)2,4()3600,3390(

*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6)

Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus on sama kuin kolmion pinta-alan ja painopisteen kulkeman matkan tulo.

Ratkaisu:

Piirrä kolmio koordinaatistoon Painopiste:

) 2 , 4 ( 3 )

6 0 , 0

3 3 9

( 0     

Sen kulkema matka: s = 2r = 2  2 = 4

Kolmion ala: A = ½ 9  6 = 27 Tulo = 27  4 = 108

Pyörähdyskappale koostuu kahdesta ympyräkartiosta:

tulo V        6  6  108  

3 3 1 3 6

1

Anne: Tehtävästä sai helposti ”irtopisteitä”

Tarkat arvot oltava ei saa pyöristää

Tilavuus menee myös integraaleilla

*15. Tasossa suoran suunta voidaan ilmoittaa kulmakertoimen avulla. Kolmiulotteisen avaruuden suoralla ei ole kulmakerrointa. Sen sijaa sen suuta voidaan ilmoittaa

suuntakosinien avulla.

Suuntakosini = suoran suuntavektorin ja positiivisen koordinaattiakselien välisen kulman kosini.

a) Laske suoran L: suuntakosinit (4 pist).

Suoran suuntavektorit on

s = 2i + 3j + 7k (Huom. Suoraan taulukkokirja s. 46) 7

5 3

2 2

1    

 y z

x

62 7

3

2









s

62 2 1

62 1 ) 2

,

cos( 



 

  i s

i i s

s

62 3 1

62 1 ) 3

,

cos( 



 

  j s

j j s

s 62

7 1

62 1 ) 7

,

cos( 



 

  k s

k k s

s

3

, 75 )

, 62 (

) 2 ,

cos( s i    s i 

6

, 67 )

, 62 (

) 3 ,

cos( s j    s i 

3

, 27 )

, 62 (

) 7 ,

cos( s k    s i 

c) Neliöiden summa: (1 pist)

62 1 62 62

49 62

9 62 ) 4

62 ( 7 62)

( 3 62)

( 2 ²  ²  ²     

d) Osoita, että tulos on sama kaikille kolmiulottisen avaruuden suorille

k s j s i s

s 





n s

s s

s 







z y x

s k

s

s j

s

s i

s













1

2 2

2 2 2 2



 

 





 n

n n

s s

s n

s n

s n

S s

Anne: ”Lähestulkoon” taulukkokirjan käyttöä…. No hieman piti ymmärtääkin, laskun eri vaiheita…

8. Katkaistun ympyräkartion pohjien säteet ovat r ja 2r sekä korkeus 3r. Kappale pyörii lappeellaan vaakasuoralla alustalla siten, että alustaan muodostuu ympyrärengas. Laske sen pinta-ala.

a = r, b = 3r. Yhdenmuotoisuudesta:

r x

r r x

r

3 3





r₁² = r² + x² = 10r²

Koska y = r₁, niin r₂ = 2r₁ ja r₂² = 4r₁² = 40r² Renkkaan ala on = r₂² - r₁² =   30r² = 30r²