Platonin kappaleet,
niiden ominaisuuksia ja sovellutuksia
Pro gradu -tutkielma Niko Hannila
251466
Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto
24. tammikuuta 2021
Tiivistelmä
Pro gradu -tutkielmani aihe kumpuaa kandidaatin tutkielmastani, jossa tut- kin Eulerin monitahokaslausetta. Pro gradu -tutkielmassani halusin keskittyä monipuolisemmin monitahokkaiden maailmaan, erityisesti tutkien Platonin kappaleita. Platonin kappaleet ovat viisi säännöllistä monitahokasta, joiden kauneutta ollaan ihasteltu jo vuosituhansia. Siksi niitä kutsutaan joskus myös täydellisiksi monitahokkaiksi. Tutkielma on kirjallisuuskatsaus liittyen Pla- tonin kappaleisiin.
Platonin kappaleet ovat innoittaneet niin taiteilijoita kuin matemaatikko- jakin. Voisi melkein sanoa, että Platonin kappaleiden tutkimisen seurauksena on kehittynyt jopa monia uusia matematiikan osa-alueita, kuten verkkoteoria ja topologia.
Määrittelen tutkielmani ensimmäisessä luvussa monitahokkaan monipuo- lisesti. Millainen on monitahokas, mitä konveksisuus tarkoittaa sekä tietysti millainen on säännöllinen monitahokas. Toisessa luvussa keskityn Platonin kappaleisiin avaamalla näiden historiaa, kappaleiden peruspiirteistä muodos- tunutta Eulerin monitahokaslausetta sekä todistamalla vain viiden kappaleen olemassaolosta.
Seuraavaksi tutustun monitahokkaiden ominaisuuksiin esittelemällä Pla- tonin kappaleiden duaalisuuden ja tarkastelemalla niin symmetriaa. Lopuksi tarkastelen vielä näistä ominaisuuksista seuraavia sovellutuksia, joita ovat muun muassa tunnettu Neliväriongelma, Pickin lause sekä kuinka pakkaami- nen luonnistuu Platonin kappaleilla.
Abstract
The topic of my master's thesis comes from my bachelor's thesis, where I studied Euler's formula considering polyhedras. In my master's thesis I wan- ted to give focus more broadly into polyhedras, especially to Platonic solids.
Platonic solids are ve regular polyhedras, whose beauty we have wondered for centuries. That is the reason why they are sometimes called perfect solids.
This thesis is a literature review.
Platonic solids has inspired artists but also mathematicians. It is safe to say that studying Platonic solids has developed whole new elds in mathe- matics like graph theory and topology.
In the rst chapter I will dene polyhedra. I will answer questions like what is a polyhedra, what convexity means and, of course, what are the properties of a regular solid. In the second chapter I will focus on the history of Platonic solids, present how Euler's formula came to alive through Platonic solids and proof that only ve such regular solids exist.
Afterwards I will introduce some properties of Platonic solids like duality and their symmetry. Finally, I will examine few applications which are Four colour theorem, Pick's theorem and scratch the subject of packing Platonic solids.
Kiitokset
Mieltäni lämmittää syvä kiitollisuus läheisiäni kohtaan, jotka ovat kulkeneet vierelläni koko tämän pitkän matkan opintojen alusta asti kohti pro gradun kirjoittamista ja maisteriksi valmistumista.
Haluan sydämeni pohjasta kiittää tutkielman valmistumisesta rakasta vaimoani Eveliinaa, joka on rakkaudellaan osoittanut myötätuntoa tutkiel- man kirjoittamisen, työelämän ja arjen tasapainoilun haasteissa.
Kiitän lisäksi vanhempiani, perhettäni, appivanhempiani ja ystäviäni Ju- haa, Joonaa, Villeä, Aarnea, Johannaa, Laria, Ronjaa, Maijua, Essiä ja Tuo- masta, jotka ovat rohkaisseet minua jatkamaan ja olleet henkisenä tukena opintojen eri vaiheissa auttaen minua muistamaan horisontissa häämöttävän tavoitteen valmistumisesta. Kiitokset kuuluvat myös Topille ja Matille kaikis- ta yhteisistä vuosista matematiikan opinnoissa, ja työnohjaajalleni Ristolle hyvistä vinkeistä tutkielman kokoonpanemisessa. Lopuksi annan kiitokset tä- män hetkiselle työnantajalleni Maaritille, joka pyyteettömästi lähetti minut palkalliselle opintovapaalle viimeistelläkseni tutkielmani.
Niko Hannila
24. tammikuuta 2021
Sisältö
Johdanto 1
1 Monitahokas 2
1.1 Monitahokkaan määritelmä . . . 2 1.2 Konveksi monitahokas . . . 3 1.3 Säännöllinen monitahokas . . . 3
2 Viisi Platonin kappaletta 5
2.1 Historia . . . 5 2.2 Eulerin monitahokaslause . . . 8 2.3 Todistus vain 5 kappaleen olemassaolosta . . . 10
3 Ominaisuuksia 11
3.1 Duaalikappaleet . . . 11 3.2 Platonin kappaleiden symmetria . . . 12 3.3 Fullereenit . . . 17
4 Sovellutuksia 18
4.1 Neliväriongelma . . . 18 4.2 Pickin lause . . . 24 4.3 Platonin kappaleiden pakkaaminen . . . 26
Lähteet 36
Johdanto
Säännölliset monitahokkaat eli Platonin kappaleet ovat mielenkiintoisia kap- paleita. Ne ovat ainoat viisi säännöllistä monitahokasta. Jo tämä, että Pla- tonin kappaleita on olemassa vain viisi, on hämmästyttävä huomio.
Platonin kappaleita onkin tutkittu paljon, ja niillä on monia erinäisiä so- vellutuksia. Yksi mieleenpainuvimmista on Eulerin monitahokaslause V − 2 +F = 2, joka on yksi matematiikan tunnetuimmista lauseista geometrias- sa. Kappaleita tutkittaessa erityisesti juuri Eulerin löydöksestä on syntynyt paljon sovellutuksia ja jopa kokonainen matematiikan tieteenhaara - topolo- gia.Tutkielmani aloitan määrittelemällä monitahokkaan, monitahokkaan kon- veksisuuden sekä monitahokkaan säännöllisyyden. Tämän jälkeen siirryn suo- raan Platonin kappaleisiin ja todistan, että Platonin kappaleita on vain viisi.
Ominaisuuksista mainitsen erityisesti Eulerin monitahokaslauseen, kap- paleiden duaalisuuden ja niiden symmetriasta ja lyhyesti fullereeneista eli pallohiilistä. Sovellutuksista tärkeä johdannainen on Neliväriongelma ja sen ratkaisu sekä Pickin lause. Lopuksi pohdin pakkaamista Platonin kappaleilla.
1 Monitahokas
Monitahokas on monikulmioista muodostettu kappale. Niitä on loputtomasti erilaisia. On olemassa konvekseja sekä konkaaveja monitahokkaista, säännöl- lisiä että epäsäännöllisiä, monista erilaisista monikulmioista ja vain saman- laisista monikulmioista koostuvia monitahokkaita. Näin on syntynyt tarve luokitella ja määritellä monitahokkaita. Tässä luvussa määritellään monita- hokas ja erityisesti säännöllinen monitahokas.
1.1 Monitahokkaan määritelmä
Monitahokkaan määritelmästä on edelleen joissakin matematiikan piireissä eriäviä käsityksiä. Aloitetaan pilkkomalla osiin sanan monitahokas, jonka englanninkielinen käännös kuuluu polyhedra, joka puolestaan tulee kreikan kielen sanoista poly ja hedra. Poly tarkoittaa monta ja hedra puolestaan voi- daan kääntää joko alusta tai istuin eli käännös voisi kuulua vaikkapa monia- lusta tai moni-istuin. Tämä käy järkeen, koska useimmiten monitahokkaan on voinut asettaa 'istumaan' tasaiselle alustalle. [16, s. 27]
Monitahokas on siis kolmiulotteinen kappale, joka on muodostettu useasta monikulmiosta. Siitä, että ovatko monitahokkaat onttoja kuin pahvilaatikko, pelkkiä rautalankamalleja vai kiinteää ainetta sisältä, on monia eriäviä mie- lipiteitä ollut historian saatossa. Tosin kappaleen onttoudella ei ole juurikaan merkitystä monitahokkaisiin liittyvien sovellusten kanssa. Kuitenkin yksimie- listä on, että monitahokas on yhtenäinen suljettu kappale, joka muodostuu yhteenliitetyistä monikulmioista.
Määritelmä 1.1.1. Monitahokas on kappale, joka koostuu sivuistaan yh- teenliitetyistä monikulmioista ja jolla on tilavuus.
Kuva 1: Kulmakappale ja kuutio.
Tilavuuden määritelmä on välttämätön monitahokkaalle, jotta monita- hokas olisi suljettu kappale. Toisin sanoen monitahokas on kolmiulotteinen
kappale, joka koostuu monikulmioista, jotka rajaavat alueen. Esimerkiksi ku- vassa 1 kulmakappale ei näin ollen ole monitahokas, koska se ei omaa tila- vuutta eikä ole näin ollen suljettukaan, mutta puolestaan kahdesta samanlai- sesta kulmasta muodostettu kuutio on monitahokas, koska se rajaa suljetun alueen ja omaa näin ollen tilavuuden.
Monitahokkaan monikulmioita kutsutaan tahkoiksi, monikulmioiden si- vuja särmiksi ja monikulmion kulmia kärjiksi.
1.2 Konveksi monitahokas
Konveksin monitahokkaan on voinut asettaa tasolle minkä tahansa sen tah- konsa päälle. Kreikkalaiset, kuten myös myöhemmin Euler, määrittelivät kon- veksisuuden siten, että kaksi mitä tahansa pistettä monitahokkaassa voidaan yhdistää toisiinsa janalla, joka kokonaisuudessaan kulkee vain monitahok- kaan sisällä. [16, s. 29].
Määritelmä 1.2.1. Olkoon S monitahokkaan tahkojen rajaama joukko ja A, B pisteitä joukossa S. Monitahokas on konveksinen, jos ja vain jos jana
AB ⊂S ∀A, B ∈S.
Esimerkiksi kuvassa 2 olevan kuution mitkä tahansa pinnan pisteet voi- daan yhdistää janalla, joka on kokonaisuudessaan kuution sisällä. Kuutio on siis konveksi monitahokas.
Kuva 2: Kuutio - mahdollisesti tunnetuin Platonin kappale. [21]
1.3 Säännöllinen monitahokas
Säännöllisten monitahokkaiden määritelmästä on ollut joitakin erilaisia ver- sioita vuosien mittaan, mutta tutkielmassani määrittelen säännöllisen moni- tahokkaan seuraavasti mukaillen Richesonia [16, s. 33].
Määritelmä 1.3.1. Monitahokas on säännöllinen, jos se täyttää kaikki seu- raavat ehdot:
1. monitahokas on konveksinen,
2. monitahokkaan tahkot ovat säännöllisiä monikulmioita, 3. monitahokkaan tahkot ovat yhteneviä ja
4. monitahokkaan jokaiseen kärkeen liittyy sama määrä tahkoja.
Kaikki neljä ehtoa ovat välttämättömiä, kuten kuvasta 3 voi päätellä.
Kuvassa on esimerkki monitahokkaista, jotka täyttävät kaikki muut paitsi yhden ehdon ollakseen täydellinen monitahokas. Ensimmäinen ei ole konvek- sinen, toisessa tahkot eivät ole säännöllisiä monikulmioita, kolmannessa on kahdenlaisia monikulmioita ja viimeisessä kahteen kärkeen liittyy viisi tahkoa ja muihin vain neljä. Siis monitahokkaan ollakseen säännöllinen monitahokas, on kaikkien äskeisten ehtojen täytyttävä.
Esimerkiksi kuutio (kuva 2) on konveksinen, sen kaikki tahkot ovat sään- nöllisiä nelikulmioita eli neliöitä, kaikki tahkot ovat yhteneviä sekä jokaiseen kärkeen liittyy kolme tahkoa. Kuutio täyttää kaikki ehdot ja on siten myös säännöllinen monitahokas.
Kuva 3: Monitahokkaat, jotka rikkovat yhtä ehtoa. [16, s.33]
2 Viisi Platonin kappaletta
Jo kauan ennen Euleria kreikkalaiset olivat tutkineet säännöllisiä monitahok- kaita. Myös Eukleides (syntyi noin 300 eaa.) pohti monitahokkaita ja geomet- rian 13-osaisessa kirjassaan Elements (joskus suom. Alkeet) hän todisti, että säännöllisiä monitahokkaita on vain viisi. Platon tutki myös näitä monita- hokkaita ja yhdisti säännölliset monitahokkaat luonnon elementtien kanssa.
Siksi säännöllisiä monitahokkaita kutsutaan myös Platonin kappaleiksi.
Platonin kappaleita on viisi: tetraedri, heksaedri, oktaedri, dodekaedri, ikosaedri. Kuvassa 4 on kaikki viisi säännöllistä monitahokasta. Nämä ovat vasemmalta oikealle tetraedri, heksaedri (kuutio), oktaedri, dodekaedri ja iko- saedri.
Kuva 4: Säännölliset monitahokkaat. [21]
2.1 Historia
Platonin kappaleet eli säännölliset monitahokkaat ovat tunnettu paljon pi- dempään kuin nimitys Platonin kappaleet antaa ymmärtää. Tiedettävästi jo neoliittiselta kaudella on käsitelty osaa säännöllisiä monitahokkaista ja myös pythagoralaiset tunsivat ainakin tetraedrin, kuution ja dodekaedrin. Myö- hemmin tutkijat ovat kuitenkin päätyneet siihen käsitykseen, että vaikka säännöllisiä monitahokkaita on käytetty ennen Platonia, antoi Platonin kol- lega Theaitetos ensimmäisenä koosteen kaikista viidestä kappaleesta ja siitä, että näitä kappaleita on vain viisi [15, s. 131] [16, s. 40-41].
Skotlantilaiset kivet
On väitteitä siitä, että skotlantilaiset olisivat jo tunteneet säännölliset moni- tahokkaat. Väitteen perustana on käytetty Skotlannista löytyneitä kivipallo- ja (kuvassa 5). Skotlannin kansallismuseolta (National Museum of Scotland) löytyy suuri kokoelma näitä kivestä tehtyjä kappaleita, joiden museo arvioi
olevan peräisin vuosilta 3200-2500 eaa. [15, s. 132]. Nämä kivipallot näyttä- vätkin ensikatsomalta erehdyttävästi Platonin kappaleilta.
Kuva 5: Viisi kaiverrettua kiveä. Copyright G Challifour [20]
Kivet muodostuvat kivipallosta, johon on kaiverrettu eri määrä nuppeja.
Nuppien määrät vaihtelevat kolmesta jopa kuuteentoista. Luokitellaan kivet siten, että Kn on kivi, jossa onn nuppia. Skotlannin museon reilusta 400 ki- vestä 173 on kiviäK6 ja 43 on kiviä K4, joten voidaan sanoa, että nämä ovat selkeästi yleisimpiä kappaleita, ja puolestaan kiveä K13 ei ole löydetty ollen- kaan. Taulukossa 1 on listattu museosta löytyneiden kivien määrät nuppien mukaan. [15, s. 134]
K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 K11 K12 K14 K15 K16
6 43 2 173 18 10 3 4 1 8 5 1 1
Taulukko 1: Skotlantilaisten kivien määrä nuppien mukaan. [15, s 134]
Skotlantilaiset saattoivat siis kaivertaa hyvinkin paljon näitä kivipalloja, mutta näistä kivikappaleista on vaikea löytää viitettä Platonin kappaleisiin.
Kuvassa 5 on ensinäkin kaksi identtistä K12 kappaletta, jotka ovat teipattu eri tavoilla. Näin katsoja näkee helposti kaksi erillistä kappaletta, ikosaedrin ja dodekaedrin.K20kappaleita on löydetty ainoastaan kaksi, mutta näiden 20 nuppia sisältävien kivien muoto ei vastaa säännöllisen dodekaedrin muotoa ollenkaan [15, s. 136].
Erilaisten kivien määrästä ja niiden sisältämien nuppien epäsäännöllisestä järjestyksestä johtuen, ja siitä ettei viiden säännöllisen monitahokkaan muo- toisen kiven kokonaisuutta ole löydetty, on ajateltu, etteivät skotlantilaiset olleet vielä tietoisia Platonin kappaleista, mutta että he osoittivat kuitenkin matemaattista kyvykkyyttä luodessaan näitä hyvinkin symmetrisiä kappa- leita [15, s. 136-137].
Pythagoras, Theaitetos ja Platon
Ensimmäiset viitteet säännöllisistä monitahokkaista löytyvät Pythagoraan (560-480 eaa.) ja hänen oppilaansa pythagoralaisten käsityksistä. Uskotaan, että pythagoralaiset olivat ensimmäisiä, jotka tutkivat säännöllisiä monita- hokkaita [16, s. 36]. He tunsivat ainakin kuution (heksaedri) ja pyramidin (tetraedri). Joidenkin lähteiden mukaan olisi voinut olla mahdollista, että pythagoralaiset olisivat tunteneet myös ikosaedrin ja oktaedrin, mutta tästä on risteäviä mielipiteitä [15, s. 131].
Dodekaedrin löytymisestä kunnia annetaan pythagoralaiselle Hippasok- selle (n. 500 eaa.). Hän luultavasti löysi myös tavan osoittaa kuinka dode- kaedri voidaan asettaa pallon sisään. Hippasoksen löytö oli varmasti myös merkityksellinen, koska dodekaedri koostuu viisikulmioista. Pentagrammi tai viisikulmainen tähti on perinteisesti kreikassa symboloinut terveyttä, ja pyt- hagoralaiset omivatkin sen veljeskuntansa symboliksi. [16, s. 39]
Pythagoralaiset tunsivat siis ainakin kolme säännöllistä monitahokasta.
Viimeisten säännöllisten monitahokkaiden, ikosaedrin ja oktaedrin, tunnis- taminen näyttää olevan kreikkalaisen loson Platonin (427-347 eaa.) kolle- gansa ja ystävänsä Theaitetoksen (415-369 eaa.) käsialaa. Theaitetoksen kä- sitykset esiintyvät Platonin kirjoittamassa dialogissa Theaetetus [10, s. 118].
Vaikka varmuudella ei voidakaan sanoa, ketkä tarkalleen tunnistivat min- käkin kappaleen, voidaan melko varmasti sanoa, että juuri Theaitetos oli en- simmäinen, joka konstruoi kappaleet geometrisesti, huomasi niiden säännöl- lisyyden sekä todisti vain viiden säännöllisen monitahokkaan olemassaolon.
Eukleides antaa myös kunnian Theaitetokselle esitellessään tämän todistuk- set geometriaa käsittelevässä sarjassaan Elements. [10, s. 118] [15, s. 131] [16, s. 40-41]
Platon ei missään kohtaan väitä itse löytäneensä säännöllisiä monitahok- kaita, mutta hän oli ensimmäinen, joka kokosi ne yhteen dialogissaan Timai- os (n. 360 eaa.) [15, s. 131]. Platon tunnisti kappaleiden kauneuden ja mate- maattisen tärkeyden. Platon myös adaptoi loso Empedoklesin (n. 492-432 eaa.) käsityksen neljästä klassisesta alkuaineesta monitahokkaisiin [16, s. 42].
Hän nimesi tetraedrin symboloimaan tulta, oktaedrin ilmaa, ikosaedrin vettä sekä heksaedrin maata. Platon ajatteli, että jumala olisi käyttänyt maailman muovaamiseen jäljelle jäänyttä dodekaedria tai symboloimaan taivasta [10, s.
119]. Platonin koottua kappaleet kokoelmaksi on säännöllisiä monitahokkaita kutsuttu Platonin kappaleiksi [16, s. 43].
2.2 Eulerin monitahokaslause
Euler ei itse juurikaan maininnut monitahokaslausettaan teoksissaan. Yli 800 matemaattisesta teoksestaan, hän puhuu monitahokaslauseestaan muutenkin vain kahdessa artikkelissa [11, s. 286]. Ensimmäistä kertaa Euler mainitsee havainnostaan vuonna 1750 kirjeessään Christian Goldbachille ihmetellen, ettei näin perusteellista asiaa monitahokkaista ollut hänen tutkimustensa mukaan kukaan muu vielä huomannut [5, s. 77].
Vähäisistä lähteistä huolimatta Euler teki monitahokkaista paljonkin ha- vaintoja. Kirjeessään Goldbachille Euler määrittelee käsitteen särmälle, jolla ei tuolloin ollut edes vielä vakiintunutta termiä [11, s. 76]. Euler määritteli, että saumaa, jossa kaksi tahkoa kohtaavat, kutsuttakoon särmäksi.
Euler huomasi pian laskiessaan erilaisten monitahokkaiden kärkien, sär- mien ja tahkojen määriä, että nämä ovat yhteyksissä toisiinsa. Muun muassa Platonin kappaleiden (kuva 6) ja näiden kärkien, särmien ja tahkojen määrien (taulukko 2) välillä oli selkeä suhde. Euler tajusi tämän pitävän paikkaan- sa muidenkin monitahokkaiden kohdalla. Hän kuitenkin toteaa kirjeessään, ettei ollut kyennyt todistamaan havaintoaan.
Kuva 6: Säännölliset monitahokkaat. [21]
Monitahokas kärjet V särmät E tahkot F V −E+F
tetraedri 4 6 4 2
heksaedri 8 12 6 2
oktaedri 6 12 8 2
dodekaedri 20 30 12 2
ikosaedri 12 30 20 2
Taulukko 2: Platonin kappaleiden kärkien, särmien ja tahkojen määrät Augustin Louis Cauchy lähti todistamaan Eulerin havaintoa monitahok- kaista tasokuvion avulla. Muuntaessaan monitahokkaan tasokuvioksi, hän otti tahokkaasta yhden tahkon pois ja 'venytti' loput tahkoista tasolle. Näin syntyy tasokuvio, jossa solmut kuvastavat kärkiä ja kaaret särmiä.
Lause 2.2.1. (Eulerin monitahokaslause) Jokaisen konveksisen monita- hokkaan tahkojen ja kärkien määrien summa ylittää särmien määrän kahdel- la.
V +F =E+ 2 eli V −E+F = 2.
Todistus. Todistetaan lause tutkimalla monitahokkaan tasokuviota ja Eule- rin karakteristikaa. Olkoon konveksi monitahokas, jolla on F tahkoa, E sär- mää ja V kärkeä, ja tutkitaan sen tasokuviota. Muistetaan, että tasokuvion ulkopuolinen alue vastaa yhtä tahkoa.
Halkaistaan monikulmiot kolmioiksi lisäämällä kaari kahden solmun vä- lille. Aina lisätessä yhden kaaren kärkien V määrä pysyy samana, tahkot F lisääntyvät yhdellä ja särmätElisääntyvät yhdellä, eliV−(E+1)+(F+1) = V −E+F. Karakteristika ei siis muutu.
Monikulmioiden kolmioihin pilkkomisen jälkeen poistetaan kolmioita ta- sokuvion reunoilta, kunnes jäljellä on yksi kolmio. Kolmiota poistaessa on kaksi tapausta. Ensimmäisessä poistetaan vain yksi särmä, toisessa poiste- taan yksi kärki ja kaksi särmää (kuva 7).
Ensimmäisessä tapauksessa karakteristika on V −(E −1) + (F −1) = V −E+F eli muutosta ei tapahdu.
Toisessa tapauksessa(V−1)−(E−2) + (F−1) =V −E+F eli muutosta ei tapahdu.
Viimeisen tasokuvion, jossa on vain yksi kolmio, kohdalla voidaan var- muudella laskea, että siinä on 3 kärkeä, 3 särmää ja 1 tahko sekä kuvion ulkopuolinen alue vastasi yhtä tahkoa, jolloin V −E+F = 3−3 + 2 = 2,
joten V −E+F = 2.
Kuva 7: Tavat poistaa kolmio tasokuviosta.
Myöhemmin lauseen pohjalta on löydetty monia sovellutuksia ja Eulerin lauseen ajatellaan olevan lähtölaukaus kokonaiselle matematiikan osa-alueelle topologialle, joka tutkii erilaisten kappaleiden olemusta muun muassa lausees- ta johdetun Eulerin karakteristikan avulla.
2.3 Todistus vain 5 kappaleen olemassaolosta
Platonin kappaleita eli säännöllisiä monitahokkaita on olemassa vain viisi.
Säännöllinen monitahokas muodostuu säännöllisistä ja yhtenevistä monikul- mioista sekä jokaiseen monikulmion kärkeen tulee liittyä yhtä monta toista monikulmiota.
Ensimmäinen monikulmio, joka voidaan muodostaa, on kolmio. Säännöl- linen kolmio voidaan järjestää niin, että 3, 4 tai 5 kolmiota yhtyvät yhdestä kärjestä toisiinsa. Näin niistä muodostuu tetraedri, oktaedri ja ikosaedri. 6 kolmion yhdistäminen johtaa tasoon, jota ei voida taivuttaa monitahokkaak- si. Säännöllisistä nelikulmioista eli neliöistä voidaan muodostaa monitaho- kas vain yhdistämällä samaan kärkeen 3 neliötä. Näin syntyy heksaedri eli kuutio. Yhdistämällä 4 neliötä päädytään tasokuvioon. Säännöllisiä viisikul- mioita voidaan yhdistää vain siten, että 3 viisikulmiota yhdistyy yhdessä kär- jessä. Näin syntyy dodekaedri. Pelkistä säännöllisistä monikulmioista, joissa on kuusi tai useampaa kulmaa, ei voida muodostaa monitahokasta.
Todistetaan Eulerin monitahokaslauseella V −E +F = 2 (lause 2.2.1), että on olemassa vain 5 säännöllistä monitahokasta (Platonin kappaleet):
Todistus. Olkoon olemassa säännöllinen monitahokas, jolla on V kärkeä, E särmää sekä F tahkoa. Eulerin kaavasta tiedetään, että V −E+F = 2.
Koska monitahokas on säännöllinen, jokainen tahko on säännöllinen mo- nikulmio, jolla on sama määrä särmiä. Olkoon särmien määrä n kappaletta.
Säännöllisessä monitahokkaassa yhteen kärkeen liittyy sama määrä särmiä.
Olkoon tämä kärkeen liitettyjen särmien määrä m.
Jokaisella tahkolla on n kappaletta särmiä ja koska jokainen tahko jakaa särmän toisen tahkon kanssa, niin F n laskee särmien määrän tuplana. Näin ollen särmien määrä monitahokkaassa on E = 12(F n).
Samoin yhdessä tahkossa onn määrä kärkiä, ja m määrä tahkoja liittyy toisiinsa yhdessä kärjessä. Näin ollen kärkien määrä on V = F nm.
Nyt Eulerin kaavan nojallaV −E+F = 2, joten sijoittamallaE = 12(F n) ja V = F nm saadaan F nm − F n2 +F = 2. Sievennettään F:lla, jolloin F
(n m −
n 2+ 1
)
= 2, ja otetaan yhteiseksi nimittäjäksi2m, jolloin F
(2n−mn+2m 2m
)
= 2, mistä lopuksi jakamalla saadaan F = 2n−mn+2m4m .
KoskaF ja 4m ovat positiivisia, niin 2n−mn+ 2m >0.
Kunn≥3tai m≥3, niin vain 5 yhdistelmää toteuttavat yhtälön. Nämä ovat: (3,3), (3,4), (3,5), (4,3) ja (5,3) eli vastaavasti kappaleet tetraedri, oktaedri, ikosaedri, heksaedri (kuutio) ja dodekaedri.
3 Ominaisuuksia
Monitahokkaat ja erityisesti Platonin kappaleet omaavat paljon ominaisuuk- sia. Kappaleet ovat hyvinkin symmetrisiä ja niiden muotoja esiintyy luon- nossa, kuten vuonna 1985 löydetty fullereeni eli pallohiili. Niistä on myös johdettu kuuluisa Eulerin monitahokaslause.
3.1 Duaalikappaleet
Yksi Platonin kappaleiden mielenkiintoisista ominaisuuksista on se, että niillä on ns. duaalikappaleet. Duaalikappale tarkoittaa, että kun jonkin kappaleen tahkojen keskipisteistä piirretään viivat vierekkäisten tahkojen keskipistei- siin, muodostuu toinen Platonin kappale aikaisemman sisälle.
Voidaan huomata, että kun uudet särmät piirretään kappaleen tahkojen keskipisteistä, pysyy särmien määrä samana. Samalla nähdään, että toisessa kappaleessa on yhtä monta kärkeä kuin ensimmäisessä on tahkoja, ja että kärkien määrä vastaavasti muuttuu tahkojen määräksi. Lisäksi nähdään, että mikäli ensimmäisen kappaleen yhteen kärkeen on liittynyt n määrä tahkoja, on toisen kappaleen tahkot n-kulmioita. Vastaavasti tahkot, jotka ovat m- kulmioita muuttuvat kärjiksi, joihin on yhdistynyt m kappaletta tahkoja.
Tetraedrilla on 4 kärkeä, 6 särmää ja 4 tahkoa. Tetraedrin sisälle piirre- tyssä kappaleessa on näin ollen myös 4 kärkeä, 6 särmää ja 4 tahkoa. Koska tetraedrin yhteen kärkeen liittyy 3 kolmiota, on sisälle muodostuneen kappa- leen tahkot kolmioita. Vastaavasti myös sisälle muodostuneen kappaleen kär- kiin on liittynyt kolme tahkoa. Kappale, joka koostuu 4 kolmioista ja jossa 3 tahkoa kohtaa jokaisessa kärjessä, on tetraedri. Tetraedrin sisälle muodostuu siis toinen tetraedri (kuva 8). Tetraedrin duaali on näin ollen toinen tetraedri eli tetraedri on itsensä duaalikappale.
Kuva 8: Tetraedri, jonka sisällä on toinen tetraedri. [24]
Kuutiossa on 8 kärkeä, 12 särmää ja 6 tahkoa sekä se koostuu neliöistä ja 3 neliötä yhdistyy yhdessä kärjessä. Näin ollen sisälle muodostuu kappale, jossa on 6 kärkeä, 12 särmää ja 8 tahkoa sekä se koostuu kolmioista ja jokaiseen
kärkeen liittyy 4 kolmiota. Kyseinen kappale on tuttu oktaedri. Kuutio ja oktaedri ovat siis toistensa duaalikappaleet (kuva 9).
Kuva 9: Duaalikappaleet heksaedri ja oktaedri. [24]
Ikosaedrissa on 12 kärkeä, 30 särmää ja 20 tahkoa sekä se koostuu kol- mioista ja 5 kolmiota yhdistyy yhdessä kärjessä. Näin ollen sisälle muodostuu kappale, jossa on 20 kärkeä, 30 särmää ja 12 tahkoa sekä se koostuu viisi- kulmioista ja jokaiseen kärkeen liittyy 3 viisikulmiota. Kyseinen kappale on dodekaedri. Ikosaedri ja dodekaedri ovat siis toistensa duaalikappaleet (kuva 10).
Kuva 10: Duaalikappaleet ikosaedri ja dodekaedri. [24]
3.2 Platonin kappaleiden symmetria
Platonin kappaleet ovat hyvinkin geometrisesti symmetrisiä kappaleita. Kap- paleille voidaan tehdä huikea määrä erilaisia kuvauksia, jotka säilyttävät kap- paleen alkuperäisen kuvion muuttamatta sitä. Tuttua kuutiota voi pyöritellä ja peilailla huomatakseen, että kuutio palaa helposti yhtenevään asentoon alkuperäisen asetelmaansa nähden.
Geometrinen symmetria kokoaa erilaiset kuvaukset symmetriaryhmiksi.
Tällaisia yhtenevyyskuvauksia ovat muun muassa identiteetti, peilaukset, ro- taatiot sekä näiden erilaiset yhdistelmät.
Kaikilla kappaleilla on olemassa ainakin yksi symmetrinen kuvaus, identi- teetti, joka on kuvaus itselleen. Peilauksessa kappale peilataan tason suhteen.
Rotaatiossa kappaletta kierretään suoran suhteen.
Kuvaus on isometria, jos kuvauksella saadaan yhtenevä asento alkuperäi- seen asentoon nähden. Kuutio voidaan kaataa kyljelleen eli tehdä 90 asteen rotaatio vastakkaisten tahkojen keskipisteiden läpi kulkevan suoran suhteen, tai vaikka peilata kuution keskipisteen kohdalta tahkojen suuntaisten tasojen suhteen.
Määritelmä 3.2.1. Isometria. Olkoon kappale F on avaruuden Rn os- ajoukko. Kappaleen F kuvausαon isometria avaruudessaRn, josα(F) =F. Kutsun kappaleenF kaikkien isometristen kuvausten joukkoaSym(F)ja joukon kuvausten määrää |Sym(F)|.
Tetraedri
Tetraedrilla on Platonin kappaleista kaikista vähiten symmetrioita. Se ei ole symmetrinen keskipisteensä suhteen kuten jokainen muu Platonin kappale.
Tetraedrin symmetrioita ovat identiteetti (1 kpl),
4 rotaatioakselia, jotka kulkevat kärjen ja sen vastakkaisen tahkon kes- kipisteen kohdalta, voiden kääntää kappaletta 120 astetta kolmesti (8 kpl),
3 rotaatioakselia, jotka kulkevat kahden vastakkaisen särmän keskipis- teiden kohdalta, kääntäen kappaletta 180 astetta kahdesti (3 kpl).
Tetraedrilla on siis yhteensä 12 rotaationaalista symmetriaa. Peilataan jokainen rotaatioilla saavutettu symmetria, jolloin saadaan vielä 12 erilaista rotaatio-peilaussymmetriaa, saavuttaen tetraedrille kaiken kaikkiaan 24 eri- laista symmetriaa eli symmetrioiden määrä |Sym(T etra)|= 24.
Kuva 11: Tetraedrin rotaatioakselit.
Kuutio eli heksaedri
Kuutio on varmasti tutuin kappale, jota pieni lapsikin on pyöritellyt käsis- sään. Kuution symmetrisyys on luultavimmin myös helpoin hahmottaa, kos- ka kuutio koostuu neliöistä, jotka ovat suorassa kulmassa toisiinsa nähden.
Kuution symmetrioita ovat identiteetti (1 kpl),
3 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten tahkojen keskipisteiden kohdalta, voiden kääntää kappaletta 90 astetta neljästi (9 kpl),
4 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten kärkien kohdalta, voiden kääntää kappaletta 120 astetta kolmesti (8 kpl),
6 rotaatioakselia, jotka kulkevat kahden vastakkaisten särmien keski- pisteiden kohdalta, voiden kääntää kappaletta 180 astetta kahdesti (6 kpl).
Kuutiolla on siis yhteensä 24 rotaationaalista symmetriaa. Peilataan jo- kainen rotaatioilla saavutettu symmetria, jolloin saadaan vielä 24 erilaista rotaatio-peilaussymmetriaa, saavuttaen kuutiolle kaiken kaikkiaan 48 erilais- ta symmetriaa eli symmetrioiden määrä |Sym(Heksa)|= 48.
Kuva 12: Kuution rotaatioakselit.
Oktaedri
Oktaedri on kuution duaalikappale ja sen takia sillä on pitkälti samat sym- metriat kuin kuutiolla. Oktaedrin symmetrioita ovat
identiteetti (1 kpl),
3 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten kärkien kohdalta, voiden kääntää kappaletta 90 astetta neljästi (9 kpl),
4 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten tahkojen keskipisteiden kohdalta, voiden kääntää kappaletta 120 astetta kolmesti (8 kpl),
6 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten särmien keskipisteiden kohdalta, voiden kääntää kappaletta 180 astetta kahdesti (6 kpl).
Oktaedrilla on siis yhteensä 24 rotaationaalista symmetriaa. Peilataan jokainen rotaatioilla saavutettu symmetria, jolloin saadaan vielä 24 erilaista rotaatio-peilaussymmetriaa, saavuttaen oktaedrille kaiken kaikkiaan 48 eri- laista symmetriaa eli symmetrioiden määrä |Sym(Okta)|= 48.
Kuva 13: Oktaedrin rotaatioakselit.
Ikosaedri
Ikosaedri on kaunis 20 säännöllisestä kolmiosta koostuva kappale ja sillä on huomattavasti enemmän symmetrioita kuin edellisillä. Ikosaedrin symmet- rioita ovat
identiteetti (1 kpl),
10 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten kärkien kohdalta, voi- den kääntää kappaletta 120 astetta kolmesti (20 kpl),
6 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten tahkojen keskipisteiden kohdalta, voiden kääntää kappaletta 72 astetta viidesti (24 kpl), 15 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten särmien keskipisteiden
kohdalta, voiden kääntää kappaletta 180 astetta kahdesti (15 kpl).
Oktaedrilla on siis yhteensä 60 rotaationaalista symmetriaa. Peilataan jokainen rotaatioilla saavutettu symmetria, jolloin saadaan vielä 60 erilaista rotaatio-peilaussymmetriaa, saavuttaen oktaedrille kaiken kaikkiaan 120 eri- laista symmetriaa eli symmetrioiden määrä |Sym(Ikosa)|= 120.
Kuva 14: Ikosaedrin rotaatioakselit.
Dodekaedri
Dodekaedri on puolestaan ikosaedrin duaali, joten näillä on samanlaiset sym- metriat. Dodekaedrin symmetrioita ovat
identiteetti (1 kpl),
10 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten tahkojen keskipisteiden kohdalta, voiden kääntää kappaletta 120 astetta kolmesti (20 kpl), 6 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten kärkien kohdalta, voiden
kääntää kappaletta 72 astetta viidesti (24 kpl),
15 rotaatioakselia, jotka kulkevat vastakkaisten särmien keskipisteiden kohdalta, voiden kääntää kappaletta 180 astetta kahdesti (15 kpl).
Dodekaedrilla on siis yhteensä 60 rotaationaalista symmetriaa. Peilataan jokainen rotaatioilla saavutettu symmetria, jolloin saadaan vielä 60 erilaista rotaatio-peilaussymmetriaa, saavuttaen dodekaedrille kaiken kaikkiaan 120 erilaista symmetriaa eli symmetrioiden määrä |Sym(Dodeka)|= 120.
Kuva 15: Dodekaedrin rotaatioakselit.
3.3 Fullereenit
Luonnossa havaitaan paljon monitahokkaiden muotoja. Yksi tunnetuimmista muodoista ovat fullereenit, jotka ovat hiilen allotrooppeja, ja jossa hiiliato- mit ovat asettuneet pallomaiseen muotoon [13]. Fullereeneja kutsutaan myös pallohiiliksi muotonsa takia.
Eulerin monitahokaslauseella voidaan laskea fullereenien atomien (kärjet) ja liitoksien (särmät) määrät, kun tahkojen määrä F ≥ 12. Kun fullereeni koostuu 12 viisikulmiosta jaF−12kuusikulmiosta, Eulerin lauseella saadaan, että kärkien määrä on V = 2F −4 ja särmien määrä on E = 3F −6. [3, 50]
Yksinkertaisin fullereeni on F = 12. Atomien määrä on tällöin V = 2 ∗12− 4 = 20 ja liitoksia on E = 3 ∗12− 6 = 30. Tämä on fulleree- ni, jossa hiiliatomit ovat asettautuneet dodekaedrin muotoon koostuen 12 viisikulmiosta. Kansainvälisesti fullereenit nimetään atomimäärän mukaan, jolloin tämä on nimeltään C20 (kuva 16).
Yleisin fullereeni on C60, jossa on 12 viisikulmiota ja 20 kuusikulmiota.
C60 on muodoltaan tutummin jalkapallo (kuva 16). Tämän löysivät Robert Curl, Richard Smalley ja Harold Kroto vuonna 1985, minkä seurauksena herrat palkittiin Nobelin kemian palkinnolla vuonna 1996 [13].
Erikokoisia ja -muotoisia fullereeneja on löydetty, jopa niinkin isoja kuin C540. FullereeniC540 koostuu 12 viisikulmiosta ja 260 kuusikulmiosta. Kaikki fullereenit eivät asetu pallomaiseen muotoon, vaan on olemassa myös enem- män elliptisiä fullereeneja, kuten esimerkiksi C70. Katso kuva 16.
Kuva 16: Fullereenit C20, C60 ja C540 sekä fullereeni C70, joka on elliptinen.
[25]
4 Sovellutuksia
'The symmetry, structural integrity, and beauty of these solids have inspired architects, artists, and artisans from ancient Egypt to the present.' [22]
4.1 Neliväriongelma
Vaikkakin karttojen värityksessä olisi hyvä käyttää mahdollisimman vähän eri värejä, jotta karttojen luettavuus olisi parhaimmillaan eri värien välis- ten suuremman kontrastin takia, eivät itse kartantekijät näyttäneet kauheas- ti pohtivan asiaa, vaan käyttivät karttojen värityksessä vain yhtä väriä tai useampia. Neliväriongelma on saanut juurensa Platonin kappaleista, joiden tutkimisen seurauksena Euler kehitti monitahokaslauseensa, jota sovelletaan monitahokkaisiin mutta myös tasokuvioiden kanssa.
1800-luvulla matemaatikko Charles Lutwidge Dodgson pohti väriongel- maa luodessaan kaksinpeliä, jossa toinen pelaajista piirtää kartan haluamal- laan määrällä valtioita ja toinen pelaaja pyrkii värittämään kartan käyt- tämällä mahdollisimman vähän eri värejä siten, ettei yksikään vierekkäinen valtio saa olla väritetty samalla värillä. Vuonna 1852 juuri valmistunut mate- maatikko Francis Guthrie teki huomion, että hän kykeni värittämään minkä tahansa kartan käyttämällä vain neljää väriä ja pohti riittääkö kaikissa ti- lanteissa vain neljä väriä. Näin syntyi konjektuuri neliväriongelmasta. [16, s.
130-131]
Konjektuuri 4.1.1. (Neljän värin konjektuuri) Jokainen kartta voidaan värittää käyttämällä enintään neljää väriä niin, ettei vierekkäiset valtiot ole väritetty samalla värillä.
Todistaminen osoittautui hankalaksi. Nopeasti pystyttiin näyttämään to- teen, että mikä tahansa kartta voidaan värittää enintään kuudella värillä.
Myöhemmin kuuden värin todistuksesta pystyttiin johtamaan vielä melko kivuttomasti todistus, että kartan värittäminen on mahdollista enintään vii- dellä värillä. Sekä kuuden että viiden värin todistuksissa tarvitaan Eulerin monitahokaslauseesta johdettua apulausetta Viiden naapurin lausetta.
Jotta voidaan tarkastella kyseistä apulausetta, määritellään ensin tasoku- vioiden osat ja ominaisuudet. Yleisemmin matematiikassa tasokuvioita poh- tiessa puhutaan verkoista, jotka koostuvat solmuista, kaarista ja alueista.
Kuvassa 17 on 5 solmua ja 7 kaarta, ja nämä rajaavat tason 4 alueeseen.
Määritelmä 4.1.2. Verkko koostuu solmuista ja niitä mahdollisesti yhdis- tävistä kaarista. Solmua, johon kaari yhdistyy, kutsutaan päätesolmuksi. Ver- kon kaarien rajoittamia tasoalueita kutsutaan alueiksi.
Kuva 17: Yksinkertainen verkko.
Määritelmä 4.1.3. Solmun aste kertoo, kuinka monta kaaren päätä on lii- tetty kyseiseen solmuun.
Määritelmä 4.1.4. Kahta kaarta kutsutaan rinnakkaisiksi, mikäli molem- milla kaarilla on samat päätesolmut. Kaarta kutsutaan silmukaksi, mikäli sen molemmat päät yhdistyvät samaan päätesolmuun.
Määritelmä 4.1.5. Solmut ovat vierekkäisiä, mikäli niitä yhdistää kaari.
Näitä solmuja kutsutaan myös naapureiksi.
Määritelmä 4.1.6. Verkko on yksinkertainen, jos siinä ei ole rinnakkaisia kaaria tai silmukoita.
Määritelmien avulla tarkastellaan seuraavaksi Viiden naapurin lausetta.
Lemma 4.1.7. (Viiden naapurin lause) Jokaisessa yksinkertaisessa ver- kossa on solmu, jonka aste on enintään viisi.
Todistus. Otetaan mielivaltainen yksinkertainen verkko G. Koska verkossa G ei ole silmukoita tai rinnakkaisia kaaria, voidaan verkkoon lisätä kaaria, kunnes jokainen alue on rajattu kolmella kaarella. Saadaan uusi verkko H. Kun osoitetaan, että verkossa H on solmu, jonka aste on enintään viisi, to- distetaan kaikkien yksinkertaisten verkkojen omaavan solmun, jonka aste on enintään viisi.
Oletetaan, että verkossa H on v solmua, e kaarta ja f aluetta. Jokainen kaari rajaa kahta aluetta ja jokainen alue on rajattu kolmella kaarella, joten 3f = 2e eli myös 6f = 4e ja tästä saadaan 6f −4e = 0. Eulerin kaavasta v−e+f = 2 voidaan johtaa6v−6e+ 6f = 12ja tästä saadaan −6f+ 6e= 6v−12.
Yhtälöparista {
6f −4e = 0
−6f + 6e= 6v−12 saadaan 2e= 6v−12.
Koska jokainen kaari liittyy kahteen solmuun, on kaikkien solmujen astei- den summa 2e, joten solmujen asteiden keskiarvo on
2e
v = 6v−12
v = 6− 12 v <6.
Koska keskiarvo on alle kuuden, jokaisessa yksinkertaisessa verkossa on oltava vähintään yksi solmu, jonka aste on enintään 5.
Voidaan muodostaa kartasta verkon, jossa valtiot korvataan solmuilla ja viereisten valtioiden välille lisätään kaari. Nyt viiden naapurin lauseen avulla voidaan todistaa kuuden värin ongelma. Pyritään värittämään verkon solmu- ja mahdollisimman vähäisellä määrällä värejä siten, ettei naapurisolmuja ole väritetty samalla värillä.
Lause 4.1.8. (Kuuden värin ongelma) Jokainen kartta voidaan värittää käyttäen enintään kuutta väriä.
Todistus. Tehdään antiteesi. Oletetaan, että on olemassa vähintään yksi kartta, jota ei voida värittää kuudella värillä. Tarkastellaan kartasta tehtyä verkkoa G, jossa on vähiten tarvittava n määrä solmuja. Tällaista pienin- tä vastaesimerkkiä kutsutaan minimaalikriminaaliksi (englanniksi minimal criminal). Minimaalikriminaalin seurauksena mikä tahansa verkko, jossa on n−1tai vähemmän solmuja, voidaan värittää kuudella värillä.
Pohditaan verkkoa G. Viiden naapurin lauseen mukaan verkossa G on olemassa solmu a, jonka aste on enintään viisi. Poistetaan solmu a ja kaikki siihen liitetyt kaaret. Kutsutaan tätä verkonGaliverkkoa verkoksiH. Koska aliverkossa H onn−1solmua, voidaan se värittää kuudella värillä.
Laitetaan solmuatakaisin verkkoon H. Koska solmunaaste on enintään 5, yhdistyy siihen kaarilla enintään 5 muuta solmua, jolloin on olemasa ai- nakin yksi käyttämätön väri, jolla solmua voidaan värittää. Eli verkkoG on mahdollista värittää kuudella värillä. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, että Golisi minimaalikriminaali, joten mikä tahansa kartta voidaan värittää
enintään kuudella värillä.
Viiden värin kanssa todistukseen tulee ottaa mukaan eräs keino, jonka löysi Alfred Bray Kempe vuonna 1879. Kempe yritti todistaa löytämällään keinolla neliväriongelman, mutta myöhemmin Percy John Heawood kumosi Kempen todistuksen. Heawood kuitenkin huomasi, että Kempen tekniikka osoittautui tärkeäksi ja oli riittävä todistamaan, että mikä tahansa kartta on mahdollista värittää enintään viittä väriä käyttämällä. [16, s. 137-139]
Kempe keksi, että verkossa esitettävien värien paikkaa voidaan muuttaa helposti. Valitaan kaksi väriä ja muodostetaan kaikkien niiden solmujen ket- ju, jossa solmujen värit vuorottelevat näiden kahden värin kesken. Tällaista
Kuva 18: Minimaalikriminaalin esimerkki. [16, s. 138]
kahden värin vuorottelevaa ketjua kutsutaan Kempen ketjuksi. Koska yksi- kään Kempen ketjun viereisestä solmuista ei ole kumpaakaan näistä kahdesta väristä, voidaan ketjun solmujen värien paikat vaihtaa keskenään (katso kuva 19). Näin syntynyt väritys on edelleen sallittu.
Kuva 19: Kempen ketju ja värien vaihtaminen päikseen. [16, s. 139]
Lause 4.1.9. (Viiden värin ongelma) Mikä tahansa kartta voidaan vä- rittää käyttämällä enintään viittä väriä.
Todistus. Antiteesi. Oletetaan, että on olemassa minimaalikriminaaliG, jos- sa on nsolmua, ja jota ei voida värittää vain viidellä värillä. Viiden naapurin lauseen mukaan verkossaG on olemassa solmu p, jonka aste on enintään vii- si. Olkoon verkko H verkon G aliverkko, joka saadaan poistamalla solmu p verkostaG. Nyt verkossaH onn−1solmua ja se voidaan värittää enintään viidellä värillä.
Tarkastellaan solmunpvierekkäisiä solmuja. On selvää, että mikäli vierek- käiset solmut ovat väritetty käyttäen enintään neljää väriä, voidaan solmu p
värittää viidennellä värillä. Jos puolestaan vierekkäiset solmut ovat väritetty viidellä värillä, käytetään Kempen taktiikkaa.
Nimetään solmunpvierekkäiset solmut myötäpäivääna,b,c,djae, jotka ovat kaikki väritetty eri väreillä. Riittää tarkastella kahta tapausta:
1. solmu a kuuluu Kempen ketjuun, jonka toinen väripari on sama kuin solmun c, mutta solmu cei kuulu tuohon ketjuun tai
2. solmuna ja c välillä on Kempen ketju.
Ensimmäisessä tapauksessa voidaan Kempen ketjun värien paikkaa vaih- taa keskenään, jolloin solmu a vaihtuu solmun cväriksi, jolloin solmu p voi- daan värittää alkuperäisen solmun a värillä (katso kuva 20).
Toisessa tapauksessa Kempen ketjun värien vaihtaminen ei vähennä sol- munpympäriltä käytettävien värien määrää, vaan solmujenaja cvärit vain vaihtavat paikkaa. Koska Kempen ketju on yhtenäinen, löytyy kuitenkin toi- nen Kempen ketju jäljellä olevien solmujen b, d tai e värien yhdistelmästä.
Nyt solmusta b, d tai e alkavan Kempen ketjun värit voidaan vaihtaa kes- kenään, jolloin solmu p voidaan värittää jäljelle jääneellä värillä (katso esi- merkki kuvasta 21).
Tämä on ristiriidassa minimaalikriminaalin kanssa, joten mikä tahansa kartta voidaan värittää enintään viidellä värillä.
Kuva 20: Kempen ketjun värien vaihto. [16, s. 140]
Neliväriongelman ydinväitteen paikkaansa pitävyys lähestyi, mutta monet matemaatikot eivät onnistuneet todistamaan, että kartan voisi värittää käyt- tämällä enintään neljää väriä. 1900-luvulla alettiin etsimään väistämättömiä joukkoja (eng. unavoidable sets ja redusoituvia kokoonpanoja (eng. reducible congurations).
Kuva 21: Kempen ketjun värien vaihto. [16, s. 141]
Väistämättömät joukot on kokoelma aliverkkoja, joista vähintään yksi esiintyy jokaisessa rinnakkaisessa verkossa (eng. adjacency graph). Esimer- kiksi viiden naapurin ongelman pienin väistämätön joukko on viisi eriasteista solmua (katso kuva 22).
Puolestaan redusoituvat konguraatiot ovat kokoelma solmuja ja kaaria, jotka eivät voi esiintyä minimaalikriminaalissa. Kempen ketjua höydyntämäl- lä on helppo näyttää toteen, että kuvan 22 ensimmäiset neljä solmua ovat redusoituvia.
Kuva 22: Väistämätön joukko. [16, s. 142]
Ideana on löytää redusoituvien kokoonpanojen väistämättömät joukot.
Näin saataisiin kokoelma joukkoja, jotka eivät voi esiintyä minimaalikrimi- naalissa, mutta esiintyvät kuitenkin jokaisessa rinnakkaisessa verkossa. Tämä olisi ristiriidassa minimaalikriminaalin olemassaolon kanssa ja siten todistaisi neliväriongelman.
Vuonna 1976 Kenneth Appel ja Wolfgang Haken esittelivät tällaisen ko- koelman väistämättömiä joukkoja, jotka sisälsivät 1936 redusoituvaa kokoon- panoa, joiden määrää he saivat myöhemmin kavennettua 1482 kokoonpa- noon. Kokoonpanojen tarkastaminen käsin olisi ollut liian työlästä, joten näi- den tuhansien erikoistapausten tarkastaminen tehtiin tietokoneen avulla, mi- kä kesti sen ajan tietokoneilla puolisen vuotta. Tietokoneavusteisuudesta ei
pidetty matemaattisissa piireissä, mutta kuitenkin yleisesti myönnettiin, että neliväriongelma olisi ratkaistu. [16, s. 142-143]
Lause 4.1.10. (Neliväriongelma) Jokainen kartta voidaan värittää enin- tään neljällä värillä.
Todistus. Todistus sivuutetaan. Katso Appelin ja Hakenin julkaisut vuodelta
1977 [1] [2].
4.2 Pickin lause
Georg Alexander Pick esitteli vuonna 1899 [16, 125] tavan laskea koordinaa- tiston hilapisteistä toiselle piirretyn yksinkertaisen monikulmion pinta-alan.
Tätä lausetta kutsutaan nykyään Pickin lauseeksi. Se perustuu Eulerin mo- nitahokaslauseeseen. Se kertoo minkä tahansa yksinkertaisen monikulmion pinta-alan, kun tiedetään, montako hilapistettä sijaitsee monikulmion piiril- lä ja montako sen sisällä.
Lause 4.2.1. (Pickin lause) Minkä tahansa yksinkertaisen monikulmion, jonka kaikki kulmat sijaitsevat hilapisteillä, pinta-ala on A=Ns+12 Np−1, missä Ns on alueen sisäisten hilapisteiden määrä ja Np on alueen piirillä olevien hilapisteiden määrä.
Pickin lauseen todistamiseksi tarkastellaan ensin yksinkertaisia tapauksia koordinaatistossa.
Määritelmä 4.2.2. Monikulmio on yksinkertainen, kun sen sivut eivät leik- kaa toisiaan.
Mielivaltaisen kolmion, jonka kulmat löytyvät hilapisteiltä, eikä sen pii- rillä ole muita hilapisteitä tai sen sisällä ei ole yhtään hilapistettä, pinta-ala on helposti laskettavissa. Tällaisen kolmion kanta ja korkeus ovat aina 1, joten kolmion pinta-ala on aina 12·1 = 12. Kolmio voidaan kopioida, jolloin saadaan muodostettua suunnikas, jonka pinta-ala on tietysti kaksinkertainen eli 1. Tällaisilla suunnikkailla voidaan täyttää koko koordinaatisto. Kuvassa 23 on esimerkki yhdestä tapauksesta.
Mikä tahansa yksinkertainen monikulmio on aina mahdollista pilkkoa yk- sinkertaisiin kolmioihin, kuten kuvassa 24 on tehty.
Todistetaan Pickin lause.
Todistus. Olkoon olemassa yksinkertainen monikulmio, jonka kaikki kulmat sijaitsevat koordinaatiston hilapisteillä. Olkoon monikulmion piirillä olevien hilapisteiden määrä Np ja sisällä olevien hilapisteiden määrä Ns.
Kuva 23: Yksinkertainen kolmio ja siitä muodostettu suunnikas.
Kuva 24: Monikulmio pilkottuna yksinkertaisiin kolmioihin.
Halkaistaan monikulmio yksinkertaisiin kolmioihin. Tutkitaan saatua ku- viota verkkona, jossa kolmioiden sivut ovat kaaria E ja kärjet solmuja V. Kun lasketaan kolmioiden määrä ja lisätään verkkojen tavoin monikulmion ulkopuolella oleva alue, saadaan alueiden määrä eli F = K + 1, jossa F on alueiden määrä ja K yksinkertaisten kolmioiden määrä. Tiedetään, että jo- kaisen kolmion pinta-ala on 12, joten koko monikulmion pinta-ala onA= K2. Jokaisella kolmiolla on kolme sivua, joten yksinkertaisten kolmioiden kaik- kien sivujen määrä on 3K. Monikulmiossa jokaisen yksinkertaisen kolmion sisäinen sivu on laskettu kahdesti, mutta monikulmion piirillä olevien kol- mioiden sivut vain kerran, eli 3K = 2E−Np. Ratkaisemalla kaarien määrä E saadaan
3K = 2E−Np 2E = 3K+Np
E = 3K 2 +Np
2 .
Verkon kärkien määräV on kaikkien monikulmion piirillä ja sisällä olevien hilapisteiden määräNp+NseliV =Np+Ns. Sijoittamalla muuttujat Eulerin monitahokaslauseeseen saadaan
2 = V −E+F 2 = (Np+Ns)−
(3K 2 +Np
2 )
+ (K+ 1) 2 = −K
2 + Np
2 +Ns+ 1.
Yksinkertaisten kolmioiden määrällä voidaan ratkaista pinta-ala, joten ratkaistaan K
2 =−K 2 +Np
2 +Ns+ 1 K
2 = Np
2 +Ns−1 K =Np+ 2Ns−2 K = 2Ns+Np−2.
Yksinkertaisten kolmioiden pinta-ala on 12, joten koko monikulmion pinta- ala on
A= 1
2K = 1
2(2Ns+Np−2) =Ns+1
2Np−1.
4.3 Platonin kappaleiden pakkaaminen
Pakkaustiheyden tutkiminen on ollut historian aikana hyvinkin kiinnostavaa.
Alkujaan mitattiin viljaa koreittain, myöhemmin pyrittiin kasaamaan tykin- kuulia mahdollisimman tiheästi ja nykyaikana tiheä pakkaaminen säästää tuotteiden pakkaamisessa tilaa ja siten suoraan myös rahaa ja luontoa.
Niin ikään Platonin kappaleiden pakkaamista on tutkittu. Kuutio on näis- tä kappaleista ainoa, jolla voidaan täyttää avaruus. Mielenkiinto kääntyy siis tetraedriin, oktaedriin, dodekaedriin ja ikosaedriin. Tetraedrin pakkaustihey- den optimaalisuudesta on jopa käyty kilpaa viime aikoina ja nopeasti tet- raedrille löydettiin aina vain tiheämpiä tapoja järjestää kappaleita [8].
Tasokulmat
Tutkimalla kappaleiden sisäisiä tahkojen välisiä kulmia eli tasokulmia voi- daan huomata, että ensiksi vain kuutio voi täyttää avaruuden.
Määritelmä 4.3.1. Tasokulma θ on kappaleen kahden tahkon välinen si- säinen kulma. Kulma voidaan laskea seuraavasti sinθ2 = cos
(π q
) /sin
(π p
), missä p on tahkon sivujen määrä ja q on kärkeen liittyvien tahkojen määrä.
[19, s. 2]
Voidaan sijoittaa kappaleiden tahkojen sivujen määränp ja kärkeen liit- tyvien tahkojen määrätqtasokulman ratkaisevaan yhtälöön ja laskea kappa- leiden tasokulmien θ arvot. Kuten tiedetään, kappaleiden tahkon sivujen ja kärkeen liittyvien tahkojen määrät (p, q) ovat tetraedrilla (3,3), oktaedrilla (3,4), ikosaedrilla (3,5), kuutiolla (4,3) ja dodekaedrilla (5,3). Tasokulmien arvot on ilmaistu taulukossa 3.
Kappale Kulma θ
tetraedri 2 sin−1(1/√ 3) oktaedri 2 sin−1(√
2/3) ikosaedri 2 sin−1(Φ/√
3)
kuutio π/2
dodekaedri 2 sin−1(Φ/√
Φ2+ 1)
Taulukko 3: Tasokulmien arvot, jossa Φ = 1+2√5 on kultainen leikkaus. [19, s. 2]
Tasokulman ollessa2π-kerrannainen, vain silloin voi kappale täyttää ava- ruuden. Kappaleista vain kuution tasokulma π/2 on 2π-kerrannainen, joten vain se voi täyttää avaruuden. Tämän seurauksena muut kappaleet eivät voi täyttää avaruutta, vaan näiden kappaleiden väliin jää välttämättä rakoja.
Määritelmä 4.3.2. Kokoelmaa kappaleita, jotka eivät ole päällekkäisiä, n- ulotteisessa avaruudessa Rn kutsutaan pakkaukseksi.
Määritelmä 4.3.3. Pakkaustiheys ϕon suhde, kuinka suuren osan kappaleet täyttävät avaruudesta Rn.
Läpi historian on yritetty löytää kappaleille aina vain optimaalisempia pakkauksia. Kuutio on ainoa kappale, jonka optimaalisimmat tavat paka- ta on löydetty. Muiden Platonin kappaleiden pakkaamisen optimaalisuuden löytäminen ei ole niin suoraviivaista.
Optimaalinen pakkaustiheys ϕmax on hankala selvittää ja erityisen han- kala todistaa. Vain pallojen pakkaamisen optimaalisuus on todistettu tähän päivään mennessä [12]. Todistuksen palloista antoi amerikkalainen Thomas Hales. Halesin todistus oli pitkä ja tietokoneavusteinen, minkä seurauksena
todistuksen tarkistaminen vei vuosia. Halesin artikkeli julkaistiin Annals of Mathematicsissa vasta vuonna 2005 useiden vuosien tarkastamisen jälkeen [23].
Lause 4.3.4. (Keplerin konjektuuri) Palloja ei voida pakata tiiviimmin kuin pintakeskisellä kuutiollisella tai heksagonisella pakkaustavalla.
Todistus. Todistus sivuutetaan. Katso Hales 2005 [12].
Pallon maksimaalinen pakkaustiheysϕPmax avaruudessaR3 on ϕPmax= π
√18 = π 3√
2 ≈74,048%. [12, s.1067]
Pakkaustiheyden yläraja
Jiao ja Torquato [19, s. 10-11] pystyivät määrittelemään maksimaaliselle pak- kaustiheydelle ylärajan, jonka avulla optimaalisinta pakkaustapaa voidaan arvioida. Mitä lähemmäs pakkaustiheydessä päästään ylärajaa, sitä toden- näköisempää on optimaalisimman pakkaustavan löytyminen. Jotta voidaan tutkia ylärajaa tarkemmin, määritellään joitakin asioita pakkaamiseen liit- tyen.
Määritelmä 4.3.5. Saturoitu pakkaus on pakkaus, johon ei voida enää lisätä kappaleita.
Määritelmä 4.3.6. Hilakoordinaatisto Λ avaruudessa Rn on ääretön piste- joukko, joka muodostuu paikkavektoreista
R=
∑n
i=1
mik¯i,
missä k¯i ovat lineaarisesti riippumattomia vektoreita ja mi ∈Z.
Kolmiulotteisessa avaruudessa hilakoordinaatistoa kutsutaan Bravaisin hilaksi ja on muotoa R=m1k¯1+m2k¯2+m3k¯3.
Määritelmä 4.3.7. Hilapakkaus PH on järjestys, jossa samansuuntaisten kappaleiden keskipisteet ovat järjestetty hilakoordinaatiston Λ pisteille. Hi- lapakkausten joukko on osajoukko kaikista mahdollisista pakkauksista ava- ruudessa Rn.
Määritelmä 4.3.8. Hilapakkauksissa avaruus Rn voidaan jakaa yhteneviin alueisiin C, joita kutsutaan kennoiksi (eng. fundamental cell), ja joissa on vain yhden kappaleen keskipiste.
Avaruus voidaan siis jakaa samanlaisiin kennoihin, jotka sisältävät aina yhden kappaleen keskipisteen siten, että kappaleet eivät ole toistensa päällä.
Näin ollen hilapakkauksen pakkaustiheys voidaan määritellä seuraavasti.
Määritelmä 4.3.9. Hilapakkauksen tiheys on ϕ= Vk
V(C),
missä Vk onn-ulotteisen kappaleen tilavuus ja V(C)on kennon tilavuus.
Yleisemmin käsiteltynä hilapakkaus on jaksottainen pakkaus. Tämä tar- koittaa sitä, että kennojen sisällä voi olla useampikin kappale mielivaltaises- sa järjestyksessä, mutta kennot ovat yhtenäisiä ja ovat järjestetty hilakoor- dinaatiston Λ mukaisesti. Jaksottaisen pakkauksen pakkaustiheys lasketaan lukumäärätiheyden avulla.
Määritelmä 4.3.10. Jaksottaisen pakkauksen pakkaustiheys ϕ = N Vk
V(C) =ρVk,
missä ρ = VN(C) on lukumäärätiheys eli kappaleiden määrä per kennon tila- vuus.
Nyt voidaan määritellä ylärajan ja todistaa sen paikkansapitävyyden.
Lemma 4.3.11. Yhtenevien kappaleiden maksimi pakkaustiheys on ylhäältä rajoitettu siten, että
ϕmax≤min [Vk
VspϕPmax,1 ]
.
Todistus. Olkoon ϕmax maksimaalinen pakkaustiheys kappaleelle, jonka ti- lavuus on Vk, ulottuvuudessa Rn. Olkoon ϕPmax pallon maksimaalinen pak- kaustiheys ja Vsp suurin kappaleen sisälle mahtuvan pallon tilavuus.
Maksimaalinen pakkaustiheysϕmaxvoidaan ilmaista tilavuuden lukumää- rätiheyden maksimin avulla ϕmax =pmaxVk.
Kun jokaisen kappaleen sisään asetetaan suurin mahdollinen pallo, pätee pmaxVsp ≤ϕPmax.
Ylärajan väite seuraa yhdistämällä kaksi edellistä lauseketta.
pmaxVsp ≤ϕPmax pmax ≤ 1
VspϕPmax pmaxVk ≤ Vk
VspϕPmax ϕmax ≤ Vk
VspϕPmax.
Näin ollen kolmiulotteisessa avaruudessa pakkaustiheyden yläarvo on
ϕmax ≤ϕYmax = min [vk
vsp
√π 18,1
] .
Ylärajaa voidaan vielä tarkastella tarkemmin tutkimalla kappaleen pal- lonkaltaisuutta. Mitä enemmän kappale muistuttaa palloa, sitä tarkempi ylä- raja on.
Pallonkaltaisuus γ on kappaleen ulkopuolelle muodostetun pallon säteen sekä sen sisälle muodostetun pallon säteen suhde. γ = rup/rsp, missä rup
on pienin pallo, jonka sisään kappale voidaan asettaa, ja rsp on suurin pal- lo, jonka voi asettaa kappaleen sisään. Pallolle tietysti on γ = 1. Mitä lä- hempänä γ on yhtä, sitä tarkempi kappaleelle laskettu yläraja on. Esimer- kiksi kappaleen särmän ollessa yksikön pituinen kuution pallonkaltaisuus on rup/rsp = √23/12 =√
3≈1.732. Kappaleiden pakkaustiheydet
Seuraavaksi esittelen Platonin kappaleiden toistaiseksi pakkaustiheyden kan- nalta optimaalisimmat löydetyt pakkaukset. On muistettava, että vain pallon pakkaustiheys on todistettu. Muiden konveksisten ja yhtenevien kappaleiden optimaalisista pakkauksista ei voida vielä olla varmoja. Esitetyt pakkausta- vat eivät siis välttämättä ole kaikista optimaalisimmat, vaan on mahdollista, että vielä löydetään tehokkaampia tapoja pakata kappaleita.
Betke ja Henk kehittivät vuosituhannen vaihteessa algoritmin, joka selvit- tää mille tahansa konveksiselle monitahokkaalle optimaalisimmat Bravais'n hilapakkaukset [4]. He käyttivät algoritmia selvittääkseen myös Platonin kap- paleiden optimaaliset hilapakkaukset. Tetraedrin hilapakkaus näkyy kuvassa 27 ja oktaedrin, ikosaedrin sekä dodekaedrin hilapakkaukset näkyvät kuvassa 25. Näiden hilapakkausten tiheydet ovat tetraedrilla noin 36,7 %, oktaedrilla
Kappale Vk rsp rup γ ϕHmax ϕYmax
tetraedri √122 √126 √46 3 ≈0.367 1
ikosaedri 5(3+12√5) 3√3+12√15 √
10+2√ 5
4 ≈1.258 ≈0.836 ≈0.893 dodekaedri 15+74√5 √
250+110√ 5 20
√3+√ 15
4 ≈1.258 ≈0.905 ≈0.981
oktaedri √32 √66 √22 ≈1.732 ≈0.947 1
kuutio 1 12 √23 ≈1.732 1 1
Taulukko 4: Platonin kappaleiden hilapakkausten tiheyden sekä yläarvojen tiheydet. Kappaleen tilavuus Vk, kun särmän pituus on 1, sisäisen ja ulkoi- sen pallon säde rsp ja rup, pallonkaltaisuus γ sekä Bravais'n hilapakkauksen maksimitiheys ϕHmax ja kappaleen pakkaustiheyden yläraja ϕYmax. [19, s. 20]
noin 94,7 %, ikosaedrilla noin 83,6 %, dodekaedrilla noin 94,7 % sekä kuu- tiolla tietysti täydet 100 %, koska kuutio täyttää avaruuden.
Kuva 25: Oktaedrin, ikosaedrin ja dodekaedrin optimaaliset hilapakkaukset.
[19, s. 9-10]
Tetraedri voidaan helposti pakata tiheämmin kuin sen optimaalisella hila- pakkaustavalla saavutetaan. Muun muassa tämän vuoksi on kehitelty erilai- sia tietokoneohjelmia etsimään mahdollisimman optimaalisia tapoja pakata kappaleita. Eräs tavoista on professoreiden Jiaon ja Torquaton vuonna 2009 kehittämä adactive shrinking cell -menetelmä eli ASC.
ASC toimii siten, ohjelmaan voidaan asettaa kappaleita kennoon satun- naisesti tai haluamillaan alkuarvoilla, seuraavaksi algoritmi valitsee satunnai- sesti kappaleen, jota yritetään siirtää jonkin verran. Mikäli siirron seurauk-
sesta kappaleet menisivät päällekkäin, siirto hylätään. Lopuksi koordinaatis- toa yritetään taivuttaa, mistä seuraa kennon muodonmuutos ja tiivistymi- nen (ks. kuva 26). Lukemattomien toistojen jälkeen tietokoneohjelma löytää usein yhden tiheimmistä tavoista pakata kappaleita. [19]
Kuva 26: ASC-menetelmän vaiheet. [18, s. 877]
Jiaon ja Torquaton algoritmin tulokset vahvistavat, että oktaedrin, iko- saedrin ja dodekaedrin tiheimmät pakkaustavat olisivat nimenomaan Betken ja Henken löytävät hilapakkaustavat, ja päätyivät esittämään konjektuurin, jonka mukaan kaikkien keskisymmetristen Platonin ja Arkhimedeen kappa- leiden optimaalisimmat pakkaustavat olisivat erityisesti Bravais'n hilapak- kauksia. [19, s. 9-15]
Konjektuuri 4.3.12. Keskisymmetristen Platonin kappaleiden suurin pak- kaustiheys saavutetaan niiden vastaavilla optimaalisilla hilapakkauksilla. [19, s. 15]
Juoksukilpailu tetraedrista
Tetraedri on hyvä esimerkki siitä, että kappaleita ilman keskisymmetriaa on hankala pakata tiiviisti. Monia keskisymmetrisiä kappaleita voidaan pakata tiiviisti järjestämällä kappaleet samansuuntaisessa orientaatiossa Bravais'n hilalle. Tetraedrin tunnetuin optimaalisin Bravais'n hilapakkauksen löysi Hel- mut Groemer vuonna 1962 [8]. Pakkaustavan tiheys on 1849 ≈0.367eli 36,7 %.
Kuvasta 27 näkee millaiseen hilapakkaukseen tetraedri tulee asetella.
Tetraedri saadaan pakattua huomattavasti tiiviimmin. Jopa satunnaisesti laatikkoon heitetyt tetraedrit saattavat olla tiheämmin pakattuja kuin tihein hilapakkaus. Vuonna 2006 John Conway ja Salvatore Torquato ja huomasivat, että he voisivat asettaa tetraedrit ikosaedrin sisään ja asettaa tällaiset kennot tetraedreja ikosaedrin optimaalisimman hilapakkauksen muotoon. Näin he tuplasivat tetraedrin pakkaustiheyden kerralla 71,66 %:iin [9]. Myöhemmin he huomasivat, että ikosaedrin muotoon olisi mahdollista laittaa useampi
Kuva 27: Tetraedin optimaalisin hilapakkaustapa on kyseinen Bravais'n hi- lapakkaus. [8]
tetraedri kuin 20, jolloin he saivat tiivistettyä pakkausta hivenen 71,74 %:iin [8].Elizabeth Chen oli työskennellyt samoihin aikoihin tetraedrin parissa ja pohtinut täysin samaa ikosaedritekniikka kuin Conway ja Torquato. Chen ei kuitenkaan lannistunut ja löysi vielä tiheämmän tavan pakata tetraedrin vuonna 2008. Chen löysi pakkauksen, jossa oli hyödynnetty pyöriä, jotka koostuivat viidestä tetraedrista (kuva 28). Pyörillä Chen saavutti tiheydeksi 77,86 %, joka oli ensimmäistä kertaa tiheämpi kuin pallon tihein pakkaustapa 74,05 %. [6]
Kuva 28: Chenin pyörä, jonka tiheys on noin 0,7786. [6, s. 221, 223]
Lähes tarkalleen vuotta myöhemmin Torquato ja Jiao löysivät hiukan tiheämmän tavan keksimällään ASC-menetelmällä. He saivat pakkaustihey- deksi 78,2 % [18]. Parin kuukauden päästä he julkaisivat artikkelin [19], jonka mukaan heidän ASC-menetelmänsä oli löytänyt uuden epäsäännöllisen pak- kauksen, jonka tiheys oli huikeasti yli kahdeksankymmenen prosentin, peräti 82,2 %. Kuvat näistä pakkauksista näkyy kuvassa 29.
Vain muutaman viikon kuluttua Kallus julkaisi oman artikkelinsa tet- raedrin pakkaamisesta arXivissa, joka on tieteellisten tutkimusten elektroni-
Kuva 29: Torquato & Jiao 78,2 % [18] ja tiheämpi 82,2 % pakkaukset [19].
nen arkisto. Kallus oli pohtinut, että tetraedrilla olisi luultavasti tiheämpi pakkauksia, mikäli tetraedrit järjestettäisiin säännöllisesti pitäen myös ken- non koon pienenä. Hän asetti kaksi tetraedria kaksi tahkoa vastakkain luoden eräänlaisen timantin. Näitä timantteja järjestämällä Kallus nosti tetraedrin pakkaustiheyden peräti 85,4 %:iin [14]. Kuvassa 30 näkyy Kalluksen timant- tien säännöllisyys.
Kuva 30: Kalluksen pakkaus, jonka tiheys on 85,4 %. [14, s. 3]
Timantti-idea on ollut lupaavaa optimaalisen pakkaustiheyden löytymi- selle, koska se on säännöllinen ja toistettavissa hyvinkin pienillä kennoilla.
Torquato ja Jiao kiinnostuivat näistä timanteista ja kokeilivat omaa ASC- menetelmäänsä kennoilla, jotka koostuivat 2-32 tetraedrista. Neljän kappa- leen kennolla he pääsivät yli 85,5 % tiheyteen. Tarkempia arvoja tarkastel- lessa Kalluksen sekä Torquaton ja Jiaon ero tiheydessä on vain 0,0806 % (tarkempien arvojen ollessa 85,5506 % ja 85,4700 %). [17]
Torquato ja Jiao päätyivät tetraedrin osalta antamaan seuraavan konjek- tuurin.
Konjektuuri 4.3.13. Konveksisen ja yhtenäisen monitahokkaan, joka ei ole keskisymmetrinen, tihein pakkaus ei ole Bravais'n hilapakkaus. [17, s. 3]
