Analyysi I
Harjoitus 7/2003
Huom! Maanantaina 20.10 luento 14-16 (M4). Keskiviikkona 22.10 ei luentoa.
1. Osoita Lauseen 3.1.6 avulla, ett¨a funktiolla f(x) =
( x, kunx <2
−x2, kunx≥2 ei ole raja-arvoa pisteess¨a 2.
2. Olkoon
f(x) =
( 0, kun x∈Q 1, kun x∈R\Q.
Osoita Lauseen 3.1.6 avulla, ett¨a funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteess¨a x0 ∈R.
3. M¨a¨ar¨a¨a raja-arvot (a) limx→2 x2−4
x4+x, (b) limx→2 x3−8
x2−4. 4. M¨a¨ar¨a¨a raja-arvot
(a) limx→2 (x2 −3)7 (x+ 1) +√
x, (b) limx→0
√2 +x−√
√ 2
3 +x−√
3 (Vihje! Lavenna kahdesti.) 5. M¨a¨ar¨a¨a raja-arvo
x→−2lim (x2−4)f(x), miss¨a f on Teht¨av¨an 2 funktio.
6. Olkoonf(x) =q|x|. Osoita raja-arvon m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen, ett¨a limx→0f(x) = 0.
7. Todista raja-arvon m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen kuristusperiaate: Olkootf, g:B0(x0, r)→ R funktioita siten, ett¨a
(a) 0≤ |g(x)| ≤ |f(x)| kaikillax∈B0(x0, r), (b) limx→x0f(x) = 0.
T¨all¨oin limx→x0g(x) = 0. (Vihje! Katso mallia lukujonojen kuristusperiaatteen to- distuksesta.)
