Determinantin määritelmistä ja ominaisuuksista

Pro gradu -tutkielma

Olli Savolainen

Determinantin määritelmistä ja

ominaisuuksista

Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos

Matematiikka

Heinäkuu 2005

Matematiikan,tilastotieteen ja losoan laitos

SAVOLAINEN, OLLI: Determinantinmääritelmistäja ominaisuuksista

Pro gradu-tutkielma, 61s.

Matematiikka

Heinäkuu 2005

TIIVISTELMÄ

Tutkielmassa determinantti määritellään kahdella tavalla, permutatiivisesti

ja aksiomaattisesti. Tutkielma sisältää kolme lukua. Ensimmäisessä luvus-

sa determinantti määritellään permutatiivisesti ja toisessa aksiomaattisesti.

Lisäksi toisessaluvussa osoitetaan,että edellämainitutdeterminantinmää-

ritelmätovatkeskenäänekvivalentit.Kolmannessaluvussalasketaanjoitakin

determinantteja, kuten Vandermonden determinantti.

Jottadeterminanttivoidaan määritelläpermutatiivisesti,luvussa 1mää-

ritelläänmuunmuassakäsitteetsykli, transpositio ja merkkisekä johdetaan

niihin liittyviälauseita.Luvussa 2aksiomaattisestimääriteltydeterminantti

on

n

-lineaarinen alternoiva funktio. Tällöin, kun determinantin määrittelee aksiomaattisesti, identiteettimatriisindeterminanttimääritelläänykköseksi.

Tutkielman pääpaino on luvussa 2: determinantti määritellään aksio-

maattisesti ensin

2 × 2

^{- ja sitten}

n × n

-matriiseille. Luvussa 2.2 tutkitaan

2 × 2

^-matriisin geometrista tulkintaa. Determinantin ominaisuuksia johde- taan aksiomaattisesta lähtökohdastaluvuissa 2.4-2.6.

Tutkielmassaonkäytetty päälähdekirjoinaStephen H.Friedberginteosta

Linear Algebra ja WilliamC. Brownin kirjaaMatries and Vetor Spaes.

Johdanto 1

1 Determinantin permutatiivinen määritelmä 2

1.1 Permutaatioista ja niiden ominaisuuksista . . . 2

1.2 Determinantinpermutatiivinenmääritelmä ja ominaisuuksia . 14 2 Determinantin aksiomaattinen määritelmä 21 2.1 Valmisteleviatarkasteluja . . . 21

2.2 Aksiomaattinen

2 × 2

^-matriisindeterminantti . . . 23

2.2.1 Determinantinmääritelmä

2 × 2

-matriiseille . . . 23

2.2.2 Suunnikkaan ala . . . 26

2.3 Aksiomaattinen

n × n

^-matriisindeterminantti . . . 33

2.4 Determinantinominaisuuksia . . . 40

2.5 Determinantinlaskemisesta . . . 47

2.6 Cramerin sääntö . . . 53

3 Esimerkkejä determinanteista 54 3.1 Kaksiesimerkkiä determinanteista. . . 54

3.2 Determinantinlaskeminen

LU

-hajotelman avulla . . . 57

3.3 Vandermonden determinantti . . . 59

Viitteet 61

Tämä tutkielmakäsitteleekahta,permutatiivista jaaksiomaattista determi-

nantinmääritelmääsekäniistäjohdettujatuloksia.Jokaiselleneliömatriisille,

jonkaalkiotovatreaali-taikompleksilukuja,voidaanmääritellädeterminant-

ti, joka on reaali- taikompleksiluku. On mielenkiintoista, miten paljon yksi

ainoa luku voi kertoa matriisista. Esimerkiksi matriisin kääntyvyys voidaan

päätellädeterminantinarvosta. Tulonsäilyminenonyksitärkeädeterminan-

tinominaisuus.Tämätarkoittaa sitä,ettäjos kahdenmatriisintuloonmää-

ritelty, niin näiden matriisien tulon determinantti on sama kuin kyseisistä

matriiseista erikseen laskettujen determinanttien tulo. Sen sijaan determi-

nantti ei ole lineaarinen transformaatio, sillä se ei säilytä yhteenlaskua eikä

skalaarilla kertomista. Toisin sanoen

det(AB) = det(A) det(B),

mutta

det(A + B) 6= det(A) + det(B)

^ja

det(cA) 6= c det(A),

vaikkamatriisien

A

^ja

B

yhteenlasku olisimääritelty.

Ensimmäisessaluvussa determinantti määritelläänpermutatiivisestiheti

sen jälkeen, kun ollaan ensin määritelty permutaatioihin liittyviä käsitteitä

ja johdettu niihinliittyviä tuloksia. Esimerkiksikäsitteitäsykli, transpositio

ja merkki tarvitaan,kun determinantti määritellääntällätavalla.

Toisessaluvussadeterminanttimääritelläänkolmellaaksioomalla.Luvus-

sa 2.1 määritellään käsitteitä ja esitetään tuloksia, joita tarvitaan luvuis-

sa 2.3-2.6. Luvussa 2.2 determinantti määritellään aksiomaattisesti

2 × 2

^-

matriiseille.Lisäksiluvussa2.2.2tutkitaan

2×2

^-matriisindeterminantingeo- metristasovellusta.Tässä luvussahuomataan,että itseisarvodeterminantis-

tavastaatietyllätavallamääriteltyäsuunnikkaanalaatasokoordinaatistossa.

Luvussa 2.3determinanttimääritelläänaksiomaattisesti

n × n

-matriiseilleja luvussa 2.4 huomataan, että kyseinen määritelmä on ekvivalentti luvussa 1

esitetyn determinantin määritelmän kanssa, kun determinantti määriteltiin

permutaatioiden avulla.Lisäksi luvuissa 2.4-2.5 käydään läpideterminantin

tärkeimpiäominaisuuksia aksiomaattisestalähtökohdastajaluvussa 2.6joh-

detaanniinsanottuCramerinsääntöyhtälöryhmänratkaisemiseksidetermi-

nanttien avulla.

Viimeisessäelikolmannessaluvussa lasketaanlisääjoitakindeterminant-

teja, kuten Vandermonden determinantti.

determinantinominaisuuksiajohdetaannimenomaantästäoletuksesta. Mut-

tatoisaaltapermutatiivisestimääriteltydeterminanttituolisääsyvyyttä ky-

seisen käsitteen moninaisuuteen.

Tässä tutkielmassa kunnalla

F

tarkoitetaan reaalilukujen kuntaa

R

tai kompleksilukujen kuntaa

C

. Tutkielma seuraa pääasiassa teoksia [3℄ ja [1℄.

Esimerkit ovat kirjoittajan omia, ellei toisin mainita. Jotkin esimerkit on

otettusuoraanlähdekirjasta,koskaniitäparempiaesimerkkejäonvaikeakek-

siä kyseisen aihealueen takia.

Vaikka determinantti kuuluu lineaarialgebran peruskäsitteisiin, esimer-

kiksi Tampereen yliopiston kurssilla Lineaarialgebra I, jolla seurataan läh-

dettä [2℄, determinantti määritellään tylsästi suoraan sarakekehitelmänä il-

man kummempia perusteluja. Tutkielmassa sarakekehitelmä johdetaan de-

terminantin permutatiivisesta ja aksiomaattisesta määritelmästä. Lukijalta

odotetaan perustietoja matriisilaskennasta ja lineaarialgebrasta.

1 Determinantin permutatiivinen määritelmä

1.1 Permutaatioista ja niiden ominaisuuksista

Määritelläänaluksipermutaationkäsitejajohdetaansiihenliittyviätuloksia,

joita tarvitaan myöhemmin tässä luvussa, kun määritellään determinantin

käsite sekä johdetaan siihen liittyviä tuloksia. Luvussa 1 viitataan teokseen

[1, s.155-171℄,jos ei toisin mainita.

Merkitään

∆(n) = {1, 2, 3, ..., n}

^{. Kokoa}

n

^oleva permutaatio,

n

^-permu-

taatio, määritelläänseuraavasti.

Määritelmä 1.1.

n

^-

permutaatio

^{on bijektio} lähtöjoukolta

∆(n)

^maalijou-

kolle

∆(n)

^.

Otetaankäyttöönsymboli

S n

tarkoittamaanjoukkoa,jokasisältääkaikki

n

-permutaatiot.Toisin sanoen

S n ={σ

^:

∆(n)7→∆(n)| σ

^onbijektio

}

^.Joukkoa

S n

^kutsutaan symmetriseksi ryhmäksi luvun

n

^suhteen.

Onhelppolaskea,kuinkamontaalkiotajoukko

S n

^sisältää.Muodostetaan bijektio

σ : ∆(n) 7→ ∆(n)

^{. Koska}

∆(n)

^{on äärellinen joukko, niin riittää}

konstruoida kuvaus

σ

^{, joka on injektio joukolta}

∆(n)

^joukolle

∆(n)

^{. Tämä}

on sallittua siksi, että kun

σ

^{on injektio, niin}

σ

^{on surjektio, sillä jokaista}

maalijoukonalkiota

y ∈ ∆(n)

^{kohtionolemassa}

y = σ(x)

^jollakin

x ∈ ∆(n)

^.

Kuvauksen

σ

^{arvo muuttujan arvolla 1, toisin sanoen}

σ(1)

^{, voi olla mikä}

tahansa joukon

∆(n) n

^{:stä alkiosta. Koska}

σ

^{on injektio, niin kuvauksen}

arvolle

σ(2)

^on

n − 1

vaihtoehtoa (

σ(1) 6= σ(2))

^{, kun}

σ(1)

^on kiinnitetty. Kun

σ(1)

^ja

σ(2)

^{on valittu, kuvauksen arvolle}

σ(3)

^on

n − 2

vaihtoehtoa, kun

σ(1) 6= σ(3)

^ja

σ(2) 6= σ(3)

^{. Jatkamalla} vastaavalla tavalla saadaan

n(n − 1)(n − 2) · · · (3)(2)(1) = n!

^{erilaistakuvausta}

σ

^.Täten

S n

^{onäärellinen}

joukko,jokasisältää

n!

^alkiota.Yhtäpitävästivoidaansanoa,ettäonolemassa täsmälleen

n!

^joukon

∆(n)

^erillistä permutaatiota.

Toisaaltaonolemassanäppärämpi tapa ilmaistajoukon

∆(n)

^permutaa-

tiot. Olkoon

σ ∈ S n

^{. Oletetaan, että}

σ(1) = j 1 , σ(2) = j 2 , . . . , σ(n) = j n

^.

Koska

σ

^{onbijektio,niin}

∆(n) = {j 1 , . . . , j n }

^.Funktio

σ

^{voidaanesittää nyt}

2 × n

-matriisina

σ =

1 2 · · · n

j ₁ j ₂ · · · j n

.

⁽¹⁾

Huomautus. Matriisimerkintä (1) ei ole tavanomainen matriisi. Siksi nyt,

koska

σ

^{onbijektio,niinsilläei oleväliä,missä}järjestyksessä alkio

i ∈ ∆(n)

ja sitä vastaavakuva

σ(i) ∈ ∆(n)

^ovatmatriisissa(1). Esimerkiksi

1 2 j 1 j 2

=

2 1 j 2 j 1

.

Esimerkki 1.4 löytyy lähdekirjasta. Esimerkit 1.2 ja 1.3 ovat osittain sa-

moja kuinkirjassa.

Esimerkki 1.2. Joukon

S ₃

permutaatiotvoidaan esittää matriiseina

σ ₁ =

1 2 3 1 2 3

, σ ₂ =

1 2 3 1 3 2

, σ ₃ =

1 2 3 2 1 3

,

σ ₄ =

1 2 3 2 3 1

, σ ₅ =

1 2 3 3 1 2

, σ ₆ =

1 2 3 3 2 1

.

Esimerkiksi

σ 3 (1) = 2

^,

σ 3 (2) = 1

^ja

σ 3 (3) = 3

^.

Esimerkki 1.3. Joukko

S ₄

^{sisältää24} permutaatiota, ja ne voidaanesittää matriiseina

σ 1 =

1 2 3 4 1 2 3 4

, σ 2 =

1 2 3 4 1 2 4 3

, σ 3 =

1 2 3 4 1 3 2 4

,

σ ₄ =

1 2 3 4 1 3 4 2

, σ ₅ =

1 2 3 4 1 4 2 3

, σ ₆ =

1 2 3 4 1 4 3 2

, σ ₇ =

1 2 3 4 2 1 3 4

, σ ₈ =

1 2 3 4 2 1 4 3

, σ ₉ =

1 2 3 4 2 3 1 4

, σ 10 =

1 2 3 4 2 3 4 1

, σ 11 =

1 2 3 4 2 4 1 3

, σ 12 =

1 2 3 4 2 4 3 1

, σ ₁₃ =

1 2 3 4 3 1 2 4

, σ ₁₄ =

1 2 3 4 3 1 4 2

, σ ₁₅ =

1 2 3 4 3 2 1 4

, σ ₁₆ =

1 2 3 4 3 2 4 1

, σ ₁₇ =

1 2 3 4 3 4 1 2

, σ ₁₈ =

1 2 3 4 3 4 2 1

, σ 19 =

1 2 3 4 4 1 2 3

, σ 20 =

1 2 3 4 4 1 3 2

, σ 21 =

1 2 3 4 4 2 1 3

, σ ₂₂ =

1 2 3 4 4 2 3 1

, σ ₂₃ =

1 2 3 4 4 3 1 2

, σ ₂₄ =

1 2 3 4 4 3 2 1

.

Esimerkiksi

σ 13 (1) = 3

^,

σ 13 (2) = 1

^,

σ 13 (3) = 2

^ja

σ 13 (4) = 4

^.

Huomataan,että

n

-permutaatiotovatbijektioita,jotkaindeksoituvatää- relliseltä

n

^{erillistä alkiota} sisältävältä joukolta vastaavalle

n

^{:n erillisen al-}

kion joukolle. Olkoon

T

⁼

{A 1 , . . . , A n }

^{, jossa}

A ₁ , . . . , A n

^{ovat erillisiä. Jos}

σ ∈ S n

^,niin

σ

^{onbijektiojoukolta}

T

^joukolle

T

^,kun

σ(A i ) = A σ(i)

^aina,kun

i = 1, . . . , n

^{. Edellä esitettyä tapaa käytetään monissa}yhteyksissä matema- tiikassa.

Esimerkki 1.4. Olkoon

I ₃ =



 1 0 0 0 1 0 0 0 1





3 × 3

-identiteettimatriisi. Muodostetaan matriisista

I 3

^kuusi permutaatio- matriisia ottamalla kaikki mahdolliset permutaatiot matriisin

I ₃

^pystyri-

veistä. Tehdään asia systemaattisella tavalla ja jaetaan matriisi

I ₃

^sarak-

keisiin:

I 3 = [ ǫ ₁ | ǫ ₂ | ǫ ₃ ]

^{. Edellä}

ǫ = { ǫ ₁ , ǫ ₂ , ǫ ₃ }

^{on avaruuden}

F ³

kanoninen kanta. Tämä tarkoittaa sitä, että vektorit

ǫ ₁ , ǫ ₂

ja

ǫ ₃

muodostavat avaruu- den

F ³

kannan, kun kunkin pituus on yksi. Olkoon

σ( ǫ _i ) = ǫ _σ(i)

joukos- sa

S 3

^{, kun}

ǫ

on kanta. Nyt jokainen

σ ∈ S 3

määrittelee uuden matriisin

I(σ) = [ ǫ _σ(1) | ǫ _σ(2) | ǫ _σ(3) ]

^. Käyttämällä samanlaista esitystapaa kuin esimer- kissä 1.2 saadaan

I(σ 1 ) =





1 0 0 0 1 0 0 0 1



 , I(σ 2 ) =





1 0 0 0 0 1 0 1 0



 ,

I(σ 3 ) =



 0 1 0 1 0 0 0 0 1



 , I(σ 4 ) =



 0 0 1 1 0 0 0 1 0



 ,

I(σ 5 ) =



 0 1 0 0 0 1 1 0 0



 , I(σ 6 ) =



 0 0 1 0 1 0 1 0 0



 .

Permutaatioden avulla voidaan esittää ytimekkäästi lineaarialgebraan

liittyviä tuloksia. Voidaan esimerkiksi havaita, ettei vektoreiden järjestyk-

sellä ole merkitystä määriteltäessä avaruuden

V

^{kantaa. Tulos voidaan il-}

maista permutaatioden avulla seuraavasti: jokaista

σ ∈ S n

^{kohti joukko}

{ α ₁ , . . . , α _n }

^onavaruuden

V

^{kanta josja vainjos joukko}

{ α _σ

(1) , . . . , α _σ(n) }

on avaruuden

V

^kanta.

Koska

n

-permutaatiot ovat kuvauksia joukolta

∆(n)

^joukolle

∆(n)

^{, ne}

voidaanaina muodostaa.Voidaanosoittaa, että kahdenbijektion yhdistetty

kuvaus onedelleen bijektio.Näinollen kahden minkätahansa permutaation

σ, τ ∈ S n

^{yhdistetty kuvaus}

στ

^on permutaatio joukossa

S n

^. Laskettaessa

στ (j )

^{mille tahansa}

j ∈ ∆(n)

^{lasketaan ensin}

τ (j )

matriisimerkinnän (1) mukaisestija vasta sen jälkeen

σ(τ(j))

^.

Esimerkki 1.5. Oletetaan, että

τ =

1 2 3 4 5 3 4 5 2 1

ja σ =

1 2 3 4 5 2 3 5 1 4

ovatkaksipermutaatiotajoukossa

S 5

^.Käyttämällämatriisimerkintää(1)saa- daan

στ =

1 2 3 4 5 5 1 4 3 2

ja τ σ =

1 2 3 4 5 4 5 1 3 2

.

Onhuomattava,etteipermutaatiodenyhdistettykuvausoleyleisestikom-

mutatiivinen.Huomataan, että esimerkissä1.5

στ 6= τ σ

^.

Permutaatioiden

σ, τ ∈ S n

^yhdistettypermutaatiovoidaanhelpostimuo- dostaa kuvauksien

σ

^ja

τ

matriisiesityksistä. On myös huomattava, ettei se oletavanomainen matriisitulo.

Lause 1.6. a)

σ(τ γ) = (στ )γ

^kaikilla

σ, τ, γ ∈ S n

^.

b) On olemassa sellainen yksikäsitteinen permutaatio

I ∈ S _n

^{, että}

σI = Iσ = σ

^kaikilla

σ ∈ S n

^.

) Jokaista

σ ∈ S n

^{kohti on olemassa sellainen} yksikäsitteinen

τ ∈ S n

^,

että

στ = τ σ = I

^.

Todistus. a)-kohtapitääpaikkansa,silläkuvaustenyhdistäminenonassosia-

tiivinen. Nimittäin,kun nyt valitaanmielivaltainen

x ∈ ∆(n)

^{, niin}

σ(τ γ)(x) = σ((τ γ)(x)) = σ(τ (γ(x))) = στ (γ (x)) = ((στ )γ)(x).

b)-kohdan permutaatio

I

^{on identtinen kuvaus joukolta}

∆(n)

^joukolle

∆(n)

^{. Täten,kun}

I =

1 2 3 · · · n 1 2 3 · · · n

,

niin

σI =

1 2 3 · · · n

j ₁ j ₂ j ₃ · · · j _n

1 2 3 · · · n 1 2 3 · · · n

=

1 2 3 · · · n

j 1 j 2 j 3 · · · j n

= σ

ja

Iσ =

1 2 3 · · · n 1 2 3 · · · n

1 2 3 · · · n j ₁ j ₂ j ₃ · · · j n

=

1 2 3 · · · n

j 1 j 2 j 3 · · · j n

= σ.

Myösmyöhemmintässäluvussaedelläesitetyllämatriisilla

I

^{tullaantarkoit-}

tamaan identtistä kuvaustajoukolta

∆(n)

^joukolle

∆(n)

^.

Kohdan ) todistamiseksi valitaan mielivaltainen

σ ∈ S n

^{. Nyt}

τ

^{on per-}

mutaation

σ

käänteispermutaatio

σ ⁻¹

^{. Koska}

σ

^{on bijektio,} permutaatiol- la

σ

^{on olemassa} käänteispermutaatio

σ ⁻¹

^:

∆(n)7→∆(n)

^{. Tällöin}

σ ⁻¹ (i) = j

jos ja vain jos

σ(j) = i

^{. Selvästi}

σ ⁻¹

^on permutaatio joukossa

∆(n)

^ja

σσ ⁻¹ = σ ⁻¹ σ = I

^.

Kun

S

^{onepätyhjäjoukkoja}binäärioperaatio

(α, β) 7→ αβ

^onlaskutoimi- tusjoukossa

S

^{elikuvausjoukolta}

S × S

^joukkoon

S

^,niintätäkokonaisuutta, jokatoteuttaalauseen1.6ehdot,kutsutaanalgebrassaryhmäksi.Nytlauseen

1.6 perusteella

S n

^{onäärellinenryhmä, jossakuvausten} yhdistäminentoimii binäärioperaationa.

Koska determinantti tullaan myöhemmin määrittelemään permutaatio-

den avulla ja jokaiseen permutaatioon liittyy plus- tai miinusmerkki myö-

hemminesiteltävänmääritelmänmukaisesti,permutaatioidenominaisuuksis-

tatarvitaanlisäätietoa.Jottavoidaanymmärtää,mitäpermutaationmerkki

tarkoittaa, ensin täytyy määritelläsyklit ja transpositiot.

Määritelmä1.7. Olkoon

σ ∈ S n

^.Tällöinpermutaatiota

σ

^{kutsutaansyklik-}

si, josonolemassasellaiset

r

^erillistäkokonaislukua

i ₁ , i ₂ , . . . , i r ∈ ∆(n)

^,että

a)

σ(i 1 ) = i 2 , σ(i 2 ) = i 3 , . . . , σ(i r−1 ) = i r

^ja

σ(i r ) = i 1

^,

b)

σ(j) = j

^kaikilla

j ∈ ∆(n) \ {i 1 , . . . , i _r }

^.

Luku

r

^{on syklinpituus.}

Jos

σ

^{on sykli, jonka pituus on yksi, niin tällöin}

σ = I

^{. Tämä tapaus ei}

ole kovin mielenkiintoinen. Oletetaan, että

σ ∈ S n

^{on sykli, jonka pituus}

r

on vähintään kaksi. Tällöin

σ

^onpermutaatio, jonka kiertävässä osassa on

r

erillistä alkiota

i 1 , i 2 , . . . , i r

^{. Loput joukon}

∆(n)

^{alkiot kuvautuvat itselleen.}

Esimerkki 1.8. Olkoot

σ ₁ =

1 2 3 4 5 6 1 6 3 2 5 4

, σ ₂ =

1 2 3 4 5 6 6 3 4 5 1 2

, σ ₃ =

1 2 3 4 5 6 2 1 6 3 4 5

.

Nyt joukossa

S ₆ σ ₁

^{onkolmen pituinensykli ja}

σ ₂

^{onkuuden pituinensykli.}

Lisäksi

σ 3

^{ei ole itse sykli, mutta se on kahden ja neljän pituisen syklin}

yhdistetty kuvaus, sillä

σ 3 =

1 2 3 4 5 6 2 1 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 1 2 6 3 4 5

.

Olkoon

σ r

^{:n pituinensykli joukossa}

S n

^{. Oletetaan, että}

r > 1

^ja

σ(i 1 ) = i 2

^,

σ(i 2 ) = i 3 , . . . , σ(i r−1 ) = i r

^ja

σ(i r ) = i 1 .

Lyhennetään sitten yhtälön (1) matriisimerkintääja kirjoitetaan tiiviimmin

σ = (i 1 , i 2 , . . . , i r ).

⁽²⁾

Näin ollen esimerkissä1.8

σ ₁ = (2, 6, 4)

^,

σ ₂ = (1, 6, 2, 3, 4, 5)

^ja

σ ₃ = (1, 2)(3, 6, 5, 4).

On huomattava, ettei yhtälön (2) mukainen

r

^{:n pituinen sykli}

(i ₁ , i ₂ , . . . , i r )

oleyksikäsitteinen. Selvästiesimerkissä 1.8

σ ₁ = (2, 6, 4) = (6, 4, 2) = (4, 2, 6).

Määritelmä 1.9. Kaksisykliä ovat erilliset (engl.disjoint), jos

{i 1 , i 2 , . . . , i r } ∩ {j 1 , j 2 , . . . , j s } = ⊘.

Toisin sanoen

σ

^ja

τ

^{ovaterilliset,jos} esitystavoilla

(i ₁ , i ₂ , . . . , i r )

^ja

(j ₁ , j ₂ , . . . , j s )

ei oleyhteisiä alkioita.

Esimerkissä1.8

σ ₃

^{onkahdenerillisensyklin}

(1, 2)

^ja

(3, 6, 5, 4)

^yhdistetty

kuvaus. Tämäpätee yleisestikin paikkansa.

Lauseiden 1.10, 1.13 ja 1.14 todistuksia eilöydy lähdekirjasta.

Lause 1.10. Jokainenpermutaatio voidaan esittää järjestystä vaille yksikä-

sitteisesti erillisten syklien yhdistettynä kuvauksena.

Todistus. Todistetaan väite induktiollaluvun

n

^suhteen.

Tehdäänensin alkuaskel ja oletetaan, että

σ ∈ S 2

^{. Joukon}

S 2

^permutaa-

tiotovat

σ ₁ =

1 2 1 2

ja

σ ₂ =

1 2 2 1

.

Nyt

σ ₁

^{voidaanesittääyhdenpituistensyklien}yhdistettynäkuvauksena,kun taas

σ 2

^{on sykli}

(1, 2) = (2, 1)

^.

kolle

S n−m

^,kun

n > m

^,jaosoitetaan, ettäväite pitääpaikkansa joukolle

S n

^.

Olkoon

σ ∈ S n

^{. Jos}

σ

^{on sykli, niin asia on selvä. Muussa} tapauksessa on olemassa sellaiset

i 1 , . . . , i m

^{, että}

σ =

i ₁ i ₂ · · · i m j ₁ · · · j n−m

i ₂ i ₃ · · · i ₁ j ₁ ^′ · · · j _n−m ^′

,

missä

{j 1 , . . . , j n−m ) = (j ₁ ^′ , . . . , j _n−m ^′ } = {1, . . . , n} \ {i 1 , . . . , i m )

^{. Tällöin}

σ

saadaan yhdistämälläpermutaatiot

τ =

i 1 i 2 · · · i m j 1 · · · j n−m

i ₁ i ₂ · · · i m j ₁ ^′ · · · j _n−m ^′

ja

ν =

i 1 i 2 · · · i m j 1 · · · j n−m

i ₂ i ₃ · · · i ₁ j ₁ · · · j _n−m

.

Induktioaskeleen perusteella permutaatio

τ ^′ =

j ₁ · · · j _n−m j ₁ ^′ · · · j _n−m ^′

voidaan esittää järjestystä vaille yksikäsitteisesti erillisten syklien yhdistet-

tynä kuvauksena. Olkoot

τ ₁ ^′ , . . . , τ _p ^′

^{nämä syklit. Niitä vastaavat keskenään}

erilliset syklit

τ k =

i ₁ i ₂ · · · i m j ₁ ^′′ · · · j _n−m ^′′

i 1 i 2 · · · i m j ₁ ^′′′ · · · j _n−m ^′′′

,

missä

{j ₁ ^′′ , . . . , j _n−m ^′′ ) = (j ₁ ^′′′ , . . . , j _n−m ^′′′ } = {1, . . . , n} \ {i 1 , . . . , i m )

^ja

k = 1, . . . , p

^{. Nyt} yhdistämällä syklit

τ ₁ , . . . , τ p

^ja

ν

^saadaan

σ

^{, joka on jär-}

jestystävailleyksikäsitteinen erillisten syklienyhdistetty kuvaus.

Siisalku-ja induktioaskeleen perusteella väite pitää paikkansa.

Esimerkki 1.11. Olkoon

σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 10 1 4 5 8 7 2 6 9 3

∈ S 11 .

Tällöin

σ = (1, 11, 3)(2, 10, 9, 6, 8)

^onjärjestystävaille yksikäsitteinen erillis- ten syklienyhdistetty kuvaus.

tai 2-sykliksi.

Lause 1.13. Sykli voidaan aina ilmaista transpositioiden yhdistettynä ku-

vauksena:

(i 1 , i ₂ , . . . , i _r ) = (i 1 , i _r )(i 1 , i _r−1 )(i 1 , i _r−2 ) · · · (i 1 , i ₂ ).

Todistus. Olkoon

σ r

^{:npituinensykli joukossa}

S n

^{. Tällöin,kun}

r ≥ 2

^{, niin}

σ = (i 1 , i ₂ , . . . , i r ) =

i ₁ i ₂ · · · i _r−1 i r i _r+1 · · · i n

i 2 i 3 · · · i r i 1 i r+1 · · · i n

=

i 1 i 2 · · · i r−1 i r i r+1 · · · i n

i r i ₂ · · · i _r−1 i ₁ i _r+1 · · · i n

i 1 i 2 · · · i r−2 i r−1 i r i r+1 · · · i n

i _r−1 i ₂ · · · i _r−2 i ₁ i _r i _r+1 · · · i _n

· · ·

i ₁ i ₂ i ₃ · · · i _r−1 i r i _r+1 · · · i n

i 2 i 1 i 3 · · · i r−1 i r i r+1 · · · i n

= (i 1 , i r )(i 1 , i r−1 ), (i 1 , i r−2 ) · · · (i 1 , i 2 ).

Siis väite pätee pitää paikkansa.

Näinollenjokainen sykliontranspositioidenyhdistetty kuvaus. Yhdistä-

mällä lauseet

1.10

^ja

1.13

^{saadaanseuraavalause.}

Lause 1.14. Jokainenpermutaatiojoukossa

S n

^on transpositioidenyhdistet- ty kuvaus.

Todistus. Lauseen1.10 perusteella jokainenpermutaatio voidaan esittääyk-

sikäsitteisenä erillisten syklien yhdistettynä kuvauksena. Nyt lauseen 1.13

perusteella jokainen sykli on transpositioiden yhdistetty kuvaus. Niinpä jo-

kainenpermutaatio joukossa

S n

^ontranspositioidenyhdistetty kuvaus.

Identtinen kuvaus

I : ∆(n) 7→ ∆(n)

^{on minkä tahansa} transposition yhdistetty kuvaus itsensä kanssa. Toisin sanoen

I = (a, b)(a, b)

^{aina, kun}

a, b ∈ ∆(n)

^. Permutaatioiden esitys transpositioidenyhdistettynäkuvaukse- na eiole yksikäsitteinen.

Esimerkki 1.15. Olkoon(5,2,4,3,1) sykli joukossa

S 19

^{. Tällöin}

(5, 2, 4, 3, 1) = (5, 1)(5, 3)(5, 4)(5, 2).

Mutta nyt myös

(5, 2, 4, 3, 1) = (4, 3, 1, 5, 2)

^.Siksi

(5, 2, 4, 3, 1) = (4, 2)(4, 5)(4, 1)(4, 3).

Vaikka permutaation esitys transpositioiden yhdistettynä kuvauksena ei

oleyksikäsitteinen,onolemassatärkeälause.Lauseen1.16todistusesitetään

tutkielmassa hieman tarkemmin ja riisutummin kuin lähdekirjassa. Lisäksi

lauseen 1.18 todistustaei löydy lähdekirjasta.

Lause 1.16. Olkoon

σ ∈ S n

^{. Jos}

σ

^onparillismääräisentranspositioidenyh- distetty kuvaus, niin tällöin kun

σ

^{esitetään jonain muuna} transpositioiden yhdistettynä kuvauksena, se sisältää aina parillisen määrä transpositioita.

Vastaavasti, jos

σ

^on paritonmääräisen transpositioiden yhdistetty kuvaus, niin tällöin kun

σ

^{esitetään jonain muuna} transpositioiden yhdistettynä ku- vauksena, se sisältää aina aina parittoman määrän transpositioita.

Todistus. Olkoot

X 1 , X 2 , . . . , X n ∈ R

. Määritelläänmuuttujien

X ₁ , X ₂ , . . . , X n

^{määräämä polynomi}

P

^:

P (X ₁ , X ₂ , . . . , X n ) = Y

i<j

(X i − X j ).

⁽³⁾

Tulo käsittää kaikki erotukset

X i − X j

^{, kun}

1 ≤ i < j ≤ n

^. Määritellään sitten jokaista

σ ∈ S n

^kohti,että

σ(P ) = P (X σ(1) , X σ(2) , . . . , X σ(n) ) = Y

i<j

(X σ(i) − X σ(j) ).

⁽⁴⁾

Nyt siis

σ(P )

^on permutaatio polynomista

P

^. Osoitetaan, että

σ(P ) = ±P

aina, kun

σ ∈ S n

^.

Oletetaan, että

σ = (p, q)

^on transpositio joukossa

S n

^{.Oletetaan lisäksi,}

että

1 ≤ p < q ≤ n

^. Osoitetaan, että

σ(P ) = −P

^{. Huomataan, että}

σ(P )

on saatu polynomista

P

vaihtamalla lukuja

X p

^ja

X q

^{. Nyt siis}

σ(P )

^ja

P

eroavat toisistaan lukujen

X p

^ja

X q

perusteella. Listataan edellä mainitut polynomin

P

^{tekijät, jotka sisältävätjoko luvun}

X _p

^tai

X _q

^{. Listataan ensin}

tekijät, joissaon

X p

^:

X 1 − X p , X 2 − X p , . . . , X p−1 − X p ,

⁽⁵⁾

X p − X _p+1 , . . . , X p − X _q−1 ,

⁽⁶⁾

X p − X _q+1 , . . . , X p − X n .

⁽⁷⁾

Listataan sitten tekijät,joissaon

X q

^:

X ₁ − X q , X ₂ − X q , . . . , X _p−1 − X q ,

⁽⁸⁾

X _p+1 − X _q , . . . , X _q−1 − X _q ,

⁽⁹⁾

X q − X q+1 , . . . , X q − X n .

⁽¹⁰⁾

Lisäksi polynomissa

P

^{on tekijä,jokasisältää sekä luvun}

X p

^että

X q

^,nimit-

täin tekijä

X p − X q

^.

Kun nyt muutetaan luku

X _p

^luvuksi

X _q

^{, huomataan, että rivien (5) ja}

(8) sekä rivien (7) ja (10) muutokset kompensoivat toisensa. Ainoa muutos

tapahtuu riveillä(6) ja (9). Koska sekä rivillä (6) että (9) on

(q − 1) − (p + 1) + 1 = q − p − 1

tekijää, niin

σ(P ) = (−1) ^{2(q−p−1)+1} P = −P.

⁽¹¹⁾

Ollaansiisosoitettu,ettäyksittäinentranspositiovaihtaapolynomin

P

^mer-

kin.

Oletetaan sitten,että

τ = τ 1 τ 2 · · · τ m

^on permutaatiojoukossa

S n

^{, kun}

τ i

on transpositio ja

1 ≤ i ≤ m

^{. Nyt yhtälössä (4)} määritellyn permutaation perusteella

τ(P ) = P (X τ(1) , X τ(2) , . . . , X τ(m) ) = Y

i<j

(X τ(i) − X τ(j) ).

⁽¹²⁾

Jos

m

^onparillinen,niin yhtälön (11) perusteella

τ (P ) = τ 1 τ 2 · · · τ m (P ) = τ 1 τ 2 · · · τ m−1 (−P )

= τ 1 τ 2 (P ) = τ 1 (−P ) = −(−P ) = P.

Jos taas

m

^{on pariton,niinyhtälön (11)} perusteella

τ (P ) = τ 1 τ 2 · · · τ m (P ) = τ 1 τ 2 · · · τ m−1 (−P )

= τ 1 τ 2 (−P ) = τ 1 (P ) = −P.

Olkoon

r

^parillinenkokonaisluku ja olkoon

s

^paritonkokonaisuluku. Tällöin

τ 1 τ 2 · · · τ r (P ) = P 6= −P = τ 1 τ 2 · · · τ s (P ),

aina, kun

P 6= 0

^.

Siisväite pitää paikkansa.

Määritelmä 1.17. Permutaation

σ ∈ S n

^{sanotaan olevan}

parillinen

^{, jos}

σ

saadaan yhdistettynä kuvauksena, jossaon parillinenmäärätranspositioita.

Permutaation

σ ∈ S n

^{sanotaan olevan}

pariton

^{, jos}

σ

^saadaan yhdistettynä kuvauksena, jossa onpariton määrätranspositioita.

Lauseet

1.14

^ja

1.16

^{takaavatsen, että jokainen} permutaatio onjoko pa- rillinen tai pariton, muttei molempia. On huomattava, että identtinen ku-

vaus

I

^on parillinen, koska

I = (a, b)(a, b)

^{aina, kun}

a, b ∈ ∆(n)

^{. Toisaalta}

transpositio

(a, b)

^{onaina pariton.}

Lause 1.18. a) Kahden parillisen permutaation tulo on parillinen.

b) Kahden parittoman permutaation tulo on parillinen.

) Parillisen ja parittoman permutaation tulo on pariton (tai parittoman

ja parillisen permutaation tuloon pariton).

Todistus. a)Olkoot

σ, τ ∈ S n

^{. Oletetaan, että sekä}

σ

^että

τ

^{voidaan esittää}

parillismääräisenätranspositioidenyhdistettynä kuvauksena. Tällöin

σ

^ja

τ

sisältävät

p = 2m

transpositiota, kun

m = 1, 2, 3 . . .

^Nyt permutaatioden

σ

ja

τ

yhdistetyssä kuvauksessa on

p + p = 2m + 2m = 2 · 2m

transpositiota.

b) Olkoot

σ, τ ∈ S n

^{. Oletetaan, että sekä}

σ

^että

τ

^{voidaan esittää pari-}

tonmääräisenä transpositioidenyhdistettynä kuvauksena. Tällöin

σ

^ja

τ

^si-

sältävät

p = 2m + 1

transpositiota, kun

m = 0, 1, 2 . . .

^Nyt permutaatioden

σ

^ja

τ

yhdistetyssä kuvauksessa on

p + p = 2m + 1 + 2m + 1 = 2(2m + 1)

transpositiota.

)Olkoot

σ, τ ∈ S n

^{. Oletetaan,että}

σ

^{voidaan esittää}parillismääräisenä transpositioiden yhdistettynä kuvauksena ja

τ

^{voidaan esittää} paritonmää- räisenä transpositioidenyhdistettynäkuvauksena. Tällöin

σ

^sisältää

p = 2m

ja

τ

^sisältää

r = 2m + 1

transpositiota.Nyt permutaatioden

σ

^ja

τ

^yhdistet-

tyssäkuvauksessa on

p + r = 2m + 2m + 1 = 2 · 2m + 1

transpositiota.

Määritelmä 1.19. Olkoon

σ ∈ S n

^. Permutaation

σ merkki

^{, sgn}

(σ)

^{, määri-}

tellään:

sgn

(σ) =

1

^jos

σ

^onparillinen

,

−1

^jos

σ

^onpariton

.

Kun

σ

^{vaihtelee joukossa}

S n

^{, merkki sgn}

(σ)

määrittelee funktion sgn

(∗) : S n 7→ {−1, 1}.

On huomattava,ettäsgn

(I ) = 1

^jasgn

((a, b)) = −1

^aina,kun

a 6= b

^joukossa

∆(n)

^{. Palataan} seuraavaksi esimerkkeihin

1.2

^ja

1.3

^.

Esimerkit 1.20ja 1.21löytyvätlähdeteoksesta.

Esimerkki 1.20. Jaetaan joukossa

S 3

^kukin permutaatio transpositioihin:

σ 1 = I

^{; siksisgn}

(σ 1 ) = 1

^,

σ ₂ = (2, 3)

^{; siksi sgn}

(σ 2 ) = −1

^,

σ 3 = (1, 2)

^{; siksi sgn}

(σ 3 ) = −1

^,

σ 4 = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2)

^{;siksi sgn}

(σ 4 ) = 1

^,

σ ₅ = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3)

^{;siksi sgn}

(σ 5 ) = 1

^,

σ 6 = (1, 3)

^{; siksi sgn}

(σ 6 ) = −1

^.

Esimerkki 1.21. Joukossa

S ₄

permutaatioiden transpositioihin jako antaa seuraavatmerkit:

sgn

(σ 1 ) = 1,

^sgn

(σ 9 ) = 1,

^sgn

(σ 17 ) = 1,

sgn

(σ 2 ) = −1,

^sgn

(σ 10 ) = −1,

^sgn

(σ 18 ) = −1,

sgn

(σ 3 ) = −1,

^sgn

(σ 11 ) = −1,

^sgn

(σ 19 ) = −1,

sgn

(σ 4 ) = 1,

^sgn

(σ 12 ) = 1,

^sgn

(σ 20 ) = 1,

sgn

(σ 5 ) = 1,

^sgn

(σ 13 ) = 1,

^sgn

(σ 21 ) = 1,

sgn

(σ 6 ) = −1,

^sgn

(σ 14 ) = −1,

^sgn

(σ 22 ) = −1,

sgn

(σ 7 ) = −1,

^sgn

(σ 15 ) = −1,

^sgn

(σ 23 ) = −1,

sgn

(σ 8 ) = 1,

^sgn

(σ 16 ) = 1,

^sgn

(σ 24 ) = 1.

1.2 Determinantin permutatiivinen määritelmä ja omi-

naisuuksia

Nyt, kun permutaatiot ja niiden ominaisuudet on määritelty, itse determi-

nantti voidaan määritellä. Tässä tutkielmassa merkinnällä

M n×n

^tarkoite-

taan kaikkien

n × n

-matriisien joukkoa, kun matriisinalkiot ovat kunnasta

F

.

Määritelmä 1.22. Olkoon

A = (a ij ) ∈ M n×n

^{. Tällöinmatriisin}

A

^determi-

nantti, merkitään

det(A)

^,

det(A) = X

σ∈S n

sgn

(σ)a _1σ(1) a _2σ(2) · · · a _nσ(n) .

Symboli

P

σ∈S n

tarkoittaa

n!

^eripermutaatiolausekkeen sgn

(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) · · · a nσ(n)

summaamista yhteen joukossa

S n

^{. Kun}

A ∈ M n×n

^{, niin}

det(A)

määrittelee funktion

det(A) : M n×n 7→ F

.Onhuomattava,että

det(A)

^{onmääriteltyvain,}

kun

A

^onneliömatriisi. Muillakuinneliömatriiseillaei oledeterminanttia.

Esimerkki 1.23. Olkoon

A =



 



a 11 a 12 a 13 a 14

a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃ a ₂₄ a 31 a 32 a 33 a 34

a 41 a 42 a 43 a 44



 

 .

Nyt joukko

S 4

^{sisältää 24} permutaatiota

σ 1 = I, σ 2 , . . . , σ 24

^{, jotka listattiin}

esimerkissä

1.3

^{. Näiden} permutaatioiden merkit sgn

(σ i )

^{, kun}

i = 1, . . . , 24

^,

laskettiinesimerkissä 1.21. Määritelmästä

1.22

^seuraa,että

det(A) = sgn(I)a 11 a ₂₂ a ₃₃ a ₄₄ + sgn(σ 2 )a 11 a ₂₂ a ₃₄ a ₄₃ + sgn(σ 3 )a 11 a ₂₃ a ₃₂ a ₄₄ + sgn(σ 4 )a 11 a ₂₃ a ₃₄ a ₄₂ + sgn(σ 5 )a 11 a ₂₄ a ₄₃ a ₃₂ + sgn(σ 6 )a 11 a ₂₄ a ₃₃ a ₄₂ + sgn(σ 7 )a 12 a 21 a 33 a 44 + sgn(σ 8 )a 12 a 21 a 34 a 43 + sgn(σ 9 )a 12 a 23 a 31 a 44

+ sgn(σ 10 )a 12 a 23 a 34 a 41 + sgn(σ 11 )a 12 a 31 a 43 a 32 + sgn(σ 12 )a 12 a 24 a 33 a 41

+ sgn(σ 13 )a 13 a 21 a 32 a 44 + sgn(σ 14 )a 13 a 21 a 34 a 42 + sgn(σ 15 )a 13 a 22 a 31 a 44

+ sgn(σ ₁₆ )a ₁₃ a ₂₂ a ₃₄ a ₄₁ + sgn(σ ₁₇ )a ₁₃ a ₂₄ a ₃₁ a ₄₂ + sgn(σ ₁₈ )a ₁₃ a ₂₄ a ₃₂ a ₄₁ + sgn(σ 19 )a 14 a ₂₁ a ₃₂ a ₄₃ + sgn(σ 20 )a 14 a ₂₁ a ₃₃ a ₄₂ + sgn(σ 21 )a 14 a ₂₂ a ₃₁ a ₄₃ + sgn(σ 22 )a 14 a ₂₂ a ₃₃ a ₄₁ + sgn(σ 23 )a 14 a ₂₃ a ₃₁ a ₄₂ + sgn(σ 24 )a 14 a ₂₃ a ₃₂ a ₄₁

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃ a ₄₄ − a ₁₁ a ₂₂ a ₃₄ a ₄₃ − a ₁₁ a ₂₃ a ₃₂ a ₄₄ + a ₁₁ a ₂₃ a ₃₄ a ₄₂ + a ₁₁ a ₂₄ a ₄₃ a ₃₂

− a 11 a 24 a 33 a 42 − a 12 a 21 a 33 a 44 + a 12 a 21 a 34 a 43 + a 12 a 23 a 31 a 44 − a 12 a 23 a 34 a 41

− a 12 a 31 a 43 a 32 + a 12 a 24 a 33 a 41 + a 13 a 21 a 32 a 44 − a 13 a 21 a 34 a 42 − a 13 a 22 a 31 a 44

+ a 13 a 22 a 34 a 41 + a 13 a 24 a 31 a 42 − a 13 a 24 a 32 a 41 − a 14 a 21 a 32 a 43 + a 14 a 21 a 33 a 42

+ a ₁₄ a ₂₂ a ₃₁ a ₄₃ − a ₁₄ a ₂₂ a ₃₃ a ₄₁ − a ₁₄ a ₂₃ a ₃₁ a ₄₂ + a ₁₄ a ₂₃ a ₃₂ a ₄₁ .

Onhuomattava,että matriisin

A

determinanttionsummakaikkienmah- dollisten matriisin

A

^alkioiden sellaisista tuloista, että kustakin rivistä ja sarakkeesta onotettuvainyksi alkio.Josdeterminantinmuodostaa suoraan

määritelmän avulla,sen laskeminen onhyvin raskasta ja hankalaa silloinkin

kun

n

^{on pieni. Jos}

n = 4

^{, niin} determinantin

det(A)

laskemiseksi täytyy summata yhteen

4! = 24

^eri permutaatiolauseketta. Jos taas

n = 5

^{, niin}

determinantin

det(A)

laskemiseksi täytyy summata yhteen

5! = 120

^eriper-

mutaatiolauseketta.Myöhemmintullaanhuomaamaan,ettäonolemassapa-

rempia ja nopeampia tapoja muodostaa determinantti kuin laskea suoraan

telmästä.

Lause 1.24. Olkoon

A ∈ M n×n

^.

a) Jos matriisissa

A

^{on nollarivi tai -sarake, niin}

det(A) = 0

^.

b) Jos

A

^onylä-tai alakolmiomatriisi,niin

det(A)

^ondiagonaalialkioiden tulo.

Todistus. a)Määritelmän1.22mukaan

det(A)

^onkaikkienmahdollistenmat- riisin

A

^alkioiden permutaatiolausekkeiden summa. Kutakin permutaatio- lauseketta vastaa tietty merkki sgn

(∗)

^{, kun jokaisesta rivistä ja} sarakkeesta on otettu täsmälleen yksi alkio. Täten, jos matriisissa

A

^{on nollarivi tai}

-sarake,niinjokainenmääritelmän

1.22

^mukainenpermutaatiolausekeonnol- la. Niinpä

det(A) = 0

^.

b) Todistetaan väite alakolmiomatriiseille.Todistus yläkolmiomatriiselle

menee vastaavasti. Oletetaan, että

A

^on alakolmiomatriisi.Tällöin

A =



 

 

a 11 0 0 · · · 0

a ₂₁ a ₂₂ 0 · · · 0

.

.

. .

.

.

.

.

.

a _n1 a _n2 · · · · a nn



 

  .

Todistetaan,että

det(A) = a ₁₁ a ₂₂ · · · a nn

^{. Tämätulos onsuora seurausmää-}

ritelmästä

1.22

^{. Oletetaan, että}

σ ∈ S n

^{. Jos}

σ(1) 6= 1

^{, niin}

a 1σ(1) = 0

^{, koska}

A

^on alakolmiomatriisi.Täten ainoat määritelmän

1.22

permutaatiolausek- keet, jotkavoivat ollaerisuuriakuin nolla, ovatne, joissa

σ(1) = 1

^{. Nyt, jos}

σ(1) = 1

^,niin

σ(2) 6= 1

^{. Jos}

σ(2) > 2

^{, niin}

a 2σ(2) = 0

^,koska

A

^onalakolmio-

matriisi. Näin ollen ainoat nollasta eroavat permutaatiolausekkeet ovat ne,

joissa

σ(1) = 1

^ja

σ(2) = 2

^{. Jatkamalla} vastaavalla tavalla eteenpäin huo- mataan,että on olemassaainoastaan yksi nollastaeroavapermutaatiolause-

ke, nimittäin permutaatiolauseke, joka vastaa identtistä kuvausta

I

^{. Niinpä}

det A = a ₁₁ a ₂₂ · · · a nn

^.

On syytä korostaa erästälauseen

1.24

^b)-kohdan erikoistapausta.Merki- tään, että Diag

(d 1 , . . . d n )

^on

n × n

-diagonaalimatriisi,jossaalkio

(i, i)

^on

d i

kaikilla

i = 1, . . . , n

^{. Näinollen}

Diag

(d 1 , . . . , d _n ) =



 

 

d 1 0 0 · · · 0 0 d 2 0 · · · 0

.

.

. .

.

. .

.

.

.

.

.

0 0 · · · · d _n



 

  .

Lauseesta 1.24 seuraa, että

det(

^Diag

(d 1 , . . . , d n )) = d 1 d 2 · · · d n

^. Esimerkiksi identiteettimatriisindeterminantti

det(I) = 1

^{aina, kun}

n ≥ 1

^.

Seuraavalauseosoittaa,että

det(A)

^{onriviensäsuhteen}multilineaarinen,

n

-lineaarinen funktio. Olkoon

A = (a ij ) ∈ M n×n

^{. Oletetaan, että} matriisilla

A

^{on riviositus}

A =



 

  R 1

R 2

.

.

.

R n



 

  .

Tässä

R i = [a i1 , a _i2 , . . . , a in ] ∈ M _1×n

^kaikilla

1, . . . , n

^{. Matriisi}

A

^voidaan

myös osittaa riveiksi niin, että

A = (R 1 ; . . . ; R n )

^{, missä} puolipisteet ovat pilkkujensijastamuistuttamassasiitä,että

R 1 , . . . , R n

^{ovatmatriisin}

A

^rive-

jä. Matriisi

A

^voidaannyt kirjoittaa:

A =



 

  R ₁ R 2

.

.

.

R n



 

  = (R 1 ; R 2 . . . ; R n ).

Esitetäänsitten edellä mainittulause determinanteista.

Lause 1.25. Olkoon

A = (a ij ) = (R 1 ; . . . ; R n ) ∈ M n×n

^.

a) Tällöin jokaista

x ∈ F

kohti ja kaikilla

i = 1, . . . , n

det((R 1 ; . . . ; R i−1 ; xR i ; R i+1 ; . . . ; R n )) = x · det(A).

b) Oletetaan, että jollakin

i ∈ {1, . . . , n} R i = b + c

, kun

b , c ∈ M _1×n

^.

Tällöin

det(A) = det((R ₁ ; . . . ; R _i−1 ; b ; R _i+1 ; . . . ; R n ))

+ det((R 1 ; . . . ; R _i−1 ; c ; R _i+1 ; . . . ; R n )).

määritelmästä.

a)Tiedetään, että

(R 1 ; . . . ; R _i−1 ; xR i ; R _i+1 ; . . . ; R n ) =



 

 

 

a ₁₁ a ₁₂ · · · a _1n

.

.

. .

.

.

.

.

.

xa _i1 xa _i2 · · · xa in

.

.

. .

.

.

.

.

.

a _n1 a _n2 · · · a nn



 

 

  .

Niinpä

det((R 1 ; . . . ; R i−1 ; xR i ; R i+1 ; . . . ; R n ))

= X

σ∈S n

sgn(σ)a 1σ(1) · · · a (i−1)σ(i−1) (xa iσ(i) )a (i+1)σ(i+1) · · · a _nσ(n)

= x X

σ∈S n

sgn(σ)a 1σ(1) a _2σ(2) · · · a _nσ(n) = x det(A).

b)Oletetaan,että jokinmatriisin

A

^rivi

R i

^{on kahden}rivivektorin

b

ja

c

summa,kun

b , c ∈ M _1×n

^{. Olkoon}

b = (b 1 , . . . , b n )

^ja

c = (c 1 , . . . , c n )

^.Tällöin

R i = (a i1 , . . . , a in ) = b + c = (b 1 + c 1 , . . . , b n + c n )

^ja

A =



 

 

 

a ₁₁ a ₁₂ · · · a _1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

b 1 + c 1 b 2 + c 2 · · · b n + c n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a n1 a n2 · · · a nn



 

 

 

.

det(A) = X

σ∈S n

sgn(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) · · · a nσ(n)

= X

σ∈S n

sgn(σ)a 1σ(1) · · · a i−1σ(i−1) (b σ(i) + c σ(i) )a (i+1)σ(i+1) · · · a nσ(n)

= X

σ∈S n

sgn(σ)a _1σ(1) · · · a _{i−1σ(i−1)} b _σ(i) a (i+1)σ(i+1) · · · a _nσ(n) + X

σ∈S n

sgn(σ)a _1σ(1) · · · a _{i−1σ(i−1)} c _σ(i) a (i+1)σ(i+1) · · · a _nσ(n)

= det((R 1 ; . . . ; R i−1 ; b ; R i+1 ; . . . ; R n )) + det((R ₁ ; . . . ; R i− 1 ; c ; R _i+1 ; . . . ; R n )).

Kun matriisin

A

^{rivit riviä}

i

^{lukuun ottamatta} kiinnitetään, lauseesta 1.25 seuraa, että determinantti on lineaarinen funktio matriisin

A

^rivin

i

suhteen. Multilineaarisiksi,

n

-lineaarisiksifunktioiksikutsutaan

n

^:nmuuttu-

jan funktioita, jotka ovat lineaarisia funktioita jokaisen muuttujan suhteen

aina, kun loput muuttujat ovat kiinnitetty.Determinantti

det((R 1 ; . . . ; R n ))

on tyypillinen esimerkki multilineaarisistafunktioista.

Esimerkki 1.26. Olkoon

A =

−3 11

4 5

.

Tällöin

det(A) = −3 · 5 − 4 · 11 = −59

^{. Toisaalta}

−3 11

4 5

=

−2 · 3 + 3 · 1 −2 · (−1) + 3 · 3

4 5

.

Nyt lauseesta 1.25 seuraa,että

−59 = det(A) = det

−6 2 4 5

+ det

3 9 4 5

= −2 det

3 −1 4 5

+ 3 det

1 3 4 5

= −2 · 19 + 3 · (−7).

det(∗) : M n×n 7→ F

olisilineaarinentransformaatio.Nimittäindeterminantti

det(∗)

^{eisäilytäyh-}

teenlaskua eikäskalaarilla kertomista.

Lause1.27. Olkoon

A = (a ij ) = (R 1 ; . . . ; R n ) ∈ M n×n

^.Jos

R i = R j

^joillakin

arvoilla

i 6= j

^{, niin}

det(A) = 0

^.

Todistus. Oletetaan,että

R i = R j

^{joillakinarvoilla}

i 6= j

^,kun

1 ≤ i < j ≤ n

^.

Matriisin

A

determinantti

det(A) = X

σ∈S n

sgn(σ)a 1σ(1) · · · a _iσ(i) · · · a _jσ(j) · · · a _nσ(n) .

⁽¹³⁾

Pitää osoittaa, että yhtälön (13) permutaatiolausekkeiden summa on nolla.

Täytyy osoittaa,että yhtälössä(13) jokaistapermutaatiolauseketta kohti on

olemassa merkkiä sgn

(∗)

^{vaille täsmälleen} samanlainen jokin toinen permu- taatiolauseke.

Kiinnitetään

σ ∈ S n

^{, ja olkoon}

τ

transpositio

τ = (σ(i), σ(j ))

^{. Tällöin}

τ σ ∈ S n

^.Käsitellään yhtälön (13) kahtapermutaatiolauseketta

sgn

(σ)a _1σ(1) · · · a _iσ(i) · · · a _jσ(j) · · · a _nσ(n)

^{ja (14)}

sgn

(τ σ)a 1τ σ(1) · · · a _{iτ σ(i)} · · · a _{jτ σ(j)} · · · a _{nτ σ(n)} .

⁽¹⁵⁾

Koska

R i = R j

^{, niin}

a _{iτ σ(i)} = a _iσ(j) = a _jσ(j)

^ja

a _{jτ σ(j)} = a _jσ(i) = a _iσ(i)

^.

Niinpä jotkin ristikkäistekijätkaavariveillä(14) ja (15) ovatsamoja.Jos

p ∈

∆(n) \ {i, j }

^{, niin}

τ σ(p) = σ(p)

^{, koska}

τ

^{vaikuttaa vain tekijöihin}

σ(i)

^ja

σ(j)

^{. Voidaan päätellä,että}

a _1σ(1) · · · a _iσ(i) · · · a _jσ(j) · · · a _nσ(n) = a _{1τ σ(1)} · · · a _{iτ σ(i)} · · · a _{jτ σ(j)} · · · a _{nτ σ(n)} .

Koska

τ

^ontranspositio,niinsgn

(τ σ) = −

^sgn

(σ)

^.Niinpäpermutaatiolausek- keet kaavariveillä(14) ja (15) kumoavat toisensa.

Oletetaan sitten, että

ζ

^onpermutaatio joukossa

S n \ {σ, τ σ}

^{. Nyt huo-}

mataan,ettäpermutaatioiden

ζ

^ja

(ζ (i), ζ(j))ζ

^{indeksiteroavat}kaavariveillä (14) ja (15) esitettyjen permutaatioiden indekseistä. Sitten edetään samalla

tavalla,kunpermutaatioiden

σ

^ja

τ σ

tapauksessa. Kun

ρ = (ζ(i), ζ(j))

^,niin

saadaan, että

sgn

(ρζ )a 1ρζ(1) · · · a iρζ(i) · · · a jρζ(j) · · · a nρζ(n)

sgn

(ζ )a 1ζ(1) · · · a iζ(i) · · · a jζ(j) · · · a nζ(n) .

Vastaavallatavallaetsitäänloput

n! − 4

permutaatiota,kunnes onkäyty läpi kaikkipermutaatiolausekeparit, jotka kumoavattoisensa.

Siisväite pitää paikkansa.

On syytä alleviivata, että lauseiden 1.25 ja 1.27 ehdot yhdessä sen kans-

sa, että

det(I) = 1

^, karakterisoivat yksikäsitteisesti determinantin. Tämä tarkoittaasitä, ettävoidaanosoittaa,ettäjos

f : M n×n 7→ F

onfunktio,joka toteuttaa lauseiden 1.25 ja 1.27 ehdot sekä

f (I) = 1

^{, niin}

f (A) = det(A)

kaikillamatriiseilla

A ∈ M n×n

^.

Determinantin ominaisuuksia voidaan johtaa permutatiivisen determi-

nantin määritelmän avulla, ks. esimerkiksi [1, s. 170-195℄. Sen sijaan, että

determinanttiin liittyviä tuloksia johdettaisiin permutaatioiden avulla, lu-

vussa 2 määritelläändeterminanttikolmen aksiooman avullajatullaanhuo-

maamaan, ettätällätavallamääriteltydeterminanttionekvivalenttipermu-

tatiivisestimääritellyndeterminantinkanssa.Edellämainitunlisäksiluvussa

2 käsitelläändeterminantinominaisuuksia aksiomaattisestalähtökohdasta.

2 Determinantin aksiomaattinen määritelmä

Tässä luvussa determinantti määritellään aksiomaattisesti

2 × 2

^{- ja}

n × n

^-

matriiseille.Lisäksijohdetaantuloksianäidenmääritelmienperusteella.Kun

oletetaan, että

n × n

^{-matriisinalkiotkuuluvatkuntaan}

F

,jakun

n ≥ 2

^,niin

tälle

n×n

-matriisillevoidaanainamääritelläskalaari(kolmenaksioomanole- tuksesta), jota kutsutaan determinantiksi. Lukija voi ymmärtää paremmin,

mitädeterminantinaksiomaattisellamääritelmällätarkoitetaan,kunkäsitel-

lään ensin erikoistapauksena

2 × 2

^-matriisin determinantin aksiomaattinen määritelmä ja tutkitaansen geometristasovellusta.

Ensimmäisessä alaluvussa määritellään käsitteitä ja esitetään sellaisten

lauseiden tuloksia, joita tarvitaan alaluvuissa 2.3-2.6. Ellei toisin mainita,

tässä luvussa seurataan teosta[3, s.171-200℄.

2.1 Valmistelevia tarkasteluja

Tässä luvussa määritellään alkeismuunnokset ja alkeismuunnosmatriisit ja

esitetään tärkeitä matriisin asteeseen liittyviä tuloksia, joita tarvitaan, kun

kirjasta [2, s. 14ja s. 50℄.

Määritelmä 2.1. Matriisilla

A

^{on kolme erilaista} alkeismuunnosta:

1. kun matriisin

A

^{kaksi riviävaihdetaan keskenään,}

2. kun matriisin

A

^{jokin rivi kerrotaan nollastaeroavallavakiolla,}

3. kun jokin matriisin

A

^{vakiolla kerrottu rivi lisätään johonkin toiseen}

matriisin

A

^riviin.

Määritelmä2.2.

n × n

^-matriisia

E

^kutsutaanalkeismuunnosmatriisiksi,jos se onsaatu yhdellä alkeismuunnoksella

n × n

-identiteettimatriisista

I

^.

Määritelmä 2.3. Matriisin

A

^{aste rank}

(A)

^{on matriisin} lineaarisesti riip- pumattomienrivien lukumäärä.

Voidaan osoittaa(ks. esim. [2, s. 195℄), että yhtäpitävä määritelmä saa-

daan tarkastelemalla sarakkeiden lukumäärää.

Lause 2.4. Olkoon

A ∈ M n×n

^{. Tällöin}

rank(A ^t ) = rank(A).

Todistus. Ks. [3,s. 138℄.

Lause 2.5. Jokainenkääntyvä matriisi

A

^on alkeismuunnosmatriisien tulo:

A = E m E m−1 · · · E 1 .

Todistus. Ks. [3,s. 139℄.

Lause 2.6. Olkoot

A

^ja

B

^sellaisia matriiseja, että niidentulo

AB

^onmää-

ritelty. Tällöin

rank(AB) ≤ rank(A)

^ja

rank(AB) ≤ rank(B ).

Todistus. Ks. [3,s. 139-140℄.

Lause 2.7. Matriisi

A ∈ M n×n

^{on kääntyvä josja vain jos}

rank(A) = n

^.

Todistus. Ks. [3,s. 132℄.

Lause 2.8. Olkoon

A x = b

yhtälöryhmä, jossaon

n

^yhtälöäja

n

^muuttujaa.

Tällöin matriisi

A

^{on kääntyvä jos ja vain jos} yhtälöryhmällä

A x = b

on yksikäsitteinen ratkaisu

x = A ⁻¹ b .

Todistus. Ks. [3,s. 152℄.

2.2 Aksiomaattinen

2 × 2

^-matriisin determinantti 2.2.1 Determinantin määritelmä

2 × 2

-matriiseille

Määritelmä 2.9. Olkoon

A = (a ij ) ∈ M _2×2

^{. Tällöin matriisin}

A

^determi-

nantti

det(A) = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

^.

Kirjoitetaanmatriisi

A

^riveittäin

A =

A (1)

A ₍₂₎

,

ja merkitään sen determinanttia

det A (1)

A (2)

.

Lause 2.10. Olkoon

A ∈ M 2×2

^{. Tällöin matriisin}

A

determinanttitoteuttaa seuraavat ehdot:

a) Determinantti on lineaarinen funktio molempien rivien suhteen aina,

kun toinen rivi on kiinnitetty. Tämä tarkoittaa sitä, että

det

cA ₍₁₎ + A ^′ ₍₁₎ A ₍₂₎

= c det A (1)

A ₍₂₎

+ det A ^′ ₍₁₎

A ₍₂₎

ja

det

A ₍₁₎ cA (2) + A ^′ ₍₂₎

= c det A ₍₁₎

A (2)

+ det

A ₍₁₎ A ^′ ₍₂₎

kaikilla kunnan

F

skalaareilla

c

^.

b) Jos matriisin

A ∈ M _2×2

^{rivit ovat} identtiset, niin

det(A) = 0

^.

) Jos

I

^on

2 × 2

-identiteettimatriisi, niin

det(I) = 1

^.

Todistus. Käytetäänkuhunkin kohtaan määritelmää2.9.

a)Olkoot

A (1) = a 11 a 12

, A ^′ ₍₁₎ = a ^′ ₁₁ a ^′ ₁₂

ja

A (2) = a 21 a 22

. Täl-

löin

det

cA (1) + A ^′ ₍₁₎ A ₍₂₎

= det

ca 11 + a ^′ ₁₁ ca 12 + a ^′ ₁₂ a ₂₁ a ₂₂

= (ca 11 + a ^′ ₁₁ )a 22 − (ca 12 + a ^′ ₁₂ )a 21

= c(a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁ ) + (a ^′ ₁₁ a ₂₂ − a ^′ ₁₂ a ₂₁ )

= c det

a 11 a 12

a ₂₁ a ₂₂

+ det

a ^′ ₁₁ a ^′ ₁₂ a ₂₁ a ₂₂

= c det A ₍₁₎

A (2)

+ det

A ^′ ₍₁₎ A ₍₂₎

.

Samanlaisellapäättelyllävoidaanosoittaa,että determinanttionlineaarinen

myös toisen rivinsuhteen.

b)Jos matriisin

A

^rivitovatidenttiset, niin

A =

a ₁₁ a ₁₂ a ₁₁ a ₁₂

.

Niinpä

det(A) = a ₁₁ a ₁₂ − a ₁₂ a ₁₁ = 0

^.

)Koska

I = 1 0

0 1

,

niin

det(I) = 1 · 1 − 0 · 0 = 1

^.

Seuraava lause osoittaa, että lauseen 2.10 ominaisuudet karakterisoivat

yksikäsitteisesti edellä määritellyndeterminantin.

Lause 2.11. Olkoon

δ : M 2×2 → F

mikä tahansa funktio, jolla on seuraavat ominaisuudet:

a)

δ

^on lineaarinen molempien rivien suhteen aina, kun toinen rivi on kiinnitetty,

b) jos matriisin

A ∈ M 2×2

^{rivit ovat} identtiset, niin

δ(A) = 0

^,

) jos

I

^on

2 × 2

-identiteettimatriisi, niin

δ(I ) = 1

^.

Tällöin

δ = det

^{. Toisinsanoen}

δ(A) = a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁

^{aina, kun}

A ∈ M _2×2

^.

Todistus. Olkoon

I 2 × 2

-identiteettimatriisi,ja olkoot

M ₁ = 1 0

1 0

, M ₂ =

0 1 0 1

ja

M ₃ = 0 1

1 0

.

Nyt ehdonb) perusteella

δ(M ₁ ) = δ(M ₂ ) = 0

^.Todistetaan ensin, että

δ(M 3 ) = −1

^{. Nyt} käyttämällä ehtoja a) ja b) kaksi kertaa sekä ehtoa ) kerran saadaan, että

0 = δ 1 1

1 1

= δ

1 + 0 0 + 1

1 1

= δ 1 0

1 1

+ δ 0 1

1 1

= δ

1 0 0 + 1 1 + 0

+ δ

0 1 0 + 1 1 + 0

= δ 1 0

0 1

+ δ 1 0

1 0

+ δ 0 1

0 1

+ δ 0 1

1 0

= δ(I) + δ(M 1 ) + δ(M 2 ) + δ(M 3 )

= 1 + 0 + 0 + δ(M 3 ).

Niinpä

δ(M 3 ) = −1

^.

Toisaalta,koska

δ

^onlineaarinenmolempienriviensuhteenaina, kuntoi- nen rivi on kiinnitetty,niin

δ

a 11 0 0 a 22

= δ

a 11 · 1 0 0 a 22

= a ₁₁ δ

1 0 0 a 22

+ δ

0 0 0 a 22

= a ₁₁ δ

1 0 0 a 22

= a ₁₁ a ₂₂ δ 1 0

0 1

.

Vastaavanlaisellapäättelylläsaadaan

δ

a ₁₁ 0 a 21 0

= a ₁₁ a ₂₁ δ 1 0

1 0

,

δ

0 a ₁₂ 0 a 22

= a ₁₂ a ₂₂ δ 0 1

0 1

ja

δ

0 a 12

a 21 0

= a 12 a 21 δ 0 1

1 0

.