xxPp )(  4. Jakaumien teoriaa4. Jakaumien teoriaa





 (

)

k

P x x

p

4. Jakaumien teoriaa 4. Jakaumien teoriaa

Jos diskreetin satunnaismuuttujan x arvojoukko = {x₁, x₂, …, x_n}, niin

todennäköisyys sille, että x saa arvon x_k

Todennäköisyyksien summa p₁ + p₂ + p₃ + …+p_n = 1

Satunnaismuuttujan jakauma

Jakauman muodostaa satunnaismuuttujan arvot yhdessä niiden tulemisen todennäköisyyden kanssa.

Tasainen jakauma

Jakauma on tasainen, jos kaikilla satunnaismuuttujan arvoilla on sama todennäköisyys.

Merkintä: x ~ Tas(x₁, x₂, …,x_n) (ks. esimerkki 3, s. 106)

Nopanheitto

Satunnaismuuttuja x = ”nopan pisteluku”

x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3, x₄ = 4, x₅ = 5, x₆ = 6

p₁ = p₂ = p₃ = p₄ = p₅ = p₆ = 1/6 x ~ Tas(1, 2, 3, 4, 5, 6)

E.2. Satunnaismuuttuja x saa 5 arvoa.

Mikä on p₅, kun p₁ = 0,1, p₂ = 0,15, p₃ = 0,2 ja p₄ = 0,25?

p

= 1 – (0,1 + 0,15 + 0,2 + 0,25) = 0,30

E.3. Painotetulla nopalla 6 saamisen todennäköisyys

on viisinkertainen muiden silmälukujen saamiseen verrattuna, joilla on keskenään sama todennäköisyys.

Muodosta silmälukujen jakauma ja esitä se graafisesti.

5x + 5x = 1  x = 0,1

x

= 1 x

= 2 x

= 3 x

= 4 x

= 5 x

= 6 Vastaavat todennäköisyydet:

p

= 0,1 p

= 0,1

p

= 0,1 p

= 0,1

p

= 0,1 p

= 0,5

E.4. Noppaa heitetään kahdesti.

Esitä satunnaismuuttujan x = silmälukujen erotuksen itseisarvon jakauma.

1 2 3 4 5 6 1. noppa 2. noppa

6 5 4 3 2 1

5

4

3 2 1 0

4

3

2 1 0 1

3

2

1 0 1 2

2

1

0 1 2 3

1

0

1 2 3 4

0

1

2 3 4 5

p

= 6/36

p

= 10/36

p

= 8/36

p

= 6/36

p

= 4/36

p

= 2/36

x

= 0, x

= 1, x

= 2, x

= 3, x

= 4, x

= 5

E.5. Laatikossa on 4 valkoista ja 6 mustaa palloa.

Otetaan kolme palloa. Laske saatujen valkoisten pallojen lukumäärän jakauma.

x = valkoisten pallojen lukumäärä x

= 0, x

= 1 x

= 2, x

= 3

6 1 120

20 3

10 3 6 palloa)

koista yhtään val

ei

0 (  



 







 









p 2

1 120

60 3

10 2 6 1

4 palloa)

valkoinen yksi

1 (  



 







 







 







 p

10 3 120

36 3

10 1

6 2 4 palloa)

valkoista kaksi

2 (  



 







 







 









p 30

1 120

4 3

10 3 4 palloa)

valkoista kolme

3 (  



 







 







 p



k k

x p

1

10 3000 800 1

10 400 1

10 200 2

10 100 3

10

3

4.1.2. Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo ja keskihajonta Odotusarvo

on satunnaiskokeen arvojen odotettavissa oleva keskiarvo, jos koetta tehtäisiin äärettömästi.

Odotusarvon laskeminen

Ex =  = p₁x₁ + p₂x₂ + p₃x₃ + …+p_nx_n =

E.6. TV:n laatikkokisassa on 10 laatikkoa. Kolmessa on 100 € ja 200 €, kahdessa 400 € sekä yhdessä 800 € ja 3000 €.

Pelaaja valitsee satunnaisesti laatikon. Mikä on voiton odotusarvo?

Ex =

= 550 (€)

E.7. Mikä on kahden nopan heitossa silmälukujen erotuksen itseisarvon odotusarvo?

E.4…

p

= 6/36 p

= 10/36 p

= 8/36 p

= 6/36 p

= 4/36 p

= 2/36

18 5 35 36

4 2 36 3 4

36 2 6

36 1 8

36 0 10 36

6

Ex

x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3, x₄ = 4, x₅ = 5

Keskihajonnan laskeminen

Dx =  = 

















 ⁿ

k

k k n

n x p x

p x

p x

p

1

2 2

2 2

2 2

1

1 (









Varianssi

on keskihajonnan neliö = D

x = s

E.8. Rahaa heitetään 4 kertaa.

Laske kruunujen lukumäärän odotusarvo ja keskihajonta.

16 ) 1

2 (1 ⁴

0  

p 4

) 1 2 (1 2) (1 1

4 _{1 3}

1  



 



 

p 8

) 3 2 (1 2) (1 2

4 _{2 2}

2  



 



 p

4 ) 1 2 (1 2) (1 3

4 _{3 1}

3  



 





p 16

) 1 2 (1 ⁴

4  

p

Ex =

= 2

2 2

2 2

2 (4 2)

16 ) 1

2 3 4 ( ) 1

2 2 8( ) 3

2 1 4 ( ) 1

2 0 16(

1         

Dx =

x

= 0, x

= 1, x

= 2, x

= 3, x

= 4

= 1

4.1.3. Binomijakauma

Satunnaismuuttuja noudattaa binomijakaumaa p

= · p

· (1 - p)

Merkitään x ~ Bin(n,p)

Binomijakauman odotusarvo Ex = np

Binomijakauman keskihajonta

Dx = ^{np ( 1  p )}

E.9. Noppaa heitetään 5 kertaa.

Muodosta kuutosten lukumäärän jakauma.

402 , 0 6)

(5 ⁵

0  

p

402 , 0 6)

(5 6) (1 1

5 _{1 4}

1  



 



  p

161 , 0 6)

(5 6) (1 2

5 _{2 3}

2  



 



 p

032 , 0 6)

(5 6) (1 3

5 _{3 2}

3  



 



 p

0 6)

(1 ⁵

5  

p

x

= 0, x

= 1, x

= 2, x

= 3, x

= 4 x

= 5

003 , 0 6)

(5 6) (1 4

5 _{4 1}

4  



 



 p

E.10. Oppilas saa flunssan todennäköisyydellä 0,15.

Matikan ryhmässä on 19 henkilöä.

Mikä on tunnilta poissa olevien oppilaiden odotusarvo?

n = 19 p =0,15

Ex = np = 19 · 0,15 = 2,85

E.11. Rahaa heitetään neljä kertaa.

Mikä on kruunujen lukumäärän odotusarvo ja keskihajonta?

n = 4 p = ½

Ex = np = 4 · ½ = 2 )

1 ( p np 

Dx = ^{ 4  ½( 1  ½)} = 1