TILTA1B Matemaattisen tilastotieteen perusteet Ratkaisut harjoitus 5

TILTA1B Matemaattisen tilastotieteen perusteet Ratkaisut harjoitus 5

49. viikko 2008

1. ^X+Y₂ ∼N(µ,³₄σ²), joten P(^X+Y₂ −µ≤1.5σ) = 2Φ(√

3)−1≈0.917 3 Cor(X, Y) = Cov(X, Y)

pV ar(X)V ar(Y) = E(XY)−µ₁µ₂

σ₁σ₂ , joten ratkaisemalla saadaan, että E(XY) =µ₁µ₂+ρσ₁σ₂

Tehtävä voidaan ratkaista myös määritelmän 7.6 tai odotusarvon määritelmän perusteella.

4 Katso ehdollisen jakauman kaavat esim. sivulta 217

a) ja b) E(Y|X= 72) = 81, V ar(Y|X = 72) = 144 eliY|X= 72∼N(81,144) c) P(Y ≤84|X= 72) = Φ(⁸⁴√⁻⁸¹

144)≈0.5987 5 a) X∼N(3.2,1.44);Y ∼N(12,16)

b) E(Y|X= 3.8) = 13.4,V ar(Y|X= 3.8) = 8.16 eli Y|X = 3.8∼N(13.4,8.16) c) E(X|Y = 10) = 2.78,V ar(X|Y = 10)≈0.7344 eliX|Y = 10∼N(2.78,0.7344) d) P(0.8< X <4.2)≈0.775

P(Y >14) = 1−P(Y ≤14) = 0.3085

e) P(X >3.2|Y = 10) = 1−P(X≤3.2|Y = 10) = 1−Φ(^3.2√^−2.78

0.7344) = 0.312 P(Y <12|X= 3.8) = Φ(¹²√^−13.4

8.16 )≈0.312 6 a) X−Y ∼N(µ₁−µ₂, σ²₁+σ²₂)

b) P(X > Y) =P(X−Y >0) =. . .= 1−Φ(−√^µ1−µ2

σ²₁+σ²₂) 7. a) f_U,V(u, v) = _2π¹ e^−12(u2+v2)

b) f_U,V(u, v) = _2π¹ e^−12(u2+v2)= √¹ 2πe⁻

u2

2 1

√2πe⁻

v2

2 =f_U(u)f_V(v)

c) Edellisen kohdan perusteella f_U,V(u, v) =f_U(u)f_V(v), joten U ja V riippumattomia.