EMI-suotimen sähköstaattinen analyysi ja FEM-mallinnus

Kandidaatin LUT Energi Sähköteknii

ntyö ia

ikan koulutu

EMI-SU

Ele

usohjelma

UOTIME

ectrosta

EN SÄH JA FEM atic ana

of a

Jou

KÖSTA M-MALL lysis an n EMI-f

uni Tynkkyn

AATTINE LINNUS

nd FEM- ilter

nen

EN ANA

-modeli

ALYYSI

ing

12.9.2011

SISÄLLYSLUETTELO

Sisällysluettelo ... 2 

Käytetyt merkinnät ja lyhenteet ... 3 

1.  Johdanto ... 4 

1.1  Työn tavoitteet ... 5 

1.2  Työn rajaus ... 6 

2.  Kirjallisuuden menetelmä kapasitanssin määrittämiseksi ... 7 

3.  Kapasitanssin määrittäminen geometrisen mallin avulla ... 9 

3.1  Suotimen geometrian kuvaaminen lieriömallilla ... 9 

3.2  Suotimen sähköstaattinen tarkastelu ... 10 

3.3  Folioiden väliset materiaalikerrokset ... 12 

3.4  Suotimen geometrian kuvaaminen spiraalimallilla ... 14 

4.  Suotimen kapasitanssin määrittäminen kokeellisesti ... 17 

4.1  Mittausjärjestelyt ... 18 

4.2  Suotimen käämitystekniset ongelmat ... 19 

5.  FEM-mallin luominen ja simulointi ... 21 

5.1  2D-mallin luominen ... 21 

5.2  Verkon luominen mallille ... 23 

5.3  Fysiikkamoduulin valitseminen ja lähtöarvojen määritys ... 25 

5.4  Suotimen sähköpotentiaalikentän analysointi ... 25 

6.  Tulokset ... 28 

7.  Johtopäätökset ... 30 

Lähteet ... 31 

KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET

EMI Electromagnetic Interference

FEM Finite Element Method

CM Common Mode

DM Differential Mode

suotimen kokonaispinta-ala ensimmäisen kierroksen pinta-ala

r ylijäävän osuuden pinta-ala kapasitanssi

main folioiden välinen kapasitanssi

turn kierrosten välinen kapasitanssi

p rinnakkaiskapasitanssi

s sarjakapasitanssi

kondensaattorin levyjen välisen eristeen kokonaispaksuus

adh,f metallifolion liimapinnan paksuus

adh,i eristeen liimapinnan paksuus

air ilmaraon paksuus

c johteen paksuus

diel eristeen paksuus

foil metalliteipin paksuus

in suotimen sisähalkaisija

ins eristeteipin paksuus

out suotimen ulkohalkaisija

r suhteellinen permittiivisyys tyhjön permittiivisyys suotimen korkeus folion pituus

r ylijäävä folion pituus suotimen kierrosluku

out suotimen ulkokehän pituus

Φ sähkövuo

sähkövaraus

in suotimen sisäsäde

mid suotimen kierrosten säteiden keskiarvo

out suotimen ulkosäde kulma

jännite

kierroksen paksuus parametri

1. JOHDANTO

Hakkuriteholähde on tyypillinen sähkömagneettisen häiriön (EMI) lähde tehoelektroniikan sovelluksissa.

Pulssinleveysmodulaatiota (PWM) käyttävät teholähteet tuottavat korkeataajuista, korkeajännitteistä ja jyrkkäreunaisia signaaleja. Nämä signaalit sisältävät korkeamman kertaluokan harmonisia komponentteja, jotka aiheuttavat häiriötä itse laitteeseen ja samassa sähköverkossa toimiviin laitteisiin. Häiriöltä suojautuminen ja häiriön tuottamisen estäminen ovat tärkeä osa sähkölaitteen suunnittelua. [5][8]

Sähkömagneettinen häiriö voi siirtyä kahdella tavalla: johtumalla tai säteilemällä. Hakkurimuuttajat aiheuttavat johtumalla siirtyvää häiriötä sähköverkkoon, joka on yleensä muutamaa kertalukua suurempi kuin säteilynä siirtynyt häiriö vapaaseen tilaan. Säteilevältä häiriöltä voidaan suojautua koteloimalla sähkölaite metallikotelolla. Tehokkain tapa vähentää johtuvaa EMI-häiriötä on estää sen syntyminen sähkölaitteissa ennen varsinaisen EMI-suotimen, suojauksen tai muiden menetelmien hyödyntämistä. [10]

Johtunut sähkömagneettinen häiriö voidaan luokitella yhteismuotoiseen (CM) ja eromuotoiseen (DM) häiriöön. Eromuotoinen häiriö esiintyy virtana tai jännitteenä sähköverkon linjojen välillä. Yhteismuotoinen häiriö esiintyy virtana tai jännitteenä sähköverkon ja maan välillä ja on tyypillisesti kytköksissä hajakapasitanssin kautta maahan. Molempia häiriötyyppejä esiintyy sekä tulo- ja lähtölinjoissa.

Sähkölaitteiden luotettavan toiminnan varmistamiseksi häiriöt on suodatettava EMI-suotimella. [10]

Teholinjoissa esiintyvä yhteismuotoinen häiriö suodatetaan tyypillisesti CM-suotimella, joka koostuu diskreeteistä komponenteista. Suotimissa käytetään usein korkeamman kertaluokan rakennetta kasvattamaan vaimennusta ja tekemään päästö- ja estokaistan väli jyrkemmäksi. Tyypillisen EMI-suotimen kytkentäkuva esitetään kuvassa 1.1. Suodin koostuu kahdesta magneettisesti kytköksissä olevasta kelasta ja Y- kondensaattoreista CM-häiriön suodattamiseen, sekä X-kondensaattoreista DM-häiriön suodattamiseen.

Kelojen kytkentä ja vaiheistus toteutetaan niin, että eromuotoisen virran synnyttämä vuo kumoutuu vastakkaisen käämin synnyttämän vuon vaikutuksesta. [5][8]

Kuva 1.1 Korkeamman kertaluokan EMI-suotimen kytkentäkuva.

C_X1

L

C_X2

C_Y1 C_Y2

Kuorma Teholinja

Lappeenrannan teknillisessä yliopistossa on kehitetty ja tutkittu kuvassa 1.2 esitettyä uudenlaista foliokäämittyä EMI-suodinta, joka toimii sekä CM- ja DM-suodattimena. Suodin koostuu kahdesta rungon ympärille käämitystä foliosta, joiden välillä on eriste. Suotimella on useita etuja diskreeteistä komponenteista koostuviin suotimiin nähden. Foliokäämit yhdistävät kelan ja kondensaattorin samaan yksikköön, mikä tekee rakenteesta yksinkertaisen ja luetettavan. Ylimääräisiä liitäntöjä ei tarvita korkeataajuisen häiriön suodattamiseksi. Suodin säilyttää induktanssin korkeilla taajuuksilla ja matalilla taajuuksilla induktanssia voidaan kasvattaa lisäämällä ferromagneettinen sydänmateriaali. [5][8]

Folioiden hyödyntäminen suotimissa ei ole ideana uusi ja siitä on olemassa jo muutamia patentteja ja tutkimuksia. Kaikki nämä käyttävät kuitenkin magneettista sydäntä ja tyypillisesti vain toinen kondensaattoreista on integroitu suotimeen. Esitellyssä suotimessa on erona lisäksi Y-kondensaattori käämitys vähentämään käämityksen loiskapasitanssia. [5][8]

Kuva 1.2 Foliokäämityn EMI-suotimen yksinkertaistettu 3D-kuva ja 2D-rakennekuva. Suodin koostuu rungon ympärille käämityistä folioista, joiden välillä on eriste.

1.1 Työn tavoitteet

Kandidaatin työn tavoitteena on määrittää foliokäämityn EMI-suotimen folioiden välinen kapasitanssi käyttäen seuraavia tutkimusmenetelmiä:

 geometrisen mallin teoreettinen tulkinta käyttäen sähköstatiikan perusyhtälöitä

 käytännön mittaukset

 FEM-mallinnus

Lähtökohtana on väitöskirjassa [6] esitetty menetelmä, jonka avulla EMI-suotimen folioiden välinen kapasitanssi voidaan laskea. Teoreettisen tarkastelun tuloksena johdettiin uusi yhtälö folioiden välisen kapasitanssin määrittämiseksi. FEM-mallinnuksen ja käytännön mittausten avulla voidaan osoittaa, että tässä työssä johdettu yhtälö toimii ja väitöskirjassa [6] esitetty yhtälö ei anna oikeaa tulosta folioiden väliselle kapasitanssille.

folio eriste folio eriste

runko 1 3 2

5 4 Foliokäämit

Eristeet Y-kondensaattori käämi

FEM-mallinnus simuloidaan COMSOL Multiphysics -ohjelmalla. Simulointiosuudessa käydään läpi suotimen matemaattisen mallin luominen, 2D-mallin muodostaminen, mallin verkottaminen ja simulointitulosten analysointi. Mallin ja verkon yksinkertaistamista pohditaan eri menetelmin. Lisäksi FEM- ohjelmalla tarkastellaan suotimen sähköpotentiaalikenttiä, kun suotimen folioiden välille kytketään jännite.

1.2 Työn rajaus

Työssä keskitytään vain suotimen folioiden väliseen kapasitanssiin sähköstaattisessa tilassa, eikä huomioida foliokäämitysten muodostamaa induktanssia tai keskinäisinduktanssia. Lisäksi kuvassa 1.2 esitetty Y- kondensaattorikäämitys jätetään huomioimatta. Kapasitanssin määrittäminen johdetaan käyttäen hyväksi sähköstatiikan perusyhtälöitä ja foliot oletetaan täydellisiksi johteiksi.

Käytännön suotimia rakennetaan kolme kappaletta, koska suotimet ovat vaikeita tehdä käsityönä ja yhden suotimen valmistaminen on yksin hankalaa.

Työssä esitetyt suotimen geometriset mallit ovat yksi tapa kuvata suotimen rakennetta ja folioiden muodostamaa pinta-alaa. FEM-mallinnuksessa suodin mallinnetaan Arkhimedeen spiraalina, koska se on helppo kuvata ja spiraalin kaarenpituutta ei ole monimutkaista laskea.

Simulointi suoritetaan vain kaksiulotteisena, koska 3D-mallin verkottaminen ja simulointi eivät olleet mahdollista toteuttaa käytössä olleella tietokoneella. FEM-mallinnus tehdään vain DC-tilassa sähköstatiikan ehtojen mukaisesti ja foliot oletetaan täydellisiksi johteiksi.

2. KIRJALLISUUDEN MENETELMÄ KAPASITANSSIN MÄÄRITTÄMISEKSI

Väitöskirjassa [6] ja artikkeleissa [5] ja [8] esitetään menetelmä suotimen folioiden välisen kapasitanssin määrittämiseksi. Menetelmä perustuu suotimen yksinkertaistamiseen, jossa folioiden välinen pinta-ala voidaan laskea sisäkkäisten lieriöiden pinta-alojen summana kuvassa 2.1a ja 2.1b esitetyllä tavalla.

Kuvassa 2.1a esitetään suotimen spiraalimainen rakenne, jossa seuraava kierros kiertyy edellisen folion päälle suotimen aloituskohdassa. Spiraalimainen rakenne voidaan ajatella koostuvan sisäkkäisistä ympyröistä kuvan 2.1b mukaisesti. Kuvan 2.1a kaarenpituus on lähellä kuvan 2.1b ympyröiden kehien summaa, kun seuraavan ja edellisen kierroksen väli Δ on pieni. Kokonaispinta-ala saadaan summaamalla kaikki sisäkkäisten lieriöiden kehänpituudet ja kertomalla tulos suotimen korkeudella.

Kuva 2.1 a) Suotimen yksinkertaistettu spiraalimainen rakenne. b) Spiraalimaisen rakenteen yksinkertaistaminen sisäkkäisillä ympyröillä.

Suotimen kapasitanssi folioiden välillä voidaan ajatella koostuvan levykondensaattorin kapasitanssista

V ins , (2.1)

missä on suhteellinen permittiivisyys, tyhjön permittiivisyys ja _ins folioiden välisen eristeen paksuus.

[5][6]

Yhtälön (2.1) pinta-ala lasketaan

2 _mid , (2.2)

missä on kierrosluku, suotimen korkeus ja _mid säde, joka on kaikkien sisäkkäisten ympyröiden säteiden keskiarvo. [5][6]

r_in r_in

∆r ∆r

a) b)

Ympyröiden säteet saadaan yhtälöllä

in 1 2 _foil 2 _ins 4 _air , 1 , (2.3)

missä on :nes kierros.

Kierrosluku määritetään

out in

2 _foil 2 _ins 4 _air , (2.4)

missä _out ja _in ovat suotimen ulko- ja sisäsäteet. [6]

Väitöskirjassa [6] esiteltyjen yhtälöiden (2.1) ja (2.2) tarkastelu osoittaa, että suotimen folioiden välisen kapasitanssin määrittäminen ei pidä paikkaansa. Väitöskirjassa ei selvitetä, miksi suotimen kapasitanssi voidaan ajatella levykondensaattorin kapasitanssina, eikä siinä huomioida folioiden molemmille puolille muodostuvaa kapasitanssia.

Väitöskirjassa ei myöskään huomioida folioiden välillä olevaa ilmarakoa tai muita mahdollisia materiaalipintoja, kuten folion ja teipin toisella puolella olevaa liimapintaa. Yhtälöissä (2.3) ja (2.4) esiintyvä ilmarako _air otetaan huomioon vain folion pituuden laskemisessa ja se jätetään huomioimatta folioiden välisenä eristeenä. Kaikki eristemateriaalit on otettava huomioon, koska ne vaikuttavat folioiden väliseen kapasitanssiin.

3. KAPASITANSSIN MÄÄRITTÄMINEN GEOMETRISEN MALLIN AVULLA

3.1 Suotimen geometrian kuvaaminen lieriömallilla

Ajatellaan suotimen yhden kierroksen koostuvan sisäkkäisistä lieriöistä kuvassa 3.1 esitetyllä tavalla, johon on piirretty kahden folion muodostama lieriökondensaattori. Lieriöillä on korkeus ja ne voidaan ajatella pitkänä johteena. Kirjallisuudessa [7] ja [12] esitetään yhtälö lieriökondensaattorin kapasitanssille

2

ln _a⁄ _b , (3.1)

missä _a ja _b ovat lieriöiden ulko- ja sisäpintojen säteet kuvan 3.1 mukaisesti.

Kuva 3.1 Yksinkertaistettu kuva suotimen yhdestä kierroksesta, jossa foliot voidaan ajatella muodostavan lieriökondensaattorin.

Lieriöiden pintojen väliselle etäisyydelle voidaan kirjoittaa Δ _{a b}. Yhtälön (3.1) nimittäjä saadaan tällöin muotoon:

ln ^a

b ln ^b Δ

b ln 1 Δ

b (3.2)

Määrittämällä Δ ⁄ _b voidaan yhtälö (3.2) kirjoittaa Maclaurinin sarjana [1]

ln 1 1

2 3 4 ⋯ 1 1 . (3.3)

Sarjan jälkimmäiset termit suppenevat hyvin nopeasti, koska Δ ≪ _b. Pienillä :n arvoilla Maclaurinin sarja ln 1 ja yhtälö (3.2) voidaan kirjoittaa muotoon

R_a R_b E

ln ^a

b

Δ

b . (3.4)

Sijoittamalla yhtälö (3.4) kapasitanssin yhtälöön (3.1), saadaan kapasitanssille likiarvo

2 _b

Δ Δ , (3.5)

missä 2 _b . [7]

Yhtälö (3.5) esittää levykondensaattorin kapasitanssin yhtälöä ja tämä osoittaa, että suotimen kapasitanssi voidaan ajatella levykondensaattorin kapasitanssina olettaen, että folioiden välinen etäisyys Δ ≪ _b. Pinta- ala on sisemmän lieriön ulkopinnan muodostama pinta-ala, jonka säde on _b. Jos folioiden välinen eriste on muu kuin tyhjö, täytyy yhtälö (3.5) kertoa eristemateriaalin suhteellisella permittiivisyydellä .

3.2 Suotimen sähköstaattinen tarkastelu

Tarkastellaan suotimen sähköstaattista käyttäytymistä olettamalla foliot täydellisiksi johteiksi. Tällöin häviöitä ei synny foliossa ja potentiaali on sama joka kohdassa foliota. Kuvassa 3.2 esitetään suotimen yksinkertaistettu 2D-malli, jonka kierrosluku on kolme. Folioiden välille muodostuu sähkökenttä _main, kun suotimen folioihin kytketään vastakkaismerkkiset varaukset. Kuvaa 3.2 tarkastelemalla huomataan, että edellisen ja seuraavan kierroksen folioiden välille muodostuu myös sähkökenttä _turn, jonka suunta on päinvastainen sähkökentän _main suuntanuoliin nähden.

Kuvasta 3.2 nähdään, että folioiden välinen sähkökenttä _main muodostuu kolmen kierroksen verran.

Kierrosten välinen sähkökenttä _turn jää puuttumaan ensimmäiseltä kierrokselta, jolloin sitä muodostuu yksi kierros vähemmän kuin folioiden välistä sähkökenttää _main. Sähkökenttää ei myöskään muodostu suotimen sisä- ja ulkopinnoille.

Kuvan 3.2 perusteella voidaan todeta, että kapasitanssia muodostuu folioiden välille kohtiin, jossa vaikuttaa sähkökenttä. Kapasitanssi voidaan luokitella sähkökentän suunnan mukaan folioiden väliseksi kapasitanssiksi _mainja kierrosten väliseksi kapasitanssiksi _turn. Sähkökentän mukaisesti kapasitanssia muodostuu molemmille puolille folioita pois lukien suotimen sisä- ja ulkopinnat.

Kuva 3.2 Suotimen yksinkertaistettu kuva, jossa on kolme kierrosta. Foliot on varattu vastakkaismerkkisillä varauksilla. Nuolet osoittavat folioiden välille muodostuvaa sähkökentän suuntaa.

Kuvassa 3.3a esitetään sektorikuva suotimesta, jossa näkyy kaksi foliokierrosta ja niiden välillä vaikuttavat kapasitanssit _main ja _turn. Positiiviset foliot voidaan yhdistää, koska foliot oletetaan täydellisiksi johteiksi ja potentiaali on sama joka kohdassa johdetta. Sama asia voidaan todeta negatiivisesti varautuneelle foliolle, ja nämä foliot voidaan yhdistää. Suotimelle voidaan piirtää kuvan 3.3b mukainen yksinkertaistettu kytkentäkuva, jonka mukaan kokonaiskapasitanssi muodostuu kahdesta rinnakkain kytketystä kondensaattorista. Kondensaattoreiden _main ja _turn kapasitanssit ovat erisuuret, koska kapasitanssia _turn ei muodostu ensimmäisellä käämintäkierroksella.

Kuva 3.3 a) Sektorikuva suotimen folioista, joiden välillä ilmenee folioiden välinen kapasitanssi main ja kierrosten välinen kapasitanssi turn . b) Suotimen kapasitanssit voidaan ajatella kahden kondensaattorin rinnankytkentänä.

+Q

−Q

E_turn E_main

+ − + −

n=1 n=2

C_turn C_main C_main

C_main

C_turn +Q

+Q

a) b)

−Q

Kuvan 3.3b rinnakkain kytkettyjen kondensaattoreiden kokonaiskapasitanssi on kapasitanssien summa

p main turn. (3.6)

Koska kierrosten välinen kapasitanssi _turn ei muodostu ensimmäisellä kierroksella, voidaan kapasitanssin

turn pinta-alalle _turn kirjoittaa

turn , (3.7)

missä on ensimmäisen kierroksen pinta-ala ja se määritetään

2 _in , (3.8)

missä _in on ensimmäisen kierroksen säde.

Huomioimalla rinnankytkentä folioiden välillä voidaan yhtälöiden (3.5), (3.6), (3.7) ja (3.8) avulla johtaa yhtälö suotimen kokonaiskapasitanssille

filt

2 ₁

, (3.9)

missä 2 _mid ja 2 _in ja levyjen välisen eristeen paksuus. Yhtälöstä (3.9) voidaan todeta, että suotimen kokonaiskapasitanssi on aina pienempi kuin kaksinkertaisen levykondensaattorin kapasitanssi.

3.3 Folioiden väliset materiaalikerrokset

Suodinta käämittäessä syntyy folioiden ja eristeteippien liitoskohtiin ilmarako. Folion ja eristeteipin toisella puolella voidaan mahdollisesti käyttää myös liimapintaa, joka on käämittäessä osa kondensaattorin eristettä.

Kaikki eristekerrokset on otettava huomioon, koska eristeillä on omat suhteelliset permittiivisyydet ja ne vaikuttavat folioiden väliseen kapasitanssiin.

Kuvassa 3.4 esitetään suotimen folioiden välinen poikkileikkauskuva, jossa näkyy levyjen väliset materiaalikerrokset ja niiden paksuudet ja suhteelliset permittiivisyydet. Paksuudet _adh,i ja _adh,f kuvaavat eristeteipin ja folion liimapintaa. Yhtälöä (3.9) tulisi muokata vielä niin, että materiaalien suhteelliset permittiivisyydet otetaan huomioon.

Kuva 3.4 Suotimen folioiden välinen poikkileikkauskuva, jossa kuvataan folioiden välillä olevat mahdolliset materiaalikerrokset.

Varataan kuvan 3.4 kondensaattori varauksella , jolloin levyjen välille muodostuu jännite _af. Levyjen välinen jännite koostuu materiaalien rajapintajännitteistä

af ab bc cd de ef . (3.10)

Koska jokaisen jännitteen välillä on eriste, voidaan kuvan 3.4 kondensaattori ajatella koostuvan viidestä sarjaan kytketystä kondensaattorista. [7]

Sarjakytkennän kokonaiskapasitanssi määritellään [12]

1

s

1 . (3.11)

Yhdistämällä yhtälöt (3.5) ja (3.11) ja huomioimalla, että jokaisen sarjaan kytketyn kondensaattorin pinta-ala on yhtä suuri, saadaan

1

filt

1 . (3.12)

Sijoittamalla kuvassa 3.4 esitetyt parametrit saadaan yhtälö (3.12) muotoon 1

filt

1 _air

air

adh,i adh

diel diel

air air

adh,f

1 2 _air adh air

adh,f adh,i adh

diel

diel , (3.13)

mistä _filt ratkaisemalla saadaan

filt

2 _air

air

adh,f adh,i adh

diel

diel . (3.14)

d_air d_adh,i d_diel d_air d_adh,f a

b c d e f

ε_air ε_adh,i ε_diel ε_air ε_adh,f

+Q

Huomioimalla yhtälön (3.9) kokonaispinta-ala _tot 2 , saadaan yhtälö (3.14) lopulliseen muotoon

filt 2 2 _air

air

adh,f adh,i adh

diel

diel , (3.15)

missä 2 _mid ja 2 _in . Paksuudet _adh,f ja _adh,i on määritettävä nollaksi, jos valmistettavassa suotimessa ei ole liimapintoja. Yhtälöllä (3.15) voidaan laskea kapasitanssi suotimelle, jonka kierrosluku menee tasan.

Suotimen muiden mittojen lisäksi ilmarako on tärkeä parametri ja se vaikuttaa kapasitanssin arvoon merkittävästi. Yksi menetelmä ilmaraon määrittämiseksi on olettaa se tasaisesti jakautuneeksi folioiden ja eristeteippien välille. Ilmarako voidaan määrittää ratkaisemalla _air yhtälöstä (2.4).

air out in

4

foil

2

ins

2 . (3.16)

Ilmaraon maksimivirhe saadaan kokonaisdifferentiaalilla

|Δ _air| ^air |Δ | ^air |Δ | ^air

foil |Δ _foil| ^air

ins |Δ _ins| _{out in}

1

4 |Δ | 4 |Δ | 1

2|Δ _foil| 1

2|Δ _ins| . (3.17)

Ilmaraon maksimivirhe on kääntäen verrannollinen kierroslukuun eli kasvattamalla kierroslukua voidaan ilmarako määrittää yhä tarkemmin.

3.4 Suotimen geometrian kuvaaminen spiraalimallilla

Suotimen rakennetta voidaan approksimoida kuvassa 3.5 esitetyllä Arkhimedeen spiraalilla. Spiraalimallista on hyötyä simuloinnissa, koska spiraali on yhtenäinen koko matkalta. Malli ei ole kuitenkaan eksakti, koska reaalimallin kierrokset ovat lähes ympyrän muotoisia ja kiertyminen seuraavalle kierrokselle tapahtuu porrasmaisesti folion alkupään kohdalla. Poikkeavuuksista johtuen spiraalimallin kaarenpituus ei vastaa reaalimallin folion pituutta, vaikka kierrosluku on sama. Ongelma voidaan ratkaista määrittämällä spiraalin kaarenpituus yhtä suureksi reaalimallin kanssa.

Kuva 3.5 Suotimen geometrian kuvaaminen Arkhimedeen spiraalilla.

Arkhimedeen spiraali voidaan kuvata napakoordinaatiston yhtälöllä

, (3.18)

missä muuttuja muuttaa spiraalin haarojen välimatkaa ja määrittää spiraalin aloituskohdan x-akselilla.

[13]

Napakoordinaattiyhtälö voidaan esittää parametrimuodossa merkitsemällä ⁄2 , _in ja 2

in cos 2

in sin 2 , 0 1 (3.19)

missä on spiraalin kierrosten välinen etäisyys, _in spiraalin sisäsäde, kierrosluku ja parametri kuvan 3.5 mukaisesti. [1]

Suotimen pituus voidaan laskea polaarisen käyrän kaarenpituuden avulla. [1]

′ (3.20)

Kirjoitetaan parametrinen yhtälö (3.19) uudelleen merkitsemällä 2 .

2 ⁱⁿ cos

2 ⁱⁿ sin , 0 2 (3.21)

Yhtälö (3.21) voidaan esittää polaarikoordinaattimuodossa yhtälöillä [1]

r_in w

1 2 3

cos sin

.

(3.22)

Yhdistämällä yhtälöt (3.21) ja (3.22) saadaan viivaintegraali (3.20) muotoon

2 ⁱⁿ 2

(3.23)

Muokataan yhtälöä (3.23) muotoon

1

4 4 _in 4 _in

, _in , _in

1

2 .

(3.24)

Yhtälön (3.24) integraalille voidaan kirjoittaa seuraava ratkaisukaava. [9]

2 4

4 8

1

√ ln 2 2 (3.25)

Sijoittamalla yhtälöön (3.25) yhtälön (3.24) parametrit , , , saadaan integraalille ratkaisu 2 _in

4 4 _in 4 _in

1

4 ln 2 4 _in 4 _in 4 _in

in

2 4 _in 1

4 ln 4 _in 4 _in .

(3.26)

Yhtälöä (3.26) ei voida ratkaista algebrallisesti kulman suhteen, jolloin ratkaisun löytämiseksi on käytettävä numeerisia menetelmiä. [13]

4. SUOTIMEN KAPASITANSSIN MÄÄRITTÄMINEN KOKEELLISESTI

Suotimen folioiden välisen kapasitanssin yhtälö (3.15) vahvistetaan kokeellisesti rakentamalla halkaisijaltaan erilaisia suotimia ja mittaamalla näiden kapasitanssit. Kaikkien suotimien foliopituudet pidetään vakiona.

Lisäksi rakennetaan samalla foliopituudella levykondensaattori, jonka kapasitanssia verrataan suotimien kapasitansseihin.

Suotimen foliomateriaalina käytetään 3M 1194-kupariteippiä. Teipin toisella puolella on sähköä eristävä liimapinta. Eristemateriaalina käytetään 3M 1350-1 polyesterifilmiteippiä, jonka toisella puolella on sähköä eristävä liimapinta. Taulukossa 4.1 esitetään suotimen kupari- ja eristeteippien mitat. [14][15]

Taulukko 4.1 Suotimessa käytettävien teippien ominaisuudet.

Materiaali kupari polyesterifilmi

Liimapinta akryyli akryyli

Materiaalin paksuus (μm) 35,6 25,4

Liimapinnan paksuus (μm) 30,5 38,1

Teipin kokonaispaksuus (μm) 66,1 63,5

Teipin leveys (mm) 19,1 25,0

Eristekerros muodostuu kolmesta materiaalista: eristeteipin polyesterifilmistä, molempien teippien akryyli- liimapinnasta ja teippien välille muodostuvasta ilmaraosta kuvan 4.1 mukaisesti, missä _foil on folion paksuus _c folion johteen paksuus, _adh,f folion liimapinnan paksuus, _ins eristeteipin paksuus, _adh,i eristeteipin liimapinnan paksuus, _diel eristeteipin eristeen paksuus ja _air ilmaraon paksuus. Ilmarakoja muodostuu jokaisen liimapinnan välille eli yhteensä neljä kappaletta kierrosta kohden. Kaikki eristekerrokset on otettava huomioon, koska ne vaikuttavat suotimen folioiden väliseen kapasitanssiin.

Kuva 4.1 Suotimen yhden kierroksen rakennekuva.

Folio Eriste Liimapinta

d_adh,f d_foil

d_ins

d_adh,i

d d_diel

d_air d_c

Teippien kokonaispaksuudet määritetään yhtälöillä

foil c adh,f

ins diel adh,i . (4.1)

Kuvaa 4.1 tarkastelemalla voidaan kupariliuskojen väliselle eristeen paksuudelle kirjoittaa

diel adh,f adh,i 2 _air . (4.2)

Kokeellisille suotimille lasketaan kapasitanssit muokkaamalla yhtälöä (3.15) niin, että ylijäävän folion pituus otetaan huomioon. Ylijäävän folion pinta-ala täytyy kertoa kahdella, koska se muodostaa sekä folioiden ja kierrosten välistä kapasitanssia. Kapasitanssin lopulliseksi yhtälöksi suotimelle, jonka kierrosluku ei mene tasan saadaan

filt,r 2 _{r 1} 2 _air

air

adh,f adh,i adh

diel

diel , (4.3)

missä _r 2 _r on ylijäävän folion pinta-ala.

4.1 Mittausjärjestelyt

Mittaukset tehtiin kolmelle halkaisijaltaan erilaiselle suotimelle käämimällä foliota ja eristeteippiä rungon ympärille. Lisäksi tehtiin levykondensaattori teippaamalla foliota ja eristeteippiä suoralle levylle. Kaikkien suotimien folioiden pituudet pidettiin vakiona, jolloin suotimien väliset muuttuvat parametrit ovat halkaisija ja kierrosluku.

Suotimien kapasitanssi mitattiin MetaHit29S-yleismittarilla ja HP4194A impedanssianaysaattorila, jossa lisänä 16047D test fixture. Levykondensaattorin kapasitanssiksi yleismittarilla saatiin 2,5 nF. Rungon ja suotimen halkaisijat mitattiin työntömitalla. Suotimen ulkohalkaisija _out täytyy mitata kohdalta, jossa kierrosluku on . Ylijäävä folion pituus mitataan taipuvalla mitalla mittaamalla viimeisen kierroksen yli menevä folion pituus suotimen alkupään kohdalta.

Taulukossa 4.2 esitetään tehtyjen suotimien dimensiot, jossa _out on suotimen ulkokehän pituus, _r viimeisen kierroksen ylijäävän folion pituus. Taulukosta huomataan, että kapasitanssin arvot vaihtelevat eri suotimien kesken, vaikka folioiden pituudet ovat samat. Kapasitanssi kasvaa halkaisijan pienetessä. Ilmiö voidaan selittää yhtälöllä (3.9), jossa pinta-alasta vähennetään ensimmäisen kierroksen pinta-ala.

Suuremmalla halkaisijalla ensimmäisen kierroksen pinta-ala on suurempi ja tästä seuraa kapasitanssin pieneneminen.

Suotimien kapasitanssi (2.1) ei pi muodostava Taulukko 4.2

in (mm) 18 37 84

4.2 Suoti Yhtälössä ( ilmarako ei kuvassa 4.2 on helpomp eristeteippiä

Kuva 4.2 Ennen kääm jälkikäteen.

liiallisen ku

kapasitanssi iin verrattun idä paikkaa at kapasitans 2 Kokeellisten

out (mm) 23 39 85

imen käämi (3.15) oletet ole tasaisest 2 esitetyllä ta pi erottaa. Il ä jäykempää

Lähikuva su mitystä täyty

Liitin tulisi ummun tekem

t ovat lähe a. Tämä todi ansa. Kapasi sia lähes kok n suotimien di

ou

7 73 4 12 1 26

itystekniset taan ilmarak ti jakautunut avalla. Kuvan

lmakuplien k .

uotimen eristet yy tehdä ku mielellään o misen estämi

s kaksinkert istaa, että väi itanssi on k ko matkaltaa imensiot.

ut (mm) _r 60 3 20

4 24

ongelmat ko tasapaksu

, vaan koostu n valoisuusa koko ja muo

teipin pinnalta uparifolioiden

olla monisäik seksi.

taiset samal itöskirjan [6 käämittynä an.

(mm)

0 5

0 4

40 3

uksi alueeks uu ilmakupli asetuksia on oto on myö

a, jossa näkyy n sisäkehän keistä lankaa

lla foliopituu ] menetelmä

suurempi, k

exp (nF) ,0 ,8 ,7

si folioiden ista, joiden k muokattu ni s hyvin erila

y ilmaraon (va liittimet, jo a ja langat tu

udella oleva kapasitanssi koska folioi

ja eristeen koko ja muot iin, että vaale

ainen kupari

aalea) satunnai oiden tekem ulisi juottaa v

aan levykon in laskemise iden molem

välillä. Tod to vaihtelee s eana näkyvä ifoliolla, kos

ainen jakautum minen ei ole vierekkäin k

ndensaattorin eksi yhtälöllä mmat puolet

dellisuudessa satunnaisesti ät ilmakuplat ska folio on

minen.

mahdollista kuparifoliolle n ä t

a i t n

a e

Kuvassa 4.

putkirunkoa käämittäess ilmaraon tu samana, eik akselia vast

Kuva 4.3 Käsityönä t Folion ja er vain kierros tekeminen s

Parempaa k runkoon näh ja minimoid

.3 esitetään a paikallaan sä tulisi folio uottamiselta.

kä kapasitan taan kohtisuo

Suotimen kä tehdyssä kääm risteteipin pit

slukua. Liitä suotimen alk

käämitysratka hden. Teippi daan ilmarak

suotimen k n puristimen

on ja eristet Kuparifolio nssi pääse m

orassa.

äämitys käsity mityksessä t tuudet voi ol äntöjen tulisi ku- ja loppuk

aisua ajatelle irullan pyörim kojen muodos

käämitysvaih avulla ja teipin pysyä oiden täytyy muuttumaan.

yönä tehtynä. K tapahtuvat vi lla virheiden olla suotim ohdalle.

en runkoa tu minen tulisi j stuminen.

he, joka tap liikuttamalla ä vakaana ja

olla tarkast Tämän varm

Käämityksess irheet ovat su

takia suunni men kohdalta

ulisi pyörittää jäykistää kir

pahtui käsity a neljää teip a tiukkana, j

i päällekkäin mistamiseksi

sä käytetään k uuremmat ko iteltua suurem

mahdollisim

ä ja teippirul ristimen avul

yönä. Kääm ppirullaa ru otta vältytää n, jotta efek

kiertämisku

ahta kupari- ja oneelliseen k mmat, jos kä mman litteitä

llat tulisi kiin lla, jolla este

mitys tapahtu ungon ympä

än ryppyjen ktiivinen pint ulma tulisi p

a polyesterifil käämitykseen äämittäessä p ä, jotta estetä

nnittää oikea etään teipin r

ui pitämällä ri. Suodinta ja liiallisen ta-ala pysyy pitää rungon

lmiteippiä.

n verrattuna.

pidetään yllä ään kummun

aan kulmaan rypistyminen ä a n y n

. ä n

n n

5. FEM-MALLIN LUOMINEN JA SIMULOINTI

Suotimia simuloidaan COMSOL Multiphysics-ohjelmalla, joka perustuu FEM-mallinnukseen. Mallit luodaan vastaamaan kokeellisia suotimia, joiden dimensiot esitetään taulukossa 4.2. Simuloituja tuloksia verrataan kokeellisiin ja teoreettisiin tuloksiin.

FEM-menetelmä perustuu ratkaisun approksimointiin jokaisen elementin sisällä käyttäen perusfunktioita, jotka voivat olla vakioita, lineaarisia tai korkeampaa kertaluokkaa. Monimutkainen ongelma jaetaan pieniin elementteihin, jotka voidaan kuvata ja ratkaista yksinkertaisemmin. Ennen ongelman ratkaisua täytyy ongelma kuvata mallilla, joka voi olla nolla-, yksi- tai moniulotteinen. Kaksi- ja kolmiulotteisen mallin tapauksessa mallille luodaan verkko, joka tarkoittaa mallin jakamista pieniin elementteihin. Rakennetta kuvaava malli tulisi tehdä mahdollisimman yksinkertaisesti. Monimutkainen malli sisältää enemmän ratkaistavia elementtejä, josta seuraa laskentatehon ja ratkaisuun kuluvan ajan kasvu. [3]

Sähkömagneettisten ilmiöiden tutkiminen onnistuu COMSOLin AC/DC-moduulilla, jolla voidaan tutkia kondensaattorin, kelan, moottoreiden ja mikrosensoreiden ominaisuuksia. Moduulilla voidaan käsitellä staattisia, kvasistaattisia, transientteja ja aikaharmonisia tiloja. Ohjelman fysiikkaliittymät kattavat seuraavat sähkömagneettisten kenttien simuloinnit: [3]

 sähköstatiikka

 sähkövirrat johtuvassa kappaleessa

 magnetostatiikka

 pientaajuinen sähkömagnetismi

Kondensaattorin käyttäytyminen simuloidaan tyypillisesti jatkuvan tilan elektrostatiikan reunaehdoilla tai taajuustasolla sinimuotoisesti aikamuuttuvan reunaehtojen mukaisesti. Täysin transientissa tilassa kondensaattorin purkautuminen voidaan simuloida olettaen induktiiviset vaikutukset merkityksettömiksi.

Tämä määrittely on monimutkaista ja vaatii oletuksia ja mallin yksinkertaistamista. [2][4]

Usein on riittävää mallintaa ongelma kaksiulotteisena, koska se vastaa jo hyvin todellista ongelmaa ja 2D- malli on helpompi muokata ja ratkaista nopeammin kuin 3D-malli. 2D-mallista on yksinkertaista siirtyä 3D- malliin, jos geometria on symmetrinen kolmannen akselin suunnassa. Suotimen tapauksessa 3D-mallin luominen onnistuu pursuttamalla 2D-malli kolmannen akselin suunnassa folion leveyden verran. [4]

5.1 2D-mallin luominen

COMSOL Multiphysics -ohjelma sisältää matemaattisia työkaluja 2D- ja 3D-mallin luomiseksi.

Vaihtoehtoisesti mallin voi myös tehdä ensin CAD-suunnitteluohjelmalla ja tuoda malli sen jälkeen COMSOL ohjelmaan. [3]

Suotimen yksinkertaisen rakenteen takia malli voidaan luoda käyttäen COMSOLin valmiita mallinnustyökaluja. Mallinnuksessa käytetään kuvassa 5.1 esitettyä rakennetta. Foliot ja eristeet mallinnetaan omana suljettuna pintana. Kuparin ja eristeen välinen liimapinta mallinnetaan neliönä, joka ulottuu koko suotimen geometrian ulkopuolelle. Liuskojen väliset etäisyydet ja määritetään taulukon 4.1 liimapintojen ja ilmaraon paksuuksien mukaan.

Kuva 5.1 Mallinnuksessa käytettävä neljä liuskainen rakenne. Liimapinta mallinnetaan suotimen ulkopuolelle ulottuvalla neliöllä. Etäisyydet ja määräävät liimapinnan ja ilmaraon paksuuden.

Suotimen koko geometria kannattaa parametrisoida, jotta suodinta suunniteltaessa tarvitsee tietää vain sisähalkaisija, kierrosluku, korkeus, sekä ilmaraon, folion- ja eristeteipin paksuudet. Kaikki loput mitat voidaan laskea edellisten parametrien avulla.

Suotimen foliot ja eristeteipit mallinnetaan yhtälön (3.19) parametrisillä käyrillä. Käyrät muodostetaan noudattamalla kuvan 5.1 rakennetta. Folion ja eristeteippien kuvaamiseen tarvitaan kaksi parametristä käyrää ja kaksi suoraa, jotta saadaan muodostettua suljettu pinta.

Ennen verkon luomista täytyy neliömäinen eriste erottaa suljetuista pinnoista, koska niiden geometriat menevät päällekkäin. Jäljelle jäävä geometria on folioiden välillä, sekä suotimen sisä- ja ulkopuolella.

Suotimen valmis geometria esitetään kuvassa 5.2. Selvyyden vuoksi kuvan suotimen sisähalkaisija on määritetty samaan suuruusluokkaan suotimen paksuuden kanssa. Foliot esitetään kuvassa oranssina ja eristeteippi sinisenä. Harmaa neliö kuvaa folioiden ja eristeteippien välistä liimapintaa.

Kuvan 5.2 neljä liuskainen malli ei kuvaa täysin kuvan 3.4 rakennetta, koska mallissa ei oteta huomioon folion ja eristeteipin välille muodostuvaa ilmarakoa. Ilmaraon mallintaminen nostaisi mallin suljettujen pintojen lukumäärää neljällä, joka kasvattaisi verkkoelementtien määrää moninkertaisesti. Ilmaraon mallintaminen suljettuna pintana ohitetaan, koska simulointi ei ole mahdollista käytössä olleella tietokoneella. Simulointimalli luodaan lisäämällä ilmaraon paksuus parametreihin ja kuvan 5.1 mukaisesti.

Folio

Eriste

Liimapinta

a

a b

b

Kuva 5.2 Suotimen neljä liuskainen simulointimalli. Ilmarako huomioidaan vain lisäämällä sen paksuus folioiden ja eristeteippien välille.

5.2 Verkon luominen mallille

Ennen varsinaista ongelman ratkaisua täytyy mallille luoda verkko, jolla tarkoitetaan mallin diskretointia pieniin verkkoelementteihin. Verkon luominen ei ole suoraviivaista, vaan siinä täytyy huomioida mm.

kappaleen muoto, verkon elementtien määrä ja käytettävissä oleva laskentateho. 2D-verkon kehitin diskretisoi alueet kolmio- tai nelisivuisiksi elementeiksi. Jos reunat ovat pyöreitä, nämä elementit kuvataan approksimoimalla alkuperäistä geometriaa. [3]

Hyvin yksityiskohtaisen verkon luominen vie laskentatehoa ja laskenta-aikaa ongelman ratkaisemiseksi.

Kappaleen vaihteleva geometria, kuten suurten ja pienten muotojen läheisyys tuo haasteita verkon luomiseen.

Suotimen tapauksessa folioiden- ja eristeteippien, sekä ilmaraon muodostamat hyvin ohuet rajapinnat suhteessa suotimen muihin mittoihin tuottavat ongelmia. Tässä tapauksessa verkko tulisi luoda asteittain suurimmasta geometriasta pienimpään kuvassa 5.3 esitetyllä tavalla. Kuvan alueet 1-3 verkotetaan eri tiheysasetuksella alueen koon mukaan. [3]

Liimapinta Folio

Eristeteippi

Kuva 5.3

Suotimen v Verkko-oele pituussuunn liuskan pak

Lähikuvassa elementtien verkon luo huomattava

Verkon ast tiheämmin.

verkkoa void ementtien k nassa. Tällöi suudella. Liu

a 5.4 esite n määrä määr minen liusk asti enemmän

teittainen luo

daan yksinke koko tulisi v in elementtie uskojen verk

etään suotim ritetään tasai kojen kohdal n lähelle raja

ominen siirry

ertaistaa pako valita niin, e

en määrä liu kottamisen jä

melle luotu isesti jakautu

lle. Kuvasta pintoja.

yttäessä piene

ottamalla ve että dimensi uskan matka älkeen kaikki

verkko kä uneeksi liusk a huomataan

empään alue

erkon elemen iot ovat noin lle voidaan i muu jäljelle

äyttäen verk kojen pituuss n, että ohjel

eseen. Piene

nttien määrä n yhtä suur laskea koko e jäänyt geom

kkoelementte suunnassa. T lma muodos

emmät alueet

ä vakioksi pi ret elementin o liuskan pit metria täytyy

einä kolmio Tällä estetään

staa verkon

t verkotetaan

itkin foliota.

n leveys- ja tuus jaettuna y verkottaa.

ita. Verkon n liian tiheän elementtejä n

. a a

n n ä

Kuva 5.4

5.3 Fysii Ennen ong ominaisuud sähköstatiik Elektrostati potentiaalik

Ongelman kuparifolioi [4][6][11]

Toinen kup kapasitanssi potentiaalie

2 Δ

5.4 Suoti Kuvassa 5.

kierrosluku Simuloinnis

Suotimelle pituussuunn

ikkamoduul gelman ratk det ja lähtöa kka on sop ikan malliss kenttiä folioid

ratkaisemis iden suhteel

pariliuskoist in kaikkien erosta Δ yht

imen sähköp 5 esitetään

3. Sisempi f ssa oletetaan

luotu kolmio nassa.

lin valitsemi kaisua valit arvot, jotta piva staattist

a oletetaan, den sisällä. [

seksi täytyy liseksi perm

a asetetaan elementtien tälön (5.1) m

potentiaalik suotimen sä folio on määr n folion oleva

overkko. Ele

inen ja lähtö taan sopiva haluttu ong ten tilojen että molemm 4]

y materiaale mittiivisyydek

1 voltin p n varautunee mukaisesti. [2

kentän analy ähköstaattine

ritelty kautta an täydelline

ementtien mä

öarvojen mä a fysiikkam gelma voida

tutkimiseen mat foliot pid

eille määritt ksi määritetä

potentiaaliin esta kokona 2][4]

ysointi en potentiaal

aaltaan 1 volt en johde, jol

äärä määritet

ääritys moduuli, mä

an ratkaista n, kuten ka

detään vakio

tää suhteell ään 1,0, pol

n ja toinen ais-sähköener

lijakauma. S tin potentiaa lloin potentia

ään tasaisest

ääritetään m . COMSOL apasitanssin ojännitteessä,

linen permi lyesteriteipill

maapotenti rgiasta j

uotimen sisä liin ja ulomp aali on sama

ti jakautunee

materiaaleille Lin AC/DC

arvon mää , eikä ole tar

ittiivisyys le 3,3 ja ak

iaaliin. Ohje a suotimeen

ähalkaisija o pi folio maap a joka kohda

ksi liuskojen

e sähköiset -moduulista ärittämiseen.

rvetta laskea

. Suotimen kryylille 3,0.

elma laskee n kytketystä

(5.1)

on 4 mm ja potentiaaliin.

ssa johdetta.

n

t a . a

n .

e ä

a . .

Folioiden m muodostuu

Kuva 5.5 Simulointik ulkopuolella folio 1 V po joka pistees jonka muka

Φ E⋅

mukaisesti.

Suotimen fo pituus on fo olla nolla j kokonaisvar

molemmille kahden kond

Suotimen sä kuvasta huom

a nolla voltt otentiaaliin.

ssä, koska po aan sähkövuo

A ^encl

[7]

olion yksi ki olioiden väli joka pistees raus ja sähkö

puolille m densaattorin

ähköpotentiaal mataan, että tia. Tilanne o Jos suotimen otentiaali ei m olla Φ on pin

ierros voidaa seen etäisyy sä Gaussin ökenttä Gaus

muodostuu s rinnankytken

lijakauma. Sis suotimen si on päinvasta n alku- ja lop muutu liikutt nnan sisäänsä

an ajatella ym teen suuri. K pintaa, kosk ssin pinnan s

sähkökenttä nnästä.

sempi folio on isällä potent ainen, jos sis

ppupäitä ei h taessa suotim ä sulkeman s

mpyränä kuv Kuvitellaan G

ka pinta on sisällä täytyy

eli suotim

n 1 V potentia tiaali on kau

empi folio k huomioida, o men sisällä. T ähkövarauks

vassa 5.6 esit Gaussin pinta

johteen sis olla nolla.

men folioide

alissa ja ulom uttaaltaan yh kytketään ma on sähkökent Tämä voidaan

sen _encl muk

tetyllä tavalla a johteen sis

ällä. Tällöin

en välinen

mpi folio on m hden voltin aapotentiaali ttä suotimen an todistaa G

kainen relaat

a, koska suo sälle. Sähkök n yhtälön (5

kapasitanssi

aadoitettu.

ja suotimen in ja ulompi sisällä nolla aussin lailla, tio yhtälön

(5.2)

timen folion kenttä täytyy 5.2) mukaan i

n i a ,

n y n

Kuva 5.6 Gaussin lain soveltaminen suotimen yhdelle kierrokselle, jonka mukaan sähkökenttä suotimen sisällä on nolla.

Kuvasta 5.5 huomataan myös hajakentät liuskojen alku- ja loppupäissä, joissa potentiaalikenttä ei mene suoraviivaisesti levyltä toiselle vaan kaareutuu liuskojen päissä. Hajakenttä on merkittävä levyjen etäisyyden ollessa samaa suuruusluokkaa kondensaattorin muiden mittasuhteiden kanssa. Suotimen tapauksessa eristekerros on hyvin ohut, joka on murto-osa eristeen leveyteen tai pituuteen verrattuna. Tässä tapauksessa hajakenttä ei ole merkittävä, joten se voidaan jättää simuloinnissa huomioimatta. [12]

Ohjelma laskee suotimen kokonaiskapasitanssin yhtälön (5.1) mukaisesti. Koska kapasitanssi lasketaan kaksiulotteiselle pinnalle, täytyy tulos kertoa suotimen korkeudella eli kuparifolion leveydellä.

Simulointimalliin laskettiin kulma numeerisesti yhtälön (3.23) avulla varioimalla :aa niin, että pituus saadaan 500 mm:ksi. Kaikissa simulointimalleissa käytettiin halkaisijaltaan pienimmän suotimen ilmaraon paksuutta, joka määritettiin yhtälöllä (3.16). Simulointimalli noudattaa kuvan 5.1 rakennetta, eikä ilmarakoa mallinnettu suljettuna pintana. Ilmaraon paksuus huomioidaan ja se lisätään liimapinnan paksuuteen, jotta folioiden välinen etäisyys vastaa mahdollisimman paljon kokeellisia suotimia.

Gaussin pinta

E= 0

6. TULOKSET

Taulukossa 6.1 listataan kokeellisten, simuloitujen ja teoreettisten kapasitanssien tulokset. _filt lasketaan yhtälöllä (4.3) ja _V väitöskirjan [6] yhtälöillä (2.1) ja (2.2) huomioimalla ylijäävä folion pinta. Vertaamalla teoreettisia kapasitansseja _V kokeellisiin arvoihin nähden, voidaan todeta että väitöskirjan menetelmä ei anna oikeaa tulosta. Teoreettisista arvoista _filt nähdään, että työssä johdettu yhtälö (3.15) pitää paikkaansa ja antaa kapasitanssin arvon lähelle kokeellisia arvoja.

Suotimen 2 teoreettisessa arvossa _filt on eniten poikkeamaa kokeelliseen arvoon nähden. Ero johtuu ilmeisesti virheestä sisähalkaisijan määrittämisessä, koska vain laskettu arvo poikkeaa. Simuloidun mallin folion pituus määritetään vastaamaan reaalimallin pituutta, kun taas teoreettisesti lasketun folion pituuteen vaikuttaa suotimen halkaisija. Suotimen runko on voinut mitattaessa olla muodoltaan ellipsi tai runko poikkeaa muuten ympyrän muodosta.

Levykondensaattorin kokeellisesta, teoreettisesta ja simuloidusta tuloksista nähdään, että kapasitanssit ovat lähes kaksinkertaiset suotimeen 1 verrattuna. Yhtälön (3.9) mukaisesti suotimen 1 pinta-ala ≫ , mistä seuraa, että pinta-ala on lähes kaksinkertainen levykondensaattorin pinta-alaan nähden. Suotimen 1 foliot muodostavat kapasitanssia molemmin puolin lähes koko matkaltaan, mutta levykondensaattorissa kapasitanssia muodostuu vain toiselle puolelle folioita.

Kaikkien suotimien teoreettiset ja simuloidut kapasitanssit poikkeavat mitatuista arvoista. Erot johtuvat todennäköisesti virheestä ilmaraon määrittämisessä. Yhtälön (3.17) mukaan alhainen kierrosmäärä lisää virhettä ilmaraon määrittämiseen. Ilmarako on määritetty liian paksuksi, koska teoreettiset ja simuloidut arvot ovat kokeellisia arvoja pienempiä.

Levykondensaattorin simuloitu kapasitanssi on suurempi kuin kokeellisesti määritetty. Ero kapasitanssissa, johtuu simulointimallille määritetystä todellista suuremmasta ilmaraosta, koska käsin tehtäessä kuparifoliota ja eristeteippiä ei ole mahdollista liimata yhtä tiukalle kuin ympyrän muotoiselle rungolle.

Taulukko 6.1 Kokeellisten, simuloitujen ja teoreettisesti laskettujen suodinten ja levykondensaattorin kapasitanssit.

Kappale _in (mm) _exp (nF) _FEM (nF) _filt (nF) _V (nF)

suodin 1 18 5,0 4,9 4,6 3,0

suodin 2 37 4,8 4,6 3,8 2,8

suodin 3 84 3,7 3,8 3,3 1,8

levy 2,5 2,8 2,3 2,8

Koska simulointimallin tulokset vastaavat kokeellisia tuloksia, voidaan sitä käyttää kapasitanssin käyttäytymisen tutkimiseen varioimalla suotimen eri parametreja. Kuvaan 6.1 on piirretty simuloituja kapasitanssin arvoja varioimalla kierroslukua ja pitämällä liuskan pituus vakiona. Suotimen sisäsäde _in ratkaistaan numeerisesti yhtälöstä (3.20) varioimalla sädettä, kunnes pituudeksi saadaan 500 mm.

Kuvasta 6.1 nähdään, että kierrosten lisääminen kasvattaa kapasitanssia ja riippuvuus ei ole lineaarinen.

Kierrosluvun kasvaessa kapasitanssi kasvaa, koska kierrosten välinen kapasitanssi _turn kasvaa. Kuvasta huomataan myös, että kapasitanssi lähestyy raja-arvoa, joka on levykondensaattorin kaksinkertainen kapasitanssi. Raja-arvo lieriömallin kapasitanssille suotimen sisähalkaisijan lähestyessä nollaa voidaan määrittää yhtälöllä (3.9):

lim

in→

2 ₁

lim

in→

4 _mid 2 r_in 4 _mid

2 , (5.3)

missä 2 _mid . Yhtälön (5.3) mukaan suotimen folioiden välinen kapasitanssi on pienempi kuin kaksinkertaisen levykondensaattorin kapasitanssi.

Kuva 6.1 Kapasitanssi kierrosluvun funktiona. Kuparifolion pituus pidetään vakiona. Kapasitanssin arvo lähestyy levykondensaattorin kaksinkertaista kapasitanssia.

2,5E‐09 3,0E‐09 3,5E‐09 4,0E‐09 4,5E‐09 5,0E‐09 5,5E‐09

0 2 4 6 8 10 12 14

C(F)

N

7. JOHTOPÄÄTÖKSET

Työssä johdettiin yhtälö (3.15) kapasitanssin muodostumiselle foliokäämityksessä. Yhtälö ottaa huomioon folion välisen ilmaraon ja muut mahdolliset materiaalipinnat, kuten folion ja eristeteipin liimapinnat. Yhtälön paikkaansa pitävyys todistettiin kokeellisilla mittauksilla ja FEM-mallinnuksella.

Johdettu yhtälö antaa paremman estimaatin kapasitanssille, kuin väitöskirjassa [6] esitetyt yhtälöt.

Väitöskirjassa esitetyissä yhtälöissä ei oteta huomioon kapasitanssia, joka muodostuu käämikierrosten välille.

Yhtälöt eivät myöskään ota huomioon folioiden välissä olevaa ilmarakoa tai folio- ja eristeteippien mahdollista liimapintaa. Kaikki eristemateriaalit on otettava huomioon, koska ne vaikuttavat kapasitanssiin merkittävästi.

Simulointituloksista voidaan todeta, että FEM-malli toimii ja antaa suotimen kapasitanssin arvon lähelle vastaavia kokeellisia arvoja. Erot simuloitujen ja kokeellisten suotimien kapasitansseissa voi johtua virheestä ilmaraon ja suotimen halkaisijan määrittämisessä, virheistä suodinta käämittäessä ja kirjallisuudessa esitetyistä suhteellisista permittiivisyyksistä, jotka voivat olla erilaiset kokeellisilla suotimilla.

Vakiopituudella kierrosluku vaikuttaa kapasitanssin arvoon ja riippuvuus ei ole lineaarinen. Suuremmalla kierrosluvulla saadaan suurempi kapasitanssi ja vastaavasti pienemmät suotimen dimensiot. Kapasitanssi muuttuu suotimen dimensioiden muuttuessa, koska suotimen sisä- ja ulkopinnat eivät muodosta kapasitanssia.

Kapasitanssin arvoon vaikuttaa merkittävästi folioiden ja eristeteippien välinen ilmarako. Ilmarakoa ei voida ajatella tasaisesti jakautuneeksi. Todellisuudessa ilmarako muodostuu liuskojen välille ilmakuplina, joiden koko vaihtelee hyvin satunnaisesti. Yksi tapa ilmaraon määrittämiseksi on käämiä folio ja eristeteippiä rungon ympärille ja laskea ilmarako folioiden ja teippien paksuuksien, sekä kierrosluvun perusteella.

Ilmaraon määrittämisen virhe pienenee kierrosmäärän kasvaessa.

Teippien ohuen geometrian takia suotimen mallinnus luo haasteita ja mallia on yksinkertaistettava laskentatehon ja -ajan parantamiseksi. Tässä työssä esitettyä simulointimallia voisi yksinkertaistaa vielä niin, että foliot, eristeteipit ja ilmaraot mallinnetaan vain matemaattisena käyränä, jolle määritetään paksuus ja permittiivisyys. Tällä menetelmällä rakenne saadaan yksinkertaisemmaksi ja verkon elementtien määrä pienemmäksi.

Kokeellisia mittauksia tarvitaan enemmän yhtälön toimivuuden varmistamiseksi ja suotimet tulisi käämiä koneellisesti virheiden minimoimiseksi. Käytännön suotimet tulisi käämiä niin, että tulo- ja lähtöliittimet menevät päällekkäin. Teoreettisia arvoja laskettaessa ei tarvitse laskea ylijäämän pinta-alaa ja arvoja voidaan suoraan verrata kokeellisiin mittauksiin.

LÄHTEET

[1] Adams R. A. 2006. Calculus: a complete course. 6th edition. Pearson Education. ISBN: 0-321-27000- 2.

[2] COMSOL AB. 2010. COMSOL AC/DC Module User’s Guide [3] COMSOL AB. 2010. COMSOL Multiphysics User’s Guide [4] COMSOL AB. 2010. Introduction to capacitor modeling.

[5] Dzhankhotov V., Pyrhönen, J., Silventoinen, P., Kuisma, M., Minav, T.A., 2011, “A new passive hybrid air-core foil filter for modern power drives,” IEEE Trans. Ind. Electron., vol. 58, s.1757

[6] Dzhankhotov V., 2009, “Hybrid LC filter for power electronic drives: Theory and implementation,”

Lappeenrannan teknillinen yliopisto, väitöskirja

[7] Giancoli D. C. 2008. Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. 4th edition. Pearson Education. ISBN: 978-0136074809

[8] Kuisma, M., Dzhankhotov, V., Silventoinen, P., Pyrhönen, J., 2009, ”Air-cored common Mode filter with integrated capacitors,” IEEE, Power Electronics and Applications, 2009. EPE '09. 13th European Conference. ISBN: 978-1-4244-4432-8

[9] Lennart R., Westergren B. 2008. Mathematics Handbook for Science and Engineering. 5th edition.

Studentlitteratur. ISBN: 91-44-03109-2.

[10] Mohan N., Undeland T., Robbins W. 2003. Power Electronics: Converters, Applications and Design.

John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-471-42908-2

[11] Seppänen R., Kervinen M., Haavisto A. 2000. MAOL-taulukot. Otava. ISBN: 951-1-16053-2.

[12] Young H. D., Freedman R. A. 2007. University Physics with Modern Physics. 12th Edition. Pearson Education. ISBN: 978-0321501301

[13] Wolfram MathWorld. Archimedes' Spiral. [verkkodokumentti]. [viitattu 12.9.2011]. Saatavilla http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesSpiral.html

[14] 3M 1194 Tape. Copper Foil with Nonconductive Adhesive. [datasheet]. [viitattu 12.9.2011]. Saatavilla http://www.farnell.com/datasheets/24246.pdf

[15] 3M 1350-1, 1350-2 Tape. Flame-Retardant Tape with Polyester Film and Acrylic Pressure-Sensitive Adhesive. [datasheet]. [viitattu 12.9.2011]. Saatavilla http://www.farnell.com/datasheets/311289.pdf