8. Val och design av reglerstruktur

(1)

8. Val och design av reglerstruktur

Reglerteknik II – Tillståndsmetoder (419301) 8 – 1

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik II / KEH

8. Val och design av reglerstruktur

8.1 Översikt

Processen att ta fram ett reglersystem för ett objekt är i många fall komplicerad och tidsödande. För större tekniska system såsom ett flygplan eller en kemisk anläggning innebär den flera manårs arbete, av vilket en betydande del utgörs av strukturering, konfigurering och dimensionering. Detta rör frågor såsom val av

• variabler som skall regleras

• variabler som kan användas som styrvariabler

• variabler som kan mätas

• reglerkonfiguration (struktur för hur de olika variablerna ingår i reglersystemet)

• regulatortyper (PID, IMC, LQG, MPC,...)

Dessa strukturerings- och konfigureringsuppgifter ingår i vad man ofta kallar för

”plantwide control”. En god lösning på problemet innebär en rimlig kompromiss mellan prestanda och kostnader.

(2)

8.1 Översikt

Rörande sambandet mellan processdesign och reglersystemdesign kan bl.a. följande konstateras:

• processer designas ofta i huvudsak utgående från statiska betraktelser

• vid reglering är de dynamiska egenskaperna vanligtvis viktiga

Detta kan ha som följd att en viss processdesign gör regleringen av processen onödigt svår. Därför är det

• ändamålsenligt att betrakta reglersystemdesignen samtidigt med processdesignen En annan fördel med samtidig process- och reglersystemdesign är att man kan utnyttja det faktum att

• reglersystemet tillför ofta processdesignen ytterligare frihetsgrader (designalternativ) Man kan säga att

• en mycket stabil process är svårreglerad, en mindre stabil process är lättare att reglera

• ett effektivt reglersystem tillåter en mindre stabil process (som vanligtvis är billigare att konstruera än en mycket stabil process)

(3)

8.1 Översikt

8. Val och design av reglerstruktur 8 – 3

En komplikation vid reglersystemdesignen är att

• reglerteorin behandlar relativt väldefinierade ”små” problem Därför måste i praktiken

• reglersystemdesign för stora system uppdelas i mindre delsystem

Flera mer eller mindre systematiska procedurer för uppdelningen existerar:

”Top-down” design

Proceduren startar med problemdefinitionen, varefter problemet delas i allt mindre delar och allt fler detaljer medtas. Proceduren slutar när alla delar motsvarar välkända problem med kända lösningar. Förfarandet bygger på en successiv förfining.

”Bottom-up” design

Förfarandet startar med de små delarna med kända lösningar. Delarna kombineras till större helheter ända tills man når en lösning på det fulla problemet.

”Inside-out-outside-in” design

Detta är en kombination av ”top-down” och ”bottom-upp” design, som är den procedur som vanligtvis används i praktiken.

(4)

8.1 Översikt

4Exempel 8.1.1 Materialbalansreglering över en serie behållare

Detta exempel illustrerar att valet av styrvariabler för vätskenivåerna i en serie behållare kan väljas på olika sätt:

a) Reglering ”i flödesriktningen”.

För att bibehålla balansen mellan produktion och efterfrågan är det nödvändigt att reglera tillförseln till den första behållaren utgående från nivån i den sista behållaren. Detta kan leda till instabilitet pga den

”långa” återkopplingen runt alla behållare.

b) Reglering ”i riktning motsatt flödet”.

Alla reglerkretsar är approximativt

av första ordningen och inga nämnvärda stabilitetsproblem existerar. Därför kunde b)- fallet anses vara bättre. Det kan dock finnas andra synpunkter som gör a)-fallet

attraktivare (produktionen ändras snabbare). 3

(5)

8.1 Översikt

4Exempel 8.1.2 ”Bottom-up” design för kemisk anläggning

Problemet gäller att instrumentera och designa reglerstruktur för processen i nedan- stående figur, där totalprocessen uppdelats i fyra delsystem, som inledningsvis

behandlas var för sig.

(6)

8.1 Översikt

Reglerkretsar för de enskilda delsystemen:

a) Reglering av temperatur och flödesstorlek för kylning/upp- värmning av reaktorinnehållet.

b) Förvärming av reaktortillflödet.

c) Reglering av temperatur och koncentration i reaktorn.

d) Reglering av tillflöde samt nivå, tryck och temperatur i en

expansionsförångare (eng.

”flash drum”)

Märk att det för reglering av n

variabler finns

n !

st ”enkla” sätt att kombinera insignaler och

utsignaler.

(7)

8.1 Översikt

När man kombinerar de olika delsystemen, som var för sig har fungerande reglersystem, uppstår ett antal konfliktsituationer, som gör att totalsystemet inte fungerar. Vilka är

dessa konflikter och hur skall de korrigeras?

3

(8)

8. Val och design av reglerstruktur

8.2 Decentraliserad reglering

I en fabriksanläggning kan finnas hundratals eller t.o.m. tusentals variabler som skall regleras. Uppenbarligen vore det i ett sådant fall mycket opraktiskt att designa och använda ett reglersystem där alla mätsignaler tas in i en enda stor regulator, som bestämmer alla styrsignaler. I en sådan MIMO-regulator skulle

• regulatordesignen och ev. tillståndsestimering skulle bli ett formidabelt numeriskt problem

• onoggrannheter i processmodellen skulle i praktiken leda till ett reglersystem med dålig prestanda, kanske t.o.m. instabilitet

Såsom illustrerades i föregående avsnitt delar man upp ett stort system i ett antal delsystem, som man behandlar var för sig. Väldigt vanligt är att reglera varje variabel, som skall regleras, med en skild regulator som använder en av de tillgängliga styrvariablerna för reglering av variabeln i fråga. Reglering med en sådan ”multiloop SISO-reglerstruktur”

kallas decentraliserad reglering. Detta är den vanligaste reglerstrategin för multivariabla system i processindustrin.

Det fundamentala problemet vid decentraliserad reglering är hopparningen av in- och utsignaler — för n stycken utsignaler finns

n !

stycken ”enkla” hopparningsalternativ.

(9)

8.2 Decentraliserad reglering

8.2.1 Ett illustrationsexempel

Betrakta ett system, som beskrivs modellen

1 11 12 1

2 21 22 2

( ) ( ) ( ) ( )

y s G s G s u s y s G s G s u s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ = ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

^,

11 2 12 12

21 2 21 22 2

( ) 2 , ( )

3 2 1

( ) , ( ) 6

2 1 5 6

G s G s k

s s s

G s k G s

s s s s

= =

+ + +

= =

+ + + +

där k₁₂ och k₂₁ är två parametrar, som har olika värden vid olika driftspunkter.

Driftspunkt 1: k₁₂ = k₂₁ = 0

Vid denna driftspunkt har vi två delsystem som är oberoende av varandra. Vi skall

uppenbarligen reglera y₁ med u₁ och y₂ med u₂. Reglerade delsystem med naturliga frekvensen 3 och relativa dämpningen 2/3, vilket ger en relativ översläng av storleken 6%, erhålles med regulatorerna

2 c1

4,5( 3 2)

( ) ( 4)

s s G s

s s

+ +

= + ^,

2 c2

1,5( 5 6)

( ) ( 4)

s s G s

s s

+ +

= +

(10)

8.2.1 Ett illustrationsexempel

Driftspunkt 2: k₁₂ = k₂₁ = 0,1 Figuren till höger visar ett reglerresultat när ovan bestämda

regulatorer används. Regleringen fungerar uppenbarligen bra.

Driftspunkt 3: k₁₂ = −1, k₂₁ = 0,5 Figuren nere till höger visar ett reglerresultat med samma regulatorer. Det reglerade systemet är stabilt, men resultatet är ändå

mindre bra. Det finns en klar kors- koppling mellan reglerkretsarna.

Driftspunkt 4: k₁₂ = −2^,k₂₁ = −1 I detta fall blir det reglerade

systemet instabilt (ingen figur)!

Vad beror detta på? Finns det något vi kunde göra för att förbättra regleringen?

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Time [s]

Plant outputs and ref.

r1(t) y1(t)

y₂(t) r2(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Time [s]

Plant outputs and ref.

r1(t)

r2(t) y₂(t) y₁(t)

(11)

8.2 Decentraliserad reglering

8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system

Antag att vi har ett system med två insignaler, u₁ och u₂, och två utsignaler, y₁ och y₂.

Vi önskar reglera systemet med två SISO-kretsar.

Hur vet vi då om vi skall reglera y₁ med u₁ och y₂ med u₂ (reglerstruktur A) eller tvärtom

(reglerstruktur B)?

(12)

8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system

Som ett konkret exempel kan vi betrakta en kontinuerlig blandning av två vattenströmmar för att få en vattenström av önskad storlek med en önskad temperatur. Skall vi då reglera temperaturen med inström A och totalströmmen med inström B eller tvärtom?

För att ta ställning till frågan måste vi veta litet mera. Anta att inströmmarna har (de nominella) temperaturerna

T

_A

= 80 C °

^,

T

_B

= 20 C °

samt att vi önskar

T

_C

= 60 C °

och m_C = 20 kg/min^.

Skall vi reglera temperaturen med den inström vars temperatur ligger närmare den önskade eller tvärtom?

Vi skall undersöka saken med hjälp av en processmodell.

(13)

8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system

8.2 Decentraliserad reglering 8 – 13

Processmodell

I blandningspunkten gäller massbalansen

A B C

m + m = m

^(8.2.1)

samt energibalansen

A A B B C C

m h + m h = m h

^(8.2.2)

där h betecknar specifik entalpi (enhet kJ/kg). Variablerna är funktioner av tiden, men eftersom vattenströmmarna blandas ”ögonblickligen”, förekommer inga tidsderivator.

Om 0 C° väljes till referenstemperatur för specifika entalpin och värmekapaciteten c_p antas vara oberoende av temperaturen i det temperaturområde vi rör oss i, gäller

h = c Tp . Insättning i ekv. (8.2.2) ger då

A A B B C C

m T + m T = m T ^(8.2.3)

Vår processmodell utgörs av ekv. (8.2.1) och (8.2.3). Denna modell är olinjär (pga ekv.

(8.2.3)) och för att underlätta den fortsatta analysen skall vi linjärisera den.

(14)

8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system

En linjär processmodell

Linjärisering av processmodellen (8.2.1) och (8.2.3) kring ett stationärtillstånd ger

A B C

m m m

Δ + Δ = Δ ^(8.2.4)

A A A A B B B B C C C C

T Δm + m ΔT + ΔT m + m ΔT = ΔT m + m ΔT _(8.2.5) där

Δ x

anger en avvikelse från stationärtillståndet x . Eliminering av Δm_C från (8.2.5)

med (8.2.4) ger

A C A B C B A A B B C C

(T −T )Δm +(T −T )Δm + m ΔT + m ΔT = m ΔT (8.2.6) I matrisform kan (8.2.4) och (8.2.6) skrivas

A B

A C B C

C C

C A A

C B B

1 1 0 0

m m

T T T T

m m

m m T

T ⁻ ⁻ m T

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

Δ Δ Δ

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎡ ⎤ + ⎢ ⎥⎡ ⎤

⎢Δ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣Δ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎢⎣Δ ⎥⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.2.7)

(15)

8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system

Modellen säger hur förändringar i reglervariablerna m_A och m_B påverkar m_C och T_C, dvs de variabler vi önskar reglera. Modellen säger också hur störningar i inströmmarnas temperaturer T_A och T_B påverkar utsignalerna.

Alla parametrar i modellen kan beräknas utgående från givna data. Masströmmarna m_A och m_B fås utgående från den olinjära processmodellen (8.2.1) och (8.2.3) enligt

C B

A C

A B

T T

m m

T T

= −

−

^, ^B ^C ^C_B ^A_A

T T

m m

T T

= −

−

^(8.2.8)

Numeriskt fås då för modellen (8.2.7)

C A A

C B B

1 1 0 0

1 2 2 / 3 1/ 3

m m T

T m T

Δ Δ Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +

⎢ Δ ⎥ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δ ⎥ ⎦

⎣ ⎦

^(8.2.9)

(16)

8.2.2 Val av reglerstruktur för ett 2x2 system

Ekvation (8.2.9) utsäger följande:

– Det spelar ingen roll för regleringen av

m

_C om vi använder

m

_A eller

m

_B. –

T

_C påverkas kraftigare av

m

_B än av

m

_A.

– För att eliminera en störning i T_C räcker det då med en mindre justering i m_B än vad som skulle behövas i

m

_A.

– Det här betyder också att utströmmen

m

_C störs mindre om

T

_C regleras med

m

_B än om T_C regleras med m_A.

– Om en störning i

m

_C skall elimineras, påverkas

T

_C i sin tur mindre om

m

_C regleras med

m

_A än om

m

_C regleras med

m

_B.

– Vi skall följaktligen reglera T_C med m_B och m_C med m_A.

Om vi generaliserar, betyder detta att utströmmens temperatur skall regleras med den inström, vars temperatur ligger längre från den önskade temperaturen i utströmmen.

(17)

8.2 Decentraliserad reglering

8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar

En reglerkrets kan förväntas fungera bättre ju mindre den påverkas (”störs”) av andra reglerkretsar i systemet genom korskoppling, även kallad interaktion.

Som ett mått på denna korskoppling för en reglerkrets med ”variabelparningen”

y u

_i- _j, har Edgar Bristol (1966) föreslagit den relativa förstärkningen för variabelparningen. Den definieras som förhållandet mellan den ”vanliga” (statiska) förstärkningen mellan

y

_i och uj och förstärkningen mellan samma variabler när alla andra utsignaler i systemet är (perfekt) reglerade. Om den relativa förstärkningen avviker mycket från 1 är det en indikation på att reglerkretsen störs av andra reglerkretsar.

Matematiskt definieras den relativa förstärkningen

λ

_ij för variabelparningen

y u

_i- _j

, ,

( / ) | ( / ) |

k k

i j u k j

ij

i j y k i

y u y u

λ

^≠

≠

∂ ∂

= ∂ ∂ ^(8.2.10)

Märk att de behövliga partialderivatorna kan bestämmas både för linjära och olinjära modeller.

(18)

8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar

De relativa förstärkningarna

λ

_ij kan samlas i en matris av relativa förstärkningar, på engelska Relative Gain Array, förkortat RGA, som även blivit den benämning som ofta används på svenska. För ett system av storleken

n n ×

blir RGA-matrisen

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

λ λ λ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

Λ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

"

# # % #

"

(8.2.11)

Märk att RGA-matrisen ger information om alla tänkbara variabelparningar y u_i- _j. RGA-matrisen har bl.a. följande två egenskaper:

– Summan av elementen i varje rad och i varje kolonn är 1. För en RGA-matris av storleken 2x2 innebär detta att endast ett element behöver beräknas enligt

definitionen, t.ex.

λ

₁₁, de övriga fås enligt summaregeln.

– RGA-matrisen är oberoende av variabelskalningar. En omskalning av in- eller utsignaler (t.ex. pga enhetsbyte) ändrar således inte på RGA-matrisen.

(19)

8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar

Val av reglerstruktur enligt RGA

Man väljer variabelparningar i en decentraliserad reglerstruktur enligt följande principer:

– Välj variabelparningar på RG-värden (relativa förstärkningar) så nära +1 som möjligt.

– Speciellt bör negativa RG-värden undvikas (ger någon form av instabilitetsproblem).

– Mycket stora RG-värden (>10...20, gränsen inte entydig) leder vanligtvis till dålig reglerprestanda.

– Ofta är valet inte entydigt när man skall jämföra RG-värden mellan 0 och 1 med >1 (skalan är olinjär, området 0...1 motsvarar 1...∞^).

– Variabelparning enligt RGA-matrisen är relativt pålitligt för 2x2-system; för större system är tillförlitligheten inte lika stor.

Märk att man skall välja en parning från varje rad och varje kolonn i RGA-matrisen.

Märk även att dessa egenskaper/regler gäller för de valda variabelparningarna i en

reglerstruktur; RGA-elementens värden för icke valda variabelparningar spelar ingen roll.

Ytterligare kan konstateras att det existerar svårreglerade system där alla decentrali- serade reglerstrukturer har någon variabelparning på ett negativt RG-värde.

(20)

8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar

Beräkning av RGA för ett linjärt 2x2-system

Vi skall illustrera hur RGA kan beräknas för ett linjärt 2x2-system i enlighet med definitionen (8.2.10). RGA-matrisens egenskap att alla rad- och kolonnsummor är lika med 1 gör att det är tillräckligt att bestämma ett av elementen. Här skall vi bestämma

λ

₁₁^.

Den statiska processmodellen för ett 2x2-system har formen

1 11 1 12 2

y = K u + K u

,

y

₂

= K u

_{21 1}

+ K u

_{22 2} (8.2.12a,b) där

K

_ij är statiska förstärkningar. För beräkning av nämnaren i (8.2.10) eliminerar vi

u

₂

från (8.2.12a) med hjälp av (8.2.12b). Vi får

1 11 1 12( 2 21 1) / 22

y = K u + K y − K u K

(8.2.13)

Täljaren och nämnaren i (8.2.10) fås enligt

1 1 2 11

(

∂ y

/

∂ u

) |_u

= K

,

1 1 2 11 12 21 22

(

∂ y

/

∂ u

) |_y

= K − K K

/

K

(8.2.14) som ger

11

12 21 11 22

1

1 K K / K K

λ

=

− ^(8.2.15)

(21)

8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar

4Exempel 8.2.1 Beräkning av RGA för blandning av två vätskeströmmar

Vi skall beräkna RGA för vattenblandningsexemplet i avsnitt 8.2.2. Enligt ekv. (8.2.7) ges förstärkningarna av uttrycken

11 1

K = , K₁₂ =1 , ^A ^C

21 C

T T

K = m⁻ , ^B ^C

22 C

T T

K = m⁻

Insättning i ekv. (8.2.15) ger för variabelparningen 1-1 (dvs m m_C- _A)

B C

11

A C B C B A

1 1 ( ) /( )

T T

T T T T T T

λ = = ⁻

− − − −

Variabelparningen i fråga är den korrekta om

λ

₁₁

> 0,5

, dvs om

T

_C

> 0,5( T

_A

+ T

_B

)

, vilket är i enlighet med tidigare allmänna slutsats om bästa variabelparning.

Numeriskt fås med

T

_A

= 80 C °

,

T

_B

= 20 C °

,

T

_C

= 60 C °

att

λ

₁₁ = 2 / 3 > 0,5. 3 Övning 8.2.1 Illustrationsexemplet i avsnitt 8.2.1

Försök att med RGA förklara det i avsnitt 8.2.1 studerade systemets egenskaper i de olika driftspunkterna. Beräkningarna kan göras med systemets statiska förstärkningar.

(22)

8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar

Beräkning av RGA för ett godtyckligt linjärt system

Vi skall här visa hur RGA enkelt kan beräknas för ett linjärt system av godtycklig storlek.

Dessutom utvidgar vi behandlingen så att överföringsfunktioner kan användas i stället för de statiska förstärkningarna. Vi får då en RGA-matris där elementen är funktioner av den komplexa Laplacevariabeln

s

och därmed även frekvensberoende RGA-matris (genom substitutionen

s = j ω

).

Systemet beskrivs av modellen

( ) s = ( ) ( ) s s

y G u (8.2.16)

Detta betyder att täljaren i ekv. (8.2.10) är lika med

G s

_ij

( )

. Ekv. (8.2.16) ger även

( ) s =

⁻1

( ) ( ) s s

u G y (8.2.17)

Eftersom [ ¹( )] ( / ) | _,

ji j i y k ik

s u y

− = ∂ ∂ ≠

G är det klart att inversen av

[ G

⁻¹

( )] s

_ji är lika med nämnaren i (8.2.10). Av detta följer att hela RGA-matrisen behändigt kan beräknas enligt

( ) s

=

( ) s

⁻T

( ) s

Λ G

D

G

(8.2.18)

där G⁻^T är den transponerade inversen av

G

och

D

betecknar elementvis multiplikation (precis som Matlab-operatorn

. ∗

) så att

[ ( )] Λ s

_ij

= [ ( )] [ G s

_ij

G

⁻^T

( )] s

_ij.

(23)

8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar

Några anmärkningar:

– Ekv. (8.2.18) möjliggör beräkning av en frekvensberoende RGA-matris. Om

| λ

_ij

|

(dvs magnituden av

λ

_ij) varierar mycket med frekvensen kan det vara skäl att undvika parningen y u_i- _j även om det statiska värdet på

λ

_ij vore acceptabelt.

– Även om man avser att använda en statisk RGA-matris, får man beräkningsproblem om något element i G

( ) s

innehåller integrerande verkan. Man kan då först beräkna

( ) s

Λ enligt (8.2.18) och därefter sätta

s = 0

för att få den statiska RGA-matrisen.

– Utgående från ekv. (8.2.18) och det faktum att G

( ) s

G⁻¹

( ) s =

I kan man bevisa att RGA-matrisens rad- och kolonnsummor måste vara lika med 1.

(24)

8.2.3 Val av reglerstruktur genom relativa förstärkningar

4Exempel 8.2.2 Beräkning av RGA för ett 3x3-system

Vi skall beräkna RGA för ett system med förstärkningsmatrisen

2,662 8,351 8,351 0,3816 0,5586 0,5586

0 11,896 0,3511

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ − − ⎥

−

⎢ ⎥

⎣ ⎦

K

Inversen och dess transponat blir ¹

0,1195 1, 787 0

0,002341 0,01633 0,08165 0, 07931 0,5532 0,08165

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ − ⎥

− −

⎢ ⎥

⎣ ⎦

K

, ^T

0,1195 0, 002341 0, 07931 1, 787 0, 01633 0, 5532 0 0, 08165 0, 08165

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ − − ⎥

−

⎢ ⎥

⎣ ⎦

K

vilket ger

T

0, 3182 0, 0195 0, 6623 0, 6818 0, 0091 0, 3090 0 0, 9713 0, 0287

−

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Λ K K D

anger bästa

parning

3

(25)

8. Val och design av reglerstruktur

Reglerteknik II – Tillståndsmetoder (419301) 8 – 25

8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer

För att decentraliserad reglering skall fungera (tillräckligt bra) måste det finnas naturliga par av in- och utsignaler som står för den dominerande dynamiken i systemet. Om in- och utsignalerna ordnas så, att den bästa variabelparningen sker längs diagonalen av överföringsmatrisen (och RGA-matrisen), kommer den dominerande dynamiken då att finnas i överföringsmatrisens diagonalelement. Detta betyder att överföringsmatrisen (med in- och utsignalerna ordnade på detta sätt) borde vara ”diagonaldominant”, dvs i viss mån likna en diagonal matris.

Om ett sådant arrangemang inte är möjligt, fungerar ren decentraliserad reglering mindre bra. Som vi sett i kursen, existerar det ”äkta” designmetoder för multivariabla system (polplacering, LQG, MPC).

Som ett mellanting mellan full decentraliserad reglering och äkta multivariabel reglering kan man tänka sig att ”designa” en reglerstruktur genom variabeltransformationer som gör att överföringsmatrisen blir diagonaldominant med avseende på de nya variablerna.

Då kan man fortfarande ha en decentraliserad reglerstruktur (multiloop SISO-reglering) med de nya variablerna som in- och utsignaler.

(26)

8.3 Variabeltransformationer

8.3.1 Frånkoppling

Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen

¹ ¹¹ ¹² ¹

2 21 22 2

( ) ( ) ( ) ( )

y s G s G s u s y s G s G s u s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ = ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.3.1)

Figuren till höger visar ett blockschema över systemet.

– Om

G

₁₂ och

G

₂₁ är ”små” jämfört med

G

₁₁ och

G

₂₂

kan vi använda vanlig decentraliserad reglering, där

y

1 regleras med

u

₁ och

y

₂ regleras med

u

₂. Regula- torerna kan förmodligen designas utan att beakta korskopplingselementen

G

₁₂ och

G

₂₁.

– Om

G

₁₂ och

G

₂₁ inte är små, har vi en betydande korskoppling i systemet, som borde beaktas vid regulatordesignen. En sådan metod är frånkoppling (även kallad frikoppling, eng. decoupling) .

(27)

8.3.1 Frånkoppling

8.3 Strukturdesign genom variabeltransformationer 8 – 27

Betrakta nu ett allmänt system med överföringsmatrisen

G ( ) s

så att

( ) s = ( ) ( ) s s

y G u

(8.3.2)

där

y

är en vektor av utsignaler och

u

är en vektor av insignaler. Om vi ursprungligen känner systemet skrivet på tillståndsform

( , , , ) A B C D

fås

G

som bekant enligt

( ) s = ( s − )

⁻1

G C I A B

(8.3.3)

Vi söker en variabeltransformation

( ) s = ( ) ( ) s s

u D m

(8.3.4)

som ger

( ) s = ( ) ( ) ( ) s s s = ( ) ( ) s s

y G D m H m

,

H ( ) s = G ( ) ( ) s D s

(8.3.5) så att överföringsmatrisen

H ( ) s

får ”trevliga” egenskaper för design av en regulator med

( ) s

m

som styrsignal.

(28)

8.3.1 Frånkoppling

Vi kan i princip välja

H ( ) s

såsom vi önskar och beräkna

D ( ) s

enligt

( ) s =

⁻1

( ) ( ) s s

D G H

(8.3.6)

Det bör dock observeras att alla element i

D ( ) s

bör vara stabila och praktiskt realiserbara. Detta medför ofta begränsningar i valet av

H ( ) s

. Speciellt kan följande noteras:

– Om

G ( ) s

innehåller en eller flera dödtider, kan (8.3.6) ge ”negativa” dödtider i

D ( ) s

, som inte kan realiseras. Kan åtgärdas genom att inkludera lämpliga dödtider i

H ( ) s

. – Om

G ( ) s

innehåller något nollställe i högra halvplanet, kan

D ( ) s

bli instabil. Kan

åtgärdas genom att låta

H ( ) s

ha motsvarande nollställen i högra halvplanet.

– Ofta nöjer man sig med frånkoppling i stationärtillstånd, dvs frånkopplingsmatrisen är en statisk matris

D (0)

beräknad enligt (8.3.6) med

s = 0

.

Nästa steg är att utgående från

H ( ) s

designa en regulator, vars utsignal

(

_r

)

( ) s = ( ) s ( ) s − ( ) s

m C y y

(8.3.7)

blir insignal till frånkopplingsblocket

D ( ) s

. Här är

C ( ) s

regulatorns överföringsmatris (normalt en diagonalmatris) och

y

_r är

y

:s ledvärde.

(29)

8.3.1 Frånkoppling

Fullständig frånkoppling

Om vi väljer

H ( ) s

som en diagonalmatris av önskade överföringsfunktioner fås

fullständig frånkoppling. Detta gör den efterföljande regulatordesignen speciellt enkel.

För 2x2-system talar man även om tvåvägsfrånkoppling, som kommer av att man då frånkopplar två reglerkretsar. I praktiken kan man kombinera valet av

H ( ) s

och realiser- barheten av

D ( ) s

genom att skriva (8.3.6) som funktion av elementen i

H ( ) s

och

D ( ) s

.

Med ¹¹

22

( ) 0

( ) 0 ( )

H s

s H s

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

H

(8.3.8)

fås

22 11 12 22

21 11 11 22

11 22 12 21

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s H s G s H s G s H s G s H s s G s G s G s G s

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

= −

D

(8.3.9)

Utgående från (8.3.9) kan man se hurudana val av H₁₁( )s och H₂₂( )s som gör elementen i

D ( ) s

realiserbara och som samtidigt är tillräckligt enkla för bekväm regulatordesign.

(30)

8.3.1 Frånkoppling

4Exempel 8.3.1 Tvåvägsfrånkoppling av ett enkelt system

Vi skall bestämma en tvåvägsfrånkoppling för ett system som beskrivs av en tillstånds- modell

( , , , ) A B C D

med

2 3

0 1

⎡ − ⎤

= ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

A

,

1 0 0 1

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

B

,

1 2 3 1

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

C

,

D 0 =

. Enligt (8.3.3) fås

2 7 1 1

2 ( 2)( 1)

3 11

2 ( 2)( 1)

1 2 7

3 3 11

1 2 2 3 1 0

3 1 0 1 0 1 ( 2)( 1)

s

s s s

s

s s s

s s

s

s s s

− +

+ + +

+ + + +

+ +

⎡ ⎤

⎢ + + ⎥

+ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥

= ⎢⎣ ⎥ ⎢⎦ ⎣ + ⎥ ⎢⎦ ⎣ ⎥⎦ = + + = ⎢⎣ ⎥⎦

G .

Insättning i (8.3.9) ger

11 22

( 11) (2 7)

1

3( 1) ( 1)

5

s H s H

+ − +

⎡ ⎤

= − ⎢⎣− + + ⎥⎦

D

.

(31)

8.3.1 Frånkoppling

Här finns inga problem med dödtider eller instabilitet i

D

-matrisen.

Vi kan t.ex. välja

1 11

1 1

( ) 0

0

s

s ⁺

+

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

H

som ger

2 7 1 3( 1)

11

1 1

( ) 5 1

s s s

s

++ +

+

⎡ − ⎤

= − ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

D

Här har icke-diagonalelementen i

D

-matrisen formen av PD-regulatorer med filtrering.

Om vi vill att alla element i

D

skall vara strikt propra, kan vi t.ex. välja

1 ( 1)( 11)

1

( 1)(2 7)

0 ( ) 0

s s

s

⁺ ⁺

+ +

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

H

som ger

1 1

3 1

11 2 1

( ) 1

5

s s

s

⁺ ⁺

+ +

⎡ − ⎤

= − ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

D

Här är alla element i

D

-matrisen enkla först ordningens system, som är enkla att realisera. Märk att vi inte behöver realisera

H ( ) s

, den används endast för regulator-

design. 3

(32)

8.3.1 Frånkoppling

Partiell frånkoppling

Trots att det finns frihetsgrader i valet av en diagonal

H

-matris så att

D

-matrisen blir realiserbar och inte alltför komplicerad, finns det situationer när det inte är lätt att bestämma en lämplig

H

-matris.

Om överföringsmatrisen

G ( ) s

har höga RGA-värden, kommer beräkningen av

D

enligt (8.3.6) dessutom att bli känslig för modellfel pga av inversen av överföringsmatrisen.

I sådana fall hjälper det ofta att använda partiell frånkoppling, som karakteriseras av att

H

-matrisen är triangulär.

Detta innebär att det finns

• 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar

• 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar utom ovannämnda krets

• 1 reglerkrets som är frånkopplad från alla andra reglerkretsar utom kretsarna ovan

• etc.

Hur man väljer vilka kretsar som skall frånkopplas andra kretsar är det svårt att ge ett allmänt svar på. Rimligt förefaller t.ex. att helt frånkoppla den viktigaste kretsen.

(33)

8.3.1 Frånkoppling

Partiell frånkoppling för ett 2x2-system kallas vanligtvis envägsfrånkoppling.

För envägsfrånkoppling har vi följande två möjligheter att välja en triangulär

H

-matris (frånsett permutationer av insignalerna):

11 12

22

( ) ( )

( ) 0 ( )

H s H s

s H s

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

H

som ger

22 11 22 12 12 22

12 11 12 12 11 22

11 22 12 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s H s G s H s G s H s G s H s G s H s G s H s

s G s G s G s G s

⎡ − ⎤

⎢ − − + ⎥

⎣ ⎦

= −

D

(8.3.10)

11

21 22

( ) 0

( ) ( ) ( )

H s

s H s H s

⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

H

som ger

22 11 12 21 12 22

12 11 11 21 11 22

11 22 12 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s H s G s H s G s H s G s H s G s H s G s H s

s G s G s G s G s

− −

⎡ ⎤

⎢ − + ⎥

⎣ ⎦

= −

D

(8.3.11)

(34)

8.3.1 Frånkoppling

Frånkoppling genom direkt kombination av variabler

Ibland kan det vara enklare att konstruera en frånkoppling genom direkt kombination av variabler.

Vi skall illustrera principen med det tidigare behandlade vattenblandningsexemplet. Då bestämdes modellen

C A A

C B B

1 1 0 0

1 2 2 / 3 1/ 3

m m T

T m T

Δ Δ Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +

⎢ Δ ⎥ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δ ⎥ ⎦

⎣ ⎦

^(8.3.12)

Vi ser att

m

_C bäst regleras med summan av

m

_A och

m

_B. Om vi väljer

m

_A

+ m

_B till insignal i stället för

m

_A blir modellen då

C A B A

C B B

( )

1 0 0 0

1 3 2 / 3 1/ 3

m m m T

T m T

Δ Δ + Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +

⎢ Δ ⎥ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δ ⎥ ⎦

⎣ ⎦

^(8.3.13)

Märk att (8.3.13) ger precis samma samband mellan de ”verkliga” variablerna som (8.3.12).

(35)

8.3.1 Frånkoppling

Eftersom förstärkningsmatrisen i (8.3.13) blivit triangulär, motsvarar detta en envägsfrån- koppling, såsom blockschemat nedan illustrerar.

På motsvarande sätt kan man ur (8.3.13) se att T_C bäst skulle regleras med en variabel lika med 1 (⋅ m_A + m_B) 3− ⋅m_B dvs m_A − 2m_B. Denna insignal ger modellen

C A B A

C A B B

( )

1 0 0 0

( 2 )

0 1 2 / 3 1/ 3

m m m T

T m m T

Δ Δ + Δ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +

⎢ Δ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δ − ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ Δ ⎥ ⎦

⎣ ⎦

^(8.3.14)

(36)

8.3.1 Frånkoppling

Eftersom förstärkningsmatrisen i (8.3.14) är diagonal, motsvarar detta tvåvägs- frånkoppling, såsom illustreras i blockschemat nedan.

Märk att vi hade erhållit samma tvåvägsfrånkoppling genom invertering av förstärknings- matrisen i (8.3.12) och beräkning av en frånkopplingsmatris enligt (8.3.9).

(37)

8.3.1 Frånkoppling

4Exempel 8.3.2 Frånkoppling av en råoljedestillationskolonn Enligt McAvoy (”Interaction Analysis”, 1983)

kan råoljedestillationskolonnen i figuren i stationärtillsånd beskrivas med modellen

1 11 1

2 22 22 2

33 33 33 3

3

44 44 44 44 4

4

0 0 0

0 0

0 T a m

T a a m

a a a m

T

a a a a m

T

∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

där

a

_ii är statiska förstärkningar.

Märk att alla förstärkningar olika noll på en rad är lika stora, vilket beror på att flödena

mi, som påverkar de interna flödena i

kolonnen, antas ha en summerande effekt på kvalitetsvariabeln

T

_j^∗,

j ≥ i

.

(38)

8.3.1 Frånkoppling

Eftersom förstärkningsmatrisen är triangulär, är systemet redan partiellt frånkopplat. Vi skall här visa hur man kan bestämma en fullständig frånkoppling genom kombination av insignaler utan att behöva invertera förstärkningsmatrisen.

Vi definierar följande nya insignaler:

1

m

1

μ =

^,

μ

₂

= m

₁

+ m

₂^,

μ

₃

= m

₁

+ m

₂

+ m

₃^,

μ

₄

= m

₁

+ m

₂

+ m

₃

+ m

₄

På grund av förstärkningsmatrisens speciella form blir modellen med de nya insignalerna

1 11 1

2 22 2

33 3

3

44 4 4

0 0 0

T a

T a T a

μ μ μ μ

∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

som visar att systemet nu är frånkopplat.

För reglering av systemet kan man då använda 4 regulatorer som var för sig reglerar en kvalitetsvariabel

T

_i^∗ med

μ

_i^.

(39)

8.3.1 Frånkoppling

För att realisera regulatorernas regler- signaler

μ

_i, måste

m

_i beräknas.

Utgående från definitionerna på

μ

_i fås

1 1 2 2 1

3 3 2 4 4 3

m m

μ μ μ

μ μ μ μ

= = −

= − = −

såsom illustreras i figuren.

Av sambanden ovan följer att detta är ekvivalent med att använda en från- kopplingsmatris

1 0 0 0

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

⎡ ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ − ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

D

3

(40)

8.3 Variabeltransformationer

8.3.2 Linjärisering och framkoppling

Vi har sett att vi kan frånkoppla ett linjärt system med linjära variabeltransformationer.

Vi skall här visa att vi med hjälp av lämpliga variabeltransformationer även kan

• linjärisera olinjära system ”globalt” utan att göra någon approximation av systemet (dvs det olinjära systemet blir linjärt när det uttrycks med de nya variablerna).

• eliminera mätbara störningar perfekt genom framkoppling (denna framkoppling och störningseliminering blir en ”automatisk” följd av variabeltransformationerna).

Vi skall illustrera metoden med hjälp av det tidigare behandlade vattenblandningsexemplet. Den olinjära modellen bestående av ekv. (8.2.1) och (8.2.3) kan skrivas

C A B

m = m + m

^(8.3.15)

A A B B

C

A B

m T m T

T m m

= +

+ ^(8.3.16)

(41)

8.3.2 Linjärisering och framkoppling

Antag att vi definierar nya insignaler

A B

u

m

= m + m

(8.3.17)

A A B B

A B

T

m T m T

u m m

= +

+

^(8.3.18)

Uttryckt med dessa insignaler kan modellen skrivas

C C

1 0 0 1

m T

m u

T u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

^(8.3.19)

dvs ett linjärt, fullständigt frånkopplat och helt störningsokänsligt system!

I detta fall är härledningen av de linjäriserande, frånkopplande och störningseliminerande variabeltransformationerna enkelt eftersom systemets dynamik försummats.

För olinjära dynamikmodeller kan det vara besvärlig, eller kanske t.o.m. omöjligt, att hitta dylika variabeltransformationer, men ofta är det fullt möjligt.

(42)

8.3.2 Linjärisering och framkoppling

Fast regulatorerna producerar värden för

u

_m och

u

_T som utsignaler, är det förstås

m

_A

och m_B som i verkligheten måste användas för reglering av systemet. Dessa kan dock beräknas utgående från (8.3.17) och (8.3.18) enligt

_A ^B

A B

m T

u T m u

T T

= −

− ^(8.3.20)

B A

m T

u T

m u

T T

= −

−

^(8.3.21)

– Om

T

_A och

T

_B kan mätas, får man automatisk störningseliminering genom (olinjär) framkoppling.

– Om

T

_A och

T

_B inte mäts, kan de ersättas med sina nominella (”typiska”) värden i (8.3.20) och (8.3.21). Man får då ingen framkopplingseffekt, men i praktiken linjäri- serar och frånkopplar (8.3.20) och (8.3.21) ändå systemet.

– Man kan också tänka sig att estimera

T

_A och

T

_B.