavasta kolmion 4ABC pinta-ala ja sijoitetaan ky- seiseen yht¨al¨o¨on kolmioiden 4BDC ja 4BDA pinta-alojen kaavat. Saadaan α(4ABC) = ¹₂(b⁰+b)h−¹₂b⁰h=¹₂bh.Kolmion4ABC pinta-ala on siis kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella. TapausA∗C∗Dk¨asitell¨a¨an vastaavasti.

Todistetaan neli¨on pinta-alan kaava, kun sivun pituus ona.

Lauseen 2.2 todistus. Todistetaan lause kolmessa osassa. Todistus mukailee l¨ah- teit¨a [11] ja [14].

(1) Oletetaan, ett¨a neli¨on sivun pituus a = 1/q, miss¨a q on luonnollinen luku. Kyseisi¨a sivun pituuksia meneeqkappaletta janaan, jonka pituus on yksi.

T¨all¨oin neli¨o¨on, jonka sivun pituus on yksi, mahtuuq²kappaletta pieni¨a neli¨oit¨a.

T¨ast¨a seuraa, ett¨a pienen neli¨on alan t¨aytyy olla 1/q².

(2) Oletetaan, ett¨a neli¨on sivuaon rationaaliluku. T¨all¨oin on olemassa luon- nolliset luvutpjaqsiten, ett¨aa=p/q.Jaetaan neli¨on sivut yht¨a suuriin osiin, joiden pituus on 1/q,ja joita onpkappaletta. T¨all¨oin pieni¨a neli¨oit¨a onp²kap- paletta ja kohdan (1) nojalla pienten neli¨oden alat ovat 1/q². Nyt ison neli¨on pinta-ala onp²·1/q²=p²/q²= (p/q)²=a².

Kuva 2.4: Kohdan (1) kuvassa sivun pituusa= 1/qja kohdan (2) kuvassa sivun pituusa=p/q.

(3) Oletetaan, ett¨a neli¨on sivuaon irrationaaliluku. T¨all¨oin kaikillaε >0 on olemassa positiiviset rationaaliluvutAjaB siten, ett¨aA < a < B,|A−a|< ε ja|B−a|< ε.Lis¨aksi tiedet¨a¨an, ett¨a rationaaliluvutA jaB l¨ahestyv¨at lukua a,kunεl¨ahestyy nollaa eli lim_ε→0+B =aja lim_ε→0+A=a.KoskaA < a < B, niin neli¨on sivun pituuteen B sis¨altyy neli¨on sivun pituus a, jonka sis¨alle taas sis¨altyy neli¨on sivun pituusA.T¨all¨oinα(A)≤α(a)≤α(B).Merkint¨aA tarkoittaa neli¨ot¨a, jonka sivun pituus on Aja merkint¨a B tarkoittaa neli¨ot¨a, jonka sivun pituus onB.Kohdan (2) nojalla tiedet¨a¨an, ett¨a

α(A) =A² ja α(B) =B². (2.1) Kun neli¨on sivun pituusB l¨ahestyy neli¨on sivun pituuttaa, niin neli¨on pinta- alaB² l¨ahestyy lukuaa²eli limB→aB²=a².Vastaavalla tavalla saadaan my¨os lim_A→aA² =a². Sijoitetaan kaava (2.1) edellisiin raja-arvon yht¨al¨oihin ja saa- daan lim_B→aα(B) = lim_B→aB²=a²sek¨a lim_A→aα(A) = lim_A→aA²=a². Nyt neli¨onapinta-alalle on yl¨a- sek¨a alarajanaa²eli a² ≤α(a)≤a²,jolloin on oltavaα(a) =a².

2.2 Pythagoraan lause

Pythagoras Samoslainen (noin 580-500 eKr.) oli kreikkalaisen antiikin ajan ma- temaatikko. Kerrotaan, ett¨a h¨an matkusteli paljon ja sai oppinsa sit¨a kautta.

Pythagoras perusti koulukunnan, joka harjoitti matematiikkaa, filosofiaa ja us- kontoa. Koulukunta oli vanhoillinen ja se omasi hyvin tiukat s¨a¨ann¨ot. Kaikki tieto ja omaisuus oli yhteist¨a. T¨am¨an vuoksi ei voida varmaksi sanoa, onko Pyt- hagoraan lause Pythagoraan vai pythagoralaisten tuotos. [2, s. 83-86] Pythago- raan koulukuntaa pidet¨a¨an babylonialaisten matematiikan tiedon jatkajana [10, s. 17]. Uskotaankin, ett¨a Pythagoraan nime¨a kantava lause on per¨aisin babylo- nialaisilta. Pythagoraan lauseen nimen oikeutusta perustellaan sill¨a, ett¨a pyt- hagoralaiset olisivat todistaneet lauseen ensimm¨aisen¨a. Mit¨a¨an n¨aist¨a tiedoista ei voida kuitenkaan sanoa varmaksi, sill¨a kaikki historialliset dokumentit ovat tuhoutuneet ja tieto perustuu perim¨atietoon. [2, s. 86]

Lause 2.6(Pythagoras). Olkoon4ABCkolmio, miss¨a kulma]ACB on suora kulma jaa=BC, b=AC ja c=AB. T¨all¨oin

a²+b²=c².

Todistus. Piirret¨a¨an neli¨oDEF G, jonka sivun pituus ona+b.Piirret¨a¨an ne- li¨o¨on nelj¨a yhtenev¨a¨a kolmiota, jotka ovat kopioita kolmiosta 4ABC (katso kuva). Koska kolmion kulmien summa on 180^◦ja suorakulmaisen kolmion suora kulma on 90^◦,niin kahden muun kulman summa t¨aytyy olla 90^◦. T¨all¨oin kul- mat]J KG+]GJ K= 90^◦.Koska neli¨onDEF Gsis¨all¨a olevat kolmiot ovat yhtenevi¨a kesken¨a¨an, niin niiden vastaavat kulmat ovat yhtenevi¨a eli kulmat

]GKJ∼=]DHK∼=]EIH∼=]F J I

Kuva 2.5: Pythagoraan lauseen todistus neli¨on DEF G avulla, joka koostuu nelj¨ast¨a suorakulmaisesta kolmiosta4ABC ja yhdest¨a pienemm¨ast¨a neli¨ost¨a.

ja

]GJ K∼=]DKH∼=]EHI ∼=]F IJ.

Tutkitaan seuraavaksi oikokulmaa]GJ F,joka koostuu kulmista]GJ K,]KJ I ja]F J I. T¨all¨oin

]GJ F =]GJ K+]KJ I+]F J I= 180^◦. (2.2) Sijoitetaan kaavaan (2.2) kulman]F J I paikalle kulma]GKJ, sill¨a aikaisem- min todettiin kyseisten kulmien yht¨asuuruus. Nyt siis tiedet¨a¨an, ett¨a kulma ]GJ F =]GJ K+]KJ I+]J KG. T¨ah¨an yht¨al¨o¨on sijoitetaan tieto kulmien summasta]J KG+]GJ K= 90^◦,jolloin saadaan]GJ F = 90^◦+]KJ I.Kos- ka kulma ]GJ F on oikokulma eli 180^◦, niin kulman]KJ I on oltava 90^◦ eli suora kulma. Vastaavalla tavalla voidaan n¨aytt¨a¨a muut kulmat ]J IH,]IHK ja ]HKJ suoriksi kulmiksi. T¨all¨oin neli¨on DEF G sis¨all¨a on toinen neli¨o HIJ K,jonka sivun pituus onc.Lauseen 2.2 nojalla tiedet¨a¨an, ett¨a

α(DEF G) = (a+b)² ja α(HIJ K) =c². (2.3) M¨a¨aritelm¨an 2.1 kohdan (2) nojalla yhtenevill¨a kolmioilla on sama pinta-ala ja kolmion pinta-ala voidaan laskea lauseen 2.4 kaavan avulla eli kolmion4KDH pinta-ala on ¹₂ab. Neli¨o DEF G koostuu nelj¨ast¨a suorakulmaisesta kolmiosta ja yhdest¨a pienemm¨ast¨a neli¨ost¨aHIJ K.M¨a¨aritelm¨an 2.1 kohdan (3) nojalla α(DEF G) =α(HIJ K) + 4·α(4KDH).Sijoitetaan kaavan (2.3) pinta-alat ja kolmion pinta-ala ¹₂ab edelliseen yht¨al¨o¨on, jolloin

(a+b)²=c²+ 4· 1 2ab.

Avataan yht¨al¨on vasemman puoleinen binomin neli¨o ja supistetaan yht¨al¨on oi- keaa puolta, jolloin j¨aljelle j¨a¨aa²+ 2ab+b²=c²+ 2ab. V¨ahennet¨a¨an yht¨al¨on molemmilta puolilta termi 2ab,jolloin v¨aitea²+b²=c² on todistettu.

Luku 3

Monikulmioiden samaosaisuus ja samasis¨ alt¨ oisyys

Ennen kuin voidaan l¨ahte¨a todistamaan pinta-alafunktion olemassaoloa, tarvi- taan lis¨a¨a tietoa pohjalle. T¨ass¨a kappaleessa m¨a¨aritell¨a¨an samaosaisuus ja sama- sis¨alt¨oisyys, jotka kertovat kahden monikulmion yht¨a suuresta koosta. Tutkiel- massa keskityt¨a¨an suurimmaksi osaksi samaosaisuuteen ja sen yhteyteen moni- kulmioiden osittamisessa. Samasis¨alt¨oisyytt¨a t¨ass¨a ty¨oss¨a tarvitaan hyvin v¨ah¨an ja se esitell¨a¨an sen vuoksi, ett¨a Eukleides k¨aytt¨a¨a kirjassaan vastaavaa k¨asitet- t¨a paljon, kun h¨an puhuu kahden monikulmion yht¨al¨aisyyksist¨a tai eroavaisuuk- sista.

3.1 Samaosaisuus

M¨a¨aritelm¨a 3.1. Kaksi monikulmiota P ja P⁰ ovat samaosaisia, jos ne voi- daan kirjoittaa toisiaan peitt¨am¨att¨omien kolmioidenTi yhdisteen¨a seuraavasti:

P =T₁∪...∪T_n ja P⁰ =T₁⁰∪...∪T_n⁰, miss¨a jokainen kolmio T_i on yhtenev¨a kolmionT_i⁰ kanssa.

Havainnollistetaan esimerkin avulla monikulmioidenPjaP⁰samaosaisuutta.

Esimerkki 3.2. Kuvan 3.1 monikulmiotPjaP⁰ voidaan pilkkoa samaosaisiksi.

MonikulmioP on pilkottu nelj¨a¨an kolmioon, jotka eiv¨at mene toistensa p¨a¨alle, ja monikulmio P on yhdiste n¨aist¨a kolmiosta Ti eli P = T1∪T2 ∪T3∪T4. Monikulmio P⁰ on pilkottu my¨os nelj¨a¨an kolmioon, jotka eiv¨at mene toistensa p¨a¨alle ja monikulmioP⁰ on my¨os yhdiste nelj¨ast¨a pienemm¨ast¨a kolmiostaT_i⁰ eli P⁰ = T₁⁰ ∪T₂⁰ ∪T₃⁰ ∪T₄⁰, joille p¨atee T1 ∼=T₁⁰, T2 ∼= T₂⁰, T3 ∼= T₃⁰ ja T4 ∼= T₄⁰. T¨all¨oin monikulmiot P jaP⁰ ovat samaosaisia.

Kuva 3.1: Samaosaiset monikulmiotP jaP⁰. N¨aytet¨a¨an seuraavaksi, ett¨a samaosaisuus on ekvivalenssirelaatio.

Lause 3.3. Kahden monikulmionP jaP⁰samaosaisuus on ekvivalenssirelaatio.

Todistus. Relaatio on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja tran- sitiivinen. On selv¨a¨a, ett¨a relaatio on refleksiivinen (P on samaosainen itsens¨a kanssa) ja symmetrinen (josP on samaosainenP⁰ kanssa, niinP⁰on samaosai- nenP kanssa). N¨aytet¨a¨an transitiivisuus. Oletetaan, ett¨aP ja P⁰ ovat samao- saisia sek¨aP⁰ jaP⁰⁰ovat samaosaisia. Halutaan n¨aytt¨a¨a, ett¨aP on samaosainen P⁰⁰ kanssa. Olkoon P =T1∪...∪Tn jaP⁰ =T₁⁰ ∪...∪T_n⁰,miss¨a jokainen kol- mioTi on yhtenev¨a kolmion T_i⁰ kanssa kaikilla i= 1, ..., n. Oletaan my¨os, ett¨a P⁰ =S⁰₁∪...∪S_m⁰ jaP⁰⁰=S₁⁰⁰∪...∪S_m⁰⁰,miss¨a jokainen kolmioS_j⁰ on yhtenev¨a kolmionS_j⁰⁰ kanssa kaikillaj= 1, ..., m.

Tutkitaan leikkaustaT_i⁰∩S_j⁰,joka on monikulmionP⁰osajoukko. Leikkaus voi olla monikulmio, piste tai jana. Jos leikkaus on piste tai jana, niin se ei vaikuta samaosaisuuteen ja kyseisi¨a leikkauksia ei ole tarve tarkastella. Jos leikkauksen sisus on monikulmio, niin leikkaus voidaan kirjoittaa kolmioiden yhdisteen¨a

T_i⁰∩S_j⁰ =

r

[

k=1

H_ijk⁰ .

Otetaan isometrinen kuvausφ_i :T_i→T_i⁰,miss¨a kolmioT_ikuvataan yhtenev¨a¨an kolmioonT_i⁰.Jaetaan kolmioT_i vastaaviin osiinH_ijk=φ_i⁻¹(H_ijk⁰ ) kuin kolmio T_i⁰ eli

T_i=

m

[

j=1 r

[

k=1

H_ijk,

miss¨a jokainen Hijk on yhtenev¨a H_ijk⁰ kanssa. Otetaan vastaavalla tavalla iso- metrinen kuvausψj :S_j⁰ →S_j⁰⁰ ja asetetaanH_ijk⁰⁰ =ψj(φi(Hijk)).Siis

S_j⁰⁰=

n

[

i=1 r

[

k=1

H_ijk⁰⁰ ,

miss¨a jokainenH_ijk on yhtenev¨aH_ijk⁰⁰ kanssa kaikillai= 1, ..., n, j= 1, ..., mja

k= 1, ..., r.KoskaHijk jaH_ijk⁰⁰ eiv¨at mene p¨a¨allek¨ain, voidaan kirjoittaa P =

n

[

i=1 m

[

j=1 r

[

k=1

H_ijk ja P⁰⁰=

n

[

i=1 m

[

j=1 r

[

k=1

H_ijk⁰⁰ ,

miss¨a jokainenH_ijk⁰⁰ on yhtenev¨aHijk kanssa. T¨all¨oinP jaP⁰⁰ovat samaosaisia.

3.2 Samasis¨ alt¨ oisyys

M¨a¨aritelm¨a 3.4. Kaksi monikulmiota P ja P⁰ ovat samasis¨alt¨oisi¨a, jos on olemassa kaksi muuta monikulmiotaQjaQ⁰ seuraavilla ominaisuuksilla:

(1)Monikulmiot P jaQeiv¨at peit¨a toisiaan.

(2)Monikulmiot P⁰ jaQ⁰ eiv¨at peit¨a toisiaan.

(3)Monikulmiot QjaQ⁰ ovat samaosaiset.

(4)Monikulmiot P∪Qja P⁰∪Q⁰ ovat samaosaiset.

Toisin sanottuna monikulmiot P jaP⁰ ovat samasis¨alt¨oiset, jos ne voidaan t¨aydent¨a¨a samaosaisilla kuvioilla samaosaisiksi kuvioiksi. Havainnollistetaan k¨a- sitett¨a esimerkin avulla. Esimerkki mukailee l¨ahdett¨a [9, s. 29].

Esimerkki 3.5. OlkoonP =ABCDjaP⁰=ABEF suunnikkaita ja pisteet C, D, EjaF samalla suoralla. N¨aytet¨a¨an, ett¨aP jaP⁰ ovat samasis¨alt¨oiset. Ol- koonQ⁰=4ADF jaQ=4BCE.M¨a¨aritelm¨an3.4kohdat (1)ja(2)t¨ayttyv¨at, sill¨a P ja Q eiv¨at peit¨a toisiaan eiv¨atk¨a P⁰ ja Q⁰ peit¨a my¨osk¨a¨an toisiaan.

N¨aytet¨a¨an seuraavaksi m¨a¨aritelm¨an 3.4 kohta (3). Tiedet¨a¨an, ett¨a AD k BC ja AF kBE, jolloin ]DAF ∼=]CBE. KoskaP ja P⁰ ovat suunnikkaita, niin sivutAD ∼=BC ja AF ∼=BE. N¨ain ollen (SKS)-aksiooman nojalla Q∼=Q⁰. Lopuksi t¨aytyy viel¨a n¨aytt¨a¨a m¨a¨aritelm¨an viimeinen kohta.

Kuva 3.2: Esimerkin 3.5 kaksi eri tapausta pisteiden D, F ja C j¨arjestyksest¨a kuvallisesti havainnollistettuna.

• JosD∗F∗C,niinP∪Q=P⁰∪Q⁰.T¨all¨oin v¨aite on todistettu.

• JosD∗C∗F,niin janatAF jaBC leikkaavat pisteess¨aH.Olkoon kolmio S1=4HF Cja kolmioS2=4ABH.Koska monikulmiotP∪S1=Q⁰∪S2

ja P⁰∪S1 =Q∪S2, niin m¨a¨aritelm¨an3.4 mukaan suunnikkaat P ja P⁰ ovat samasis¨alt¨oiset.

Luku 4

Pinta-alafunktion olemassaolo

Kappaleessa 2 oletettiin, ett¨a pinta-alafunktio on olemassa ja m¨a¨aritelm¨a 2.1 on voimassa. Yl¨akoulussa ja lukiossa ei ole mahdollista syventy¨a pinta-alan m¨a¨aritelm¨a¨an tai sen olemassaolon pohtimiseen ollenkaan, vaan k¨ayd¨a¨an ai- noastaan pinta-alan ominaisuuksia l¨api. L¨ahdet¨a¨an nyt n¨aytt¨am¨a¨an, ett¨a on olemassa m¨a¨aritelm¨an 2.1 ehdot t¨aytt¨av¨a pinta-alafunktio.

4.1 Kaava-ala

Ennen kuin l¨ahdet¨a¨an todistamaan pinta-alafunktion olemassaoloa, v¨altet¨a¨an sekaannusta ja k¨aytet¨a¨an eri nimityst¨a pinta-alasta. Olkoon t¨am¨a nimitys ”kaava- ala”, mik¨a on suora suomennos englannin kielest¨a ”formula area”. Merkit¨a¨an kaava-alafunktiota my¨os eri symbolilla, beetalla (β).Esimerkiksi n¨ain: monikul- mionP kaava-ala onβ(P).M¨a¨aritell¨a¨an kaava-ala kolmioille ja monikulmioille.

M¨a¨aritelm¨a 4.1. Kolmion kaava-ala on ¹₂bh, miss¨a b on kolmion kanta ja h sen korkeus.

M¨a¨aritelm¨a 4.2. Monikulmion kaava-ala saadaan jakamalla monikulmio kol- mioihin ja laskemalla niiden kaava-alat yhteen.

4.2 Kaava-alan ominaisuudet

T¨ass¨a luvussa on tarkoituksena n¨aytt¨a¨a, ett¨a kaava-alafunktioβon hyvin m¨a¨ari- telty ja se toteuttaa pinta-alafunktionαominaisuudet. T¨all¨oin kaava-alafunktio todella on pinta-alafunktio. Suurin ty¨o t¨ass¨a on n¨aytt¨a¨a kaava-alafunktio hy- vin m¨a¨aritellyksi. N¨aytet¨a¨an ensin kolmion kannan valinnan riippumattomuus kolmion kaava-alaan.

Lemma 4.3. Olkoon4ABC kolmio, jonka kannaksi valitaanb ja korkeudeksi h.Olkoonb⁰ toinen kanta kolmiosta korkeudella h⁰. T¨all¨oin ¹₂bh= ¹₂b⁰h⁰. Todistus. Olkoon kolmion4ABC kantab =BC ja sen korkeus h=ADsek¨a kantab⁰ =AC ja sen korkeus h⁰ =BE. Kolmioilla 4ADC ja 4BEC on yh- teinen kulma ]ACB ja kulmat ]ADC ja ]BEC ovat suoria kulmia. T¨all¨oin (KK)-s¨a¨ann¨on nojalla kolmiot4ADC ja4BEC ovat yhdenmuotoiset. Yhden- muotoisilla kolmioilla korkeuksien suhde hypotenuusaan on yht¨a suurta:

AD BE = h

h⁰ =b⁰ b = AC

BC.

Ristiin kertomalla saadaan hb = h⁰b⁰. Kerrotaan viel¨a puolikkaalla yht¨al¨o¨a ja saadaan v¨aite

1 2hb= 1

2h⁰b⁰.

Kuva 4.1: Ter¨av¨akulmainen kolmio 4ABC, jonka kannan valinta ei vaikuta kolmion4ABC kaava-alaan.

Todistus toimii ter¨av¨a- sek¨a tylpp¨akulmaisille kolmioille, paitsi jos kulma ]ACB on tylpp¨a. Jos kulma ]ACB on tylpp¨a, niin se ei ole yhteinen kulma kolmioille 4ADC ja 4BEC. Kuitenkin kolmioilla4ADC ja4BEC ristikul- mat]ACD ja]BCE ovat yht¨a suuret ja kolmioilla on suorat kulmat, jolloin kolmansien kulmien t¨aytyy olla yht¨a suuret. Nyt v¨aite saadaan todistettua vas- taavalla tavalla loppuun kuin muutkin tapaukset.

N¨aytet¨a¨an seuraavaksi, ett¨a kolmion kaava-ala on sen sis¨alt¨amien erillisten kolmioiden kaava-alojen summa.

Lemma 4.4. Jos kolmio4ABCjaetaan pienempiin kolmioihinTimiten tahan- sa (¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a), niin ison kolmion kaava-ala on yht¨a suuri kuin kaikkien pienempien kolmioiden kaava-alat summattuna yhteen:

β(4ABC) =

n

X

i=1

β(Ti).

Todistus. K¨ayd¨a¨an todistus l¨api kolmessa tapauksessa:

(1) K¨ayd¨a¨an ensin l¨api tapaus, miss¨a kolmio4ABCon jaettu kahteen osaan, kolmioihinT1jaT2.Halutaan siis todistaaβ(4ABC) =β(T1) +β(T2). Jaetaan kolmio4ABC janallaCD,miss¨a kulmaCon kolmion k¨arkipiste, ABkolmion kanta ja piste D ∈ AB. Olkoon T1 = 4ACD ja T2 = 4BCD (katso kuva alla). Valitaan sivut AD = a ja DB = b pienempien kolmioiden kannoiksi

Kuva 4.2: Kolmio4ABC jaettu kahteen kolmioon4ACD ja4BCD.

sek¨a AB=c ison kolmion kannaksi. Kolmioilla 4ABC, 4ACD ja4BCD on sama korkeus h. M¨a¨aritelm¨an 4.3 nojalla β(4ABC) = ¹₂ch. Tiedet¨a¨an, ett¨a sivu AB = c = a+b = AD+DB, joten sijoitetaan kolmion4ABC kaava- alan kaavaan sivuncpaikalle a+b,jonka j¨alkeen kerrotaan sulut auki. T¨all¨oin saadaanβ(4ABC) = ¹₂(a+b)h= ¹₂ah+¹₂bh.Nyt voidaan kirjoittaa kolmion 4ABC kaava-ala kahden pienemm¨an kolmion avulla seuraavasti:

β(4ABC) =β(4ACD) +β(4BCD) =β(T1) +β(T2).

(2) Vaikeutetaan edellist¨a tapausta seuraavasti. Oletetaan, ett¨a kolmio4ABC jaetaan pienempiin kolmioihinTi niin, ett¨a kolmion sis¨all¨a ei ole uusien pienem- pien kolmioiden k¨arkipisteit¨a ja sivuACon vapaa uusien kolmioiden k¨arkipisteist¨a.

Kuva 4.3: Kolmio4ABC jaettu pienempiin kolmioihinT_i.

Halutaan siis todistaa

β(4ABC) =

n

X

i=1

β(Ti).

Todistetaan t¨am¨a tulos induktiop¨a¨attelyll¨a kolmioiden m¨a¨ar¨annsuhteen. Ote- taan perusaskel, miss¨an= 2,jolloin palaamme (1) kohdan tilanteeseen, joka oli jo selv¨a¨a. Joten oletetaan, ett¨a kolmioita Ti onnkappaletta ja induktio-oletus on, ett¨a v¨aite p¨atee, jos kolmioita on korkeintaan n−1 kappaletta. Aloitetaan induktiotodistus. SivunACt¨aytyy olla yhden pienemm¨an kolmion sivu. Olkoon t¨am¨a kolmioT1=4ACD,miss¨a pisteD∈AB. T¨all¨oin (1) kohdan nojalla

β(4ABC) =β(T₁) +β(4BCD).

Nyt kolmiolla4BCD on yksi osakolmio v¨ahemm¨an kuin kolmiolla 4ABC eli n−1 kappaletta. Kolmion 4BCD sis¨all¨a ei ole uusien pienempien kolmioiden k¨arkipisteit¨a ja sivuCD on vapaa uusien kolmioiden k¨arkipisteist¨a. Induktio- oletuksen nojallaβ(4BCD) =Pn

i=2β(Ti),joten β(4ABC) =β(T1) +

n

X

i=2

β(Ti) =

n

X

i=1

β(Ti).

N¨ain ollen induktiov¨aite on todistettu.

(3) Yleinen tapaus. Jaetaan kolmio 4ABC pienempiin kolmioihin Ti niin, ett¨a kolmion sis¨all¨a on pienempien kolmioiden k¨arkipisteit¨a. Pyrit¨a¨an palautta- maan jako sellaiseksi, jossa pystyt¨a¨an hy¨odynt¨am¨a¨an tapauksia (1) ja (2). Vali- taan kolmiosta4ABC k¨arkipisteC ja piirret¨a¨an k¨arkipisteest¨aCjanat uusien kolmioiden k¨arkipisteisiin. Jatketaan n¨ait¨a janoja sivulleABasti (kuvassa n¨am¨a janat piirretty katkoviivoin).

Kuva 4.4: Kolmion4ABC uusi jakoSj.

N¨ain saadaan uusi jako S_j kolmiolle 4ABC. T¨am¨a jako toteuttaa tapauksen (2) oletukset, joten

β(4ABC) =

m

X

j=1

β(S_j). (4.1)

Otetaan kolmioistaTi jaSj leikkaukset, jotka yhdistet¨a¨an toisiinsa:

4ABC=

n

[

i=1 m

[

j=1

Ti∩Sj.

Jaosta halutaan ainoastaan kolmioita, mutta osa uuden jaon palasista voi olla my¨os nelikulmioita. T¨am¨an vuoksi hienonnetaan jakoa viel¨a siten, ett¨a mahdol- liset nelikulmiotT_i∩S_j jaetaan kahdeksi kolmioksi T_i∩S_j =H_ij1∪H_ij2.Jos monikulmio on kolmio jo alunperin, se on muotoaT_i∩S_j =H_ij1.N¨ain taataan, ett¨a jaosta saadaan vain kolmioitaT_i∩S_j =Sr

k=1H_ijk. Kolmiolle4ABC on saatu kolmas triangulaatio, joka koostuu pienist¨a kolmioistaH_ijk.Siis

4ABC=

n

[

i=1 m

[

j=1 r

[

k=1

H_ijk,

miss¨a r = 1 tair = 2 riippuen indekseist¨a ija j. Jokainen kolmio Sj koostuu kolmioidenHijkyhdisteist¨a kaikillai= 1, ..., njak= 1, ..., r.Kohta (2) toteutuu kaikillej= 1, ..., m,koska kolmioidenHijk k¨arjet eiv¨at ole kolmioidenSj sis¨all¨a sek¨a kolmionSj kanta sivullaABon vapaa k¨arjist¨a. Nyt

β(Sj) =

n

X

i=1 r

X

k=1

β(Hijk). (4.2)

Yhdist¨am¨all¨a kaavat (4.1) ja (4.2) saadaan β(4ABC) =

n

X

i=1 m

X

j=1 r

X

k=1

β(H_ijk). (4.3)

Tarkastellaan sitten kolmiotaTi =4XY Z.Se on jaettu pienempiin kolmioi- hinHijk. JaonSj suorat kulkevat pienempien kolmioiden k¨arkipisteidenX, Y jaZ kautta, jolloin yksi niist¨a leikkaa (punainen suora kuvassa) kolmiotaTija- kaen sen kahteen osaanTi0 jaTi00

(katso kuva alla). T¨all¨oin (1) kohdan nojalla

Kuva 4.5: KolmionTi jakaminen pienempiin kolmioihinTi0 jaTi00. voidaan kirjoittaaβ(Ti) = β(Ti0) +β(Ti00). Molemmat n¨aist¨a puoliskoista ja- kautuvat lis¨a¨a suorilla, jotka tulevat k¨arkipisteest¨a C ja lis¨aksi lis¨at¨a¨an suoria,

jotka puolittavat nelikulmiot kolmioiksi. KolmiotTi0 jaTi00

t¨aytt¨av¨at (2) koh- dan ehdot: kolmion sis¨all¨a ei ole pienempien kolmoiden k¨arkipisteit¨a ja vapaa sivu on kolmioidenTi0 ja Ti00

yhteinen sivu. J¨alleen kohdasta (2) seuraa, ett¨a kolmioidenTi0jaTi00

kaava-alojen summa on yht¨a suuri kuin summa kolmioiden Hijk kaava-aloista, joten

β(Ti) =

m

X

j=1 r

X

k=1

β(Hijk).

Kun t¨am¨a yhdistet¨a¨an kaavan (4.3) kanssa, saadaan haluttu v¨aite β(4ABC) =

n

X

i=1

β(Ti).

T¨am¨an luvun alussa m¨a¨ariteltiin monikulmiolle kaava-ala, joka on sen sis¨alt¨a- mien erillisten kolmioiden kaava-alojen summa. Kuitenkin monikulmio voidaan jakaa kolmioihin hyvin erilaisilla tavoilla kuten alla olevassa kuvassa:

Kuva 4.6: Monikulmion kaksi eri triangulaatiota.

V¨altet¨a¨an t¨am¨a ongelma todistamalla monikulmion kaava-alan riippumat- tomuus siit¨a, miten se on jaettu.

Lause 4.5. Monikulmion kaava-ala ei riipu siit¨a, mink¨alainen triangulaatio monikulmiolle on tehty.

Todistus. Oletetaan, ett¨a monikulmiollaP on kaksi triangulaatiota, jotka koos- tuvat kolmioistaTi jaTj0 seuraavasti:

P =

n

[

i=1

T_i ja P =

m

[

j=1

T_j⁰.

KolmioidenT_ijaT_j⁰leikkaus voidaan aina jakaa kolmioihinH_ijk,samalla tavalla kuin lauseessa 3.3. T¨all¨oin kolmiotT_i jaT_j⁰ voidaan kirjoittaa kolmioidenH_ijk

yhdisteen¨a eli

Ti =

m

[

j=1 r

[

k=1

Hijk ja Tj0 =

n

[

i=1 r

[

k=1

Hijk,

joten lemman 4.4 nojalla β(Ti) =

m

X

j=1 r

X

k=1

β(Hijk) ja β(Ti0) =

n

X

i=1 r

X

k=1

β(Hijk).

N¨ain ollen my¨os

n

X

i=1

β(Ti) =

n

X

i=1 m

X

j=1 r

X

k=1

β(Hijk) =

m

X

j=1 n

X

i=1 r

X

k=1

β(Hijk) =

m

X

j=1

β(Tj0).

Monikulmiolle tehty triangulaatio ei siis vaikuta monikulmion kaava-alaan.

4.3 Kaava-ala ja pinta-ala

Seuraava tulos on yksi ty¨on p¨a¨atuloksista, sill¨a se antaa pinta-alan olemassaolon.

Lause 4.6. Kaava-alafunktioβ on hyvin m¨a¨aritelty ja toteuttaa pinta-alafunk- tionαominaisuudet, joten kaava-alafunktio on pinta-alafunktio.

Todistus. Perustellaan ensin, ett¨a kaava-alafunktio on hyvin m¨a¨aritelty. Aluk- si m¨a¨ariteltiin kolmion kaava-alaksi ¹₂bh, miss¨a b on kolmion kanta ja h sen korkeus. Lemmassa 4.3 n¨aytettiin, ett¨a kolmion kannan valinta ei vaikuta sen kaava-alaan. T¨am¨an j¨alkeen tutkittiin kolmion jakamista pienempiin kolmioihin ja sen kaava-alaa. Lemma 4.4 sanoo, ett¨a kolmion kaava-ala on sen pienempien kolmioiden kaava-alojen summa. T¨at¨a tulosta hy¨odynnettiin lemmassa 4.5, jon- ka mukaan monikulmion kaava-alaan ei vaikuta se, miten monikulmio on jaettu osiin. Lemmojen 4.3, 4.4 ja 4.5 nojalla voidaan sanoa, ett¨a kaava-alafunktioβ on hyvin m¨a¨aritelty.

Perustellaan viel¨a, ett¨a kaava-alafunktioβ t¨aytt¨a¨a pinta-alafunktionαomi- naisuudet eli m¨a¨aritelm¨an 2.1 ehdot (1) - (4).Koska janojen pituudet ovat po- sitiivisia, niinβ(T)>0 kaikille kolmioille (ehto (1)). Yhtenevill¨a kolmioillaT ja T⁰ on yhtenev¨at sivut sek¨a korkeudet, joten niiden kaava-alatkin ovat yht¨a suu- ret eliβ(T) =β(T⁰) (ehto (2)). Jos monikulmiotP jaQeiv¨at mene p¨a¨allekk¨ain ja ne voidaan kirjoittaa toisiaan peitt¨am¨att¨omien kolmioiden yhdisteen¨a seu- raavasti

P=T1∪ · · · ∪Tn ja Q=T₁⁰∪ · · · ∪T_m⁰ ,

niin kolmioista Ti ja T_i⁰ voidaan muodostaa yhdiste P ∪Q. T¨all¨oin ehto (3) toteutuu eliβ(P∪Q) = β(P) +β(Q). Jaetaan lopuksi neli¨o, jonka sivun pi- tuus on 1, kahteen yhtenev¨a¨an kolmioon. Nyt ehdon (2) nojalla kolmioilla on

sama ala, joka on 1/2. Ehdon (3) nojalla voidaan laskea kolmioiden alat yh- teen, jolloin neli¨on ala on 1 (ehto (4)). Nyt kaava-alafunktioβ toteuttaa pinta- alafunktionαm¨a¨aritelm¨an 2.1 ehdot (1) - (4).Koska kaava-alafunktio on hyvin m¨a¨aritelty ja toteuttaa pinta-alafunktion ominaisuudet, niin kaava-alafunktio on pinta-alafunktio.

T¨am¨a tarkoittaa sit¨a, ett¨a on olemassa m¨a¨aritelm¨an 2.1 ehdot t¨aytt¨av¨a pinta-alafunktio eli pinta-ala on olemassa.

Luku 5

Osittaminen

T¨ass¨a kappaleessa tutkitaan, milloin kaksi monikulmiota ovat samaosaisia. Mo- nikulmion ositus toiseksi monikulmioksi on mahdollista, jos ja vain jos moni- kulmiot ovat samaosaisia. Kappaleessa on tarkoituksena n¨aytt¨a¨a monikulmioi- den konkreettisia osituksia, kuten esimerkiksi kolmion ositus suunnikkaaksi ja suunnikkaan ositus suorakulmioksi. Tullaan huomaamaan, ett¨a monikulmioita ei tarvitse aina pilkkoa ensin kolmioiksi, vaan monikulmio voidaan osittaa suo- raan toiseksi monikulmioksi. Osittaminen antaa hyv¨an yleisen teorian kahden monikulmion yht¨a suuresta koosta, mutta ei v¨altt¨am¨att¨a ole k¨ayt¨ann¨ollisin tapa l¨ahesty¨a pinta-alaa.

T¨ass¨a kappaleessa p¨atee edelleen Hilbertin tason aksioomat sek¨a parallee- liaksiooma. Joissakin tapauksissa tarvitaan lis¨aksi Arkhimedeen aksioomaa. Kap- paleessa todistetaan my¨os ty¨on toinen p¨a¨atulos Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause. Lause sanoo kahden monikulmion olevan samaosaisia, jos ja vain jos niill¨a on sama pinta-ala. Tulos yhdist¨a¨a pinta-alan ja samaosaisuuden k¨asitteet toi- siinsa. Luvun loppuvaiheessa p¨a¨ast¨a¨an my¨os n¨akem¨a¨an k¨ayt¨ann¨on ratkaisu joh- dannossa esiteltyyn ongelmaan, miten tasasivuinen kolmio saadaan ositettua neli¨oksi. Lopuksi todistetaan viel¨a Pythagoraan lause uudestaan osittamisella.

5.1 Monikulmioiden osittaminen

Lause 5.1. Mik¨a tahansa kolmio voidaan osittaa suunnikkaaksi.

Todistus. Olkoon kolmio 4ABC ja piste D sivun AC keskipiste. Piirret¨a¨an pisteenD kautta kulkeva suora l,joka on yhdensuuntainen sivun BC kanssa.

Olkoon pisteEsivunABja suoranl leikkauspiste. Piirret¨a¨an pisteenCkautta suoram, joka on yhdensuuntainen sivunAB kanssa. Olkoon suorienljamlei- kauspisteF.Kulmat]ADE∼=]F DC,sill¨a ne ovat ristikulmat. Koska sivuAB on yhdensuuntainen suoranmkanssa ja pisteetAjaCovat suoranleri puolilla, niin kulmat]DEA∼=]DF Covat vuorokulmat. Kolmioiden4ADE ja4CDF kaksi kulmaa ovat yht¨a suuret, joten kolmansien t¨aytyy olla my¨os yht¨a suuret.

Kulmien perusteella tiedet¨a¨an kolmioiden4ADEja4CDF olevan yhdenmuo- toisia, mutta ei tiedet¨a viel¨a ovatko kolmiot yhtenevi¨a. Piste D on sivun AC keskipiste, jolloinAD∼=DC.T¨all¨oin (KSK)-s¨a¨ann¨on nojalla

4ADE∼=4CDF.

T¨all¨oin kolmio4ABC=BEDC∪ 4ADE voidaan siis osittaa suunnikkaaksi BCF E=BEDC∪ 4CDF.

Kuva 5.1: Kolmion4ABC ositus suunnikkaaksiBCF E.

Lemma 5.2. Suunnikkaan samaa kantaa vastaavat korkeusjanat ovat yhte- nev¨at.

Todistus. Olkoon suunnikasABCD.Valitaan sivultaABkorkeusjanatEF ja GH siten, ett¨a pisteet E ja G kuuluvat sivulle AB. Kulmat ]GEF, ]EF H, ]F HG ja ]HGE ovat suoria kulmia. Koska kulmat ovat suoria kulmia, niin EF HGon suorakulmio ja erityisesti suunnikas. Suunnikkaan vastakkaiset si- vut ovat yhtenevi¨a eli EF∼=GH,kuten haluttiin.

Lause 5.3. Mik¨a tahansa suunnikas voidaan osittaa suorakulmioksi.

Todistus. OlkoonABCD suunnikas. Kaikilla suunnikkailla vastakkaiset kul- mat ovat yhtenevi¨a ja kulmien summa on 360^◦.Suunnikkaassa on kaksi ter¨av¨a¨a kulmaa ja kaksi tylpp¨a¨a kulmaa ellei suunnikas ole jo valmiiksi suorakulmio. Ole- tetaan, ett¨a kulma A on ter¨av¨a kulma (katso kuva). Piirret¨a¨an korkeudet ED jaF C (kuvassa katkoviivoin), miss¨aEjaF kuuluvat sivulleABtai sen jatkeel- le. Suunnikkaan korkeusjanat ovat yhtenev¨at lemman 5.2 nojalla eliED∼=F C.

Tiedet¨a¨an, ett¨a kulmat]AED ja]BF C ovat suorat kulmat.

(1) Oletetaan, ett¨aA∗E∗B,jolloin kulma]ABDon ter¨av¨a kulma. Koska ABCD on suunnikas, niin ADkBC.Korkeudet EDjaF C ovat yhdensuun- taiset k¨a¨anteisen vuorokulmalauseen nojalla jaADkBC,joten kulmien]EDA ja]F CB t¨aytyy olla yhtenev¨at. Nyt (KSK)-s¨a¨ann¨on nojalla

4AED∼=4BF C.

SuunnikasABCD =4AED∪BCDE voidaan siis osittaa suorakulmioksi CDEF =BCDE∪ 4BF C.

Kuva 5.2: SuunnikkaanABCDositus suorakulmioksiCDEF.

(2) Oletetaan, ett¨a A∗B∗E. Kulma ]ABD on suoran kulman ]AED sis¨all¨a, jolloin kulman ]ABD on oltava suurempi kuin suora kulma eli tylpp¨a kulma. T¨all¨oin kulman ]ADB on oltava ter¨av¨a kulma. Vaihdetaan kulmien ]ABD ja ]ADB suuruudet kesken¨a¨an, jolloin kulmasta ]ABD tulee ter¨av¨a kulma ja kulmasta ]ADB tulee tylpp¨a kulma. T¨all¨oin korkeus DE saadaan suunnikkaan sis¨alle, jolloin pisteiden j¨arjestys onA∗E∗B,mik¨a todistettiin jo (1)-kohdassa.

Lause 5.4. Olkoon suorakulmio ABCD ja jana AE, jolle p¨atee seuraavaa:

AB < AE <2AB.T¨all¨oin suorakulmioABCDvoidaan osittaa suorakulmiok- si, jonka toisen sivun pituus onAE.

Todistus. Olkoon annettuna suorakulmioABCDja pisteE,joka kuuluu sivun ABjatkeelle siten, ett¨aA∗B∗E.Piirret¨a¨an janaDE,joka leikkaa sivuaBC pisteess¨a F. Valitaan piste G sivulta AD siten, ett¨a GD ∼= BF. Piirret¨a¨an annetuista pisteist¨a suorakulmio AEHG. Olkoon piste L sivun CB ja GH leikkauspiste ja pisteK jananDE ja sivunGH leikkauspiste. Kulmat]KDG ja]EF B ovat vuorokulmat, joten]KDG ∼=]EF B.Tiedet¨a¨an, ett¨a kulmat ]F BE ja]DGK ovat suoria kulmia. Lis¨aksiGD∼=BF,joten (KSK)-s¨a¨ann¨on nojalla

4DGK ∼=4F BE.

Koska kolmiot ovat yhtenev¨at, niinGK ∼=BE.Tiedet¨a¨an, ett¨aAB∼=DC.Kir- joitetaan sivuGH muiden sivujen avulla:GH=AE=AB+BE=AB+GK.

Tiedet¨a¨an my¨os, ett¨a GH =GK+KH.Yhdist¨am¨all¨a kaksi edellist¨a lauseket- ta, saadaan KH =AB=DC.Kulmat]DCF ja]KHE ovat suoria kulmia.

Lis¨aksi tiedet¨a¨an, ett¨a DC k GH ja jana DE leikkaa sivuja DC ja GH,niin ]CDF ∼= ]HKE. T¨all¨oin (KSK)-s¨a¨ann¨on nojalla 4CDF ∼= 4HKE. Toisi- aan vastaavat osat ovat4DGK∼=4F BE ja4CDF ∼=4HKE.Suorakulmio ABCD =ABF KG∪ 4DGK∪ 4CDF voidaan siis osittaa suorakulmioksi AEHG=ABF KG∪ 4F BE∪ 4HKE.

Kuva 5.3: SuorakulmionABCD ositus suorakulmioksiAEHG,jonka janan pituusAE oli annettuna.

Lis¨ahuomiona todistuksen toimivuuteen, pisteenF pit¨a¨a olla sivunBCkes- kipisteen alapuolella. Jos pisteF ei ole sivunBC keskipisteen alapuolella, niin osituksesta j¨a¨a ylim¨a¨ar¨aisen¨a palana kolmio4F LK (katso kuva alla).

Kuva 5.4: Tapaus, miss¨a suorakulmion ABCD ositus suorakulmioksi AEHG,jonka janan pituusAE oli annettuna, ei toimi.

Jos piste F on sivun BC keskipisteen yl¨apuolella tai sivun BC keskipiste, niin jana DE leikkaa sivun AB jatketta pisteess¨a M, jolle p¨ateeAM ≥2AB.

T¨am¨a on ristiriidassa oletuksen AB < AE <2AB kanssa, jolloin pisteenF on oltava sivunBC keskipisteen yl¨apuolella.

(Arkhimedeen aksiooma) Olkoon janat AB ja CD.On olemassa luonnolli- nen luku n siten, ett¨a kun janaa AB kopioidaan n kertaa per¨akk¨ain, on n¨ain saatu janan·ABpidempi kuin janaCD.

Lause 5.5. Oletetaan Arkhimedeen aksiooma. Olkoon suorakulmio ABCD ja jana EF. T¨all¨oin on olemassa suorakulmioEF GH, joka on samaosainen suorakulmionABCD kanssa.

Todistus. K¨ayd¨a¨an kaikki kolme tapausta l¨api todistuksessa.

(1) Jos 2AB < EF,niin katkaistaan suorakulmioABCDpuoliksi ja muo- dostetaan puolikkaista uusi suorakulmio. Uuden suorakulmion korkeus on puo- let ja kanta kaksinkertainen alkuper¨aiseen suorakulmioon verrattuna. Arkhime- deen aksiooman nojalla voidaan sanoa, ett¨a jos jatketaan uuden sivun A⁰B⁰ tuplaamista riitt¨av¨an monta kertaa (¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a), niin lopulta saadaan ja- na 2A⁰B⁰ suuremmaksi kuin janaEF eliEF <2A⁰⁰B⁰⁰.Vastaavalla tavalla jos AB > EF,niin Arkhimedeen aksiooman nojalla voidaan sanoa, ett¨a jos jatke- taan sivunA⁰B⁰ puolittamista riitt¨av¨an monta kertaa (¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a), niin lopulta A⁰⁰B⁰⁰ < EF. N¨ain ollen saadaan A⁰⁰B⁰⁰ < EF < 2A⁰⁰B⁰⁰. Nyt v¨aite seuraa lauseen 5.4 nojalla.

(2) Jos AB < EF < 2AB, niin suorakukulmiota ei tarvitse puolittaa tai tuplata, vaan v¨aite seuraa suoraan lauseen 5.4 nojalla.

(3) JosAB=EF,niin v¨aite seuraa suoraan.

Kuva 5.5: Sivun AB tuplaaminen ja sivun AB puolittaminen kuvannollisesti havainnollistettuna.

Lause 5.6. OlkoonEF jana jaP monikulmio. Monikulmio P voidaan osittaa suorakulmioksi, jonka toisen sivun pituus onEF.

Todistus. Jaetaan monikulmio P ¨a¨arelliseen m¨a¨ar¨a¨an kolmioita T1, T2, ..., Tn. Ositetaan jokainen kolmio Ti suunnikkaiksi (lause 5.1), sitten suorakulmioiksi (lause 5.3) ja lopuksi suorakulmioiksiRi, joiden kanta on jananEF mittainen (lause 5.5). Pinotaan suorakulmiotR1, R2, ..., Rn p¨a¨allek¨ain ja saadaan suora- kulmio, jonka kanta onEF.

5.2 Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause

Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause tunnetaan my¨os nimell¨a Bolyain ja Gerwie- nin lause. Monissa eri teoksissa vertaillaan William Wallacen, Farkas Bolyain sek¨a Paul Gerwienin osuuksia kyseisen lauseen muotoilemisesta sek¨a todistami- sesta. Vertaillaan seuraavaksi muutamia l¨ahteit¨a aiheesta.

Ryan Kavanagh [7, s.1] kirjoittaa, ett¨a vuonna 1814 William Wallace esit- ti seuraavan v¨aitteen: On mahdollista jakaa kaksi yht¨a suurta, mutta erilaista monikulmiota samaan m¨a¨ar¨a¨an kolmioita, niin ett¨a molempien monikulmioiden kolmiot ovat identtiset. Kavanagh tuumii, ett¨a koska v¨aite tuntuu luonnollises- ti olevan totta, ehk¨a sen takia moni on halunnut todistaa v¨aitteen Wallacen lis¨aksi. Esimerkiksi Farkas Bolyai n¨aytti vuonna 1832, ett¨a mik¨a tahansa tasos- sa oleva monikulmio voidaan ”muuntaa” suorakaiteeksi, jolla on sama pinta-ala kuin alkuper¨aisell¨a monikulmiolla. Paul Gerwien taas antoi oman todistuksensa vuonna 1833.

KirjassaMathematical Olympiad Challenges Andreescunin ja Gelcanin mu- kaan lause on ainoastaan todistettu Bolyain ja Gerwienin toimesta [1, s. 13- 14]. Kun taas Frederickson kirjoittaa kirjassaanDissections: Plane and Fancy Wallaceen ehtineen ensin todistamaan tuloksen vuonna 1807, mutta h¨an jul- kaisi todistuksensa laajennettuna vasta vuonna 1831 [5, s. 222]. Fredericksonin mukaan Bolyai olisi todistanut lauseen vasta vuonna 1832 ja Gerwien vuonna 1833. Stewart taas kutsuu kirjassaanFrom Here to Infinity lausetta Bolyain ja Gerwienin lauseeksi, koska Bolyai esitti ilmoille kysymyksen, johon Gerwien vas- tasi vuonna 1833 [12, s. 169]. Stewart kuitenkin lis¨a¨a, ett¨a Wallacella oli todistus jo aikaisemmin vuonna 1807.

Lause 5.7 (Wallace, Bolyai, ja Gerwien). Oletetaan Arkhimedeen aksiooma.

Kaksi monikulmiota P ja Q ovat samaosaisia, jos ja vain jos niill¨a on sama pinta-ala.

Todistus. Kyseess¨a on jos ja vain jos lause, joka todistaan molempiin suuntiin.

”⇒” Samaosaisilla monikulmioillaPjaQon samat osat. M¨a¨aritelm¨an 2.1 koh- dan (2) nojalla yhtenevill¨a osakolmioilla on yht¨a suuret pinta-alat. Lasketaan n¨am¨a pinta-alat yhteen m¨a¨aritelm¨an 2.1 kohdan (3) nojalla, jolloin monikul- mioidenP jaQalat ovat yht¨a suuret.

”⇐” Oletetaan, ett¨a monikulmioidenP jaQpinta-alat ovat yht¨a suuret. Halu- taan todistaa monikulmioidenP jaQsamaosaisuus. Lauseen 5.6 nojalla moni- kulmiotP jaQvoidaan osittaa suorakulmioiksiP⁰ jaQ⁰,niin ett¨a toisen sivun pituus molemmissa suorakulmioissa on 1. Olkoon ositetun suorakulmionP⁰ si- vut 1 jaasek¨a ositetun suorakulmionQ⁰ sivut 1 jab.T¨all¨oin suorakulmioiden pinta-alat ovat

α(P⁰) = 1·a=a ja α(Q⁰) = 1·b=b.

Koska oletettiin monikulmioiden P ja Q pinta-alat yht¨a suuriksi, niin my¨os suorakulmioidenP⁰ jaQ⁰ pinta-alat ovat yht¨a suuret. T¨all¨oin

a=α(P⁰) =α(Q⁰) =b,

mist¨a saadaana=b.Koska sivutajabovat yht¨a suuret, niin suorakulmiot ovat yhtenev¨at. Lauseen 3.3 samaosaisuuden transitiivisuuden nojalla monikulmioP voidaan osittaa monikulmioksiQ.MonikulmiotP jaQovat siis samaosaisia.

Lause 5.7 sanoo, ett¨a jos kaksi monikulmiota voidaan pilkkoa samanlai- siin osiin, joista voidaan muodostaa toinen monikulmio, niin monikulmioiden pinta-alat ovat yht¨a suuret, tai jos tiedet¨a¨an kahden monikulmion pinta-alojen yht¨asuuruus, voidaan toinen monikulmio osittaa toiseksi monikulmioksi. Lause on hyvin hy¨odyllinen, sill¨a sen avulla pystyt¨a¨an tiet¨am¨a¨an, voiko kahdelle eri monikulmiolle tehd¨a ositusta. Jos kahdella eri monikulmiolla on eri pinta-alat, voidaan jo varmasti sanoa ettei ositus onnistu. Jos taas kahden eri monikul- mion pinta-alat ovat yht¨a suuret, tiedet¨a¨an osituksen olevan mahdollista. Lause ei kuitenkaan kerro sit¨a, miten monikulmion pilkkominen osiin kannattaa tehd¨a.

Monikulmioita voidaan osittaa usealla eri tavalla. Usein toimivan osituksen l¨oyt¨aminen onkin hyvin haastavaa, mutta se ei ole kuitenkaan matemaattisesti vaikeaa. T¨am¨an vuoksi osittaminen antaa hyv¨an yleisen teorian monikulmioi- den koon tutkimiselle, mutta ei ole yleens¨a k¨ayt¨ann¨ollisin tapa tutkia pinta-alaa osituksen l¨oyt¨amisen haastavuuden vuoksi.

Seuraavaksi p¨a¨ast¨a¨an tutustumaan johdannossa esiteltyyn ongelmaan, miten tasasivuinen kolmio voidaan osittaa neli¨oksi, jolla on sama pinta-ala. Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lauseen nojalla tasasivuinen kolmio voidaan osittaa ne- li¨oksi, sill¨a monikulmiot ovat samankokoisia eli niill¨a on yht¨a suuri pinta-ala.

Tasasivuisen kolmion jakaminen nelj¨a¨an osaan ja osittaminen neli¨oksi tunnetaan paremmin Haberdasherin ongelmana.

Lause 5.8(Haberdasherin ongelma). Tasasivuinen kolmio voidaan pilkkoa nel- j¨a¨an osaan, joista saadaan muodostettua neli¨o.

Todistus. Todistus mukailee l¨ahdett¨a [4, s. 8-9].

Olkoon tasasivuisen kolmion sivun pituus a. T¨all¨oin kyseisen kolmion kor- keus on

√3a

2 ,jolloin tasasivuisen kolmion pinta-ala on

√3a²

4 .Koska tasasivuisel- la kolmiolla ja neli¨oll¨a on sama pinta-ala, niin Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lauseen nojalla ositus voidaan tehd¨a. T¨all¨oin neli¨on sivun pituus on ⁴

√3a 2 .Piir- ret¨a¨an tasasivuinen kolmio 4ABC, jonka sivun pituus on a. Olkoon piste D sivunAB keskipiste ja piste E sivunBC keskipiste. Piirret¨a¨an janaAF siten, ett¨a pisteF kuuluu jananAE jatkeelle jaBE=EF=a/2 (katso kuva).

Olkoon piste G janan AF keskipiste. Piirret¨a¨an G-keskinen ympyr¨a s¨ateell¨a AG.Olkoon ympyr¨an ja sivunBCjatkeen leikkeuspisteH siten, ett¨aC∗B∗H.

Nyt tiedet¨a¨an, ett¨a s¨ade

AG= AE+EF

2 =

√ 3a 2 +^a₂

2 =

√3a+a

4 .

S¨ateenAGavulla saadaan selville jananEGpituus, joka on EG=AE−AG=

√3a

2 −

√3a+a

4 = a√

3−a

4 .

Kuva 5.6: Tasasivuisen kolmion jako nelj¨a¨an osaan, joista muodostetaan neli¨o samalla pinta-alalla.

Tiedet¨a¨an my¨os, ett¨aGH =AG,koska ne ovat saman ympyr¨an s¨aiteit¨a. Suora- kulmaisen kolmion 4HEG kaksi sivun pituutta tiedet¨a¨an, joten Pythagoraan lauseen avulla saadaan tietoon sivun EH pituus, joka on ⁴

√3a

2 . Piirret¨a¨an E- keskinen ympyr¨a, jonka s¨ade on EH. Ympyr¨a leikkaa sivua AC pisteess¨a I.

S¨ateet EH ja EI ovat yht¨a suuria eliEH =EI = ⁴

√3a

2 , mik¨a on my¨os halu- tun neli¨on sivun pituus. Olkoon kulmaα=]EIC.Sinilauseen avulla saadaan yht¨al¨o

EC

sin(α)= EI sin(60^◦), josta saadaan ratkaistua sin(α) = ⁴

√3

2 .Valitaan pisteJ siten, ett¨aJ I =^a₂ =EC ja pisteLsiten, ett¨a janaJ Lon kohtisuorassa janaaEI vastaan. Valitaan viel¨a pisteK∈EI siten, ett¨a janaDK on kohtisuorassa janaaEI vastaan. Nyt sinin m¨a¨aritelm¨an nojalla saadaan yht¨al¨o

sin(α) =J L IJ, josta saadaan ratkaistua sivu J L = ⁴

√3a

4 . Sivu J L on siis puolet neli¨on sivun pituudesta (katso alla oleva kuva).

Halutaan n¨aytt¨a¨a, ett¨a tasasivuisen kolmion janojen KI ja LI summa on neli¨on sivun pituus ⁴

√3a

2 ,sill¨a janojen KI jaLI summa vastaa neli¨oss¨a janojen K⁰I⁰jaI⁰L⁰summaa. Halutaan my¨os n¨aytt¨a¨a, ett¨a tasasivuisen kolmion janojen ELjaEK summa on neli¨on sivun pituus ⁴

√3a

2 ,sill¨a janojenELjaEK summa vastaa neli¨oss¨a janojenK⁰⁰E⁰ jaE⁰L⁰⁰summaa.

JanaEI voidaan kirjoittaa janojenEL jaLI summana tai janojenEK ja KI summana eliEI=EL+LI jaEI=EK+KI.Koska tiedet¨a¨an, ett¨a jana

Kuva 5.7: Tasasivuisen kolmion ositus neli¨oksi.

EI on neli¨on sivun pituus ⁴

√3a

2 ,niin my¨os EL+LI=

√4

3a

2 ja EK+KI=

√4

3a 2 . Muokataan yht¨al¨ot muotoonLI= ⁴

√ 3a

2 −ELjaKI= ⁴

√ 3a

2 −EK.Nyt voidaan kirjoittaa

KI+LI=

√4

3a

2 −EK+

√4

3a

2 −EL=√⁴

3a−(EK+EL) =

√4

3a 2 . T¨am¨a tarkoittaa, ett¨a janojenKI jaLIsumma on neli¨on sivun pituus. Vastaa- valla tavalla voidaan n¨aytt¨a¨a, ett¨a janojen KE ja LE summa on neli¨on sivun pituus. Nyt on saatu n¨aytetty¨a, ett¨a neli¨on sivutK⁰L⁰ jaK⁰⁰L⁰⁰ ovat pituudel- taan ⁴

√3a

2 ,niin kuin haluttiin, joten yll¨a olevan kuvan ositus toimii.

5.3 Pythagoraan lause

Kappaleessa 2 esiteltiin Pythagoraan lause 2.6 ja todistettiin se pinta-alafunktion m¨a¨aritelm¨an avulla. Todistetaan nyt lause uudestaan hy¨odynt¨am¨all¨a osittamis- ta. Todistuksen ideana on osittaa neli¨ot a², b² ja c² konkreettisiin osiin ja n¨aytt¨a¨a, ett¨a neli¨oidena²jab² osat ovat yhtenevi¨a neli¨onc²osien kanssa.

Lauseen 2.6 todistus osittamalla. Piirret¨a¨an kolmion 4ABC jokaiseen sivuun kiinni neli¨ot a², b² ja c². Neli¨oiden sivun pituudet ovat a = AB, b = AC ja c = BC sek¨a oletetaan, ett¨a a < b. Nimet¨a¨an neli¨ot seuraavasti: sivun AB neli¨o onABDE,sivunAC neli¨o on ACF G ja sivunBC neli¨o onBCRS.

Todistuksen tarkoituksena on konkreettisesti osittaa neli¨ot, niin ett¨a voidaan todeta

α(ABDE) +α(ACF G) =α(BCRS).

Olkoon piste O neli¨on ACF G keskipiste. Piirret¨a¨an janat HJ ja KL, jot- ka kulkevat pisteen O kautta. JanaHJ on yhdensuuntainen sivun CR kanssa ja janaKL on yhdensuuntainen sivun BC kanssa. Olkoon piste M sivunBC keskipiste,N sivunCR keskipiste, P sivunRS keskipiste ja QsivunSB kes- kipiste. Piirret¨a¨an pisteidenN jaQ kautta suorat, jotka ovat yhdensuuntaisia sivunAC kanssa. Vastaavalla tavalla piirret¨a¨an pisteiden M ja P kautta suo- rat, jotka ovat yhdensuuntaisia sivunABkanssa. Merkit¨a¨an edell¨a mainittujen suorien leikkauspisteit¨a kirjaimillaX, Y, Z jaW (katso kuva). PisteetX, Y, Z jaW muodostavat neli¨onXY ZW neli¨onBCRS sis¨alle.

Kuva 5.8: Pythagoraan lauseen neli¨oidena², b² jac²konkreettiset ositus palat.

Nimet¨a¨an neli¨oiden sis¨all¨a olevat monikulmiot. Olkoon monikulmioGHOK numero 1, monikulmioF HOLnumero 2,monikulmioCJ OL numero 3, moni- kulmio AKOJ numero 4, monikulmio ABDE numero 5, monikulmioN RP Y