Matematiikan olympiavalmennus Valmennusteht¨av¨at, huhtikuu 2018
Ratkaisuja toivotaan seuraavan valmennustapahtuman ensimm¨aiseen p¨aiv¨a¨an 7.5. menness¨a henkil¨okohtaisesti ojennettuna, s¨ahk¨opostitse osoitteeseennpalojar@abo.fitai postitse osoitteeseen
Neea Paloj¨arvi Ratapihankatu 12 A 1 20100 Turku.
Kilpailujoukkueisiin valinnan v¨altt¨am¨at¨on (muttei riitt¨av¨a) ehto on, ett¨a asianomainen on kilpailua edelt¨av¨an¨a aikana suorittanut merkitt¨av¨an osan annetuista teht¨avist¨a. Erityisesti matematiikkaolympiajoukkue valitaan toukokuun valmennusviikolla, joten joukkueeseen pyrkivien on palautettava ratkaisut siihen menness¨a.
Helpompia teht¨avi¨a
1. OlkoonABC kolmio, miss¨a∠ABC = 90◦,AC = 26 jaBC= 24. Olkoon pisteD sivulla BC pisteidenB jaC v¨aliss¨a. Lis¨aksi olkoonE sellainen piste, jolle∠CDE= 90◦,∠ECD=∠BCAjaCE= 13. LaskeAE.
2. KolmiossaABC kulman∠A puolittaja, jananABkeskinormaali ja k¨arjest¨a B piirretty korkeusjana leikkaavat pisteess¨a E. Osoita, ett¨a kulman ∠A puolittaja, janan AC keskinormaali ja k¨arjest¨a C piirretty korkeusjana leikkaavat samassa pisteess¨a.
3. Olkoon kolmiossaABC kulma∠CAB suora. Lis¨aksi olkoon pisteL sivullaBC pisteidenB jaC v¨aliss¨a. Mer- kit¨a¨an pisteidenA, B jaLsek¨aA, CjaLkautta kulkevia ympyr¨oit¨a merkinn¨oill¨aω1jaω2 vastaavasti. Ympyr¨at ω1jaω2leikkaavat suoratAC jaABpisteiss¨aM jaN vastaavasti. Osoita, ett¨aL, M jaN ovat samalla suoralla.
4. Olkoonf :R→Rjatkuva funktio jaf(1) = 2. Etsi kaikki funktiotf, joille p¨atee f(xy) =f(x)f(y)−f(x+y) + 1, ∀x, y∈R.
5. Etsi kaikki funktiotf :R→R, jotka toteuttavat ehdon (x−y)f(x+y)−(x+y)f(x−y) = 4xy(x2−y2) kaikillex, y∈R.
6. a) Etsi kaikki surjektiiviset funktiotf :R→R, jotka toteuttavat kaikillax, y∈Ryht¨al¨on f(x+f(y)) =f(x+y) + 1.
b) Etsi kaikki injektiiviset funktiotf :R→R, jotka toteuttavat kaikillax, y∈Ryht¨al¨on f(x+f(y)) =f(x+y) + 1.
7. Etsi kaikki sellaiset positiivisia kokonaislukuarvoja saavat funktiotf(n), jotka ovat m¨a¨ariteltyj¨a kaikille positiivi- sille kokonaisluvuillenja jotka toteuttavat kaikilla t¨allaisilla luvuillanehdonf(f(f(n))) +f(f(n)) +f(n) = 3n.
8. Olkoonf :R→Rsellainen funktio, ett¨a kaikillex∈Rp¨atee f(10 +x) =f(10−x), f(20 +x) =−f(20−x).
Osoita, ett¨af on pariton jaksollinen funktio.
9. Olkoonf :R→Rfunktio, jolle f(x2+f(y)) =y+f(x)2 mille tahansax, y∈R.
a) Osoita, ett¨a f(0) = 0.
b) Etsif(1994).
10. Etsi kaikki funktiotf :R→R, jotka toteuttavat kaikillax, y∈Ryht¨al¨on f(x)f(y) =f(x−y).
Vaikeampia teht¨avi¨a
11. Eris¨ateiset ympyr¨at Γ1, Γ2, Γ3 ja Γ4 sivuavat toisiaan pareittain ulkoisesti. Todista, ett¨a on olemassa ympyr¨a ω, joka sivuaa ympyr¨oit¨a Γ1 ja Γ2 ja leikkaa ympyr¨oit¨a Γ3ja Γ4kohtisuorasti.
12. Kuusitahokkaan eli heksaedrin kahdeksasta k¨arjest¨a seitsem¨an on samalla pallolla. Todista, ett¨a my¨os kahdeksas k¨arki on t¨all¨a pallolla.
13. ABCon kolmio jaIsen sis¨a¨an piirretyn ympyr¨an keskipiste. SuoraBIleikkaa sivunACpisteess¨aDja suoraCI sivunAB pisteess¨aE. SuoraAI leikkaa suoranDEpisteess¨aP. Oletetaan, ett¨aP D=P I. Laske kulmaACB.
14. Olkoonc positiivinen kokonaisluku. Tason hilapisteet (parit (n, m), n, m∈Z) v¨aritet¨a¨anc:ll¨a v¨arill¨a. Todista, ett¨a kaikilla k ≥ 1 l¨oytyy luvut a1 < a2 < . . . < ak ja b1 < b2 < . . . < bk siten, ett¨a pisteet (ai, bj) ovat samanv¨arisi¨a kaikilla 1≤i, j≤k.
15. Olkoon a1, a2, a3, . . . , ak ¨a¨arellinen jono positiivisia kokonaislukuja. Todista, ett¨a jollain n ≥k jonoa voidaan jatkaa erisuurilla luvuillaak+1, ak+2, . . . , an siten, ett¨a
ai|(a1+a2+. . .+an) kaikilla 1≤i≤n.
16. Olkoot a1 ja a2 positiivisia kokonaislukuja, ja olkoon kaikilla n ≥ 2 luku an+1 yht¨a suurempi kuin summan an +an−1 suurin pariton tekij¨a. Osoita, ett¨a jono a1, a2, . . . on jostain alkiostaan l¨ahtien jaksollinen. Miss¨a tapauksissa jono on jaksollinen jo ensimm¨aisest¨a alkiostaan l¨ahtien?
17. Etsi kaikki polynomitP(x), joiden kertoimet ja nollakohdat ovat reaalilukuja ja jotka toteuttavat yht¨al¨on P(x2−1) =P(x)P(−x).
18. Olkoon 0< a <1/4. Etsi yht¨al¨on x2+ 2ax+ 1
16 =−a+ r
a2+x− 1 16 reaalijuuret.
19. Olkoota1< a2<· · ·< an reaalilukuja. J¨arjest¨a ne jonoksib1, b2, . . . , bn siten, ett¨a summa (b1−b2)2+ (b2−b3)2+· · ·+ (bn−1−bn)2+ (bn−b1)2
on mahdollisimman pieni.
