Algebra III
Loppukoe 25.2.2008 (T. Matala-aho)
EI LASKIMIA, EI MATKAPUHELIMIA
1. Oletetaan, ett¨aA, B, C ovat R-moduleita ja f, g ovat R-kuvauksia ja olkoon 0→A→f B →g C →0
eksakti jono. Osoita, ett¨a
A∼=Imf ja B/Imf ∼=C.
2. Olkoon B∈OBJ(RMOD). Muodosta kontravariantti funktori T = HOMR( , B) ja osoita, ett¨a indusoitu kuvausf∗ =T(f) on R-kuvaus.
3. a) Olkoon M vapaa R-moduli, miss¨a Ron kokonaisalue.
Olkoon r∈R, m∈M ja rm= 0.N¨ayt¨a, ett¨a r= 0 tai m= 0.
b) Olkoon K kunta sek¨a V =hf1i ⊕ hf2i ja W =hg1i ⊕ hg2i K- moduleita. M¨a¨ar¨a¨a sellaiset vektorit vi ∈V ja wi ∈W, ett¨a v1⊗w1 =f2⊗g1−f2⊗g2,
v2⊗w2 =f1⊗g1−f2⊗g2.
4. OlkoonRei-kommutatiivinen rengas ja A, A0 oikeanpuoleisia sek¨aB, B0 vasemman- puoleisia R-moduleita. Olkoot
f :AR →A0R, g:R B→R B0
R-kuvauksia. Osoita, ett¨a on olemassa yksik¨asitteinenZ-kuvaus F :A⊗RB →A0⊗RB0,
jolle p¨atee
F(a⊗b) =f(a)⊗g(b) aina, kun a∈A, b∈B.
5. Olkoon
Cn→∂n Cn−1 → · · · →C1 →∂1 C0 ketjukompleksi, miss¨a `p =RankCp, Zp =Ker∂p, Bp =Im∂p+1, Hp =Zp/Bp, Rp =RankHp. Osoita, ett¨a jono
0→Zp
→i Cp
∂p
→Bp−1 →0 on eksakti ja, ett¨a
Xn
p=0
(−1)p`p = Xn
p=0
(−1)pRp.
