KOMPLEKSIANALYYSI I Harjoitus 6, kev¨at 2008 1. Todista yhdistetyn funktion derivaattaa koskeva ketjus¨a¨ant¨o. 2. Osoita, ett¨a funktio f (z) = ze

KOMPLEKSIANALYYSI I Harjoitus 6, kev¨at 2008

1. Todista yhdistetyn funktion derivaattaa koskeva ketjus¨a¨ant¨o.

2. Osoita, ett¨a funktio f(z) = ze^z on analyyttinen C:ss¨a. M¨a¨ar¨a¨a f⁰(z).

3. Oletetaan, ett¨a g on koko C:ss¨a analyyttinen funktio. M¨a¨aritell¨a¨an funktio f : C → C asettamalla f(z) = g(¯z), kun z ∈ C. Tutki onko f analyyttinen C:ss¨a.

4. Olkoon f(z) = f(x +iy) = x³ −3xy²+i(3x²y−y³), z = x+iy ∈ C.

Osoita, ett¨a f toteuttaa Cauchy-Riemannin yht¨al¨ot. M¨a¨ar¨a¨a f⁰(z).

5. Osoita, ett¨a Cauchy-Riemannin yht¨al¨ot saavat napakoordinaateissa muodot

u_r = 1

rv_θ ja v_r = −1 ru_θ.

6. Olkoon f(z) = z³, z ∈ S[^2π₃ , ^4π₃ ). T¨all¨oin f⁻¹ : C → S[^2π₃ , ^4π₃ ) on olemassa. M¨a¨ar¨a¨a (f⁻¹)⁰(i) ja (f⁻¹)⁰(−1).