c) Osoita, ett¨a tan(z +π

KOMPLEKSIANALYYSI I Harjoitus 7, kev¨at 2006

1. a) Osoita, ett¨a sin ¯z = sinz aina, kun z ∈ C.

b) Osoita, ett¨a cos(z₁ +z₂) = cosz₁cosz₂ −sinz₁sinz₂ aina, kun z₁, z₂ ∈ C.

c) Osoita, ett¨a tan(z +π) = tanz aina, kun z 6= ^π₂ +n·π.

d) Osoita, ett¨a arctanz = i 2 log

i +z

i −z

.

2. Osoita, ett¨a d

dz(arctanz) = 1 1 +z².

3. Laske raja-arvot a) lim

z→0

e^z2 −1

z² + 2z, b) lim

z→^π₂

cosz

z− ^π₂, c) lim

z→0

cos 2z−1 sin²z .

4. Osoita, ett¨a funktio u(x, y) = e^axcosay (a ∈ R vakio ),(x, y) ∈ R², on harmooninen koko C:ss¨a. M¨a¨ar¨a¨a sellainen funktio v : R² → R, ett¨a funktio f = u+iv on analyyttinen koko C:ss¨a.

5. M¨a¨ar¨a¨a derivaatta f⁰(z), kun

a) f(z) = cos(z²+iz), b) f(z) = e^z1.