Ax + By = C

(1)

Kahden muuttujan yhtälöt Ax + By = C

- Yhtälö, jossa x jay ensimmäistä astetta kuvaaja suora

ratkaistaan tarvittaessa yhtälö y:n suhteen

(2)

E.1.

Piirrä suora 6x + 2y = 2 6x + 2y = 2

2y = -6x + 2 |:2

y = -3x +1

k = -3

(0,1) suoralla oleva piste

(3)

E.2. Missä pisteessä -3x + 4y = 12 leikkaa koordinaattiakselit?

Suoran ja x-akselin leikkauspiste:

y=0:

-3x + 4



0 = 12

-3x = 12 |:(-3)

x = -4 V: (-4,0)

Suoran ja y-akselin leikkauspiste:

x=0:

-3



0 + 4



y = 12

4y = 12

^|:4

y = 3

V: (0,3)

(4)

E.3.

Onko piste (12,10) suoralla 2x - 3y + 6 = 0?

2



12 - 3



10 + 6 = 0 24 - 30 + 6 = 0 0 = 0

tosi

V: On

(5)

E.4. (t. 13b)

Millä vakion a arvolla suora kulkee pisteen (-1, 2) kautta?

x + ay + 2a = 0

(-1, 2) toteuttaa yhtälön, sijoitus:

-1 + 2a +2a = 0

4a = 1

a = 1/4

(6)

T:

2, 3, 4, 5, 6

9, 10 12, 13 – näistä b-kohdat!

K:

9a 10a 11 12a 13a

(7)

Suoran yhtälö

y = kx + b

k = kulmakerroin

b = suoran ja y-akselin leikkauspisteen y-koordinaatti

E.1.

y = 3x + 4

•k = 3

•leikkaa y-akselin pisteessä (0,4)

(8)

”Piirrokset”

Huom.

Yhdensuuntailla suorilla siis sama kulmakerroin

(9)

Huomaa akselien suuntaiset suorat y = b (x-akselin suuntainen, k = 0)

x = a (y-akselin suuntainen, ei olemassa k:ta)

x = a y = b

(10)

Jos suoralta tunnetaan

piste (x

₀

, y

₀

) ja kulmakerroin k, suoran yhtälö:

y - y

₀

= k(x - x

₀

) E.2.

Kulmakerroin on 4 ja suoralla on piste (2, -3).

Mikä on suoran yhtälö?

y - (-3) = 4(x - 2) y + 3 = 4x - 8

y = 4x - 8 -3

y = 4x - 11

(11)

YHTÄLÖPARI

E.1.

Tutki toteuttavatko, x = -1 ja y = -2 yhtälöparin













0 5 3

0 2

y x

Sijoitetaan luvut yhtälöihin:

I:

2  (-1) – (-2) = 0 -2 + 2 = 0 0 = 0 tosi

II:

3  (-1) + (-2) + 5 = 0 -3 - 2 + 5 = 0 0 = 0 tosi

V: luvut toteuttavat molemmat yhtälöt, siis yhtälöparin

(12)













0 5 3

0 2

y x

Elimonointi- eli yhteenlaskumenetelmä E.2.a) Ratkaise yhtälöpari

(13)

b) (46a). Ratkaise yhtälöpari













7 4

10 2

4

y x

y

x _{| 2}

| 1









 7 4y

x

20 4y

- 8x

9x = 27 x = 3

V: x = 3, y = 1

y sijoittamalla 3 + 4y = 7

4y = 7 – 3 4y = 4

y = 1

Tarkistus:

4  3 – 2  1 = 10 ./.

3 + 4  1 = 7 ./.

(14)

1) Samanmuotoiset termit allekkain

2) Yhtälöt kerrotaan sopivilla luvuilla siten, että toisen tuntemattoman kertoimiksi tulevat vastaluvut

3) Yhtälöt lasketaan yhteen , josta voidaan toinen tuntematon ratkaista

4) Toinen tuntematon ratkaistaan sijoittamalla jompaan kumpaan yhtälöön (tai käyttämällä yhteenlaskukeinoa uudestaan)

(15)

E.3. Ratkaise E.2. sijoitusmenetelmällä Ratkaistaan ensin y 1. yhtälöstä:

2x – y = 0 y = 2x

Sijoitetaan toiseen yhtälöön:

3x + 2x + 5 = 0 5x = -5 x = -1 y sijoittamalla:

y = 2  (-1) = – 2 V: x = -1, y = -2













0 5

3

0 2

y x

(16)

E.4. Ratkaise E.2. graafisesti

2x – y = 0 y = 2x

V: x = -1, y = -2 Huom:

Aina likiarvo!

Laske aina, jos ei nimenomaan pyydetä graafista ratkaisua

3x + y + 5 = 0

y = -3x – 5

(17)

Jos yhtälöiden esittämät suorat ovat yhdensuuntaiset, niin yhtälöparilla ei ole ratkaisua (vastauksena epätosi yhtälö ilman muuttujaa, esimerkiksi ”0 = 6”)

Jos yhtälöiden esittämät suorat ovat samat, niin yhtälöparin ratkaisuna ovat suoran kaikki pisteet (vastauksena tosi yhtälö ilman muuttujaa, esimerkiksi

”0 = 0”)

(18)

E.5. Ratkaise yhtälöpari















0 7

4 8

0 7

2 4

y x

y

x _{| (-2)}

| 1

















0 7 4y 8x

0 14

4y 8x

-21 = 0 epätosi

V: Yhtälöllä ei ole ratkaisua

(19)

E.6. Ratkaise yhtälöpari













1 2

0 1 2

x y

y x

0 = 0 tosi

V: Kaikki suoran x – 2y + 1= 0 pisteet



















0 1 2y x

(20)

Yhtälöparin sovelluksia

E.1. Kuinka monta kanaa ja kania on miehen säkissä, kun päitä on yhteensä 8 ja jalkoja 22?

x = kanojen lkm y = kanien lkm













22 4y

2x

8 y

x _{| (-2)}

| 1













22 4y

2x

16 2y

- 2x -

2y = 6 | :2 y = 3

Sijoittamalla:

*)x + 3 = 8

x = 8 – 3 x = 5

V: 5 kanaa ja 3 kania

*

(21)

E.2. Asuntolainan korko 9,0%

Autolainan korko 10,0 %

Lainojen yhteismäärä on 140 000 € Korkomenoja vuodessa 13 200 €.

Kuinka suuria lainat ovat?

x = asuntolaina y = autolaina













13200

10 , 0 0,09x

140000 y

x

y

| 1

| (-10)

0,1x = 8000 | :0,1 x = 80000

Sijoittamalla

80000 + y = 140000

y = 140000 - 80000 y = 60000

V: Asuntolaina 80 000 € ja autolaina 60 000 €













32000 1

-

0,9x -

140000

y

x

y

(22)

Kirjan esimerkit s. 30 – 33

Tee yhtälöparilla

57: Juha x, Tiina y yhteensä 217

Tiina – Juha = 35

59: ks. E.1. (kana / kanit)

60: 50 sentin pulla x, 25 sentin y yhteensä 240

tulot 109

64: Johannan osuus x, Markon osuus y 65, 61, 62, 63, 66

K: 68, 69, 72, 76

(23)

68.

x = alkumatka y = loppumatka









23 x

- y

135

x y

2y = 158 | :2 y = 79













23 y

x -

135 x y

V: Matkaa jäljellä 79 km

(24)

69

421 katsojaa

lapset = x (2 euroa) aikuiset = y (5 euroa) tulot 1760 euroa













1760 5

2

421

y x

y

x ^{| (-2)}

| 1













1760

y 5 2x

842 2y

- 2x -

3y = 918

V: 115 lastenlippua ja 306 aikuisten lippua x sijoittamalla

x + 306 = 421

x = 421 – 306 x = 115

| :3

y = 306

(25)

72. Käyttötili, korko 2 % Talletustili, korko 3,5 % Talletus yhteensä 2 150 € Korkotuloja vuodessa 64 €.

Kuinka suuret talletukset tileille?

x = käyttötili y = talletustili













64 035

, 0 0,02x

2150 y

x

y

| 1

| (-50)

-0,75y = -1050 | :(-0,75) y = 1400

x sijoittamalla:

x + 1400 = 2150

x = 2150 - 1400 x = 750

V: Käyttötilillä 750 € ja talletustilillä 1400 €













3200 -

1,75y

x -

2150

y x

(26)

76.

Peruskorvattavat lääkkeet, KELA korvaa puolet 8,41 € ylittävästä osasta Erityiskorvattavat lääkkeet, 75 % 4,20 € ylittävästä osasta

Yhteishinta 51,01

Potilas maksaa 23,16 €

KELA maksaa 51,01 -23,16 = 27,85 (€) x = peruskorvattavat, y = erityiskorvattavat















85 , 27 )

20 , 4 (

75 , 0 8,41) -

0,5(x

01 , 51 y

x

y

| :(-0,5)

-0,5y = -19,40

| :(-2)

y = 38,80 x sijoittamalla:

x + 38,80 = 51,01

x = 51,01 – 38,80 x = 12,21

V: Peruskorvattavat lääkkeet 12,21 € Erityiskorvattavat

lääkkeet 38,80 €















85 , 27 15

, 3 75

, 0 4,205 -

0,5x

01 , 51 y

x

y













205 ,

35

75 , 0 0,5x

01 , 51 y

x

y















41 , 70

5 , 1 x

-

01 , 51 y

x

y