Venymämitat kontinuumimekaniikassa Fingerin ja Piolan mukaan näkymä

Rakenteiden Mekaniikka

Vol. 50, Nro 4, 2017, s. 451 – 462

http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https://doi.org/10.23998/rm.66414

Kirjoittajat 2017.c

Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu.

Venym¨ amitat kontinuumimekaniikassa Fingerin ja Piolan mukaan

Martti Mikkola

Tiivistelm¨a. Suhteellinen muodonmuutos kontinuumimekaniikassa voidaan m¨a¨aritt¨a¨a useal- la tavalla. Tavallisimmin k¨aytetyt venym¨amitat johtavat kovariantteihin tensoreihin (Green- Lagrange, Almansi-Euler). Finger ja Piola ovat esitt¨aneet venym¨amitat, joiden tensorit ovat kontravariantteja. Artikkelissa tarkastellaan n¨aiden venym¨amittojen johtamista ja ominaisuuk- sia sek¨a niihin liittyvi¨a j¨annityksi¨a. Sovelluksina tarkastellaan vedetty¨a sauvaa ja yksinkertaista leikkausta.

Avainsanat: muodonmuutos, Fingerin ja Piolan venym¨amitat, venym¨anopeus, j¨annitysmitta.

Vastaanotettu 19.10.2017. Hyv¨aksytty 13.12.2017. Julkaistu verkossa 14.12.2017.

Johdanto

T¨ass¨a esityksess¨a vektoreita merkit¨a¨an vinoilla lihavoiduilla kirjaimilla ja niiden dyadi- tuloa x ⊗ y. Toisen kertaluvun tensoreita merkit¨a¨an pystyill¨a lihavoiduilla kirjaimilla T=T^klg_k⊗g_l =Tklg^k⊗g^l. Vektorit ja tensorit ovat koordinaatistosta riippumattomia, mutta ne voidaan esitt¨a¨a joko kovariantin tai kontravariantin kantaj¨arjestelm¨an avulla.

Kovariantti kantaj¨arjestelm¨a on{g_k}ja kontravariantti vastaavasti{g^k}. Niill¨a on omi- naisuus g_k ·g^l = δ_k^l. On tapana nimitt¨a¨a komponenttimuodossa Tkl esitetty¨a tensoria kovariantiksi, ts. tensori on esitetty kontravariantin kannan avulla, ja komponenttimuo- dossa T^kl esitetty¨a kontravariantiksi, jolloin se siis on esitetty kovariantin kannan avulla.

Kun halutaan korostaa kumpaa esitysmuotoa k¨aytet¨a¨an, kovariantille tensorille k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨aT^[ ja kontravariantille merkint¨a¨aT^\. Voidaan k¨aytt¨a¨a my¨os sekamuotoista esi- tyst¨a T = T^k_·lg_k⊗g^l =T_k·^lg^k⊗g_l. Suorakulmaisessa yksikk¨okantaj¨arjestelm¨ass¨a {ek} kovariantit ja kontravariantit kantavektorit tietenkin yhtyv¨at. Esitystapa noudattaa mel- ko tarkasti G.A. Holzapfelin kirjaa [8] ja osittain my¨os Ba¸sarin ja Weichertin teosta [1].

My¨os A.Cemal Eringenin [2] kinematiikan esityst¨a on hy¨odynnetty.

Tarkastellaan kontinuumikappaletta, joka sijaitsee kolmiulotteisessa euklidisessa ava- ruudessa (kuva 1). Peruskoordinaatisto on kiinte¨a suorakulmainen koordinaatisto, jonka koordinaattiakselien suuntaiset yksikk¨okantavektorit ovat {ek}. Ainepisteen paikkavek- tori t¨ass¨a koordinaatistossa on alkutilassa P = Z^KeK ja deformoituneessa lopputilas- sa p = z^kek. Paikkavektorit referoidaan samaan karteesiseen koordinaatistoon, mutta

Z¹,z¹

X¹ G1

X² X³

G3

C0

G2

x¹ g1

x² x³

Ct

bP0

bPt

dX

dx

O

Z²,z² Z³,z³

g3

g2

e1 e2

e3

1

Kuva 1. Deformoituva kappale koordinaatistoineen alkutilassaC0ja lopputilassa Ct.

selvyyden vuoksi alkutilaan viitataan isoilla kirjaimilla ja deformoituneeseen tilaan pie- nill¨a. K¨aytet¨a¨an my¨os k¨ayr¨aviivaista koordinaatistoa X^K,(K = 1,2,3) siten, ett¨a Z^K = Z^K(X¹, X², X³). Deformoituneessa tilassa voi olla toinen k¨ayr¨aviivainen koordinaatisto x^k,(k = 1,2,3) siten, ett¨a z^k = z^k(x¹, x², x³). Deformaation tapahtuessa k¨ayr¨aviivaisen koordinaatiston koordinaattiviivat, jotka k¨asitt¨av¨at samat ainepisteet, my¨os deformoi- tuvat, niin ett¨a deformoituneessa tilassa niit¨a esitt¨av¨at konvektiiviset koordinaattiviivat x^k=x^k(X¹, X², X³). Ainepisteisiin kiinnittyv¨at koordinaatit X^K ja Z^K ovat materiaali- koordinaatteja ja paikkakoordinaatit x^k ja z^k spatiaalikoordinaatteja.

Alkutilassa k¨ayr¨aviivaisen koordinaatiston koordinaattiviivojen tangenttivektorit GK = ∂Z^M

∂X^KeM (1)

muodostavat kovariantin kantaj¨arjestelm¨an {GK}. Niit¨a vastaava kontravariantti kanta on

G^K = ∂X^K

∂Z^Me^M. (2)

N¨am¨a kantavektorit ovat toistensa suhteen resiprookkiset (duaaliset), mit¨a kuvaa yht¨al¨o GK·G^M =δ_K^M. (3) Deformoituneessa tilassa vastaavat kantavektorit ovat

g_k= ∂z^m

∂x^kem, (4)

jotka muodostavat kovariantin kantaj¨arjestelm¨an {g_k}, ja vastaavasti g^k= ∂x^k

∂z^me^m, (5)

jotka muodostavat kontravariantin kantaj¨arjestelm¨an {g^k}. Konvektiivisten koordinaat- tiviivojen tangenttivektorit ovat

g_K = ∂x^m

∂X^Kg_m, (6)

jotka ovat kovariantteja. Vastaava kontravariantti kanta on g^K = ∂X^K

∂x^m g^m. (7)

N¨aiden vektorien indeksein¨a k¨aytet¨a¨an isoja kirjaimia osoittamassa, ett¨a ne liittyv¨at ma- teriaalikoordinaatteihin. Niill¨a on my¨os resiprookkisuusominaisuus

g_K·g^M =δ_K^M. (8) Deformoituvan kappaleen paikallinen venym¨atila m¨a¨aritet¨a¨an tavallisesti deformaa- tiogradientin Favulla. Deformaatiogradientti sis¨alt¨a¨a informaation paitsi viiva-alkioiden venymist¨a ja niiden v¨alisten kulmien muutoksista my¨os paikallisesta j¨ayk¨an kappaleen kiertym¨ast¨a. Venymi¨a voidaan mitata eri tavoilla: yleens¨a tarkastellaan viiva-alkioiden neli¨oiden muuttumista, jolloin p¨a¨adyt¨a¨an Greenin-Lagrangen, Almansin-Eulerin, Piolan ja Fingerin venym¨amittoihin [1,2,3,8,12]. Muita venym¨amittoja ovat esim. logaritminen venym¨a [6] ja ns. yleistetyt venym¨at [7, 14]. Viel¨a yleisemp¨a¨an venym¨atilan m¨a¨arittelyyn tullaan ottamalla huomioon siirtymien korkeammat derivaatat, esim. venym¨an 1. tai 2.

gradientti [10]. T¨ass¨a artikkelissa tarkastellaan vain Fingerin ja Piolan venym¨amittoja, jotka harvoin esitet¨a¨an kontinuumimekaniikan oppikirjoissa.

Deformaatiogradientti ja sen k¨a¨anteistensori Alkutilan viiva-alkion dP = dX pituuden neli¨o on

dX ·dX = dX^KGK·GLdX^L= dX^KGKLdX^L. (9) TensoriG=GKLG^K⊗G^Lon alkutilan metrinen tensori. Deformaatiossa viiva-alkio dX kuvautuu viiva-alkioksi dp = dx =FdX deformaatiogradientin Favulla, ks. kuva 1,

F= ∂x^k

∂X^Mg_k⊗G^M =F_·M^k g_k⊗G^M =g_M ⊗G^M. (10) Deformoituneen viiva-alkion pituuden neli¨o on

ds² = dx ·dx = dx^kgkldx^l= dX ·F^TFdX = dX ·CdX. (11) Muodonmuutostensori Con Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen muodonmuutostensori

C=F^TF= ∂x^k

∂X^Mgkl

∂x^l

∂X^NG^M ⊗G^N =F_·M^k gklF_·N^l G^M ⊗G^N =CM NG^M ⊗G^N. (12) Tensori g=gklg^k⊗g^l on deformoituneen tilan metrinen tensori.

Vastaavalla tavalla deformoituneen tilan koordinaattiviivat x^k esitt¨av¨at niit¨a materi- aalipartikkeleita, jotka ovat per¨aisin alkutilan pisteist¨aX^K(x¹, x², x³). (T¨am¨a k¨a¨anteinen yht¨al¨o voidaan muodostaa, sill¨a det(F) >0). Ne muodostavat alkutilassa k¨ayr¨aviivaiset koordinaatit, joiden tangenttivektorit ovat

Gk= ∂X^M

∂x^k GM. (13)

Vastaava kontravariantti kanta on

G^k= ∂x^k

∂X^KG^K. (14)

N¨aiden vektorien indeksein¨a k¨aytet¨a¨an pieni¨a kirjaimia osoittamassa, ett¨a ne liittyv¨at spatiaalikoordinaatteihin. Ne toteuttavat tietenkin yht¨al¨ot

Gk·G^m =δ^m_k. (15) Deformoituneen tilan viiva-alkio dx on l¨aht¨oisin alkutilan viiva-alkiosta dX = F⁻¹dx deformaatiogradientin k¨a¨anteistensorinF⁻¹ avulla (ks. [8] s.71)

F⁻¹ = ∂X^K

∂x^m GK⊗g^m =Gm⊗g^m. (16) Alkutilan viiva-alkion pituuden neli¨o on

dS² = dX ·dX = dX ·F^−TF⁻¹dX = dX ·b⁻¹dX. (17) Muodonmuutostensoribon Cauchyn-Greenin vasemmanpuoleinen muodonmuutostensori

b=FF^T = ∂x^k

∂X^MG^{M N} ∂x^l

∂X^Ng_k⊗g_l =F_·M^k G^{M N}F_·N^l g_k⊗g_l=b^klg_k⊗g_l. (18) Huomataan, ett¨a tensori C on kovariantti, kun taas tensori b on kontravariantti. Kuten johdannossa mainitaan, kovarianttia tensoria merkit¨a¨an usein yl¨aindeksill¨a[ ja kontrava- rianttia vastaavasti yl¨aindeksill¨a\. Voidaan n¨aytt¨a¨a, ett¨aRC^[R^T=b^\ ja ett¨a R(C⁻¹)^\R^T = (b⁻¹)^[, jossa R on polaarihajoitelmassa esiintyv¨a rotaatiotensori.

Polaarihajoitelma

Tunnetusti deformaatiogradientille p¨atee polaarihajoitelma, jonka mukaan se on kahden tensorin tulo

F=RU=vR, (19)

Tensori R on rotaatiotensori, joka voidaan esitt¨a¨a muodossa

R=R_·M^k g_k⊗G^M, R^T =R^K_·mGK⊗g^m. (20) Rotaatiotensori toteuttaa yht¨al¨ot

R^TR =R^K_·mδ^m_·kR^k_·NGK⊗G^N =R^K_·mR_·N^mGK ⊗G^N =GK⊗G^K =G, RR^T =R^k_·Mδ_·K^MR_·m^Kg_k⊗g^m =R_·K^k R^K_·mg_k⊗g^m=g_k⊗g^k=g.

Metriset tensorit G ja g ovat samalla yksikk¨otensorit alkutilassa ja deformoituneessa tilassa.

Tensorit Uja v ovat symmetriset venytystensorit

U=U^K_·LGK⊗G^L =UKLG^K ⊗G^L, v=v^k_·lg_k⊗g^l =v^klg_k⊗g_l. (21)

Fingerin muodonmuutostensori

Deformoituneen tilan viiva-alkio dx = dxkg^k kierret¨a¨an alkutilaan dX = R^Tdx. T¨am¨a alkutilan viiva-alkio siirret¨a¨an deformoituun tilaan deformaatiogradientin avulla

dx⁰ =FdX =vRdX =vRR^Tdx =vdx. T¨am¨an viiva-alkion pituuden neli¨o on

dx⁰·dx⁰ = dx ·v^Tvdx = dx ·vv^Tdx = dx ·FF^Tdx = dx ·bdx. (22) Alkutilan viiva-alkion neli¨o on

dX ·dX = dx ·RR^Tdx = dx ·dx = dxkg^kldxl. Deformoituneen ja alkutilan viiva-alkioiden neli¨oiden erotus on

dx ·(b−g)dx = 2dx ·adx. (23)

Tensori aon Fingerin muodonmuutostensori [3], [4]

a= 1

2(b−g) =a^klg_k⊗g_l= 1 2( ∂x^k

∂X^MG^{M N} ∂x^l

∂X^N −g^kl)g_k⊗g_l. (24) Huomataan, ett¨a Fingerin muodonmuutostensori on kontravariantti ja ett¨a se on m¨a¨aritelty deformoituneessa tilassa. Se on objektiivinen siin¨a mieless¨a, ett¨a se h¨avi¨a¨a identtisesti j¨ayk¨an kappaleen liikkeess¨a.

Macvean [9] huomauttaa, ett¨a Fingerin muodonmuutostensori saadaan my¨os tulkitse- malla se Greenin-Lagrangen muodonmuutostensoriksi deformoituneesta tilasta k¨asin (’the Green measure of deformation in final state’). N¨ain voidaan todella ajatella: Deformoi- tuneesta tilasta viiva-alkio dx = dxkg^k kuvataan alkutilaan dX =F^Tdx, mink¨a j¨alkeen muodostetaan viiva-alkioiden neli¨oiden erotus dX ·dX −dx ·dx = dx ·(FF^T−g)dx. Piolan muodonmuutostensori

Alkutilan viiva-alkio dX = dXKG^K kierret¨a¨an deformoituneeseen tilaan dx = RdX.

T¨am¨a deformoituneen tilan viiva-alkio siirret¨a¨an alkutilaan deformaatiogradientin k¨a¨anteistensorin avulla

dX⁰ =F⁻¹dx =U⁻¹R^Tdx =U⁻¹R^TRdX =U⁻¹dX. T¨am¨an viiva-alkion pituuden neli¨o on

dX⁰·dX⁰ = dX ·U^−TU⁻¹dX = dX ·F⁻¹F^−TdX = dX ·C⁻¹dX. (25) Deformoituneen tilan viiva-alkion neli¨o on

dx ·dx = dX ·R^TRdX = dX ·dX = dXKG^KLdXL. Deformoituneen ja alkutilan viiva-alkioiden neli¨oiden erotus on

dX ·(G−C⁻¹)dX = 2dX ·AdX. (26)

Tensori A on Piolan muodonmuutostensori [11], [12], [13]

A = 1

2(G−C⁻¹) =A^KLGK⊗GL = 1

2(G^KL− ∂X^K

∂x^m g^mn∂X^L

∂xⁿ )GK ⊗GL. (27) Huomataan, ett¨a Piolan muodonmuutostensori on kontravariantti ja ett¨a se on m¨a¨aritelty alkutilassa. Se on objektiivinen, ts. se on nollatensori j¨ayk¨an kappaleen liikkeess¨a.

Macveanin [9] mukaan Piolan muodonmuutostensori voidaan my¨os tulkita Almansin muodonmuutostensoriksi alkutilasta l¨ahtien (’Almansischer Verzerrungstensor im Aus- gangszustand’). Silloin alkutilan viiva-alkio dX = dXKG^K kuvataan deformoitunee- seen tilaan dx = F^−TdX, mink¨a j¨alkeen muodostetaan viiva-alkioiden neli¨oiden erotus dX ·dX −dx ·dx = dX ·(G−F⁻¹F^−T)dX.

Muodonmuutostensorien vertailu

Havainnollistetaan muodonmuutostensorien keskin¨aist¨a suhdetta seuraavalla tavalla:

Green-Lagrange:

Alkutila: dX = dX^KGK, Deformoitunut tila: dx = dx^kg_k =FdX, Almansi-Euler:

Alkutila: dX = dX^KGK =F⁻¹dx, Deformoitunut tila: dx = dx^kg_k, Piola:

Alkutila: dX = dXKG^K, Deformoitunut tila: dx = dxkg^k =F^−TdX, Finger:

Alkutila: dX = dXKG^K =F^Tdx, Deformoitunut tila: dx = dxkg^k. Pinta-alkioiden muodonmuutos

Truesdell ja Toupin [15] ovat esitt¨aneet, kuinka Fingerin ja Piolan muodonmuutosten- sorit liittyv¨at pinta-alkioiden muodonmuutokseen. Haupt [5] puolestaan on tulkinnut ne pinta-alkioiden normaalien muutosten kuvaajiksi. Esitet¨a¨an t¨ass¨a Truesdellin ja Toupi- nin mukainen tulkinta. Nansonin kaavan (ks. [8]) mukaan alkutilan pinta-alkion dA ja deformoituneen tilan pinta-alkion da v¨alinen muunnos on

da =JF^−TdA, dA=J⁻¹F^Tda. (28)

J on deformaatiogradientin determinantti J = detF. Pinta-alkioiden neli¨ot ovat

da ·da =J²dA·F⁻¹F^−TdA, dA·dA=J⁻²da·FF^Tda. (29) Edell¨a olevasta n¨ahd¨a¨an, ett¨a pinta-alkioiden neli¨oiden erotus on

da·da−dA·dA= dA·(J²C⁻¹−G)dA, (30) da·da−dA·dA= da·(g−J⁻²b)da. (31) Truesdell ja Toupin esitt¨av¨at viiva-alkioita ja pinta-alkioita koskevan duaalisuuslauseen (’Second principle of duality’), jonka sis¨alt¨o on seuraava: Jos viiva-alkioiden muutoksia koskevissa yht¨al¨oiss¨a, jotka on lausuttu tensoreiden Cja b⁻¹ avulla

dx ·dx −dX ·dX = dX ·(C−G)dX, dx ·dx −dX ·dX = dx ·(g−b⁻¹)dx,

sana ’viiva-alkio’ ja tensoritCja b⁻¹korvataan sanalla ’pinta-alkio’ ja tensoreillaJ²C⁻¹ ja J⁻²b niin saadaan p¨atev¨at yht¨al¨ot.

Venym¨anopeudet

Johdetaan seuraavaksi Fingerin ja Piolan tensorien venym¨anopeudet. Piolan muodonmuu- tostensorin lausekkeesta (27) saadaan derivoimalla ajan suhteen

A˙ = 1

2[−(F⁻¹)^•F^−T−F⁻¹(F^−T)^•] = 1

2(F⁻¹lF^−T+F⁻¹l^TF^−T) = 1

2F⁻¹(l+l^T)F^−T, joten

A˙ =F⁻¹dF^−T. (32) Tensori lon nopeustensori l=FF˙ ⁻¹ ja d= (l+l^T)/2 venym¨anopeustensori.

Fingerin muodonmuutostensori (24) on lausuttu deformoituneessa tilassa, joten kuva- taan se ensin alkutilaan. Aluksi

a= 1

2(FF^T−g) = 1

2R(U²−R^TgR)R^T = 1

2R(C−G)R^T =RER^T. E on Greenin-Lagrangen muodonmuutostensori. Siirret¨a¨an sitten tensoria alkutilaan

E=R^TaR ja derivoidaan ajan suhteen

E˙ =R^T(˙a+R ˙R^Ta+a ˙RR^T)R=R^T(˙a+Ω^(R)Ta+aΩ^(R))R.

Antisymmetrinen tensoriΩ^(R) on rotaationopeus Ω^(R) =RR˙ ^T. Siirryt¨a¨an sitten takaisin deformoituneeseen tilaan

˙a^c= ˙a−Ω^(R)a+aΩ^(R) =R ˙ER^T =RF^TdFR^T =v^Tdv. (33) Lauseke (33) on Fingerin tensorin konvektiivinen venym¨anopeus (ks. [8] s.66 ja 193).

Piolan ja Fingerin tensoreita vastaavat j¨annitykset

J¨annitysten m¨a¨aritt¨amiseksi niiden tehot asetetaan yht¨a suureksi deformoidun tilan j¨annitystehon σ :d dV kanssa. Merkit¨a¨an Piolan j¨annityst¨a S^P =S_KL^P G^K ⊗G^L. J¨annitysten teho on

S^P :A˙ dV₀ =σ :d dV =Jσ :F ˙AF^T dV₀ =Jtr (F ˙A^TF^Tσ) dV₀ =JF^TσF:A˙ dV₀.

N¨ahd¨a¨an, ett¨a Piolan muodonmuutostensoria vastaava j¨annitys lausuttuna Cauchyn j¨annityksen avulla on

S^P =JF^TσF=JσklG^k⊗G^l. (34) T¨am¨a on samanmuotoinen kuin Greenin-Lagrangen venym¨a¨a vastaava j¨annitys (Piolan- Kirchhoffin 2. j¨annitys), mutta t¨ass¨a tapauksessa kovarianttien suureiden v¨alill¨a.

Merkit¨a¨an Fingerin j¨annityst¨aT^f =T_kl^fg^k⊗g^l. J¨annitysten teholausekkeessa k¨aytet¨a¨an konvektiivista venym¨anopeutta

T^f : ˙a^c=σ :d=σ :v^−T˙a^cv⁻¹ = tr(v^−T(˙a^c)^Tv⁻¹σ) =v⁻¹σv^−T : ˙a^c.

Fingerin muodonmuutostensoria vastaava j¨annitys on silloin Cauchyn j¨annityksen funk- tiona

T^f =v⁻¹σv^−T = (v⁻¹)^k_.iσ^ij(v⁻¹)^.l_jg_k⊗g_l. (35)

−K K O

a0

a0

X¹, x¹ X², x²

e1

e2

Kuva 2. Vedetty sauva.

Esimerkki 1. Vedetty sauva

Otaksutaan, ett¨a karteesisen koordinaatistonX¹-akseli yhtyy sauvan akseliin. Kantavek- toreita merkit¨a¨an{ek =e^k}. Deformaatio on muotoax¹ =λ1X¹ , x² =λX² , x³ =λX³, jossa positiiviset luvut λ1 ja λ kuvaavat venytyksi¨a koordinaattiakselien suunnissa. Sil- loin deformaatiogradientti onF=λ₁e₁ ⊗e¹+λe₂⊗e²+λe₃⊗e³. Polaarihajoitelman rotaatiotensori on yksikk¨otensori, joten F = U = v, (kuva 2). Nopeusgradientti on l = FF˙ ⁻¹ = ˙λ1λ⁻¹₁ e1⊗e¹+ ˙λλ⁻¹(e2⊗e²+λe3⊗e³) = ˙λ1λ⁻¹₁ e1⊗e1+ ˙λλ⁻¹(e2⊗e2+λe3⊗e3).

Piolan ja Fingerin muodonmuutostensorit ovat kaavojen (27) ja (24) mukaan A= 1

2[(1−λ⁻²₁ )e1⊗e1+ (1−λ⁻²)(e2⊗e2+e3 ⊗e3)], a= 1

2[(λ²₁−1)e1⊗e1+ (λ² −1)(e2⊗e2+e3⊗e3)].

Venym¨anopeudet ovat

A˙ =λ⁻³₁ λ˙1e1 ⊗e1+λ⁻³λ(e˙ 2⊗e2+e3⊗e3),

˙a=λ1λ˙1e1⊗e1+λλ(e˙ 2⊗e2+e3⊗e3), d= 1

2(l+l^T) =λ⁻¹₁ λ˙1e1⊗e1+λ⁻¹λ(e˙ 2⊗e2+e3⊗e3).

J¨annitystensorit ovat kaavojen (34) ja (35) mukaan

S^P =Jλ²₁σ11e¹⊗e¹ +λ²(σ22e²⊗e²+σ33e³⊗e³), T^f =λ⁻²₁ σ11e¹⊗e¹+λ⁻²(σ22e²⊗e²+σ33e³⊗e³).

TilavuussuhdeJ onJ =λ1λ². Otaksutaan, ett¨a poikittaiset j¨annityskomponentitσ22 ja σ33

ovat nollia. T¨all¨oin Piolan ja Fingerin venym¨amittoja vastaavat aksiaaliset j¨annitykset ovat

S₁₁^P =λ³₁λ²σ11, T₁₁^f =λ⁻²₁ σ11. Esimerkki 2. Yksinkertainen leikkaus

Tarkastellaan muodonmuutosta, jota kuvaa yht¨al¨o

x =x¹e1+x²e2+x³e3 = (X¹+kX²)e1 +X²e2+X³e3,

X² kX²

O X¹, x¹

X², x²

e¹ G²=e² G¹

1

X² kX²

O X¹, x¹

X², x²

e¹ g²=e²

g¹

1

(a) (b)

Kuva 3. Yksinkertainen leikkaus. (a) Konvektiiviset kantavektoritG^k =F^Te^k alkutilassa. (b) Konvek- tiiviset kantavektoritg^k =F^−Te^k deformoituneessa tilassa.

jossa k on positiivinen vakio. Kysymyksess¨a on X¹X²-tasossa tapahtuva deformaatio, joten k¨asitell¨a¨an sit¨a kaksidimensioisena. Suorakulmainen karteesinen koordinaatisto ja siihen kuuluva ortonormeerattu kanta {ek = e^k} valitaan sek¨a alku- ett¨a lopputilan kannaksi, jonka suhteen sek¨a venym¨at ett¨a j¨annitykset referoidaan (kuvat 3a ja b). De- formaatiogradientin lauseke on

F=e1⊗e¹+ke1⊗e²+e2⊗e² (36) Konvektiivisen koordinaatiston kovariantit kantavektorit ovat

g₁ =e1, g₂ =ke1+e2. Kontravariantit vektorit ratkaistaan helposti yht¨al¨ost¨a

[g¹ g²] = [g₁ g₂]^−T =

1 0

−k 1

, josta n¨ahd¨a¨an, ett¨a ne ovat

g¹ =e¹−ke², g² =e².

M¨a¨aritet¨a¨an aluksi tavanomaiset muodonmuutosmitat, jotka saadaan suoraan deformaa- tiogradientin (36) avulla. K¨aytet¨a¨an tensorien asemesta 2x2-matriiseja, joiden alkiot re- feroidaan ortonormeeratun kannan {ek} suhteen. Deformaatiogradientin matriisi, sen k¨a¨anteismatriisi, nopeusgradientin ja venym¨anopeuden matriisi ovat

[F] =

1 k 0 1

, [F⁻¹] =

1 −k

0 1

, [l] =

0 ˙k/2

0 0

, [d] =

0 k/2˙ k/2˙ 0

. (37) Cauchyn-Greenin oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen muodonmuutostensori ovat

[C] = [F^TF] =

1 k k 1 +k²

, [b] = [FF^T] =

1 +k² k

k 1

. (38)

Fingerin muodonmuutostensori a (24) on t¨all¨oin a= 1

2(b−i) = a^klek⊗el, [a] = 1 2

k² k k 0

, (39)

ja edelleen Piolan muodonmuutostensoriA (27) on A= 1

2(I−C⁻¹) =A^KLeK⊗eL, [A] = 1 2

−k² k k 0

. (40)

Venym¨anopeudet ovat kaavojen (33) ja (32) mukaan [˙a^c] = [˙a]−[Ω^(R)][a] + [a][Ω^(R)] = ˙k

−tanθ(1 + sin²θ) (1 + 2 sin²θ)/2 (1 + 2 sin²θ)/2 −sinθcosθ

, (41) ja

A˙ = 1

2(I−C⁻¹)^• =F^−TdF⁻¹, [A] =˙ k˙ 2

−2k 1

1 0

. (42)

Tasotapauksessa rotaatiotensorin ja rotaationopeuden matriisit ovat [R] =

cosθ −sinθ sinθ cosθ

, [Ω^(R)] = ˙θ

0 −1

1 0

. (43)

θ on kiertym¨akulma X³-akselin ymp¨ari ja parametrin k ja θ:n v¨alinen yhteys on tanθ=

−k/2. Se seuraa Biot’n venym¨atensorin U=R^TF symmetriasta [U] = [R^TF] =

cosθ kcosθ+ sinθ

−sinθ cosθ−ksinθ

=

cosθ −sinθ

−sinθ (1 + sin²θ)/cosθ

. Venytystensorin v matriisi on

[v] = [FR^T] =

(1 + sin²θ)/cosθ −sinθ

−sinθ cosθ

. (44)

M¨a¨aritet¨a¨an viel¨a sen k¨a¨anteismatriisi [v]⁻¹ =

cosθ sinθ sinθ (1 + sin²θ)/cosθ

.

Fingerin muodonmuutostensoria vastaava j¨annitys Cauchyn j¨annityksen funktiona on kaa- van (35) mukaan

[T^f] =

T₁₁^f T₁₂^f T₂₁^f T₂₂^f

= [v]⁻¹[σ][v]^−T, (45)

jossa j¨annityskomponenttien lausekkeet ovat T₁₁^f = 1

1 + (k/2)²[σ¹¹−(k/2)(σ¹²+σ²¹) + (k/2)²σ²²], T₁₂^f = k/2

1 + (k/2)²

−σ¹¹+ (k/2)(σ¹²+σ²¹)−[1 + 2(k/2)²]σ²² +σ¹², (46) T₂₁^f = k/2

1 + (k/2)²

−σ¹¹+ (k/2)(σ¹²+σ²¹)−[1 + 2(k/2)²]σ²² +σ²¹, T₂₂^f = 1

1 + (k/2)²

(k/2)²σ¹¹−(k/2)[1 + 2(k/2)²](σ¹²+σ²¹) + [1 + 2(k/2)²]²σ²² .

Piolan muodonmuutostensoria vastaava j¨annitys Cauchyn j¨annityksen avulla lausuttuna on kaavan (34) mukaan

[S^P] =J[F]^T[σ][F] =

σ₁₁ kσ₁₁+σ₁₂

kσ11+σ21 k²σ11+k(σ12+σ21) +σ22

. (47)

Pinta-alkioiden muodonmuutos noudattaa kaavoja (30) ja (31). Esimerkiksi alkutilan pinta-alkion ollessa dA=he² saadaan

da·da−dA·dA=h²−h² = 0,

joka esitt¨a¨a samallaX¹-akselin suuntaisen viiva-alkion neli¨oiden erotusta Greenin-Lagrangen mukaan. Pinta-alkion ollessa dA=he¹ saadaan

da·da−dA·dA=h²k²,

joka esitt¨a¨a my¨osX²-akselin suuntaisen viiva-alkion neli¨oiden erotusta Greenin-Lagrangen mukaan. Vastaavasti deformoituneen tilan pinta-alkion ollessa da =he² saadaan

da·da−dA·dA=h²−h² = 0,

joka esitt¨a samallax¹-akselin suuntaisen viiva-alkion neli¨oiden erotusta Almansin-Eulerin mukaan. Pinta-alkion ollessa da =he¹ saadaan

da·da−dA·dA=−h²k²,

joka esitt¨a¨a x²-akselin suuntaisen viiva-alkion neli¨oiden erotusta Almansin-Eulerin mu- kaan.

Yhteenveto

Artikkelissa on tarkasteltu Fingerin ja Piolan venym¨amittoja sek¨a niihin liittyvi¨a j¨annitys- mittoja. Ne on esitetty yli sata vuotta sitten, mutta niit¨a k¨aytet¨a¨an ¨a¨arimm¨aisen harvoin teoreettisissa tarkasteluissa puhumattakaan sovelluksista. Tuloksia on havainnollistettu kahdella yksinkertaisella esimerkill¨a: vedetty sauva ja yksinkertainen leikkaus.

Viitteet

[1] Y. Ba¸sar and D. Weichert. Nonlinear Continuum Mechanics of Solids. Fundamental mathematical and physical concepts. Springer-Verlag, Berlin, 2000.

[2] A.C. Eringen. Nonlinear theory of continuous media. McGraw-Hill, 1962.

[3] J. Finger. Das Potential der inneren Kr¨afte und die Beziehungen zwischen den Defor- mationen und den Spannungen in elastisch isotropen K¨orpern bei Ber¨ucksichtigung von Gliedern, die bez¨uglich der Deformationselemente von dritter, beziehungsweise zweiter Ordnung sind. Sitzgsber. Akad. Wiss. Wien (IIa), 103:163–200, 1894.

[4] J. Finger. ¨Uber die allgemeinsten Beziehungen zwischen endlichen Deformationen und den zugeh¨origen Spannungen in aelotropen und isotropen Substazen. Sitzgsber.

Akad. Wiss. Wien (IIa), 103:1073–1100, 1894.

[5] P. Haupt. Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer-Verlag, 2000.

[6] H. Hencky. Uber die Form des Elastizit¨atsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen.¨ Zeitschrift f¨ur Technische Physik, 9:215–220, 457, 1928.

[7] R. Hill. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Applied Mechanics, Vol. 18:1–75, 1978.

[8] G.A. Holzapfel.Nonlinear Solid Mechanics - A Continuum Approach for Engineering.

John Wiley & Sons, 2000.

[9] D.B. Macvean. Elementararbeit in einem Kontinuum und die Zuordnung von Spannungs- und Verzerrungstensoren. Zeitschrift f¨ur Angewandte Mathematik und Physik, 19:157–185, 1968.

[10] R.D. Mindlin. Second gradient of strain and surface-tension in linear elastici- ty. International Journal of Solids and Structures, 1(4):417 – 438, 1965. ISSN 0020-7683. doi:https://doi.org/10.1016/0020-7683(65)90006-5. URL http://www.

sciencedirect.com/science/article/pii/0020768365900065.

[11] G. Piola. La meccanica de’ corpi naturalmente estesi trattata col calcolo delle va- riazioni. Opuscoli matematici e fisici di diversi autori, pages 201–236, 1833.

[12] G. Piola. Nuova analisi per tutte le questioni della meccanica molecolare. Memorie di matematica e fisica della Societ`a italiana delle scienze, XXI:155–321, 1836.

[13] G. Piola. Intorno alle equazione fondamentali del movimento di corpi qualsivogliono, considerati secondo la naturale loro forma e costituzione. Memorie di matematica e fisica della Societ`a italiana delle scienze, XXIV:1–186, 1848.

[14] B.R. Seth. Generalized strain measure with applications to physical problems. In M. Reiner and D. Abir, editors, Second-Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics,IUTAM Symposium, Haifa, Israel, 23-27.4.1963, 1964.

[15] C. Truesdell and R.A. Toupin. The Classical Field Theories. S. Fl¨ugge ed., Encyclo- pedia of Physics, Volume III/1, Springer-Verlag, Berlin, 1960.

Martti Mikkola Aalto-yliopisto

Insin¨o¨oritieteiden korkeakoulu, Rakennustekniikan laitos Rakentajanaukio 4 A, PL 12100, 00076 Aalto

martti.mikkola@aalto.fi