Matematiikkalehti 2/2017 matematiikkalehtisolmu.ﬁ

(1)

2/2017

matematiikkalehtisolmu.fi

(2)

Sisällys

Pääkirjoitus: Ratkaisuja, aivan käsittämätön määrä ratkaisuja (Anne-Maria

Ernvall-Hytönen) . . . 3

Seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailut 2017 (Neea Palojärvi) . . . 5

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset kilpailijoiden silmin (Pinja Pessi ja Essi Vilhonen) . . . 7

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset koordinaattorin silmin (Anne-Maria Ernvall-Hytönen) . . . 9

Vaihtelevia summia (Pekka Alestalo) . . . 12

Vertikaalisesti suunnikkaasta (Lehtori K.) . . . 15

Kirja-arvio: Retkeilyllä matematiikan maisemissa (Matti Lehtinen) . . . 18

Collatzin konjektuuri ja algoritmien analysointi (Antti Laaksonen) . . . 20

Kolikonheiton todennäköisyys (Jukka Liukkonen) . . . 24

Opetusideoiden tarjoilupöytä: Kirjan Matikkanälkä arvio ja Laura Tuohilammen haastattelu (Anne-Maria Ernvall-Hytönen) . . . 28

Vaihtojännitteen ja -virran tehollisarvo (Vesa Linja-aho) . . . 31

Solmun ongelmapalsta . . . 35

Katastrofin lyhyt valmistusohje (Aatos Lahtinen) . . . 38

Miksi kahden negatiivisen luvun tulo on positiivinen? (Esa V. Vesalainen) . . . 41

(3)

Ratkaisuja, aivan käsittämätön määrä ratkaisuja

Pääkirjoitus

Huhtikuussa ei paljon vapaa-ajan ongelmia ollut: kaikki vapaa-aika (ja osin yöunetkin) menivät tarkastaessa ratkaisuja. Olen ylioppilastutkintolautakunnan sensori.

Nautin siis useamman sadan kokelaan ratkaisuista. Li- säksi olin Euroopan tyttöjen matematiikkakilpailussa (EGMO) koordinaattorina, tein alustavan tarkastuk- sen pohjoismaisessa matematiikkakilpailussa Suomen kilpailijoiden geometrian ratkaisuille sekä olin mukana tarkastamassa seitsemäsluokkalaisten matematiik- kakilpailun finaaliratkaisuja Helsingissä ja Turussa.

Käytännössä urakat olivat hyvin erilaisia: kilpailurat- kaisuja ei ollut tarkistettavana kovinkaan montaa. Yli- oppilasratkaisujen määrä taas oli suuri. Seitsemäsluok- kalaisten finaaliratkaisut piti tarkistaa hyvin tiukalla aikataululla, EGMO:n ratkaisut piti hoitaa parissa päi- vässä, pohjoismaisen ja ylioppilaspaperien kanssa oli enemmälti aikaa, ylioppilaspaperien kanssa peräti koko kuukausi.

Suuria määriä ratkaisuja lukiessa ratkaisun selkeyden merkitys kasvoi. Sen huomasi hyvin myös, jos edessä oli ratkaisu, joka oli kirjoitettu kielellä, jota itse en puhu. Olin lievällä kauhulla ajatellut Saudi-Arabian ratkaisujen koordinointia. Jos aakkoston hahmottaa, voi tarpeen tullen kokeilla kaikenlaisia verkkosanakirjoja tai muita verkkokääntimiä. Lisäksi matematiikan sa- nasto on monessa kielessä niin samankaltainen, että jotain voi arvatakin. Siinä vaiheessa, kun edes aakkos- toa ei käsitä, menevät kaikki tällaiset vaihtoehdot kovin hankaliksi. Iloisesti yllätyin: Saudi-Arabian ratkaisut olivat nopeita ja selkeitä lukea. Osa kilpailijoista oli peräti kirjoittanut selitykset englanniksi, tai vähintään

kriittiset sanat. Kaikilla oli ratkaisun rakenne kunnossa, kaikki välttämätön, eikä mitään turhaa paperissa.

Sellaisella ratkaisulla saa koordinaattorin kovin iloisek- si.

Ylioppilaspapereita lukiessa ei kieliongelmia tullut, mutta ratkaisujen selkeyden ja esityksen tasossa oli val- tavia eroja. Välillä edessä oli erinomainen paperi, jossa suurin osa ratkaisuista oli matemaattisesti kunnossa, mutta esitys tuskallinen. Välillä taas paperi, jossa matematiikka oli pielessä, mutta kokelas oli päättänyt pi- tää huolen siitä, että sensori ei ainakaan tipu kärryiltä.

Korrelaatiota mihinkään suuntaan esityksen ja mate- maattisen tason välillä en havainnut.

Pahimmilta tapauksilta olen selvästi tarkistusuralla- ni välttynyt: kuulin EGMO:ssa kuinka jonkun vuoden kansainvälisissä matematiikkaolympialaisissa joku kilpailija oli kirjoittanut suttupaperit itse kehittämällään kielellä. Siis täysin omin sanoin. Suttupaperit eivät ole ensisijaisesti arvostelussa mukana, mutta niitä usein käytetään tukena, ja irtopisteitä niistä myös voidaan usein kaivaa. Kyseisessä tapauksessa ei kilpailija ollut onnistunut tuottamaan varsinaisille arkeille mitään fik- sua jossain tehtävässä, mutta sen sijaan suttupapereil- la olisi ollut jotain pisteiden arvoista, paitsi että ne oli kirjoitettu kielellä, jota ei ole olemassakaan.

Hyvä esitystapa on yleensäkin matematiikassa tärkeä, mutta myös epätriviaali asia. Hyvä esitys voi tarkoittaa useita asioita. Yksityiskohtia on oltava riittäväs- ti, mutta ei liikaa (kuten professori Jutila asian totesi

”yksityiskohdat häiritsevät asiantuntijoita”). Suorasa-

(4)

naista tekstiä on oltava matemaattisten kaavojen välis- sä, mutta hankala sellaistakin ratkaisua on lukea, jossa ei yhtään kaavaa ole, vaan kaikki on vain selitetty sanallisesti. Kansainvälisissä kilpailuissa tämä on erityisen kriittistä: niitä suomenkielisiä pitkiä selityksiä harvoin muut kuin omat joukkueenjohtajat ymmärtä- vät. Koordinoitavina sellaiset ratkaisut ovat hankalia.

Usein myös matemaattinen täsmällisyys kärsii kaavat- tomuudesta.

Olin ehkä odottanut näkeväni EGMO:ssa paljon erilaisia ratkaisuja. Kuitenkin koordinoimani tehtävän luon- ne oli sellainen, että yhtä vaille jokainen toimiva ratkaisu noudatti samaa kaavaa. Vaihtoehtoisia ratkaisuja olisi ollut, mutta ei helposti tyrkyllä olevaa. Tämä yksi ratkaisu puolestaan nojautui vähän epätavallisem- paan konstruktioon ja tulokseen. Ylioppilaspapereissa suurin osa toimivista ratkaisuista meni tiettyjen yleis- ten linjojen mukaan. Eniten hihkuin innosta lukiessa- ni pitkän matematiikan tehtävää 12. Siinä piti selvittää tietyn neliön ja kolmion pinta-alojen suhde. Kolmio sat- tui olemaan suorakulmainen, mutta sitä tehtävässä ei kerrottu, jolloin osa ratkaisua oli tämän verifioiminen, paitsi jos keksi tavan, jossa sitä ei tarvittu. Tähän oli kaksi vaihtoehtoa: kosinilauseen käyttö, jolloin ratkaisu oli suoraviivainen ja toimiva, mutta ei erityisen ele- gantti. Toinen vaihtoehto oli Heronin kaavan käyttö, ja omaa silmääni tämä miellytti valtavasti: kaikki tarkis- telut saattoi sivuuttaa. Koko tehtävä ratkesi oleellisesti ottaen yhdellä laskulla.

Seitsemäsluokkalaisten finaaleissa tyypillisesti näkee valtavasti erilaisia ratkaisuja. Teoriaosaamista ei ole valtavasti, mikä heijastuu tehtävävalinnoissa, eli teh- tävätkään eivät valtavasti teoriaa vaadi, mutta mones-

ta tehtävästä löytyy joku ongelmakomponentti. Stan- dardiratkaisutapaa ei siis välttämättä ainakaan seitse- mäsluokkalaisen silmissä ole, vaikka joissakin tehtävis- sä sellainen ehkä omiin silmiini olisikin. Viimeisenä teh- tävänä Helsingin finaalissa oli geometriaa. Tehtävässä piti laskea tiettyjen kulmien koot. Kilpailukoulutuksen läpikäynyt (tai minkä tahansa tavallisen geometrian monisteen läpilukenut) aikuinen ryhtyy siinä vaiheessa laskemaan kulmia eksplisiittisesti kulma kerrallaan, ja kunhan homman tekee huolellisesti, pääsee oikeaan ratkaisuun. Osa seitsemäsluokkalaisistakin toimi näin.

Epätavalllisempana ratkaisutapana osa oli huomannut, että kuvassa oli kulmia, joita ikäänkuin siirrettiin kol- miosta toiseen, jolloin koko tehtävän ratkaisuksi riitti laskea ensin kolmen siirron kontribuutio (joka oli triviaali lasku), ja sen jälkeen jakaa tämä kolmella, jonka jälkeen yhden ja kahden siirron kontribuutiot tipahti- vat suoraan käteen.

Harmillista tässä kaikessa on se, että usein standardi- ratkaisut on helpompi kirjoittaa kuin poikkeukselliset tai kekseliäät ratkaisut. Jotta tämä olisi vielä pahem- paa, on kekseliäiden ratkaisujen esitystavan tyypillisesti oltava parempi, koska sama ratkaisu ei tule vastaan joka toisessa paperissa, jolloin jo pelkkä ratkaisun hah- mottaminen voi olla haastavaa (saati sitten, jos siinä on pieni virhe). Mutta silloin, silloin kun saa eteensä epätavallisen ratkaisun, jonka esitys on kunnossa... Ne hetket tekevät kaikesta tarkastamisesta vaivan arvoista.

Mukavaa kesää!

Anne-Maria Ernvall-Hytönen

(5)

Seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailut 2017

Neea Palojärvi Åbo Akademi

Helsingissä, Oulussa ja Turussa järjestettiin seitsemäs- luokkalaisten alueelliset matematiikkakilpailut. Kilpai- luiden tarkoituksena on kannustaa matematiikkahar- rastuksen pariin. Tänä vuonna lähes 2500 oppilasta 76:sta eri koulusta ratkoi alkukilpailuiden monivalin- tatehtäviä.

Alkukilpailuiden parhaat kutsuttiin loppukilpailuun ja peruskoululaisten matematiikan kirjevalmennukseen.

Valmennuksen tarkoituksena on tutustua matematiikkaan ja tarjota haasteita kilpamatematiikan parissa. Pidemmän tähtäimen tavoitteena on harjoitella kansainvälisiin matematiikkakilpailuihin, jopa mate- matiikkaolympialaisiin. Valmennus on kaikille perus- koululaisille avointa ja siihen pääsee mukaan ilmai- semalla kiinnostuksensa Esa Vesalaiselle osoitteeseen esavesalainen@gmail.com. Rohkeasti vain kaikki innok- kaat mukaan!

Loppukilpailuissa vuorossa oli avoimiin tehtäviin vas- taamista. Ratkottavana oli viisi tehtävää. Loppukilpai- lun kolmen kärki kussakin kaupungissa näytti seuraavalta:

Helsinki

1. Juho Arala, Mankkaan koulu

2. Chen Shen, Helsingin suomalainen yhteiskoulu 3. Into Almiala, Olarin koulu

Oulu

1. Eerika Koskelo, Kuulammen koulu 2. Iikka Holmi, Lumijoen peruskoulu

2. Jaakko Ojala, Haukiputaan koulu Turku

1. Aarne Heikkilä, Rieskalähteen koulu 2. Eeli Heikkilä, Vasaramäen yläkoulu 2. Maria Leistevuo, Rieskalähteen koulu

Kaikki kilpailutehtävät ratkaisuineen löytyvät osoitteesta http://matematiikkakilpailut.fi/

seiskat/tehtavat.html. Alla on muutamia esimerk- kitehtäviä kilpailuista. Hauskoja ratkaisuhetkiä!

Alkukilpailutehtäviä

1. Laske 7·6−6·5 + 5·4−4·3 + 3·2−2·1.

a)16 b)20 c)24 d)28 e)32 2. Käytettävissä on 10 litran ämpäri ja 100 litran saavi.

Mitkä seuraavista vesilitramääristä voidaan mitata näitä mittoja käyttämällä?

a) 1, 15 ja 20 b) 5 ja 10 c) 62 d)20 ja 60 e)Kaikki vaihtoehdoista.

3. Aluksi jogurtin litrahinta on 1,00 euroa. Vuoden ku- luttua suhdanteiden muuttuessa litrahinta nousee 10 %, kaksi vuotta myöhemmin litrahinta laskee 20 %, ja kolme vuotta myöhemmin litrahinta nousee 50 %. Kuinka paljon litra jogurttia tämän jälkeen maksaa?

(6)

a) 0,77 euroa b) 1,32 euroa c) 1,13 euroa d)1,54 euroa e)1,98 euroa

4. Olkoon N erään neliön pinta-ala. OlkoonK sellai- sen suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jonka toinen kateetti on yhtä pitkä kuin edellisen neliön sivu ja toinen kateetti kaksi kertaa neliön sivun mittainen.

Mitä voidaan sanoa pinta-alojen N ja K keskinäi- sestä suuruusjärjestyksestä?

a)N =K b)N > K c) N < K d)Vastaus riippuu neliön sivun pituudesta.

e)Tehtävää ei voi ratkaista annetuin tiedoin.

5. Määritellään uusi laskutoimitus tavallisen yhteen- ja kertolaskun avulla: a⊕b = 3a−b. Esimerkiksi 5⊕6 = 3·5−6 = 9. Laske

(1⊕1) + (2⊕2) + (3⊕3).

a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 6. Päiväkotiryhmässä on 21 lasta, joista kukin puhuu

vähintään yhtä kieltä. Tiedetään, että viisi lasta puhuu ainakin suomea ja venäjää, kuusi lasta puhuu ainakin suomea ja ruotsia, ja kolme lapsista puhuu ainakin ruotsia ja venäjää. Lisäksi tiedetään, että kaksi lasta puhuu suomea, ruotsia ja venäjää, sekä että kukaan ei puhu muita kieliä. Miten moni lapsista puhuu täsmälleen yhtä kieltä?

a)tehtävä ei ratkea annetuilla tiedoilla b)ei kukaan c)10 d)8 e)11

7. Väritetään alla olevan kuvion alueet siten, että käy- tössä on sininen, punainen, keltainen ja vihreä väri ja mitkään kaksi vierekkäistä aluetta kuviossa eivät saa olla samanvärisiä. Monellako eri tavalla kuvion voi värittää?

a)84 b)88 c)92 d)96 e)100 8. Mikä on seuraavan kuvion piiri (eli reunan pituus)?

Kaikki siinä esiintyvät kulmat ovat joko 60^◦tai 300^◦.

6

a)15 b)16 c)17 d)18 e)19

Loppukilpailutehtäviä

1. Viisi matemaatikkoa tapaa toisensa ravintolassa.

Kukin heistä kättelee jokaisen muun kanssa täsmäl- leen kerran. Montako kättelyä tapahtuu yhteensä?

Entä jos matemaatikoita on 100?

2. Pöydällä on rivissä kolme samannäköistä suklaakon- vehtia, joissa on kaikissa eri täyte. Yksi konvehdeis- ta sisältää pähkinää, yksi toffeeta ja yksi hilloa. Yksi seuraavista väitteistä on tosi ja kaksi muuta on va- letta.

A: Ensimmäisen konvehdin sisällä on toffeeta.

B: Toisen konvehdin sisällä ei ole pähkinää.

C: Kolmannen konvehdin sisällä ei ole toffeeta.

Mitä toisen konvehdin sisällä on?

3. Alkuluku on positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1 ja jaollinen vain itsellään ja luvulla 1.

Esimerkiksi luvut 2 ja 3 ovat alkulukuja, kun taas 6 ja 1 eivät ole. Onko luku 2017 kahden alkuluvun summa?

4. Olkoon E(x) jokin lauseke, joka on määritelty kai- kille kokonaisluvuillexja jolle pätee

E(x) + 2·E(−x) = 3·x,

niin ikään kaikille kokonaisluvuille x. Laske E(1).

(Esim. jos F(x) = 2·x²−4·x+ 3, niin F(−x) = 2·(−x)²−4·(−x) + 3 jaF(1) = 2·1²−4·1 + 3.) 5. Laske β ja γ, kun α = 21^◦, δ = 30^◦, ∠BXA =

∠CXB=∠DXC ja∠BY A=∠CY B=∠DY C.

A

α

B

β

C

γ

D

δ

X Y

Kilpailun järjestivät yhteistyönä Suomen matemaatti-1 sen yhdistyksen valmennusjaos, Summamutikka-luok- ka, OuLUMA-keskus, Åbo Akademi sekä Helsingin, Oulun ja Turun yliopistot.

(7)

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset kilpailijoiden silmin

Pinja Pessi ja Essi Vilhonen

Lähdimme kohti Zürichiä torstai-iltapäivällä 6.4. Pai- kallisella lentokentällä meitä odotti oppaamme, joka oli myös Ukrainan joukkueen opas. Matkustimme op- paan kanssa junalla hostellille, missä jaoimme huoneen luxemburgilaisten kanssa.

Perjantaina ohjelmassa oli vanhassa kaupungissa kier- telyä pieniä tehtäviä ratkoen ja muihin kilpailijoihin tutustuen. Illalla ETH-yliopistolla pidettiin avajaisse- remonia, jossa saimme kuulla muun muassa perinteistä sveitsiläistä musiikkia ja innostavia puheita.

Neljä ja puoli tuntia kestäneet kokeet pidettiin kahtena päivänä, ja niiden jälkeen järjestettiin mukavaa ja lii- kunnallistakin ohjelmaa. Lauantaina tarjolla oli erilaisia sisä- ja ulkopelejä. Sunnuntaina vaelsimme Zürichin ylle kohoavalle Uetlibergille nauttien lämpimästä sääs- tä ja hienoista maisemista, minkä jälkeen saimme valita tanssituntien ja IMOsta kertovan elokuvan välillä.

Kokeiden jälkeen oli aikaa tutustua kaupunkiin lisää.

Maanantaina kävimme veneretkellä Zürich-järvellä se- kä paikallisessa eläintarhassa ihmettelemässä muiden muassa intiannorsuja ja kameleontteja. Illalla majapai- kassamme järjestettiin paneelikeskustelu, jossa matematiikan parissa uraa tehneet naiset kertoivat koke- muksistaan.

Tiistaina matkasimme Rigi-vuorelle, jonka menimme ylös vanhalla ratasjunalla. Maisemien katselun kannal- ta epäonnekasta oli tosin hyvin sumuinen ja koleahko

sää. Iltapäivällä vuorossa oli vielä arvokas päättäjäisse- remonia ja illallinen Zürichin yliopistolla. Haastava matematiikka, mukavat ihmiset ja hienot tapahtumat te- kivät EGMO-matkastamme unohtumattoman viikon.

Tehtävät

Tehtävien käännökset englannista on laatinut joukkueenjohtaja Neea Palojärvi.

Tehtävä 1. Olkoon ABCD konveksi nelikulmio, jolle

∠DAB =∠BCD = 90^◦ ja ∠ABC > ∠CDA. Olkoot QjaR janojenBC jaCD pisteitä, tässä järjestykses- sä, niin, että suora QRleikkaa suorat AB jaAD pis- teissä P ja S, tässä järjestyksessä. Lisäksi P Q=RS.

Olkoon jananBD keskipisteM ja jananQR keskipiste N. Osoita, että pisteetM, N, A jaC ovat samalla ympyrällä.

Tehtävä 2.Etsi pienin positiivinen kokonaislukuk, jota kohti on olemassa positiivisten kokonaislukujenZ>0

k-värin väritys ja funktio f: Z>0 →Z>0, joka toteuttaa seuraavat kaksi ehtoa:

(i) Kaikille positiivisille kokonaisluvuille m, n, jotka ovat samanväriset, päteef(m+n) =f(m) +f(n).

(ii) On olemassa positiiviset kokonaisluvut m, n, joille f(m+n)6=f(m) +f(n).

(8)

Joukon Z>0 k-värin värityksessä jokainen kokonaislu- ku väritetään täsmälleen yhdelläk:sta väristä. Positii- viset kokonaisluvutm, neivät ole välttämättä erisuuret kummassakaan ehdoista (i) tai (ii).

Tehtävä 3. Tasossa on 2017 suoraa, joista mitkään kolme eivät leikkaa samassa pisteessä. Turbo-etana is- tuu täsmälleen yhdellä näistä suorista ja alkaa liukua suoraa pitkin seuraavalla tavalla: se liikkuu annetul- la suoralla, kunnes se saavuttaa kahden suoran leik- kauspisteen. Leikkauspisteessä se päättää jatkaa mat- kaa toiselle suoralle kääntymällä oikealle tai vasemmal- le ja vaihtaa kääntösuuntaansa jokaisessa leikkauspis- teessä. Se voi vaihtaa suuntaansa vain leikkauspisteis- sä. Voiko olla olemassa jana, jonka se kulkee molempiin suuntiin matkansa aikana?

Tehtävä 4. Olkoon n ≥ 1 kokonaisluku, ja olkoot t1 < t2 < . . . < tn positiivisia kokonaislukuja. tn + 1 ihmisen ryhmässä pelataan jokin määrä shakkipelejä.

Kaksi henkilöä voivat pelata toisiaan vastaan enintään kerran. Osoita, että seuraavat kaksi ehtoa voivat olla voimassa samanaikaisesti:

(i) Jokainen on pelannut jonkin luvuista t₁, t₂, . . . , t_n määrän pelejä.

(ii) Jokaista indeksiäi, 1≤i≤n, kohti joku on pelan- nut täsmälleent_i shakkipeliä.

Tehtävä 5. Olkoon n ≥ 2 kokonaisluku. Ei välttä- mättä erisuurten positiivisten kokonaislukujenn-tupla (a1, a2, . . . , an) on kallis, jos on olemassa positiivinen kokonaislukuk, jolla

(a₁+a₂)(a₂+a₃)· · · · ·(a_n−1+a_n)(a_n+a₁) = 2^2k−1. a) Etsi kaikki kokonaisluvutn≥2, joilla on olemassa

kallisn-tupla.

b) Osoita, että jokaista paritonta positiivista kokonais- lukuamkohti on olemassa kokonaislukun≥2, jolla mkuuluu kalliiseenn-tuplaan.

Yhtälön vasemmalla puolella on täsmälleenntekijää.

Tehtävä 6.OlkoonABCteräväkulmainen kolmio, jonka mitkään kaksi sivua eivät ole yhtä pitkät. Kolmion ABCpainopisteenGja ympäri piirretyn ympyrän kes- kipisteen O peilaukset sivujen BC, CA, AB suhteen ovatG₁, G₂, G₃jaO₁, O₂, O₃, vastaavasti. Osoita, että kolmioidenG₁G₂C, G₁G₃B,G₂G₃A,O₁O₂C,O₁O₃B, O₂O₃A ja ABC ympäri piirretyillä ympyröillä on yh- teinen piste.

Kolmion painopiste on sen kolmen mediaanin leikkaus- piste. Mediaani on jana, joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen.

Laaja-alainen projektiosaaminen matematiikan opetuksessa

Matematiikkadiplomi-sivulla

http://matematiikkalehtisolmu.fi/diplomi.html

on tulostettavissa matematiikkadiplomien tehtävistä kerättyjä tehtäväpaketteja, joita voi käyttää laaja-alaisen osaamisen opetuksessa. Käytettävissä on 10 tehtäväpakettia:

Maapallo Suomen historia Terveys ja ravinto Talous

Todennäköisyys

Matematiikka ja taide (2 tasoa) Mittaaminen (2 tasoa)

Koodauksen (tai ohjelmoinnin) pohjustus

Alaluokille sopivia tehtäviä on kolmen viimeisen aiheen paketeissa.

Opettajille lähetetään pyynnöstä vastaukset koulun sähköpostiin. Pyynnön voi lähettää osoitteeseen

juha piste ruokolainen at yahoo piste com

(9)

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset koordinaattorin silmin

Anne-Maria Ernvall-Hytönen Åbo Akademi

”Sinulla on sitten tehtävä 1,” minulle kerrottiin ja ojen- nettiin käteen Euroopan tyttöjen matematiikkaolym- pialaisten tehtävät. Katsoin tehtäväpaperia, ja järky- tyin. Tehtävän yksi kohdalla oli seuraava teksti (englanniksi kirjoitettuna – suomennos on joukkueenjohtaja Neea Palojärven myöhemmin samana päivänä kilpailu- tilannetta varten tekemä):

Olkoon ABCD konveksi nelikulmio, jolle ∠DAB =

∠BCD = 90^◦ ja ∠ABC > ∠CDA. Olkoot Q ja R janojen BC ja CD pisteitä, tässä järjestyksessä, niin, että suoraQR leikkaa suoratABjaADpisteissäP ja S, tässä järjestyksessä. Lisäksi P Q=RS. Olkoon ja- nanBDkeskipisteM ja jananQRkeskipisteN. Osoi- ta, että pisteetM,N,Aja C ovat samalla ympyrällä.

En ole koskaan ollut hyvä geometriassa. Kilpailuai- koinani käytin aikaa lukuteoriaan ja algebraan. Suo- men joukkueelle olen opettanut lähinnä lukuteoriaa ja algebraa. Olin toivonut pääseväni koordinoimaan lukuteoriaa tai algebraa, mutta niin olivat lähes kaikki muutkin. Päädyin siis geometriaan.

Tätä tarinaa voisin jatkaa tästä pisteestä kahteen suuntaan, ensinnäkin siihen mitä tämän jälkeen tapahtui, ja toisaalta siihen, miten ylipäätään päädyin Zürichiin Irchelin kampukselle geometrian tehtävä kätösissäni.

Aloitetaan siis alusta, eli tammikuusta.

Kuinka koordinaattoriksi päädyin ja mi- tä ihmettä koordinaattorit oikein tekevät

Tammikuun puolenvälin tietämillä sähköpostiini ilmes- tyi viesti yhdeltä tämän vuoden Euroopan tyttöjen ma- tematiikkaolympialaisten pääjärjestäjistä, ja hän ky- syi halukkuuttani ryhtyä koordinaattoriksi kilpailuun.

Koska kyseessä oli omalla asteikollani suuri kunnia ja mielenkiintoinen tehtävä, oli ehdotus tietenkin hyväk- syttävä.

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset järjes- tettiin tänä vuonna kuudennen kerran, ja mukana oli jo 43 maata. Koska kansainvälisissä matematiikkaolympialaisissa on kovin vähän naispuolisia osallistujia, on tyttöjen olympialaisten tarkoitus kannustaa tyttöjä ja näyttää heille, että he eivät ole yksin kilpaillessaan matematiikassa.

Koordinaattorit ovat vastuussa tehtävien arvostelusta yhdessä joukkueenjohtajien kanssa. Kilpailun jälkeen ratkaisupaperit monistetaan, kopiot annetaan koordi- naattoreille, alkuperäiset joukkueenjohtajille. Jokaisel- la tehtävällä on oma koordinaattorijoukkonsa, eli yksi koordinaattori lukee yleisesti ottaen vain yhden teh- tävän ratkaisuja. Tälle pienelle koordinaattorijoukolle muodostuu siis hyvä käsitys siitä, mitä kaikkea yksit- täisessä tehtävässä voi tapahtua, ja mikä on oikeuden- mukainen tapa arvostella tehtävä. Joukkueenjohtajat

(10)

ja varajohtajat ovat puolestaan vastuussa oman maan- sa kaikista ratkaisuista. Koordinaattorit ja joukkueenjohtajat arvostelevat tahoillaan tehtävät, ja sitten pis- teistä keskustellaan. Keskustelun tarkoitus on toisaalta varmistaa, että kaikki maat on arvosteltu samoin kriteerein, ja toisaalta varmistaa, että koordinaattorit ovat ymmärtäneet kaiken kriittisen. Suuri osa kilpailijoista kirjoittaa omalla kielellään, jolloin koordinaatto- reilla voi olla enemmän tai vähemmän mahdoton työ yrittää ymmärtää jokainen ratkaisu pilkulleen.

Olin aina pohtinut, miten koordinaattorit suuriin kan- sainvälisiin kilpailuihin valitaan, ja tämä jäi minulle yhä mysteeriksi. Kohtuullisen paljon koordinaattorei- ta haalitaan lähiseuduilta kasaan. Tämä on monessa suhteessa näppärää ja varmasti myös alentaa kilpailun järjestämisen kustannuksia. Sitä en sen sijaan tiedä, miten päätetään keille kauempana oleville lähetetään kutsu. Hommasta ei saa palkkaa (toki Sveitsissä tietenkin suklaalevyn kiitokseksi), mutta lennot makse- taan ja ruokailut ja majoitus hoidetaan. Tällä kertaa koordinaattorit majoitettiin hyvin tasokkaaseen Swis- soteliin Oerlikonin rautatieaseman viereen. Myös joukkueenjohtajat majoitettiin samaan paikkaan.

Pisteytysjärjestelmän luominen

Saatuani tiedon, että koordinoin geometriaa, ensim- mäinen tehtävä oli yrittää pohtia mahdollisimman monta erilaista ratkaisua alussa kuvattuun ongelmaan, jotta jokaiselle erilaiselle ratkaisutavalle voitaisiin ke- hittää pisteytysjärjestelmä. Kovin paljon erilaisia va- riantteja ei ennen kilpailua tullut: Tietyt identiteetit saattoi todistaa vähän eri tavoin, mutta oleellisia eroja ei ollut. Myös joukkueenjohtajat pohtivat toisaal- la samoja tehtäviä, neuvottelivat niistä, käänsivät nii- tä omille kielilleen ja pohtivat ratkaisuja. Heiltä tuli- kin täysin erilainen ratkaisuehdotus tehtäväämme, vain kymmenisen minuuttia ennen kuin meidän piti esittää lopullinen pisteytysjärjestelmä.

Tyypillinen ratkaisu tehtävään etenee seuraavasti: Piir- retään ensin kuva:

Väite on siis, että pisteet A, M, N ja C ovat samalla ympyrällä. Kehäkulmalausetta käyttäen tämän väit- teen voi muuttaa muotoon, että∠AM C=∠AN C(jos tämä väitteen uudelleenmuotoilu ei ole lukijalle ihan peruskauraa, kannattanee se paperilla läpi pohtia).

Kehäkulmalausetta tai suorakulmaisten kolmioiden ominaisuuksia tai yhdenmuotoisia kolmioita käyttäen todistetaan seuraavaksi, että

∠AM C = 2∠ADC ja vastaavasti toiselle kulmalle

∠AN C= 2∠CRQ+ 2∠P SA.

Tämän jälkeen pitääkin vain ristikulmia käyttäen to- deta, että∠CRQ=∠SRD, kolmion kulmien summan avulla huomata, että∠CRQ+∠P SA= 180^◦−∠CDS, ja viimeistellä todistus havainnolla 180^◦ −∠CDS =

∠CDA.

Todistuksessa on siis jossain mielessä kaksi osaa: yk- sinkertaisten kulmaidentiteettien käyttö, jotta kulmat

∠AM C ja ∠AN C saadaan esitettyä yhteistyökykyi- sessä muodossa, ja tämän jälkeen näiden muotoilujen yhtäsuuriksi osoittaminen. Kun pisteytysjärjestelmää luotiin, oli lisäksi myös huomioitava, että kyseessä on ensimmäinen tehtävä kilpailussa, jolloin olisi kiva voi- da antaa mahdollisimman monelle kilpailijalle edes yksi piste.

Päädyimme seuraavaan pisteytysjärjestelmään:

(11)

Pointtina on siis se, että jos ratkaisu on kesken, ei sii- tä voi saada kuin kolme pistettä maksimissaan. Tämä on tyypillistä kilpailuissa: jos ratkaisu ei ole loppuun asti vedetty, siitä kärsii kunnolla. Logiikkana tässä on se, että tyypillisesti ratkaisun loppupuolella vaaditaan jokin hyvin kriittinen oivallus, joka itsessään sisältää valtavan osan ratkaisusta. Pikkuvirheet ovat oma lu- kunsa, eli niistä emme luonnollisestikaan kokeneet tar- peelliseksi paljonkaan pisteitä viedä.

Pisteet jakautuivat niin, että luonnollinen ensimmäi- nen havainto on yhden pisteen arvoinen: Piste N on jananP Skeskipiste tai pisteM on nelikulmionABCD ympäripiirretyn ympyrän keskipiste. Molemmista ei voi pistettä saada. Havainto on hyvin helppo tehdä, ja äärimmäisen kriittinen ratkaisulle. Muut pisteet on jaossa kriittisistä kulmaidentiteeteistä, eli esimerkiksi siitä, että käyttää kehäkulmalausetta todistaakseen

∠AM C= 2∠ADC ja∠AN C= 2∠CRQ+ 2∠P SA.

Loppuosa ratkaisua on näiden asioiden yhteenvetämi- nen, eli käytännössä todistus, että nämä kulmat todella ovat yhtä suuria.

Vaihtoehtoinen pisteytysjärjestelmä koskee viime tipas- sa joukkueenjohtajilta saamaamme ratkaisuehdotusta, jossa tehtiin sopiva kutistus, käytettiin kehäkulmaa, ja yhdensuuntaisia suoria, ja käytännössä saatiin tulos näillä.

Laskennalliset ratkaisut viittaavat analyyttiseen geometriaan, vaikkapa kompleksiluvuilla tehtävän ratkai- semiseen. Standardi yleensä on, että laskuista on joko saatava geometrisia tärkeitä välituloksia irti, tai laskut vietyä loppuun ja tehtävä todistetuksi ennen kuin pis- teitä saa, eli pelkkä kahdeksan sivua innokasta koordi- naattilaskentaa ei tuota pisteitä.

Pisteistä keskusteleminen

Lopulta päästiin keskustelemaan pisteistä joukkueenjohtajien kanssa. Jokaisella maalla oli oma slottinsa,

eli oma kohtansa aikataulussa, jolloin heidän piti kusta- kin tehtävästä tulla keskustelemaan. Me koordinaattorit olimme puolestamme jakautuneet ensin tehtäväkoh- taisesti ja tehtävien sisällä vielä eri pöytiin. Jaoin pöy- dän Ukrainasta alun perin kotoisin olevan saksalaistu- neen matematiikan opettajan kanssa. Hänellä oli pitkä kokemus koordinoinnista, hyvä taju geometriasta, sekä omaani hyvin täydentävä kielitaito: itäeurooppalaiset kielet sujuivat häneltä loistavasti. Suurin osa pisteneu- votteluista meni sujuvasti ja nopeasti. Joukkueenjoh- tajat olivat selvästi sisäistäneet pisteytysjärjestelmän, ja ilmeisestikin pitivät sitä reiluna, sillä tyytyväisiltä he vaikuttivat. Virallisesti joukkueenjohtajat olivat ko- kouksessa kaikkien tehtävien pisteytysjärjestelmät hy- väksyneet, mutta käytännössä olen joukkueenjohtaja- na usein kokenut, etten ole täysin tyytyväinen järjes- telmään ollut, tai että käytännön tilanteessa todellisiin ratkaisuihin sovellettuna järjestelmä on tuntunut kovin erilaiselta kuin silloin, kun sitä on alun perin esitelty.

Viimeinen koordinoitavamme oli hieman haastavampi:

ratkaisu oli äärimmäisen epätavallinen, sisälsi valtavasti tekstiä, hyvin vähän kaavoja, ja kieli oli sellainen, jota kumpikaan meistä ei ymmärtänyt. Kielen hankaluus ei sinänsä ole paha juttu, koska aina voi pyytää jouk- kueenjohtajaa kääntämään, mutta se vaikuttaa siihen, miten hyvin voi valmistautua. Kyseisessä ratkaisussa konstruoitiin uusi kolmio, jolloin väite muuttui muotoon, että pisteet sijaitsevat sen kolmion yhdeksän pisteen ympyrällä. Yhtä pistettä vaille väite oli itse asiassa selvä kolmion konstruktion jälkeen. Tämäkin ratkaisu saatiin käsiteltyä, jonka jälkeen tehtävämme koor- dinaattoreilla alkoi hetkellinen vapaus ennen kilpailun viimeistä kokousta, jossa joukkueenjohtajat päättivät mitalirajat.

Kaiken kaikkiaan kilpailu koordinaattorina oli oikein miellyttävä kokemus, mutta tietyn kieroutuneen mie- lenlaadun se vaatii: jos ei nauti siitä, kun saa kasan ratkaisuja luettavaksi mitä eksoottisimmilla kielillä, niin kilpailumatkasta voi tulla aika kurja.

Solmun matematiikan verkkosanakirja

Solmun matematiikan verkkosanakirja on osoitteessa

http://matematiikkalehtisolmu.fi/sanakirja/a.html

Sekä sisältöä että tekniikkaa koskevat kokemukset ovat meille arvokkaita ja kaikenlaiset parannus- sekä korjausehdotukset tervetulleita. Palautetta voi lähettää osoitteeseen

toimitus at matematiikkalehtisolmu piste fi

(12)

Vaihtelevia summia

Pekka Alestalo

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu matematiikan ja systeemianalyysin laitos pekka.alestalo@aalto.fi

Summaa sarja

Käsittelin aikaisemmassa kirjoituksessani [1] harmonisen sarjan

∞

X

k=1

1

k = 1 +1 2 +1

3+1 4+. . .

hajaantumista, johon liittyy myös viite [2]. Tässä jatko- osassa tutkitaan, mitä tapahtuu, kun joihinkin sarjan termeihin vaihdetaan miinus-merkit ja termien järjes- tystä vaihdellaan.

Vaikka monille sarjoille voidaan tehdä aivan samoja operaatioita kuin äärellisille summille, niin toisinaan täytyy olla valppaana. Esimerkiksi yksi helpoimmista

”0 = 1-todistuksista” näyttää seuraavalta:

0 = 0 + 0 + 0 + 0 +. . .

= (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + (1 + (−1)) +. . .

= 1 + ((−1) + 1) + ((−1) + 1) + ((−1) + 1) +. . .

= 1 + 0 + 0 + 0 +. . .

= 1.

Tämä kyseenalainen päättely liittyy myös siihen, mitä sarjan suppeneminen oikeastaan tarkoittaa. Ainakaan se ei tarkoita sitä, että ”kaikki sarjan termit lasketaan kerralla yhteen”, koska tämä ei ole käytännössä mah- dollista. Asiaa täytyykin tutkia raja-arvona äärellisten

osasummien kautta. Jokaisesta sarjasta

∞

X

k=1

a_k (1)

voidaan muodostaa sen osasummien jono (sn) laskemalla yhteennensimmäistä termiä:

s₁=a₁ s2=a1+a2

s₃=a₁+a₂+a₃ ...

s_n =a₁+a₂+· · ·+a_n=

n

X

k=1

a_k.

Sanotaan, että sarja (1)suppenee, jos osasummien jo- nolla on (äärellinen) raja-arvos:

n→∞lim s_n=s.

Tämä lukuson sarjan (1)summa.

Tässä yhteydessä ei ole syytä käydä läpi kaikkia sarjojen ominaisuuksia ja laskusääntöjä, koska ne löyty- vät kaikista aihetta käsittelevistä kirjoista (kuten [3]

ja [4]) eikä niitä juurikaan tarvita tässä kirjoituksessa. Totean kuitenkin, että 0 = 1-laskun ongelma piilee toisen ja kolmannen rivin yhtäsuuruudessa, jota ei voi

(13)

perustella sarjojen laskusäännöillä, sillä taustalla oleva geometrinen sarja

∞

X

k=0

(−1)^k= 1 + (−1) + 1 + (−1) +. . .

suhdelukuna q = −1 hajaantuu. Sen sijaan suppene- vaan sarjaan voidaan lisätä ylimääräisiä sulkuja mihin tahansa kohtiin ilman, että sarjan summa muuttuu¹.

Vuorottelevasti harmoninen

Harmonisesta sarjasta saadaan vuorotteleva, kun joka toisen termin etumerkki vaihdetaan vastakkaiseksi:

∞

X

k=1

(−1)^k+1

k = 1−1 2+1

3 −1

4 +. . . (2) Perinteisistä syistä sarja alkaa positiivisella termillä +1; pelkkä (−1)^k/k tuottaa tapauksessa k= 1 ensim- mäiseksi termiksi−1.

Toisin kuin tavallinen harmoninen sarja, vuorotteleva harmoninen sarja suppenee. Tämä tarkoittaa mm. sitä, ettei sarjan suppeneminen riipu pelkästään siitä, kuinka nopeasti sen yleinen termi lähestyy nollaa.

Sarjan 100 ensimmäistä osasummaa.

Suppeneminen näyttää hyvin uskottavalta yllä olevan kuvion perusteella, johon on piirretty sarjan 100 en- simmäistä osasummaa; havainnollisuuden vuoksi pe- räkkäiset pisteet on yhdistetty janoilla. Lisäksi kuvion perusteella sarjan summa näyttää olevan hieman al- le 0,7. Myös intuitiivinen perustelu suppenemiselle on kuvion perusteella helppo keksiä: Sarjan termien etu- merkkien vuorottelu aiheuttaa kuvaajan sahalaitaisuu- den, ja koska jono (1/k) on vähenevä ja lähestyy nollaa, kunk→ ∞, niin osasummien heilahtelu vaimenee ja niillä on raja-arvo. Tarkempi perustelu liittyy siihen, että parillisia indeksejä vastaavien osasummien jono (s_2n) on kasvava ja parittomia indeksejä vastaavien

osasummien jono (s_2n−1) vähenevä. Sivuutan kuitenkin nämä päättelyt², koska sarjan summakin voidaan laskea tarkasti alla esitetyllä tavalla!

Tehtävä 1. Perustele yllä mainitut ominaisuudet ja osoita, että sarja suppenee.

Kun geometrisen sarjan summakaavaan sijoitetaan suhdeluvuksiq=−x, niin se tulee muotoon

1−x+x²−x³+x⁴+· · ·= 1

1−(−x) = 1 1 +x. Integroimalla yhtälön molemmat puolet välillä 0≤x≤ 1 saadaan tuloksena vuorottelevan harmonisen sarjan summaksi

1−1 2 +1

3−1

4 +· · ·= Z 1

0

dx

1 +x= ln 2.

Päättely on kuitenkin hieman epäilyttävä, sillä vasemmalla puolella tehty sarjan integroiminen termeittäin pitäisi perustella tarkemmin; erityisesti sen vuoksi, ettei sarja edes suppene integroimisvälin toisessa pääte- pisteessäx= 1. Asia voidaan korjata integroimalla ää- rellisen geometrisen summan kaava ja tutkimalla sen raja-arvoa. Jätän sen harjoitustehtäväksi lukijalle.

Tehtävä 2.a) Millainen yhtälö saadaan, kun kaavan 1−x+x²−x³+x⁴− · · ·+ (−x)ⁿ⁻¹= 1−(−x)ⁿ

1−(−x)

= 1

1 +x−(−1)ⁿ xⁿ 1 +x eri osat integroidaan välillä 0≤x≤1?

b) Osoita, että 0<

Z 1

0

xⁿ

1 +xdx < 1 n+ 1 kaikillan∈N.

c) Perustele tarkasti a- ja b-kohtien avulla vuorottelevan harmonisen sarjan summa ln 2.

Sekoitellaan termejä

Tutkitaan, mitä tapahtuu, kun vuorottelevan harmonisen sarjan termejä yhdistellään seuraavalla tavalla:

1−1 2 = 1

2, 1

3−1 6 = 1

6, 1

5 − 1 10= 1

10, 1

7 − 1 14= 1

14

1Hienosti sanottuna uudelleen sulutetun sarjan osasummien jono on alkuperäisen sarjan osasummien jononosajono, joten sillä on sama raja-arvo.

2Vastaava yleinen tulos on Leibnizin vuorottelevia sarjoja koskeva suppenemistesti.

(14)

jne. Tällöin kaikki parittoman nimittäjän termit hä- viävät sarjasta, mutta muotoa−1/4,−1/8,−1/12,. . . olevat termit jäävät käyttämättä. Tulos voidaan tiivis- tää seuraavaan kaavaan:

1−1

2

−1 4+

1 3 −1

6

−1 8+

1 5− 1

10

− 1 12+. . .

=1 2 −1

4+1 6−1

8 + 1 10− 1

12+. . .

=1 2

1−1

2+1 3−1

4 +1 5−1

6+. . .

=1 2ln 2.

Systemaattisemmin selitettynä sarjan (2) termien jär- jestystä on muutettu niin, että yhden positiivisen termin jälkeen vähennetään seuraavat kaksi negatiivista termiä, joita ei vielä ole käytetty. Sen jälkeen sama toistetaan aloittamalla ensimmäisestä positiivisesta termistä, jota ei ole aikaisemmin käytetty. Kokeilemalla huomataan, että yleinen muoto kolmelle peräkkäiselle termille on

1

2k−1 − 1

4k−2 − 1 4k,

kun k= 1,2,3, . . . Tätä ryhmittelyä toistetaan loput- tomiin, jolloin tuloksena on kaava

1−1 2 −1

4+1 3 −1

6 −1 8+1

5 − 1 10− 1

12+· · ·=1 2ln 2.

Mitä tämä tarkoittaa? Yksinkertaisesti sitä, että yllä kuvatulla uudelleenjärjestelyllä vuorottelevan harmonisen sarjan summa puolittuu, vaikka kokonaisuudessa ovat mukana täsmälleen samat summattavat termit³! Saatua tulosta voidaan käyttää myös toisenlaiseen uu- delleenjärjestelyyn. Koska yllä olevan perusteella

1

2ln 2 = 1 2 −1

4 +1 6−1

8 +. . .

= 0 + 1

2+ 0−1

4+ 0 + 1

6+ 0−1

8 + 0 +. . . , niin laskemalla tämä yhteen⁴ vuorottelevan harmonisen sarjan (2) kanssa saadaan

3

2ln 2 = (1 + 0) +

−1 2 +1

2

+ 1

3+ 0

+

−1 4 −1

4

+ 1

5+ 0

+

−1 6+1

6

+. . .

= 1 + 0 +1 3−1

2 +1

5+ 0 + 1 7−1

4 +. . .

= 1 +1 3 −1

2 +1 5+1

7 −1 4 +. . .

Tässä siis kahden positiivisen termin jälkeen otetaan seuraava aikaisemmin käyttämätön negatiivinen termi jne.

Todetaan vielä lopuksi, että toistamalla sääntöä ”yksi positiivinen ja neljä seuraavaa negatiivista” saadaan uudelleenjärjestely, jonka summa on 0; ts.

∞

X

k=1

1

2k−1 − 1

8k−6− 1

8k−4 − 1

8k−2 − 1 8k

= 0.

Tämän voi perustella tutkimalla erikseen kunkin vii- den summan asymptoottista käyttäytymistä Eulerin ja Mascheronin vakion (viite [5]) avulla, mutta jääköön se (huomattavasti edellisiä hankalammaksi) harjoitusteh- täväksi. Toinen systemaattisempi tapa on käyttää ns.

residylaskentaa viitteen [6] kohdan Example 2 tapaan, mutta tämä menee jo kokonaan lukiomatematiikan ul- kopuolelle.

Viitteet

[1] Pekka Alestalo: Harmoninen sarja. Matematiikka- lehti Solmu 3/2014, s. 10–11.

http://matematiikkalehtisolmu.fi/2014/3/

harmsarja.pdf

[2] Anne-Maria Ernvall-Hytönen: Summien arviointi integraalien avulla. Matematiikkalehti Solmu 1/2015, s. 16–20.

http://matematiikkalehtisolmu.fi/2015/1/

summien_arviointi_integraaleilla.pdf [3] P. Harjulehto, R. Klén, M. Koskenoja: Analyysia

reaaliluvuilla. Korjattu 3. painos. Unigrafia, 2014.

[4] Juhani Pitkäranta: Calculus Fennicus.

https://github.com/avoimet-

oppimateriaalit-ry/calculus-fennicus [5] https://fi.wikipedia.org/wiki/Eulerin-

Mascheronin_vakio

[6] https://en.wikipedia.org/wiki/

Residue_theorem

3Yleisemmin voidaan osoittaa, että kun kiinnitetään ensin reaalilukur, niin vuorottelevan harmonisen sarjan termit voidaan jär- jestää niin, että uusi sarja suppenee kohti lukuar. Tämä on erikoistapaus ns. Riemannin uudelleenjärjestelylauseesta, joka pätee monille muillekin sarjoille.

4Nollien lisääminen ei vaikuta sarjan summaan, mutta niiden avulla yhteenlaskettavat termit osuvat kohdalleen.

(15)

Vertikaalisesti suunnikkaasta

Lehtori K.

Suorakulmiossa lävistäjien neliöiden summa on sivujen

b b

a a

l1

l2

neliöiden summa:

l²₁+l²₂= 2a²+ 2b².

Luonnollisesti lävistäjät ovat yhtä pitkät ja väite seuraa välittömästi Pythagoraan lauseesta. Mitä tapahtuu, jos suorakulmio tönäistään lyttyyn suunnikkaaksi?

Sivujen pituudet tietenkin säilyvät ja vastakkaiset si- vut pysyvät yhdensuuntaisina. Toinen lävistäjä kasvaa ja toinen lyhenee. Muuttuuko niiden neliöiden summa?

Pythagoraan lausetta soveltaen saamme kuvion

b h b h

x a−x x

a l1

l2

merkinnöillä

l²₁+l₂²= (a+x)²+h²+ (a−x)²+h²

=a²+ 2ax+x²+a²−2ax+x²+ 2h²

= 2a²+ 2x²+ 2h²

= 2a²+ 2(x²+h²) = 2a²+ 2b².

Summa pysyy samana, vaikka suorakulmio voidaan äärettömän monella eri tavalla litistää suunnikkaaksi.

Olemme siis todistaneet lauseen:Suunnikkaan lävistä- jien neliöiden summa on yhtäsuuri kuin sen sivujen ne- liöiden summa. Tällaistakin matematiikkaa vanha lukion lehtori toivoisi yläkoulussa käsiteltävän. Lauseel- la ei sinänsä ole mitään käyttöä koulumatematiikassa, mutta se on mainio esimerkki eksaktista matemaatti- sesta totuudesta. Se on mielipiteistä riippumaton fakta, jota ei voi kumota ”vaihtoehtoisia totuuksia” twiittai- lemalla. Matemaattiset totuudet ovat pysyviä. Vaikka koulumatematiikassa ei väitteitä yleensä voi sitovasti todistaa, olisi kuitenkin peruskoulun opetuksessa oltava tällaisia esimerkkejä, jotta eksaktiin ajatteluun ky- kenevät oppilaat saisivat oikean käsityksen matematiikan ainutlaatuisesta, muista oppiaineista poikkeavasta luonteesta. Pelkkä laskeminen ei kehitä ajattelua.

Katsomme seuraavaksi, miten suunnikaslause todistetaan lukion matematiikassa. Geometrian kurssilla laa- jennetaan trigonometristen funktioiden määrittelyalue käsittämään myös tylpät kulmat, mikä on edellytyk- senä sini- ja kosinilauseiden käsittelylle. Tuolloin todetaan mm. että suplementtikulmien kosinit ovat toistensa vastalukuja. Kosinilause sopiikin täydellisesti suun-

(16)

nikaslauseen todistamiseen, sillä suunnikkaan vierek- käiset kulmat ovat toistensa suplementtikulmia. Ku- vion

b b

α β

a

a l1

l2

merkinnöillä saamme

l₁²=a²+b²−2abcosβ ja l₂²=a²+b²−2abcosα, mistä yhteenlaskemalla seuraa

l₁²+l²₂= 2a²+ 2b²−2abcosα−2abcosβ

= 2a²+ 2b²−2ab(cosα+ cosβ)

= 2a²+ 2b².

Mielenkiintoisin suunnikaslauseen todistus nähdään kuitenkin lukion pitkän matematiikan vektorikurssil- la. Siellä vektoreita käsitellään kaksi- tai kolmiulottei- sessa avaruudessa koordinaatistoa käyttäen tai ilman koordinaatistoa. Vektorit, jotka eivät ole samalla suoralla, määrittävät suunnikkaan

a+b a−b b

a

jonka lävistäjinä ovat vektorien summa ja erotus.

Vektoriena jabskalaarituloa·b=|a||b|cosγ, missä γon vektorien välinen kulma. Sen ominaisuuksia

a·b=b·a, (1)

a·tb=ta·bkaikillat∈R, (2) a·(b+c) =a·b+a·c, (3)

a·a≥0, (4)

a·a=|a|², (5)

jotka pätevät kaikille vektoreille a,b,c sekä kaikille t∈R, käyttäen saamme lävistäjien neliöt

|a+b|²= (a+b)·(a+b)

=|a|²+ 2a·b+|b|²,

|a−b|²= (a−b)·(a−b)

=|a|²−2a·b+|b|²,

ja niiden summan

|a+b|²+|a−b|²= 2|a|²+ 2|b|².

Tarkkaavainen lukija havaitsee, että tässä tarvittiin ai- noastaan vektorien laskutoimituksia ja skalaaritulon ominaisuuksia. Emme missään kohdassa vedonneet siihen, että vektorit olisivat kaksi- tai kolmiulotteisen avaruuden suunnattuja janoja. Siten a ja b saavat olla mitä tahansa olioita, joille on määritelty yhteenlasku, reaaliluvulla kertominen ja skalaaritulo niin, että vek- toriopin kurssilla opitut laskusäännöt ja skalaaritulon ominaisuudet (1)–(5) ovat voimassa. Katsomme esi- merkin eräästä tällaisesta oliojoukosta. Tutkitaan päät- tymättömiä reaalilukujonojax= (x₁, x₂, x₃, . . .), joille sarja

∞

X

ı=1

x²_ı

suppenee. Tällaisten lukujonojen joukkoa merkitään symbolillal²; nimen etymologia selviää matematiikasta kiinnostuneille yliopisto-opinnoissa. Jos x ∈ l² ja y∈l² jat∈R, niin määritellään

x+y= (x₁+y₁, x₂+y₂, x₃+y₃, . . .) ja tx= (tx1, tx2, tx3, . . .).

Voidaan todistaa, että sarjat

∞

X

ı=1

(xı+yı)²,

∞

X

ı=1

(txı)² ja

∞

X

ı=1

xıyı

suppenevat, joten x+y ∈ l² ja tx ∈ l². Todistukset ovat osin varsin syvällistä yliopistomatematiikkaa, joten niitä ei voi esittää tässä. Lisäksi voidaan todistaa, että summa ja reaaliluvulla kertominen noudattavat lu- kiossa opittuja vektorien laskusääntöjä ja

x·y=

∞

X

ı=1

xıyı

toteuttaa skalaaritulon ominaisuudet (1)–(4). Voimme siis hyvällä syyllä kutsua näitä lukujonoja vektoreiksi.

Nollavektorikin joukosta l² löytyy; se on pelkistä nol- lista muodostuva jono. Vektorinxpituus määritellään skalaaritulon avulla:

|x|²=x·x=

∞

X

ı=1

xıxı=

∞

X

ı=1

x²_ı.

Joukkol²on rakenteeltaan analoginenxy-tason vekto- rijoukon kanssa. Kaksiulotteisessa xy-tasossa voidaan kantavektoreiksi valita vektoriti= (1,0) jaj= (0,1), ja vektori a = (x, y) voidaan esittää niiden lineaarikombinaationa:

a= (x, y) = (x,0) + (0, y) =x(1,0) +y(0,1) =xi+yj.

Joukossal²voimme vastaavalla tavalla valita kantavektoreiksi yksikkövektorit

eı= (0,0, . . . ,0

| {z }

ı−1 kpl

,1,0,0,0, . . .),

(17)

missä ı = 1,2,3, . . . Vektori x = (x₁, x₂, x₃, . . .) voi- daan esittää kantavektorien lineaarikombinaationa:

x= (x₁, x₂, x₃, . . . , x_ı, . . .)

=x1(1,0,0, . . .) +x2(0,1,0. . .) +. . .

=x₁e₁+x₂e₂+. . .+x_ıe_ı+. . .

=

∞

X

ı=1

x_ıe_ı.

Selvästi eı·e = 0, kun ı6= , joten voimme ajatella, että vektorit eı ovat pareittain toisiaan vastaan koh- tisuorassa. Kantavektorien lukumäärä ilmoittaa vekto- rijoukon dimension. Tätenxy-taso on kaksiulotteinen, mikä ei ole yllätys. Sen sijaanl² on ääretönulotteinen vektorijoukko, mikä ehkä tuntuu hieman eksoottiselta.

Viitteessä [1] mainitut ominaisuudet omaavaa epätyh- jää joukkoa sanotaanvektoriavaruudeksi ja sen alkioi- ta vektoreiksi. Joukon l² vektoreilla on nämä ominaisuudet, joten se on vektoriavaruus. Jos vektoreille on määritelty ominaisuudet (1)–(4) toteuttava skalaaritulo, niin vektoriavaruutta kutsutaan sisätuloavaruu- deksi. Sisätulo on skalaaritulon vaihtoehtoinen nimi- tys. Jos sisätuloavaruus toteuttaa ns. täydellisyyseh- don, jonka sisältöä ei tässä kirjoituksessa voi selittää, niin sitä kutsutaan Hilbertin¹ avaruudeksi. Voidaan osoittaa, ettäl² toteuttaa myös täydellisyysehdon, joten se on Hilbertin avaruus. On olemassa ääretön mää- rä oliojoukkoja, joiden alkioille voidaan määritellä Hil- bertin avaruuden aksioomat toteuttavat laskulait. Hil- bertin avaruus on siis yleisnimitys kaikille tuollaisille oliojoukoille, se on abstraktiotasoltaan niitä korkeam- pi matemaattinen abstraktio. Pelkästään vektorien laskutoimituksia, sisätulon ominaisuuksia ja täydellisyy- sominaisuutta käyttäen voidaan johtaa yleisiä Hilber- tin avaruuden ominaisuuksia, joilla on omat ominaiset

ilmenemismuotonsa kussakin Hilbertin avaruuden aksioomat toteuttavassa joukossa. Myös suunnikaslause on voimassa ja se osoittautuukin varsin tärkeäksi työ- kaluksi Hilbertin avaruuden ominaisuuksien selvittämi- sessä. Siksi tällaista korkeamman matematiikan helmeä ei kannattaisi jättää käsittelemättä peruskoulun matematiikassa, kun sen todistamiseksi on olemassa kaikki valmiudet. Hilbertin avaruuksien sovelluksista mainittakoon kvanttimekaniikan ilmiöiden matemaattinen mallintaminen, ks. [2], ja signaalinkäsittelytekniikan tärkein matemaattinen työkalu, Fourier²-analyysi, ks.

[3]. Näin siis suunnikaslause, paitsi että se antoi aiheen tähän kirjoitukseen, mahdollisti myös osaltaan sen kir- joittamisen puolijohdetekniikkaan perustuvalla läppä- rillä ja lähettämisen langattomasti Solmun toimituksen arvioitavaksi. Mainittakoon lopuksi, että Hilbert suo- ritti tähän alaan liittyvät tutkimuksensa aikana, jolloin kvanttifysiikka oli vasta alkutekijöissään. Ei siis ollut aavistustakaan siitä, että atomitason ilmiöitä voidaan kuvata matemaattisesti ääretönulotteisilla vektoriava- ruuksilla. Siinäpä pohtimista niille, joiden mielestä ai- noastaan välitöntä hyötyä tuottavaa tutkimusta kannattaa rahoittaa.

Viitteet

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_

space#Definition

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/

Mathematical_formulation_of_quantum_

mechanics

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_

space#Fourier_analysis

1David Hilbert (1862–1943), saksalainen matemaatikko.

2Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), ranskalainen matemaatikko.

(18)

Kirja-arvio: Retkeilyllä matematiikan maisemissa

Matti Lehtinen

Simo K. Kivelä: Vaellusretkiä matematiikkaan.

Omakustanne. Espoo 2017. 210 sivua. Hinta eri verk- kokaupoissa 29,92–37,35 euroa.

Jos matematiikasta kirjoittaa muuten kuin oppikirjan mielessä, on keksittävä sopivasti kuvaileva nimi. Hyllys- säni on Teuvo Aittokallion mainio Patikkaretkiä ma- tematiikan maisemaan (tuon kirjan kustantajakin on nimeltäänMatikkaretket) ja monikansallinen tuote ni- meltä Lukujen taikaa; sen selkämyksessä on kuitenkin isoin kirjaimin Löytöretki. Samaa retkiteemaa olen it- sekin tapaillut parikymmentä vuotta sitten Solmussa

julkaistuissa Turistina matematiikassa -kirjoituksissa, jotka olin alaotsikoinut tyyliin ”n:s retki”.

Teknillisen korkeakoulun pitkäaikainen opettaja, mo- nin tavoin matematiikan opetukseen yleisemminkin vaikuttanut ja Solmua paljon avustanutSimo K. Ki- veläon nyt liittynyt matematiikan retkeilijöihin. Kive- län aikaisempia projekteja on esimerkiksi lukiotasoisen matematiikan tietosanakirja M niin kuin matematiik- ka.

Kivelän kirjassa on 25 lukua, kukin noin 5–10 sivun pituinen. Jokaista näistä voi pitää omana retkenään matematiikan maisemaan. Retkien kohteet vaihtelevat, mutta muutamat suuntautuvat samanlaisille seuduille.

Kirjoitukset käsittelevät sekä matematiikan rakennet- ta että sen soveltamista. Ne voi lukea pitkälti toisistaan riippumatta, mutta jonkinlainen punainen lanka ja pe- dagoginen tavoite on kuitenkin mukana. Koulumate- matiikka on aika ahdas aitaus ja moni joutuu elämään elämänsä tietämättä juuri mitään aidan ulkopuolella leviävästä matematiikan maailmasta. Kaikki Kivelän retket tehtyään lukija on kartoittanut itselleen melkoi- sen alueen matematiikan maastoa, koulumatematiikan liepeiltä ja vähän kauempaakin.

Kirja lähtee liikkeelle matematiikan olemuksen ytimen, aksioomien pohtimisesta. Eukleideen ja Hilbertin geo- metristen järjestelmien jälkeen esitellään vielä tyypillinen nykyaikainen aksiomaattinen rakenne, ryhmä. Toi- sellakin retkellä tavataan Eukleides, sillä nyt tarkastel- laan piirroksia harpilla ja viivoittimella. Kaikkea niil- lä ei voi tehdä, mutta jos hiukan lisäapua sallitaan, niin kulman voi jakaa kolmia. (Sivun 22 kuvassa näy-

(19)

tetään eräs kulman kolmijako ns.neysis-menetelmällä.

Sen sanotaan olevan peräisin François Vièteltä 1500- luvulta, mutta konstruktio näyttää kyllä samalta, jota joArkhimedeensanotaan käyttäneen. Ensi kerran muuten näin Viètestä käytettävän nimitystä ”harrastaja- matemaatikko”. Totta toki on, ettei matematiikka hä- nelle elantoa suonut, niin kuin ei esimerkiksiPierre de Fermat’llekaan.) Kolmannella retkellä määritetään ym- pyrän alan ylä- ja alalikiarvot keinona ympyrän jakami- nen samankeskisiksi renkaiksi, joiden alaa approksimoi- daan suorakulmiona. Pallon tilavuudelle tehdään sama käyttämällä viipalointia ja viipaleen tilavuuden ver- taamista lieriöön. Neljännen retken aiheena ovat koor- dinaatistot. Viides retki käsittelee erityistä ääriarvo- ongelmaa,n:n pisteen asettamista pallon pinnalle niin, että pienin pisteiden välisistä etäisyyksistä maksimoi- tuu. Yllättävän hankala ongelma antaa aiheen tarkas- tella ääriarvotehtävän olemusta yleisemmin.

Kuudennessa retkessä palataan taas matematiikan pe- rusteisiin: aiheena ovat luonnolliset luvut, Peanon aksioomat ja induktio. Ilokseni huomaan, että Kive- lä aloittaa luonnollisten lukujen joukon ykkösestä ei- kä nollasta. Seuraava luku esittelee irrationaalisuuden lähinnä päättymättömien desimaalilukujen kautta ja näyttää, miten reaaliluvut määritellään aksiomaatti- sesti. Sitä pientä ongelmaa, jonka tuottaa ”päätty- mätön jakolasku” rationaalilukujen maailmassa, ennen kuin reaaliluvut on jollain tavalla määritelty, ei tuo- da esiin. Desimaaliluvut ovat isossa asemassa sitten seuraavalla retkellä, joka käsittelee luvunπdesimaali- esityksen määrittämistä. Samassa yhteydessä esitetään todistusπ:n irrationaalisuudelle; suunnilleen sama löy- tyy vuoden 2001 Solmusta.

Kompleksilukuja käsittelevä 9. luku antaa yleisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisun Mathematica-ohjel- miston tarjoamassa muodossa. Tässä yhteydessä esitetty johtopäätös, jonka mukaan reaalistenkin juur- ten määrityksessä tulisi aina kulkea kompleksilukujen kautta, on hiukan liian pessimistinen. Kymmenennen retken aiheena ovat vektorit ja yleisemminkin vekto- riavaruudet. Niiden aksiomaattinen määritelmä esite- tään, samoin yleinen sisätulo. Hiukan oikoen saadaan jopaEulerin johtama kaava kokonaislukujen neliöiden käänteislukujen summalle. Vektoreita sovelletaan seu- raavassa retkessä konkreettiseen retkiongelmaan: maa- pallon isoympyrän kaaren pituuden määrittämiseen.

Esimerkkinä on suorin tie Helsingistä Tokioon. Vek- torien pistetulon kautta päädytään lausekkeeseen, joka on pallotrigonometrian kosinilause. Mihin suuntaan on lähdettävä? Sen Kivelä ratkaisee etsimällä Helsingin ja Tokion kautta kulkevan isoympyrän tangenttivek- torin. Ehkä helpommalla pääsisi käyttämällä pallotrigonometrian kosinilausetta uudelleen Helsinki–Tokio–

pohjoisnapa -pallokolmioon, nyt sen Helsingin-kärkeen.

Seuraavat kolme retkeä käsittelevät perspektiivistä, deskriptiivistä ja projektiivista geometriaa. Tässä lii-

kutaan alueilla, jotka epäilemättä liittyvät Kivelän vir- katyöhön teekkarien opettajana, ja myös hänen vuonna 2008 julkaisemaansa kirjaanPerspektiivikuvan geomet- riset perusteet.

Retket numero 15–17 on omistettu ”matematiikan tär- keimmälle käsitteelle”, funktiolle, ja sen jatkuvuudelle.

Jatkuvuus sekä , δ -mielessä että topologisessa mer- kityksessä tulevat esitellyiksi. Retki 18 palaa geometrian ja topologian pariin: esittelyssä ovat Platonin mo- nitahokkaat ja yleisemmät pinnat. Pienenä omituisuu- tena voi pitää sitä, että Kivelä nimeää Platonin kap- paleiksi tetraedrin jne., kun kyse kuitenkin on nimen- omaan säännöllisistä monitahokkaista. Retkellä 19 tavataan joukko eri tavoin määriteltyjä käyriä ja pintoja.

Esitellään myös splinit ja Bézierin käyrät, jotka usein täyttävät hyvin kaksi eri suuntiin vetävää vaatimusta:

ne saadaan kulkemaan haluttujen pisteiden kautta ja olemaan riittävän sileitä.

Retki 20 on jälleen analyysiä: integraalin historiaa valo- tetaan aina Arkhimedeen oivalluksista alkaen. Retkillä 21 ja 22 kohdataan differentiaaliyhtälöitä konkreettisis- sa mutta epätriviaaleissa yhteyksissä. Viimeisillä retkil- lä simuloidaan planeettaliikettä, sovitetaan käyriä em- piiriseen aineistoon ja viimein esitellään hiukan toden- näköisyyttä. Kirja on ajankohtainen: lottoa käsitellään sen nykyisessä, 40 pallon muodossa.

Jokaisen retken lopussa on joukko täydentäviä huo- mautuksia ja lisätiedon luo ohjaavia viitteitä, yleensä tietoverkkoon osoittavia. Laskin, että eri verkkosivuja luetellaan melkein 150 kappaletta. Lisäksi Kivelä eh- dottaa monia hakukoneen käyttötapoja. Etupäässä vii- tataan englanninkielisiin sivustoihin. Joissakin tapauk- sissa olisi saattanut löytyä suomenkielisiäkin tietoläh- teitä, vaikkapa Solmusta tai matematiikan kilpailuval- mennuksen aineistoista.

Kivelän kirja on huolella toimitettu. Hyvälaatuisia ku- via on runsaasti. Varsinaisia lipsahduksia ei sattunut silmään. Joistakin puhtaasti makuasioista voisi olla toistakin mieltä. Kivelä kirjoittaa desimaaliluvut an- glosaksiseen tapaan pisteellä, ja käyttää uudempien suositusten mukaista mutta ainakin minun silmääni epäesteettistä tapaa kirjoittaa muutamat perinteises- ti kaavoissa kursivoitavat symbolit kutenejaiversaa- likirjaimin.

Kivelän teos on omakustanne. Kyllä se komeasti ylit- täisi kustantamojen laatukriteerit, mutta sellaista aikaa nyt vain eletään, että tämänlaatuinen tietokir- ja ei ole suosiossa. Niin matematiikkaan suuntautu- van nuoren kuin matematiikan opettajankin kannattaa hankkia Kivelän kirja. Hakukoneen avulla löytyy useita verkkokauppoja, joiden valikoimiin Vaellusretket kuu- luu. Takakansi lupaa, että kirja pyrkii täydentämään koulun antamaa mielikuvaa matematiikan rakenteista ja niiden hyödyntämisestä eri yhteyksissä. Tämän lu- pauksen kirja loistavasti täyttää.

(20)

Collatzin konjektuuri ja algoritmien analysointi

Antti Laaksonen

Aalto-yliopisto ja Helsingin yliopisto ahslaaks@cs.helsinki.fi

Jokaiselle tietokoneen käyttäjälle ovat tuttuja erilaiset ongelmat ohjelmien kanssa, kuten jumiutuminen ja vir- heellinen toiminta. Ohjelmien virheitä korjataan pik- kuhiljaa, mutta aina löytyy myös uusia. Herää kysy- mys, miksi tällaisia ongelmia ei korjata järjestelmälli- sesti. Eikö olisi hyvä idea ottaa avuksi matematiikka ja todistaa ennen ohjelman julkaisua, että ohjelma toimii aina halutulla tavalla?

Tämä on hieno tavoite, mutta tehtävä on vaikeampi kuin voisi kuvitella. Itse asiassa osoittautuu, että ylei- sessä tapauksessa onmahdotontaanalysoida automaat- tisesti ohjelmien toimintaa. Tässä kirjoituksessa tutus- tumme aiheeseen sekä teorian että käytännön kautta.

Collatzin konjektuuri

Collatzin konjektuuri vuodelta 1937 liittyy seuraavaan algoritmiin: Valitaan aluksi positiivinen kokonaisluku n. Josnon parillinen, se jaetaan kahdella, ja jos non pariton, se kerrotaan kolmella ja tulokseen lisätään yksi. Tätä jatketaan, kunnesn on 1. Esimerkiksi valinta n= 6 tuottaa seuraavan ketjun:

6→3→10→5→16→8→4→2→1 Collatzin konjektuurin mukaan millä tahansa n:n va- linnalla algoritmin tuottama ketju päättyy lukuun 1 eli algoritmipysähtyyaina.

Algoritmin voi toteuttaa käytännössä esimerkiksi seuraavasti Python-kielellä:

def collatz(n):

while n > 1:

if n%2 == 0:

n = n/2 else:

n = 3*n+1

On helppoa varmistaa, että Collatzin algoritmi pysäh- tyy pienillän:n arvoilla, mutta voisiko olla jokin suuri n:n arvo, jolla näin ei tapahdu?

Suoraviivainen tapa tutkia algoritmin toimintaa on antaa sille järjestyksessä n:n arvoja 1,2,3, . . . ja katsoa, mitä tapahtuu. Yksi kiinnostava tieto algoritmiin liit- tyen on askelten määrä ketjussa tietyllä n:n arvolla.

Voimme laskea tämän muuttamalla algoritmia näin:

def collatz(n):

c = 0

while n > 1:

c += 1 if n%2 == 0:

n = n/2 else:

n = 3*n+1 return c

Nyt esimerkiksi funktiokutsucollatz(6)palauttaa ar- von 8, koska tapauksessan= 6 ketjussa on 8 askelta.

(21)

Voimme laskea lämmittelynä vaikkapa askelten mää- rät, kun alkuarvonon välillä 1. . .10:

alkuarvon askelten määrä

1 0

2 1

3 7

4 2

5 5

6 8

7 16

8 3

9 19

10 6

Taulukosta voi havaita, ettei askelten määrälle ole ainakaan kovin yksinkertaista sääntöä, joka pistäisi silmään heti ensimmäisistä taulukon arvoista.

Nyt on aika ottaa järeämmät keinot käyttöön ja tutkia algoritmia suuremmilla n:n arvoilla. Seuraava tauluk- ko kertoo suurimman askelten määrän, kun algoritmia testataan kaikillan:n arvoilla tiettyyn rajaan asti.

suurinn:n arvo suurin askelten määrä

10 19, kunn= 9

10² 118, kunn= 97

10³ 178, kunn= 871

10⁴ 261, kunn= 6171

10⁵ 350, kunn= 77031

10⁶ 524, kunn= 837799

Tiedämme nyt, että algoritmi pysähtyy ainakin alkuar- voonn= 10⁶asti ja suorittaa enimmillään 524 askelta tapauksessan= 837799 ennen pysähtymistä. Näyttää siltä, että n:n kasvaessa löytyy aina uusia tapauksia, joissa askelten määrä on aiempaa suurempi, mutta askelten määrä kasvaa hitaasti verrattunan:n kokoon.

Voisimme jatkaa algoritmin tutkimista vielä suuremmilla n:n arvoilla, joskin ennen pitkää laskenta alkaisi viedä paljon aikaa. Kokeilemalla kaikkia arvoja on sel- vitetty [3], että algoritmi pysähtyy ainakin aina, kunn on korkeintaan 5·2⁶⁰. Tämän laskeminen vaati hyvin optimoidun algoritmin ja useita vuosia aikaa.

Tämän aineiston perusteellavaikuttaa siltä, että algoritmi pysähtyy aina. Kukaan ei kuitenkaan tiedä tapaa todistaa, että näin olisi, vaikka lukuisat matemaatikot ovat pohtineet ongelmaa.

On helppoa keksiä erilaisia muunnelmia algoritmista.

Esimerkiksi Solmun numerossa 1/2017 Juhani Fiskaali esitti seuraavan algoritmin [1]:

def fiskaali(n):

while n > 1:

if n%3 == 0:

n = n/3 elif n%3 == 1:

n = 4*n-1

else:

n = 5*n-7

Tämän algoritmin analysointi on huomattavasti hel- pompaa, koska arvollan = 1352 algoritmi ei pysähdy koskaan, vaan ketju on muotoa

1352→6753→2251→9003→ · · · →9003→ · · ·, missä luvusta 9003 alkaa 194 askeleen ketju, joka palaa takaisin lukuun 9003.

Collatzin konjektuuri antaa näytteen siitä, miten vai- keaa voi olla selvittää, pysähtyykö algoritmi. Vaikka algoritmissa on vain muutama rivi koodia, kukaan ei osaa sanoa varmasti, pysähtyykö se. Vertailun vuoksi tietokoneen käyttöjärjestelmässä voi olla miljoonia ri- vejä koodia. Ei ihme, että tietokone voi jäädä jumiin, eikä kukaan osaa selittää asiaa.

Pysähtymisongelma

Pysähtymisongelmassa on tehtävänä selvittää, pysäh- tyykö annettu algoritmi. Esimerkiksi seuraava algoritmi laskee summan 1 + 2 +. . .+nja selvästi pysähtyy kaikillan:n arvoilla:

def summa(n):

s = 0

for i in range(1,n+1):

s += i return s

Seuraava algoritmi taas ei pysähdy syötteellän = 13, koska algoritmi tulostaa silloin loputtomasti rivejä, joissa lukee ”Heippa!”:

def hassu(n) if n == 13:

while True:

print "Heippa!"

Pysähtymisongelma on varmasti vaikea ongelma, koska Collatzin konjektuuri on vain yksi ongelman erikoistapaus. Itse asiassa jos meillä olisi varma keino selvittää, pysähtyykö annettu algoritmi aina, voisimme ratkaista saman tien monia matematiikan avoimia ongelmia. Esi- merkiksi lukuteorian suuria kysymyksiä on, onko olemassa äärettömästi alkulukupareja eli pareja muotoa (p, p+ 2), missäpjap+ 2 ovat alkulukuja. Esimerkiksi (5,7), (11,13) ja (17,19) ovat tällaisia pareja. Voimme tutkia ongelmaa seuraavalla algoritmilla:

def haku(n):

while True:

if alkuluku(n) and alkuluku(n+2):

break n += 1

Algoritmille annetaan luku n ja se alkaa etsiä paria (p, p+ 2), jossa p ≥ n ja p ja p+ 2 ovat alkulukuja.