Heiton tuloksen mallinnus kyykässä

Laskennallisen tekniikan koulutusohjelma Kandidaatinty¨o

Karoliina Varso

Heiton tuloksen mallinnus kyyk¨ass¨a

Ohjaajat: TkT Jouni Sampo FT Kirsi Ikonen

Lappeenrannan–Lahden teknillinen yliopisto LUT LUT School of Engineering Science

Laskennallisen tekniikan koulutusohjelma Karoliina Varso

Heiton tuloksen mallinnus kyyk¨ass¨a

Kandidaatinty¨o 2020

33 sivua, 17 kuvaa

Ohjaajat: TkT Jouni Sampo FT Kirsi Ikonen

Avainsanat: kyykk¨a; mallinnus; simulaatio; matemaattinen malli

T¨ass¨a kandidaatinty¨oss¨a kehitettiin yksinkertaistettu malli kyykk¨apelin heittotilanteesta. Ta- voitteena oli tutkia kehitetyn mallin avulla, miten erilaiset parametrit vaikuttavat heiton on- nistumiseen. K¨aytettyj¨a parametereja olivat kartun heittonopeus, py¨orimisnopeus sek¨a etene- missuunta. Heiton laatua tarkasteltiin pelialueelta poistettujen kyykkien lukum¨a¨ar¨all¨a. Mit¨a enemm¨an heitolla saatiin kyykki¨a ulos pelialueelta, sit¨a onnistuneempi heitto oli. Vaikka malli olikin hyvin yksinkertainen, saatiin tuloksiin huomattavaa vaihtelua parametreja muut- tamalla. Tulokset osoittivat, ett¨a mallissa huomioiduista parametreista heiton onnistumiseen herkimmin vaikuttavat tekij¨at olivat kartun etenemis- ja py¨orimisnopeus. My¨os heiton suun- nan muutokset vaikuttivat tuloksiin, mutta vain kun kyykki¨a oli tietyll¨a sektorilla.

Symboli- ja lyhenneluettelo 5

1 JOHDANTO 6

1.1 Tutkimusongelma, tavoitteet ja rajaus . . . 6

1.2 Tutkimusj¨arjestelyt . . . 7

2 MALLIN TAUSTA/TEORIA 9 2.1 Kyyk¨an pelis¨a¨ann¨ot . . . 9

2.2 Mallin fysiikka . . . 10

3 SIMULAATIO 14 3.1 Heittotilanne . . . 14

3.2 Osumatilanne . . . 15

3.3 Osuman j¨alkeinen tilanne . . . 16

4 SIMULOIDUT TULOKSET 19 4.1 Aloitusasetelma . . . 19

4.2 Etenemisnopeuden vaikutus heittotulokseen . . . 20

4.3 Kulmanopeuden vaikutus heittotulokseen . . . 21

4.4 Alkukulman vaikutus heittotulokseen . . . 22

4.5 Satunnaisen vaihtelun vaikutus optimaalisilla heittoparametreilla saavutetta- vaan heittotulokseen . . . 23

5 JOHTOP ¨A ¨AT ¨OKSET 30

6 YHTEENVETO 32

KUVAT 34

a Kiihtyvyys F_µ Kitkavoima

g Putoamiskiihtyvyys I Impulssi

J Hitausmomentti

l Kartun puolikkaan pituus

m Massa

ˆ

n Pinnan normaalivektori N Normaalivoima

r Et¨aisyys kappaleen keskipisteest¨a sen reunaan s Kartun osmuakohdan et¨aisyys keskipisteest¨a t Aika

v Nopeus

α Kyyk¨an l¨aht¨oasentoa kuvaava kulma µ Kitkakerroin

ω Kulmanopeus

θ Kyyk¨an etenemissuuntaa kuvaava kulma

1 JOHDANTO

Kyykk¨a on perinteinen ulkona pelattava, alkujaan karjalainen joukkuelaji. Pelin tarkoituk- sena on tyhjent¨a¨a vastustajan pelineli¨o sylinterinmuotoisista puisista kyykiksi kutsutuista peliv¨alineist¨a. T¨am¨a tulee tehd¨a heitt¨am¨all¨a niit¨a kartulla, eli er¨a¨anlaisella puisella mailalla (kuva 1). Pelineli¨on tyhjent¨amiseen pyrit¨a¨an mahdollisimman v¨ahin heitoin.

Kyykk¨a¨a pelataan yleisesti pari- tai nelinpelin¨a, mutta my¨os yksil¨osuorituksiin perustuvia kilpailuja j¨arjestet¨a¨an. Nykyisin kyykk¨a on suosittu harrastus erityisesti tekniikan alan yliopisto- opiskelijoiden keskuudessa.

Kuva 1.Tavanomainen kartun heittotilanne (kuvaaja Miika Tiainen).

1.1 Tutkimusongelma, tavoitteet ja rajaus

Tutkimuksen tavoitteena on selvitt¨a¨a, miten erilaiset heittoon liittyv¨at muuttujat vaikuttavat kyykk¨apelin pelaajan heiton onnistumiseen. T¨at¨a varten kehitet¨a¨an heittotilannetta simuloi- va MATLAB-ohjelma. Sen avulla voidaan vertailla, miten erin¨aisten heittoon vaikuttavien tekij¨oiden muutokset lopulta vaikuttavat heitolla saavutettavaan lopputulokseen.

Tarkasteltavien heittoon vaikuttavien tekij¨oiden m¨a¨ar¨a¨a rajataan niin, ett¨a ty¨oss¨a huomioi- daan vain ne tekij¨at, jotka vaikuttavat heittoon eniten. T¨am¨an ty¨on kannalta t¨arkeimpin¨a te- kij¨oin¨a voidaan pit¨a¨a kartun etenemis- ja py¨orimisnopeutta, sek¨a kartun etenemissuuntaa.

Lis¨aksi kyykk¨akent¨an pinnan materiaalin vaikutus otetaan mallissa huomioon kitkakertoi- men avulla. Kartun mallintamisessa otetaan huomioon lis¨aksi sen hitausmomentti, eli kartun muodon ja massan vaikutus. Kyyk¨an ja kartun t¨orm¨ayksess¨a otetaan huomioon t¨orm¨ayksen kimmoisuus.

Simulaation malli on siis kohtalaisen yksinkertainen, eik¨a se siten vastaa t¨aydellisesti todel- lisia heitto-olosuhteita. Todellisuudessa heittoon vaikuttaa luonnollisesti my¨os moni sattu- maan pohjautuva tekij¨a - niiden vaikutusta ei tarkastella t¨ass¨a ty¨oss¨a. Tutkimuksen tavoittee- na ei ole tuottaa t¨aysin realistista kuvaa pelitilanteesta.

Todellisuudessa t¨allaisen pelin realistinen mallintaminen on haastavaa, sill¨a heittotilanne on kaoottinen. Edes kuvitteellisessa tilanteessa, jossa kartun voisi heitt¨a¨a joka kerta t¨aysin sa- malla tavalla, olisi heittotilanteen mallintaminen t¨aysin realistisesti mahdotonta. Ty¨ot¨a jou- dutaan siten rajaamaan, jotta toteutettavalla simulaatiolla saadaan tuotettua hy¨odynnett¨aviss¨a olevia tuloksia.

Ty¨o rajataan siten, ett¨a kaikki s¨a¨aolosuhteista johtuvat seikat, kuten ilmanvastus j¨atet¨a¨an huo- mioimatta.

Kartun k¨aytt¨aytymist¨a maahan osuessa ei oteta huomioon, sill¨a t¨am¨an ty¨on tarkastelu tehd¨a¨an t¨aysin kaksiulotteisesti. Kartun tarkka k¨aytt¨aytyminen sen osuessa maahan on hyvin moni- mutkainen tilanne, eik¨a sen mallintaminen mahtuisi t¨am¨an ty¨on laajuuteen. My¨osk¨a¨an kartun liikkeeseen vaikuttavia kitkavoimia ei huomioida t¨ass¨a ty¨oss¨a.

Koska mallinnus tehd¨a¨an kaksiulotteisena, ei huomioon oteta my¨osk¨a¨an kyykkien py¨orimist¨a tai liikett¨a z-suunnassa. Toisin sanoen ty¨oss¨a oletetaan, ett¨a kyyk¨an l¨ahtiess¨a liikkeelle se liu- kuu alustaa pitkin siihen asti kunnes se pys¨ahtyy. Mallissa ei my¨osk¨a¨an oteta huomioon sit¨a, ett¨a kyykki¨a on aloitustilanteessa kaksi p¨a¨allekk¨ain. Jos p¨a¨allekk¨aisyys huomioitaisiin mal- lissa, olisi v¨altt¨am¨at¨ont¨a tehd¨a useita oletuksia ja yksinkertaistuksia, jolloin kahden kyyk¨an p¨a¨allekk¨aisyys ei toisi luotettavaa lis¨aarvoa mallilla tuotettaviin tuloksiin.

1.2 Tutkimusj¨arjestelyt

Tutkitaan erilaisten heittoon liittyvien parametrien kombinaatioita simulaation avulla ja ver- rataan lopputuloksia toisiinsa.

Tutkimuksen tulokset perustuvat sit¨a varten toteutetun simulaation pohjalta saatuihin tulok- siin. Simulaatio tehd¨a¨an MATLAB-ohjelmistolla ja sen avulla voidaan mallintaa heittotilan- netta t¨am¨an ty¨on rajauksen mukaisella tarkkuudella.

2 MALLIN TAUSTA/TEORIA

2.1 Kyyk¨an pelis¨a¨ann¨ot

Kyyk¨an s¨a¨ann¨ot ovat hieman erilaiset naisten ja miesten osalta sek¨a yksin- ja joukkuepelin osalta. T¨ass¨a ty¨oss¨a on tarkasteltu kyyk¨an heittoa joukkuepeliss¨a, miehen heitt¨am¨an¨a.

Joukkuepeliss¨a kyykki¨a on kummankin puolen pelineli¨oss¨a 40 kappaletta. Ne on pinottu pareittain pelineli¨on sis¨areunalle tasaisin v¨alimatkoin kuvan 2 mukaisesti. Pelineli¨ot ovat kooltaan 5m×5m. [1]

Kuva 2. Kyykk¨akentt¨a sek¨a sen dimensiot metrein¨a. Miesten heittoviiva on kuvattu sinisell¨a, nais- ten keltaisella katkoviivalla ja kyyk¨at on merkitty punaisella. Selkeyden vuoksi kuvaan on piirretty heittoviivat vain toiselle puolelle ja kyyk¨at vastakkaiselle puolelle pelikentt¨a¨a.

Peliss¨a tavoitteena on tyhjent¨a¨a vastustajan pelineli¨o kyykist¨a heitt¨am¨all¨a karttua. Mit¨a enem- m¨an kyykki¨a saadaan pois pelin aikana ja mit¨a v¨ah¨aisemm¨all¨a heittom¨a¨ar¨all¨a tyhjent¨aminen onnistuu, sit¨a parempi.

Peli aloitetaan heitt¨am¨all¨a aloitusheitto. Miehet heitt¨av¨at aloitusheiton pelineli¨on takarajalta ja naiset miesten heittoviivalta. Seuraavat heitot heitet¨a¨an kuvan 2 mukaisilta heittolinjoilta.

2.2 Mallin fysiikka

Kiihtyvyydena(t), nopeuden v(t) ja paikan x(t)yht¨al¨oiden v¨alill¨a on yhteys. Integroimalla kiihtyvyyden ajan suhteen saadaan selville nopeuden yht¨al¨o

v(t) =v₀+at, (1)

jossa v₀ on nopeus ajan hetkell¨at =0. Kiihtyvyyden a oletetaan olevan t¨ass¨a tapauksessa vakio.

Kun yht¨al¨o (1) integroidaan ajan suhteen, saadaan paikan yht¨al¨o

x(t) =x₀+v₀t+1

2at², (2)

jossax₀on paikka ajan hetkell¨at=0.

Ympyr¨an keskipisteyht¨al¨on avulla voidaan selvitt¨a¨a, mitk¨a pisteet(x,y)sijaitsevat ympyr¨an keh¨all¨a

(x−x₀)²+ (y−y₀)²−r²=0, (3)

miss¨a (x₀,y₀) on ympyr¨an keskipiste ja r ympyr¨an s¨ade. Kun yht¨al¨on (3) vasen puoli on negatiivinen, piste(x,y) on ympyr¨an keh¨an sis¨apuolella ja kun vasen puoli on positiivinen, on piste puolestaan keh¨an ulkopuolella.

Kartun osuessa kyykk¨a¨an molempiin kappaleisiin vaikuttaa saman suuruinen voimaFNew- tonin III lain mukaan. T¨am¨an voiman vaikutuksesta molempien kappaleiden nopeudet muut- tuvat t¨orm¨ayksen j¨alkeen. Koska t¨at¨a voimaaF ei pystyt¨a laskemaan, k¨aytet¨a¨an impulssipe- riaatetta, jonka avulla voiman impulssi pystyt¨a¨an m¨a¨aritt¨am¨a¨an ilman, ett¨a tarvitsee tuntea voimaaF[2][3]. Impulssin avulla pystyt¨a¨an laskemaan kappaleille t¨orm¨ayksen j¨alkeiset no-

peudet yht¨al¨oill¨a

v⁰₁=v₁− I

m₁ˆn (4)

v⁰₂=v₂+ I

m₂ˆn, (5)

miss¨av⁰₁on kartun jav⁰₂kyyk¨an nopeus t¨orm¨ayksen j¨alkeen,v₁jav₂nopeudet ennen t¨orm¨ayst¨a, m₁kartun massa,m₂kyyk¨an massa,It¨orm¨ayksen impulssi ja ˆnt¨orm¨ayksen normaali.

Vastaavasti pystyt¨a¨an laskemaan t¨orm¨ayksen j¨alkeiset kulmanopeudet yht¨al¨oill¨a ω₁⁰ =ω1− I

J₁(r₁׈n) (6)

ω₂⁰ =ω2+ I

J₂(r₂׈n), (7)

miss¨aω₁⁰ on kartun jaω₂⁰ kyyk¨an kulmanopeudet t¨orm¨ayksen j¨alkeen,ω₁jaω₂kulmanopeu- det ennen t¨orm¨ayst¨a, J₁ ja J₂ kappaleiden hitausmomentit, r₁ vektori kartun keskipisteest¨a osumakohtaan jar₂vektori kyyk¨an keskipisteest¨a osumakohtaan.

Koska kyykk¨a on alkuhetkell¨a paikallaan, sen kulmanopeus ω2=0. Kyyk¨an keskipisteen ja osumakohdan v¨alinen vektori r₂ on yhdensuuntainen t¨orm¨ayksen normaalin ˆn kanssa (kuva 3), jolloin n¨aiden ristitulo r₂׈n=0. N¨ain ollen kyyk¨all¨a ei ole alussa eik¨a lopus- sa py¨orimisnopeutta, sill¨a malli ei ota huomioon t¨orm¨ayksen kitkaa.

ˆn

r

r

v

ω

× r

Kuva 3.T¨orm¨ayksen impulssiin vaikuttavat tekij¨at.

T¨orm¨ayksess¨a kartun koko nopeus ennen t¨orm¨ayst¨av_p1saadaan yhdist¨am¨all¨a py¨orimisnopeus ω₁ja etenemisnopeusv₁:

v_p1=v₁+ω₁×r₁. (8)

T¨orm¨a¨avien pintojen suhteellinen t¨orm¨aysnopeus saadaan yht¨al¨oll¨a

v_r=v_p2−v_p1, (9)

miss¨av_p2 =0, sill¨a kyykk¨a on ennen t¨orm¨ayst¨a levossa. Samalla tavalla saadaan laskettua t¨orm¨ayksen j¨alkeen pintojen suhteellinen nopeus:

v⁰_r=v⁰_p2−v⁰_p1. (10) Ja kun viel¨a otetaan t¨orm¨ayksen kimmoisuusehuomioon, saadaan nopeuksille t¨orm¨ayksen normaalin suhteen:

v⁰_r·ˆn=−ev_r·ˆn. (11)

Ratkaistaanv⁰_rsijoittamalla yht¨al¨o¨on (10) yht¨al¨ot (4 - 9) v⁰_r=v⁰_p2−v⁰_p1

=v⁰₂+ω₂⁰×r₂−v⁰₁−ω₁⁰×r₁

=v⁰₂−v⁰₁−ω₁⁰×r₁

=v₂+ I

m₂ˆn−v₁+ I

m₁ˆn−(ω₁− I

J₁(r₁׈n))×r₁

v⁰_r= I

m₂ˆn−v₁+ I

m₁ˆn−ω₁×r₁+ I

J₁(r₁׈n)×r₁, (12)

jossav₂=0 jaω₂⁰×r₂=0.

Sijoittamalla yht¨al¨o¨on (11) yht¨al¨ot (9) ja (12), saadaan ratkaistua t¨orm¨ayksen impulssi

( I

m₂ˆn−v₁+ I

m₁ˆn−ω₁×r₁+ I

J₁(r₁׈n)×r₁)·ˆn=−e(−v₁−ω₁×r₁)·ˆn I

m₂−v₁·ˆn+ I

m₁−(ω₁×r₁)·ˆn+ I

J₁(r₁׈n)×r₁

·ˆn=e(v₁+ω₁×r₁)·ˆn

I m₂+ I

m₁+ I

J₁(r₁׈n)×r₁

·ˆn=e(v₁+ω₁×r₁)·ˆn+v₁·ˆn+ (ω₁×r₁)·ˆn I

"

1 m₂+ 1

m₁+ 1

J₁(r₁׈n)×r₁

·ˆn

#

= (e+1)(v₁+ω1×r₁)·ˆn

I= (e+1)(v₁+ω₁×r₁)·ˆn

1 m2 +_m¹

1 +h

1

J1(r₁׈n)×r₁i

·ˆn

. (13)

Kyyk¨an (kuva 4) liikett¨a kent¨all¨a vastustaa kitkavoimaF_µ, joka on puusta valmistetun kyyk¨an ja kent¨an pinnan v¨alisen kitkakertoimenµ, sek¨a kyyk¨an pohjaa kohtisuorassa olevan normaa- livoimanN tulo, eli

F_µ=µN. (14)

N

F

v

Kuva 4.Kyykk¨a ja sen liikkeeseen vaikuttavat voimat t¨orm¨ayksen j¨alkeen.

Normaalivoima on kappaleen painovoiman suuruinen, mutta vastakkaissuuntainen Newtonin III lain mukaisesti. T¨all¨oin normaalivoimaNvoidaan esitt¨a¨a muodossa

N=−mg, (15)

miss¨amon kappaleen massa jagputoamiskiihtyvyys.

Newtonin II lain mukaan kappaleeseen vaikuttava voimaF antaammassaiselle kappaleelle kiihtyvyydena

F=ma. (16)

Yht¨al¨oist¨a (14 - 16) saadaan selvitetty¨a kitkan aiheuttama, kappaleen liikett¨a pinnalla vas- tustava kiihtyvyys.

3 SIMULAATIO

Simulaation matemaattinen malli jaetaan kolmeen eri osakokonaisuuteen: heitto, osuma ja osuman j¨alkeinen tilanne.

3.1 Heittotilanne

Heittotilannetta tarkastellaan siten, ett¨a kartun (kuva 5) etenemiseen liittyv¨at parametrit tun- netaan, jolloin tiedet¨a¨an aina tarkasti mihin sijaintiin karttu p¨a¨atyy.

x y

α

(x_{k p},y_{k p}) l

Kuva 5.Kartusta luotu kaksidimensioinen malli, joka ottaa huomioon ainoastaan kartun sen reunan, joka osuu kyykkiin. Kuvaan on merkitty kartun puolikkaan pituusl, sek¨a kartun kulmaαja keskipis- teen sijainti(xk p,yk p)yksitt¨aisell¨a ajan hetkell¨a.

Integroimalla kulmanopeusω ajan suhteen pystyt¨a¨an m¨a¨aritt¨am¨a¨an, miss¨a asennossa karttu on kullakin ajan hetkell¨at. Kun tiedet¨a¨an miss¨a asennossa karttu heitt¨aj¨an k¨adest¨a l¨ahtee, eli tunnetaan kartun asentoa kuvaava alkukulmaα₀, saadaan kulman yht¨al¨oksi

α(t) =α₀+ωt. (17)

T¨ast¨a pystyt¨a¨an m¨a¨aritt¨am¨a¨an kartun alku- ja loppup¨a¨alle yht¨al¨ot

p_alku=p_{k p}+l[cos(α), sin(α)] (18)

p_loppu=p_{k p}−l[cos(α), sin(α)] (19)

miss¨ap_{k p}= [x_{k p},y_{k p}]on kartun keskipisteen koordinaatit jalkartun puolikkaan pituus (kuva 5).

Skalaarisen etenemisnopeudenvja etenemist¨a kuvaavan suuntakulmanθavulla saadaan las- kettua kartun etenemisnopeuden vektori

v=v[cos(θ), sin(θ)]. (20)

Koska kartun etenemisess¨a ei oteta huomioon hidastavia tekij¨oit¨a, kuten ilmanvastusta, ei kartulla t¨all¨oin ole kiihtyvyytt¨a. T¨am¨an vuoksi kartun etenemisnopeudet x- ja y-suuntaan ovat vakioita.

Integroimalla yht¨al¨o (20), saadaan m¨a¨aritelty¨a kartun keskipisteen sijainti kullakin ajan het- kell¨at, kun kartun keskipisteen koordinaatitp₀= [x₀,y₀]tunnetaan ajan hetkell¨at=0

p_{k p}(t) =p₀+vt. (21)

3.2 Osumatilanne

Etenemisnopeudenvavulla lasketaan aika, joka kartulla kest¨a¨a lent¨a¨a heittoviivalta kyykkiin asti. Ajan hetke¨atkasvatetaan niin kauan, ett¨a karttu on varmasti osunut johonkin kyykk¨a¨an.

T¨am¨a toteutetaan m¨a¨arittelem¨all¨a kartulle pistepareja ajan hetkell¨at ja tarkastamalla, osuiko jokin niist¨a kyyk¨an keh¨alle tai sen sis¨apuolelle. Sijoittamalla kartun pistepareja ja kyykkien keskipisteit¨a ympyr¨an keskipisteyht¨al¨o¨on, saadaan se muotoon

(x_ka−x_ky)²+ (y_ka−y_ky)²−r²≤0, (22)

miss¨a(x_ka,y_ka)on kartun pistepari,(x_ky,y_ky)on kyyk¨an keskipiste jarkyyk¨an s¨ade. Yht¨al¨on ollessa nolla tai pienempi, karttu on osunut kykk¨a¨an (kuva 6) ja kyyk¨an keskipisteen avulla selvi¨a¨a mihin kyykk¨a¨an karttu ensimm¨aisen¨a osuu.

Seuraavaksi tarkennetaan osumahetke¨a ja -kohtaa muuttamalla kartun pistepari ajasta riip- puvaiseksi

(x_{k p}(t) +scos(α(t))−x_ky)²+ (y_{k p}(t) +ssin(α(t))−y_ky)²−r²=0, (23)

miss¨a kuvan 6 mukaisesti (x_{k p}(t),y_{k p}(t))on yht¨al¨ost¨a (21) ratkaistu kartun keskipiste het- kell¨at,s osumakohdan et¨aisyys kartun keskipisteest¨a,r kyyk¨an s¨ade ja α(t)yht¨al¨ost¨a (17) ratkaistu kartun asentoa kuvaava kulma hetkell¨at.

(x

, y

) (x

, y

)

s r

Kuva 6. Kyyk¨an ja kartun osumatilanne. Kuvaan on merkitty kartun keskipiste, osumakohdan et¨aisyys kartun keskipisteest¨a, sek¨a kyyk¨an s¨ade ja keskipiste.

Tilannetta l¨ahdet¨a¨an tarkastelemaan hetkell¨a, jolloin karttu ei ole viel¨a osunut kyykkiin. T¨at¨a hetke¨at l¨ahdet¨a¨an kasvattamaan pienin askelin ja tarkastellaan, mill¨at:n arvolla yht¨al¨o (23) tuottaa mahdollisimman pienen arvon. Tulos olisi mahdollisimman optimaalinen, jos yht¨al¨o saataisiin yht¨asuureksi kuin nolla, mutta ohjelman laskentatarkkuuden takia rajaksi asetetaan 0,0001. Jokaista yht¨al¨on tuottamaa vastausta verrataan toisiinsa ja niist¨a valitaan pienin mah- dollinen. T¨at¨a arvoa vastaava et¨aisyys kyyk¨an keskipisteest¨asja ajan hetkitotetaan talteen.

K¨ayt¨ann¨oss¨askertoo, mik¨a kohta kartusta osuu kyykk¨a¨an jat tarkemman osumahetken.

3.3 Osuman j¨alkeinen tilanne

T¨orm¨ayksen tapahduttua tutkitaan, mihin kyykk¨a liikkuu osuman j¨alkeen. Kyyk¨an suunta selvitet¨a¨an laskemalla kartun osumakohtaa kohtisuorassa oleva suuntavektoriu(kuva 7).

u x

y

Kuva 7.Kyyk¨an kulkusuunnan osoittava suuntavektori t¨orm¨ayksen j¨alkeen.

M¨a¨aritet¨a¨an ensin kartulle suuntavektoriv_k, kun tiedet¨a¨an kartun alku- ja loppup¨a¨an koordi- naatit. T¨at¨a suuntavektoria kohtisuorassa oleva vektori saadaan, kun vektorien pistetulo on 0, eli kun

x_k·x_o+y_k·y_o=0, (24)

miss¨a(x_k,y_k)on kartun suuntavektorinijajkomponentit ja(x_o,y_o)kyyk¨an liikkeen suunta- vektorinijajkomponentit. Voidaan olettaa, ett¨ax_oon positiivinen (etenmissuunta x-akselin suuntaan), elix_o=1. T¨all¨oin yht¨al¨o (24) saadaan yksinkertaistettua muotoon

y_o=−x_k

y_k. (25)

Ratkaisemalla yht¨al¨o (25) saadaan selville kyyk¨an suuntavektori

u=x_oi+y_oj, (26)

joka normitetaan yksikk¨ovektorin pituiseksi ˆu= u

|u|. (27)

Kyyk¨an etenemisnopeus t¨orm¨ayksen j¨alkeen saadaan yht¨al¨oll¨a (5).

Yht¨al¨oiden (14), (15) ja (16) avulla saadaan ratkaistua kyyk¨an etenemist¨a vastustava kiihty- vyys

a_µ=−µg, (28)

miss¨aµon puun ja pinnan v¨alinen kitkakerroin[4].

Sijoittamalla kyyk¨an suuntavektori (27), nopeus (5) ja kiihtyvyys (28) yht¨al¨o¨on (2), saadaan kyyk¨an keskipistett¨a (x, y) ajan hetkell¨at kuvaavat yht¨al¨ot

x=x_ky+ˆu(1)(v_kyt−1

2at²) (29)

y=y_ky+ˆu(2)(v_kyt−1

2at²). (30)

Yht¨al¨oiden (29) ja (30) avulla saadaan m¨a¨aritelty¨a kyyk¨an lopullinen paikka sen pys¨ahtyess¨a, eli sill¨a ajan hetkell¨a t kunv_ky(t) =0.

Kun karttu on osunut ensimm¨aiseen kyykk¨a¨an, p¨aivitet¨a¨an kartun etenemis- ja py¨orimisnopeu- det yht¨al¨oill¨a (4) ja (7). T¨all¨oin voidaan huomioida mahdolliset seuraavat osumat kartun ete- nemiseen liittyvien parametrien muutokset huomioon ottaen. Tarkastelua jatketaan niin kau- an, ett¨a karttu ei voi en¨a¨a osua uusiin kyykkiin.

4 SIMULOIDUT TULOKSET

Simulaatioissa tarkastellaan kolmea heittotilanteeseen liittyv¨a¨a muuttujaa: etenemisnopeutta v, kulmanopeuttaω ja l¨aht¨osuuntaaθ. N¨aist¨a jokaisesta on otettu 20 eri arvoa tasaisesti so- pivilta v¨aleilt¨a (taulukko 1).

θ:n vaihteluv¨ali on saatu laskemalla kulma, joka syntyy heittoviivan keskipisteen ja kyykk¨ari- vin reunan v¨alille. T¨am¨a kulma on sama molemmin puolin. Kartun kulmanopeus ja etene- misnopeus ovat silm¨am¨a¨ar¨aisesti p¨a¨atelty aidoista heittotilanteista ja niihin on lis¨atty hieman vaihtelua, jotta saadaan silm¨am¨a¨ar¨aisen tarkastelun ep¨avarmuutta pienennety¨a tutkimuksen tuloksissa.

Taulukko 1.Heittoon vaikuttavien parametrien vaihteluv¨alit.

Muuttuja Vaihteluv¨ali ω (rad/s) [π3π]

v(m/s) [7 15]

θ(rad) [-0.2 0.2]

4.1 Aloitusasetelma

L¨aht¨otilanteessa kaikki kyyk¨at ovat riviss¨a viivalla, kuten kuvassa 2.

Aluksi testattiin mill¨a alkunopeuksilla saadaan parhaat tulokset, kun muut muuttujat pidet¨a¨an vakioina. N¨aihin nopeuksiin lis¨at¨a¨an 20 erilaista kohinan arvoa v¨alilt¨a [-0.1 0.1]. N¨aill¨a uusil- la kohinaisilla arvoilla lasketaan 20 tulosta, joista lasketaan keskiarvo. N¨aist¨a saadaan jokai- selle optimille nopeudelle kohinan vaikutuksesta johtuvaa vaihtelua, jolloin n¨ahd¨a¨an kuinka herkki¨a tulokset ovat nopeuden satunnaiselle muutokselle.

Sama testi toistetaan nelj¨all¨a eri kulmanopeudella:ω = [π, 2π, ⁵₂π, 3π].

4.2 Etenemisnopeuden vaikutus heittotulokseen

Kuvasta 8 n¨ahd¨a¨an, ett¨a eniten parhaita heittoja (8 kpl) saatiin, kunω = ⁵₂π (kuvassa har- maalla). V¨ahiten parhaita heittoja (3 kpl) saatiin, kun kulmanopeus oli suurin, eli ω =3π.

Kuvasta n¨ahd¨a¨an my¨os, ett¨a heiton tulos on herkempi muutokselle suurilla etenemisnopeuk- silla.

Kuva 8.Heiton tulokset eri alkunopeuksilla, kun optimoituihin nopeuksiin on lis¨atty kohinaa. Yksi palkki kuvaa yhden optiminopeuden ja lis¨atyn kohinan tulosten keskiarvoa. Optiminopeudella heitetty tulos on merkitty kuvassa punaisella viivalla. Heittotuloksia on laskettu nelj¨all¨a eri kulmanopeuden arvolla.

Samanlainen testi tehtiin kulmanopeudelle, nelj¨all¨a eri etenemisnopeuden arvolla.

4.3 Kulmanopeuden vaikutus heittotulokseen

Kuvasta 9 n¨ahd¨a¨an, ett¨a heittotulos ei ole yht¨a altis kulmanopeuden muutoksille, kuin ete- nemisnopeuden muutoksille. Kulmanopeuden muutoksen vaikutus heittotulokseen on mer- kitt¨avin, kun etenemisnopeus on suuri (kuvassa harmaalla ja vaaleansinisell¨a). Pienill¨a ete- nemisnopeuksilla heittotuloken muutos ei ole yht¨a huomattava. My¨oskin parhaiden heittojen m¨a¨ar¨a (5-6 kpl), kuvassa yhden v¨aristen palkkien m¨a¨ar¨a, on jokaisella etenemisnopeudel- la sama. Ainoastaan suurimmalla testatulla etenemisnopeudella on v¨ahiten parhaita heittoja, harmaiden palkkien m¨a¨ar¨a (3 kpl).

Kuva 9.Heittotulokset eri kulmanopeuksilla, kun optimoituihin kulmanopeuksiin on lis¨atty kohinaa.

Yksi palkki kuvaa yhden kulmanopeuden ja lis¨atyn kohinan tulosten keskiarvoa. Punaisella viivalla on kuvattu optimaalisten kulmanopeuksien tulosta. Heittotuloksia on laskettu nelj¨all¨a eri etenemisno- peudella.

4.4 Alkukulman vaikutus heittotulokseen

Alkukulman vaikutusta heittotulokseen testattiin siten, ett¨a kyykki¨a oli ainoastaan kyykk¨aken- t¨an toisella laidalla heittolinjalta tarkasteltuna. Simulaation kannalta ei ole merkityksellist¨a, ovatko kyyk¨at kent¨an vasemmalla vai oikealla laidalla; t¨ah¨an testiin valittiin kent¨an vasen laita. Testiasetelmaan on arvottu satunnainen m¨a¨ar¨a kyykki¨a satunnaisiin kohtiin kentt¨a¨a.

Kuvan 10 tapauksessa kyykki¨a on 22 kappaletta.

Kuva 10.Alkutilanne ennen heittoja. Kyykki¨a vain vasemmalla puolella kentt¨a¨a.

Testiheittoja tehtiin 20×20×20 kappaletta jokaisella erilaisella kulmanopeudella, etenemis- nopeudella ja l¨aht¨osuunnalla. N¨aist¨a tuloksista laskettiin jokaiselle suuntakulmalle tulosten keskiarvo (kuva 11).

N¨aist¨a arvoista huomataan, ett¨a kyykkien ollessa tietyll¨a sektorilla, on heiton suunnalla v¨ali¨a.

Vaikka heiton suunta olisikin koko tarkastelun ajan siten, ett¨a karttu lent¨a¨a vasemmalle puo- lelle kentt¨a¨a, eiv¨at tulokset ole yht¨a hyvi¨a kaikilla eri suunnilla. Kuvasta 11 n¨ahd¨a¨an, ett¨a keskelle kent¨an puolikasta ja keskikohtaa hieman vasemmalle heitetyt heitot ovat tuottaneet parhaita tuloksia. Koska kent¨an vasen puoli on v¨alill¨a θ= [0 0.2], niin parhaat heitot ovat v¨alill¨aθ=[0.1 0.15].

Kuva 11.Tulosten keskiarvot 400 erilaisella heitolla eri etenemissuunnille.

4.5 Satunnaisen vaihtelun vaikutus optimaalisilla heittoparametreilla saavutettavaan heittotulokseen

Satunnaisen vaihtelun vaikutusta optimaalisiin parametreihin tutkittiin valitsemalla sattu- manvaraisia etenemis- ja kulmanopeuksia, joille laskettiin suuntakulmat joiden kombinaa- tiolla savutettiin parhaat tulokset. N¨aihin suuntakulmiin lis¨attiin kohinaa ja laskettiin tulokset uudelleen. Jokaiselle optimaaliselle suuntakulmalle laskettiin 20 eri kohinan arvoa ja n¨aist¨a saatujen tulosten perusteella laskettiin keskiarvo. Havaitaan, ett¨a mit¨a enemm¨an t¨am¨a kes- kiarvo poikkeaa siit¨a tuloksesta joka optimoidulla suuntakulmalla saadaan, sit¨a enemm¨an kyseinen kulma on altis muutokselle.

Kuvasta 12 n¨ahd¨a¨an, ett¨a suuntakulmat, joilla kuvan 11 mukaisesti saatiin parhaimpia tulok- sia, eiv¨at ole kovinkaan alttiita muutoksille. Pienimm¨at ja suurimmat kuvassa olevat suunta- kulmat ovat alttiimpia kohinan vaikutukselle, sill¨a niill¨a saadut keskim¨a¨ar¨aiset heittotulokset

ovat huonompia kuin testiv¨alin keskimm¨aisten suuntakulmien. T¨am¨a n¨akyy my¨os sill¨a, ett¨a yhdell¨a parametrien kombinaatiolla (kuvaassa 12 keltaisella) ei saatu viimeisell¨a suuntakul- malla optimaalista heittotulosta, jolloin yksi palkki on j¨a¨anyt kuvaajasta kokonaan pois.

Kuva 12. Kohinan vaikutus tuloksiin eri suuntakulmilla, kun kyykki¨a on vain vasemmalla puolel- la kentt¨a¨a. Siniset palkit ω =π ja v=9.52. Punaiset palkit ω =6.44 jav=7.42. Keltaiset palkit ω =7.44 ja v=8.26. Violetit palkit ω =3π jav=10.36. Musta katkoviiva kuvaa optimaalisten suuntakulmien tulosta.

Tuloksista laskettiin my¨os jokaiselle kulmanopeudelle heittojen tulosten keskiarvo (kuva 13).

Kuvasta n¨ahd¨a¨an, ett¨a pienemmill¨a kulmanopeuksilla saavutettiin parhaimpia tuloksia. Tu- lokset kuitenkin paranivat tarkasteltujen kulmanopeuksien suurimmilla arvoilla. Huonoin tu- los puolestaan saadaan, kun kulmanopeus on noin yksi kierros sekunnissa.

Kuva 13.Eri kulmanopeuksien tulosten keskiarvo 400 erilaisella heitolla.

N¨aist¨a tuloksista valittiin huonoin ja paras kulmanopeus ja niit¨a verrattiin kesken¨a¨an (kuva 14). Kuvasta huomataan, ett¨a suuremmilla suuntakulmilla kulmanopeuden muutoksen vaiku- tus on suurin tulokseen. Toisin sanoen l¨ahemp¨an¨a keskiviivaa olevat heitot eiv¨at ole yht¨a alt- tiita kulmanopeuden muutokselle, kuin keskemm¨alle kent¨an puolikasta heitetyt heitot. T¨am¨a johtuu siit¨a, ett¨a testitilanteessa keskemm¨all¨a kentt¨a¨a oli enemm¨an kyykki¨a, jolloin optimaa- lisella heitolla on mahdollisuus osua paremmin, kuin jos kyykki¨a olisi vain muutama. T¨all¨oin tuloksen vaihtelu ei ole yht¨a suurta, sill¨a paras mahdollinen heitto ei tuota kovinkaan paljon parempaa tulosta kuin huonommat heitot. Kuvasta n¨ahd¨a¨an my¨os, ett¨a suuntakulman ollessa v¨alill¨a [0.1 0.15] saadaan parhaimmat tulokset sek¨a parhaan, ett¨a huonoimman kulmanopeu- den tapauksessa. T¨am¨a havainto korreloi my¨os kuvan 11 tulosten kanssa.

Kuva 14.Parhaimmat ja huonoimmat kulmanopeudet eri etenemissuunnille.

Testi¨a varten valittiin nelj¨a kulmanopeutta, joilla oltiin saatu parhaita tuloksia. N¨aihin kulma- nopeuksiin lis¨attiin erisuuruista kohinaa ja tutkittiin, kuinka paljon kohina vaikuttaa heiton lopputulokseen.

Kuvasta 15 huomataan, ett¨a suuremmilla kulmanopeuksilla kohinan vaikutus heittotulokseen on pienemp¨a¨a kuin pienemmill¨a testatuilla kulmanopeuksilla. Testin pienimmill¨a kulmano- peuksilla suurempi kohina alkaa vaikuttaa huomattavasti heiton lopputulokseen.

Kuva 15.Heittojen tulosten keskiarvoja, kun optimoituun kulmanopeuteen on lis¨atty kohinaa. Heit- totulokset on laskettu kolmella eri kohinan asteella.

Lopuksi tuloksista laskettiin etenemisnopeuksien eri arvoille tulosten keskiarvo (kuva 16).

T¨ast¨a voidaan p¨a¨atell¨a, ett¨a suurilla etenemisnopeuksilla saavutetaan keskim¨a¨arin huonom- pia tuloksia kuin pienemmill¨a nopeuksilla. Tulosten vaihtelu on melko ep¨atasaista, joten tu- loksista ei voida p¨a¨atell¨a parasta etenemisnopeuden v¨ali¨a luotettavasti.

Kuva 16.Eri etenemisnopeuksien tulosten keskiarvo 400:lla erilaisella heitolla.

Valittiin nelj¨a etenemisnopeutta, joilla saattiin parhaita tuloksia. N¨aihin nopeuksiin lis¨attiin kohinaa ja tutkittiin, kuinka paljon kohina vaikuttaa heiton lopputulokseen (kuva 17). Kuvas- ta n¨ahd¨a¨an, ett¨a pienill¨a ja suurilla nopeuksilla kohinan vaikutus heittotulokseen on huomat- tava, kun taas keskikokoisilla nopeuksilla suurimmankin kohinan vaikutus on v¨ah¨aisempi.

Kuva 17.Heittotulosten keskiarvoja, kun optimoituun etenemisnopeuteen on lis¨atty kohinaa. Tulok- sia on laskettu kolmella eri kohinan asteella.

5 JOHTOP ¨ A ¨ AT ¨ OKSET

Esitetty malli on hyvin yksinkertainen, joten tuloksissa ei esiinny suuria eroja. Karttu on kuvattu mallissa kaksiulotteisena viivana, vaikka todellisuudessa kartun kaksiulotteinen pro- jektio on suorakulmion muotoinen. N¨ain ollen joissain testitilanteissa karttu lent¨a¨a kyyk- kien v¨alist¨a, vaikka todellisuudessa sellainen olisi hyvin ep¨atodenn¨ak¨oist¨a. T¨am¨a vaikuttaa tuloksiin jonkin verran, mutta koska tilanne on kaikille heitoille sama, saadaan simulaatios- ta kuitenkin verrattavissa olevia tuloksia. Vaikka karttu olisi mallissa paksumpi, ei se to- denn¨ak¨oisesti vaikuttaisi heittojen paremmuuteen juurikaan.

Tulosten perusteella heittoon eniten vaikuttavat parametrit ovat etenemisnopeus (kuva 17) ja kulmanopeus (kuva 15). N¨aiden parametrien pienetkin muutokset vaikuttavat heiton lop- putulokseen n¨akyv¨asti. N¨aiden parametrien yhteisvaikutus on my¨os huomattavaa (kuva 8 ja 9). Tietyill¨a etenemisnopeuksilla kulmanopeuden muutokseet aiheuttavat n¨akyv¨ammin eroa tuloksiin ja p¨ainvastoin.

My¨os heiton suunnan muutokset vaikuttavat lopputulokseen, mutta vain kun kyykki¨a on vain tietyll¨a sektorilla. T¨all¨oin suunnan muutoksen vaikutus on suurimmillaan, kun osuttujen kyykkien l¨ahist¨oll¨a ei ole enemp¨a¨a kyykki¨a mihin osua. T¨am¨a n¨aykyy kuvassa 12, sill¨a lai- timmaisten heittojen tulokset huononivat enemm¨an kuin keskemm¨alle heitettyjen heittojen tulokset, kun suuntiin lis¨attiin kohinaa.

Mallissa k¨aytetty kitkakerroin on otettu suoraan taulukosta[4], joten se on melko pieni.

T¨all¨oin kyyk¨at liukuvat helposti kent¨alt¨a ulos pienill¨akin heittonopeuksilla. T¨at¨a kerroin- ta kasvattamalla ja muuttamalla sit¨a realistisempaan suuntaan, heittonopeuksien muutokset n¨akyisiv¨at paremmin heiton tuloksissa.

Mahdollisessa jatkotutkimuksessa simulaation realistisuutta voisi parantaa lis¨a¨am¨all¨a siihen kolmannen dimension ja huomioimalla erin¨aisi¨a mekaniikkaan liittyvi¨a fysikaalisia suureita ja ilmi¨oit¨a, kuten ilmanvastuksen sek¨a puun kimmoisuuden.

Kolmas dimensio vaikuttaisi todenn¨ak¨oisesti malliin suuresti. Se toisi heittoihin lis¨a¨a ep¨avar- muutta, sill¨a karttu voisi lent¨a¨a kyykk¨arivin yli, tai sitten se ei lent¨aisi ollenkaan kyykkiin as- ti. My¨os tarkentamalla kyykkien k¨aytt¨aytymist¨a osuman j¨alkeen, saataisiin mallista jo paljon realistisempi. Nyt kyyk¨at vain liukuvat alustalla, jolloin ne lent¨av¨at melkein aina pelialueen ulkopuolelle, sill¨a kitka ei ole tarpeeksi suuri niit¨a pys¨aytt¨am¨a¨an.

Fysikaaliset suureet, kuten ilmanvastus ja puun kimmoisuus ovat merkitykselt¨a¨an v¨ah¨aisem- pi¨a tekijoit¨a, jotka tarkentaisivat mallia. Niiden vaikutus n¨akyisi kartun nopeudessa, t¨orm¨ayk-

sen impulssissa ja siten my¨os kyykkien nopeuksissa. My¨os erin¨aiset kitkavoimat huomioiden malli tarkentuisi, jolloin kartun etenemisnopeus vaikuttaisi heiton lopputulokseen n¨akyv¨ammin.

6 YHTEENVETO

T¨ass¨a kandidaatinty¨oss¨a simuloitiin erilaisten parametrien vaikutusta kyykk¨aheiton onnistu- miseen MATLAB-ohjelmistoa hy¨odynt¨aen. Simulaatiossa huomioitiin heitetyn kartun etene- misnopeus ja kulmanopeus. Lis¨aksi otettiin huomioon suunta johon karttu l¨ahti. Selvitettiin laskennallisesti, miss¨a asennossa ja kuinka moneen kyykk¨a¨an karttu osuu ja mihin kyyk¨at p¨a¨atyv¨at osuman j¨alkeen. Sen j¨alkeen kokeiltiin l¨aht¨oasetelmaa muuttamalla, mitk¨a tekij¨at vaikuttavat heiton onnistumiseen eniten. Simulaation perusteella eniten vaikuttavat tekij¨at olivat kartun py¨orimsinopeus, eli kulmanopeus ja etenemisnopeus. My¨os kartun etenemis- suunta vaikutti, mutta vain kun kyykki¨a oli kent¨all¨a tietyss¨a sektorissa.

[1] Suomen Kyykk¨aliitto Ry. S¨a¨ant¨okirja. [verkkoaineisto]. [viitattu: 20.12.2019]. Saata- vissa:http://www.kyykkaliitto.fi/saantokirja/.

[2] Bourg D. M. & Bywalec B.Physics for Game Developers. 2. painos. O’Reilly Media, Inc., 2013.ISBN: 9781449361037.

[3] Hecker C. “Physics, Part 3: Collision response”.Game Developer magazine(maaliskuu 1997), s. 11–18.

[4] Peda.net.Kitkakertoimia. [verkkoaineisto]. [viitattu: 20.12.2019]. Saatavissa:https:

/ / peda . net / valkeakoski / opetuspalvelut / pk / naakan - koulu / oppiaineet / fysiikka / fy - tuominen / efysiikka - 82 / taulukot / kitkakertoimia.

1 Tavanomainen kartun heittotilanne (kuvaaja Miika Tiainen). . . 6 2 Kyykk¨akentt¨a sek¨a sen dimensiot metrein¨a. Miesten heittoviiva on kuvattu

sinisell¨a, naisten keltaisella katkoviivalla ja kyyk¨at on merkitty punaisella.

Selkeyden vuoksi kuvaan on piirretty heittoviivat vain toiselle puolelle ja kyyk¨at vastakkaiselle puolelle pelikentt¨a¨a. . . 9 3 T¨orm¨ayksen impulssiin vaikuttavat tekij¨at. . . 11 4 Kyykk¨a ja sen liikkeeseen vaikuttavat voimat t¨orm¨ayksen j¨alkeen. . . 13 5 Kartusta luotu kaksidimensioinen malli, joka ottaa huomioon ainoastaan kar-

tun sen reunan, joka osuu kyykkiin. Kuvaan on merkitty kartun puolikkaan pituusl, sek¨a kartun kulmaα ja keskipisteen sijainti (x_{k p},y_{k p})yksitt¨aisell¨a ajan hetkell¨a. . . 14 6 Kyyk¨an ja kartun osumatilanne. Kuvaan on merkitty kartun keskipiste, osu-

makohdan et¨aisyys kartun keskipisteest¨a, sek¨a kyyk¨an s¨ade ja keskipiste. . . 16 7 Kyyk¨an kulkusuunnan osoittava suuntavektori t¨orm¨ayksen j¨alkeen. . . 17 8 Heiton tulokset eri alkunopeuksilla, kun optimoituihin nopeuksiin on lis¨atty

kohinaa. Yksi palkki kuvaa yhden optiminopeuden ja lis¨atyn kohinan tulos- ten keskiarvoa. Optiminopeudella heitetty tulos on merkitty kuvassa punai- sella viivalla. Heittotuloksia on laskettu nelj¨all¨a eri kulmanopeuden arvolla. 20 9 Heittotulokset eri kulmanopeuksilla, kun optimoituihin kulmanopeuksiin on

lis¨atty kohinaa. Yksi palkki kuvaa yhden kulmanopeuden ja lis¨atyn kohinan tulosten keskiarvoa. Punaisella viivalla on kuvattu optimaalisten kulmano- peuksien tulosta. Heittotuloksia on laskettu nelj¨all¨a eri etenemisnopeudella. 21 10 Alkutilanne ennen heittoja. Kyykki¨a vain vasemmalla puolella kentt¨a¨a. . . . 22 11 Tulosten keskiarvot 400 erilaisella heitolla eri etenemissuunnille. . . 23

ω =6.44 jav=7.42. Keltaiset palkit ω =7.44 jav=8.26. Violetit palkit ω =3π jav=10.36. Musta katkoviiva kuvaa optimaalisten suuntakulmien tulosta. . . 24 13 Eri kulmanopeuksien tulosten keskiarvo 400 erilaisella heitolla. . . 25 14 Parhaimmat ja huonoimmat kulmanopeudet eri etenemissuunnille. . . 26 15 Heittojen tulosten keskiarvoja, kun optimoituun kulmanopeuteen on lis¨atty

kohinaa. Heittotulokset on laskettu kolmella eri kohinan asteella. . . 27 16 Eri etenemisnopeuksien tulosten keskiarvo 400:lla erilaisella heitolla. . . . 28 17 Heittotulosten keskiarvoja, kun optimoituun etenemisnopeuteen on lis¨atty

kohinaa. Tuloksia on laskettu kolmella eri kohinan asteella. . . 29