P ITKÄN MATEMATIIKAN LISÄSIVUT 3 G EOMETRIA
Ville Tilvis ja Esa V. Vesalainen
V ERSIO 0.6 KESKEN
tammikuu 2020
Lisensoitu Creative CommonsNimeä 4.0 Kansainvälinen-käyttöluvalla.
cb
Sisältö
Johdanto 3
1 Geometrinen todistaminen 4
Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus . . . 4
Kolmioiden yhtenevyyslauseet . . . 6
Kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseet . . . 7
Vieruskulmat, ristikulmat ja samankohtaiset kulmat . . . 8
Esimerkkejä todistuksista . . . 9
Harjoitustehtäviä . . . 11
2 Kolmion merkilliset pisteet 15 Keskinormaalit . . . 16
Kulmanpuolittajat . . . 17
Mediaanit . . . 17
Korkeusjanat . . . 18
Harjoitustehtäviä . . . 19
3 Eulerin suora ja yhdeksän pisteen ympyrä 21 Eulerin suora . . . 21
Yhdeksän pisteen ympyrä . . . 23
Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste . . . 27
Harjoitustehtäviä . . . 29
Ensimmäiset vihjeet 30
Toiset vihjeet 41
Sanasto 52
Johdanto
Tämä on keskeneräinen luonnos pitkän matematiikan lisäsivujen kolmannesta osasta. Luvassa on geometrista todistamista ja paljon huomioita kolmion merkilli- sistä pisteistä. Lopulliseen versioon on tulossa lisää sisältöä, erityisesti
• kehäkulmalauseesta,
• pisteen potenssista ja
• kauniista geometrian tuloksista.
Kaikista virheistä, puutteista ja parannusehdotuksista toivotaan postia Ville Tilvik- selle (ville.tilvis@mayk.fi).
Lisäsivujen seuraavissa osissa (4 ja 5) käsitellään koordinaatistogeometriaa.
Antoisia hetkiä lisäsivujen parissa!
Helsingissä ja Vantaalla 22.1.2020 Ville Tilvis ja Esa V. Vesalainen
Opettaja! Tilaa tehtävien ratkaisut: ville.tilvis@mayk.fi
1 Geometrinen todistaminen
Geometriassa - kuten matematiikassa ylipäänsä - on keskeistä väitteiden huolelli- nen perustelu. Siksi haluaisimme sopia heti näiden lisäsivujen aluksi jonkinlaisen yhteisesti hyväksytyn pohjan, jonka päälle todistukset rakentuvat.
Tasogeometria on itse asiassa varsin monimutkainen järjestelmä, ja sen huolellisen rakentamisen aksioomista lähtien teki vasta David Hilbert vuonna 1899 julkaistussa teoksessaanGrundlagen der Geometrie. Moderni esitys löytyy esimerkiksi Matti Lehtisen, Jorma Merikosken ja Timo Tossavaisen erinomaisesti kirjastaJohdatus tasogeometriaan, tai internetistä löytyvästä Matti Lehtisen monisteestaGeometrian perusteita.
Tässä kohtaa geometrian opintoja ei kuitenkaan ole mielekästä sukeltaa niin syviin vesiin. Seuraavilla sivuilla (4–8) käydään läpi lähtökohtia, joiden varaan todistuk- semme rakentuvat. Todistamista harjoitellaan vihdoin sivulla 9.
Aloitetaan käsitteistä yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus.
Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus
Yhtenevyys. Kaksi monikulmiotaABC...KjaA0B0C0...K0ovat yhtenevät, kun
• PisteilleA,B,C,... ,Klöytyy vastinpisteetA0,B0,C0,... ,K0, joille pätee, että
• kaikki vastinkulmat ovat yhtä suuret (∠ABC=∠A0B0C0ja niin edelleen), ja
• kaikki vastinpisteitä yhdistävät janat ovat kuvioissa yhtä pitkiä, eli|AB| =
|A0B0|, ja niin edelleen.
• Yhtenevyyttä voidaan merkitä symbolilla∼=, esimerkiksi kolmioille ABC∼=A0B0C0.
B A C
D
E
A0
B0 C0 D0
E0
ViisikulmiotABC DEjaA0B0C0D0E0ovat yhtenevät.
Arkikielellä yhtenevyys siis tarkoittaa, että kuviot ovat samanlaiset, mutta eivät välttämättä samassa asennossa.
Yhdenmuotoisuus. Kaksi monikulmiotaABC...K jaA0B0C0...K0ovat yhdenmuo- toiset, kun
• PisteilleA,B,C,...,K löytyy vastinpisteetA0,B0,C0,...,K0, joille pätee, että
• kaikki vastinkulmat ovat yhtä suuret (∠ABC=∠A0B0C0ja niin edelleen), ja
• kaikki vastinpisteitä yhdistävät janat ovat kuvioissa verrannolliset, eli suhteet
|AB|
|A0B0|, |BC|
|B0C0|, ja niin edelleen, ovat yhtäsuuret keskenään. Tätä suhdetta kutsutaan monikulmioiden verrannollisuuskertoimeksi eli mittakaavaksi.
• Yhdenmuotoisuutta voidaan merkitä symbolilla∼, esimerkiksi kolmioille ABC∼A0B0C0.
B A C
D
E
A0
B0 C0 D0
E0
ViisikulmiotABC DEjaA0B0C0D0E0ovat yhdenmuotoiset mittakaavalla1 : 2.
Arkikielellä yhdenmuotoisuus tarkoittaa, että kuviot ovat samanmuotoiset, mutta eivät välttämättä saman kokoiset eivätkä samassa asennossa.
Huomaa, että jos kaksi kuviota ovat yhtenevät, ne ovat yhdenmuotoiset verrannolli- suuskertoimella 1.
Kolmioiden yhtenevyyslauseet
Monessa todistuksessa haluamme perustella, että jotkin janat ovat yhtä pitkät tai jotkin kulmat yhtä suuret. Tällöin on mukavaa vedota kahden kolmion yhtenevyy- teen tai yhdenmuotoisuuteen. Tarvitaan siis kriteerit sille, milloin kaksi kolmiota ovat yhtenevät. Otamme nämä käyttöön ilman todistusta.
Kolmioiden yhtenevyyslauseet.Kaksi kolmiota ovat yhtenevät, mikäli jokin seu- raavista neljästä ehdoista pätee.
(sks)Kolmioissa on kaksi paria yhtä pitkiä sivuja ja niiden välinen kulma on sama.
(sks)-yhtenevyys (sss)Kolmioissa on kolme paria yhtä pitkiä sivuja.
(sss)-yhtenevyys
(ksk)Kolmioissa on yksi pari yhtä pitkiä sivuja ja yhtä suuret kulmat niiden vieressä.
(ksk)-yhtenevyys Yhtenevyyslause ssk sisältää pienen lisäehdon:
(ssk)Jos kolmioissa on kaksi paria yhtä pitkiä sivuja ja niistä toisen vastaiset kulmat ovat yhtä suuret, niin joko
1. kolmiot joko ovat yhtenevät, tai
2. toisen yhtäsuuren sivuparin vastaiset kulmat ovat suplementtikulmia (eli niiden summa on 180◦).
(ssk)-yhtenevyys
Kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseet
Kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseet ovat hyvin samankaltaisia kuin yhtenevyys- lauseet. Nyt vain ehto yhtä pitkistä sivuista korvataan vaatimuksella verrannollisista sivuista. Vastinsivujen suhteen pitää siis olla vakio.
Kolmioiden yhdenmuotoisuuslauseet.Kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoiset, mi- käli jokin seuraavista neljästä ehdoista pätee.
(sks)Kolmioissa on kaksi paria verrannollisia sivuja ja niiden välinen kulma on sama.
a
b
ka kb
(sks)-yhdenmuotoisuus mittakaavallak (sss)Kolmioissa on kolme paria verrannollisia sivuja.
a c b
ka
kb kc
(sss)-yhdenmuotoisuus mittakaavallak (kk)Kolmioissa on kaksi paria yhtä suuria kulmia.
(kk)-yhdenmuotoisuus Yhdenmuotoisuuslause ssk sisältää taas pienen lisäehdon:
(ssk)Jos kolmioissa on kaksi paria verrannollisia sivuja ja niistä toisen vastaiset kulmat ovat yhtä suuret, niin joko
1. kolmiot joko ovat yhdenmuotoiset, tai
2. toisen yhtäsuuren sivuparin vastaiset kulmat ovat suplementtikulmia (eli niiden summa on 180◦).
a b
ka
kb kb
(ssk)-yhdenmuotoisuus mittakaavallak
Vieruskulmat, ristikulmat ja samankohtaiset kulmat
Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden lisäksi vetoamme jatkuvasti kulmien yhtä- suuruuteen. Annetaan (taas ilman todistusta) kolme tähän liittyvää lausetta.
Vieruskulmat. Kulman ja sen vieruskulman summa on 180◦.
α β
Vieruskulmilleα+β=180◦.
Ristikulmat. Kahden suoran leikatessa syntyvät ristikulmat ovat yhtä suuret.
α α
Ristikulmatαovat yhtä suuret.
Samankohtaiset kulmat. Kun suorasleikka suoriarjat, samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret täsmälleen silloin, kun suoratr jatovat yhdensuuntaiset.
r t s
rkt α
α α
α
Yllä kaikkia neljää kulmaaαkutsutaan keskenään samankohtaisiksi.
Esimerkkejä todistuksista
Geometrian todistuksissa tekee helposti olettamuksia, joita ei itse asiassa ole vielä perusteltu. Tässä todistetaan joitakin itsestään selvän oloisia tuloksia.
Esimerkki 1
Väite. Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtäsuuret.
(Suunnikas on nelikulmio, jolla on kaksi paria yhdensuuntaisia sivuja.)
Todistus. OlkoonABC Dsuunnikas, jolloin ADkBCjaDCkAB. Jatketaan sivua ABkuvan mukaisesti. Osoitetaan, että vastakkaisten kärkienAjaCkulmatαjaγ ovat yhtäsuuret.
A B
C D
α β
γ
Suunnikkaan määritelmän mukaanAB∥C D, joten samankohtaiset kulmatαja βovat yhtäsuuret. Toisaalta myös AD jaBC ovat yhdensuuntaiset, joten myös samankohtaiset kulmatβjaγovat yhtäsuuret. Siis päteeα=γ.2
KärjetAjaColivat mielivaltaisen suunnikkaan mitkä tahansa vastakkaiset kärjet, joten väite pätee yleisesti.
Esimerkki 2
Väite. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät. (Tämä ei seuraa suoraan suunnikkaan määritelmästä, sillä määritelmä takaa vain yhdensuuntaisuuden.) Todistus. Olkoon ABC D suunnikas. LävistäjäDB jakaa suunnikkaan kahteen kolmioon.
A B
C D
α
α
β β
Suunnikkaan vastakkaiset kulmatAjaCovat yhtä suuret (todistettu edellä). Koska AB ∥C D, samankohtaiset kulmat∠DB A ja∠B DC ovat yhtäsuuret (merkitään β). KolmiotAB DjaC DBovat siis yhteneviä (ksk), sillä niillä on samat kulmat ja yhteinen vastinsivuB D. SiisAB=C DjaAD=C B.2
Esimerkki 3
Väite. Kolmion sivun ja sen vastaisen korkeusjanan pituuksien tulo on vakio.
Jos siis lasketaan kolmion pinta-alaAkaavallaA=12ah, tulos on sama riippumatta siitä, mikä sivuaja sen vastainen korkeusjanahvalitaan.
Todistus. OlkoonABCkolmio. Olkoon kärjestä Alähtevä korkeujanaha ja sen vastainen sivua. Vastaavasti olkoon kärjestäBlähtevä korkeusjanahb ja sen vastai- nen sivub. Tarkastellaan sekä terävä- että tylppäkulmaista tapausta:
A
B a C
b
P
Q ha
hb
A
B a C
b
P Q ha hb
OlkoonPkorkeusjananhatoinen päätepiste jaQkorkeusjananhbtoinen pääte- piste. PisteP on sivullaBCtai sen jatkeella riippuen siitä, onko kulmaBterävä tai tylppä. (Kun kulmaBon suora, päteeP=B. Sama todistus kattaa kaikki tapaukset.) KolmiotC P AjaCQBovat yhdenmuotoisia (kk), sillä kummassakin on suora kulma ja yhteinen kulmaC.
A
B a C
b
P
Q ha
hb
A
B a C
b
P Q ha hb
YhdenmuotoisuudestaC P A∼CQBseuraa ha
hb =b a, josta ristiin kertomalla saadaan
a·ha=b·hb, minkä halusimmekin todistaa.2
Kolmion pinta-alaksiAtulee siis sama, laskettiinpaA=12ahataiA=12bhb.
Harjoitustehtäviä
Tehtävä 1. Todista, että kolmion kulmien summa on oikokulman suuruinen (180◦).
Todistuksen voi aloittaa seuraavasti:
OlkoonABCkolmio. Piirretään kärjenCkautta sivunABsuuntainen suoras. Jatke- taan sivujaACjaBCkuvan mukaisesti.
A B
C s
α β
γ
Viimeistele todistus.
[Vihje]
Tehtävä 2. Mitä yhtenevyyslausetta seuraavassa todistuksessa käytetään?
Väite: Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret.
Todistus: OlkoonABCtasakylkinen kolmio, jonka kyljet ovatABjaAC. OlkoonM kannanBCkeskipiste.
B C
A
M
Nyt pätee∠M B A=∠AC M, sillä kolmiot AB M ja AC M ovat yhtenevät. Minkä yhtenevyyslauseen perusteella nämä kolmiot ovat yhtenevät?
Huom! Tämä sama todistus perustelee, miksi pisteessä M muodotuu kaksi suoraa kulmaa. Älä siis käytä tätä tietoa hyväksi.
[Vihje]
Tehtävä 3. Mitä yhtenevyyslausetta seuraavassa todistuksessa käytetään?
Väite: Kun kolmiossa on kaksi yhtä suurta kulmaa, kolmio on tasakylkinen nämä kulmat kantakulmina.
Todistus: OlkoonABCkolmio, jonka kärkienBjaCkulmat ovat yhtä suuret. Olkoon MsivutBCkeskipiste.
B C
A
M α α
Nyt päteeAB=AC, sillä kolmiotAB MjaAC Movat yhtenevät. Minkä yhtenevyys- lauseen perusteella nämä kolmiot ovat yhtenevät?
[Vihje]
Tehtävä 4. Osoita, että kulmanpuolittajan pisteet yhtä kaukana kulman kummas- takin kyljestä.
P
αα
[Vihje]
Tehtävä 5. Osoita, että kulman kyljistä yhtä kaukana olevat pisteet ovat kulman puolittajalla.
P
[Vihje]
Tehtävä 6. Osoita, että janan keskinormaalin pisteet ovat yhtä kaukana janan pää- tepisteistä. (Keskinormaali on suora, joka kulkee kohtisuorasti janan keskipisteen kautta.)
P
[Vihje]
Tehtävä 7. Osoita, että pisteet, jotka ovat yhtä kaukana janan päätepisteistä, ovat janan keskinormaalilla.
[Vihje]
Tehtävä 8. OlkoonABC Dkupera nelikulmio, jossaAB=ADjaC B=C D. Tällaista nelikulmiota kutsutaan leijaksi.
A
B
C
D
Osoita, että leijan lävistäjät leikkaavat toisensa kohtisuorasti.
[Vihje]
Tehtävä 9. Kolmiota leikataan sen sivun suuntaisella suoralla. Osoita, että syntyvä kolmio on alkuperäisen kanssa yhdenmuotoinen.
[Vihje]
Tehtävä 10. Kolmion ABC sivulla AB on piste D siten, ettäAD =3 jaDB =2.
Kuinka suuren osan kolmionDBC pinta-ala on kolmionABCpinta-alasta?
A
B C
D 3
2
Keksitkö kaksi eri ratkaisua? Kumpi on selvästi lyhyempi?
[Vihje]
Tehtävä 11. Kahdessa yhdenmuotoisessa kolmiossa kummassakin on sivut, joi- den pituudet ovat 5 ja 7. Kolmiot eivät kuitenkaan ole yhtenevät. Miten tämä on mahdollista? Kuinka pitkät kolmioden viimeiset sivut ovat?
[Vihje]
Tehtävä 12. Nelikulmion sivujenABC Dpituuden ovatAB=1,BC=2,C D=4 ja D A=4. Lisäksi lävistäjänACpituus on 2. Osoita, ettäABC Don puolisuunnikas.
[Vihje]
Tehtävä 13. Kuperan nelikulmion sivujen keskipisteet yhdistetään. Osoita, että syntyvä nelikulmio on suunnikas.
A
B D C
X
Y Z
W
[Vihje]
2 Kolmion merkilliset pisteet
Tunnetuimmat kolmioihin liittyvät ”merkilliset” pisteet ovat kolmion sivujen keski- normaalien leikkauspisteO, kulmanpuolittajien leikkauspisteI, keskijanojen eli mediaanien leikkauspisteGja korkeusjanojen leikkauspisteH.
Keskinormaalit1
O
Kulmanpuolittajat2 I
Mediaanit3 G
Korkeusjanat4 H
Kukin näistä pisteistä syntyy kolmen suoran leikkauspisteenä, ja ne löytyvät jo- kaisesta kolmiosta. Pisteissä on merkillisintä se, että ne ylipäänsä ovat olemassa:
kolmen suoran ei tarvitsisi leikata yhdessä pisteessä.
Kuten yllä olevista kuvista näkyy, merkillisten pisteidenO,I,G,Hei tarvitse olla keskenään samoja.
Seuraavaksi perustellaan merkillisten pisteiden olemassaolo ja joitakin niiden omi- naisuuksia. Tutustu todistuksiin huolellisesti ja ymmärrä niiden yksityiskohdat.
1Keskinormaalit ovat sivujen keskipisteiden kautta piirrettyjä, sivuja vastaan kohtisuoria suoria.
2Kulmanpuolittajat ovat puolisuoria, jotka jakavat kolmion kulmat kahteen yhtäsuureen osaan.
3Mediaanit eli keskijanat kulkevat kolmion kärjistä vastakkaisen sivun keskipisteeseen.
4Korkeusjanat kulkevat kolmion kärjestä kohtisuorasti vastakkaiselle sivulle (tai sen jatkeelle, mikäli kolmio on tylppäkulmainen).
Keskinormaalit
Lause: Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat yhdessä pisteessä, ja tämä piste on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteO.
A B
C
O
Todistus.Tutkitaan kolmionABCsivujenACjaBCkeskinormaalien leikkauspis- tettäO. KoskaOon sivunAC keskinormaalilla, se on yhtä etäällä pisteistäAjaC, eli|O A| = |OC|. KoskaOon myös sivunBCkeskinormaalilla,|OB| = |OC|. Nämä yhdistämällä saadaan|O A| = |OB|, jotenOon myös sivun ABkeskinormaalilla.
Keskinormaalit leikkaavat siis yhdessä pisteessä.
Koska pisteOon yhtä etäällä pisteistäA,BjaC, voidaan pisteOkeskipisteenä ja esimerkiksi janaO Asäteenä piirtää ympyrä, jonka kehällä ovat pisteetA,BjaC (kolmionABCympäri piirretty ympyrä). Kolmion ympäri piirrettyjä ympyröitä on vain yksi, koska minkä tahansa sellaisen ympyrän keskipiste on yhtä etäällä kärjistä A,BjaC eli keskipiste on kaikilla keskinormaaleilla, ja on siis keskinormaalien leikkauspiste.2
Kulmanpuolittajat
Lause: Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä, ja tämä piste on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipisteI.
B A
I C
Todistus.KolmionABCkulmienAjaBkulmanpuolittajien leikkauspiste olkoon I. Koska pisteI on kulman A puolittajalla, se on yhtä etäällä kyljistä ABja AC. KoskaIon kulmanBpuolittajalla, se on yhtä etäällä kyljistäABjaBC. Näin ollen I on yhtä kaukana sivuista AC jaBC, joten se on myös kulmanC puolittajalla.
Kulmanpuolittajat leikkaavat siis yhdessä pisteessäI.
KoskaIon yhtä kaukana kolmion kaikista sivuista, sen kautta voidaan piirtää ym- pyrä, joka sivuaa jokaista sivua. Näitä sisäympyröitä on vain yksi, sillä jokaisen tällaisen ympyrän keskipiste on yhtä etäällä kolmion sivuista eli kaikilla kulman- puolittajilla, ja on siis kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste.2
Mediaanit
Kolmionmediaanitelikeskijanatovat kolmion kärjen ja sen vastakkaisen sivun keskipisteen yhdistäviä janoja.
Lause: Kolmion mediaanit leikkaavat yhdessä pisteessä (painopisteG) ja jakavat toisensa suhteessa 2 : 1 kolmion kärjistä lukien.
A B
C
A0 B0
C0 G (2)
(1)
Todistus.Piirretään kolmiolle mediaanitA A0jaB B0. Olkoon niiden leikkauspisteG.
A B C
A0 B0
G
KolmiotC ABjaC B0A0ovat yhdenmuotoisia (sks), jotenA0B0=12ABja samankoh- taisten kulmien perusteellaAB∥A0B0. Tästä seuraa, että kolmiotG ABjaG A0B0ovat yhdenmuotoiset (samankohtaiset kulmatBjaB0sekäAjaA0). KoskaA0B0=12AB, myösG A0=12AGjaGB0=12GB.
MediaanitA A0jaB B0jakavat siis toisensa suhteessa 2 : 1 kolmion kärjistä luettuna.
Jos sama päättely toistetaan alusta mediaanilleA A0ja kolmannelle mediaanilleCC0, havaitaan että myös ne jakavat toisensa suhteessa 2 : 1. KoskaB B0jaCC0jakavat A A0:n samassa suhteessa, tänä jakopiste on sama kummallekin mediaanille. Kaikki kolme mediaania leikkaavat siis yhdessä pisteessäG.2
Korkeusjanat
Lause: Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessä pisteessä (ortokeskusH).
Todistus.OlkoonABCkolmio. Piirretään kolmion kärkien kautta niiden vastaisten sivujen suuntaiset suorat, jotka leikkaavat pisteissäA0,B0jaC0. Osoitetaan, että kol- mionABCkorkeusjanat ovat osa kolmionA0B0C0sivujen keskinormaaleja, jolloin ne leikkaavat yhdessä pisteessä.
A0
B0
C0 A
B C
H
NelikulmioABC B0on suunnikkas, koska sen sivut ovat yhdensuuntaiset. SiisAB0= BC. Vastaavasti myösBC AC0on suunnikas, joten myösC0A=BC. PisteAon siis jananC0B0keskipiste, joten kolmionABCkärjenAkautta kulkeva korkeusjana on
sivunC0B0keskinormaali. Vastaavasti voidaan päätellä muillekin korkeusjanoille, eli kolmionABCkorkeusjanat ovat kolmionA0B0C0sivujen keskinormaaleja. Ne siis leikkaavat yhdessä pisteessä.2
Harjoitustehtäviä
Tehtävä 14. Osoita, että kolmion mediaanit jakavat kolmion kuuteen alaltaan yhtä suureen kolmioon.
[Vihje]
Tehtävä 15. Tasasivuisessa kolmiossa sen ortokeskus, painopiste, sisään piirretyn ympyrän keskipiste ja ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ovat kaikki sama piste.
Osoita, että tasasivuiselle kolmiolleR=2r, missäRon ympäri piirretyn jarsisään piirretyn ympyrän säde.
[Vihje]
Tehtävä 16. Osoita, että kolmio, jolla on kaksi yhtä pitkää mediaania, on tasakylki- nen.
[Vihje]
Tehtävä 17. Tylppäkulmaisen kolmion korkeusjanat leikkaavat kyseisen kolmion ulkopuolella. Miten sivulla 18 esitettyä todistusta pitää muokata tässä tapauksessa?
[Vihje]
Tehtävä 18. Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 5. Mikä on kolmion sisään piirretyn ympyrän säde?
[Vihje]
Tehtävä 19. Tasakylkisen kolmion kanta on 6 ja kylki 5. Mikä on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde?
[Vihje]
Tehtävä 20. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovatajabja hypotenuusac. Osoita, että kolmion sisään piirretyn ympyrän halkaisija ona+b−c.
[Vihje]
TODO: otetaanko nämä ympyrätekniikoita tarvitsevat tehtävät tähän vä- liin, muualle vai ei ollenkaan?
Tehtävä 21. Osoita, että suorakulmaisen kolmion hypotenuusan vastainen medi- aani on pituudeltaan puolet hypotenuusasta.
Tehtävä 22. Suorakulmaisen kolmion sivut ovata,bjacja mediaanitma,mb ja mc. Osoita, että
3 4
¡a2+b2+c2¢
=m2a+mb2+m2c.
3 Eulerin suora ja yhdeksän pisteen ympyrä
Eulerin suora
Kolmion merkillisten pisteiden sijainti kolmiossa ei ole satunnaista. Itse asiassa kolme pisteistä on aina samalla suoralla.
Lause Eulerin suorasta. Olkoon kolmionABCympäripiirretyn ympyrän keskipis- teO, painopisteGja ortokeskusH. Tällöin pisteetO,GjaHovat samalla suoralla (ns. Eulerin suoralla),Gon pisteidenOjaHvälissä, jaG H=2OG.
O G H
(2) (1)
Todistus. OlkoonABCkolmio. Tarkastellaan kärkeäCja sen vastaisen sivunAB keskipistettäM. Olkoon kolmion painopisteGja ympäri piirretyn ympyrän kes- kipisteO. Valitaan puolisuoraltaOGpisteH0, jonka etäisyys pisteestäGon kaksi kertaa jananOGpituus.
A B
C
M O G H0 (2)
(1) (2)
(1)
PisteelläH0on kaikki tarvittavat ominaisuudet, ja tavoitteena onkin osoittaa, että H0on itse asiassa kolmion ABC ortokeskus. PainopisteGjakaa mediaaninC M suhteessa 2 : 1, ja pisteenH0valinnasta johtuenGjakaa myös jananH0Osuhteessa 2 : 1. KolmiotGC H0jaG MOovat siis yhdenmuotoisia (sks), sillä ristikulmat kärjessä Govat yhtäsuuret.
Tästä seuraa, että kulmatOMGjaH0CGovat yhtäsuuret. Koska ne ovat samankoh- taisia kulmia suoranC Msuhteen, suoratOMjaC H0ovat yhdensuuntaisia.
A B C
M O G H0
Koska suoraC H0on suoranOMkanssa yhdensuuntainen, myös suoraC H0leik- kaa sivunABkohtisuorasti. JanaC H0on siis osa kolmion korkeusjanaa, tai toisin sanoen: pisteH0on kärjestäClähtevällä korkeusjanalla.
Kun tämä päättely aloitetaan alusta ja tutkitaan esimerkiksi järjestäA lähtevää korkeusjanaa, samanlainen päättely osoittaa, että pisteH0on myös tällä korkeusja- nalla (tai sen jatkeella tylppäkulmaisessa tapauksessa). PisteH0on siis itse asiassa korkeusjanojen leikkauspisteH.
Näin Eulerin suoraa koskeva lause on saatu todistettua.
Eulerin suora on olemassa kaikilla kolmioilla tasasivuista kolmiota lukuunottamatta.
(TasasivuisellaG,HjaOovat sama piste!) Sisään piirretyn ympyrän keskipisteIon Eulerin suoralla vain, kun kolmio on tasakylkinen.
G H
O
I G
H
O I
G
H
O I
G H
O I
Tässä välissä on hyvä käydä tekemässä harjoitustehtävä 29 sivulta 29 ja palata sitten yhdeksän pisteen ympyrään, joka esitellään seuraavaksi.
Yhdeksän pisteen ympyrä Tämä on kaunis tulos 1800-luvulta!
Lause.Olkoon H kolmion ABC ortokeskus. Kolmion ABC sivujen keskipisteet, korkeusjanojen kantapisteet ja janojen AH,B H jaC H keskipisteet ovat kaikki samalla ympyrällä! Tätä kutsutaan kolmionABCyhdeksän pisteen ympyräksi, ja sen keskipistettä merkitään kirjaimellaT.
A B
C
H
T
O
Lauseen todistus on pilkottu harjoitustehtäviksi 23–28.
Todistus.OlkoonMA,MB,MCkärkienA,B,Cvastaisten sivujen keskipisteet,HA,HB,HC
kärkienA,B,Cvastaisten korkeusjanojen kantapisteet jaX,Y,ZjanojenH A,H B,HC keskipisteet.
A B
C
MA
MB
MC X Y
Z H
KA KB
KC
Tehtävä 23. Perustele, että janatKAKCjaMCMAovat yhdensuuntaisia sivunAC kanssa.
A B
C
MA MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
[Vihje]
Tehtävä 24. Perustele, että janatKCMAjaKAMCovat yhdensuuntaisia janaH B kanssa.
A B
C
MA
MB
MC X Y
Z H
KA KB
KC
[Vihje]
Tehtävä 25. Perustele, että nelikulmioKAMCMAKC on itse asiassa suorakulmio.
Sen neljä kärkipistettä ovat siis samalla ympyrällä!
A B
C
MA
MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
[Vihje]
Tehtävä 26. Osoita, että nelikulmioKAKBMAMBon suorakulmio.
A B
C
MA
MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
[Vihje]
Tehtävä 27. Edellisissä tehtävissä on osoitettu, että nelikulmiotKCKAMCMA ja KAKBMAMB ovat suorakulmioita. Miksi tästä seuraa, että niiden kärkipisteetKA, KB,KC,MA,MB,MCovat kaikki samalla ympyrällä?
A B
C
MA
MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
[Vihje]
Tehtävä 28. Edellä on osoitettu, että pisteetKA,KB,KC,MA,MB,MCovat kaikki samalla ympyrällä. Perustele lopuksi, että myös korkeusjanojen kantapisteetX,Y, Z ovat tällä ympyrällä.
A B
C
MA
MB
MC
X Y
Z H KA
KB KC
[Vihje]
Tehtävän 28 jälkeen yhdeksän pisteen ympyrän olemassaolo on vihdoin osoitettu.
Huh huh!
Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste
Yhdeksän pisteen ympyrän keskipistettäT voi pitää yhtenä kolmion merkillisenä pisteenä lisää. Sillä on mielenkiintoisia ominaisuuksia.
H T
O
Lause. Yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteT sijaitsee kolmion Eulerin suoralla puolessavälissä janaaHO, missäHon ortokeskus jaOympäri piirretyn ympyrän keskipiste.
Todistus. OlkoonABCkolmio, jonka ortokeskus onH. PisteetKA,KBjaKColkoot janojenH A,H BjaHCkeskipisteet. KolmionKAKBKCympäri piirrettu ympyrä on määritelmän mukaan alkuperäisen kolmionABCyhdeksän pisteen ympyrä.
KolmiotABCjaKAKBKCovat yhdenmuotoiset mittakaavalla 2 : 1 (sss), sillä esimer- kiksiKAKC=12AC, kuten tehtävän 23 vihjeessä on perusteltu.
A B
C
H KA
KB
KC
T O
KolmioillaABCjaKAKBKCon myös yhdensuuntaiset sivut (esimerkiksiACkKAKC, kuten tehtävän 23 vihjeessä on perusteltu). KolmionABC korkeusjanat ovat siis myös kolmionKAKBKCkorkeusjanoja, joten kolmioilla on yhteinen ortokeskusH. Koska kolmiotABCjaKAKBKCovat yhdenmuotoiset, ja niiden sivut ovat yhden- suuntaiset, ja niillä on yhteinen ortokeskusH, kolmioilla on sama Eulerin suora.
KolmionABCyhdeksän pisteen ympyrä on samalla kolmionKAKBKCympäri piir- retty ympyrä, jonka keskipiste olkoonO2=T. PisteenO2täyty olla kolmioiden yhteisella Eulerin suoralla, kuten halusimme osoittaa.
H H
T O2
O
Vielä on todistettava, että pisteT on pisteiden H jaO puolivälissä. Tämän to- distaa se, että janat HO ja HO2 ovat vastinjanoja kolmioiden ABC jaKAKBKC
määräämissä yhdenmuotoisissa kuvioissa, joten mittakaava on 2 : 1. Pätee siis H T=HO2=12HO, joten todistus on valmis.
A B
C
H
KA KB
KC
T O
Kun muistetaan vielä kolmion painopisteenGsijainti, saadaan pisteilleH,T,Gja Oseuraavat suhteelliset etäisyydet Eulerin suoralla.
H T G O
(3) (1) (2)
Harjoitustehtäviä Eulerin suorasta ja yhdeksän pisteen ympyrästä Tehtävä 29. KolmionABCsivujen keskipisteet yhdistetään uudeksi kolmioksi (me- diaalikolmio). Osoita, että näillä kolmioilla on yhteinen Eulerin suora.
A B
C
[Vihje]
Tehtävä 30. Paperille on piirretty yksi kolmion kärkipisteA, kolmion ympäri piir- retty ympyrä ja ortokeskusH. Miten koko kolmio voidaan piirtää paperille? Käy- tettävissä on harppi ja viivain. Voit selvittää janojen keskipisteitä ja piirtää suoria kulmia.
A
H
[Vihje]
Tehtävä 31. Teräväkulmaisen kolmionABC ortokolmio on kolmio, jonka kärjet ovat kolmionABCkorkeusjanojen kantapisteetA1,B1jaC1. Osoita, että kolmion ABCkorkeusjanat ovat sen ortokolmionA1B1C1kulmanpuolittajia.
[Vihje]
Tehtävä 32. Kolmio4A1B1C1on kolmion4ABCortokolmio ja kolmion4A1B1C1
sisäänpiirretty ympyrä sivuaa sen sivuja pisteissäA2,B2jaC2. Osoita, että kolmioilla 4ABCja4A2B2C2on sama Eulerin suora.
[Vihje]
Ensimmäiset vihjeet
Tehtävä 1.
Vihje.
Kuvassa on keskenään yhtä suuria kulmia. Missä?
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 2.
Vihje.
Huomaa, että kulmien yhtäsuuruutta ei voida käyttää yhdenmuotoisuutta perustel- lessa, sillä juuri kulmien yhtäsuuruutta ollaan todistamassa. Voit katsoa vastauksen toisesta vihjeestä. Mitä kaikkea yhteistä kolmioillaAB MjaAC Mon?
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 3.
Vihje.
KolmiollaAB MjaAC Mon kuin yhtä suuret kulmat kärjissäBjaC sekä pari yhtä pitkiä sivuja (B M=C M). Mitä muuta yhteistä niillä on?
B C
A
M α α
Voit tarkistaa vastauksen toisesta vihjeestä.
Huomaa, että et voi vedota pisteessäMmuodostuviin suoriin kulmiin, sillä niiden perustelu vaatii tiedonAB=AC, jota ollaan todistamassa.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 4.
Vihje.
Mitä kolmioiden yhtenevyyslausetta voit käyttää? Ainakaan (sks) ja (sss) eivät tule kysymykseen, sillä syntyvissä kolmioissa ei ole kahta yhtä pitkiksi tunnettua sivua.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 5.
Vihje.
Nimetään pisteet:
A
P
B C
Tavoite on siis osoittaa, että suoraAPjakaa kulmat kahteen yhtä suureen osaan, eli
∠P AC=∠B AP.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 6.
Vihje.
Kuviossa on kaksi yhtenevää kolmiota. Minkä yhtenevyyslauseen nojalla ne ovat yhtenevät?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 7.
Vihje.
Tilanne näyttää tältä.
A C B
P
Voit olettaa, ettäCon jananABkeskipiste. Haluaisit osoittaa, että kulmaBC P on suora.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 8.
Vihje.
Hyödynnä kolmioiden yhtenevyyslauseita (tarvitset useampaa!) ja aiemmin todis- tettuja tuloksia.
Kuvioista löytyy kolme paria yhteneviä kolmioita ja kaksi tasakylkistä kolmiota.
Varo olettavasta sellaista, mitä et ole vielä todistanut. Esimerkiksi lävistäjäB D jakautuu kyllä kahteen yhtä pitkään osaan, mutta tätä tietoa ei voi käyttää ilman todistusta (eikä se ole ratkaisuun kannalta oleellinen seikka).
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 9.
Vihje.
Tilanne näytää siis tältä.
Mitkä kulmat ovat yhtä suuria?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 10.
Vihje.
Pidempi ratkaisu lähtee siitä havainnosta, että kolmioillaABCjaDBCon yhteinen sivuBC. Kolmioiden alojen suhteen määrää siis tämän sivun vastaisten korkeusja- nojen suhde.
A
B C
D 3
2
h1 h2
Yhdenmuotoisilla kolmioilla voit osoittaa, ettäh2
h1 =2
5, eli myös kysytty alojen suhde on 2 : 5.
Katso toisesta vihjeestä toinen, lyhyempi ratkaisu.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 11.
Vihje.
Tutkitaan yhdenmuotoisia kolmiota, joiden kahden sivun pituudet ovat 5 ja 7.
Vaihtoehtoja on kolme sen mukaan, onko viimeinen sivu kolmion pisin, lyhin vai keskimmäinen.
5
7 x β α
γ
y
5 7 β α
γ 5
z 7 β α
γ
Kolmas kolmio ei itse asissa ole mahdollinen, koska sillä on yhtä pitkä vastinsivu kummankin vasemmanpuoleisen kolmion kanssa, joten sen pitäisi olla molmepien kanssa yhtenevä (sks).
Jäljelle jää siis sivujenxjaypituuksien laskeminen. Voit tarkistaa vastauksen toi- sesta vihjeestä.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 12.
Vihje.
Puolisuunniikkaassa on määritelmän mukaan vähintään yksi pari yhdensuuntaisia sivuja. Yhdensuuntaisuuteen pääsee käsiksi kulmien kautta. Piirrä hyvä mallikuva ja yritä selvittää, onko kuviossa yhtäsuuria kulmia.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 13.
Vihje.
Alkuperäisen nelikulmion lävistäjistä voisi olla hyötyä.
A
B D C
X
Y Z
W
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 14.
Vihje.
Voit aloittaa perustelemalla, että samalla sivulla olevilla pikkukolmioilla on sama ala, eli kuvan merkinnöilläA1=A2.
A1 A2
Kolmioilla taitaa olla yhtä suuret kannat, miten on korkeuksien kanssa?
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 15.
Vihje.
Mediaaneista on hyötyä tässä.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 16.
Vihje.
Piirrä mallikuva, jossa on kolmio ja sen kaksi mediaania. Merkitse, mitkä kaikki janat ovat yhtä pitkiä.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 17.
Vihje.
Tylppäkulmaisen kolmion tapauksessa tilanne näyttää tältä. Katso sivun 18 todistus läpi ja tarkista, vaatiiko se muutoksia.
A0
B0 C0
A
B
C H
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 18.
Vihje.
Tilanne näyttää tältä.
I
3 3
5 r 5
r
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 19.
Vihje.
Tilanne näyttää tältä.
3 3
5 5
r r
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 20.
Vihje.
Tilanne näyttää tältä. Näetko kuvassa neliön?
a
b r
r
r c
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 23.
Vihje.
Voit hyödyntää yhdenmuotoisia kolmioita. Minkä kolmioin kanssaMCB MAon yhdenmuotoinen? Entä kolmioKAH KC?
A B
C
MA
MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 24.
Vihje.
Etsi sopivia yhdenmuotoisia kolmioita kuten edellisessä tehtävässä. Voit taas käyt- tää sks-yhdenmuotoisuutta.
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 25.
Vihje.
Kolmion korkeusjanaB Y on kohtisuorassa kantaaACvastaan. Minkä suuntaisia nelikulmionKAMCMAKCsivut olivatkaan?
A B
C
MA
MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 26.
Vihje.
Käytä samanlaista päättelyä kuin tehtävässä 26. Mitkä ovat tarvittavat yhdenmuo- toiset kolmiot?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 27.
Vihje.
Suorakulmioilla on yhteinen lävistäjä.
A B
C
MA
MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 28.
Vihje.
Kuvaan merkittyjen suorakulmioiden lävistäjät ovat kaikki yhdeksän pisteen ympy- rän halkaisijoita.
A B
C
MA
MB
MC X Y
Z H KA
KB
KC
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 29.
Vihje.
Mitä yhteistä kolmion ja sen mediaalikolmion mediaaneilla on?
A B
C
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 30.
Vihje.
Ympäri piirretyn ympyrän keskipisteenOvoi saada selville (miten?). Sen avulla on mahdollista löytää yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste.
A
O H
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 31.
Vihje.
Voit osoittaa, että kuvaan merkityt kulmatα1,α2,α3,α4ovat kaikki samoja. Tällöin lause on todistettu. Aloita osoittamalla, ettäα1=α2. (Yhdenmuotoiset kolmiot)
A B
C
A1
B1
C1
α1 α3α4 α2
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Tehtävä 32.
Vihje.
Tilanne näyttää siis tältä:
A B C
A1 B1
C1
C2
B2
A2
Huomaa, että pisteetA2,B2,C2eivät välttämättä ole alkuperäisen kolmion korkeus- janoilla.
Tämä tehtävä on jatkoa edelliselle tehtävälle 31. Sen vihjeissä perusteltiin, että seuraavat kulmat ovat yhtäsuuria:
A B
C
A1
B1
C1
α α α α
β
β
β β
γ γ
γγ
Löytyisikö samoja kulmia myös kolmionA2B2C2sisältä?
A B C
A1
B1
C1
C2
B2
A2
α α α α
β
β
β β
γ γ
γγ
[Takaisin tehtävään] [Toinen vihje]
Toiset vihjeet
Tehtävä 1.
Toinen vihje.
Perustele, että kuvaan samalla kirjaimella merkityt kulmat ovat keskenään yhtäsuu- ret.
A B
C
α
α
β β
γ γ
Tällöin on perusteltu, ettäα+β+γon oikokulman suuruinen.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 2.
Toinen vihje.
KolmioitAB M jaAC Movat yhtenevät (sss). MiksiAB=AC,B M=C Mja kolmioi- den kolmannetkin sivut ovat yhtäsuuret?
Huomaa, että muut yhtenevyyslauseet eivät käy, sillä ainuttakaan kolmioiden kul- mista ei tiedetä yhtäsuuriksi. Toki esimerkiksi pisteessäMmuodostuu kaksi suoraa kulmaa, mutta tämä perustellaan vasta kolmioidenAB MjaAC Myhtenevyydellä.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 3.
Toinen vihje.
KolmiotAB M jaAC Movat yhtenevät (ssk), sillä∠B=∠C,B M=C Mja sivuAM on kolmioiden yhteinen.
B C
A
M α α
Yhtenevyyslauseen (ssk) lisäehdon vuoksi on tarkistettava, että kulmatM ACja B AMeivät ole suplementtikulmia. Miksi ne eivät voi olla?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 4.
Toinen vihje.
Huomaa, että kuvan kolmioiden kaikki kulmat ovat yhtä suuret. (Kulmatαja suorat kulmat ovat yhtä suuria, joten kolmannetkin kulmat ovat, sillä kolmion kulmien summa on 180◦.)
Yhtenevyyslauseista (ksk) ja (ssk) toinen todistaa alkuperäisen väitteen, kumpihan?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 5.
Toinen vihje.
Voit käyttää suoraan erästä kolmioiden yhtenevyyslausetta.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 7.
Toinen vihje.
Kuvan kolmiot taitavat olla taas yhtenevät, joten kärjessäC kohtaa kaksi suoraa kulmaa. Millä perusteella kolmiot ovat yhtenevät?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 8.
Toinen vihje.
Tarkastele kolmioitaAC BjaAC D. Miksi ne ovat yhteneviä? Mitä tämä kertoo kul- mista?
A
B
C
D
A
B
C
D
KolmiotAB DjaC DBovat tasakylkisiä. Mitä tämä kertoo kulmista?
Kun keskenään yhtä suuret kulmat on merkitty näkyviin, ollaan yhden yhtenevyys- lauseen päässä maalista.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 10.
Toinen vihje.
Tehtävän voi ratkaista varsin lyhyesti. Olkoon kolmionABCsivunABvastainen korkeusjanah. KolmionABCala on siis12·5h.
Sama korkeusjanahon myös kolmionDBC sivunDBvastainen korkeusjana. Kol- mionDBCala on siis12·2h. Alojen suhde on siis 2 : 5.
A
B C
D 3
2 h
Tilanne näkyisi selvemmin, jos mallikuva olisi alun perin piirretty järkevästi:
A B
C
D
3 2
h
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 11.
Toinen vihje.
Verrannoilla tulisi saadax=49
5 =945jay=25 7 =347. [Takaisin tehtävään]
Tehtävä 12.
Toinen vihje.
Tilanne näyttää tältä.
A B
C
D 4
1 2 4 2
Pystytkö osoittamaan, että kuvaan merkityt kulmat ovat yhtä suuret? Miksi tämä riittää todistamaan väitteen?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 13.
Toinen vihje.
Alkuperäisen nelikulmion lävistäjät näyttävät olevan nelikulmionX Y Z W sivujen suuntaiset. Voit aloittaa tämän todistamisen perustelemalla, että samankohtaiset kulmatZ W DjaC ADovat yhtäsuuret. Mitenhän tämä onnistuisi?
A
B D C
X
Y Z
W
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 14.
Toinen vihje.
Edellisen vihjeen perusteella pikkukolmiot ovat pareittain yhtä suuret.
A1 A1
A2
A2 A3
A3
Osoita seuraavaksi, että alla olevaan kuvaan merkityt kolmiot ovat alaltaan yhtä suuret, eli 2A1=2A2. Miksi näillä kolmioilla on yhtä suuri kanta ja yhtä suuri korkeus?
A1 A1
A2
A2
Toinen lähestymistapa on verrata yhtä tällaista kolmiota koko kolmion alaan. Miksi 2A1on tasan kolmasosa koko kolmion alasta?
A1 A1
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 15.
Toinen vihje.
Missä suhteessa mediaanit jakavat toisensa?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 16.
Toinen vihje.
Jos mediaanit ovat yhtä pitkät, kolmion painopiste jakaa ne yhtä suuriin osiin. Miten saa osoitettua, ettäa=b?
A B
C
A0 B0
G b
b
a
a
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 17.
Toinen vihje.
Todistus toimii sellaisenaan. Oikeastaan väitettä pitää tarkentaa: korkeusjanojen jatkeetleikkaavat yhdessä pisteessä.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 18.
Toinen vihje.
Pystytkö selvittämään janojenAM,K C jaAK pituudet?
B C
A
I
M
K
3 3
5 r
r
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 19.
Toinen vihje.
Pythagoraan lause on tässä hyödyllinen - kahdesti.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 20.
Toinen vihje.
Kuviossa onr-sivuinen neliö. Mitkä muut janat ovat yhtä pitkiä?
a−r
b−r r
r r
r r
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 23.
Toinen vihje.
Käytä sivu-kulma-sivu-yhdenmuotoisuutta kuvaan merkityille kolmioille. Miksi sivujen suhde on kummassakin tapauksessa 1 : 2?
A B
C
MA MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
Kun yhdenmuotoisuudet on perusteltu, yhdensuuntaisuuden voi perustella saman- kohtaisten kulmien avulla, kuten kuvassa alla.
A B
C
MA
MB
MC
X Y
Z H
KA KB
KC
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 24.
Toinen vihje.
KolmioistaC H BjaAB Hon apua.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 25.
Toinen vihje.
Suorakulmion ympäri voi aina piirtää ympyrän, sillä jos valitsee suorakulmion lävistäjän ympyrän halkaisijaksi, kaksi muutakin kärkeä ovat ympyrän kehällä kään- teisen kehäkulmalauseen nojalla. Suora kehäkulma nimittäin vastaa 180◦keskus- kulmaa eli tilannetta, jossa keskuskulman kyljet muodostavat ympyrälle halkaisijan.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 27.
Toinen vihje.
Hyödynnä käänteistä kehäkulmalausetta: jos janaa ABkatsova kulma on suora, kulman kärki on ympyrällä, jonka halkaisija jana on AB. (Käänteinen Thaleen lause.)
A B
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 28.
Toinen vihje.
Voit hyödyntää käänteistä kehäkulmalausetta kuten edellisessä tehtävässä. Esimer- kiksi pisteZ on ympyrän kehällä, koska kulmaMCZ KCkatsoo ympyrän halkaisijaa MCKCsuorassa kulmassa.
A B
C
MA MB
MC X Y
Z H KA
KB
KC
Mitä lävistäjiä pisteetY jaXkatsovat suorassa kulmassa?
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 29.
Toinen vihje.
Kolmiolla ja sen mediaalikolmiolla on yhteiset mediaanit eli sama painopiste (me- diaanien leikkauspiste). Todistaaksesi tämän sinun tulee jotenkin osoittaa, että seuraavan kuvan merkinnöillä mediaaniC Zkulkee jananY Z keskipisteen kautta.
A B
C
X Y
Z
Tämän lisäksi voi olla hyvä miettiä, missä roolissa alkuperäinen kolmion sivujen keskinormaalit ovat sen mediaalikolmiossa. Jos saat osoitettua, että kaksi alkuperäi- sen kolmionABCEulerin suoran pistettä ovat myös mediaalikolmionX Y ZEulerin suoran pisteitä, todistus on valmis.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 30.
Toinen vihje.
Yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteTon ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen
ja ortokeskuksen puolivälissä. Yhdeksän pisteen ympyrä kulkee ortokeskuksen ja kärjen yhdistävän janan keskipisteen kautta. Sen avulla yhdeksän pisteen ympyrä on mahdollista piirtää.
A
O
H T
Löydät korkeusjanan kantapisteen yhdeksän pisteen ympyrältä.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 31.
Toinen vihje.
Voit osoittaa kuvaan merkityillä yhdenmuotoisilla kolmioilla, ettäα1=α2.
A B
C
A1 B1
C1
α1 α3α4 α2
Tämän jälkeen voit todeta, että pisteetC1,B, A1 ja ortokeskusH ovat samalla ympyrällä. Miksi tämä seuraa Thaleen lauseesta?
A B C
A1 B1
C1
α1 α3α4 α2
H
Nyt voit kehäkulmalauseen avulla todeta, ettäα2=α4. Perustele vielä vastaavasti, ettäα1=α3, ja todistus on valmis.
[Takaisin tehtävään]
Tehtävä 32.
Toinen vihje.
Pystytkö todistamaan, että kolmionA2B2C2sisältä löytyy kulmat, jotka siihen on seuraavassa kuvassa merkitty? (Edellisestä tehtävän ratkaisusta on apua tässä.) Mitä nämä kulmat kertovat kolmiostaA2B2C2?
A B
C
A1
B1
C1
C2
B2
A2
α α α α
β
β
β β
γ γ
γγ γ
γ
α α
β β
Missä roolissa alkuperäisen kolmionABCortokeskus on kolmiollaA1B1C1? Entä kolmiollaA2B2C2?
Lisäksi voisi olla eduksi yrittää perustella, ettäA2B2on yhdensuuntainen sivunAB kanssa.
[Takaisin tehtävään]
Geometrian sanastoa
Puolisuora ja jana
• Suoralla oleva pisteP jakaa suoran kahteenpuolisuoraan. PisteP kuuluu molempiin puolisuoriin. Tämän suoran pisteetAjaBkuuluvat samaan puo- lisuoraan, josPei ole niiden välissä.
• Kaksi suoran pistettä ovatjananpäätepisteet. Janaan kuluvat sen päätepisteet ja kaikki niiden välissä olevat pisteet. Janaa merkitään sen päätepisteiden avulla: janaAB.
Puolitasot
Suora jakaa tason pisteet kahteen puolitasoon. Samassa puolitasoossa ovat ne pisteet, joiden välinen jana ei leikkaa suoraa. Eri puolitasoissa ovat ne pisteet, joiden välinen jana leikkaa suoran. Suora itse ei kuulu kumpaankaan puolitasoon.
Suorien yhdensuuntaisuus
• Suorat ovatyhdensuuntaiset, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Merkitääns∥t. Lisäksi sovitaan, että suora on itsensä kanssa yhdensuuntainen.
• JanatABjaC Dovat yhdensuuntaiset, kun vastaavat suoratABjaC Dovat.
Pituus
• Jokaiseen janaanAB voidaan liittää positiivinen luku, jota kutsutaan sen pituudeksi. Pituutta merkitään|AB|tai vain yksinkertaisestiAB.
• Janan pituus on sen osien summa: JosCon pisteidenABvälissä, niinAB= AC+C B.
• Määritellään, että jananABpisteCon janankeskipiste, kunAC=C B. Kulmat
Kulmaon yhdestä pisteestä (kärki) lähtevän kahden puolisuoran (kyljet) rajaama tasoalue. Kylkien välistä aluetta kutsutaan kulmanaukeamaksi.
Kaksi puolisuoraa määrää kaksi eri kulmaa, joiden erottamiseksi kulmia merkitään ilmoittamalla järjestyksessä piste oikealta kyljeltä, kärkipiste ja piste vasemmalta kyljeltä.
A
B C
A
B C
kulmaB AC kulmaC AB
KulmaaB ACvoidaan merkitä myös∠B AC.
Kun pisteet A,O jaBovat samalla suoralla tässä järjestyksessä, kulma AOB on oikokulma.
Kulman käsite laajennetaan tarkoittamaan myös tapauksia, joissa kyljet ovat sama puolisuora. Tällaista kulmaaAO Akutsutaantäyskulmaksi, kun tarkoitetaan koko tasoa janollakulmaksikun tarkoitetaan vain kyseistä puolisuoraa.
Kulman mittaaminen
Jokaiseen kulmaan voidaan liittää positiivinen luku, jota kutsutaan sensuuruudeksi.
Lisäksi
• kulman suuruus on sen osien suuruuksien summa: Jos pisteCon kulman AP Baukeamassa,∠AP B=∠APC+∠C P B.
• oikokulman suuruus on 180◦. Vieruskulmat
Kun oikokulma jaetaan kahteen osaan puolisuoralla, syntyvät kulmat ovatvierus- kulmia.
A C B
D
α β
Vieruskulmatα=∠DC Ajaβ=∠BC D.
Suora kulmamääritellään kulmana, joka on yhtä suuri kuin vieruskulmansa.
Kahden suoran leikatessa syntyy neljä kulmaa. Näistä kahta, jotka eivät ole toistensa vieruskulmia, kutsutaanristikulmiksi.
Kuvassa kulmatAPCjaB P Dovat toistensa ristikulmia, samoinDP AjaC P B. A
B C
D
P α
α ∠APC=∠B P D
