Analyysi I
Harjoitus 5/2003
1. Todista Lemma 2.4.6 (b): Olkoon f : A → B aidosti v¨ahenev¨a, A ⊂ R ja B ⊂R.
Osoita, ett¨a x < y jos ja vain jos f(x)> f(y).
2. Todista Lemma 2.4.10 (a): Olkoon f : A → B aidosti kasvava, A ⊂ R ja B ⊂ R.
Osoita, ett¨a k¨a¨anteiskuvaus f−1 :f(A)→A on aidosti kasvava.
3. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o
(x+ 1)111 <(2x−5)111.
4. Olkoon f :R\ {−54} →R kuvaus
f(x) = 2x+ 3 4x+ 5.
M¨a¨ar¨a¨a k¨a¨anteiskuvaus f−1. Mik¨a on k¨a¨anteiskuvauksen m¨a¨arittelyjoukko?
5. Luvun a ∈ R potenssit an arvoilla n ∈ N m¨a¨aritell¨a¨an induktiivisesti asettamalla a1 =a ja an+1 =an kaikillan ∈N. Osoita induktiolla, ett¨a
(i) (ab)n=anbn kaikilla a, b∈R ja n ∈N, (ii) am+n=aman kaikillaa∈R ja n, m∈N.
(Vihje! Suorita kohdassa (ii) induktio esimerkiksi n:n suhteen kiinte¨all¨a arvollam.)
6. Olkoon f :R→R,
f(x) = √3 x+ 2.
M¨a¨ar¨a¨a k¨a¨anteiskuvaus f−1.
7. Olkoon f :R+ →R,
f(x) =
q
x+√ 2x.
M¨a¨ar¨a¨a kuvajoukko f(R+) ja k¨a¨anteiskuvaus f−1. T¨ass¨a merkinn¨all¨a R+ tarkoite- taan ei-negatiivisten reaalilukujen joukkoa R+ ={x∈R|x≥0}.
Huom! Perjantaina 10.10 ei ole luentoa.
