Matematiikan olympiavalmennus 2015 – helmikuun vaikeam- mat teht¨av¨at
Vastaukset seuraavaan valmennusviikonvaihteeseen P¨aiv¨ol¨a¨an tai osoitteeseenMatti Leh- tinen, Taskilantie 30 A, 90580 Oulutai s¨ahk¨opostitsematti.lehtinen@spangar.fi.
– Jos haluat, ett¨a ratkaisusi otetaan huomioon, kun valitaan Suomen edustajia kev¨a¨an Pohjoismaiseen matematiikkakilpailuun, l¨ahet¨a vastauksesi niin, ett¨a ne ovat perill¨a vii- meist¨a¨an 9.3.
1. Olkoon p≥1 ja x, y, z >0. Osoita, ett¨a 1
232−p(x+y+z)p−1 ≤ xp
y+z + yp
x+z + zp x+y.
2. Olkoot luvutx1, x2, . . . , xn positiivisia, ja olkoonS niiden summa. Osoita, ett¨a n2
2n−1 ≤ S
2S−x1 + S
2S−x2 +· · ·+ S 2S−xn.
3. a) Todista, ett¨a jos kolmion sivut ovat a, b, c, sivua avastaaava kulma on α ja kolmion ala on A, niin
a2 = (b−c)2+ 4Atan
α
2
. b) Osoita, ett¨a a)-kohdan merkint¨oj¨a k¨aytt¨aen kolmioille p¨atee
a2+b2+c2 ≥(a−b)2+ (b−c)2+ (c−a)2+ 4√ 3A 4. Olkoot a, b, c >0, ja lis¨aksi p¨atee a+b+c=abc. Todista, ett¨a
√ 1
1 +a2 + 1
√1 +b2 + 1
√1 +c2 ≤ 3 2. (Vihje: Voisivatko luvut a, b, c liitty¨a jotenkin kolmioon?) 5. Olkoot a0, . . . , an lukuja v¨alill¨a
0, π
2
niin, ett¨a tan
a0− π 4
+ tan
a1− π 4
+· · ·+ tan
an− π 4
≥n−1.
Osoita, ett¨a tana0tana1· · ·tanan≥nn+1.
6. Etsi kaikki funktiot f:Z+−→Z+, joille kaikillan∈Z+ p¨atee f(f(f(n))) +f(f(n)) +f(n) = 3n.
7. Etsi kaikki funktiotf:Z+∪ {0} −→Z, joille kaikilla n∈Z+ p¨atee f(0) = 0,f(1) = 1 ja f(n+ 1)−3f(n) +f(n−1) = 2(−1)n.
8. Etsi kaikki funktiot f:R+−→R+, joille p¨atee f(f(x)) = 6x−f(x) kaikillax ∈R+.
9. Olkoon f:Z+ −→ Z+ kasvava funktio, jolle f(mn) = f(m)f(n) kaikilla kesken¨a¨an yhteistekij¨att¨omill¨a luvuilla m, n ∈ Z+. Osoita, ett¨a on olemassa kokonaisluku α 0 siten, ett¨af(n) =nα kaikilla n∈Z+.
10. Mitk¨a s¨a¨ann¨olliset monikulmiot ovat tason ja kuution mahdollisia leikkauksia?
11. Olkoon P tetraedrin ABCD sis¨apiste ja olkoot x1, x2, x3, x4 P:n et¨aisyydet tasoista BCD, ACD, ABD, ABC sek¨ah1, h2, h3, h4 tetraedrin k¨arjist¨aA, B, C, Dpiirretyt kor- keusjanat. Osoita, ett¨a
4
i=1
xi
hi = 1.
12. Olkoot M ja K tetraedrin ABCD s¨armien AB ja CD keskipisteet. Osoita, ett¨a jokainen pisteiden M ja K kautta kulkeva taso jakaa ABCD:n kahdeksi tilavuudeltaan yht¨a suureksi monitahokkaaksi.
13. Olkoot a, b, c, d reaalilukuja jaa+b+c = 0. Osoita: A, B, C pisteit¨a avaruudessa, niin kaikki pisteet P, joille a·P A2+b·P B2+c·P C2 =d, ovat samassa tasossa.
14. Olkoon P pallo ja pisteet Aja B sen ulkopuolella. Osoita, ett¨a ne pisteet, joissa A:sta ja B:st¨a P:lle piirretyt tangentit voivat leikata, ovat kahdessa tasossa. [Vihje: edellisest¨a teht¨av¨ast¨a on hy¨oty¨a.]
