802656S Algebralliset luvut
Loppukoe 26.11.2012
1. Määrää algebrallisen kuntalaajennuksenK =⟨ Q,√
3,√3 3⟩
dimensio ja kanta rationaalilukujen kunnan Q suhteen. OnkoK =Q(√6
3)?
2. Määrittele kokonaisalueen D alkualkio ja jaoton alkio. Merkitään ko- konaisalueen D alkualkioiden joukkoa PD:llä ja jaottomien alkioiden joukkoa JD:llä. Osoita seuraavat tulokset:
(i) JoukkoPD on joukonJD osajoukko.
(ii) Jos D on yksikäsitteinen tekijöihin jakoalue (UFD), niin joukko JD on joukonPD osajoukko.
3. a) Olkoonb(x)jac(x)primitiivisiä polynomeja. Osoita, ettäb(x)c(x) on primitiivinen.
b) Määrää luvun α = √
7 + 4√
3 minimipolynomi Mα(x) ∈ Q(x) kunnan Q yli.
4. a) Tiedetään, että Neperin luku e on transkendenttinen. Voiko luku
√3
e+ 2e olla algebrallinen?
b) Ratkaise Diofantoksen yhtälö
y2+ 2 =x3, 2-y.
