rl. cos

(1)

Aalto-yliopisto

Mat-1.1110 Matematiikan peruskurssi C1 2. välikoe, syksy 2011, 14.11.2011 .

JoensuunBaarfJDan

Yo-kiijoituksissa hyväksytty laskin sallittu.

Tehtävät

1. Ratkaise yhtälöryhmä

2.

. 2xl

+

x2 - 5x3 1 -x1

+

x2 -h X3 - ¹^l.

X1

+

X2 +2x3 - 1.

a) Etsi sellainen 2 x2 matriisi A, että matriisitulo Axkiertää vektoria x E JR2 ,

x i=-

0,

origon ympäri 45 astetta vastapäivään ja kasvattaa vektorin pituu- den Jxl nelinkertaiseksi. _. _.

rl. cos

r.p ., ·'""'. sin tp ]· ·• .. . . . Muistutus: Tason kiertomatriisi A--:- . · . . · · , mtssa r.p on kter-

. sm r.p cos r.p · tokulma. Lisäksi sin

J =

·~ jacos

J =

~-

·

b) Osoita, että AT = A-^1,kun

3. Määritä matriisin

[ ,o o 1.]

A=

~ ri ~

ominaisarvot ja ominaisarvoja vastaavat kolme lineaarisesti riippumatonta omi- naisvektoria.

4. Muodosta sellainen 2 x 2-matriisi, jonka ominaisarvot ovat .A1 = 4,

Az

⁼ ^{0 ja}

vastaavat ominaisvektorit ovat v

1

^{= [}

^~ ·fJT

^{ja v}

2

^{= [-}

v;· ^~ ^J

^T.

rl. cos

+

+

+

0,

rl. cos

J =

J =

·

[ ,o o 1.]

~ ri ~

Az

1

~ ·fJT

2

v;· ~ J

^~ ·fJT

v;· ^~ ^J