Solmu 1/2015 1
Vuoden 1934 ylioppilaskoetehtävä
Lehtori K.
Solmussa 3/2013 jäimme pohtimaan vuoden 1934 ke- väällä ylioppilaskokeessa ollutta kakkostehtävää. Tuol- loin ei lukiossa opiskeltu differentiaalilaskentaa, mutta ääriarvoja kuitenkin määritettiin. Tehtävä oli seuraava:
”PisteP liikkuu vakinaisella nopeudella pitkinx-akse- lia origoa kohti, kunnes se saapuu pisteeseenQ, josta se nopeudella, joka on puolet edellisestä, jatkaa matkaan- sa y-akselilla olevaa annettua pistettä R kohti. Missä kohdassa pisteen Qtulee sijaita, jotta pisteP mahdol- lisimman pian saapuisi pisteeseen R? Piirrä kuvio ja merkitse pisteenQoikea paikka.”
Olkoon lähtöpisteA(a,0), päätepisteR(0,r) ja poikkea- mispiste toistaiseksi tuntematonX(x,0). Reitti näyttää seuraavalta:
R(0, r)
X(x,0) A(a,0)
√ r2
+x2
a−x O
Näillä palikoilla matkaanAXRkuluva aika t=a−x
c +2√ r2+x2
c , (1)
missäcon pisteen nopeusx-akselilla. On siis löydettä- vä pienin mahdollinent=tminsiten, että yhtälöllä (1) on reaalinen ratkaisux. Yhtälö sievenee muotoon
(ct−a) +x= 2p
r2+x2. (2)
Selvästi ct−a >0 jax >0, joten yhtälön (2) molem- mat puolet ovat positiivisia. Neliöimällä saamme sie- vennysten jälkeen
3x2−2(ct−a)x+ 4r2−(ct−a)2= 0.
Diskriminanttiehto sievenee epäyhtälöksi (ct−a)2−3r2≥0, mistä seuraa
ct≤a−r√
3 tai ct≥a+r√ 3.
Näistä oikeanpuoleinen toteuttaa ehdonct > a, joten
tmin= a+r√ 3
c ,
ja sitä vastaava poikkeamiskohta x= r
√3.
Siis
Q= r
√3,0 .
Pisteen Q paikantaminen onnistunee yksinkertaisim- min piirtämällä aluksi origokeskeinen r-säteinen ym- pyrä. Erotetaan sittenR:stä alkavan halkaisijan toises- ta päätepisteestäS koordinaatiston neljänteen neljän- nekseen 60◦:een kaari ST. Jana RT leikkaa x-akselin etsityssä pisteessäQ.
