Interpolation med ¨andliga Blaschkeprodukter

Blaschkeprodukter

Niklas Palmberg, 2002 Pro Gradu-avhandling, 13 sv

Matematiska institutionen vid ˚ Abo Akademi

Handledare: Mikael Lindstr¨om

1 Inledning 1 2 Introducerande definitioner och satser 2

2.1 M¨obiustransformationer . . . 3

2.2 Blaschkeprodukter . . . 6

2.3 Sammanh¨angande m¨angder . . . 9

2.4 Konvexa m¨angder . . . 10

3 Tv˚a interpolationsresultat 18 3.1 Ett konstruktivt bevis av Younis . . . 18

3.1.1 Numeriska exempel . . . 27

3.1.2 Diskussion kring resultatet . . . 32

3.2 Ett icke–konstruktivt bevis av Jones och Ruscheweyh . . . 33

3.2.1 Numeriskt exempel . . . 44

3.2.2 Diskussion kring resultatet . . . 47

4 Till¨ampning inom reglertekniken 48 4.1 Digitala filter . . . 48

4.2 Frekvenstransformationer . . . 49

4.3 Frekvensomvandlingsproblemet . . . 50

4.4 Diskussion . . . 51

5 Avslutning 53

Inledning

Inom reglertekniken har man l¨ange f¨ors¨okt l¨osa ett frekvensomvandlingsproblem som har att g¨ora med tillverkningen av digitala filter. Sj¨alva problemet ¨ar att man vill hitta en funktion med vissa egenskaper, som avbildar ett ¨andligt antal olika punkter p˚a enhetsranden, p˚a samma antal godtyckliga punkter p˚a enhet- sranden. Om man kunde hitta en allm¨an l¨osning till detta problem, s˚a kunde man mata in funktionen i ett datorprogram och l˚ata datorn sk¨ota resten. Pro- grammet kunde t.ex. fungera enligt f¨oljande: f¨orst skriver man in de punkter p˚a enhetsranden som skall avbildas och sedan de punkter p˚a enhetsranden som man vill f˚a fram efter avbildningen. D¨arefter skulle programmet ber¨akna den s¨okta funktionen och anv¨anda funktionen f¨or att konstruera ett digitalt filter. I denna avhandling kommer vi att behandla tv˚a interpolationsresultat, som direkt har att g¨ora med frekvensomvandlingsproblemet. Det f¨orsta ¨ar fr˚an ˚ar 1980 och ¨ar ett konstruktivt bevis p˚a att en funktion med de efterfr˚agade egenskaperna g˚ar att framst¨alla. Gradtalet p˚a funktionen blir p˚a detta s¨att maximalt n²−n. Det andra resultatet, fr˚an ˚ar 1987, ¨ar av icke–konstruktiv karakt¨ar och bevisar att man alltid kan hitta en funktion med de s¨okta egenskaperna av den maximala graden n−1. Det hela kommer att presenteras ur ett matematiskt perspektiv, d.v.s. sj¨alva teorin om tillverkningen av digital filter presenteras enbart mycket kortfattat efter sj¨alva interpolationsresultaten. Resultaten ¨ar ¨aven matematiskt mycket intressanta och genomg˚as d¨arf¨or mycket noggrant. Syftet med denna avhandling ¨ar att redog¨ora f¨or resultaten p˚a ett l¨attf¨orst˚aeligt s¨att. Avhandlin- gen inleds d¨arf¨or med ett kapitel med s˚adana resultat som beh¨ovs f¨or att man skall kunna ta del av interpolationsresultaten.

1

Introducerande definitioner och satser

I detta kapitel introduceras grundl¨aggande satser och definitioner som beh¨ovs i ett senare skede. F¨orutom M¨obiustransformationer¹ [9] och Blaschkeproduk- ter² [5] kommer vi ¨aven att behandla b˚ade grundl¨aggande och mer avancerade resultat om sammanh¨angande och konvexa m¨angder [4]. Resultaten som presen- teras utg¨or en grund f¨or f¨orst˚aelsen av kommande kapitel. En del bevis utel¨amnas och ist¨allet anges var i k¨allitteraturen beviset kan hittas. Bevisen som utel¨amnas saknar i s˚adana fall betydelse f¨or f¨orst˚aelsen av de centrala resultaten i denna avhandling. Denna princip g¨aller i alla kapitel. F¨oljande beteckningar anv¨ands genomg˚aende i denna avhandling:

R = M¨angden av de reella talen.

C = M¨angden av de komplexa talen.

K = R eller C.

D = Det inre av enhetsskivan, d.v.s. |z|<1 (en ¨oppen m¨angd).

D = Det slutna h¨oljet av D, d.v.s. |z| ≤1 (en sluten m¨angd).

∂D = Enhetsranden, d.v.s.|z|= 1.

1August Ferdinand M¨obius (1790–1868), tysk matematiker och astronom.

2Wilhelm Blaschke (1885–1962), ¨osterrikisk matematiker.

2

2.1 M¨ obiustransformationer

Definition 2.1 Rationella funktioner av f¨orsta ordningen kallas M¨obiustrans- formationer (eller linj¨ara transformationer). Dessa ¨ar av formen

M(z) = az+b

cz+d, (ad−bc6= 0), d¨ar a, b, c och d ¨ar komplexa konstanter.

Anm¨arkning 2.2 Om ad−bc= 0, s˚a reduceras uttrycket till en konstant.

Sats 2.3 En rationell funktion antar i det utvidgade komplexa talplanet varje v¨arde exakt s˚a m˚anga g˚anger som funktionens ordningstal anger.

BEVIS: Se [9], s. 43.

Anm¨arkning 2.4 Varje M¨obiustransformation antar med andra ord varje v¨arde exakt en g˚ang, d.v.s. M¨obiustransformationer ¨ar bijektiva i det utvidgade kom- plexa talplanet. V¨ardet ∞ antas i punkten z = −^d_c, som ¨ar en pol av multi- pliciteten 1 och v¨ardet ^a_c antas i punktenz =∞.

Sats 2.5 Inversa funktionen till en M¨obiustransformation ¨ar ocks˚a en M¨obius- transformation.

BEVIS: Inversen till funktionen M(z) i Definition 2.1 blir M⁻¹(z) = −dz+b

cz−a .

Man ser nu l¨att att funktionen M⁻¹(z) ¨ar en M¨obiustransformation.

Sats 2.6 M¨obiustransformationen M(z) i Definition 2.1 ¨ar analytisk i omr˚adet C\ {−^d_c} och avbildar detta omr˚ade konformt p˚a omr˚adet C\ {^a_c}.

BEVIS: Se [9], s. 46–47.

Sats 2.7 Det existerar en och endast en M¨obiustransformation som avbildar tre givna punkter z₁, z₂, z₃ i tre givna punkter w₁, w₂, w₃.

BEVIS: Se [9], s. 47.

Definition 2.8 Med begreppet cirkel avses en cirkel eller en r¨at linje, eftersom en r¨at linje kan anses vara en cirkel med o¨andligt stor radie. Ett cirkelomr˚ade

¨ar ett omr˚ade som begr¨ansas av en cirkel.

Anm¨arkning 2.9 Ett halvplan ¨ar s˚aledes ett cirkelomr˚ade.

Sats 2.10 (M¨obiustransformationers cirkelinvarians)Vid en M¨obiustrans- formation avbildas cirklar p˚a cirklar, medan omr˚adet innanf¨or en cirkel avbildas antingen p˚a omr˚adet innanf¨or bildcirkeln eller p˚a omr˚adet utanf¨or denna.

BEVIS: Se [9], s. 52, 59–61.

Avslutningsvis skall vi ¨annu betrakta n˚agra speciella M¨obiustransformatio- ner, n¨amligen en likformighetsavbildning d¨ar avbildningen ¨ar en rotation kring origo med rotationsvinkelnθ och s˚adana M¨obiustransformationer, d¨arDoch ∂D avbildas p˚a sig sj¨alva.

Lemma 2.11 De analytiska funktionerna M_θ(z) = e^iθz ¨ar M¨obiustransforma- tioner, som avbildar en cirkel p˚a sig sj¨alv genom att alla v¨arden roteras motsols med θ grader.

BEVIS: Om vi skriver z = re^iγ f˚ar vi att Mθ(z) = e^iθre^iγ = re^i(γ+θ), d.v.s. en rotation med θ grader motsols. Genom att v¨alja b =c = 0, d = 1 och a =e^iθ i Definition 2.1 ser vi att M_θ(z) =e^iθz ¨ar en M¨obiustransformation.

Lemma 2.12 Varje M¨obiustransformation, som avbildar D p˚a sig sj¨alv, ¨ar av formen

M(z) =λ z−z₁ 1−z1z, d¨ar λ, z₁ ∈C, |z₁|<1 och |λ|= 1.

BEVIS: Antag att M¨obiustransformationen M avbildar D p˚a sig sj¨alv. Enligt Sats 2.3 och Anm¨arkning 2.4 vet vi att det finns en punkt z₁ som M avbildar p˚a punkten M(z₁) = 0. Enligt antagandet m˚aste det g¨alla att|z₁|<1. Punkten

1

z1 ¨ar spegelpunkt till z1 med avseende p˚a |z| = 1, d.v.s. M(_z¹₁) = ∞ (mera om spegelpunkter i [9], s. 52–56). Sats 2.10 ger att M avbildar enhetsranden∂D p˚a sig sj¨alv, d.v.s. att M(1) =w₁, d¨ar |w₁|= 1. Vi kan nu g¨ora f¨oljande ansats:

M(z) =µz−z₁ z− _z¹

1

,

d¨ar µ ∈ C (v¨alj a = µ, b = −µz₁, c = 1 och d = −_z¹₁ i Definition 2.1).

Uppenbarligen g¨aller det att M(z₁) = 0 och attM(_z¹

1) = ∞. Eftersom vi vet att M(1) =w₁, d¨ar |w₁|= 1, s˚a f˚ar vi att f¨oljande b¨or g¨alla:

|M(1)|=|µ||1−z₁|

|1− _z¹₁| =|w₁|= 1, d.v.s. att

1 = |µ||1−z₁|

|1− _z¹₁|

= |µ||−z₁||1−z₁|

|1−z₁|

= | −µz₁

| {z }

:=λ

|.

Vi har allts˚a att µ = _−z^λ

1 och kan s˚aledes skriva M¨obiustransformationen M i formen

M(z) = λ

−z1

Ãz−z₁ z− _z¹₁

!

=λ z−z₁ 1−z1z, d¨ar |z₁|<1 och |λ|= 1.

Vi visar ¨annu att om vi har en M¨obiustransformation av formen ovan, s˚a g¨aller antagandet. Vi b¨or allts˚a visa att|M(z)|<1, f¨or|z|<1. Detta ¨ar dock ekvivalent med att visa att |M(z)|² <1, f¨or |z|<1. Vi f˚ar att

|M(z)|² = _|{z}λλ

=1

(z−z₁)(z−z₁) (1−z1z)(1−z1z)

= zz−z₁z−z₁z+z₁z₁ 1−z₁z−z₁z+z₁z₁zz

= 1−z₁z−z₁z+z₁z₁zz

1−z₁z−z₁z+z₁z₁zz +zz+z₁z₁−1−z₁z₁zz 1−z₁z−z₁z+z₁z₁zz

= 1 + |z|²(1− |z₁|²)−(1− |z₁|²)

|1−z1z|²

= 1 + (

>0

z }| {

1− |z₁|²)(|z|²−1)

|1−z₁z|²

| {z }

>0

.

Det ¨ar nu l¨att att se att

|z|<1⇒ |M(z)|<1.

Lemmat ¨ar d¨armed bevisat.

2.2 Blaschkeprodukter

Definition 2.13 En ¨andlig Blaschkeprodukt ¨ar en komplex funktion av f¨oljande form:

B(z) = λ

Yn i=1

µ z−z_i 1−z_iz

¶

, d¨ar |λ|= 1, |z_i|<1, i= 1, . . . , n och n ∈Z₊.

Anm¨arkning 2.14 Blaschkeprodukten i Definition 2.13 s¨ags vara av graden n, vilket ¨aven n¨asta lemma bekr¨aftar.

Lemma 2.15 Blaschkeprodukten i Definition 2.13 kan skrivas som B(z) =λ zⁿ+p₁zⁿ⁻¹+. . .+p_n

p_nzⁿ+p_n−1zⁿ⁻¹+. . .+ 1, d¨ar |λ|= 1 och p₀, . . . , p_n ¨ar komplexa konstanter.

BEVIS: Konstanten λ utel¨amnas ur beviset, eftersom den finns med i b¨agge leden. Om n = 1 s˚a g¨aller uppenbarligen lemmat med p₁ =−z_i, ty

Y1 i=1

µ z−z_i 1−z_iz

¶

= z−z_i

1−z_iz = z+p₁ p₁z+ 1. Antag att lemmat g¨aller f¨or n =m, d.v.s. att

λ

Ym i=1

µ z−z_i 1−z_iz

¶

= z^m+q₁z^m−1+. . .+q_m q_mz^m+q_m−1z^m−1+. . .+ 1.

Om vi nu kan visa att lemmat ¨aven g¨aller f¨or n = m + 1, s˚a ger fullst¨andig induktion att lemmat g¨aller f¨or ∀n ∈Z+.

m+1Y

i=1

µ z−z_i 1−z_iz

¶

=

Ym i=1

µ z−z_i 1−z_iz

¶ µ z−z_m+1 1−z_m+1z

¶

=

à z^m+q1z^m−1+. . .+qm

q_mz^m+q_m−1z^m−1+. . .+ 1

! Ã z−zm+1

1−z_m+1z

!

= z^m+1+ (

:=p1

z }| {

q₁ −z_m+1)z^m+. . .+ (

:=pm

z }| {

q_m−z_m+1q_m−1)z+ (

:=pm+1

z }| {

−z_m+1q_m) (−z_m+1q_m

| {z }

=p_m+1

)z^m+1+ (q_m−z_m+1q_m−1

| {z }

=p_m

)z^m+. . .+ (q₁−z_m+1

| {z }

=p₁

)z+1

= z^m+1+p₁z^m+. . .+p_mz+p_m+1

p_m+1z^m+1+p_mz^m+. . .+p₁z+ 1 OK!

Lemmat ¨ar d¨armed bevisat.

Anm¨arkning 2.16 En Blaschkeprodukt av graden n ¨ar med andra ord en pro- dukt av n M¨obiustransformationer av formen i Lemma 2.12. Detta i sin tur betyder att en Blaschkeprodukt avbildar D och ∂D p˚a sig sj¨alva.

Sats 2.17 En Blaschkeprodukt B av formen i Definition 2.13 ¨ar analytisk i D och kontinuerlig i D. Dessutom g¨aller f¨oljande:

(i) |B(z)|= 1, d˚a |z|= 1.

(ii) B har nollst¨allena z₁, . . . , z_m och polerna _z¹₁, . . . ,_z¹_m.

BEVIS: (i) g¨aller, eftersom B ¨ar produkten av n M¨obiustransformationer av formen i Lemma 2.12. Alternativt visar man det enligt f¨oljande:

|B(z)| = |λ|

Yn i=1

|z−z_i|

|1−z_iz|

=

Yn i=1

|z−z_i|

|zz−z_iz|

=

Yn i=1

|z−z_i|

|{z}|z|

=1

|z−z_i|

= 1 OK!

Det ¨ar enkelt att se att ¨aven (ii) g¨aller. Det ˚aterst˚ar att visa att B ¨ar analytisk i D och kontinuerlig iD. Eftersom det inte finns poler iD p.g.a. att

|z_i|<1 ⇐⇒ 1

|z_i| >1, i= 1, . . . , n

och eftersom B ¨ar en produkt av analytiska funktioner, s˚a g¨aller det att B ¨ar analytisk i D. Samma resonemang ut¨okat med (i) ger att B ¨ar kontinuerlig i D.

Satsen ¨ar d¨armed bevisad.

Sats 2.18 Om en analytisk funktionb(z) i D har f¨oljande egenskaper:

(i) b ¨ar kontinuerlig p˚a ∂D, (ii) |b|= 1 p˚a ∂D,

(iii) b har ¨andligt m˚anga nollst¨allen i D

och om B(z) ¨ar Blaschkeprodukten med samma nollst¨allen (d.v.s. en komplex funktion av formen i Definition 2.13), s˚a g¨aller det attb(z) =λB(z), d¨ar|λ|= 1, d.v.s. att b(z) ¨ar en Blaschkeprodukt.

F¨or att kunna bevisa denna sats, beh¨over vi f¨oljande tv˚a satser:

Sats 2.19 (Maximum–modulus teoremet – version 2) L˚at G vara en be- gr¨ansad ¨oppen m¨angd i C och antag attf ¨ar en kontinuerlig funktion i det slutna h¨oljet av G, G, som ¨ar analytisk i G. D˚a g¨aller det att

max{|f(z)|:z∈G}= max{|f(z)|:z∈∂G}.

BEVIS: Se [2], s. 128.

Sats 2.20 En analytisk funktion med ett konstant absolutv¨arde ¨ar konstant.

BEVIS: Antag att funktionen f : G → C ¨ar analytisk i omr˚adet G och att

|f(z)| = c = konstant f¨or varje z ∈ G. S¨att f(z) = u(x, y) + iv(x, y), d¨ar z =x+iy. Vi har med andra ord att

|f(z)|² =u² +v² =c². Differentiering ger att

u∂u

∂x +v∂v

∂x = 0 och u∂u

∂y +v∂v

∂y = 0.

Cauchy³-Riemanns⁴ differentialekvationer,

∂v

∂x =−∂u

∂y och ∂v

∂y = ∂u

∂x (se [9], s. 26), ger nu att

(a) u∂u

∂x −v∂u

∂y = 0 och (b) u∂u

∂y +v∂u

∂x = 0.

Genom att multiplicera (a) med u samt (b) med v och addera f˚ar vi f¨oljande ekvation med ^∂u_∂x:

(u²+v²)∂u

∂x = 0.

Genom att ist¨allet multiplicera (a) med −v samt (b) med u och addera f˚ar vi motsvarande ekvation med ^∂u_∂y:

(u²+v²)∂u

∂y = 0.

3Augustin Louis Cauchy (1789–1857), fransk matematiker.

4Bernhard Riemann (1826–1866), tysk matematiker.

P˚a analogt s¨att f˚ar vi motsvarande ekvationer med ^∂v_∂x och ^∂v_∂y, n¨amligen (u²+v²)∂v

∂x = 0 respektive (u²+v²)∂v

∂y = 0.

Vi har allts˚a kommit fram till f¨oljande resultat: om u²+v² = 0, s˚a ¨ar u=v = 0 och d¨armed f en konstant funktion. Om u²+v² 6= 0, s˚a m˚aste ^∂u_∂x = ^∂u_∂y = 0 och

∂v

∂x = ^∂v_∂y = 0. Funktionernau och v beror med andra ord inte av varkenx eller y och ¨ar f¨oljaktligen konstanta. Detta medf¨or i sin tur att funktionen f =u+iv ocks˚a ¨ar konstant. Satsen ¨ar h¨armed bevisad.

Vi ¨ar nu redo att bevisa Sats 2.18.

BEVIS: Med hj¨alp av Sats 2.17 och Sats 2.19 f˚ar vi att ^¯¯¯_B^b

¯¯

¯≤1 och att ^¯¯¯^B_b

¯¯

¯≤1 p˚aD. Med andra ord ¨ar ^¯¯¯_B^b

¯¯

¯= 1, vilket i sin tur medf¨or att _B^b ¨ar konstant enligt Sats 2.20. Vi kan allts˚a skrivab =λB, d¨arλ¨ar en konstant som uppfyller|λ|= 1.

Detta bevisar att b ¨ar en Blaschkeprodukt (se Definition 2.13).

2.3 Sammanh¨ angande m¨ angder

Definition 2.21 En m˚angh¨ornig kurva ¨ar unionen av ett ¨andligt antal riktade linjesegment P₁P₂, P₂P₃, . . . , P_n−1P_n, d¨ar ¨andpunkten av ett segment ¨ar begyn- nelsepunkten f¨or n¨asta (f¨orutom sista segmentet).

Definition 2.22 En ¨oppen m¨angdAiKⁿ¨ar sammanh¨angande, om det f¨or varje par av tv˚a punkter i A finns en m˚angh¨ornig kurva, som f¨orenar dessa punkter och som i sin helhet ligger i A.

Exempel 2.23 M¨angden av de z i C, f¨or vilka det g¨aller att |z|<1 (d.v.s. det inre av enhetsskivan), ¨ar sammanh¨angande.

Exempel 2.24 M¨angden av de z iC, f¨or vilka det g¨aller att|Im z|>1, ¨ar inte sammanh¨angande.

Definition 2.25 En sammanh¨angande komponent av en m¨angd ¨ar en samman- h¨angande delm¨angd som inte inneh˚alls i n˚agon st¨orre sammanh¨angande del- m¨angd av m¨angden ifr˚aga.

Anm¨arkning 2.26 De sammanh¨angande komponenterna av en m¨angd bildar en s¨onderdelning av m¨angden i parvis disjunkta m¨angder.

2.4 Konvexa m¨ angder

Definition 2.27 En m¨angd X i Kⁿ s¨ags vara konvex om f¨oljande g¨aller:

x1, x2 ∈X ⇒λx1+µx2 ∈X, d¨ar λ≥0, µ≥0 och λ+µ= 1.

Anm¨arkning 2.28 Den geometriska definitionen p˚a en konvex m¨angd ¨ar med andra ord f¨oljande: om det f¨or varje par av tv˚a punkter i m¨angdenX i Rⁿ g¨aller att segmentet som f¨orenar dessa punkter ¨aven ligger i m¨angden X, s˚a ¨ar X en konvex m¨angd.

Exempel 2.29 I Figur 2.1 kan vi betrakta en konvex m¨angd A, samt en icke- konvex m¨angd B.

Figur 2.1. M¨angden A ¨ar konvex. M¨angden B ¨ar inte konvex, ty linjesegmentet som f¨orenar punkternax1 och x2 inneh˚aller punkter som inte ligger i B.

Lemma 2.30 En ¨oppen konvex m¨angd ¨ar sammanh¨angande.

BEVIS: F¨oljer direkt ur Definition 2.22.

Definition 2.31 Det konvexa h¨oljet av en m¨angdXi Kⁿ¨ar den minsta konvexa m¨angd som innefattarX och betecknasCo(X). Det konvexa h¨oljet av tv˚a punkter x1, x2 ∈Kⁿ betecknas Co(x1, x2).

Anm¨arkning 2.32 Definition 2.27 kan nu skrivas: en m¨angdX ⊆Kⁿ¨ar konvex om och endast om x1, x2 ∈X ⇒Co(x1, x2)⊆X.

Vi skall nu ut¨oka Definition 2.27 till en mera anv¨andbar form genom att konsta- tera f¨oljande:

Lemma 2.33 L˚at X⊆Kⁿ. D˚a g¨aller det att Co(X) =

( _k X

i=1

λ_ix_i : λ_i ≥0,

Xk i=1

λ_i = 1, x_i ∈X, k∈Z₊

)

. BEVIS: Vi b¨orjar med att visa att m¨angden ¨ar konvex. S¨att

M :=

( _k X

i=1

λ_ix_i : λ_i ≥0,

Xk i=1

λ_i = 1, x_i ∈X, k ∈Z₊

)

. Tag x, y ∈M och λ∈R, d¨ar 0≤λ≤1. D˚a ¨ar

λx+ (1−λ)y = λ

Xk i=1

λ_ix_i+ (1−λ)

Xm i=1

µ_iy_i

=

Xk i=1

λλ_ix_i+

Xm i=1

(1−λ)µ_iy_i,

d¨ar x_i, y_i ∈X,λ_i, µ_i ≥0, ^Pk

i=1λ_i = 1, ^Pm

i=1µ_i = 1 och k, m¨ar positiva heltal. H¨arav f¨oljer nu att λx+ (1−λ)y∈M, ty

Xk i=1

λλ_i+

Xm i=1

(1−λ)µ_i =λ

Xk i=1

λ_i−λ

Xm i=1

µ_i+

Xm i=1

µ_i = 1 och alla λλ_i ≥0, (1−λ)µ_i ≥0. M¨angden M ¨ar allts˚a konvex.

Det ˚aterst˚ar nu att visa att M = Co(X): l˚at Y ⊇ X vara en konvex m¨angd och tag x = ^Pk

i=1λ_ix_i ∈ M. Vi b¨or nu visa att x ∈ Y och g¨or det med hj¨alp av induktion. P˚ast˚aende: x ∈ Y ∀k ∈ Z₊. Fallet k = 1 ¨ar trivialt. Om k = 2 s˚a

¨ar p˚ast˚aendet ekvivalent med Definition 2.27. Antag nu att p˚ast˚aendet g¨aller f¨or k =m. Om vi kan visa att p˚ast˚aendet i s˚a fall ¨aven g¨aller f¨or k =m+ 1, s˚a ger fullst¨andig induktion att p˚ast˚aendet g¨aller f¨or varje k. Antag d¨arf¨or att vi har en punkt x av formen

x=λ₁x₁+. . .+λ_mx_m+λ_m+1x_m+1,

d¨ar λ_i ≥ 0 (i = 1, . . . , m+ 1) och λ₁ +. . .+λ_m+1 = 1. Om λ_m+1 = 1 s˚a ¨ar x=x_m+1, som tillh¨or Y och vi ¨ar klara med beviset. Antag d¨arf¨or attλ_m+1 <1.

D˚a g¨aller det att λ₁+. . .+λ_m = 1−λ_m+1 >0 och vi kan skriva x i formen x= (λ1+. . .+λm)

à λ₁

λ₁+. . .+λ_m x1+. . .+ λ_m

λ₁+. . .+λ_m xm

| {z }

:=z

!

+λm+1xm+1.

Enligt induktionsantagandet g¨aller det att z ∈ Y. Eftersom Y ¨ar en konvex m¨angd och b˚ade z och x_m+1 tillh¨or Y, s˚a g¨aller p˚ast˚aendet ¨aven f¨or k = m+ 1 (enligt Definition 2.27). Vi har allts˚a visat attM ¨ar en konvex m¨angd, attM ⊆Y och med andra ord attM ¨ar den minsta konvexa m¨angd som inneh˚allerX. Detta

¨ar ekvivalent med att M = Co(X) och vi ¨ar s˚aledes klara med beviset.

Det ˚aterst˚ar nu i princip en sats att introducera, men f¨or att klara av att bevisa den, s˚a beh¨over vi f¨oljande lemma:

Lemma 2.34 Antag att X ⊆ Rⁿ. Antag vidare att x₁, . . . , x_k ∈ X och att heltalet k > n+ 1. D˚a kan vi hitta tal α₁, . . . , α_k, inte alla lika med 0, s˚a att

α₁x₁+. . .+α_kx_k= 0 och α₁+. . .+α_k= 0.

BEVIS: Eftersom k−1> n och dimRⁿ=n, s˚a g¨aller det att x₂−x₁, x₃−x₁, . . . , x_k−x₁

¨ar linj¨art beroende. Med andra ord kan vi hitta α2, . . . , αk, inte alla lika med 0, s˚a att

α₂(x₂−x₁) +α₃(x₃−x₁) +. . .+α_k(x_k−x₁) = 0.

Detta ¨ar ekvivalent med att

−(α₂+. . .+α_k)

| {z }

:=α1

x₁+α₂x₂+. . .+α_kx_k = 0.

Vi har allts˚a visat att det finns tal α₁, . . . , α_k, inte alla lika med 0, s˚a att α₁x₁+. . .+α_kx_k = 0 och α₁+. . .+α_k = 0 och ¨ar s˚aledes klara med beviset.

Vi ¨ar nu redo att introducera den sista satsen i detta kapitel. Satsen beskrivs i [3] och best˚ar av tv˚a delar, (i) och (ii), varav den f¨orsta delen ¨ar ett resultat av Carath´eodory⁵, medan den andra delen ¨ar en utvidgning av Carath´eodorys resultat.

5Constantin Carath´eodory (1873–1950), grekisk matematiker.

Sats 2.35 Antag att X ¨ar en delm¨angd av Rⁿ.

(i) Om y¨ar en punkt iCo(X), s˚a finns det en m¨angd av s punkter, x₁, . . . , x_s, alla tillh¨orande X med s ≤n+ 1, s˚adan att y kan skrivas som en kombi- nation av dessa punkter.

(ii) Om X dessutom har h¨ogst n sammanh¨angande komponenter, s˚a g¨aller (i) med s≤n.

BEVIS av (i): Antag att y ∈ Co(X). Vi vet fr˚an Lemma 2.33 att det finns ett

¨andligt heltal k, s˚a att

y=λ₁x₁+. . .+λ_kx_k,

d¨ar x_i ∈ X, λ₁ +. . .+λ_k = 1 och λ_i ≥ 0 (i = 1, . . . , k). Vi vill nu visa att y kan skrivas p˚a detta vis med k ≤ n+ 1. Vi kan enligt Lemma 2.34 hitta tal α₁, . . . , α_k, inte alla lika med 0, s˚a att

α₁x₁+. . .+α_kx_k= 0 och α₁+. . .+α_k= 0.

S¨att

M :={τ ∈R : τ αi ≥ −λi, i= 1, . . . , k}.

D˚a g¨aller det attM ¨ar en sluten, icke–tom m¨angd, som inte inneh˚aller hela reella axeln. Om vi betraktar en f¨oljd τj ∈M, medτj →τ, s˚a inser vi l¨att att τ ∈M, d.v.s. att m¨angden M ¨ar sluten. M¨angden M ¨ar icke–tom, ty den inneh˚aller

˚atminstone talet 0 och den kan inte inneh˚alla hela reella axeln, ty n˚agot α_i ¨ar olika 0. L˚at nu τ₀ vara en randpunkt i denna m¨angd (en randpunkt existerar, eftersom m¨angden ¨ar sluten). D˚a ¨ar τ₀α_i = −λ_i, f¨or n˚agot i = 1, . . . , k. Vi kan nu uttrycka y enligt f¨oljande:

y = λ1x1+. . .+λkxk

= λ₁x₁+. . .+λ_kx_k+τ₀(α₁x₁ +. . .+α_kx_k

| {z }

=0

)

= (λ₁+τ₀α₁)x₁+. . .+ (λ_k+τ₀α_k)x_k

och m¨arker att y fortfarande har den s¨okta formen och att λ_i +τ₀α_i ≥ 0, f¨or varje i= 1, . . . , k (ty τ₀ ¨ar en randpunkt). Vidare g¨aller det att

(λ₁+τ₀α₁) +. . .+ (λ_k+τ₀α_k) =λ₁+. . .+λ_k

| {z }

=1

+τ₀(α₁+. . .+α_k

| {z }

=0

) = 1.

F¨or ˚atminstone ett i, 1≤i≤ k, s˚a g¨aller det att λ_i+τ₀α_i = 0 och v˚art uttryck f¨or yreduceras med minst en term. Vi har s˚aledes ett uttryck f¨ory av den s¨okta formen, f¨orutom att antalet signifikanta termer ¨ar h¨ogst k−1. Detta f¨orfarande g˚ar nu att upprepa, s˚a l¨ange som antalet termer ¨ar st¨orre ¨an n+ 1 och vi kan slutligen uttrycka y som en kombination av h¨ogst n+ 1 punkter i X. Del (i) ¨ar d¨armed bevisad.

BEVIS av (ii): L˚at y vara en punkt i Co(X). Enligt (i), s˚a finns det s punkter i X med s ≤ n+ 1, s˚adana att y ∈ Co(x₁, . . . , x_s). Om s < n + 1 s˚a g¨aller uppenbarligen (ii). Antag d¨arf¨or att s=n+ 1 och s¨att

y=λ₁x₁+. . .+λ_n+1x_n+1,

d¨ar λ_i ≥ 0 (i = 1, . . . , n+ 1) och λ₁ +. . .+λ_n+1 = 1. Om λ_i = 0, f¨or n˚agot i = 1, . . . , n+ 1, s˚a reduceras v˚art uttryck f¨or y med minst en term varvid (ii) g¨aller. Antag d¨arf¨or att λ_i >0∀i= 1, . . . , n+ 1.

L˚at x⁰_i beteckna reflexionen av x_i i punkten y, d.v.s. y ¨ar mittpunkten mellanx⁰_i och x_i. Vi f˚ar med andra ord att

y= x⁰_i+x_i

2 ⇐⇒ x⁰_i = 2y−x_i (1≤i≤n+ 1).

L˚at vidare S_j beteckna den kon, vars spets ligger i punkten y och vars ¨ovriga h¨ornpunkter ges av de n punkterna x⁰₁, . . . , x⁰_j−1, x⁰_j+1, . . . , x⁰_n+1. Med andra ord bildas konen Sj av spetspunkten y och kroppen

M_j := Co(x⁰₁, . . . , x⁰_j−1, x⁰_j+1, . . . , x⁰_n+1).

I Figur 2.2 kan vi betrakta fallet n = 2 och i Figur 2.3 fallet n = 3. Med hj¨alp av dessa figurer torde konernas framst¨allning klarna.

Figur 2.2. Fallet n = 2. Alla tre koner ¨ar markerade och punkten y ¨ar placerad i origo. De utritade omr˚adena representerar de tv˚a sammanh¨angande komponen- terna. ¨Aven linjesegmenten M1, M2 och M3 ¨ar utritade och markerade.

Figur 2.3. Fallet n = 3. Punkten y ¨ar placerad i origo och f¨or klarhetens skull har enbart konen S1, samt triangeln M1, utritats. Dessutom har de tre sam- manh¨angande komponenterna utel¨amnats f¨or att g¨ora figuren mera ¨oversk˚adlig.

F¨argnyanserna och den inritade kuben avsl¨ojar punkternas och konens placering.

L˚at oss nu betrakta en godtyckligt vald kon S_j (1 ≤ j ≤ n + 1). Punkterna z ∈S_j kan skrivas i formen

z = (1−η)y+ηx,

d¨arx∈Mj och 0≤η≤1. Genom att skrivaxsom en kombination av punkterna i M_j, s˚a f˚ar vi att

z = (1−η)y+η(µ1x⁰₁+. . .+µj−1x⁰_j−1+µj+1x⁰_j+1+. . .+µn+1x⁰_n+1), d¨ar µ_i ≥0 (i= 1, . . . , n+ 1, i6=j) ochµ₁+. . .+µ_j−1+µ_j+1+. . .+µ_n+1 = 1.

V¨alj y = 0 (detta p˚averkar inte bevisf¨oringen). D˚a f˚ar vi att z = η(µ₁x⁰₁+. . .+µ_j−1x⁰_j−1+µ_j+1x⁰_j+1+. . .+µ_n+1x⁰_n+1)

= ηµ₁

|{z}

:=µ⁰₁≥0

x⁰₁+. . .+ ηµ_j−1

| {z }

:=µ⁰_j−1≥0

x⁰_j−1+ ηµ_j+1

| {z }

:=µ⁰_j+1≥0

x⁰_j+1+. . .+ ηµ_n+1

| {z }

:=µ⁰_n+1≥0

x⁰_n+1.

Eftersom y =λ₁x₁+. . .+λ_n+1x_n+1 enligt antagandet och x⁰_j = 2y−x_j, s˚a f˚ar vi med beaktande av att y= 0, f¨oljande resultat:

x⁰_j =−x_j = 1

λ_j(λ₁x₁+. . .+λ_j−1x_j−1+λ_j+1x_j+1+. . .+λ_n+1x_n+1).

(Vi vet enligt v˚art antagande i b¨orjan av beviset att λ_j > 0∀j = 1, . . . , n+ 1).

Med andra ord kan vi skriva att x_j = −λ₁

λ_j x₁−. . .−λ_j−1

λ_j x_j−1− λ_j+1

λ_j x_j+1−. . .− λ_n+1 λ_j x_n+1

= λ1

λ_j x⁰₁+. . .+λj−1

λ_j x⁰_j−1 +λj+1

λ_j x⁰_j+1+. . .+λn+1

λ_j x⁰_n+1,

d.v.s.xj ¨ar en inre punkt i konenSj (se Figur 2.2 och Figur 2.3). Vi vet n¨amligen att x_j inte kan vara en randpunkt, eftersom alla n koefficienterna ^λ_λjⁱ > 0, f¨or i= 1, . . . , n+ 1, i6=j. Vi har allts˚a n+ 1 koner, som alla inneh˚aller punkter ur m¨angden X. Enligt antagandet best˚ar X av h¨ogst n sammanh¨angande kompo- nenter. Detta betyder att det m˚aste finnas ˚atminstone en punkt i X, som ligger p˚a randen av tv˚a koner. Annars skulle vi ha n+ 1 sammanh¨angande komponen- ter, vilket skulle strida mot v˚art antagande. Det finns med andra ord en punkt p∈X∩∂S_j, f¨or n˚agot j = 1, . . . , n+ 1. Punkterna i ∂S_j ¨ar av formen

z =µ⁰₁x⁰₁+. . .+µ⁰_j−1x⁰_j−1+µ⁰_j+1x⁰_j+1+. . .+µ⁰_n+1x⁰_n+1,

d¨ar ˚atminstone en av koefficienterna µ⁰_i = 0, f¨or i = 1, . . . , n+ 1, i 6= j. Antag att t.ex. µ⁰₁ = 0 (beviset f¨or de ¨ovriga fallen ¨ar analogt). D˚a kan pskrivas som

p=ξ₂x⁰₂+. . .+ξ_j−1x⁰_j−1+ξ_j+1x⁰_j+1+. . .+ξ_n+1x⁰_n+1, d¨ar ξ_i ≥0, f¨or i= 2, . . . , n+ 1, i6=j. Nu g¨aller det att

y = 0

= p−ξ₂x⁰₂−. . .−ξ_j−1x⁰_j−1−ξ_j+1x⁰_j+1−. . .−ξ_n+1x⁰_n+1

= p+ξ2x2+. . .+ξj−1xj−1 +ξj+1xj+1+. . .+ξn+1xn+1

= p+ξ₂x₂+. . .+ξ_j−1x_j−1+ξ_j+1x_j+1+. . .+ξ_n+1x_n+1 1 +ξ₂+. . .+ξ_j−1+ξ_j+1+. . .+ξ_n+1

| {z }

:=αj

= 1

α_j p+ ξ2

α_j x2+. . .+ξj−1

α_j xj−1+ξj+1

α_j xj+1+. . .+ξn+1

α_j xn+1,

d¨ar 1

α_j + ξ₂

α_j +. . .+ ξ_j−1

α_j +ξ_j+1

α_j +. . .+ξ_n+1 α_j = 1

Vi har allts˚a visat att ifall X har h¨ogst n sammanh¨angande komponenter och y ∈ Co(X), s˚a finns det en m¨angd av n punkter, p, x₂, . . . , x_j−1, x_j+1, . . . , x_n+1, alla tillh¨orande X, s˚adana att y kan skrivas som en kombination av dessa. Del (ii) ¨ar d¨armed bevisad.

Tv˚ a interpolationsresultat

I detta kapitel kommer vi att behandla tv˚a interpolationsresultat, som har sina till¨ampningar bland annat inom reglertekniken vid konstruering av digitala fil- ter. H¨ar presenteras enbart de matematiska resultaten, medan till¨ampningarna i korthet tas upp i kapitel 4. B˚ada resultaten ¨ar l¨osningar till f¨oljande problem:

Problem 3.1 Konstruera en ¨andlig Blaschkeprodukt B, av l¨agsta m¨ojliga grad- tal, som uppfyller B(α_i) = β_i, f¨or i= 1, . . . , n, d¨ar α₁, . . . , α_n ¨ar olika komplexa tal med |α_i|= 1 och β₁, . . . , β_n ¨ar godtyckliga komplexa tal med |β_i|= 1.

3.1 Ett konstruktivt bevis av Younis

Vi kommer h¨ar att behandla ett interpolationsresultat av Younis [10]. ˚Ar 1965 lyckades Cantor och Phelps [1] visa att det existerar en ¨andlig Blaschkeprodukt, som uppfyller kraven i Problem 3.1. Beviset var inte konstruktivt och s˚aledes gavs ingen ¨ovre gr¨ans f¨or talet n i Definition 2.13. Younis lyckades ˚ar 1980 visa samma sak med den skillnaden att hans bevis var konstruktivt och resulterade i en Blaschkeprodukt av graden n² −n. Vi kommer nu i detalj att behandla resultatet ifr˚aga, vilket samtidigt underl¨attar f¨orst˚aelsen av kommande resultat.

Younis resultat best˚ar av Sats 3.2 och Korollarium 3.3.

Sats 3.2 Omz₁, . . . , z_n¨ar olika reella tal och omw₁, . . . , w_n¨ar godtyckliga reella tal, s˚a existerar det en rationell funktion f med reella poler, som avbildar ¨ovre halvan av planet p˚a sig sj¨alv och satisfierar f(z_j) = w_j f¨or j = 1, . . . , n.

18

BEVIS: S¨att











p_k(z) := −w_k− ^Pn

i=1i6=k

³ 1 zi−zk

´+ ^Pn

i6=ki=1

³ 1 zi−z

´ ,1≤k ≤n

gk(z) := −^w_z^2k ,1≤k ≤n

.

Varje pk(som inte ¨ar en konstant) har enbart reella nollst¨allen, vilket framg˚ar ur f¨oljande argument: f¨or attp_k skall kunna bli lika med noll, s˚a m˚aste ^Pn

i=1 i6=k

³ 1 zi−z

´bli

reellt, ty −wk− ^Pn

i=1 i6=k

³ 1 zi−zk

´ ¨ar reellt enligt antagandet. Vi fr˚agar oss med andra

ord: kan ^Pn

i=1 i6=k

³ 1 zi−z

´ bli reellt trots att z ¨ar komplext? Svaret p˚a denna fr˚aga ¨ar nej, ty om vi s¨atter z=x+iy med y6= 0 (annars ¨ar z reellt), s˚a f˚ar vi att

Xn i=1i6=k

µ 1 zi −z

¶

= 1

z1−x

| {z }

:=x1

−iy +. . .+ 1 zk−1−x

| {z }

:=xk−1

−iy +

+ 1

z_k+1−x

| {z }

:=xk+1

−iy +. . .+ 1 z_n−x

| {z }

:=xn

−iy

= 1

x1−iy+. . .+ 1

xk−1−iy + 1

xk+1−iy +. . .+ 1 xn−iy

= x₁+iy

x²₁+y² +. . .+ x_k−1+iy

x²_k−1+y² + x_k+1+iy

x²_k+1+y² +. . .+ x_n+iy x²_n+y²

=

Xn j=1j6=k

à x_j x²_j +y²

!

| {z }

Re

+i y

Xn j=1j6=k

>0

z }| { Ã 1

x²_j +y²

!

| {z }

Im

.

Allts˚a: Im ^Pn

i=1i6=k

³ 1 zi−z

´ 6= 0, d.v.s. om z ¨ar komplext, s˚a blir ^Pn

i=1i6=k

³ 1 zi−z

´ komplext.

Vi har allts˚a visat att f¨or 1≤k ≤n, s˚a harp_k enbart reella nollst¨allen (eller inga nollst¨allen alls). M¨ark att varje z_i (i6=k) utg¨or en pol f¨or p_k och attz = 0 utg¨or en pol i gk. Vidare p˚ast˚ar vi nu att varjepk och varje gk avbildar ¨ovre halvan av planet p˚a sig sj¨alv, d.v.s. att f¨or varjek, 1≤k ≤n, s˚a g¨aller det att

p_k, g_k:{z : Im z ≥0} → {z : Im z ≥0}.