KOMPLEKSIANALYYSI I Harjoitus 5, kev¨at 2012
1. Tutki onko funktiollaf(z) =z|z|, z ∈C derivaattaa miss¨a¨an pisteess¨a z0 ∈C.
2. M¨a¨ar¨a¨a seuraavien funktioiden derivaatat (mik¨ali ovat olemassa) a) f(z) = z2+ 1
(z2−1)2, z 6= 1 b) f(z) =ez¯, z ∈C, c) f(z) = Imz, z ∈C, d) (z) =zImz, z∈C.
3. Todista yhdistetyn funktion derivaattaa koskeva ketjus¨a¨ant¨o.
4. Olkoon f(z) =zn, z ∈S [0,2πn [ (n≥2).M¨a¨ar¨a¨a f0(z), z ∈C,ja (f−1)(z), z ∈S ]0,2πn [ \{0}.
5. Olkoon f(z) =z3, z ∈ S[2π3 ,4π3 ). T¨all¨oin f−1 :C→S[2π3 ,4π3 ) on olemassa. M¨a¨ar¨a¨a (f−1)0(i) ja (f−1)0(−1).
