Kaisa Mourujärvi
Matematiikan moninaiset opetusmenetelmät 3.-6. luokilla opetusharjoittelussa
Itä-Suomen yliopisto Filosofinen tiedekunta Soveltavan kasvatustieteen ja opettajankoulutuksen osasto Pro gradu -tutkielma
Joulukuu 2018
2 ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO
Tiedekunta
Filosofinen tiedekunta
Osasto
Soveltavan kasvatustieteen ja opettajankoulutuksen osasto Tekijät
Kaisa Mourujärvi Työn nimi
Matematiikan moninaiset opetusmenetelmät 3.-6. luokilla opetusharjoittelussa
Pääaine Työn laji Päivämäärä Sivumäärä
Kasvatustiede x Pro gradu -tutkielma 04.12.2018 59+2 Sivuainetutkielma
Kandidaatin tutkielma Aineopintojen tutkielma Tiivistelmä
Matematiikan opetusta on kritisoitu behavioristisena ja muuttumattomana. Nähdään ettei opetussuunnitelmien uudistaminen vaikuta matematiikan opetukseen vaan sisällöt ovat vuosien saatossa muuttuneet. Koetaan, että matematiikka on vain pelkkää laskemista ja sitä pidempään opiskelleiden hahmottamat suuret kokonaisuudet ei välity peruskoulussa. PISA-testien kautta matematiikka on vakituisesti arvioinnin alla, mutta tutkimusta mitä luokkahuoneissa oikeasti tapahtuu, on löydettävissä niukasti. Tämän tutkimuksen kohteena on eri opetusme- netelmien esiintyminen opetusharjoitteluissa toteutetuilla matematiikan tunneilla.
Teoriassa esitellään matematiikkaa oppiaineena niin opetussuunnitelman ja yhteiskunnan kuin aivotoiminnan ja ajattelun taitojen näkökulmasta. Tärkeänä osana nostetaan myös koululaisten sekä opettajaopiskelijoiden matematiikkakuva, sillä se heijastaa ajatuksia, oletuksia sekä asenteita matematiikkaa kohtaan, ja sen vuoksi on tärkeä osa miettiessä matematiikan opetuksen tulevaisuutta. Tämän jälkeen käydään läpi, kuinka erilaisia ope- tusmenetelmiä voidaan matematiikassa hyödyntää, kun on muodostunut kuva, kuinka niiden avulla matema- tiikkaa oppii. Matematiikan oppiminen on helpompaa, kun se on järkeenkäypää ja merkityksellistä oppijalle (Sousa 2008, 215).
Tutkimus toteutettiin kartoittamalla opetusmenetelmien käyttöä tuntisuunnitelmista. Teorialähtöisen analyysin pohjalta tuntisuunnitelmissa mainittuja toimintoja jaotellaan opetusmenetelmiin. Tuntisuunnitelmista tulkittiin sisällönanalyysin keinoin niissä esiintyviä opetusmenetelmiä. Koska tutkittavana on yli 50 tuntisuunnitelmaa, sisällönanalyysin apuna käytettiin kvantifiointia, joka mahdollisti laadullisen aineiston määrällisen tarkistelun sekä selkeiden numeeristen tulosten raportoinnin.
Tutkimuksen teoria on luotu kattavasti niin, että aineistoissa ei esiinny opetusmenetelmiä, jotka eivät olisi tul- leet teoriassa esiin. Teoriassa ei myöskään käsitellä opetusmenetelmää, joka ei ole esiintynyt aineistossa. Tulok- sista voidaan nähdä, että opetusmenetelmiä käytetään monipuolisesti, mutta opettajajohtoiseen opetukseen ja oppikirjoihin pohjautuva työskentely, jotka muodostavat perinteisen matematiikan oppitunnin kaavan (Pehko- nen ja Rossi 2007), ovat aineistossa vallitsevia.
Pohdinnan kohteeksi lopulta muotoutuukin matematiikan opetuksen muutos behavioristisen oppimiskäsityk- sen piiristä hiljalleen kohti sosiokonstruktiivista oppimiskäsitystä. Kuitenkin viimeaikaisen tutkimuksen valossa ei voi olla enää varma halutaanko matematiikan opetuksessa pois tästä behavioristisesta tavasta opettaa. Tutki- muksen tulokset ovat hyödynnettävissä mietittäessä matematiikan opetuksen tulevaisuutta, koska osallistuneet opettajaopiskelijat ovat tulevia opettajia ja näin ollen vaikuttavat tulevaisuudessa eri opetusmenetelmien käyt- töön ja helposti käyttävät niitä, jotka ovat harjoitteluissa kokeneet hyviksi.
Avainsanat
Matematiikka, opetusmenetelmä, opetussuunnitelma, matematiikkakuva.
3 UNIVERSITY OF EASTERN FINLAND
Faculty
Philosophical Faculty
School
School of Applied Educational Science and Teacher Education Author
Kaisa Mourujärvi Title
The Many Ways of Teaching Mathematics in 3rd to 6th Grade in Teaching Practices
Main subject Level Date Number of pages Educational Science x Master’s thesis 04.12.2018 59+2
Minor thesis Bachelor’s thesis Intermediate thesis Abstract
Teaching mathematics has been criticized as behaviourist and staying unchanged for years. The national cur- riculum reforms have not affected in mathematics, the content has changed to fit the society over the years.
The elementary school students see mathematics only as calculus and that is all one studies in elementary school. Through the PISA tests, mathematics is permanently under evaluation, but research into classrooms, what happens, is not to be found in numbers. The subject of this study is the occurrence of different teaching methods in math lessons used by teacher trainees in teaching practices.
In theory part of the study, we introduce math as a subject in terms of national curriculum and society and both as brain function and thinking skills. The theory also goes through what elementary students and student trainees think about mathematics and their attitudes towards it. After that the different teaching methods are introduced and how they are used in mathematics. Learning mathematics is easier when it makes sense and meaningful to a learner (Sousa 2008, 215).
The study was conducted by identifying the use of different teaching methods in lesson plans. Based on the theory-driven analysis, the working phases in the lesson plans are divided into teaching methods. The lesson plans were interpreted in the way of content analysis to find the different teaching methods. In view of the fact that more than 50 lesson plans are being investigated, quantification was used to help the content analysis, which enabled quantitative review of qualitative material and the reporting of clear numerical results.
The theory of research has been created comprehensively so that the lesson plans under the study do not con- tain any teaching methods that would not have emerged in theory. In theory, there is no method of teaching that has not appeared in the data. As a result, it seems that different teaching methods are in versatile use in mathematics, but teacher-led teaching and textbooks as dominant teaching method, forming the formula of the traditional mathematics lesson (Pehkonen and Rossi 2007), is the most common.
The reflection goes through the change of perception from behaviourist concept of learning, slowly towards a social-constructive learning concept. However, in the light of recent research, it can no longer be certain whether the teaching of mathematics is to be changed from this behaviouristic way of teaching. The results of the study are exploitable in the future of mathematics education, as the participating teacher students are fu- ture teachers and will therefore have a impact on the use of different teaching methods in future and they eas- ily use the methods which had work in teaching practices.
Keywords
Mathematics, Teaching Methods, Curriculum, Mathematical Thinking.
4
Sisällysluettelo
1 Johdanto... 6
2 Matematiikka oppiaineena ... 8
2.1 Oppiaineen kehitys ... 8
2.2 Matematiikan opetussuunnitelmasta ... 9
2.3 Matemaattisesta ajattelusta ... 13
2.4 Matematiikkakuvasta ... 14
3 Matematiikan oppiminen ... 18
3.1 Oppiminen aivotoimintana ... 18
3.2 Aktiviteetit aivotoiminnan tukena ... 19
3.3 Opetuksen suunnittelua erilaisille oppijoille ... 22
3.3.1 Opetusta luokkahuoneen ulkopuolella ... 23
4 Monipuoliset opetusmenetelmät ... 24
4.1 Opetusmenetelmien lähtökohdat... 24
4.2 Opetussuunnitelman ohjeistus työtavan valintaan ... 25
4.3 Erilaisia opetusmenetelmiä ... 26
4.3.1 Opetuskeskustelu ja tarinankerronta ... 27
4.3.2 Mallinnus ... 28
4.3.3 Ongelmanratkaisu ... 28
4.3.4 Tutkimukset ja projektityöt ... 29
4.3.5 Ryhmätyöskentely ... 30
4.3.6 Flipped learning... 30
4.3.7 Kielentäminen ... 31
5 Tutkimuksen toteutus ... 32
5.1 Tutkimuksen tavoitteet ... 32
5.2 Tutkimuskysymys ... 32
5.3 Aineiston rajaus ja aineistonkeruu... 33
5.4 Analyysimenetelmä ... 34
5.5 Tutkimuksen luotettavuus ja eettisyys ... 36
6 Tulokset ja yhteenveto ... 38
6.1 Tutkimuskysymyksiin vastaaminen ... 38
6.1.1 Käytetyt opetusmenetelmät ... 38
6.1.2 Käytetyt työskentelymenetelmät ... 40
6.1.3 Sisältöjen ja opetusmenetelmien välinen yhteys ... 43
6.1.4 Opetusmenetelmät luokka-asteittain ... 44
6.1.5 Tavoitteiden näkyminen opetusmenetelmissä ... 45
5
6.2 Yhteenveto ... 47
7 Pohdinta ... 48
7.1 Tutkimuksen taustalla vaikuttaneet tekijät ... 48
7.2 Tutkimuksen tulosten peilaaminen muuhun tutkimukseen ... 49
7.3 Tutkimuksen kehittäminen sekä tuloksien hyödynnettävyys ... 51
Lähteet ... 53
Liitteet ... 60
6
1 Johdanto
Patrikainen (2012) perustelee väitöskirjassaan ”Luokanopettajan pedagoginen ajattelu ja toiminta matematiikan opetuksessa” tutkimuksen lähtökohtana olevan suomalaisten me- nestys kansainvälisissä tutkimuksissa matematiikan osa-alueella, mutta kuitenkin käydään vilkasta keskustelua matematiikan osaamisesta ja opettamisesta. Matematiikan opetuksen tavoitteista on tutkijoiden parissa erimielisyyttä, joka näkyy lopulta myös opettajien työssä.
Sosiokonstruktiivinen oppimiskäsitys vaatii syvällistä opetussisällön tuntemusta pedagogis- ten taitojen sekä opetus- ja oppimisteoria tietämyksen lisäksi. Matematiikan opetus on kri- tiikin kohteena behavioristisena ja formaalia rakennetta korostavana. (Patrikainen 2012, 3- 4.) Näihin samoihin syihin pohjautuu tämän tutkimuksen tekeminen.
Jantunen (2011, 107) on havainnut suomaisten kasvatusajattelun johtotähtien Cygnaeuk- sen, Snellmanin, Topeliuksen ja Hollon, korostavan lapsuuden ja mielikuvituksen merkitystä sekä opetuksen roolia aktivoivana ja oppilaan omaa oppimistoimintaa korostavana. Koulu- opetus on kehittynyt näistä ajatuksista ja perustuu erilaisiin oppimiskäsityksiin, eri opetus- menetelmät tukevat näitä käsityksiä. Opetussuunnitelma painottaa tiettyä oppimiskäsitystä, mutta opettajalla voi olla tästä oma mielikuva. Matematiikkakuvaksi nimetty mielikuva ku- vaa, mitä oppimiskäsitystä luokanopettajaopiskelijan kuva matematiikan opetuksesta tukee.
Tämän tutkimuksen teoriaosuudessa käydään läpi opettajaopiskelijoiden, mutta myös op- pilaiden matematiikkakuvaa, koska nämä luovat pohjaa pitkälti sille, millaista on matematii- kan opetuksen tulevaisuus.
Tutkimukseen on valittu oppiaineeksi matematiikka, koska oppiaineena matematiikka on laajempaa kuin pelkät laskutoimitukset ja niiden hyödyntäminen. Se on kehittynyt yhteis- kunnan tarpeiden mukaan niin oppimiskäsitysten kuin sisältöjensä osalta. Matematiikka koostuu erilaisista aktiviteeteista, jotka ovat sellaisenaan yhdistettävissä opetussuunnitel- massa lueteltuihin ajattelun taitoihin. Aktiviteettien ja eri ajattelun taitojen välisiä yhteyksiä yritetään selkiyttää kappaleessa 3, jossa keskitytään matematiikan konkreettiseen oppimi- seen ja miten se tapahtuu. Tässä tutkimuksessa, kuten monissa muissakin, sivuutetaan yleensä matematiikan opetuksessa esiintyvä kysymys, jossa kuvaillaan kahta erilaista tie- dontyyppiä – pitäkö oppilaan ymmärtää osatakseen tehdä vai toisin päin (Eronen 2014, 11).
7 Kuitenkin erilaiset tiedontyypit, proseduraalinen ja konseptuaalinen, alkavat tukemaan toi- siaan, joka antaa mahdollisuuden monipuolisempien opetusmenetelmien käyttöön (Eronen 2014, 13). Matematiikkaa oppii eri tavoin, joka edellyttää erilaisten opetusmenetelmien käyttöä.
Isossa roolissa ovat eri opetusmenetelmät, jotka käydään tarkasti läpi, jotta niiden jaottelua voidaan käyttää analyysin tekemiseen. Näin tutkimus on teorialähtöinen. Tutkimuksessa aineiston muodostaa opettajaopiskelijoiden tuntisuunnitelmat, mutta ne on rajattu 3.-6. luo- kan oppitunteihin, sillä niille valtakunnallinen opetussuunnitelma on yhtenäinen ja se kattaa sellaisenaan suurimman osan peruskoulun matematiikan opetuksesta ajallisesti. Haapa- salo ja Eronen (2010) ovat tutkineet millaisina opettajaopiskelijat näkevät erilaiset matema- tiikan tuntisuunnitelmat, mutta he ovat keskittyneet tekemään jakoa ja analyysia pelkästään behaviorististen ja sosiokonstruktiivistisien tuntisuunnitelmien välillä (Eronen 2010, 715- 716). Tämän tutkimuksen tarkoituksena on viedä analyysi vielä pidemmälle ja tehdä kartoi- tusta opetusmenetelmien tasolla, mutta samalla saadaan kuvaa, kuinka monia oppitunte- jaan opettajaopiskelijat pitävät tällä hetkellä behavioristisina ja sosiokonstruktiivistisina.
8
2 Matematiikka oppiaineena
2.1 Oppiaineen kehitys
Oppiaineena matematiikka on kehittynyt yhteiskunnan tarpeiden mukaan, sillä kehityksen myötä on tarvittu uudenlaisia matemaattisia taitoja. Matemaattista kompetenssia pidetään tärkeänä kansakunnan taloudellisen ja teknologisen kehityksen kannalta. Koulumaailma on harvoin ollut se, josta tarve matematiikan kehittämiselle on tullut. Ensimmäisenä suurena kehityssuuntauksena tuli New Math (uusi matematiikka), joka kehitettiin Yhdysvalloissa, jotta pysyttäisiin teknologian kehityksessä mukana. Tämän seurauksena kouluissa opetet- tiin joukko-oppia, loogista päättelyä ja kuvausgeometriaa, jotka aiemmin olivat vain korkea- koulujen opetussuunnitelmissa. Näin radikaalia muutosta seurasikin Back to Basics (takai- sin perusteisiin), joka oli opettajien ja vanhempien ajama muutos, koska he olivat huolis- saan, kun oppilaat eivät osanneet peruslaskutoimituksia. Matematiikasta tuli väline suorit- taa laskutoimituksia, johon Problem Solving (ongelmanratkaisu) yritti kehitysvaiheena puut- tua. Tehtäviä monipuolistettiin ongelmanratkaisutehtäviksi, mutta lopulta ne olivat kaikki rat- kaistavissa samoin keinoin ja muodostuivat rutiinitehtäviksi. Standars (valtakunnalliset ope- tussuunnitelmat) ovatkin sen jälkeen ottaneet matematiikan kehityksen haltuun, sillä on otettava paikalliset erot huomioon, koska didaktiset ratkaisut tai oppimateriaalit eivät ole suoraan sellaisenaan siirrettävissä maasta toiseen. (Lampiselkä, Ahtee, Pehkonen, Meri &
Eloranta 2007; Haapasalo 2011, 144-147.)
Tällä hetkellä voimassa oleva perusopetuksen opetussuunnitelman (myöhemmin OPS14) mukaan matematiikan tehtävä oppianeena on kehittää viestintä-, vuorovaikutus- ja yhteis- työtaitoja. Matematiikan opetus pyrkii tukemaan myönteistä asennetta matematiikkaa koh- taan ja positiivista minäkuvaa matematiikan oppijana. Toimintana se on tavoitteellista ja pitkäjänteistä, jossa otetaan vastuu omasta oppimisestaan. Opetuksen tavoitteena on oh- jata oppilasta ymmärtämään matematiikan hyödyllisyys omassa elämässä ja yhteiskun- nassa laajemmin sekä kehittää kykyä käyttää ja soveltaa matematiikkaa monipuolisesti.
(Opetushallitus 2014, 234.)
9 Matematiikka on rakenteeltaan hierarkkinen, joka auttaa hallitsemaan abstraktien käsittei- den kompleksisuutta. Hierarkkisuudessa asia rakentuu aiemmin opitun päälle. Oppilaille kuitenkin tämä hierarkkinen rakenne ei näyttäydy eheänä ja kauniina vaan sekavalta koko- elmalta yksityiskohtia, sääntöjä ja ulkoa muistettavia kaavoja. (Merenluoto ja Lehtinen 2004, 310; Bernoulli, Ketola & Tuominen 2010, 7.) Yliopistomatematiikkakin näkyy yliopiston leh- toreille nättinä palapelinä ja heidän kurssinsa ovat sen palasia, mutta opiskelijoille tämä kokonaiskuva ei välttämättä välity. Matematiikanopettajaopiskelijat kokevat opiskelevansa asioita, joita eivät opettaja tule tarvitsemaan, vaikka yliopisto-opettajien mielestä matema- tiikkaa ei voi opiskella liikaa. (Koponen 2017, 93; 115.)
Sousa (2008, 200) määrittelee matematiikan kaavojen tieteenä. Matematiikkaa pidetään objektiivisena tieteenä, joka ei ole kokemuksista tai mielipiteistä riippuvainen. Se kuvastaa maailmassa vallitsevia sisäisiä suhteita. Matematiikka nähdään abstraktina rakennelmana, jolle keskeistä on looginen päättely. Se on myös laskusääntöjen kokoelma sekä erilaisia toimenpiteitä, jotka ovat sovellettavissa tilanteen vaatimalla tavalla. Laskusääntöjä on nou- datettava loogisesti ja tarkasti. Tämän vuoksi matematiikkaa ei voi käyttää maailman ku- vaamiseen ulkoa päin. (Pehkonen 2001; Alanen 2016.)
2.2 Matematiikan opetussuunnitelmasta
Matematiikan tehtävä oppiaineena on kehittää oppilaiden matemaattista ajattelua, niin luo- vaa kuin loogista ja täsmällistäkin. Matematiikan opetus etenee systemaattisesti sen kumu- latiivisesta luonteesta johtuen. Alakoulussa opetus pohjustaa matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämisen sekä kehittää oppilaan tiedonkäsittely ja ongelmanratkaisu ky- kyjä. Vuosiluokkien 3-6 osalta on erikseen mainittu matematiikan opetuksen tarjoavan ko- kemuksia, joita hyödynnetään matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden muodostumi- sessa. Oppilaan taito esittää matemaattista ajatteluaan ja ratkaisujaa eri tavoilla sekä eri välineillä on kehityksen kohteena, jonka vuoksi monipuolisten ongelmien ratkaisu, yksin ja ryhmässä, sekä erilaisten ratkaisutapojen vertailu on keskeistä opetuksessa. (Opetushalli- tus 2014, 234.)
10 Kaikkeen opetukseen sekä kaikkiin oppiaineisiin on sidottu laaja-alaisen osaamisen taidot, joita ovat ajattelu ja oppimaan oppiminen; kulttuurinen osaaminen, vuorovaikutus ja ilmaisu;
itsestä huolehtiminen ja arjen taidot; monilukutaito; tieto- ja viestintäteknologinen osaami- nen; työelämätaidot ja yrittäjyys sekä osallistuminen, vaikuttaminen ja kestävän tulevaisuu- den rakentaminen. Ajattelu ja oppimaan oppiminen (L1) on perustana muun osaamisen ke- hittymiselle. Oppilaita ohjataan huomaamaan, kuinka tieto voi rakentua eri tavoin, ja roh- kaistaan luottamaan itseensä, mutta olemaan samalla avoin uusille ideoille. Asioita käsitel- lään monista näkökulmista ja oppilaita autetaan tunnistamaan oma tapansa oppia. Kulttuu- rinen osaaminen, vuorovaikutus ja ilmaisu (L2) pohjautuu moninaisuuteen ja kestävään tu- levaisuuteen. Kulttuurinen moninaisuus nähdään voimavarana ja oppilaita ohjataan anta- maan mielipiteitään rakentavasti sekä toimimaan eettisesti. Tähän myös liittyy erilaiset vuo- rovaikutustilanteet, joita oppilaille tarjotaan. Itsestä huolehtiminen ja arjen taidot (L3) kes- kittyy yksilön ja yhteisön kokonaisvaltaiseen hyvinvointiin. Oppilaita ohjataan ottamaan huo- mioon omien tekojen, kuten kulutusvalintojen, vaikutus ympäristöön ja teknologian vaikutus kaikkeen ympäröivään. Monilukutaito (L4) tarkoittaa erilaisten tekstien tulkintaa omassa kontekstissaan. Erilaisten tekstien avulla oppilas oppii tulkitsemaan myös monikulttuurista maailmaa. (Opetushallitus 2014, 20 - 24.)
Tieto- ja viestintäteknologinen osaaminen (L5) nähdään tänä päivänä tärkeänä kansalais- taitona. Tähän liittyy teknologisten ratkaisujen ja sovellusten monipuolinen käyttö niin ar- jessa kuin oman opiskelun tukena sekä välineenä. Työelämätaidot ja yrittäjyys (L6) tavoit- telee työnteosta kiinnostuneiden kansalaisten kasvattamista. Esiin tuodaan työelämässä tärkeitä taitoja, kuten kielitaito sekä vuorovaikutustaidot. Myös oppilaiden omaa yrittäjyyttä kannustetaan eri tavoin. Koulun ulkopuolisten tahojen kanssa tehdään yhteistyötä tavoit- teen saavuttamiseksi. Osallistuminen, vaikuttaminen ja kestävän tulevaisuuden rakentami- nen (L7) kannustaa oppilaiden mukaan ottamista koulua koskevaan päätöksen tekoon ja tätä kautta pyritään herättää oppilaiden kiinnostusta toimia aktiivisina kansalaisina. Oppilai- den päätöksissä on tultava esiin niiden vaikutus tulevaisuudessa. (Opetushallitus 2014, 20 - 24.)
Matematiikka on jaettu neljääntoista (14) tavoitteeseen, joihin liittyy eri sisältöalueet ja laaja- alainen osaaminen. Ensimmäinen tavoite käsittelee merkitystä, arvoja ja asenteita, joka on oppilaan innostuksen ja kiinnostuksen ylläpitämistä matematiikkaa kohtaan sekä myöntei- sen minäkuvan ja itseluottamuksen tukemista. Tämä tavoite kuuluu kaikkiin sisältöalueisiin
11 ja laaja-alaisen osaamisen tavoitteisiin ajattelun taidot ja oppimaan oppiminen (L1), itsestä huolehtiminen ja arjen taidot (L3) sekä tieto- ja viestintäteknologinen osaaminen (L5), mutta ei vaikuta oppilaan arviointiin. Tavoitteet 2-6 koskevat työskentelyn taitoja ja kuuluvat kaik- kiin sisältöalueisiin. Tavoitteina on ohjata oppilaan havaintoja opittujen asioiden välisistä yhteyksistä, kehittää taitoja kysymyksien esittämiseksi sekä perusteltujen päätelmien teke- miseksi, ratkaisuja ja päätelmiä pyritään esittämään muille monipuolisesti, kun on arvioutu niiden järkevyyttä ja mielekkyyttä. Ongelmanratkaisutaitojen kehittäminen on myös oma ta- voitteensa. Näihin liittyy laajemmin useampia laaja-alaisen osaamisen tavoitteita, mutta kai- kille yhteinen on tavoite ajattelun taidot ja oppimaan oppiminen (L1). Näiden pohjalta arvi- oinnin kohteena ovat opittujen asioiden yhteydet, päättelytaidot ja kysymyksien, ratkaisujen sekä päätelmien esittäminen, ongelmaratkaisutaidot sekä taito arvioida ratkaisua. Loput ta- voitteet (7-14) ovat käsitteellisiä ja tiedonalakohtaisia, joista kaikille sisällönalueille on yksi yhtenäinen tavoite koskien oppilaan ohjaamista käyttämään ja ymmärtämään matemaatti- sia käsitteitä sekä merkintöjä, joka on myös arvioinnin kohteena. Tähän liittyy laaja-alaisen osaamisen tavoitteet ajattelun taidot ja oppimaan oppiminen (L1) sekä monilukutaito (L4).
(Opetushallitus 2014, 235, 238.)
Matematiikan opetussuunnitelma on jaettu viiteen sisältöalueeseen. S1 Ajattelun taidot kos- kee ajattelun taitoja, johon liittyy viimeinen tavoite innostaa oppilaita graafisissa ohjelmoin- tiympäristöissä laadittaviin toimintaohjeisiin tietokoneohjelmina. Sisältöalueeseen liittyy op- pilaiden taitojen kehittäminen ja syventäminen. Näitä taitoja ovat löytää yhtäläisyyksiä, eroja, säännönmukaisuuksia sekä vertailla, luokitella ja asettaa järjestykseen, etsiä syste- maattisesti vaihtoehtoja, havaita syy-seuraussuhteita ja yhteyksiä. Laaja-alaisen osaami- sen tavoitteita ovat ajattelun taidot ja oppimaan oppiminen (L1), monilukutaito (L4), tieto- ja viestintäteknologinen osaaminen (L5) sekä työelämätaidot ja yrittäjyys (L6). Sisältöalueen arviointi kohdistuu pelkästään ohjelmointiin. (Opetushallitus 2014, 235, 239.)
S2 Luvut ja laskutoimitukset käsittelee lukuja ja laskutoimituksia johon liittyvät tavoitteet 8- 10, jotka koskevat oppilaan kymmenjärjestelmän ymmärryksen laajentamista ja vahvista- mista, positiivisten rationaalilukujen ja negatiivisten kokonaislukujen lukukäsitteen kehitty- mistä sekä sujuvan laskutaidon saavuttamista päässä ja kirjallisesti laskutoimituksien omi- naisuuksia hyödyntäen. Laaja-alaisen osaamisen tavoitteesta painottuvat ajattelun taidot ja oppimaan oppiminen (L1) ja monilukutaito (L4), mutta myös itsestä huolehtiminen ja arjen- taidot (L3) sekä työelämätaidot ja yrittäjyys (L6) kuuluvat sisällön tavoitteisiin. Sisältöaluee- seen kuuluvat kymmenjärjestelmää, lukuja ja laskualgoritmeja koskevat tehtävät. Arviointi
12 kohdistuu kymmenjärjestelmän ymmärtämiseen, lukukäsitteeseen sekä laskutaitoihin ja pe- ruslaskutoimitusten ominaisuuksien hyödyntämiseen. (Opetushallitus 2014, 235-236, 238.)
Sisältöalueena S3 Algebra on kaikista suppein ja sitä varten ei ole erikseen asetettua tavoi- tetta eikä sitä oteta huomioon arvioinnissa. Algebra käsittelee lukujonoa, tuntematonta ja yhtälöitä. S4 Geometria ja mittaaminen on asetettu kahden tavoitteen osaksi. Oppilaan ha- vainnointia ja kuvailua geometrisen kappaleen ominaisuuksien suhteen, geometristen kä- sitteiden sekä pohdintaa mittauksen järkevyydestä tulee ohjata. Laaja-alaisen osaamisen tavoitteita esiintyy laajasti, sillä ajattelun taidot ja oppimaan oppiminen (L1), itsestä huoleh- timinen ja arjen taidot (L3), monilukutaito (L4), tieto- ja viestintäteknologinen osaaminen (L5) sekä työelämätaidot ja yrittäjyys (L6) on mainittu tavoitteissa. Sisältöalueeseen kuuluu kappaleet, kuviot, symmetrisyys, koordinaatisto, mittakaava ja mittaaminen. Arviointiin vai- kuttavat mittaaminen ja geometrian käsitteiden osaaminen sekä geometristen ominaisuuk- sien havainnointi. (Opetushallitus 2014, 235-236, 238-239.)
Viimeinen sisältöalue on S5 tietojenkäsittely, tilastot ja todennäköisyys, joka tavoittelee op- pilaan osaavan laatia ja tulkita taulukoita sekä diagrammeja, käyttävän tilastollisia tunnus- lukuja sekä saavan kokemuksia todennäköisyyksistä. Moniliukutaito (L4) ja tieto- ja viestin- täteknologinen osaaminen (L5) ovat tähän liittyviä laaja-alaisen osaamisen tavoitteita. Arvi- oinnissa tarkastellaan oppilaan taulukoiden ja tilastoiden laatimista sekä tulkintaa. (Opetus- hallitus 2014, 235-236, 239.)
Matematiikan oppimisympäristöihin ja työtapoihin liittyvät tavoitteet esitellään myöhemmin, kun käydään läpi opetussuunnitelman ohjeistus työtavan valintaan. Ohjaus, eriyttäminen ja tuki matematiikassa koskee oppilaiden mahdollisuuksia saada opetusta myös aiempien vuosiluokkien sisällöistä sekä ennakoivaa tukea uusien sisältöjen oppimiseksi. Tuki on sys- temaattista ja antaa oppilaalle mahdollisuuden kehittää taitojaan vahvistaen myönteistä asennetta ja kyvykkyyden tunnetta, käyttäen sopivia välineitä. Oppimiselle annetaan aikaa, jotta jokainen saa mahdollisuuksia oivaltaa ja ymmärtää itse, jolloin harjoittelu on riittävää.
Taitaville oppilaille tarjotaan vaihtoehtoisia työskentelymuotoja sekä sisältöalueita rikastut- tamalla. Oppilaan oppimisen arvioinnissa päätehtävänä on koko lukuvuoden aikana tukea ja edistää matemaattisen ajattelun ja osaamisen kehittymistä. Monipuolinen arviointi sekä ohjaava ja rakentava palaute tukevat matemaattisten taitojen kehittymistä. Palauteen ta-
13 voitteena on auttaa oppilaita ymmärtämään, mitä tietoja ja taitoja tulisi kehittää, tällöin op- pilas arvioi omaa oppimistaan ja tiedostaa vahvuuksiaan sekä kiinnittää huomiota työsken- telytapoihinsa ja asenteeseensa matematiikan opiskelua kohtaan. Matemaattisen ajattelun esilletuomista eri keinoin edellytetään, mutta arviointi kohdistuu tekemisen tapoihin, ratkai- sujen oikeellisuuteen sekä taitoon soveltaa opittua. Ryhmää arvioidessa, arvioidaan yksit- täisiä jäseniä ja koko ryhmää toiminnan sekä tuotosten osalta, johon myös oppilaat osallis- tuvat. (Opetushallitus 2014, 236-237.)
2.3 Matemaattisesta ajattelusta
Matemaattinen ajattelu voidaan yhdistää ajattelun taitoihin, jotka ovat kouluopetuksessa kehitettäviä kognitiivisia taitoja. Näitä taitoja ovat muun muassa tietoinen ajattelu, looginen ajattelu, päättely, ongelmanratkaisu, hypoteesien testaaminen, tiedon hankinta, soveltami- nen ja näiden ajatteluprosessien vaiheittainen ja karttuva tiedostaminen. Taitojen kehittä- minen kouluopetuksessa tavoittelee oppilaiden ymmärrystä omista kognitiivista prosesseis- taan sekä hallitsemaan niitä. Tämä johtaa tietoiseen toimintaan tavoitteiden mukaisesti, vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa. Ajattelun taidot voidaan myös tiivistää verbeihin muistaa, ymmärtää, soveltaa, analysoida, arvioida ja luoda, jolloin ne helpompi yhdistää matemaattiseen ajatteluun. (Halinen, Hotulainen, Kauppinen, Nilivaara, Raami ja Vainikai- nen 2016, 65.)
Tärkeä osa matemaattista ajattelua on olettamuksien tekeminen, koska olettamus pitää pystyä muokkaamaan tiedon lisääntyessä. Tämä on parempi kuin odottaminen siihen asti, että on varma ratkaisun oikeellisuudesta tai ettei saa ratkaisua ja luovuttaa. Olettamukseen ei tarvitse sitoutua, jolloin se edistää ajattelun jatkuvuutta. Nuoremmille oppilaille on tyypil- listä katsoa matemaattisia ilmauksia yksitellen ilman, että he hahmottavat niiden välisiä yh- teyksiä. Oppilaat tekevät sarjan tehtäviä eikä tehtäväsarjaa, kuten opettaja on tarkoittanut.
Oppiminen ei tapahdu niin kuin opettaja on ajatellut ja ei todennäköisesti johda kokemuk- selliseen oppimiseen. Kokemuksesta oppiminen on viime aikaisten kokemusten reflektoin- tia menneisyyteen ja tulevaisuuteen sekä niiden peilaamista muiden kokemuksiin. (Mason 1993, 114-115; 117.)
14 Matemaattinen ajattelu on yksilön ajattelua, mutta myös luokkayhteisön ilmiö, jossa sosiaa- lisessa kontekstissa ajattelun taso kehittyy korkeammalle kuin yksilön ajattelu, sillä ryhmän tulos on parempi kuin sen summana saatu tulos (Joutsenlahti 2003, 7). Matemaattiseen ajatteluun ja sen ilmaisemiseen tarvitaan useita kieliä, jolloin oppilas kehittyy vähitellen ar- kikielilähtöisestä matematiikan opiskelusta kohti tieteellistä kieltä (Hähkiöniemi, Kauppinen
& Tarnanen 2015, 83). Matemaattista ajattelua hankaloittaa vähäinen puhe matematii- kassa. Oppilailla ei ole tarvittavaa sanastoa, jolla perustella ideoitaan, jolloin ajattelun esiin tuominen on vaikeaa. Matemaattisen ajattelun kehittyminen edellyttää monipuolisten työta- pojen käyttöä, kuten visualisointi, järkeily, perustelu, kommunikointi ja mallinnus. Näitä kaik- kia voi käyttää matematiikan eri sisältöalueissa. (Mason 1993, 40; Holtzman ja Susholtz 2011, 3.)
2.4 Matematiikkakuvasta
Matematiikkakuva muodostuu vahvasti matematiikkakokemuksista, jotka ovat kokemuksia matematiikasta sekä itsestään sen oppijana. Tilanteita muistetaan selkeästi vuosien takaa, jopa yliopisto-opiskelijat muistavat ala-asteen tapahtumia. Kokemukset vaikuttavat myös siihen, kuinka matematiikka on myöhemmin kohdattu niin opiskelussa kuin muussa elä- mässä. Matematiikkakokemukset muodostuvat usein muistoista ja tunnelmista, joissa ma- tematiikka on ollut vaikeaa. Matematiikkakuvan muodostaa tiedon, käsitysten, uskomusten, asenteiden ja tunteiden osa-alueet, joita erilaiset matematiikkakokemukset ovat muokan- neet. Matematiikkakokemusten pohjalta voi syntyä matematiikkapelko, joka voi estää ajat- telun matematiikassa ja sitä kautta myös oppimisen. Positiiviset matematiikkakokemukset, joihin sisältyy ymmärtämistä ja onnistumisia, edesauttavat myönteisen matematiikkakuvan syntymistä, jolloin matematiikka kohdataan avoimesti ja innostuneesti. (Huhtala ja Laine 2004, 320; 326; 330; 344.)
Huhtala ja Laine (2006, 228) tutkivat peruskoulun oppilaiden metaforia matematiikasta ja sen oppimisesta. Tuloksissaan he kertovat poikien suhtautuvan matematiikkaan positiivi- semmin ja tyttöjen metaforat olivat sekä positiivisia että negatiivisia. Viidennen ja kuuden- nen luokan oppilaat kokivat matematiikan tylsäksi, ei kovin kiinnostavaksi. Oppilaat kirjoitti- vat paljon todellisista matematiikkakokemuksistaan, arkipäivän kokemuksista matematiikan
15 kanssa. Oppilaille oli kokemusten perusteella muodostunut tyypillisiä matematiikan opiske- luun liittyviä uskomuksia, kuten matematiikan oleminen pelkkää laskemista eikä sen oppi- miseen voi itse vaikuttaa. Myös Tikkanen (2008) toteaa poikien käsitykset myönteiseksi tai neutraaliksi, mutta tytöiltä löytyvän kielteisiä käsityksiä itsestä matematiikan oppijana (Tik- kanen 2008, 237).
Tikkanen (2008) määrittelee neljäsluokkalaisten matematiikkakokemuksista toteava laskija- tyypin, joka kertoo matematiikkaan liittyvistä kokemuksistaan todeten asian ja sen tilan, esi- merkiksi matematiikka on helppoa, tärkeää tai kivaa. Tämän ryhmän oppilaan minäkäsitys pohjaa kokemuksiin matematiikan ymmärtämisestä, oppimisesta ja tehtävien suorittami- sesta verrattuna muihin oppilaisiin. Oppilaan mielestä matematiikka on lukuja ja laskutoimi- tuksia sekä hieman geometriaa. Toteava laskija on neljäsluokkalainen suomalaisen ope- tussuunnitelman mukaan matematiikkaa opiskellut oppilas. Hän kokee opetuksen lähinnä opettajalähtöisenä suorana opetuksena ja tekee mielellään yksin kirjan tehtäviä, koska ryh- mätyö ei aina suju. (Tikkanen 2008, 227-229.)
Opettajalla on myös vaikutusta matematiikkakuvan muodostukseen. Opettamastaan innos- tunut opettaja innostaa myös oppilaita aiheeseen. Oppisisältöjä kiireellä läpi käyvä opettaja ei aina aikaa sisäistää asioita, joten ne opetellaan ulkoa. Yksipuolisia opetusmenetelmiä käyttävän opettajan tunneista tulee hyvin yksitoikkoista laskemista. Jos opettaja ei osaa selittää opiskeltavia sisältöjä tai niiden tarvetta, eikä kannusta ja tue oppilaita, niin oppilai- den kiinnostus oppiainetta kohtaan lopahtaa. (Pietilä 2002, 129-130.)
Pehkonen (2011b) toteaa myös opettajien oman matematiikkakuvan vahvasti ohjaavan opetusratkaisuja, eikä näe opettajan koulutuksen pystyvän tähän vaikuttamaan (Pehkonen 2011b, 22). Tämän pohjalla on matematiikkataitojen tason kyseenalaistaminen, joka on ai- heuttanut sen, että opettajakoulutukseen valituista ylioppilaista kaikilla ei matematiikan tai- dot yllä edes ala-asteen matematiikan hallintaan. Matematiikantaitojen parantamisessa on- kin keskeistä ymmärtämisen edistäminen, jotta opettajana pystyy ohjaamaan oppilaiden ymmärtämisen kehitystä. (Pehkonen 2011a, 7-8.)
16 Pietilä (2002) tutkii väitöskirjassaan luokanopettajaopiskelijoiden matematiikkakuvaa. Hän huomaa opiskelun olleen hyvin samankaltaista ja matematiikasta pitämisen riippuvan ilmei- sesti onnistumisen ja ymmärtämisen tasosta. Monipuolinen ja suhteellisen kehittynyt mate- matiikkakuva oli vain erittäin hyvän itsetunnon omaavilla opiskelijoilla. Muutkin näkevät opiskelun kuitenkin tärkeänä, sillä laskutaitoja tarvitaan arkipäivän tilanteissa muun muassa kaupassa. Menestyneisyys ei kuitenkaan suoraan tarkoittanut osaamista, sillä osa hyvin menestyneistä piti itseään heikkona matematiikan osaajana. He olivat opiskelleet kaavoja ulkoa, mutta eivät ymmärtäneet niitä, jolloin ulkoiset seikat olivat menestymisen takana.
Heikommin menestyneet pitivät itseään kuitenkin myös hyvinä matematiikassa ja peruste- livat huonoa menestystä ulkoisilla tekijöillä, kuten laiskuudella. Opintojen aikana saatujen positiivisten kokemusten myötä opiskelijoiden matematiikkakuvat olivat paljon lähempänä toisiaan opintojen lopussa. Heidän oppimansa oli koettu toimivaksi ja käyttökelpoiseksi har- joitteluissa ja sijaisuuksia tehdessä. Opiskelijoiden käsitys matematiikasta oli monipuolistu- nut, ymmärtäminen nähtiin olennaisena osana oppimista. Jo aiemmin suhteellisen kehitty- neen matematiikkakuvan omaavilla oppilailla lopussa painottui eriyttäminen ylöspäin ja ma- tematiikkakammon estäminen. Matematiikan opiskelua tylsänä pitäneet myös korostivat eriyttämistä ylöspäin ja matematiikan tärkeyttä. Aiemmin heikosti matematiikassa pärjän- neet korostivat kaikkien mahdollisuutta oppia matematiikkaa ja arkielämän yhteyttä. (Pietilä 2002, 128-129; 177-178.)
Pietilän kuvaamaa muutosta matematiikkakuvassa tukee myös Albertin, Corean ja Macadi- non (2012, 39) tutkimus, jossa huomattiin opettajaopiskelijoiden käsityksen muuttuvat opet- tajan roolista luokan edessä tiedon esittelijänä/välittäjänä oppimisen mahdollistajana, joka ohjaa ryhmiä ja yksittäisiä oppilaita ympäri luokkaa. Opiskelijoiden koko pedagoginen käsi- tys matematiikan opetuksesta muuttui abstraktien esitysten pitämisestä konkreettisten mal- lien käyttöön. Jopa luokkahuoneen sisustus muuttui tutkimuksen aikana, joka kertoo selke- ästä erkaantumisesta opettajajohtoista opetusta tukevasta mallista kohti oppilaiden aktii- vista työskentelyä ja ryhmätyöskentelyä. (Albert et al. 2012, 44; 47.)
Matematiikan pedagogisten opintojen kurssilla opettajaopiskelijoiden matematiikkakuvaan on myös pyrkinyt vaikuttamaan Eskelinen, joka on väitöskirjassaan (2005) käsitellyt kurssin vaikutusta opiskelijoiden konstruktivistiseen käsitykseen opetuksesta ja oppimisesta. Tu- loksissa todetaan opiskelijoiden konstruktivistisen käsityksen vahvistuneen voimakkaasti ja behavioristisen käsityksen opetuksesta ja oppimisesta heikentyneen. Käsityksen muuttu-
17 essa ongelmanratkaisulle myönteiseen suuntaan, oletetaan opiskelijoiden helpommin käyt- tävän ongelmanratkaisuprosesseja hyödyntäviä opetusmenetelmiä, jotka rinnastetaan kon- struktivistia piirteitä sisältäviin opetusmenetelmiin. (Eskelinen 2005, 184.)
Tämän lisäksi Haapasalo ja Eronen (2010) pystyivät kurssillaan vaikuttamaan opiskelijoi- den matematiikkakuvaa konstruktivistiseen suuntaan, mutta myös nostattivat itsetuntoa käyttää matematiikan opetuksessa teknologiaa. Juuri teknologian käyttö oli iso tekijä muut- tamaan opettajaopiskelijoiden näkemyksiä behavioristista konstruktivistiseksi. (Haapasalo ja Eronen 2010, 712; 715-716.) Haapasalo ja Eronen (2010) tutkivat mitä opetus- ja oppi- misparadigmoja nousee tuntisuunnitelmista. Alkuun opiskelijat korostivat matematiikassa laskentoa ja todistamista. Tutkimukseen osallistuneet opettajaopiskelijat keskustelivat be- haviorististen ja konstruktivististen tuntisuunnitelmien selkeistä eroavaisuuksista. Tutkimuk- sen aikana pyrittiin vaikuttamaan opettajaopiskelijoiden matematiikkakuvaan, mutta vaiku- tuksia etsittiin suoraan heidän tekemistään tuntisuunnitelmista, joita ei kuitenkaan välttä- mättä käytetty millään oppitunnilla.
Myös opettajaopiskelijoilta on kysytty, mitkä tekijät he kokevat vaikuttavan matematiikkaku- vaan. Vastauksista nousee tärkeänä esiin matematiikkakuvan pohtimisen. Myös opiskelta- vien asioiden käytännönsoveltaminen on tärkeää, jotta niitä oppii käyttämään. Aiheena ma- tematiikkakuvan henkilökohtaisuus nostaa esille myös emotionaalisia tekijöitä, kuten ohjaa- jien empaattisen suhtautumisen. Opettajakoulutuksen matematiikan pedagogiikan kurs- seilla pyritään varmistamaan opiskelijoiden opetussuunnitelman osaaminen, mutta mate- matiikan sisältöjen hallinnan sijaan korostetaan pedagogisia sisältöjä. Sisältöihin kuuluu keinot saada oppilaat ymmärtämään opiskeltavat asiat ja tähän pyritään käyttämällä erilai- sia opetusmenetelmiä, jolloin opiskelijat itse tutkivat matematiikan sisältöjä. Näin oppilaan ja matematiikan välinen suhde korostuu, jossa opiskelija toimii oppilaan roolissa oppien itse oivaltaen ja saaden malleja, miten opettaja voi tukea tätä suhdetta. (Laine ja Hannula 2010, 199; 201-202.)
18
3 Matematiikan oppiminen
3.1 Oppiminen aivotoimintana
Jo kymmenvuotiaat oppilaat sisäistävät koko lukukäsityksen. Vaikka he laskevat päässään helposti kaksinumeroisilla luvuilla ja selviät kolminumeroisista ongelmista, he pystyvät oi- keasti käsittämään yhden muuttujan pysyvyyden ja muokkaamaan muita muuttujia. Näin he osaavat muuttaa tunnit minuuteiksi ja päätellä onko kaksi tuntia vai 150 minuuttia pidempi aika. (Sousa 2008, 39.)
Oppilaiden kiinnostuminen oppitunnin aiheeseen on tärkeää, sillä varsinkin tutkimuskoh- teena olevien luokkien oppilaat reagoivat ikäluokkansa mukaan opetustilanteeseen tunteil- laan nopeammin kuin rationaalisesti. Huomion ja kiinnostuksen saaminen on paljon vaike- ampaa kertomalla tunnin aihe kuin aiheen sitominen johonkin konkreettiseen. Esimerkiksi reaktio murtolukuihin tai kolmasosaan, saati puolikkaaseen kakkupalaan on hyvin erilainen ja tunti alkaa positiivisen tunteen herättäen, jolloin oppilaat osaavat heti yhdistää aiheen omaan arkeensa. (Sousa 2008, 101.) Aivojen mukautuvuuden ansiosta ne voidaan opettaa manipuloimaan symboleja murtolukujen yhteenlaskussa. Monet aikuisetkaan eivät osaa laskea yhteen murtolukuja, vaikka he ovat koulussa tämän osanneet. Laskutekniikat ja - säännöt on osattu kokeeseen asti, kun ne säilötty työmuistiin, mutta kokeen jälkeen se pois- tunut työmuistista tarpeettomana. Monet saavatkin matematiikasta hyviä arvosanoja ym- märtämättä mitä ovat tehneet. Jos käsitteen on aidosti ymmärtänyt, niin laskut osattaisiin yhä aikuisena. (Sousa 2008, 103.)
Opiskeltavien asioiden määrän täytyy pysyä työmuistin kapasiteetissa, jolloin oppilaat to- dennäköisemmin muistavat mitä on opetettu (Sousa 2008, 201). Työmuistissa olevia tietoja käsitellään representaatiojärjestelmällä, johon kuuluu myös toiminnanohjausjärjestelmä.
Toinen iso osa mielen keskusjärjestelmää, joka on kaikkien kognitiivisten toimintojen pe- rusta, on inferenssijärjestelmä. Inferenssijärjestelmällä tarkoitetaan päättelytaitoa. Näissä tapahtuvat kognitiiviset toiminnot koostuvat ydinprosesseista, psyykkisestä toiminnasta sekä tiedosta ja uskomuksista. Ne jakautuvat alajärjestelmiin ajattelun luonteen mukaan,
19 joita ovat sanallinen, kategorinen, määrällinen, kausaalinen, spatiaalinen ja sosiaalinen jär- jestelmä. (Demetriou, Spanoudis ja Mouyi 2011, 604.)
Matematiikka on paljon helpompaa, kun oppilas ymmärtää mitä se on, kun symboleilla on jokin merkitys. Tällöin matematiikasta tulee aritmetiikan keino eikä se sitä pelkästään. Var- sinkaan he, jotka eivät ymmärrä aritmetiikan merkitystä, kokevat olevansa heikkoja mate- matiikassa. Ymmärrys lisää tiedon mahdollisuuksia tulla säilötyksi pitkäaikaiseen muistiin, mutta antaa myös mahdollisuuden oppijalle kehittää tapojaan toimia ongelman muotoutu- essa erialiseksi. Ilman ymmärrystä laskutapa jää irralliseksi ja oppilas ei välttämättä tiedä milloin käyttää mitäkin tapaa. Selittävää opetustapaa käyttävät opettajat korostavat lasku- sääntöjen lisäksi uusien sääntöjen yhteyttä toisiinsa ja myös muihin laskusääntöihin, joita on opiskeltu aiemmin. Tämä mahdollistaa yksityiskohtaisen harjoittelun ja kognitiivisen pää- töksenteon. (Sousa 2008, 105; 116.) Kognitiiviseen päätöksentekoon käytetty aika on pieni investointi, joka voi johtaa paljon parempaan opitun muistamiseen (Sousa 2008, 203).
Matemaattinen pätevyys vaatii taitoja, tietoa, menettelytapoja, ymmärrystä, pohdintaa sekä näiden käyttöä. Usein oheistus nojaa taitoihin, tietoon ja suorittamiseen, joka pohjautuu op- pilaiden tietämykseen ja kykyyn suorittaa. Peruslaskutoimituksia käytetään paljon, joten niistä tulee toiminnan rutiineja, joka johtaa pinnalliseen ymmärtämiseen. Enemmän aikaa pitäisi varata pohdinnalle ja tämän kautta ymmärtämiseen, mitä ja miten matematiikka toi- mii. Tieto ja suoriutuminen eivät ole luotettavia mittareita pohdinnasta tai ymmärtämisestä.
(Sousa 2008, 123.)
3.2 Aktiviteetit aivotoiminnan tukena
Zimmermann (2003, 41-42) kertoo artikkelissaan, kuinka koko matematiikan historian ajan motiivi uuden matematiikan luomiselle on tapahtunut tarpeesta. Erilaisia motiiveja hän luo- kittelee yhdeksän kappaletta. Näiden motiivien pohjalta Zimmermann on jaotellut matema- tiikan kahdeksaan aktiviteettiin. Yhdeksäs motiivi on mielenkiinto haasteellisiin ongelmiin, joka on yhdistettävissä kaikkiin aktiviteetteihin. Aktiviteetteihin on yhdistetty myös niihin so- pivat ajattelun taitojen alajärjestelmät Demetrioun ym. (2011, 605) taulukon pohjalta. Näistä nähdään, että kognitiivisen taidon käyttäminen on laaja ja monipuolinen matemaattisen ajattelun ala (Yrjönsuuri 2004, 116). Tämän lisäksi aktiviteetit ovat verbeinä hyvin lähellä
20 Halisen ym. (2016, 65) listaamia verbejä ajattelun taidoista: muistaa, ymmärtää, soveltaa, analysoida, arvioida ja luoda.
Ensimmäinen motiivi on rakentaminen, mallintaminen ja matematiikan soveltaminen. Ihmi- sellä on ollut tarve tietää, kuinka paljon ruokaa on, mihin asti se kestää ja miten paljon rakennusmateriaaleja tarvitaan. Ensimmäisen motiivin pohjalta on eroteltu aktiviteetit sovel- taa ja rakennella (konstruoida). Ajattelun taidoista nämä sitoutuvat kausaaliseen ja katego- riseen alajärjestelmään. Kausaalisen alajärjestelmän psyykkiseen toimintaan kuuluu mal- lien rakentaminen. Kategorisen alajärjestelmän tietoihin ja uskomuksiin kuuluu ymmärrys maailmasta, joka on tiedon soveltamista. (Zimmermann 2003, 41 - 42; Demetriou ym. 2011, 605.)
Toista ja viidettä motiivia yhdistämällä saadaan aktiviteetti arvioida. Toinen motiivi on riitit, uskonnot, arvojärjestelmät ja uskominen. Historiassa papit ovat pitkään olleet tärkeitä tie- demiehiä ja uskonnoilla oli tarvetta erilaiselle matematiikalle, kuten kalenterille ja vaativim- mille rakennuksille. Viidentenä motiivina on estetiikka, esteettiset arvojärjestelmät ja arvi- ointi, jotka näkyvät taiteiden ja matematiikan yhdistelmänä. Arviointi on ydinprosessi kate- gorisessa ajattelun taidon alajärjestelmässä. Arvioiden tutkitaan eroja ja yhtäläisyyksiä. Se on myös spatiaalinen ydinprosessi, jossa arvioinnin kohteena on koko tai etäisyys. (Zim- mermann 2003, 41 - 42; Demetriou ym. 2011, 605.)
Kolmanneksi motiiviksi katsotaan laskento ja algoritmit, joihin pohjautuvat kaikki peruslas- kutoimitukset niin peruskouluissa kuin korkeamman asteen koulutuksissa. Kolmannesta motiivista saadaan aktiviteetti laskea. Ajattelun taitojen määrällinen alajärjestelmä perustuu laskemiseen. Sen ydinprosesseja ovat laskeminen, jakaminen, poistaminen, tuominen ja määrän hahmottaminen. Psyykkiseen toimintaan kuuluu vahvasti aritmeettiset operaatiot, ja tieto ja uskomukset koostuvat maailman määrällisistä tekijöistä. (Zimmermann 2003, 41 - 42; Demetriou ym. 2011, 605.)
Neljännen motiivin pohjalta tulee aktiviteetit pelata, leikkiä. Neljäs motiivi on pelitilanteet, uhkapelit ja pelaaminen tai leikkiminen. Pelaaminen vastaa ihmisen sosiaalisiin tarpeisiin ja sen kautta kehitettiin todennäköisyyslaskentaa. Nämä aktiviteetit eivät suoraan yhdisty ajat-
21 telun taitojen alajärjestelmiin, mutta ne voidaan yhdistää sosiaaliseen ja sanalliseen alajär- jestelmään. Sosiaaliseen alajärjestelmään yhdistäminen on leikin taustalla tapahtuvat sosi- aalisten taitojen oppiminen. Sanallinen alajärjestelmä on pelaamisen taustalla sääntöjen noudattamisen muodossa. (Zimmermann 2003, 41 - 42; Demetriou ym. 2011, 605.)
Kuudes motiivi etsiminen, keksiminen ja mielenkiinto heuristiikoissa, on ongelmanratkai- susta nouseva motiivi. Aina on löytynyt jokin ongelma, jota on lähdetty matematiikan keinoin ratkaisemaan. Kuudes motiivi antaa aktiviteetin etsiä. Kausaalisen alajärjestelmän psyykki- siä toimintoja on systemaattinen kokeilu, jota voidaan pitää tiedon etsimisenä. Sosiaalisen alajärjestelmän psyykkisiin toimintoihin kuuluu myös toisen tunnetilan tulkintaa auttavien merkkien etsiminen. Spatiaaliseen alajärjestelmään kuuluu konkreettisten asioiden etsimi- nen psyykkisenä toimintona. (Zimmermann 2003, 41 - 42; Demetriou ym. 2011, 605.)
Seitsemäs motiivi on mielenkiinto tuloksen vahvistamiseen, todistaminen ja perustelemi- nen, joita vaadittiin laskutoimitusten käyttämisen yleistämisen vuoksi. Seitsemäs motiivi yh- distyy aktiviteettiin todistaa. Kausaaliseen alajärjestelmään kuuluu hypoteesien tekeminen psyykkisenä toimintona ja sanalliseen alajärjestelmään totuuden tunnistaminen, jotka voi- daan nähdä aktiviteetin todistaa osatoimintoina. (Zimmermann 2003, 41 - 42; Demetriou ym. 2011, 605.)
Kahdeksas motiivi on aktiviteetin järjestellä taustalla. Kahdeksantena motiivina luetellaan mielenkiinto järjestelmiin ja teorioihin sekä aksioomatiikka ja järjestely. Aktiviteettina järjes- tellä on kaikista laajin, koska se voidaan liittää useaan alajärjestelmään. Näistä merkittävin on kategorinen alajärjestelmä, jossa järjestellään eri asioista psyykkisenä toimintoja. Myös spatiaalisessa alajärjestelmässä tietoihin ja uskomuksiin liittyy järjestetyt ajatuskartat. (Zim- mermann 2003, 41 - 42; Demetriou ym. 2011, 605.)
22
3.3 Opetuksen suunnittelua erilaisille oppijoille
Sousan (2008) havaintojen ja tutkimuksen mukaan opettajalla on tapana opettaa käyttäen niitä keinoja, joiden avulla hän itse oppii. Oppimismenetelmä kuitenkin eroaa opetusmene- telmästä. Auditiivisesti oppivat opettajat puhuvat luokassa paljon ja pitävät luennoilla käy- misestä sekä muiden tarinoiden kuuntelemisesta. Visuaalisesti oppivat opettajat käyttävät opetuksessa paljon kuvia ja muita visuaalisia apuvälineitä, kuten elokuvia, ohjelmia, muse- oita ja muuta viihdettä. Tällöin väite ”opettaja opettaa, kuten häntä on opetettu”, muuttuu muotoon ”opettaja opettaa, kuten hän oppii”. (Sousa 2008, 69-70.)
Sousa (2008) jaottelee oppijat kahdeksaan eri oppimistyyliin, jotka hyvä ottaa opetuksessa huomioon suunnitellessa monipuolista opetusta. Yhdessä oppilaassa voi olla piirteitä use- ammasta eri oppistyylistä. Kielellisesti oppivalle on tärkeää käyttää matematiikan käsitteitä tekstissä, kuten tarinassa, esitelmässä tai opetuskeskustelussa. Käsitteen tarkka määrittely ja sen sanaston oppiminen helpottavat oppijaa ja sanallisten tehtävien luominen ja ratkai- seminen auttavat oppimisessa. Looginen tai matemaattiseksi kuvailtu oppija pitää tehtä- vistä, joissa keskitytään asian esittämiseen kaavan avulla ja tämän todistuksen luomisesta myös pelit, joissa käsitettä hyödynnetään ovat hyviä. Numeerinen data on oppijalle miele- kästä käsitellä, niin laskutehtävinä kuin analyysin lähteenä järjestelytehtävässä. (Sousa 2008, 209-211.)
Spatiaalinen tai visuaalinen oppija saa paljon tukea erilaisista kaavioista ja kuvaajista sekä kuvista laskutoimituksen tukena. Myös kuvataiteen hyödyntäminen helpottaa käsitteen si- säistämisessä. Myös eri kappaleiden koskettaminen tai paperin taittelu voivat antaa tarvit- tavaa visuaalista tukea. Varsinkin arkkitehtuuriin liittyvät tehtävät ovat tämän tyyppiselle op- pijalle mieleisiä. Musikaalinen oppija tarvitsee opettajaltakin luovempia opetusmenetelmiä, joissa matemaattinen käsite yhdistetään musiikkiin, mutta esimerkiksi murtolukujen ja nuot- tien pituuksien yhdistäminen voi tulla luontevasti. Musiikissa toistuvista säkeistä voi tehdä malleja, joissa näkee säännönmukaisuuksia. (Sousa 2008, 209-211.)
Kineettinen oppija vaatii fyysistä toimintaa opetuksen tukena. Tämä voi olla mallien raken- tamista apuvälineitä käyttäen tai oppilaan fyysinen liikkuminen pelkän paperille piirtämisen
23 lisäksi. Kehoa voi myös käyttää opetusvälineenä eri käsitteiden selvittämiseen. Luonnon- tieteilijä vaatii mallien löytämistä ja niiden sovelluksia luonnossa sekä eri matemaattisten käsitteiden yhdistämistä toisiinsa. (Sousa 2008, 209-211.)
Sosiaalinen oppija oppii parhaiten opetuskeskustelussa ja vuorovaikutuksessa muiden op- pilaiden kanssa. Ryhmätöissä hän oppii muilta, jotka ovat oppineet eri tavoin. Myös väittelyt, joissa mahdollisimman monen mielipiteet pääsevät esille, tukevat sosiaalisen oppilaan kä- sitteen muodostusta. Itsenäisesti oppiva pitää henkilökohtaisista haasteista ja tavoitteista, joissa asia sidotaan omaan arkeen ja tunteisiin. Häntä tulee vahtia, jotta opiskelu etenee ja pyytää ajattelemaan ääneen, kielentämään tekemäänsä. (Sousa 2008, 209-211.)
3.3.1 Opetusta luokkahuoneen ulkopuolella
Puheessa aidoista matematiikasta keskitytään yleensä käytännön matematiikkaan, jolloin tehtävät yhdistetään muun muassa ostoksilla käymiseen, jakamiseen ystävien kesken tai matkan pituuden selvittämiseen. Matematiikkaa voi myös hyödyntää aitojen kokemusten luomisessa, kuten tehdessä ruokaa, leirillä tai juhlissa, koska tapahtumat tarjoavat paljon matemaattisia opiskelu mahdollisuuksia. Opiskelun vieminen luokan ulkopuolelle tarkoittaa opiskelua luonnossa, rakennetussa ympäristössä tai näiden välimaastossa. Luonnossa opiskelumahdollisuuksia luo sää- ja luonnonilmiöt, kuten lumi, sade ja varjot, joita voi hyö- dyntää tutkimuksissa. Säätutkimuksessa voidaan keskittyä lämpötilaan, tuulen suuntaa ja nopeuteen tai lumen ja veden määrään, varjoja voidaan seurata tietyn ajan välien tai puita mitata eri keinoin. Metsät, rannat, niityt, joet ja mäet kiinnostavat oppilaita, mutta opettajan tehtävä on yhdistää niihin matematiikka, joka voi olla seurantaa, kun samaan ympäristöön palataan eri vuoden aikana tutkimaan luonnon kulkua. Rakennetussa ympäristössä on yhtä monipuolista, koska kartoitus-, liikenne-, ostos- tai opetuskäyntien lisäksi pelkkä ympäristö tarjoaa esimerkiksi geometriaan liittyviä oppimismahdollisuuksia. Näiden kahden ympäris- tön välimaastossa on esimerkiksi koulun piha, jossa on mahdollisuus käyttää enemmän ääntä ja tilaa tehtävien tekoon kuin luokassa. Lisäksi ympäristö on oppilaille tuttu ja pihalle menon kynnys on hyvin pieni. Pihassa voidaan käydä läpi samoja asioita kuin luokassa, mutta isommassa mittakaavassa tai sitten keskittyä esimerkiksi säätutkimukseen. (Pound ja Lee 2011, 54; 102-103; 106-107.)
24
4 Monipuoliset opetusmenetelmät
4.1 Opetusmenetelmien lähtökohdat
Matematiikkaa voi oppia ja opettaa monella eri tavalla. Pitkään käytössä ollut oppikirjaan pohjautuva opetus on siirtymässä muiden opetusmenetelmien taustalle. Matematiikkaa tu- lisi ymmärtää, jotta sitä osaisi ja voisi hyödyntää monipuolisesti arjessa. Opettaja ei ole enää informaation tuoja ja oikeiden vastausten kontrolloija, vaan hän toimii aktiivisesti kai- ken yläpuolella johtaen opetusta oppilaiden ohjaajana ja neuvonantajana (Pehkonen ja Rossi 2007, 145). Tiedon rakentuessa syntyy ymmärrystä aiheesta, eikä se jää irralliseksi ja ulkoa opetelluksi toimintakaavaksi. Matematiikan opetuksen yleisenä tavoitteena on op- pilaita kiinnostavien ongelmien etsiminen, esittäminen ja ratkaiseminen (Leino 2004, 27).
Matematiikan opetuksessa on kaksi johtavaa näkökulmaa: opitun asian aktiivinen ymmär- täminen ja hyödynnettävän taidon osaaminen. Ensimmäisen mukaan oppilailla tulisi olla aikaa oppia ja pohtia opittua. Toinen antaa syitä käyttää arkielämän tilanteita, joissa ei käydä läpi haastavaa matematiikkaa, mutta tärkeää on opitun matematiikan käyttö. Kuten muissakin oppiaineissa, on matematiikassa pyritty pois pelkän behavioristisen oppimiskä- sityksen käytöstä. Konstruktivistinen oppimiskäsitys on hakenut itselleen jalansijaa ja hiljal- leen päässyt laajaan käyttöön suomalaisissa peruskouluissa. Erot ovat suuria koulujen ja opettajien välillä, mutta tärkeintä on antaa mahdollisuus opiskella eri tavoin, koska oppilaat ovat erilaisia ja he oppivat eri tavoin. Oppikirjaan pohjautuvan opetuksen tilalle on noussut useita erilaisia opetusmenetelmiä. Nämä opetusmenetelmät eivät ole riippuvaisia oppikir- joista vaan opettaja voi itse valita oppilailleen parhaiten sopivan materiaalin uuden opiske- luun. Monipuoliset opetusmenetelmät ovat leviämässä, mutta perinteinen opetuskaava on yhä hallitseva. Tänä päivänä erilaiset opetusmenetelmät korostavat myös oppilaiden moti- vaation ja aihesidonnaisuuden erilaista kehitystä. (Lapinselkä ym. 2007, 40 - 41; Pehkonen ja Rossi 2007, 152.)
25 Behavioristisen oppimiskäsityksen mukaan oppiminen on suhteellisen pysyvä muutos käy- töksessä kokemuksen pohjalta. Tämä muutos käytöksessä on aina huomattavissa, sillä il- man huomattavaa muutosta ei ole tapahtunut oppimista. Kognitiivinen toiminta on tullut osaksi behaviorismia vasta myöhemmin, koska muutosta käytöksessä ei ajattelun pohjalta nähty syntyvän. Oppimiskäsityksen taustalla on positiivinen ja negatiivinen vahvistaminen, jolla pyritään vahvistamaan oikeaan vastaukseen johtavaa toimintaa. Oppiminen ilmenee oppiaineen perustiedon hallinnassa sekä tiedon oikeellisuuden ja hyödyllisyyden arvioin- nissa. Opettaja toimii tiedon välittäjänä ja palkinnon antajana, kun oppitunti noudattelee pe- rinteistä opetuskaavaa. (Jordan, Orison & Stack 2008, 21; 27-30.)
Konstruktivistisen oppimiskäsityksen mukaan oppilas luo tiedon itse. Tavoitteena on luoda ajattelumalleja, jotka tuottavat oppilaalle tietoa ja opettajalle käsityksen oppilaan ajatuksen kulusta. Kiinnostuksen kohteena on saadun informaation prosessointi tiedon rakentami- sessa. Oppimiskäsityksessä tulevat vahvasti esille oppilaskohtaiset oppimistyylit, oppilai- den vahvuudet ja henkilökohtaiset opetussuunnitelmat sekä eri kulttuurit, monipuoliset op- pimis- ja opetusstrategiat ja koulun ulkopuoliset tekijät. Opetuksessa tulisi hyödyntää oppi- laiden luontaista halua leikkiä, mielenkiintoa maailmasta, monipuolista opetusmateriaalia ja alkuperäisiä lähteitä sekä kannustaa tekemään itse, keskustelemaan luokkatoverien kanssa aiheesta ja muodostaa kognitiivisia konflikteja opetustarkoituksessa. Scaffolding on osa konstruktivistista oppimiskäsitystä, jossa oppilaiden vastaukset ohjaavat opetusta ja opetuskeskustelua, jonka avulla opettaja pyrkii saamaan selvää oppilaiden ymmärryksestä.
(Jordan ym. 2008, 55; 62-65.)
4.2 Opetussuunnitelman ohjeistus työtavan valintaan
Yleisesti opetusmenetelmien valinnasta OPS14 sanoo seuraavaa: Ensisijaisesti työtavan valintaan vaikuttaa opetukselle ja oppimiselle asetetut tavoitteet, joihin sisältyvät myös va- litut laaja-alaisen osaamisen tavoitteet. Opettajan tulee huomioida oppilaiden tarpeet ja edellytykset valitessa työtapoja, jotka soveltuvat erilaisiin oppimistilanteisiin sekä eri ikäkau- sille. Kokemuksellisia ja toiminnallisia työtapoja, joissa hyödynnetään eri aisteja ja liikuntaa, käytetään motivaation vahvistamiseksi. Oppimisen tulee olla elämyksellistä sekä tukee it- seohjautuvuutta ja ryhmään kuulumisen tunnetta. Työtapojen valinnassa on huomioitava
26 oppiaineen ominaispiirteet, sillä oppiaineelle ominaisten työtapojen käyttö edistää jäsenty- neiden tietorakenteiden muodostumista sekä taitojen omaksumista. Oppilaat valitsevat työ- tavat opettajan kanssa, joka ohjaa uusien työtapojen käyttöön vahvistaen itseohjautuvuutta.
(Opetushallitus 2014, 30-31.)
Matematiikan osalta tähän on lisätty, että opetuksen lähtökohtana on tutut ja kiinnostavat ongelmat, joita tutkitaan konkreettisesti käyttäen eri opetusvälineitä apuna. Oppimispelit ja -leikit on ainoa nimeltä mainittu opetusmenetelmä, joka on tärkeä ja oppilaita motivoiva työ- tapa. Tämän tukena käytetään tieto- ja viestintäteknologiaa sekä laskinta opetuksessa ja opiskelussa. (Opetushallitus 2014, 237.)
4.3 Erilaisia opetusmenetelmiä
Pehkosen ja Rossin (2007) mukaan käsitys perinteisestä oppitunnista on seuraava: Tunnin alussa tarkistetaan kotitehtävät, jonka jälkeen opettaja esittelee uuden aiheen, jota tunnilla käsitellään. Opettaja näyttää aiheesta muutamia esimerkkejä ja tämän jälkeen oppilaat saa- vat ratkaistavakseen oppikirjantehtäviä. Tunnin lopuksi annetaan kotitehtävät, jotka saatta- vat olla oppikirjassa jo valmiiksi merkattu. (Pehkonen ja Rossi 2007, 143-144.) Samaa to- teavat Tuohilampi ja Perkkinen (2017) toteavat ensimmäisenä matematiikan oppituntia miettiessä tulevan mieleen läksyn tarkistuksen, sen jälkeen uuden opettelun, itsenäisten tehtävien tekimisen ja viimeisenä läksyjen antamisen, joka kaikki tapahtuu oppikirjaan poh- jautuen. Tämän tyyppinen oppitunti on yleinen pohjoismaissa, sillä Nostrati ja Andrews (2018) ovat norjalaisten ja ruotsalaisten oppilaiden käsityksiä matematiikan oppitunneista tutkiessaan päässet samaan tulokseen. Suoraan tämän tyyppinen oppitunti noudattelee be- havioristista oppimiskäsitystä. Opetus on hyvin opettaja tai oppikirja johtoista, johon liittyy vahvasti oppilaille esitetyt kysymykset. Kysymyksien avulla on tarkoitus edistää syvällistä oppimista, koska oppilaat pohtivat asiaa aktiivisesti. Kysymyksiä voi toki esittää suullisesti tai kirjallisesti oppilaille yksin, pareittain tai ryhmänä ja niihin voi pyytää suullisen tai kirjalli- sen vastauksen (Mykrä ja Hätönen 2008, 22-23). Itse pidän oppimispelejäkin hyvin vahvasti behavioristisina, sillä niissä oppikirjojen tehtävät on siirretty vain teknologiseen ympäristöön ja ohjelmat vaativat oikean vastauksen, jotta tehtävissä pääsee eteenpäin. Oppimispeli on tapa tehdä mekaanisesta drillauksesta mielenkiintoista vaihtamalla perinteiset oppikirjan tehtävät mielenkiintoisiin peliympäristöihin. Peliympäristöjen mielenkiinto tukee positiivisten
27 asenteiden muodostumista matematiikkaa kohtaan. (Pehkonen ja Rossi 2007, 149.) Itse- näisten tehtävien apuna on hyvä käyttää myös kielentämistä. Kielentämistä voidaan hyö- dyntää monesta eri näkökulmasta matematiikan oppimisprosessien kannalta. Koska mate- matiikka on keinotekoinen symbolikieli, niin kielentämisellä pyritään ilmaisemaan mate- maattisen ajattelun ja oppimisprosessien kehittymistä. Tarkoitus on käsitteen oppiminen, joka tapahtuu vuorovaikutuksessa oppilastoverien kanssa. (Joutsenlahti ja Kulju 2015, 58 – 59.)
Matematiikassa on monia opetusmenetelmiä, jotka eivät sovi perinteisen oppitunnin ku- vaukseen. Tunnit noudattelevat kyllä perinteistä opetuskaavaa, mutta itse opetus tapahtuu oppilaslähtöisesti tai työskentelyvaihe sisältää tehtäviä oppikirjan ulkopuolelta. Tämän tyyp- piset nähdään konstruktiivisina tai sosiokonstruktiivisina. Opetuksessa voidaan käyttää opetuskeskustelua, tarinan kerrontaa tai mallinnusta. Työskentelyvaiheeseen on useampia keinoja, joita ovat muun muassa ongelmanratkaisu, tutkimukset ja projektityöt, ryhmätyös- kentely sekä flipped learning. Opetuksen missä tahansa vaiheessa voidaan käyttää apuna aktivoivia tehtäviä. Aktivoivat tehtävät voivat olla lähes mitä vain ja niissä käytetään paljon konkreettisia välineitä ja toiminnallisuutta opiskelun apuna. Ne yleensä yhdistyvät mallien tekoon, sillä niiden tarkoitus olisi tehdä muuta kuin oppikirjatyöskentelyä. (Pehkonen ja Rossi 2007, 148.)
4.3.1 Opetuskeskustelu ja tarinankerronta
Opetuskeskustelussa edetään opetuksen tavoitteiden suunnassa ja pyritään vuorovaiku- tukseen, joka edistää käsiteltävän asian oppimista. Varsinkin peruskoulussa keskustelua johdattelee opettaja, mutta oppilaat ovat myös vastuussa keskustelun sujuvuudesta. Ope- tuskeskustelun aikana täytyy ottaa huomioon toisten mielipiteet sekä selvittää ja ratkaista ongelmia erilaisten käsitysten pohjalta. Opetuskeskustelu voi olla myös dialogia, jossa ajat- telu on yhteistä ja vuorovaikutuksellisuus korostuu. Opetuskeskustelun lopputuloksena opi- taan käsiteltävää asiasisältöä, saadaan aikaan ratkaisu, tehdään päätös tai pohditaan asi- aan yhdessä syvällisen oppimisen mahdollistamiseksi. (Mykrä ja Hätönen 2008, 30.) Ope- tuskeskustelu voidaan nähdä myös aivoriihenä, jossa oppilaat tuottavat ideoita ja vaihtoeh-
28 toja vapaasti tehtävän ratkaisemiseksi (Mykrä ja Hätönen 2008, 49). Oppimistilanteissa op- pilaiden halu yhteiselle keskustelulle, jossa käydään läpi arkipäivän havaintoja, ja kokeelli- selle tilanteiden todistamiselle on yleistä (Pehkonen ja Rossi 2007, 148). Myös Sorvari (2007, 172) kertoo, kuinka oppilaiden välinen vuorovaikutus ei ollut pelkkää tiedon jaka- mista, vaan siinä sitouduttiin yhteisten ongelmien ratkaisemiseen. Opetuskeskustelu voi lähteä liikkeelle tarinasta. Tarinan kerronta on hyvä keino motivoida oppilaat mukaan aihee- seen ja se perustuu kokemukselliseen oppimiseen. Tarinan kerronnolla on vahva historial- linen tausta ja sen avulla tieto on kulkenut sukupolvelta toiselle. Heti, kun matemaattinen käsite on tarinan muodossa, se herää henkiin. (Puond ja Lee 2011, 66.)
4.3.2 Mallinnus
Mallinnusta on matemaattinen mallinnus ja arkielämän mallit. Arkielämän mallit eroavat ma- temaattisesta mallintamisesta mittakaavan vuoksi. Matemaattisessa mallintamisessakin py- ritään yhdistämään konkreettinen ja abstrakti matematiikka rakennuttujen mallien avulla (Pound ja Lee 2011, 52). Arkielämän mallit näyttävät paljon oppilaan osaamisesta, koska toiset tarvitsevat konkreettisia malleja laskemista varten ja toisille riittää kuva, josta voivat muodostaa laskutoimituksen. Konkreettisten apuvälineiden käyttö opetuksessa on hyvin suosittua, varsinkin nuorempien oppilaiden kanssa. Arkielämän malleina voidaan käyttää, vaikka maitopurkkeja, mutta matemaattisessa mallintamisessa käytetään hyväksi mittakaa- vaa ja sitä hyödynnetään lukujen suuruuden hahmottamisessa. (Pehkonen ja Rossi 2007, 147 – 148.) Arkielämän malleja löytyy paljon niin luokasta kuin luokan ulkopuoleltakin. Var- sinkin nuoremmat oppilaat hyödyntävät luokkahuonetta laskemisessa, jolloin luokasta etsi- tään tuttuja muotoja ja kappaleita. Varsinkin geometriassa mallinnuksessa voi hyödyntää myös kuvataidetta, jossa oppilaat luovat kaksiulotteisia kuvioita. Kuvioita voidaan hyödyn- tää symmetrian, pinta-alan, murtolukujen ja desimaalien opettelussa. (Holtzman ja Susholtz 2011, 12-13; 46-47; 57; 153.)
4.3.3 Ongelmanratkaisu
Ongelmanratkaisu on työtapa, jota on käytetty jo pitkään. Opettajan kannattaa keskustella luokan kanssa heidän erilaisista ratkaisuistaan erilaisiin ongelmiin. Ongelmana kuitenkin
29 on, että tehtävät esitetään sellaisenaan, mutta oppilaan tausta sekä taidot määrittävät onko kyseessä ongelmanratkaisu- vai rutiinitehtävä. Toisen ongelmanratkaisutehtävä voi olla toi- selle rutiinitehtävä. (Pehkonen ja Rossi 2007, 149; Pehkonen, Hannula ja Björkqvist 2007, 122.) Ongelmanratkaisun tukena voidaan käyttää ongelmanratkaisukarttaa, johon oppilaat keräävät muistiinpanoja ongelman ratkaisun avuksi. Sen avulla oppilaat voivat reflektoida, miten he ovat päässeet tiettyyn ratkaisuun ja missä kohtaa olisi voinut lähteä päättelyn kanssa toiseen suuntaan. (Leppäaho 2006, 129.) Ongelman löytäminen motivoi oppilaita ongelmanratkaisuun, sillä matematiikassa on yhtä tärkeää luoda kysymyksiä kuin vastata niihin. Kysymyksen luonti on iso osa merkityksen rakentumista. (Pound ja Lee 2011, 25- 26.)
4.3.4 Tutkimukset ja projektityöt
Tutkiva matematiikka oppilaslähtöinen ja vuorovaikutusta korostava opetusmenetelmä, jonka oppitunnit rakentuvat kolmesta osasta, alustus-, tutkimus- ja koontivaiheesta. Alus- tusvaiheessa opettaja antaa oppilaille tehtävät, jotka he varmasti ymmärtävät, mutta ei näi- hin mitään ratkaisumalleja tai esimerkkejä, sillä tutkimisvaiheessa oppilaat ratkaisevat teh- täviä pienissä ryhmissä. Koontivaiheessa käydään oppilaiden ratkaisumenetelmiä läpi käyt- täen oikeita matemaattisia merkintöjä, joiden pohjalta opettaja tiivistää tunnin aiheen. (Harri, Sironen, Hähkiöniemi & Viiri 2012, 14-15.) Tutkimuksien tarkoitus on avoimien ongelmien tutkiminen, jolloin alku- tai lopputilanteita voi olla useampia. Näihin annetaan yleensä läh- töpiste ja ohjeita, mihin suuntaan jatkaa. Tutkimuksiakin on erilaisia, kuten valmiiksi mietityt ja vapaasti muotoutuvat. Vapaasti muotoutuvat vaativat oppilaalta enemmän tiedon raken- telua. Tutkimukset antavat hyviä tilaisuuksia oppilaille käyttää ongelmanratkaisutaitojaan.
Voidaan puhua myös tutkivasta oppimisesta, jossa työskennellään yhteisen toiminnan koh- teen parissa. Kohteen ajattelun malleja pyritään ymmärtämään ja selittämään, joista kes- kustellaan sekä neuvotellaan syvemmän ymmärryksen saamiseksi. (Lonka 2011, 349.) Projektityöt ovat suosittuja monissa oppiaineissa ja saman tyyppisiä tutkimuksien kanssa.
Ne ovat hyödynnettävissä opetussuunnitelman vaatimissa monialaisissa oppimiskokonai- suuksissa, joissa rikotaan oppiaineiden välisiä rajoja. Projektityötä tehdessään oppilaat saavat toimia hyvin itsenäisesti. (Pehkonen ja Rossi 2007, 150.)
30 4.3.5 Ryhmätyöskentely
Ryhmätyöskentelyä voidaan käyttää erilaisten tehtävätyyppien kanssa. Se vaatii osallistu- jiltaan ryhmätyö- ja vuorovaikutustaitoja sekä parhaimmillaan kaikkien ryhmän jäsenten ta- savertaista osallistumista työskentelyyn. Ryhmät voivat työskennellä samassa tilassa, jol- loin opettajan on niitä helpompi valvoa ja ohjata työskentelyä. Ryhmätyöskentelyssä on tär- keää aktivoida ryhmän jäsenten omaa ajattelua. (Mykrä ja Hätönen 2008, 36; 39.) Po- rinaryhmät ovat lyhyt ryhmätyöskentelyn muoto, jossa keskustellaan pienessä ryhmässä hetken aikaa. Niiden tarkoitus on aktivoida ajattelua ja tuoda esille useita näkökantoja ja ideoita. (emt, 41.) Kumuloituvassa ryhmässä jokainen ajattelee ensin asiaa itsenäisesti, tä- män jälkeen ajatukset pitää yhdistää parin kanssa, jonka jälkeen ajatukset yhdistetään toi- sen parin kanssa muodostaen neljän hengen ryhmän. Ryhmiä voidaan yhdistää, kunnes on saatu luotua esimerkiksi koko luokan yhteinen mielipide asiasta. (emt, 44.) Reflektiivinen ryhmätyöskentely pakottaa oppilaat kuuntelemaan muiden mielipiteitä ja esittämään omi- aan. Äänessä on vain yksi ryhmä kerrallaan ja joka ryhmällä on asiaan liittyen eri näkö- kulma, josta asiaa käsittelevät. (emt, 46.) Kaikkien ryhmätöiden tuotoksista voidaan järjes- tää näyttely, jossa ryhmien tuotokset toimivat yhteisenä oppimismateriaalina. Ryhmistä muodostetaan uudet ryhmät siten, että ryhmän jäsenet ovat kaikki työskennelleet aluksi eri ryhmissä ja voivat näin toimia alkuperäisen ryhmänsä tuotoksen esittelijöinä. (Mykrä ja Hä- tönen 2008, 64.)
4.3.6 Flipped learning
Kaikkia eri opetusmenetelmiä voi vielä monipuolistaa käyttäen esimerkiksi flipped learning menetelmää tai varikkofilosofiaa. Flipped learning sopii hyvin silloin kuin ei osaa arvioida, kuinka kauan kukin oppilas käyttää tehtävään. Menetelmän ideana on orientoitua uuteen asiaan kotona ennen opetusta, jossa yhdistetään kaikkien oppilaiden oppima tieto. Saman tyyppiseen työskentelyyn pohjaa varikkofilosofia, joka sopii myös hyvin niin yksittäisten op- pilaiden kuin ryhmienkin kanssa hyödynnettäväksi. Tällöin oppilaat opiskelevat itsenäi- sesti/ryhmissään ja opettaja on tietyssä sovitussa paikassa, josta voi käydä hakemassa apua, kun kokee sitä tarvitsevansa. (Bergmann ja Sams 2015, 5 - 6; Haapasalo 2013)
31 4.3.7 Kielentäminen
Matemaattisen käsitteen kielentäminen on osa oppilaan konstruointiprosessia. Oppilas jou- tuu pohtimaan käsitteen keskeisiä piirteitä sekä reflektoimaan ja jäsentämään omaa mate- maattista ajatteluaan. Oppilas saa ilmaista opiskeltavan käsitteen haluamallaan tavalla (pu- huen, piirtäen, omin termein jne.), jolloin opettaja ja muut oppilaat saavat kuvan käsitteen ymmärtämisestä. Muut oppilaat voivat myös verrata oppimansa käsitteen sisältöä toisen oppilaan ilmaisuun ja näin syntyvän keskustelun pohjalta muovataan kaikkien käsitteen si- sältöä. Tämä rinnastetaan myös opetuskeskusteluksi. (Joutsenlahti 2003, 8.) Koska oppi- tunnin aikana isommissa luokissa vain osa oppilaista pääsee kielentämään ajatteluaan koko luokalle, niin sitä on hyvä opettaa selostamaan vaihe vaiheelta vihkoon. Oppilas voi tehdä väliotsikoita sekä kommentteja ja perusteluita, mitä hän on missäkin vaiheessa las- kenut. Näin opettaja voi paremmin arvioida jokaisen oppilaan ajatteluprosessia ja pystyy antamaan rakentavampaa palautetta. Oppilas on myös helpompi ohjata oikean tasoisiin tehtäviin, kun ajattelun taso on selvillä. (Joutsenlahti 2003, 10; Forsblom 2003, 132.)
