Algebralliset luvut

(1)

ALGEBRALLISET LUVUT

Diplomityö Teknis-luonnontieteellinen tiedekunta Elokuu 2021

(2)

TIIVISTELMÄ

Mikael Aaltonen: Algebralliset luvut Diplomityö

Tampereen yliopisto Diplomi-insinööri Elokuu 2021

Työssä käsitellään algebrallisia lukuja ja niiden ominaisuuksia eli säilyvyyttä laskuoperaatioissa, laskettavuutta, numeroituvuutta sekä kompleksilukujen algebrallisuutta. Lisäksi työssä annetaan esimerkkejä irrationaalisista algebrallisista luvuista ja todistetaan luvut pii ja e ei-algebrallisiksi eli transsendentaalisiksi. Työ sisältää todistuksen algebrallisten lukujen laskettavuudelle.

Avainsanat: algebralliset luvut, irrationaaliset luvut, transsendentaaliset luvut, numeroituvuus, laskettavuus, newtonin menetelmä

(3)

ABSTRACT

Mikael Aaltonen: Algebraic numbers Master’s thesis

Tampere University Master of Science August 2021

The thesis treats algebraic numbers and their properties such as perservability under opera- tions, computability, countability and the algebraicness of complex numbers. Further the thesis gives examples of irrational algebraic numbers and proves that pi and e are not algebraic and thus transcendental. The thesis contains a proof for the computability of algebraic numbers.

Keywords: algebraic numbers, irrational numbers, transcendental numbers, countability, computability, newton’s method

(4)

ALKUSANAT

Omistan tämän työn vanhemmilleni.

Tampere, 10. elokuuta 2021 Mikael Aaltonen

(5)

SISÄLLYSLUETTELO

1 Johdanto . . . 1

2 Algebralliset luvut . . . 2

2.1 Algebrallisten lukujen ominaisuuksia . . . 2

2.1.1 Määritelmiä . . . 2

2.1.2 Minimipolynomi . . . 3

2.1.3 Algebrallisuuden säilyvyys laskuoperaatioissa . . . 4

2.1.4 Laskettavuus . . . 10

2.1.5 Numeroituvuus . . . 12

2.1.6 Kompleksiluvut . . . 13

2.2 Esimerkkejä algebrallisista luvuista . . . 14

2.3 Esimerkkejä ei-algebrallisista luvuista . . . 14

3 Irrationaalisuustodistukset . . . 15

3.1 Kahden neliöjuuri . . . 15

3.2 Kultainen leikkaus . . . 16

4 Transsendentaalisuustodistukset . . . 17

4.1 Luvunπtranssendentaalisuus . . . 19

4.2 Luvunetranssendentaalisuus . . . 22

5 Lindemannin–Weierstrassin lause . . . 25

6 Yhteenveto . . . 26

(6)

KUVALUETTELO

(7)

1 JOHDANTO

Tässä työssä tutkitaan algebrallisia ja ei-algebrallisia lukuja. Määritelmän mukaan algebralliset luvut ovat lukuja jotka ovat rationaalikertoimisien polynomien juuria. Luku voi olla reaalinen tai kompleksinen. Jos luku ei ole algebrallinen se on ei-algebrallinen eli transsendentaalinen. Algebrallisilla luvuilla on erilaisia ominaisuuksia kuten laskettavuus ja numeroituvuus. Lisäksi algebrallinen luku voi olla algebrallinen kokonaisluku jos se on kokonaislukukertoimisen moonisen polynomin juuri.

Algebrallisia lukuja tutki ensimmäisenä systemaattisesti Carl Friedrich Gauss joka kehit- ti Gaussin kokonaislukujen aritmetiikan. Algebrallisten lukujen teoriaa kehittivät edelleen Dirichlet, Kronecker ja David Hilbert. Myös venäläiset matemaatikot kuten Zolotarev, Vo- ronoi, Markov ja Sokhotskii ovat tehneet merkittäviä tuloksia. Algebrallisilla luvuilla on paljon sovelluksia esimerkiksi lukuteoriassa, algebrassa ja muilla matematiikan aloilla.

[34]

Työssä on todistus algebrallisten lukujen laskettavuudelle.

Työn rakenne on seuraava:

Kappaleessa 2 tutkitaan algebrallisiin lukuihin liittyviä käsitteitä ja niiden ominaisuuksia.

Erityisesti käsitellään minimipolynomia, resultantteja, algebrallisten lukujen säilyvyyttä laskuoperaatioissa, laskettavuutta ja numeroituvuutta. Kappaleen lopussa on esimerk- kejä algebrallisista ja ei-algebrallisista luvuista.

Kappaleessa 3 tutkitaan eri algebrallisten lukujen irrationaalisuutta. Käsiteltävät luvut ovat luvun kaksi neliöjuuri√

2ja kultainen leikkausϕ.

Kappaleessa 4 todistetaan lukujenπjaeei-algebrallisuus eli transsendentaalisuus.

Kappaleessa 5 esitellään eräs muoto Lindemann-Weierstrassin lauseesta. Sillä todistetaan vaihtoehtoisesti lukujen π ja e ei-algebrallisuus eli transsendentaalisuus lyhyessä muodossa.

Kappaleessa 6 on yhteenveto työstä.

(8)

2 ALGEBRALLISET LUVUT

Tässä luvussa käsitellään algebrallisia lukuja ja niiden ominaisuuksia.

2.1 Algebrallisten lukujen ominaisuuksia 2.1.1 Määritelmiä

Määritelmä 2.1. Ryhmä on järjestetty pari(G, ⋆) jossa Gon joukko ja ⋆ on binääriope- raatio jolla on seuraavat aksioomat:

1. (a ⋆ b)⋆ c=a ⋆(b ⋆ c)

2. ∃e∈G:∀a∈G:a ⋆ e=e ⋆ a=a

3. ∀a∈G:∃a⁻¹∈G:a ⋆ a⁻¹ =a⁻¹⋆ a=e.

Ryhmä(G, ⋆)on Abelin ryhmä jos lisäksia ⋆ b=b ⋆ a. [2, s. 16]

Määritelmä 2.2.Kunta on joukkoF yhdessä kahden kommutatiivisen binäärioperaatioi- den+ja·kanssa niin että (F,+)on Abelin ryhmä ja(F− {0},·) on myös Abelin ryhmä joille seuraava osittelulaki pitää:

a·(b+c) = (a·b) + (a·c). [2, s. 34]

Määritelmä 2.3. Jos K on kunta jonka osajoukko on kunta F ja binäärioperaatiot ovat samat niinK onF laajennusjota merkitään ilmaisullaK/F. [9]

Määritelmä 2.4.MerkintäF[x]tarkoittaa polynomejap(x) =a₀+a₁x+...+a_nxⁿjoilla on muuttujaxja vakiokertoimet joukossaF. [2] Tässäxⁿ =x·...·x

⏞ ⏟⏟ ⏞

n

kertomisjärjestyksestä riippumatta.

Määritelmä 2.5.Polynomi onmooninenjos sen korkeimman asteen muuttujan vakiokerroin on 1. [21]

Määritelmä 2.6.Polynomi onjakamaton jos sitä ei voi jakaa ei-triviaaleihin polynomiteki- jöihin yli saman kunnan. [20]

Määritelmä 2.7.Jos F on kunta jaKonF:n laajennus niin alkioa∈K on algebrallinen F:n yli jos se on jonkin ei-nolla polynominf(x)∈F[x]juuri ja muuten se on transsenden- taalinenF:n yli. LaajennusK/F on algebrallinen jos jokainen alkio joka kuuluuK:hon on algebrallinenF:n yli. [2, s. 520]

(9)

Määritelmä 2.8. Ellei työssä muuten ilmaista, algebrallisilla luvuillaA ⊂ Ctarkoitetaan lukujaQ:n yli laajennoksellaC.

2.1.2 Minimipolynomi

Teoreema 2.1.Olkoonα algebrallinenF:n yli. Silloin on olemassa yksikäsitteinen mooninen jakamaton polynomim_α,F(x) ∈ F[x]jonka juuri on α. Polynomillaf(x) ∈ F[x]on juurenaαjos ja vain josmα,F(x)jakaaf(x):nF[x]:ssä. [2, s. 520]

Todistus. Olkoong(x) ∈ F[x] polynomi jolla on mahdollisimman pieni aste jaα on sen juuri. Kertomalla g(x):n vakiolla voidaan olettaa että g(x) on mooninen. Oletetaan että g(x)on jakautuvaF[x]:ssä, esimerkiksig(x) =a(x)b(x)jossaa(x), b(x) ∈F[x]ovat molemmat alempaa astetta kuing(x). Silloing(α) =a(α)b(α)onK:ssa ja koskaKon kunta jokoa(α) = 0tai b(α) = 0 mikä aiheuttaa ristiriidan koskag(x):llä piti olla mahdollisimman pieni aste. Oletetaan ettäf(x)∈F[x]on mikä vain polynomi jonka juuri onα. Eukli- deen algoritmin perusteella on polynomit q(x), r(x) ∈ F[x]joillaf(x) = q(x)g(x) +r(x) jadeg r(x) < deg g(x). Silloinf(α) = q(α)g(α) +r(α)onK:ssa ja koska f(α) = 0sekä g(α) = 0 niin myösr(α) = 0 mikä aiheuttaa ristiriidan että g(x):llä piti olla mahdollisimman pieni aste. Täteng(x) jakaa minkä tahansa polynominf(x) ∈F[x]jolla on juurena α ja jakaisi minkä tahansa toisen moonisen jakamattoman polynomin F[x]:ssä jolla on juurenaα. [2, s. 520]

Jos h(x) ∈ F[x]on myös tällainen polynomi niin g(x) jakaa sen ja niillä on sama aste.

Tällöinh(x) = k(x)g(x)jadeg g(x) = deg h(x) = deg k(x)g(x)jolloin polynomin k(x) on oltava vakiopolynomi ja koska g(x) ja h(x) ovat moonisia niin k(x) = 1 jag(x) = h(x).

Tämä osoittaa ettämα,F(x)on uniikki ja viimeistelee todistuksen.

Tämä polynomi m_α,F(x) on minimipolynomi α:lleF:n yli ja m_α,F(x):n aste on α:n aste.

[2, s. 520]

Esimerkkejä: [2, s. 521]

• Minimipolynomi√

2:lle yliQ:n onx²−2ja se on astetta 2 yliQ:n:[Q(√

2) :Q] = 2

• Minimipolynomi√³

2:lle yliQ:n onx³−2ja se on astetta 3 yliQ:n:[Q(√³

2) :Q] = 3.

(10)

2.1.3 Algebrallisuuden säilyvyys laskuoperaatioissa

Määritelmä 2.9. n×n-uloitteisen neliömatriisin A =

⎡

⎢

⎣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

... ... . .. ... a_n1 a_n2 · · · a_nn

⎤

⎥

⎦

determi-

nantti on rekursiivisesti

|A|=

⃓

a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a21 a22 · · · a2n

... ... . .. ... an1 an2 · · · ann

⃓

=a11

⃓

a₂₂ a₂₃ · · · a_2n ... ... . .. ... a_n2 a_n3 · · · a_nn

⃓

−a12

⃓

a₂₁ a₂₃ · · · a_2n ... ... . .. ... a_n1 a_n3 · · · a_nn

⃓

+...±a1n

⃓

a₂₁ a₂₂ · · · a_2(n−1) ... ... . .. ... a_n1 a_n2 · · · a_n(n−1)

⃓

⃓ (2.1)

missä

⃓

⃓ a b c d

⃓

=ad−bc. [22]

Määritelmä 2.10. Ei-nolla polynomifunktioiden f(x) = a0+a1x+· · ·+anxⁿ ja g(x) = b₀+b₁x+· · ·+b_mx^m resultantti on determinantti

Resx(f(x), g(x)) =

⃓

an · · · a0

. .. . ..

a_n · · · a₀ b_m · · · b₀

. .. . ..

bm · · · b0

⃓

(2.2)

jossaa-vaakarivejä onmjab-vaakarivejä onn. [2, s. 620]

Teoreema 2.2.Ei-nolla polynomifunktioillaf(x) = a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ jag(x) = b₀+ b1x+· · ·+bmx^m on yhteinen juuri jos ja vain jos

Res_x(f(x), g(x)) = 0 (2.3)

Todistus. Todistetaan ensin, että funktiollaf(x) jag(x) on yhteinen juuri jos ja vain jos on olemassa polynomita(x),deg(a(x)) < deg(g(x))ja b(x), deg(b(x)) < deg(f(x))joilla a(x)f(x) =b(x)g(x). [24]

(11)

Jos funktioilla f(x) ja g(x) on yhteinen juuri niin niillä on yhteinen jakaja h(x) niin että f(x) =b(x)h(x)jag(x) =a(x)h(x). Tällöinf(x)a(x) =b(x)h(x)a(x) =b(x)g(x). [24]

Jos f(x)a(x) = b(x)g(x) niin jakamalla polynomit puolittain tekijöihin saadaan samat tekijät. Jos jaetaan a(x) tekijät puolittain pois niin yhtälön vasemmalle puolelle jäävät f(x):n tekijät ja oikeallab(x):n jag(x):n tekijöitä.g(x):n tekijöitä on vähintään yksi koska deg(a(x)) < deg(g(x)). Tämän jälkeen jakamalla pois b(x):n tekijät jää yhtälön vasemmalle puolellef(x):n tekijöitä ja oikealle g(x):n tekijöitä. f(x):n tekijöitä jää vasemmalle puolelle vähintään yksi koskadeg(b(x))< deg(f(x)). Näin ollen funktioillaf(x)jag(x)on vähintään yksi yhteinen juuri.

Kirjoittamallaa(x) =∑︁m−1

i=0 sixⁱ jab(x) =∑︁n−1

i=0 −t_ixⁱsaadaan

f(x)a(x)−b(x)g(x) =

m+n−1

∑︂

i=0

⎛

⎝

i

∑︂

j=0

sjai−j+tjbi−j

⎞

⎠xⁱ

= [sm−1,· · · , s0, tn−1,· · · , t0]

⎡

⎢

⎣

an · · · a0

. .. . ..

a_n · · · a₀ b_m · · · b₀

. .. . ..

bm · · · b0

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣ 1 x ... x^m+n−1

⎤

⎥

⎦

=S^TRT = 0

(2.4)

Koska oikeanpuolimmaisessa pystyvektorissa on ensimmäisenä alkiona 1, voidaan yhtä- lö kertoa oikealta ensimmäisellä standardiyksikkövektorilla vaakavektorina, jolloin trans- ponoinnin jälkeen saadaan R^TS = 0. Koska S ei ole nollavektori, niin se on ei-triviaali ratkaisu ja sitenR^T determinantti on nolla. [24]

Esimerkki 2.1.Funktioillaf(x) = x+ 1,g(x) = (x+ 1)(x−1),a(x) = x−1jab(x) = 1 saadaan

f(x)a(x)−b(x)g(x) = [1,−1,−1]

⎡

⎢

⎣

1 1 0 0 1 1 1 0 −1

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣ 1 x x²

⎤

⎥

⎦

= 0 (2.5)

(12)

Toisaalta

Resx(f(x), g(x)) =

⃓

1 1 0 0 1 1 1 0 −1

⃓

=

⃓

⃓ 1 0 1 1

⃓

−

⃓

⃓ 1 1 0 1

⃓

= 1−1 = 0 (2.6)

Teoreema 2.3.Polynomeilla f(x) = a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ = a_n∏︁_n

i=1(x−x_i) jag(x) = b0+b1x+· · ·+bmx^m =bm∏︁m

j=1(x−yj)pätee

Res_x(f(x), g(x))

= Resx(an n

∏︂

i=1

(x−xi), bm m

∏︂

j=1

(x−yj))

=a^m_nbⁿ_mResx(

n

∏︂

i=1

(x−xi),

m

∏︂

j=1

(x−yj))

(2.7)

missäx₁, ..., x_novatf(x):n jay₁, ..., y_movatg(x):n nollakohdat.

Todistus. Kun kirjoitetaan auki polynomitan∏︁n

i=1(x−x_i)jabm∏︁m

j=1(x−y_j)saadaan polynomit joiden jokaisessa vakiokertoimessa on vastaavastianjabm. Tällöin determinantis- sa onmvaakarivillä kaikilla termeillä kerroina_nja vastaavastinvaakarivilläb_m. Determi- nantin laskusääntöjen perusteella rivien kertoimet saadaan determinantin ulkopuolelle ja saadaanRes_x(a_n∏︁n

i=1(x−x_i), b_m∏︁m

j=1(x−y_j)) =a^m_nbⁿ_mRes_x(∏︁n

i=1(x−x_i),∏︁m

j=1(x−y_j))

Teoreema 2.4.∏︁n

i=1(x−xi) =xⁿ−s1xⁿ⁻¹+...+ (−1)ⁿsnmissä s₁=x₁+x₂+· · ·+x_n

s2=x1x2+x1x3+· · ·+x2x3+x2x4+· · ·+xn−1xn

...

sn=x1x2· · ·xn

(2.8)

Todistus. Todistetaan induktiolla.

Kunk= 1niin(x−x₁) =x¹+ (−1)¹x₁.

(13)

Oletetaan että väite pätee tapaksessak=n. Tällöin

n+1

∏︂

i=1

(x−xi)

= (x−x_n+1)

n

∏︂

i=1

(x−x_i)

= (x−xn+1)(xⁿ−s1xⁿ⁻¹+...+ (−1)ⁿsn)

=xⁿ⁺¹−(s1+xn+1)xⁿ+ (s2+s1xn+1)xⁿ⁻¹+...+ (−1)ⁿ⁺¹snxn+1

(2.9)

Eli väite pätee.

Teoreema 2.5.Ei-nolla polynomifunktioillaf(x) =a₀+...+a_nxⁿjag(x) =b₀+...+b_mx^m pätee

Res_x(f(x), g(x)) =a^m_nbⁿ_mC ∏︂

1≤i≤n 1≤j≤m

(α_i−β_j) (2.10)

missä niiden juuret ovat vastaavastiα1, ..., αnjaβ1, ..., βm jaC on vakio. [12]

Todistus. Otetaan muuttujiksi x1, ..., xn ja y1, ..., ym. Olkoot nämä polynomien f(x) = a_nxⁿ+...+a₀ ja g(x) = b_mx^m +...+b₀ nollakohdat. Tällöin f(x) = a_n∏︁n

i=1(x−x_i) jag(x) =bm∏︁m

j=1(x−yj).

Saadaanf(x) =an(xⁿ−s₁xⁿ⁻¹+...+(−1)ⁿsn)jag(x) =bm(x^m−r₁x^m−1+...+(−1)^mrm) sekä

Res_x(f(x), g(x))

=a^m_nbⁿ_mResx(

n

∏︂

i=1

(x−xi),

m

∏︂

j=1

(x−yj))

=a^m_nbⁿ_m

⃓

1 · · · (−1)ⁿsn

. .. . ..

1 · · · (−1)ⁿsn

1 · · · (−1)^mr_m

. .. . ..

1 · · · (−1)^mr_m

⃓

(2.11)

Tämä on muuttujien sk ja rl polynomi, jonka jokaisessa tulossa on ≤ m kappalettask- muuttujia ja≤nkappalettar_l-muuttujia. Jokainens_k on muuttujienx_i suhteen 1. astetta jar_l on muuttujienyj suhteen 1. astetta. SitenResx(f(x), g(x)) =P(x1, ..., xn, y1, ..., ym)

(14)

on n+m muuttujan polynomi jonka aste on m jokaisenxi:n suhteen janjokaisen yj:n suhteen.

Ajatellaan että muuttuja onx₁ja pidetäänx₂, ..., x_n, y₁, ..., y_mkiinnitettyinä. Tällöin

Resx(f(x), g(x)) =P_m^′ (x1) (2.12) joka on astettam x₁:n suhteen. Koska y₁ on nollakohta saadaan tekijäksi x₁−y₁. Näin ollen

Res_x(f(x), g(x)) =P_m−1^′ (x₁−y₁) (2.13) jossa P_m−1^′ on astetta m −1 x₁:n suhteen. Koska y₂ on nollakohta saadaan samoin jatkamalla

Res_x(f(x), g(x)) =P₀^′

m

∏︂

j=1

(x₁−y_j) (2.14)

missä P₀^′ on vakio x1 suhteen mutta edelleen muuttujien x2, ..., xn funktio. Jatkamalla samoin kaikillex₂, ..., x_nsaadaan

Resx(f(x), g(x)) =C ∏︂

1≤i≤n 1≤j≤m

(xi−yj) (2.15)

TässäCon vakio ainakin muuttujienxisuhteen. Sama päättely kuin edellä voidaan tehdä myös muuttujilley_j, jotenC on vakio myös muuttujieny_j suhteen.

Koska determinantti 2.11 on muutujiens_kjar_lkokonaislukukertoiminen polynomi niin se on myös muuttujien xi jayj kokonaislukukertoiminen polynomi. Tästä seuraa ettäC on kokonaisluku sillä muuten polynomi 2.15 ei ole kokonaislukukertoiminen.

Teoreema 2.6.Oletetaan ettäαjaβovat algebrallisiaF:n yli. Silloinα±β,αβ, ja ^α_β, β̸= 0 ja erityisesti _α¹, α̸= 0ovat algebrallisia.

Todistus. Oletetaan ettäαjaβovat algebrallisia. Silloin on olemassa kokonaislukukertoi- miset minimipolynomifunktiotf(x) =a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿjag(x) =b₀+b₁x+· · ·+b_mx^m joillaf(α) = 0jag(β) = 0. Tällöin pätee resultantilla

r(z) = Resx(f(x), g(z−x)) =a^m_nbⁿ_mC ∏︂

1≤i≤n 1≤j≤m

(αi+βj−z) (2.16)

joka on kokonaislukukertoiminen polynomi jonka juuri on α +β ja näin ollen luku on algebrallinen.

(15)

Toisaalta pätee resultantilla

s(z) = Res_x(f(x), x^mg(z

x)) =a^m_nbⁿ₀C ∏︂

1≤i≤n 1≤j≤m

(α_i− z βj

) (2.17)

joka on kokonaislukukertoiminen polynomi jonka juuri on αβ ja näin ollen luku on algebrallinen. Tässä x^mg(^z_x) = x^mb0+b1zx^m−1+...+bmz^m onx:n polynomi ja kaikillaj pätee β_j ̸= 0sillä g(0) = b₀ ja b₀ ̸= 0 koska g(x) onβ:n minimipolynomi. s(z) on kokonaislukukertoiminen koska resultantin lopullinen polynomi koostuu zpotensseista jonka kertoimina on lukujaai jabj jotka ovat kokonaislukuja.¨

Oletetaan ettäα̸= 0on algebrallinen. Tällöin on olemassa rationaalikertoiminen polynomi jolla

a0+a1α+...+anαⁿ= 0 (2.18) Toisaalta jos kerrotaan yhtälö molemmilta puolilta vakiollaα⁻ⁿsaadaan

a0α⁻ⁿ+a1α¹⁻ⁿα+...+an= 0 (2.19) eliα⁻¹ on algebrallinen.

Jos α ja β ̸= 0 ovat algebrallisia niin tulosäännön ja β:n käänteisluvun mukaan ^α_β on algebrallinen.

Josαjaβ ovat algebrallisia niin koska−1on algebrallinen tulosäännnön mukaan−β on algebrallinen ja summasäännön mukaanα−βon algebrallinen.

Korollaari 2.1.Algebralliset luvut ovat kunta.

Todistus. Teoreeman 2.6 perusteella kunα jaβ ovat algebrallisiaF:n yli niinα±β,αβ, ja ^α_β, β̸= 0ja erityisesti _α¹, α̸= 0ovat algebrallisia.

Lisäksi algebrallisille luvuille pätevät seuraavat laskusäännöt: [8]

• Kaikillax,y,zpäteex+ (y+z) = (x+y) +z

• On olemassa0∈Ajolla kaikillaxpäteex+ 0 =x

• Kaikillaxon olemassa−x∈Ajoillax+ (−x) = 0

• Kaikillax,ypäteex+y=y+x

• Kaikillax,y,zpäteex·(y+z) =x·y+x·z

• Kaikillax,y,zpäteex·(y·z) = (x·y)·z

• On olemassa1∈Ajolla kaikillaxpätee1·x=x

• Kaikillaxpaitsi0:lla onx⁻¹∈Ajolla päteex·x⁻¹= 1

• Kaikillax,ypäteex·y=y·x Näin ollen algebralliset luvut ovat kunta.

(16)

2.1.4 Laskettavuus

Määritelmä 2.11. Reaaliluku α on laskettava jos kaikilla n ∈ N on olemassa päättyvä algoritmi joka laskeeα:llenoikeaa desimaalia. [25] Luvun on oltava laskettavissa tieto- koneella eli rationaaliluvuilla. Algoritmin on pystyttävä itse toteamaan milloin on saavutet- tun:n desimaalin tarkkuus. Kompleksiluku on laskettava jos sen reaali- ja kompleksiosa ovat molemmat laskettavia. [13]

Kaikki algebralliset luvut ovat laskettavia. Jotkin transsendentaaliset luvut kuten π ja e ovat laskettavia. [18, s. 1] Chaitinin vakioΩ on esimerkki transsendentaalisesta luvusta joka ei ole laskettava. [18, s. 2] Vakio kuvaa universaalin koneen pysähtymisen todennä- köisyyttä. [1, s. 2]

Esimerkki 2.2. π on laskettava sillä π = ∑︁∞

i=04⁽⁻¹⁾_2i+1ⁱ = Lsuppenee ja tämä kaava tarkoittaa myös ettäπ on laskettavissa rationaaliluvuilla. [15] Algoritmin tiedetään saavutta- neen ndesimaalin tarkkuuden Leibnizin testillä kun |(∑︁k

i=04⁽⁻¹⁾_2i+1ⁱ)−L| ≤ _2k+3⁴ < 10⁻ⁿ elik >2·10ⁿ−³₂. [16]

Teoreema 2.7.Algebrallisen luvunαminimipolynomissaf sen kertaluku on 1 elif^′(α)̸=

0.

Todistus. Esittämällä algebrallisen luvunα₁minimipolynomin tulomuodossa saadaan funktiof(x) = (x−α₁)^k¹(x−α₂)^k²...(x−α_n)^kⁿjossa kaikki juuretαiovat erillisiä ja eksponenttien summa onn. Derivoimallax:n suhteen saadaan funktiof^′(x) =k1(x−α1)^(k¹⁻¹⁾(x− α₂)^k²...(x−α_n)^kⁿ+k₂(x−α₁)^k¹(x−α₂)^(k²⁻¹⁾...(x−α_n)^kⁿ+...+k_n(x−α₁)^k¹(x−α₂)...(x− αn)^(kⁿ⁻¹⁾.f^′(x)on rationaalikertoiminen silläf(x) =a0+a1x+...+xⁿderivaatta on sel- västi rationaalikertoiminen. Toisaalta josk1̸= 1niinf^′(α1) = 0jaf ei olekaanα1 minimipolynomi. Näin ollenk₁ = 1ja juuren kertaluku on 1.

Määritelmä 2.12. Newtonin menetelmä on algoritmi jolla yhden muuttujan x funktiota f ja sen derivaattaa f^′ käytetään funktion juuren löytämiseen sopivalla arvauksella x0

käyttäen seuraavaa rekursiota: [14]

xn+1 =xn− f(xn)

f^′(xn) (2.20)

Teoreema 2.8.Newtonin menetelmä suppenee neliöllisesti.

Todistus. Lähteestä [14]. Mikä vain funktiof(x)jolla on jatkuva toisen asteen derivaatta voidaan approksimoida Taylorin polynomilla pisteessä xn joka on lähellä f(x):n juurta.

Luvunαollessa juuri niinf(α)kehitelmäx_nympäri on

0 =f(α) =f(xn) +f^′(xn)(α−xn) +1

2f^′′(ξn)(α−xn)² (2.21)

(17)

missä f(xn) +f^′(xn)(α−xn) on 1. asteen Taylorin polynomi, ¹₂f^′′(ξn)(α −xn)² poly- nomiapproksimaation virhetermin Lagrangen muoto ja ξ_n on x_n ja α välissä. Uudelleen järjestelmällä tulee

f(x_n)

f^′(xn) + (α−xn) =−f^′′(ξ_n)

2f^′(xn)(α−xn)² (2.22) ja käyttämällä Newtonin metodin määritelmää

x_n+1 =x_n− f(x_n)

f^′(xn) (2.23)

saadaan

α−x_n+1=−f^′′(ξ_n)

2f^′(xn)(α−x_n)² (2.24) ja merkitsemälläϵn=α−xntulee

ϵ_n+1=−f^′′(ξ_n)

2f^′(x_n)ϵ²_n (2.25)

ja ottamalla itseisarvon molemmilta puolilta

|ϵ_n+1|= |f^′′(ξ_n)|

2|f^′(x_n)|ϵ²_n (2.26)

Yhtälö 2.26 suppenee vähintään neliöllisesti jos seuraavat kolme ehtoa toteutetaan:

1. f^′(x)̸= 0kaikillax∈I missäI on lukuväli[α−r, α+r]jollainr≥ |α−x₀| 2. f^′′(x)on jatkuva kaikillax∈I

3. x0 on riittävän lähellä juurtaα Ehto 3 voidaan toteuttaa seuraavasti:

Määritellään funktiog(x, y) = _2|f^|f^′′′^(x)|(y)|. Koskaf^′(α)̸= 0jaf^′(y)on jatkuva niin valitsemalla r riittävän pieneksi on _|f′¹(y)| hyvin määritelty ja rajoitettu välillä I. |f^′′(x)| on jatkuvana rajoitettu tällä välillä. Siten on olemassa luku K, jolle g(x, y) ≤ K kaikilla x, y ∈ I. Nyt yhtälöstä (2.26) seuraa, että

ϵ_n+1 ≤K(ϵ_n)² = (Kϵ_n)(ϵ_n) (2.27) Valitaanϵ0niin pieneksi, ettäKϵ0 <1. Silloinϵn→0, kunn→ ∞ja erityisestiϵn:t pysyvät välilläI.

(18)

Teoreema 2.9.Algebralliset luvut ovat laskettavia.

Todistus. Algebrallinen lukuz =a+bi, a, b∈ Ron laskettava jos ajabovat laskettavia.

Algebrallisen luvun reaali- ja imaginääriosat ovat algebrallisia joten riittää että todistetaan että yleinen reaalinen algebrallinen lukucon laskettava.

Osoitetaan että luvuncminimipolynomillap(x)pätee teoreeman 2.8 ehdot 1-3.

1. Teoreeman 2.7 perusteellap^′(c)̸= 0

2. Polynomin toinen derivaatta on aina jatkuva

3. Valitaan rationaalinen luku jolla pätee teoreeman 2.8 ehto juuren läheisyydestä Epäyhtälöstä|ϵ_i|=|c−xi|<10⁻ⁿ saadaan laskettua luvullecvähintäännoikeaa desimaalia kaikillan∈Nkoskaϵi →0, kuni→ ∞.

2.1.5 Numeroituvuus

Määritelmä 2.13.OlkoonAjoukko.Aonnumeroituvajos ja vain jos on olemassa injektio f : A → N. Yhtäpitävästi A on numeroituva jos sen kaikki alkiot voidaan järjestää in- deksittäin joukoksiA = {a₁, a₂, ...}. JosA on äärellinen ja siinä onn ∈Nalkiota niin se voidaan esittää muodossaA ={a₁, a2, ..., an, an+1, an+2, ...}jossa∀i > n :ai =anja on täten myös numeroituva.

Teoreema 2.10.Numeroituvien joukkojenAiyhdiste

∞

⋃︁

i=1

Ai on numeroituva.

Todistus. Jos järjestetään joukkojenA_i alkiot matriisiksi

a₁₁ a₁₂ a₁₃ · · · a₂₁ a₂₂ a₂₃ · · · a31 a32 a33 · · · ... ... ... . ..

(2.28)

ja käydään matriisi viistoittain läpi saadaan kaikki alkiot käsittävä joukkoA={a₁₁, a21, a12, ...}.

Näin ollen

∞

⋃︁

i=1

Ai on numeroituva.

Teoreema 2.11.Numeroituvien joukkojenB jaCkarteesinen tuloB×C={(b_i, c_k) :bi ∈ B, ck∈C}on numeroituva.

(19)

Todistus. Jos järjestetään joukkonB×Calkiot matriisiksi

(b1, c1) (b1, c2) (b1, c3) · · · (b₂, c₁) (b₂, c₂) (b₂, c₃) · · · (b₃, c₁) (b₃, c₂) (b₃, c₃) · · · ... ... ... . ..

(2.29)

ja käydään matriisi viistoittain läpi saadaan kaikki alkiot käsittävä joukko A={(b₁, c₁),(b₂, c₁),(b₁, c₂), ...}. Näin ollenB×Con numeroituva.

Korollaari 2.2.Voidaan todistaa että n∈ Nnumeroituvan joukon karteesinen tulo A1× ...×Anon numeroituva.

Todistus. Oletetaan että joukko A₁ ×...×A_k missä k ∈ N on numeroituva. Oletetaan ettäA_k+1 on numeroituva. Näin ollen teoreeman 2.11 perusteella(A₁×...×A_k)×A_k+1 on myös numeroituva ja koska voidaan tehdä samaistus joukkojen ((a1, ..., ak), ak+1) ja (a₁, ..., a_k, a_k+1)välillä niin myösA₁×...×A_k×A_k+1 on numeroituva.

Teoreema 2.12.Algebrallisten lukujen joukkoAon numeroituva.

Todistus. Yleinen polynomip(x)voidaan esittää muodossap(x) =a0+...+anxⁿtai luku- jononaBn= (a0, a1, ..., an) =Z×...×Z

⏞ ⏟⏟ ⏞

n+1

. Täten kokonaislukukertoimisten n-asteisten polynomien joukko voidaan esittää numeroituvien joukkojen karteesisena tulona joka on ko- rollaarin 2.2 perusteella numeroituva. Näin ollen yhdiste

∞

⋃︁

i=1

Bi on samaistettavissa kaik- kien polynomien joukkoon ja on teoreeman 2.10 perusteella myös numeroituva. Tämän perusteella algebralliset luvut voidaan esittää muodossa A =

∞

⋃︁

i=1

{c:p_i(c) = 0} joka on teoreeman 2.10 perusteella numeroituva koska kunkin polynomin nollakohtia on äärel- linen määrä ja kyseessä on numeroituvien joukkojen yhdiste. Täten A on numeroituva joukko.

2.1.6 Kompleksiluvut

Edellisten osioiden perusteella voidaan tutkia kompleksilukujen algebrallisuutta.

Teoreema 2.11.Josajab∈Rovat algebrallisia niina+bion algebrallinen.

Todistus. Koska algebralliset luvut muodostavat kunnan sekä a, b ja i ovat algebrallisia, niin kuntaominaisuuden perusteella kahden joukon alkion tulo on algebrallinen eli bi on algebrallinen. Edelleen kuntaominaisuuden perusteella kahden alkion summa on algebrallinen ja näin ollena+bion algebrallinen. [8]

Teoreema 2.12.Josz=a+bi∈Con algebrallinen niinajabovat algebrallisia.

(20)

Todistus. Oletetaan että lukuzon algebrallinen. Tällöin on olemassa rationaalikertoiminen polynomi

a₀+a₁z+...+a_nzⁿ= 0 (2.30) Ottamalla kompleksikonjugaatin molemmilta puolilta saadaan

a₀+a₁ z+...+a_nzⁿ= 0 (2.31) eli

a₀+a₁ z+...+a_nzⁿ= 0 (2.32) jotenzon algebrallinen.

Näin ollen algebrallisen luvun kompleksikonjugaatti on algebrallinen ja luvuta= (z+z)/2 jab= (z−z)/(2i)ovat algebrallisia kuntaominaisuuksien perusteella. [19]

2.2 Esimerkkejä algebrallisista luvuista

Tähän on kerätty lista erilaisista algebrallisista luvuista: [10]

• Kaikki rationaaliset luvut

• Gaussin kokonaisluvut

• Kaikki viivaimella ja harpilla rakennettavat luvut

• Trigonometristen funktioiden arvotπ:n rationaalisilla monikerroilla

• Jotkin irrationaaliset luvut

• Irrationaaliset luvut jotka ovat toisen asteen yhtälön ratkaisuja

• Polynomien juuret joita ei voi esittää alkeellisten aritmeettisten operaatoiden ja juu- rilausekkeiden avulla

• Imaginääriyksikkö

2.3 Esimerkkejä ei-algebrallisista luvuista

Tähän on kerätty lista erilaisista ei-algebrallisista luvuista: [11]

• e^ajosaon algebrallinen ja poikkeaa nollasta

• π

• e^π

• sin(a),cos(a),tan(a)kaikilla ei-nolla algebrallisilla luvuillaa

• ln(a)josaon algebrallinen ja ei0tai1

• Γ(¹₃),Γ(¹₄),Γ(¹₆)

• Chaitinin vakioΩ

• Liouvillen vakio

(21)

3 IRRATIONAALISUUSTODISTUKSET

Tässä kappaleessa käsitellään eri algebrallisten lukujen irrationaalisuustodistuksia. To- distukset osoittavat että on olemassa algebrallisia lukuja jotka eivät ole rationaalisia.

3.1 Kahden neliöjuuri

Teoreema 3.1Kahden neliöjuuri√

2on algebrallinen ja irrationaalinen.

Todistus. Kahden neliöjuuri on algebrallinen koska√

2²−2 = 0. Oletetaan että

√ 2 = a

b (3.1)

missäa, b∈Zsuurin yhteinen tekijä on 1. Tällöin

2b² =a² (3.2)

mikä tarkoittaa että 2 jakaaa²:n eli

2|a² (3.3)

ja koska vain parillisen luvun neliö on parillinen

2|a (3.4)

jolloin

2|b² (3.5)

ja lopulta

2|b (3.6)

mikä on ristiriita.

(22)

3.2 Kultainen leikkaus

Teoreema 3.2Kultainen leikkausϕon algebrallinen ja irrationaalinen.

Todistus. Kultainen leikkaus on algebrallinen koskaϕ²−ϕ−1 = 0. [33] Oletetaan että

ϕ= a

b (3.7)

missä a:n ja b:n suurin yhteinen tekijä on 1. Tällöin 1

ϕ =ϕ−1 (3.8)

josta tulee

b a = a

b −1 (3.9)

ja

b²=a(a−b) (3.10)

jolloin

b|a(a−b) (3.11)

ja

b|a−b (3.12)

sekä

b|a (3.13)

joka on ristiriita.

(23)

4 TRANSSENDENTAALISUUSTODISTUKSET

Tässä kappaleessa annetaan eri lukujen transsendentaalisuustodistuksia.

Määritelmä 4.1. Algebrallinen kokonaisluku on kompleksiluku joka on kokonaislukukertoimisen moonisen polynomin juuri. [17]

Määritelmä 4.2.Symmetrinen polynomion polynomif ∈R[x₁, ..., x_n]jolla onnmuuttujaa ja jonka vakiokertoimet ovat renkaassaRja jolla kaikilla joukon{x₁, ..., x_n}permutaatiolla σ päteeσ(f) =f. [31]

Määritelmä 4.3. Polynomin (x +t1)(x+t2)...(x +tn) muuttujan x^n−k vakiokerroin on k:s elementaarinen symmetrinen polynomi n:ssä muuttujassa t₁, ..., t_n. Kun n = 1 niin elementaarinen symmetrinen polynomi on t1, kun n = 2 ne ovat t1 +t2 ja t1t2 ja kun n= 3ne ovatt1+t2+t3,t1t2+t2t3+t1t3 jat1t2t3. [32]

Teoreema 4.1. Symmetristen polynomien peruslause.OlkoonRkommutatiivinen ren- gas ja f(X1, X2, ..., Xn) ∈ R[X1, X2, ..., Xn] symmetrinen polynomi. Silloin on olemassa polynomi g ∈ R[X1, X2, ..., Xn] niin että f(X1, X2, ..., Xn) = g(σ1, σ2, ..., σn) missä σ₁, σ₂, ..., σ_nmerkitsevätX₁, X₂, ..., X_n:nn:n asteen symmetrisiä polynomeja. [29]

Teoreema 4.2.(x−x₁)(x−x₂)...(x−x_n) =xⁿ−s₁xⁿ⁻¹+s₂xⁿ⁻²+...+ (−1)ⁿs_nmissä siovatx1, ..., xnelementaariset symmetriset polynomit. [2, s. 608]

Todistus. Kunn= 1pätee(x−x1) =x−x1. Oletetaan että yhtälö pätee onn=kja että silloin elementaariset symmetriset polynomit ovatr_i. Tällöin

(x−x₁)(x−x₂)...(x−x_k+1) =

(x^k−r₁x^k−1+r₂x^k−2+...+ (−1)^kr_k)(x−x_k+1) =

(x^k+1−r1x^k+r2x^k−1+...+ (−1)^krkx)−(x^kxk+1−r1xk+1x^k−1+r2xk+1x^k−2+...+ (−1)^krkxk+1) = x^k+1−(r1+xk+1)x^k+ (r2+r1xk+1)x^k−1+...+ (−1)^krkxk+1 =

x^k+1−p1x^k+p2x^k−2+...+ (−1)^k+1p_k+1

(4.1) missäpiovatx1, ..., xk+1elementaariset symmetriset polynomit.

Lemma 4.1. Olkoon γ₁, ....γ_n nollasta poikkeavia kompleksilukuja ja M niiden tuottama Z-moduuli eli{a₁γ1+...+anγn, ai ∈ Z}.Oletetaan että αγi ∈ M kaikilla i. Silloin α on algebrallinen kokonaisluku. [30]

(24)

Todistus. Olkoonαγi = ∑︁

ci,jγj kaikilla i ja joillakin kokonaisluvuilla ci,j. Täten γi ovat lineaarisen yhtälöryhmänC−→γ −α−→γ = 0ratkaisut missä→−γ = [γ₁, ....γ_n], C= [[c_i,j]]. Näin ollen det(C−αI) = 0. Se on muuttujan α polynomi jolla on kokonaislukukertoimet ja korkeimman asteen termin vakiokerroin on 1. [30]

Teoreema 4.3.Algebralliset kokonaisluvut muodostavat renkaan. [30]

Todistus. Olkoonαkokonaislukukertoimisen polynominf(x) =x^m+am−1x^m−1+...+a₀ juuri ja β kokonaislukukertoimisen polynomin g(x) = xⁿ +bn−1xⁿ⁻¹ +...+b0 juuri eli molemmat algebrallisia kokonaislukuja. Näin ollenf:n aste onmjag:n aste onn. Olkoon M Z-moduuli joka onαⁱβ^j,0≤i≤m−1,0≤j≤n−1tuottama.

Osoitetaan ettäαβ(αⁱβ^j)∈M kaikilla0≤i≤m−1,0≤j ≤n−1.

Tämä on triviaalia kuni < m−1jaj < n−1. Oletetaan ettäi=m−1jaj < n−1. Koska αon algebrallinen kokonaisluku saadaan funktiostaf(x)että

α^m =−a_m−1α^m−1−...−a₀ (4.2)

ja

αβ(α^m−1β^j) =α^mβ^j+1=−a_m−1α^m−1β^j+1−...−a₀β^j+1∈M (4.3) Oletetaan ettäi < m−1 jaj = n−1. Koska β on algebrallinen kokonaisluku saadaan funktiostag(x)että

βⁿ=−b_n−1βⁿ⁻¹−...−b0 (4.4)

ja

αβ(αⁱβⁿ⁻¹) =αⁱ⁺¹βⁿ=−b_n−1αⁱ⁺¹βⁿ⁻¹−...−b0αⁱ⁺¹ ∈M (4.5) Oletetaan ettäi=m−1jaj=n−1. Silloin saadaan yhtälöstäf(α)g(β) = 0että

αβ(α^m−1βⁿ⁻¹) =α^mβⁿ=−a_m−1α^m−1βⁿ−...−a0βⁿ

−bn−1α^mβⁿ⁻¹−am−1bn−1α^m−1βⁿ⁻¹...−a₀bn−1βⁿ⁻¹

−...

−b₀α^m−b₀am−1α^m−1−...−a₀b₀ ∈M

(4.6)

Näin ollen lemman 5.1 perusteellaαβon algebrallinen kokonaisluku.

Osoitetaan että(α±β)(αⁱβ^j)∈M kaikilla0≤i≤m−1,0≤j≤n−1.

(25)

Tämä on triviaalia kuni < m−1 ja j < n−1. Oletetaan että i = m−1 ja j < n−1.

Tällöin kaavan (4.3) perusteella

(α±β)(α^m−1β^j) =α^mβ^j±α^m−1β^j+1 ∈M (4.7) Oletetaan ettäi < m−1jaj=n−1. Tällöin kaavan (4.5) perusteella

(α±β)(αⁱβⁿ⁻¹) =αⁱ⁺¹βⁿ⁻¹±αⁱβⁿ∈M (4.8) Oletetaan ettäi=m−1jaj=n−1. Tällöin kaavojen (4.3) ja (4.5) perusteella.

(α±β)(α^m−1βⁿ⁻¹) =α^mβⁿ⁻¹±α^m−1βⁿ∈M (4.9) Näin ollen lemman 5.1 perusteellaα±βon algebrallinen kokonaisluku.

Lemma 4.2.Jos α on algebrallinen luku joka on n-asteisen polynomin g(x) ∈ Z[x]juuri jaa_nong(x):n korkeimman termin vakiokerroin niina_nαon algebrallinen kokonaisluku.

Todistus. Josg(x) =a0+a1x+...+anxⁿniing(x)aⁿ⁻¹_n =∑︁n

i=0aiaⁿ⁻¹⁻ⁱ_n (anx)ⁱ on kokonaislukukertoiminen mooninen polynomi jonka juuri ona_nα.

Lemma 4.3.Jos luvunθ₁n-asteinen kokonaislukukertoiminen minimipolynomi onf(x) = an(x−θ1)...(x−θn)niin luvunanθ1 minimipolynomi on kokonaislukukertoimineng(x) = (x−anθ1)...(x−anθn)missäanon polynominf(x)korkeimman asteen termin vakiokerroin.

Todistus. Koskaf(x)on kokonaislukukertoiminen niin myösg(x)on kokonaislukukertoiminen teoreeman 4.2 perusteella. g(x) on mooninen koska anθ1 on algebrallinen kokonaisluku.g(x):n juuri ona_nθ₁jotena_nθ₁:n minimipolynomir(x)jakaag(x):n eli sen juuret ovat g(x):n juurien osajoukko. Jos otetaang(x):n juurista osa pois niin saadaan minimipolynomir(anθ1) = (anθ1−anθ1)...(anθ1−anθk) =a^k_n(θ1−θ1)...(θ1−θk) = 0eli f(x)ei olekaanθ₁:n minimipolynomi. Näin ollenr(x) =g(x).

4.1 Luvun π transsendentaalisuus

Lähteistä [27] ja [28].

Teoreema 4.4.πon transsendentaalinen.

Todistus. Alkuun todistetaan tuloksia joita tarvitaan myöhemmin transsendentaalisuuden todistuksessa.

Olkoon f(x) kompleksikertoiminen polynomi ja olkoon I(t) = ∫︁t

0 e^t−uf(u)du missä t on kompleksiluku.

(26)

Osittaisintegroimalla saadaan I(t) =

∫︂ t 0

e^t−uf(u)du

=e^t(f(0)−e^−tf(t)−

∫︂ t 0

e^−uf⁽¹⁾(u)du)

=e^tf(0)−f(t) +

∫︂ t 0

e^t−uf⁽¹⁾(u)du

=e^t

n

∑︂

j=0

f^(j)(0)−

n

∑︂

j=0

f^(j)(t)

(4.10)

missän=degf jaf^(j)(x)onf:nj:s derivaatta.

Josf(x) =∑︁n

i=0a_jx^j niin määritelläänF(x) =∑︁n

j=0|a_j|x^j ja tällöin saadaan

|I(t)| ≤ |

∫︂ t 0

|e^t−uf(u)|du| ≤ |t|max(|e^t−u|)max(|f(u)|)≤ |t|e^|t|F(|t|) (4.11) Jos π on algebrallinen niin myös θ = iπ on. Olkoon r luvun θ kokonaislukukertoimisen minimipolynoming(x) aste jonka ja olkoonθ:n muut g(x)juuret eli konjugaatit luvutθ = θ1, θ2, ..., θr. Olkoonbpolynoming(x)korkeimman asteen termin vakiokerroin. Tällöinbθj

on algebrallinen kokonaisluku lemman 4.2 perusteella. Koskae^iπ=−1niin

(1 +e^θ¹)(1 +e^θ²)...(1 +e^θ^r) = 0 (4.12) Kertomalla yhtälön vasemman puolen auki saadaan2^rtermiä jotka ovat muotoae^ϕmissä ϕ=ϵ₁θ₁+...+ϵ_rθ_rjaϵ_j ∈ {0,1}kaikillaj. Olkoonϕ₁, ..., ϕ_nnollasta poikkeavat lausekkeet tätä muotoa niin että

q+e^ϕ¹ +...+e^ϕⁿ = 0 (4.13)

missäq = 2^r−n. Olkoonpiso alkuluku ja olkoon

f(x) =b^npx^p−1(x−ϕ₁)^p...(x−ϕ_n)^p (4.14) Määritellään

J =I(ϕ1) +...+I(ϕn) (4.15)

(27)

jolloin saadaan

J =

n

∑︂

k=1

I(ϕ_k)

=

n

∑︂

k=1

⎛

⎝e^ϕ^k

m

∑︂

j=0

f^(j)(0)−

m

∑︂

j=0

f^(j)(ϕ_k)

⎞

⎠

=

n

∑︂

k=1

e^ϕ^k

m

∑︂

j=0

f^(j)(0)−

n

∑︂

k=1 m

∑︂

j=0

f^(j)(ϕ_k)

= (n−2^r)

m

∑︂

j=0

f^(j)(0)−

m

∑︂

j=0 n

∑︂

k=1

f^(j)(ϕ_k)

(4.16)

missäm= (n+ 1)p−1.

Osoitetaan että f on kokonaislukukertoiminen polynomi muuttujien bϕ_i funktiona. Deri- voidaanf:ää jolloin saadaan

f^′(x) =b^np((p−1)x^p−2(x−ϕ₁)^p...(x−ϕ_n)^p+px^p−1(x−ϕ₁)^p−1...(x−ϕ_n)^p+...

+px^p−1(x−ϕ₁)^p...(x−ϕ_n)^p−1) (4.17)

Tässä kussakin termissäx:ää sisältävien termien eksponenttien summa on yhtä pienem- pi kuinf:n lausekkeessa. Nähdään että

f^(p)(x) =termejä muotoab^npcx^p⁰(x−ϕ₁)^p¹...(x−ϕ_n)^pⁿ (4.18) missäcon kokonaisluku ja eksponenttienp0, ...pnsumma onppienempi kuinf:n lausekkeessa eli(np+p−1)−p < np. Niinpä jokaisen eksponentin sisälle riittää yksibsillä

f^(p)(x) =termejä muotoacb(bx)^p⁰(bx−bϕ1)^p¹...(bx−bϕn)^pⁿ (4.19)

f^(p)(ϕ_k) =termejä kokonaisluku ·(bϕ_k)^p⁰(bϕ_k−bϕ₁)^p¹...(bϕ_k−bϕ_n)^pⁿ (4.20) eli summa on muuttujien xi = bϕi kokonaislukukertoiminen polynomi. Summa on sym-

(28)

metrinen. Esimerkiksi

s(x) =a⁴x(x−α₁)²(x−α₂)² =−2(aα₁)a³x⁴−2(aα₂)a³x⁴+ (aα₁)²a²x³+

(aα₂)²a²x³+ 4(aα₁)(aα₂)a²x³−2(aα₁)(aα₂)²ax²−2(aα₁)²(aα₂)ax²+ (aα₁)²(aα₂)²x+

a⁴x⁵

(4.21) on symmetrinenz_i=aα_i suhteen.

Siis summa ylik:n on muuttujienbϕ₁, ..., bϕ_nsymmetrinen kokonaislukukertoiminen polynomi. Luvutbϕiovat algebrallisia kokonaislukuja teoreeman 4.3 perusteella koska ne ovat algebrallisten kokonaislukujenbθ_i summia.bθ_ion algebrallinen kokonaisluku lemman 4.2 perusteella. Symmetristen polynomien peruslauseella kunR =Zsumma on muuttujien xi = bϕi elementaaristen symmetristen polynomien kokonaislukukertoiminen polynomi.

Tästä seuraa että summa on muuttujienbθ_i symmetrinen kokonaislukukertoiminen polynomi. Esimerkiksi jos bϕ₁ = bθ₁,bϕ₂ = bθ₂ ja bϕ₃ = bθ₁ +bθ₂ niin b(ϕ₁ +ϕ₂ +ϕ₃) = 2b(θ1+θ2),b²(ϕ1ϕ2+ϕ1ϕ3+ϕ2ϕ3) = b²(3θ1θ2+θ₁²+θ₂²)jab³ϕ1ϕ2ϕ3 =b³θ1θ2(θ1+θ2).

Edelleen symmetristen polynomien peruslauseella kun R = Zsaadaan että summa on muuttujieny_i =bθ_ielementaaristen symmetristen funktioidens_ikokonaislukukertoiminen polynomi. Lemman 4.3 perusteella luvunbiπminimipolynomi on(x−bθ1)...(x−bθn). Nä- mä symmetriset funktiot ovat tämän minimipolynomin(x−bθ₁)...(x−bθ_n)kertoimet jotka ovat kokonaislukuja. Täten summa on kokonaisluku.

Koskaf^(j)(ϕ_k) = 0kunj < pniin tuplasumma yhtälössä (4.16) on kokonaisluku joka on jaollinen luvulla p!. Toisaalta f^(j)(0) = 0 kun j < p−1 ja f^(j)(0) on jaollinen p!:llä kun j≥p. Myös

f^(p−1)(0) =b^np(−1)^np(p−1)!(ϕ1...ϕn)^p (4.22) on(p−1)!:n kokonaislukumonikerta joka ei ole jaollinenp:llä jospvalitaan suuremmaksi kuinbϕ1...ϕn. Jos myösp > qniinJ ̸= 0ja se on jaollinen luvulla(p−1)!jolloin saadaan

|J| ≥(p−1)!.

Toisaalta |J| ≤ ∑︁n

k=1|ϕ_k|e^|ϕ^k^|F(|ϕ_k|) ≤ c₁c^p₂ joillekin vakioille c₁ ja c₂. Tämä on ristiriita joka viimeistelee todistuksen.

4.2 Luvun e transsendentaalisuus

Lähteistä [3] ja [27].

Teoreema 4.5.eon transsendentaalinen.

(29)

Todistus. Oletetaan että

a_me^m+...+a₁e+a₀ = 0, a_i ∈Z, a₀̸= 0 (4.23) ja että

f(x) = x^p−1(x−1)^p(x−2)^p...(x−m)^p

(p−1)! (4.24)

missäpon mielivaltainen ja alkuluku. Määritellään myös

F(x) =f(x) +f^′(x) +...+f^(mp+p−1)(x). (4.25) Jos

0< x≤m (4.26)

niin

|f(x)| ≤ m^p−1m^mp

(p−1)! = m^mp+p−1

(p−1)! . (4.27)

Myös

d

dx(e^−xF(x)) =e^−x(F^′(x)−F(x)) =−e^−xf(x) (4.28) joten

aj

∫︂ j 0

e^−xf(x)dx=aj[−e^−xF(x)]^j₀ =ajF(0)−aje^−jF(j). (4.29) Kertomallae^j:llä ja ottamalla summanj= 0,1, ..., msaadaan

m

∑︂

j=0

aje^j

∫︂ j 0

e^−xf(x)dx=−

m

∑︂

j=0

mp+p−1

∑︂

i=0

ajf⁽ⁱ⁾(j). (4.30)

Seuraavaksi tutkitaanf⁽ⁱ⁾(j)arvoja. Josi < p−1niin ei yksikäänf tekijä katoa derivoin- nissa ja näin ollenf⁽ⁱ⁾(j) = 0kaikillaj. Jos i=p−1niin vain ensimmäinen termix^p−1 voi kadota missäänf⁽ⁱ⁾(j)termissä jotenf⁽ⁱ⁾(j) = 0kunj >0. Josi≥pniinf⁽ⁱ⁾(j)nollasta poikkeavat termit ovat termit joissa(x−j)^p on derivoitu pois ja tässä tapauksessa ne ovatpmonikertoja.

(30)

Erityistapauksessai=p−1jaj= 0termi ei ole jaollinen luvullap. Voidaan myös huomata ettäf^(p−1)(0) = (−1)^p...(−m)^p.Valitaanpjoka on isompi kuinmjolloin tällä tulolla ei voi olla alkulukutekijääp. Täten yllä olevan yhtälön (4.30) oikea puoli on kokonaisluku joka ei ole0. Mutta kunp→ ∞niin vasen puoli menee0:aan käyttäen arviota|f(x)|:lle mikä on ristiriita jaeon transsendentaalinen.