1. KOEALUE
1. Itseisarvoyhtälöt ja – epäyhtälöt 2. Suora koordinaatistossa
1.1 Itseisarvo 2.1 Piste ja jana koordinaatistossa. Käyrän yhtälö 1.2 Itseisarvoyhtälöt 2.2 Suora y = kx + b
1.3 Itseisarvoepäyhtälöt 2.3. Suora ax + by + c = 0
Vanhoja koetehtäviä
LUKU 1
7. Ratkaise a) yhtälö | 2x - 10 | = 3x b) epäyhtälö | x + 1 | + 2 > 3x - 4
7. a) | 2x -
2x - 10 = 3x TAI 2x - 10 = -3x ; -x = 10 TAI 5x = 10 ; (x = -10 TAI) x = 2 V: x = 2 b) | x + 1 | + 2 > 3x - 4 ; | x + 1 | > 3x - 6 ; x + 1 > 3x - 6 TAI x + 1 < - 3x + 6 -2x > -7 TAI 4x < 5 ; x < 3½ TAI x < 1¼
V: x < 3½
7. Ratkaise a) yhtälö | x + 5 | = 3x b) epäyhtälö | x | < 2x - 1
7. a) | x + 5 | = 3x MJ: x 0x + 5 = 3x tai x + 5 = - 3x ; -2x = - 5 tai 4x = - 5 ; x = 2½ (tai x = - 1,25) b) | x | < 2x - 1 ; - 2x + 1 < x < 2x - 1
- 2x + 1 < x JA x < 2x - 1 ; - 3x < - 1 JA -x < -1 ; x > 1/3 JA x > 1 ; x > 1
6. Ratkaise epäyhtälö | 2x + 1 | < 3x - 2
6. | 2x + 1 | < 3x - 2 -3x + 2 < 2x + 1 < 3x - 2 -3x + 2 < 2x + 1 JA 2x + 1 < 3x - 2
-5x < -1 JA -x < -3 x > 1/5 JA x > 3 x > 3
8. Ratkaise yhtälö a) | x - 1 | = 2x , b) | x – 1 | = | 3 – 2x | . 8. a) | x - 1 | = 2x EHTO: 2x 0 ; x - 1 = 2x TAI x - 1 = -2x ; (x = -1) TAI 3x = 1
b) | x - 1 | = | 3 - 2x | ; x - 1 = 3 - 2x TAI x - 1 = -3 + 2x ; 3x = 4 TAI 2 = x ; x = 4/3 TAI x = 2 6. Sievennä lauseke | 2x – 5 | + | 4 – x | , kun x < 2 .
6. Kun x < 2 on 2x - 5 < 0 ja siis |2x - 5| = -2x + 5 sekä 4 - x > 0 ja siis |4 - x| = 4 - x
|2x - 5| + |4 - x| = -2x + 5 + 4 - x = 9 - 3x 8. Ratkaise epäyhtälö | 2x - 7 | < x + 1
8. | 2x - 7 | < x + 1 -x - 1 < 2x - 7 < x + 1 -x - 1 < 2x - 7 JA 2x - 7 < x + 1
-3x < -6 JA x < 8 x > 2 JA x < 8 2 < x < 8 7. Ratkaise epäyhtälö | 2x - 1 | > 3x + 6
7. | 2x - 1 | > 3x + 6 2x - 1 > 3x + 6 TAI 2x - 1 < -3x - 6 -x > 7 TAI 5x < - 5
x < -7 TAI x < -1 x < -1
LUKU 2
1. Määritä luvun a arvo, kun piste (2,3) on käyrällä a(3x + a) = 2(y2 - 1)
4. Missä pisteiden (1,-2) ja (3,4) kautta kulkeva suora leikkaa suoran 2x + 5y = 26?
5. Mitkä suoran 3x + 4y = 5 suuntaisista suorista ovat pisteestä (2,1) etäisyydellä 3?
1. Kun (2,3) on käyrällä a(3x + a) = 2(y2 - 1) , niin sen koordinaatit toteuttavat yhtälön a(3·2 + a) = 2(32 - 1) ; a2 + 6a - 16 = 0 ; a = -6 ± 36 + 64
2 = -6 ± 10
2 ; a = 2 tai a = -8
4. Kulmakerroin: k = 4 + 2
3 - 1 = 3 . Yhtälö: y + 2 = 3(x - 1) ; y + 2 = 3x - 3 ; y = 3x - 5 LP : y = 3x - 5
2x + 5y = 26 ; 2x + 5(3x - 5) = 26 ; 2x + 15x - 25 = 26 ; 17x = 51 ; x = 3 y = 3 · 3 - 5 = 4 V: LP = (3,4)
5. Suoran 3x + 4y = 5 suuntaisten suorien parvi on 3x + 4y + c = 0 Määritetään c tiedosta "pisteen (2,1) etäisyys suoralle = 3"
|3·2 + 4 + c|
32 + 42 = 3||·5 ; | c + 10| = 15 ; c + 10 = ± 15 ; c = 5 tai c = -25 V: 3x + 4y + 5 = 0 tai 3x + 4y = 25
1. Mikä on suoran 5x + 2y = 7 kulmakerroin ja kuinka suuren kulman se muodostaa x-akselin kanssa?
2. Suora L kulkee pisteen (-5,1) kautta ja on suoran 3x + 4y = 1 suuntainen. Määritä L:n yhtälö.
5. Laske suorien 4x + 7y = 8 ja y = 8x + 9 välisten kulmien puolittajien yhtälöt.
1. 5x + 2y = 7 2y = -5x + 7 y = -2½x + 3½ ; k = - 2½ ; tan = - 2½ ; = -68,2°
2. L || 3x + 4y = 1 ; L on 3x + 4y = c. P = (-5,1) L ; 3·(-5) + 4·1 = c ; -11 = c ; L : 3x + 4y = -11
5. Olkoon piste P(x,y) suorien 4x + 7y = 8 ja y = 8x + 9 välisen kulman puolittajalla.
P:stä on yhtä pitkä matka kummallekin suoralle. |4x + 7y - 8|
16 + 49 = |8x - y + 9|
64 + 1 || · 65
|4x + 7y - 8| = |8x - y + 9| ; 4x + 7y - 8 = 8x - y + 9 tai 4x + 7y - 8 = - 8x + y - 9 4x - 8y + 17 = 0 tai 12x + 6y + 1 = 0
7. Määritä vakiot a ja b siten, että suora ax + 2y + b = 0 kulkee pisteen (-1, 2) kautta ja on suoran 3x + y - 2 = 0 suuntainen.
7. ax + 2y + b = 0 y = -½ax - ½b ; 3x + y - 2 = 0 ; y = -3x + 2 Suorat yhdensuuntaisia -½a = -3 ; a = 6 Piste (-1,2) suoralla 6·(-1) + 2·2 + b = 0 ; b = 2 V: a = 6 , b = 2
4. Laske pisteen (-1, 2) etäisyys pisteiden (5, 2) ja (-2, 9) kautta kulkevasta suorasta.
4. k = 9 - 2
-2 - 5 = -1. Suoran yhtälö: y - 2 = -1(x - 5) ; y -2 = -x + 5 ; x + y - 7 = 0 d = | -1 + 2 - 7 |
1 + 1 = 6
2 = 6 2
2 = 3 2
.
1. Suora, jonka kulmakerroin on ½, kulkee pisteen (1,1) kautta.
Missä pisteessä suora leikkaa a) y -akselin, b) x -akselin?
1. Suoran yhtälö: y - 1 = ½(x - 1) ; y - 1 = ½x - ½ ; y = ½x + ½. y-akselin leikkauspiste: (0, ½) x-akselin leikkauspiste: y = 0 ; ½x + ½ = 0 ; ½x = -½ ; x = -1 ; (-1, 0)
