Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

(1)

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

G. Gripenberg

TKK

8 oktober 2009

G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47

M¨angder

Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex.

A={2,4,5,8} eller B ={4,5, . . .2004}.

Man skriver x ∈A om x ¨ar ett element i A och x ∈/A om x inte ¨ar det, s˚a att tex. 2∈A, 375∈B men 6∈/ A och3∈/B.

Observera att m¨angderna{2,3,2} och{3,2}¨ar desamma eftersom de inneh˚aller samma element och upprepningar och ordningen i vilka de anges har ingen betydelse.

Ofta anges mängder som de element i en mängd A som har en viss egenskap P, dvs. B ={x ∈A:P(x)} där P(x) för varje x∈A antingen

är sant eller falskt. Tex. är {x ∈R:x ≤4} alla reella tal som är mindre eller lika med 4.

A∪B ={x :x ∈A eller x ∈B} A∩B ={x :x ∈A och x ∈B}

(2)

Induktionsaxiomet

Om P(n)är ett p˚ast˚aende som antingen är sant eller falskt för alla n≥n₀ och

P(n₀)¨ar sant

P(k+ 1)är sant ifall P(k)är sant d˚a k ≥n₀ s˚a är P(n) sant för alla n≥n₀.

Vektorer i R²,R³ och Rⁿ

Elementen i mängden R²={(x,y) :x,y ∈R}kan antingen behandlas som punkter i xy -planet eller som “vektorer” med startpunkt i origo och slutpunkt i punkten(x,y). När man behandlar s˚adana vektorer tänker man ofta att de kan förflyttas s˚a att om de har startpunkten i(x₀,y₀)s˚a kommer slutpunkten att ligga i (x₀+x,y₀+y).

*

* (x,y)

Tex. i samband med matriser är det skäl att göra skillnad mellan radvektorer

1 2 3

och kolumnvektorer



 1 2 3



.

Om man vill betona skillnaden mellan en punkt(1,2,3) iR³ och en vektor fr˚an origo till punkten s˚a kan man skriva vektorn i formeni+ 2j+ 3kd¨ar

(3)

Skal¨arprodukt, l¨angd ,vinkel

Omx= (x₁, . . . ,x_n)och y= (y₁, . . . ,y_n)¨ar vektorer i Rⁿ s˚a ¨ar x·y=x₁y₁+x₂y₂+. . .x_ny_n

|x|=√ x·x=

q

x₁²+x₂²+. . .+x_n²

cos(α) = _|x||y|^x·y där αär vinkeln mellanxoch y(förutsatt att |x|>0 och|y|>0)

xoch yvinkelr¨ata mot varandra (x⊥y) omx·y= 0.

Projektionen av vektornx p˚a vektorn y(ifall y6=0) ¨ar x·y y·yy.

Kryssprodukt av vektorer i R³

Omx= (x₁,x₂,x₃) och y= (y₁, ,y₂,y₃) s˚a ¨ar

x×y^def= (x₂y₃−x₃y₂,x₃y₁−x₁y₃,x₁y₂−x₂y₁).

Egenskaper:

x⊥x×y,y⊥x×y;

x×y=−y×x

|x×y|=|x||y|sin(α)därαär vinkeln mellanxoch ys˚a att |x×y|är arean av den parallellogram som bildas av vektorernaxoch y.

(4)

Avst˚andet fr˚an en punkt till en linje I

Om vi skall bestämma avst˚andet fr˚an punkten (med ortsvektor)atill den linje som g˚ar genom punkten (med ortsvektor)x₀ och riktning vs˚a kan vi resonera s˚ahär: Punkten (med ortsvektor) x₁ p˚a linjen som ligger närmast akan skrivas i formen x₀+tv (eftersom den ligger p˚a linjen) och är s˚adan att a−x₂ är vinkelrät mot v(eftersom den ligger närmast). Av detta f˚ar vi villkoret (a−x₀−tv)·v= 0vilket ger t = ^(a−x_v·v⁰^)·v och|tv|= ^|(a−x_|v|⁰^)·v|. Avst˚andet till linjen är allts˚a

|a−x₀−tv|=. . .= s

|a−x₀|²−|(a−x₀)·v|²

|v|²

Pythagoras teorem:

•

|a−x₀| ?

|(a−x0)·v|

|v|

a

x₀

1v

............................................................

.............................................................................

....

..

Avst˚andet fr˚an en punkt till en linje II

Vi skall igen bestämma avst˚andet fr˚an punkten (med ortsvektor) atill den linje som g˚ar genom punkten (med ortsvektor)x₀ och riktning voch ett annat sätt att resonera är följande: Vektorernaa−x₀ ochvbestämmer en parallellogram som har arean |(a−x₀)×v|. Denhär arean kan ocks˚a skrivas som “höjden g˚anger basen” där “höjden” h är det avst˚and man skall bestämma och basen är längden av vektorn v. D˚a f˚ar vi

h|v|=|(a−x₀)×v|vilket inneb¨ar att avst˚andet ¨ar

|(a−x₀)×v|

|v| .

•

• a−x₀

h a

x₀ ................ ................................................................................................................................. ................................................

.................................................................................................

v

....

..

(5)

Komplexa tal

Reell och imagin¨ar del, konjugering, absolutbelopp z =x+ iy =x+yi, x,y ∈R, i² =−1

C¨ar m¨angden av komplexa tal Reell del:Re (x+ iy) =x

Imagin¨ar del:Im (x+ iy) =y s˚aIm (z)¨ar allts˚a ettreellttal

Konjugering: x+ iy =x −iy (=x+ i(−y))

Absolutbelopp (eller modul)|x+ iy|= mod (x + iy) =p

x²+y² R¨akneregler

|z|² =zz, z₁+z₂=z₁+z₂, z₁−z₂=z₁−z₂ z =z, z₁z₂=z₁ z₂,

z1

z2

= ^z_z¹

2

|z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂|, ^˛˛|z1| − |z2|˛

˛≤ |z1−z2|

Exempel

Vid addition och subtraktion av komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imagin¨ara delarna var f¨or sig s˚a att tex.

(8 + 2i) + (−3−4i) = (8 + (−3)) + (2 + (−4))i = 5−2i.

Vid multiplikation g¨aller det bara att komma ih˚ag att i²=−1:

(8 + 2i)(−3−4i) = 8·(−3) + 8·(−4)i + 2·(−3)i + 2·(−4)i²

=−24−32i−6i−8·(−1) =−16−38i.

Division av komplexa tal kan räknas s˚a att man förlänger med nämnarens konjugat s˚a att man i nämnaren f˚ar ett reellt tal, tex.:

8 + 2i

−3−4i = (8 + 2i)(−3 + 4i)

(−3−4i)(−3 + 4i) = −24 + 32i−6i + 8i² (−3)²−(4i)²

=−24−8 + 26i

9−16i² = −32 + 26i

9 + 16 =−32 25 +26

25i.

(6)

Kommentar

Ett annat, formellt mera korrekt, sätt att definiera de komplexa talen är att inte alls (explicit) tala om den imaginära konstanten i utan tala om punkter (eller vektorer) (x,y) i planetR² och definieraräkneoperationer för dem som motsvarar räkneoperationerna för vanliga reella tal. Addition

är inget problem eftersom det enda förnuftiga är att definiera (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (x₁+x₂,y₁+y₂),

vilket ¨ar addition av vektorer. Ett viktigt villkor som multiplikationen skall uppfylla ¨ar att produkten av tv˚a ”punkter” endast f˚ar vara ”noll” (dvs.

(0,0)) om ˚atminstone den ena faktorn ¨ar ”noll”. Detta uppn˚as om man definierar

(x₁,y₁)·(x₂,y₂) = (x₁x₂−y₁y₂,x₁y₂+x₂y₁) och man kan d˚a visa att ”alla r¨akneregler g¨aller”.

Argument eller fasvinkel

IfallRe (z) =x och Im (z) =y s˚a ¨ar argumentetθ= arg(z) av z

θ=











arctany x

(+2kπ), x >0, arctany

x

+π (+2kπ), x <0, y

|y| π

2 ^(+2kπ), x = 0

• x + iy

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

...

.....

....

.. .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . .. .

. θ

atan2

I de flesta programmeringsspr˚ak finns en funktionatan2som r¨aknar ut det argument av x+ iy som ligger i intervallet (−π, π]med kommandot atan2(y,x). Observera att i tex. Excel och OOCalc skall man skriva atan2(x;y) (elleratan2(x,y)) dvs. byta ordning p˚a argumenten.

(7)

Pol¨ar framst¨allning

z =r(cos(θ) + i sin(θ)) =re^iθ, r ≥0

⇔ |z|=r ocharg(z) =θ

⇔ Re (z) =rcos(θ) och Im (z) =rsin(θ) Kommentar

Om x är ett reellt tal kan man skriva x =|x|sign (x) vilket motsvarar den polära framställningen z =|z|eîθ med den skillnaden att teckenfunktionen sign (x)bara f˚ar tv˚a värden (eftersom man inte behöver bry sig om sign (0)).

Exempel

arg(−3) =?

Eftersom den reella delen ¨ar negativ ¨ar argumentent arctan(₋₃⁰ ) +π (+2kπ)=π (+2kπ).

arg(2−2i) =?

Argumentet ¨ar arctan(⁻²₂ ) (+2kπ)=−^π₄ (+2kπ). arg(−3e^{−i 0.1234}) =?

Argument ¨ar arg(−3) + arg(e^{−i 0.1234}) =π−0.1234 (+2kπ).

(8)

R¨akneregler

|z₁z₂|=|z₁||z₂|, arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

|zⁿ|=|z|ⁿ,

z₁ z₂

= |z₁|

|z₂| arg (zⁿ) =narg(z), arg

z₁ z₂

= arg(z₁)−arg(z₂)

z₁=z₂ ⇔Re (z₁) = Re (z₂), Im (z₁) = Im (z₂)

⇔ |z₁|=|z₂|, θ₁ =θ₂+ 2kπ d¨ar θ₁ = arg(z₁) och θ₂ = arg(z₂)

Exponentfunktionen

exp(x+ iy) = e^x+iy = e^x cos(y) + i sin(y) e^z¹^+z² = e^z¹e^z²

|e^z|= e^{Re (z)}, arg(e^z) = Im (z) e^z 6= 0, z ∈C,|e^iθ|= 1 θ∈R d’Moivres formel

cos(nt) + i sin(nt) = e^int = e^itn

= cos(t) + i sin(t)n

(9)

Logaritmfunktionen z = ln(w)⇔w = e^z Om z =x+ iy s˚a ¨ar |e^z|= e^x och arg(e^z) =y och om w = e^z m˚aste|w|=|e^z|= e^x och arg(w) + 2kπ = arg(e^z) =y

dvs. x = ln(|w|) s˚a att z = ln(w) = ln(|w|) + i(arg(w) + 2kπ).

För att f˚a en ”ordentlig” logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definieraLn(w) = ln(|w|) + iArg(w)därArg(w)

¨

ar argumentet valt s˚a att−π <Arg(z)≤π s˚a att tex.ln(|w|) egentligen ¨arLn(|w|)

R¨otter:z =w¹ⁿ ⇔w =zⁿ

Om z =|z|eîϕ, dvs. ϕ=arg(z) s˚a är |zⁿ|=|z|ⁿ ocharg(zⁿ) =nϕ och om w =zⁿ s˚a är|w|=|z|ⁿ och arg(w) + 2kπ =nϕs˚a att om arg(w) =θs˚a är

|z|=|w|¹ⁿ och ϕ= ^θ_n +^2kπ_n dvs.

z =w¹ⁿ =√ⁿ w =pⁿ

|w|

cos

θ+2kπ n

+ i sin

θ+2kπ n

,

där k = 0,1, . . . ,n−1eftersom man f˚ar samma värden för k+n som för k.

(10)

Exempel

L˚at w = 1 + i. Best¨am den l¨osning till ekvationen z⁴ =w , vars argument ligger i intervallet [π,³₂π].

L¨osning: Absolutbeloppet av talet w ¨ar |w|=√

1²+ 1² =√

2≈1.4142, och w :s argument ¨ararctan(¹₁) = ^π₄. Ifall|z|=r ocharg(z) =ϕ, s˚a ¨ar

|z⁴|=r⁴ och arg(z⁴) = 4ϕ. Om nu z⁴=w s˚a är r⁴ =|w|=√ 2och 4ϕ= ^π₄ + 2kπ där k är ett heltal. Av detta följer att r =√⁸

2≈1.0905 och ϕ= ₁₆^π +^π₂k= 0.19635 + 1.5708k. Nu f˚ar man olika l¨osningar d˚a

k = 0,1, . . . ,3 eftersom man d˚a tex. k= 4 f˚ar samma tal som d˚a k= 0 osv. Eftersom argumenten för dehär lösningarna är ₁₆^π, ₁₆^π +^π₂, ₁₆^π +π och

π

16+^3π₂ s˚a ser vi att den l¨osning vars argument ligger i intervallet[π,³₂π]

f˚as d˚a k = 2och ¨ar allts˚a z₂ = 1.0905

cos(0.19635 + 1.5708·2) + i sin(0.19635 + 1.5708·2)

=−1.0696−i 0.21275.

Matriser, indexering

A=







A(1,1) A(1,2) . . . A(1,n) A(2,1) A(2,2) . . . A(2,n)

... ... ... ...

A(m,1) A(m,2) . . . A(m,n)







= [A(j,k)] = [a_jk]

¨

ar en m×n-matris.

A(j,:)¨ar rad j och A(:,k) ¨ar kolumn k i matrisen A

(11)

R¨akneoperationer

Transponering: B=A^T⇔B(j,k) =A(k,j) Summa A+B =C : A, B och C m×n-matriser, C(j,k) =A(j,k) +B(j,k)

Multiplikation med en skal¨ar,λA=C : C(j,k) =λA(j,k) Produkt C =AB: A ¨ar en m×n-, B en n×p- och C en m×p-matris, C(j,k) =Pn

q=1A(j,q)B(q,k)

Hermiteskt konjugat, A^T=C : C(j,k) =A(k,j), dvs. transponering och komplex konjugering

Obs!

(λA+µB)^T=λA^T+µB^T,

(λA+µB)^T=λA^T+µB^T.

Egenskaper hos matrisprodukten (AB)^T=B^TA^T

A(BC) = (AB)C ifall A är m×n, B är n×p och C är p×q I allmänhet är AB 6=BA

N˚agra definitioner

0_m×n eller endast 0är en m×n-matris, vars alla element är0 Im×m eller vanligtvis endast I är en m×m-matris, vars alla diagonalelement är 1, dvs.

I(j,k) =

(1, ifall j =k, 0, ifall j 6=k.

AI =IA=A

(12)

Observera

Elementen i en matris kan ocks˚a vara matriser, tex.:

En m×n matris kan behandlas som en m×1 matris vars element ¨ar 1×n matriser, dvs. radvektorer.

En m×n matris kan behandlas som en1×n matris vars element ¨ar m×1matriser, dvs. (kolumn)vektorer.

Produkten av en matris och en vektor:

A





 x₁ x₂ ... x_n







=

A(:,1). . .A(:,n)





 x₁ x₂ ... x_n







=x₁A(:,1) +. . .+x_nA(:,n)

s˚a AX ¨ar allts˚a en linj¨ar kombination av kolumnvektorerna i A

Olika typer av matriser En n×n matris A ¨ar

kvadratisk

inverterbar eller regulj¨ar ifall det finns en (invers) matris A⁻¹ s˚a att AA⁻¹ =A⁻¹A=I

men det r¨acker att kontrollera att AA⁻¹=I eller A⁻¹A=I en diagonalmatris ifall A(j,k) = 0 d˚a j 6=k

en övertriangulär matris ifall A(j,k) = 0d˚a j>k en undertriangulär matris ifall A(j,k) = 0d˚a j <k symmetrisk ifall A^T=A

skevsymmetrisk ifall A^T=−A

ortogonal ifall A^TA=AA^T=I , dvs. A^T=A⁻¹ hermitesk ifall A^T=A

skevhermitesk ifall A^T=−A

(13)

(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹

Om A är kvadratisk s˚a är A⁰=I och d˚a n>0är

I Aⁿ=AA. . .A

| {z }

n

I A⁻ⁿ=A⁻¹A⁻¹. . .A⁻¹

| {z }

n I (Aⁿ)⁻¹=A⁻ⁿ

I AⁿA^m=A^n+m och(Aⁿ)^m=A^nm

I men i allm¨anhet ¨ar(AB)ⁿ6=AⁿBⁿ

Punkt- eller skal¨arprodukt som matrisprodukt

Observera att omx= (x₁, . . .x_n) och y= (y₁, . . . ,y_n) s˚a ¨ar

x·y=x₁y₁+. . .x_ny_n =X^TY d¨ar X =





 x₁

... x_n





 och Y =





 y₁

... y_n





.

Linj¨ara ekvationssystem

AX =B

Kan l¨osas med Gauss metod d¨ar man genom radoperationer omvandlar koefficientmatrisen till trappstegsform.

Gauss algoritm Radopertioner:

Addera en rad multiplicerad med ett tal till en annan rad.

L˚at tv˚a rader byta plats.

Multiplicera en rad med ett tal som inte ¨ar 0.

Obs

Algortimen fungerar för det ekvationssystem man f˚ar genom att tillämpa en eller flera radopertaioner har samma lösningar som det ursprungliga.

Dessutom kan man med liknande radoperationer komma tillbaka till utg˚angsl¨aget.

(14)

M˚als¨attning: Att f˚a matrisen i “trappstegsform”

En m×n matris A ¨ar i trappstegsform om av villkoret A(j,k)6= 0 och A(j,q) = 0d˚a 1≤q <k f¨oljer att

A_p,q = 0 d˚a j<p≤m och1≤q≤k,

dvs. d˚a det till vänster och nedanför det första elementet p˚a en rad som inte är 0bara finns nollor.

Ibland (tex. i Lay) kr¨avs det av trappstegsformen att alla rader med bara nollor “finns l¨angst ner”.

Pivotelement

Elementet (j,k) i en matris i trappstegsform ¨ar ettpivotdelementifall A(j,k)6= 0 och A(j,q) = 0d˚a 1≤q <k

dvs om det är det första elementet p˚a sin rad som inte är noll.

Matrisen B är en trappstegsform av matrisen A om B är i trappstegsform och B kan erh˚alals fr˚an A genom att tillämpa radoperationerna i Gauss algoritm.

L¨osning av ett ekvationssystem i trappstegsform:

Om det inte finns n˚agot pivot-element i kolumn k s˚a kan variabeln x_k v¨aljas fritt.

Om elementet(j,k) är ett pivot-element och variablerna x_k+1, . . . ,x_n redan har lösts ur systemet s˚a kan man lösa variablen x_k med hjälp av ekvation j .

Om det i ekvationssystemet finns en ekvation i formen 0x₁+ 0x₂+. . .0x_n =a d¨ar a6= 0, s˚a har ekvationssystemet ingen l¨osning.

(15)

Partiell pivotering

Man byter rader s˚a att absolutbeloppet av pivotelementet alltid blir s˚a stort som m¨ojligt.

Invers matris med Gauss metod

Om man vill räkna ut A⁻¹ d˚a A är en given m×m- matris bildar man först en ny matris [A,I]genom att lägga en enhetsmatris till höger om A och sedan tillämpar man Gauss algoritm s˚a att pivotelementen blir1 och man har nollor ocks˚a ovanför pivotelementen. Om detta lyckas s˚a att man f˚ar en enhetsmatris till vänster s˚a har man inversen till höger dvs. matrisen har formen [I,A⁻¹]. Om A inte är inverterbar kan man inte ˚astadkomma en enhetsmatris till vänster.

Rangen av en matris

Rangen av en matris är antalet pivot-element i dess trappstegsform (och därmed ocks˚a dimensionen av det vektorrum som spänns upp av

kolumnvektorerna i matrisen och dimensionen det vektorrum som sp¨anns upp av radvektorerna i matrisen).

Determinanter det

a

=a det

a b c d

=

a b c d

=ad−bc

A(1,1) A(1,2) A(1,3) A(2,1) A(2,2) A(2,3) A(3,1) A(3,2) A(3,3)

=A(1,1)

A(2,2) A(2,3) A(3,2) A(3,3)

−A(1,2)

A(2,1) A(2,3) A(3,1) A(3,3)

+A(1,3)

A(2,1) A(2,2) A(3,1) A(3,2) det(A) =

m

X

k=1

(−1)^k+jA(j,k) det

+ A

j,k

=

m

X

j=1

(−1)^k^+jA(j,k) det

+ A

j,k

d¨ar +A

j,k

¨ar matrisen A fr˚an vilken man tagit bort rad j och kolumn k.

(Observera att det allm¨anna fallet ¨ar en blandning av en definition och

(16)

Egenskaper hos determinanter det(A^T) = det(A).

det(AB) = det(A) det(B).

En m×m-matris A ¨ar inverterbar (dvs. A⁻¹ existerar) om och endast omdet(A)6= 0.

Determinanten av en över- eller undertriangulär kvadartisk matris är produkten av elementen p˚a diagonalen.

det(I) = 1

Arean av en parallellogram ¨ar absolutbeloppet av determinanten av den matris som har (de icke-parallella) sidovektorerna som rader eller kolumner.

Volymen av en parallellepiped ¨ar absolutbeloppet av determinanten av den matris som har (de icke-parallella) kantvektorerna som rader eller kolumner.

Kryssprodukt som determinant Omaoch b¨ar vektorer i R³ s˚a ¨ar

a×b=

i j k

a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃

=i

a₂ a₃ b₂ b₃

−j

a₁ a₃ b₁ b₃

+k

a₁ a₂ b₁ b₂

= a₂·b₃−a₃·b₂

i− a₁·b₃−a₃·b₁

j+ a₁·b₂−a₂·b₁ k

(17)

Invers medhjälp av determinanter Om A är en inverterbar m×m-matris s˚a är

A⁻¹(j,k) = (−1)^j^+k det(A) det(+A

k,j

)

d¨ar +A

j,k

¨ar matrisen A fr˚an vilken man tagit bort rad j och kolumn k.

(Observera transponeringen!) Obs!

Formeln ovan kan vara nyttig i vissa fall, men den är inte användbar för numeriska räkningar med m ens m˚attligt stor. För m= 2kan däremot formeln

a b c d

−1

= 1

ad−bc

d −b

−c a

vara beh¨andig.

Determinanter med Gauss algoritm:

Radoperationer p˚a en kvadratisk matris ha f¨oljande effekt p˚a determinanten: Om B f˚as fr˚an A genom att

addera en rad multiplicerad med ett tal till en annan rad s˚a ¨ar det(B) = det(A)

tv˚a olika rader byter plats s˚a ¨ardet(B) =−det(A) en rad multipliceras med c s˚a ¨ar det(B) =cdet(A)

Om matrisen B, som ¨ar i trappstegsform, har erh˚allits ur m×m-matrisen A s˚a att man gjort k radbyten och aldrig multiplicerat en rad med ett tal s˚a ¨ar

det(A) = (−1)^kdet(B) = (−1)^kB(1,1)·B(2,2)·. . .B(m,m).

Obs!

Determinanter av 2×2 ch3×3matriser kan man ofta behöva räkna ut (b˚ade numeriskt och symboliskt) men determinanter av m×m matriser där m>>3behövs mera sällan och hela determinantbegreppet är

(18)

Cramers regel

A(1,1)x₁ +A(1,2)x₂ . . . +A(1,m)x_m = b₁ A(2,1)x₁ +A(2,2)x₂ . . . +A(2,m)x_m = b₂

... ... . .. ... ...

A(m,1)x₁ +A(m,2)x₂ . . . +A(m,m)x_m = b_m

⇒ x_j = det(C_j)

det(A), j = 1,2, . . . ,m,

d¨ar C_j ¨ar matrisen A i vilken kolumn j har ersatts med kolumvektorn b₁ . . . b_mT

. Obs!

Cramers regel kan vara nyttig d˚a m är 2eller kanske3 och d˚a man inte räknar numeriskt och istället vill ha en “enkel” formel, men i andra fall kan den vara mera till skada än till nytta.

Vektorrum

Ett vektorrum W är en mängd s˚adan att tv˚a element (vektorer) i W kan adderas och varje element (vektor) kan multipliceras med ett tal (reellt tal i ett reellt vektorrum, komplext i ett komplext) och ”alla förnuftiga räkneregler gäller”.Tex. Rⁿ={(x₁, . . . ,x_n) :x_j ∈R}och R^n×1 =











 x₁

... x_n





:x_j ∈R







¨ar (reella) vektorrum.

Delrum

V ¨ar ett delrum av vektorrummetW ifall0∈ V ochαu+βv∈ V d˚a u,v ∈ V

(19)

Linj¨art oberoende

Vektorerna v₁,v₂, . . . ,v_m ¨ar linj¨art oberoendeifall

α₁v₁+α₂v₂+. . .+α_mv_m=0⇒α₁=α₂=. . .=α_m = 0 dvs.α₁v₁+α₂v₂+. . .+α_mv_m=0 endastd˚aα₁ =α₂ =. . .=α_m= 0.

Linj¨art oberoende kolumnvektorer

Kolumnvektorerna V₁, . . . ,V_m∈R^n×,1 är linjärt oberoende om och endast om den endalösning till ekvationssystemet AX = 0är X = 0där A är en n×m matris s˚a att A(:,j) =V_j, j = 1, . . .m.

Linj¨art beroende

Vektorerna v₁,v₂, . . . ,v_m är linjärt beroendeifall de inteär linjärt oberoende, dvs. (˚atminstone) en av vektorerna kan skriva som en linjär kombination av de andra, dvs.

v_j =β₁v₁+. . . β_j−1v_j−1+β_j₊₁v_j+1+. . .+β_mv_m.

Bas

Vektorerna v₁,v₂, . . . ,v_m bildar en bas för vektorrummet W dvs. de är basvektorer ifall de är tillräckligt men inte för m˚anga:

varje vektor iW kan skrivas i formen w=β₁v₁+β₂v₂+. . .+β_mv_m v₁,v₂, . . . ,v_m ¨ar linj¨art oberoende (vektorer iW)

⇔

varje vektorw iW kan skrivas p˚a ett entydigt s¨att i formen w=β₁v₁+β₂v₂+. . .+β_mv_m.

(20)

Dimension

Dimensionen av ett vektorrumW ¨ar antalet vektorer i n˚agon (och vilket man kan visa, d¨armed varje) bas.

Koordinater

Om(v₁,v₂, . . . ,v_m) ¨ar en bas i W och w=β₁v₁+β₂v₂+. . .+β_mv_m s˚a

¨ar





 β₁

... β_m





koordinaterna f¨orwi basen (v₁,v₂, . . . ,v_m).

Basbyte

Antag att(u₁,u₂, . . . ,u_m) och(v₁,v₂, . . . ,v_m) ¨ar baser f¨orW s˚a att u₁ u₂ . . . u_m

=

v₁ v₂ . . . v_m A

Om

α₁ . . . α_mT

¨ar koordinaterna f¨orw i basen (u₁,u₂, . . . ,u_m) och om

β₁ . . . β_mT

är koordinaterna förw i basen(v₁,v₂, . . . ,v_m) s˚a är

v₁ . . . v_m





 β₁

... β_m





=w=

u₁ . . . u_m





 α₁

... α_m







=

v₁ . . . v_m A





 α₁

... α_m





 ⇒





 β₁

... β_m





=A





 α₁

... α_m







(21)

Ett exempel p˚a basbyte

Fr˚aga: Vad f¨or slags yta (om alls n˚agon) beskriver ekvationen 8xy + 6yz= 1?

Ledning: V¨alj som nya basvektorer vektorerna u₁= ¹₅





−3 0 4



,

u₂ = ¹

5√ 2



 4 5 3



och u₃= ¹

5√ 2





−4 5

−3



.

Standardbasvektorerna ¨ar f¨orst˚as v₁ =i=



 1 0 0



,v₂ =j=



 0 1 0



och

v₃ =k=



 0 0 1



s˚a att

u₁ u₂ u₃

=

i j k







−³₅ ⁴

5√

2 − ⁴

5√ 2

0 ^√¹

2

√1 4 2

5 3 5√

2 − ³

5√ 2





.

forts.

Om nu



 x y z



¨ar koordinaterna f¨or en punkt (eller vektor) i(i,j,k)basen

och



 x⁰ y⁰ z⁰



¨ar koordinaterna i den nya basen(u₁,u₂,u₃) s˚a g¨aller



 x y z



=







−³₅ ⁴

5√

2 − ⁴

5√ 2

0 ^√¹

2

√1 4 2

5 3 5√

2 − ³

5√ 2









 x⁰ y⁰ z⁰



.

Om vi nu sätter in dessa uttryck i ekvationen s˚a f˚ar vi efter diverse räkningar (som är onödiga om man vet hur u₁,u₂ och u₃ valts)

1 = 8xy+ 6yz= 5y⁰²−5z⁰², vilket visar att det ¨ar fr˚agan om en hyperbolisk cylinder.

(22)

Egenv¨arden

Ifall AX =λX och X 6=0s˚a ärλ ett egenvärde till A och X är en egenvektor.

Karakteristiska polynom Om A ¨ar en m×m-matris s˚a ¨ar

det(A−λI)är A:s karakteristiska polynom λett egenvärde till A⇔det(A−λI) = 0 Linjärt oberoende egenvektorer

Om matrisen A har egenvärdenaλ₁, λ₂, . . . λ_m ochλ_i 6=λ_j d˚a i 6=j s˚a är det motsvarande egenvektorerna X₁,X₂, . . .X_m linjärt oberoende.

Egenv¨arden till symmetriska matriser

Egenvärden till en symmetrisk (och reell) matris är reella och egenvektorer (som hör till olika egenvärden)är ortogonala mot varandra.

Diagonalisering

Om A är en n×n-matris med egenvärdenλ₁, λ₂, . . . , λ_n och egenvektorer X₁,X₂, . . . ,X_n och om matrisen V , där V(:,j) =X_j, är inverterbar dvs., egenvektorerna är linjärt oberoende s˚a är

V⁻¹AV =







λ₁ 0 . . . 0

0 λ₂ . . . 0

... ... . .. 0

0 0 . . . λ_n







A=V







λ₁ 0 . . . 0

0 λ₂ . . . 0

... ... . .. 0

0 0 . . . λ_n





 V⁻¹

A^k =V





λ^k₁ 0 . . . 0 0 λ^k₂ . . . 0

.. .. . ..





V⁻¹

(23)

Simil¨ara matriser

Om A ¨ar en m×m-matris och S ¨ar en inverterbar m×m-matris s˚a har matriserna

A och S⁻¹AS samma egenv¨arden.

Matriserna A och S⁻¹AS s¨ags vara simil¨ara.

Egenvärden för triangulära matriser

Om A är en över- eller undertriangulär kvadratisk matris (isynnerhet en diagonal matris) s˚a är A:s egenvärden elementen p˚a diagonalen i A.

Egenv¨arden och determinanten

Om A är en m×m-matris med egenvärdenλ₁, λ₂, . . . , λ_m s˚a gäller det(A) =λ₁·λ₂·. . .·λ_m.

Ett exempel p˚a basbyte, egenv¨arden och egenvektorer Fr˚aga: Vad f¨or slags yta (om alls n˚agon) beskriver ekvationen 8xy + 6yz= 1?

Uttrycket8xy + 6yz kan skrivas i formen X^TAX d¨ar X =



 x y z



och

A=





0 4 0 4 0 3 0 3 0



. Den h¨ar matrisen har egenv¨ardena0,5 och−5med

motsvarande egenvektoreru₁ = ¹₅





−3 0 4



,u₂= ¹

5√ 2



 4 5 3



och

u₃ = ¹

5√ 2





−4 5

−3



. Här har egenvektorerna valts s˚a att de alla har längden 1 och eftersom matrisen A är symmetrisk är de vinkelräta mot varandra.

Detta inneb¨ar att om vi bildar matrisen U med vektorernau_j som

T −1

(24)

forts.

Detta betyder i sin tur att U^TAU =





0 0 0 0 5 0 0 0 −5



s˚a att om vi v¨aljer nya

koordinater s˚a att X =



 x y z



=U



 x⁰ y⁰ z⁰



=UX⁰ d˚a blir

8xy+6yz=X^TAX = (X⁰)^TU^TAUX⁰ = (X⁰)^T





0 0 0 0 5 0 0 0 −5



X⁰ = 5y⁰²−5z⁰². Observera att vi inte behöver räkna ut egenvektorerna för att se att

ekvationen i det nya koordinatsystemet är 5y⁰²−5z⁰² = 1, men för att veta i vilken riktning de nya koordinataxlarna g˚ar behövs de nog.