Algebra III
Loppukoe 6.11.2006 (T. Matala-aho)
EI LASKIMIA, EI MATKAPUHELIMIA
1. Oletetaan, ett¨aA, B, C ovat R-moduleita ja f, g ovat R-kuvauksia ja olkoon 0→A→f B →g C →0
eksakti jono. Osoita, ett¨a
A∼=Imf ja B/Imf ∼=C.
2. a) Olkoon M vapaa R-moduli, miss¨a Ron kokonaisalue.
Olkoon r∈R, m∈M ja rm= 0.N¨ayt¨a, ett¨a r= 0 tai m= 0.
b) Olkoon M R-moduli ja J renkaan Rideaali. Osoita, ett¨a J M on alimoduli.
3. Olkoot
f :AR →A0R, g:R B→R B0
R-kuvauksia. Osoita, ett¨a on olemassa yksik¨asitteinenZ-kuvaus F :A⊗RB →A0⊗RB0,
jolle p¨atee
F(a⊗b) =f(a)⊗g(b) aina, kun a∈A, b∈B.
4. Valitse sellaiset Ri-modulit Mi, ett¨a
Q⊗R1Z3 ∼=M13,R2⊗R2 C2 ∼=M24,H⊗R3 H∼=M34, miss¨a Ri, Mi∈ {Z,Q,R,C,H}.
5. Olkoon k kunta, q∈k∗ ja P1(x),· · · , Pn(x)∈k[x]\ {0}. Osoita, ett¨a
a) k(x) ja k((x)) ovat q-differenssialgebroita.
b) k h
x, P 1
1(qix),· · · ,P 1
n(pix)|i∈N i
on oleellisesti ¨a¨arellist¨a tyyppi¨a oleva q-differenssialgebra.
c) M¨a¨ar¨a¨a q-differenssialgebran k((x)) vakioiden rengas.
d) Olkoon {f1(x), f2(x)} q-differenssiyht¨al¨on
qxF(q2x) =F(qx)−F(x) ratkaisukanta. Osoita, ett¨a
k[x, f1(qix), f2(qix)|i= 0,1]
on oleellisesti ¨a¨arellist¨a tyyppi¨a oleva q-differenssialgebra.
