Analyysin alkulähteillä

Solmu 3/2008 1

Analyysin alkulähteillä

Markku Halmetoja Mäntän lukio

Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funk- tio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautu- matta geometriseen havaintoon ja ”rajattoman lähesty- misen” kaltaisiin kuvaileviin ilmaisuihin. Tämä tapah- tui1800-luvulla, ja samalla selkiytyivät funktion jatku- vuuteen ja derivoituvuuteen liittyneet ongelmat. Sitä ennen oli jopa yritetty todistaa, että jatkuvat funktiot olisivat myös derivoituvia joitakin yksittäisiä kohtia lu- kuunottamatta. Käsitteiden selkiytymisen myötä kek- sittiin kuitenkin funktioita, jotka ovat kaikkialla jatku- via, mutta joilla ei ole derivaattaa yhdessäkään kohdas- sa. Tällaisten ja muidenkin vastaavien funktioiden ole- muksen ymmärtäminen edellyttää tiettyjen analyysin peruskäsitteiden täsmällistä tuntemista. Reaaliluvuis- ta kuitenkin riittää koulumatematiikassa annettu intui- tiivinen kuva. Tiedämme, että ne voidaan asettaa vas- taavuuteen suoran pisteiden kanssa, joten on luontevaa puhua niiden välisistä etäisyyksistä. Tiedämme myös, että jokaisella välillä]a,b[on vähintään yksi rationaali- nen ja irrationaalinen luku. Analyysin täsmälliseen kä- sitteistöön voi perehtyä teosten[1],[2]ja[4]avulla. Lu- kijan mukavuutta ajatellen esitämme kuitenkin tämän artikkelin ymmärtämiseksi tarvittavat esitiedot.

Perusasioita

Lukujonon(aⁿ)raja-arvo ona, jos lukujenajaaⁿväli- nen etäisyys voidaan tehdä pienemmäksi kuin mikä ta-

hansa positiivinen luku valitsemallanriittävän suurek- si, siis jos jokaista positiivista lukua εvastaa positiivi- nen kokonaislukun^εsiten, ettän > n^ε ⇒ |a−aⁿ|< ε.

Jos jonolla on raja-arvo, niin jono suppenee. Muussa tapauksessa jono hajaantuu. Jos jono on kasvava ja yl- häältä rajoitettu, tai vähenevä ja alhaalta rajoitettu, niin monotonisen jonon suppenemislauseen mukaan se suppenee.

Olkoon funktio f määritelty kohdan x0 eräässä ym- päristössä tätä kohtaa mahdollisesti lukuunottamatta.

Funktiolla on kohdassax0 raja-arvoa, jos jokaista po- sitiivista lukua εvastaa sellainen positiivinenδ^ε, että

0<|x−x0|< δ^ε ⇒ |f(x)−a|< ε.

Jos löytyy kohti lukuax0 suppeneva jono, jota vastaa- va funktion arvoista muodostuva jono hajaantuu, niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa x0. Jos taas löy- tyy kaksi eri jonoa, jotka suppenevat kohti lukua x0, mutta joita vastaavilla funktion arvoista muodostuvil- la jonoilla on eri raja-arvot, niin silloinkaan funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassax0.

Funktio on jatkuva kohdassax0, jos funktion raja-arvo kohdassax0on sama kuin funktion arvo tässä kohdas- sa. Siis funktio f on jatkuva kohdassax0, jos jokaista positiivista lukuaεvastaa sellainen positiivinenδ^ε, että

0<|x−x0|< δ^ε ⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.

Jos funktio ei ole jatkuva kohdassa x0, niin se on epä- jatkuva tässä kohdassa.

2 Solmu 3/2008

Funktio f on jaksollinen ja ω 6= 0 on sen jakso, jos f(x+ω) = f(x) kaikilla x ∈ R. Pienintä positiivis- ta jaksoa, jos sellainen on olemassa, sanotaan funktion perusjaksoksi. Esimerkiksi sinifunktion perusjakso on 2π.

Outoja funktioita

Määritelmien toimivuuden koettelemiseksi, ja pelkäs- tä uteliaisuudestakin, on ollut tarpeen kehitellä toinen toistaan kummallisempia ”patologisia” funktioita. Esit- telemme aluksi harjoitustehtävinä kolme jatkuvuutta ja derivoituvuutta havainnollistavaa esimerkkiä.

1. Osoita, että funktio f(x) =

0, kunx∈Q, 1, kunx∈R\Q,

on jaksollinen ja epäjatkuva kaikkialla. Määritä funktion jaksot. Onko sillä perusjakso? Saksalainen matemaatikko Johann Peter Gustav Lejeune Dirich- let (1805−1859) laati tämän esimerkin ilmeises- ti osoittaakseen, että on olemassa muitakin kuin lausekkeiden avulla määriteltyjä funktioita.

2. Osoita, että funktio f(x) =

x², kunx∈Q, 0, kunx∈R\Q,

on jatkuva ja derivoituva ainoastaan yhdessä koh- dassa.

3. Funktio f on määritelty siten, että f(x) = 0, kun x ∈ R\Q, ja jos x = p/q, missä p ∈ Z, q ∈ Z+

jasyt(p,q) = 1, niin f(x) = 1/q. Osoita, että tämä funktio on jatkuva irrationaalisissa kohdissa ja epä- jatkuva muulloin. Onko f derivoituva irrationaali- sissa kohdissa?

Kuten alussa totesimme, on myös funktioita, jotka ovat kaikkialla jatkuvia mutta eivät missään derivoituvia.

Ensimmäiset sellaiset keksittiin1800-luvulla, mutta ne ovat hyvin vaikeita. Myöhemmin1900-luvulla keksittiin funktioita, joille tämä merkillinen ominaisuus on hel- pompi todistaa. Käsittelemme niistä kaksi, ja aloitam- me hollantilaisen matemaatikon Bartel Leendert van der Waerdenin (1903−1996) vuonna1930julkaisemal- la erittäin kauniilla esimerkillä.

Olkoon {x} luvun xetäisyys lähimmästä kokonaislu- vusta. Funktiox7→ {x}on jatkuva ja jaksollinen. Sen perusjakso on1 ja|{x} − {y}| ≤ ¹₂ kaikillax,y∈R.

Esimerkkifunktiomme on f(x) =

∞

X

k=0

{10^kx}

10^k .

Näytämme aluksi, että se on määritelty kaikillax:n ar- voilla. Osasummien

fⁿ(x) =

n

X

k=0

{10^kx}

10^k

jono(fⁿ)on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, sillä yhteen- laskettavat ovat ei-negatiivisia, ja

fⁿ(x) =

n

X

k=0

{10^kx}

10^k ≤1 2

n

X

k=0

1 10^k <1

2

∞

X

k=0

1 10^k =5

9 kaikillax∈R. Monotonisen jonon suppenemislauseen perusteella jono(fⁿ)suppenee kaikillax:n arvoilla, jo- tenf on kaikkialla määritelty.

Todistamme, että f on jatkuva. Olkoot x0 ∈ R ja ε∈R+mielivaltaisesti valittuja. Kirjoitamme funktion muotoon

f(x) =fⁿ(x) +rⁿ(x) =

n

X

k=0

{10^kx}

10^k +

∞

X

k=n+1

{10^kx}

10^k . Koska|{10^kx} − {10^kx0}| ≤ ¹₂, on mahdollista valitan niin suureksi, että

|rⁿ(x)−rⁿ(x0)|=

∞

X

k=n+1

{10^kx} − {10^kx0} 10^k

≤

∞

X

k=n+1

|{10^kx} − {10^kx0}|

10^k

≤ 1 2

∞

X

k=n+1

10^−k= 1 18·10⁻ⁿ

<10⁻ⁿ< ε 2.

Osasummat fⁿ ovat jatkuvia, sillä ne ovat jatkuvien funktioiden äärellisiä summia. On siis olemassa positii- vinenδ^ǫ niin, että

0<|x−x0|< δε ⇒ |fn(x)−fn(x0)|< ε 2. Jos siis0<|x−x0|< δ^ε, niin

|f(x)−f(x0)|=|fⁿ(x)−fⁿ(x0) +rⁿ(x)−rⁿ(x0)|

≤ |fⁿ(x)−fⁿ(x0)|+|rⁿ(x)−rⁿ(x0)|

< ε 2 +ε

2 =ε.

Tätenf on kaikkialla jatkuva.

Osoitamme, että f ei ole derivoituva. Voimme rajoit- tua välille [0,1[, sillä f on jaksollinen ja sen perus- jakso on 1. Olkoon siis x = 0,a1a2a3. . . väliltä [0,1[

mielivaltaisesti valittu luku. Sovimme, että jos sen de- simaalikehitelmä on tyyppiä 0,2999. . ., niin muutam- me sen muotoon 0,3000. . .. Jos 0,a^k+1a^k+2. . . ≤ ¹₂, niin {10^kx} = 0,a^k+1a^k+2. . . ja muussa tapauksessa

Solmu 3/2008 3

{10^kx}= 1−0,a^k+1a^k+2. . .. Muodostamme kohti nol- laa suppenevan jonon (h^m) siten, että erotusosamää- ristä

d^m= f(x+h^m)−f(x) h^m

muodostuva jono (d^m) hajaantuu. Olkoon h^m =

−10^−m, josa^m = 4 tai a^m= 9, jah^m= 10^−m muul- loin. Josk≥m, niin lukujen10^k(x+h^m)ja10^kxdesi- maaliosat ovat samat, jolloin{10^k(x+h^m)}−{10^kx}= 0. Tästä seuraa, että

d^m= f(x+h^m)−f(x) h^m

=

∞

X

k=0

{10^k(x+h^m)} − {10^kx}

10^kh^m

=

m−1

X

k=0

{10^k(x+hm)} − {10^kx}

10^kh^m .

Lukujenh^mvalintatavasta johtuen tässä summassa yh- teenlaskettavien osoittajissa olevat luvut{10^k(x+h^m)}

ja{10^kx}ovat molemmat joko tyyppiä0,a^k+1a^k+2. . ., jolloin

{10^k(x+h^m)} − {10^kx}

10^kh^m =±10^k−m

±10^k−m = 1, tai tyyppiä1−0,a^k+1a^k+2. . ., jolloin

{10^k(x+h^m)} − {10^kx}

10^kh^m =∓10^k−m

±10^k−m =−1.

Siis summassa d^m=

m−1

X

k=0

{10^k(x+h^m)} − {10^kx}

10^kh^m

jokainen yhteenlaskettava on joko1tai−1. Niinpä kai- killam:n arvoilla

dm+1=dm+ 1 tai dm+1=dm−1, joten jono (d^m)hajaantuu.

Kuvassa on van der Waerdenin funktion osasumman f5:n kuvaajasta yksi jakso. Osoitteessa[6]olevasta ku- vasarjasta voi visuaalisestikin oivaltaa, miksi f ei ole derivoituva.

Tässä esimerkissä desimaalikehitelmät mahdollistivat elegantin todistuksen. On kehitetty myös niistä riip- pumattomia esimerkkejä. Tutkimme Walter Rudinin teoksessaan [4] esittämää funktiota pienen esivalmis- telun jälkeen.

Olkoon φ(x) = |x|, kun −1 ≤ x ≤ 1. Jatkamme φ:n määrittelyä asettamallaφ(x+ 2) =φ(x)kaikillax∈R. Näin φtulee jaksolliseksi ja sen perusjakso on 2. Kai- killa m ∈ Z on φ(2m) = 0 ja 0 ≤ φ(x) ≤ 1 kaikilla x∈R. Kaikillax:n jay:n arvoilla on

|φ(x)−φ(y)| ≤ |x−y|,

ja jos välillä ]x,y[ei ole kokonaislukuja, niin

|φ(x)−φ(y)|=|x−y|.

Rudinin esimerkkifunktio on

f(x) =

∞

X

k=0

3 4

^k φ(4^kx).

Se osoitetaan kaikkialla määritellyksi ja jatkuvaksi sa- malla tavalla kuin van der Waerdenin funktiokin. Osoi- tamme, ettäf ei ole derivoituva. Olkoonxmielivaltai- nen reaaliluku,mpositiivinen kokonaisluku ja

δm=±1 2 ·4^−m,

missä merkki valitaan niin, että lukujen4^mxja4^m(x+

δ^m)välissä ei ole kokonaislukua. Tämä on mahdollista, sillä|4^mx−4^m(x+δ^m)|= ¹₂. Olkoon

γ^k= φ(4^k(x+δ^m))−φ(4^kx)

δ^m .

Josk > m, niin4^kδ^mon parillinen kokonaisluku, joten γ^k= 0. Koska lukujen4^mxja4^m(x+δ^m)välissä ei ole kokonaislukua, on

|γ^m|=

φ(4^m(x+δ^m))−φ(4^mx) δm

= 1/2

|δm| = 4^m.

Jos vihdoin0≤k < m, niin

|γ^k|=

φ(4^k(x+δ^m))−φ(4^kx) δ^m

≤ 4^k|δ^m|

|δ^m| = 4^k.

4 Solmu 3/2008

Tästä seuraa, että

f(x+δ^m)−f(x) δ^m

=

∞

X

k=0

3 4

^k γk

=

m

X

k=0

3 4

^k γk

=

3^m+

m−1

X

k=0

3 4

^k γ^k

≥3^m−

m−1

X

k=0

"

3 4

^k

·4^k

#

= 3^m−

m−1

X

k=0

3^k= 1

2(3^m+ 1).

Näemme, ettäf:n erotusosamääristä muodostuva jono hajaantuu, sillä m:n kasvaessa δ^m → 0. Siis f ei ole derivoituva kohdassax.

Kuvassa on Rudinin funktion osasummanf3kuvaajas- ta yksi jakso. Katso myös osoitteessa[7] olevaa kuva- sarjaa.

Netistä löytyi (googlaamalla hakusanalla ”nowhere dif- ferentiable function”) John McCarthyn vuonna 1953 esittämä funktio

f(x) =

∞

X

n=1

2⁻ⁿg(2²ⁿx),

missäg(x) = 1 +x, kun −2≤x≤0 jag(x) = 1−x, kun 0< x ≤2 ja g(x+ 4) =g(x)kaikillax∈R. Ru- dinin funktio on tämän muunnelma. Itse asiassa myös van der Waerdenin funktio on muodostettu samanta- paisella menetelmällä. Aluksi määritellään jaksollinen

”sahanteräfunktio”, jonka kuvaajaa sitten ”rypytetään”

niin, että lopulta sen jokainen piste on kärkipiste, jossa derivaatta ei ole määritelty. Tämä prosessi näkyy sel- västi sivujen [6] ja [7] kuvasarjoissa. McCarthy pitää

omaa esimerkkiään ja siihen liittyvää todistusta yksin- kertaisimpana mahdollisena. Asiasta voi jokainen muo- dostaa oman käsityksensä nettilähdettä[5]tutkimalla.

Tämän kirjoittaja pitää van der Waerdenin esimerkkiä esillä olleista yksinkertaisimpana. Sen ymmärtämiseksi teoksesta[3]ei tarvinnut tehdä töitä kynällä, kun taas Rudinin funktiota oli pyöriteltävä paperilla.

Samoihin aikoihin näiden konkreettisten esimerkkien keksimisen kanssa mietittiin myös kuinka yleisiä täl- laiset funktiot ovat jatkuvien funktioiden joukossa.

Vuonna1931puolalainen matemaatikko Stefan Banach (1892−1945) todisti välillä[0,1]jatkuvien funktioiden joukolle tuloksen, jota sen käsitteellisyyden takia em- me voi muotoilla tähän täsmällisesti, ks.[8], s.79. Hän todisti, että ne jatkuvat funktiot, joilla on derivaatta vähintään yhdessä välin[0,1]kohdassa, sijaitsevat kaik- kien välillä[0,1]jatkuvien funktioiden joukossa saman- tyyppisesti kuin rationaaliluvut reaalilukujen joukos- sa. Siis suurin osa jatkuvista funktioista on juuri näitä ei-missään-derivoituvia funktioita, ja varsinaisia harvi- naisuuksia ja analyysin kummajaisia ovatkin kaikkialla derivoituvat alkeisfunktiot!

Kiitän dosentti Heikki Apiolaa, dosentti Matti Leh- tistä, dosentti Jorma Merikoskea sekä dosentti Timo Tossavaista tämän kirjoituksen viimeistelyä auttaneis- ta kommenteista. Heikki Apiolalle erityinen kiitos ku- vista sekä tätä kirjoitusta varten laadituista nettisivuis- ta[6]ja[7].

Lähteet

[1] M. Halmetoja, K. Häkkinen et al.: Matematiikan taito 13: Differentiaali- ja integraalilaskennan jatko- kurssi. WSOY, 2008.

[2] J. Merikoski, M. Halmetoja, T. Tossavainen: Joh- datus matemaattisen analyysin teoriaan. WSOY, 2004.

[3] F. Riesz, B. Sz.-Nagy: Functional Analysis. New York,1990.

[4] W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis.

McGraw-Hill,1987.

[5] http://www-formal.stanford.edu/jmc/

weierstrass.html

[6] http://math.tkk.fi/˜apiola/solmu/

08Weierstrass/mapleVanDerW1.html [7] http://math.tkk.fi/˜apiola/solmu/

08Weierstrass/Weierstrass.html [8] J. Väisälä:Topologia II. Limes,2005.