3 Epäyhtälöitä
Yhden muuttujanxepäyhtälö funktioidenf jagvälillä on muotoa f(x)< g(x), f(x)≤g(x), f(x)> g(x) tai f(x)≥g(x).
MerkitsemälläF(x) =f(x)−g(x), huomataan, että riittää tarkastella muotoa F(x)<0, F(x)≤0, F(x)>0 tai F(x)≥0 (3.1) olevia epäyhtälöitä.
Epäyhtälöä ratkaistaessa määrätään kaikki ne muuttujanxarvot, joilla ky- seessä oleva epäyhtälö on voimassa. Ratkaisussa käytetään hyvin pitkälti samoja menetelmiä, kuin vastaavan yhtälön ratkaisussa.
Huomautus. Jos epäyhtälö a < b(vast. a≤b) kerrotaan negatiivisella luvulla, esim. luvulla−1, niin epäyhtälön suunta vaihtuu:−a >−b(vast.−a≥ −b).
Polynomiepäyhtälöt
Polynomiepäyhtälöillä tarkoitamme epäyhtälöitä (3.1), kun F = P, astetta n oleva polynomi.
Ratkaisualgoritmi: Ratkaistaan polynomin P nollakohdat. Jaetaan reaaliluku- joukko Rsaatujen nollakohtien avulla osaväleihin ja tulkitaan polynomin P ja ko. epäyhtälön avulla, mikä/mitkä väleistä voi tulla kysymykseen.
Esimerkki 3.1 Ratkaise epäyhtälö3x3+x2+x−2>0.
Murtoepäyhtälöt
Murtoepäyhtälöitä ratkaistaessa nimittäjiä ei yleensä poisteta. Nimittäjien pois- taminen edellyttää epäyhtälön kertomista muuttujia sisältävällä lausekkeella.
Jos tämä lauseke saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, epäyhtälömerkin suunnan selvittäminen eri tapauksissa vaatisi omat lisätarkastelunsa.
Seuraavassa esimerkki murtoepäyhtälöstä ja sen ratkaisemisesta.
Esimerkki 3.2 Ratkaise epäyhtälö x−14x ≤x.
Itseisarvoepäyhtälöt
Nimensä mukaisesti itseisarvoepäyhtälöt sisältävät itseisarvoja ja epäyhtälöitä.
Harjoituksissa 1 tarkastelimme itseisarvoepäyhtälöä|x−3|<2, toisin sanoen, selvitimme ne pisteet x∈R, joille tämä epäyhtälö on voimassa.
Epäyhtälöryhmät
Kullakin epäyhtälöryhmän epäyhtälöistä on oma ratkaisujoukkonsa. Jos kaik- kien epäyhtälöiden on oltava voimassa samanaikaisesti, on vastauksena ratkai- sujoukkojen leikkaus. Jos taas epäyhtälöt ovat vaihtoehtoisia, niin vastauksena on ratkaisujoukkojen yhdiste.
Esimerkki 3.3 Ratkaise epäyhtälöryhmä: x+y+ 3≥0tai 2x+ 3y−1<0. Esimerkki 3.4 Ratkaise epäyhtälöryhmä: x+y+ 3≥0ja2x+ 3y−1<0.
9
4 Äärettömyyden käsitteestä
Ääretöntä on totuttu kuvaamaan symbolilla ∞. Symboli on melko osuvainen, sillä kahdeksikkomaista silmukkarataa voidaan kulkea loputtomasti.
Matematiikan teoreettisissa päättelyissä ääretön esiintyy melko usein, ja sen olemassaolo teoreettisessa mielessä on yleisesti hyväksytty. Mitään fysikaalista perustetta tälle ei kuitenkaan ole, sillä ei ole pystytty osoittamaan, että maail- mankaikkeudessa olisi mitään (aikaa tai materiaa) äärettömän paljon. Esimer- kiksi hiekanjyväsiä on maapallolla huomattavan monta, mutta kuitenkin äärelli- sen monta: Viitteen [2] mukaan Arkhimedes arvioi aikanaan, että palloon, jonka säde on yhtä suuri kuin Maan ja Auringon välinen etäisyys, mahtuisi alle1063 hiekanjyvää. Saadakseen arvion hiekanjyvien lukumäärälle, Arkhimedeen täytyi luonnollisesti asettaa hiekanjyville jokin keskimääräinen koko.
Palautetaan mieleen kaksi äärettömyyden tyyppiä: numeroituvasti ääretön, esim. joukko N, ja ylinumeroituvasti ääretön, esim. joukko R. Seuraavissa esi- merkeissä pohditaan äärettömyyden eri asteita.
Esimerkki 4.1 Kokonaislukujen joukko Zon selvästikin numeroituvasti ääre- tön joukko. Edelleen, Cantorin diagrammin nojalla voidaan osoittaa, että ratio- naalilukujen joukkoQon numeroituvasti ääretön lukujoukko.
Esimerkki 4.2 Suora ja ympyrä koostuvat kumpikin ylinumeroituvasta mää- rästä pisteitä, so. kumpikin niistä muodostaa ylinumeroituvan pistejoukon. Poh- di, kummassa joukossa on enemmän pisteitä.
Esimerkki 4.3 Ympyrän kehän pituus on2πr, missäron ympyrän säde. JosA ja B ovat ympyröitä, joiden säteet ovatrja2r, vastaavasti, niin niiden kehien vastaavat pituudet ovat 2πr ja 4πr. Onko ympyrässä B suurempi ääretön määrä pisteitä kuin ympyrässäB?
Oletetaan, että edessäsi on äärettömän korkea vuori, Mount Innity, joka koostuu äärettömästä määrästä äärellisen korkuisia jyrkänteitä. Seuraava para- doksi esittää tavan, jota noudattamalla voit kiivetä vuoren huipulle kahdessa tunnissa. (Paradoksi on ristiriita näennäisen korrektissa päättelyssä.)
Paradoksi: Kiipeät Mount Innityn ensimmäisen jyrkänteen tunnissa. Toiseen jyrkänteeseen käytät puoli tuntia, kolmanteen varttitunnin, neljänteen seitsemän ja puoli minuuttia, ja niin edelleen. Matemaattisesti ilmaistuna käytät jyrkän- teen n kiipeämiseen 1/2n−1 tuntia. Vuoren huipulle pääsemiseen kuluva aika on jyrkänteiden kiipeämisiin kuluneiden aikojen summa. Kyseinen summa on ns. geometrinen sarja ja sen arvoksi saadaan
∞
X
n=1
1 2n−1 =
∞
X
n=0
1
2n = 1
1−1/2 = 2.
Toisin sanoen, äärettömän korkean vuoren huipulle voidaan kiivetä kahdessa tunnissa.
Selitys: Paradoksin päättely on luonnollisesti virheellinen, vaikka se näytääkin oikealta. Ääretöntä ei koskaan voida saavuttaa: Vaikka jyrkänteitä olisi kiivet- ty kuinka monta hyvänsä, niitä on aina jäljellä äärettömän monta. Paradoksin
10
päättely johtaa nopeuden rajattomaan kasvamiseen, joka puolestaan on fysikaa- lisesti mahdotonta.
Saadaksemme tilanteesta konkreettisemman kuvan, tarkastellaan jyrkäntei- den kiipeämiseen kuluvia aikoja numeroarvoin. Jyrkänteennkiipeämiseen kuluu siis1/2n−1 tuntia:
n aika tunneissa aika sekunneissa 5 1/24= 6,25·10−2 225 10 1/29= 1,95·10−3 7,03 50 1/249= 1,78·10−15 6,39·10−12 100 1/299= 1,58·10−30 5,68·10−27
Fyysikoiden mukaan mikään ei voi edetä valoa nopeammin. Valon nopeudeksi on mitattu noin (metriä sekunnissa). Kunnon riittävän suuri, niin paradoksissa ajaudutaan väkisin tilanteeseen, jossa edes valon nopeus ei riittäisi nousunopeu- deksi. Esimerkiksi, kun n = 50, niin ylläolevan taulukon mukaan nousemiseen saa käyttää aikaa6,39·10−12 sekuntia. Tässä ajassa valokin etenee vain
(3,0·108m/s)·(6,39·10−12s) = 19,17·10−4m≈1,92·10−3m, eli hieman alle 2 millimetriä!
Jos valon nopeus on siis suurin mahdollinen etenemisnopeus, kiihdytetään Mount Innityä kavutessamme nopeutta tasasesti, kunnes 50. jyrkänteen koh- dalla saavutamme kyseisen nopeuden. Tämän jälkeen nopeus pidetään sama- na ja katsotaan, mitä tapahtuu jyrkänteiden mahdollisille korkeuksille. Kun n = 100, nousuun saa käyttää aikaa 5,68·10−27 sekuntia. Nopeutemme ol- lessa3,0·108m/s on sadannen jyrkänteen korkeus enintään1,70·10−18metriä.
Jyrkänteiden korkeudet lähenevät siis kohti nollaa (raja-arvo-lasku!) ja niiden summa ei koskaan tule äärettömäksi (todistus hankalahko). Ajaudumme kohti ristiriitaa, sillä vuoren oletettiin olevan äärettömän korkea.
11
