Matematiikan olympiavalmennus 2015 – helmikuun helpom- mat teht¨av¨at

Matematiikan olympiavalmennus 2015 – helmikuun helpom- mat teht¨av¨at

Vastaukset seuraavaan valmennusviikonvaihteeseen P¨aiv¨ol¨a¨an tai osoitteeseenMatti Leh- tinen, Taskilantie 30 A, 90580 Oulutai s¨ahk¨opostitsematti.lehtinen@spangar.fi. – Jos haluat, ett¨a ratkaisusi otetaan huomioon, kun valitaan Suomen edustajia kev¨a¨an Pohjoismaiseen matematiikkakilpailuun, l¨ahet¨a vastauksesi niin, ett¨a ne ovat perill¨a vii- meist¨a¨an 9.3.

1. M¨a¨arit¨a kolmiot, joiden kulmilleα, β, γ p¨atee cosαcosβ+ sinαsinβsinγ = 1.

2. Kolmion kulmat ovat α, β, γ. M¨a¨arit¨a lausekkeen sin²α+ sinβsinγcosα suurin mah- dollinen arvo.

3. ABC on suorakulmainen kolmio. Piste F on kateetilla AC ja E hypotenuusalla AB;

suoraF E ja puolisuoraCB leikkaavat pisteess¨a D. M¨a¨arit¨a pisteen E et¨aisyysx suorasta AC kulmien α =∠BAC ja β =∠DF C ja hypotenuusien AB =cja F D=d funktiona.

4. On annettu suunnikas. M¨a¨arit¨a pienin mahdollinen vinoneli¨o, jonka jokainen k¨arki on yhdell¨a suunnikkaan sivuista.

5. Osoita, ett¨a kolmiossa k¨arke¨a C vastassa olevan sivuympyr¨an s¨ade on rc = 4Rcos α

2 cosβ 2 sinγ

2, miss¨a R on kolmion ymp¨arysympyr¨an s¨ade ja α, β, γ kolmion kul- mat.

6. Todista, ett¨a jos x, y, z ovat positiivisia lukuja, niin x²

y² + y² z² + z²

x² ≥ y x + z

y + x z.

7. Luvut xi, i = 1, 2, . . . , n, toteuttavat ehdon 0≤xi <1. Todista, ett¨a 2ⁿ⁻¹(1 +x1x2· · ·xn)≥(1 +x1)(1 +x2)· · ·(1 +xn).

8. Olkoon x >0 ja n positiivinen kokonaisluku. Osoita, ett¨a 1−x²ⁿ⁺¹

1−x ≥(2n+ 1)xⁿ. 9. Olkoon a, b, c, d positiivisia lukuja. Osoita, ett¨a

a²+b²+c²

a+b+c + b²+c²+d²

b+c+d + c²+d²+a²

c+d+a + d²+a²+b²

d+a+b ≥a+b+c+d.

10. Todista, ett¨a kaikilla reaaliluvuilla x, y, z p¨atee

x⁴(1 +y⁴) +y⁴(1 +z⁴) +z⁴(1 +x⁴)≥6x²y²z².

11. Etsi kaikki funktiot f:Z+ −→Z+, joille kaikillan∈Z+ p¨atee f(f(n)) =n+ 1.

12. Etsi kaikki funktiot f:R−→R, joille kaikillax, y∈R p¨atee f(xf(y)) = xy.

13. M¨a¨aritell¨a¨an jono a1, a2, a3, . . .positiivisia reaalilukuja asettamallaa1 = 1 ja an+1 = 2an+

3a²_n−2

jokaisella n∈Z+. Osoita, ett¨a luvut a1,a2, . . .ovat kaikki kokonaislukuja.

14. Etsi kaikki funktiot f:R−→R, joille p¨atee

2f(x) +f(−x) =x³ kaikillax ∈R.