Computer Code for Design of Steel Beam-Columns

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Rakennus- ja yhdyskuntatekniikan osasto Rakenteiden mekaniikka

HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Civil and Environmental Engineering Laboratory of Structural Mechanics

Tiina Rautakorpi

TERÄSPILARIN MITOITUSOHJELMA

Diplomityö on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin tutkintoa varten Espoossa 30.9.1998.

Työn valvoja Professori Juha Paavola

Työn ohjaaja DI Hannu Vainio

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Rakennus- ja yhdyskuntatekniikan

osaston kirjasto

TEKNILLINEN KORKEAKOULU DIPLOMITYÖN TIIVISTELMÄ Tekijä: Tiina Rautakorpi

Työn nimi: Teräspilarin mitoitusohjelma

Päivämäärä: 30.9.1998 Sivumäärä: 78 + 57

Osasto : Professuuri:

Rakennus- ja yhdyskuntatekniikan osasto Rakenteiden mekaniikka

Työn valvoja:

Työn ohjaaja:

Professori TkT Juha Paavola DI Hannu Vainio

Tutkimuksen tavoitteena oli kehittää Teräsrakenneyhdistykselle helppokäyttöinen ja joustavasti laajennettava tietokoneohjelma teräspilareiden mitoitukseen.

Työn alussa johdetaan yhtälöt jatkuvan sauvan taivutusmomentti-, leikkausvoima-, vääntömomentti- ja bimomenttijakaumien sekä taipuman laskemiseksi. Puristavan normaalivoiman vaikutus otetaan huomioon taivutuksessa, mutta ei väännössä.

Laskennassa käytetään momenttimenetelmää sekä sille analogista voimamenetelmää.

Kuormitustermit sekä lopulliset voimasuurejakaumien lausekkeet johdetaan kaikille kuormitustyypeille. Välivaiheet esiteään, jotta lukijan olisi helpompi seurata tekstin etenemistä. Voimasuurejakaumat määritetään erikseen väännöstä ja kahden pääjäyhyyssuunnan puristustaivutuksesta. Jännitysjakauma määritetään laskemalla yhteen eri voimasuureiden aiheuttamat jännitykset.

Stabiiliuden tarkistamisessa käytetään elementtimenetelmää. Pilarin jokainen jänneväli jaetaan tasapitkiin elementteihin. Näiden elementtien jäykkyysmatriisit otetaan suoraan kirjallisuudesta. Menetelmän avulla pystytään yhdellä kertaa tarkistamaan sekä nurjahdus, vääntönurjahdus että kiepahdus. Poikkileikkauksen levyjen kriittinen lommahduskuorma määritetään, vaikkakaan tulosta ei käytetä ohjelmassa.

Pilarin poikkileikkauksen leikkauslommahduskestävyys ja poikkileikkausluokka tarkistetaan käyttämällä esistandardin Eurocode 3 kaavoja. Neljännen poikkileikkaus- luokan käsittely on rajattu tutkimuksen ulkopuolelle.

Pilari-niminen ohjelma laadittiin C++-ohjelmointikielellä Windows-ympäristöön.

Kolme esimerkkiä osoittavat ohjelman antamien tulosten luotettavuuden.

Esimmäinen esimerkki käsittelee puristustaivutusta. Toinen käsittelee vääntöä.

Kolmannessa esimerkissä verrataan ohjelmalla laskettuja kriittistä lommahdus- ja nurj ahduskuormaa analyyttisiin ratkaisuihin. Kaksi ensimmäistä esimerkkiä osoittavat, että ohjelma laskee taivutus- ja vääntömomentit oikein. Kolmannesta esimerkistä huomataan, että alkutaipumasta johtuen ohjelman antamat kriittiset kuormat ovat noin kymmenen prosenttia pienempiä kuin analyyttiset ratkaisut.

Tietokoneohjelman käyttöä selostetaan lopussa. Tavoitteissa onnistuttiin: Ohjelmasta

saatiin helppokäyttöinen ja sen laajentamismahdollisuudet ovat hyvät.

HELSINKI UNIVERSITY OFTECHNOLOGY

ABSTRACT OF THE MASTER’S THESIS

Author: Tiina Rautakorpi

Title of the thesis : Computer Code for Design of Steel Beam-Columns

Date : 30.9.1998 Number of pages : 78+57

Faculty: Faculty of Civil and Environmental Engineering

Chair: Structural Mechanics

Supervisor: Professor DTech Juha Paavola Instructor: MScTech Hannu Vainio

The objective of the research was to develop a computer code for the design of steel beam-columns. The code was assumed to be easy to use and to develop further. The research was supported economically by The Finnish Constructional Steelwork Association.

At first the basic equations for bending moments, shear forces, torsion moments, bimoments and deflection in a continuous bar are derived. The effect of the compressive load is considered in bending but not in torsion. The force method is used in both cases. The equations of the loading terms and of the final force distributions are derived. Force distributions are determined separately from compression-bending in both principle directions and torsion. Superposing stresses due to different forces lead to the final stress distribution.

In the stability analysis the finite element method is used. Each span of the beam- column is divided into elements of equal length. The element stiffness matrices are taken from the literature. By using the method, both torsional-flexural and lateral buckling can be checked at the same time. Also the critical load of the plates of the profile is determined, but not implemented in the code.

Shear buckling of the beam-column cross section and the cross section class are checked by formulae of Eurocode 3. Cross section class 4 is left outside the research.

The code called Pilari was programmed with the C++ language for Windows environment. Three example cases verify that the code gives reliable results. The first one is about compression and bending. The second one is about torsion. The last one compares critical flexural and lateral buckling loads given by the computer code and analytical solutions. First two examples show that the code calculates bending and torsion moments correctly. The last one shows that because of the initial curvature, critical loads become about ten procents smaller than analytical solutions.

Finally the usage of the computer code is described. The objectives of the research

were achieved: The code is easy to use and enables flexible development possibilities.

Esipuhe

Tämä diplomityö on kirjoitettu Teknillisen korkeakoulun Rakennus- ja yhdyskuntatekniikan osastolla Rakenteiden mekaniikan oppituolille

Teräsrakenneyhdistyksen taloudellisella tuella.

Työn valvojana toimi professori Juha Paavola, jota haluan kiittää myös kärsivällisestä opastuksesta työn kuluessa. Ohjaajana toimi alkuperäisen ohjaajan, diplomi-insinööri Hannu Vainion, valitettavan poismenon jälkeen diplomi-insinööri Jouko Kouhi, jota kiitän ohjauksesta.

Teräsrakenneyhdistyksen hallituksen puheenjohtaja Unto Kalamies osoitti erityistä kiinnostusta työtäni kohtaan. Rakenteiden mekaniikan professori Reijo Kouhia antoi arvokkaita neuvoja elementtimenetelmän soveltamisessa. Veljeni, diplomi-insinööri Juha Rautakorpi, auttoi ohjelmointiin liittyvissä kysymyksissä.

Heitä kaikkia haluan kiittää lämpimästi.

Espoossa 30. syyskuuta 1998

Tiina Rautakorpi

TIIVISTELMÄ ABSTRACT ESIPUHE

SISÄLLYSLUETTELO SYMBOLILUETTELO 1 JOHDANTO

1.1 Tutkimuksen tausta 1.2 Tutkimuksen tavoitteet 1.3 Pilari

1.4 Mitoitus 1.5 Työn laajuus

2 JATKUVAN SAUVAN PURISTUSTAIVUTUS 2.1 Yleistä

2.2 Alkutaipuma 2.3 Alkuvinous

2.4 Taipuman määrittäminen 2.5 Sauvanpäämomentit

2.6 Ulkoisten kuormien aiheuttamat sauvanpääkiertymät 2.6.1 Periaate

2.6.2 Pistekuorma 2.6.3 Jatkuva kuorma 2.6.4 Pistemomentti

2.6.5 Alkuvinous ja alkutaipuma 2.7 Berryn funktiot

2.8 Taivutusmomentti-ja leikkausvoimajakaumat 2.8.1 Yleistä

2.8.2 Sauvanpäämomentit 2.8.3 Pistekuorma 2.8.4 Jatkuva kuorma 2.8.5 Pistemomentti

2.8.6 Alkuvinous ja alkutaipuma 2.9 Esimerkkitapaus

3 JATKUVAN SAUVAN VÄÄNTÖ 3.1 Yleistä

9

10

10 10 12 13 14 17 17 18 20 22 24 26 28 28 28 29 29 31 31 32

35 35

3.2 Voimamenetelmän yhtälöt 35

3.3 Sauvanpääbimomenttien kertoimet 38

3.4 Ulkoisen vääntökuormituksen aiheuttamat sauvanpäävääntymät 41

3.4.1 Pistevääntömomentti 4I

3.4.2 Jatkuva vääntömomentti 4g

3.5 Bimomentti- ja vääntömomenttijakaumat 51

3.5.1 Yleistä

3.5.2 Sauvanpääbimomentit 52

3.5.3 Pistevääntömomentti 53

3.5.4 Jatkuva vääntömomentti 53

3.6 Esimerkkitapaus 55

4 NORMAALIVOIMAJAKAUMA 58

5 JÄNNITYKSET 58

5.1 Yleistä 5g

5.2 Normaalijännitys 5g

5.3 Leikkausjännitys 59

5.4 Tehollinen jännitys 59

6 STABIILIUS go

6.1 Nurjahdus, vääntönurjahdus ja kiepahdus 60

6.1.1 Yleistä 60

6.1.2 Elementin jäykkyysmatriisin määrittäminen 60

6.1.3 Stabiiliuden määrittäminen 64

6.2 Lommahdus 65

6.2.1 Yleistä 65

6.2.2 Uuman lommahdus . 65

6.2.3 Laipan lommahdus 66

6.3 Esimerkkitapaus 68

7 LEIKKAUSLOMMAHDUS 70

7.1 Yleistä „ 79

7.2 Yksinkertainen ylikriittiseen tilaan perustuva menetelmä 70

8 POIKKILEIKKAUSLUOKKA 72

8.1 Luokitus 72

8.2 Teholliset poikkileikkausominaisuudet 72

8.2.1 Tehollinen leveys 72

8.2.2 Pienennyskerroin p 73

8.3 Poikkileikkaussuureet 74

9 TAIPUMA 74

10 KÄYTTÖLIITTYMÄ JA OHJELMAN TOIMINTA 74

10.1 Yleistä 74

10.2 Tietojen syöttö 74

10.3 Tietorakenteet ja laskenta 75

10.4 Tulostus 76

11 OHJELMAN JATKOKEHITYSMAHDOLLISUUDET 77

11.1 Poikkileikkaus 77

11.2 Puristustaivutus 77

11.3 Vääntö 77

11.4 Stabiilius 77

11.5 Käyttöliittymä 77

LÄHDELUETTELO

Liite 1 Poikkileikkaussuureet 6 s

Liite 2 Elementin jäykkyysmatriisi ja geometrinen jäykkyysmatriisi 3 $

Liite 3 Pilari-ohjelman dokumentti 48 s

Symboliluettelo

a

4

p i X]

A,

♦

<P y mi

x x

4 X.

0 0#

°#

v P

"s

O,

°*r

° A/,, a A/.

ö,

X 'ba XQy XQ-.

T,

^(0 co(5)

V

v(")

nmjahduskäyrästä riippuva kerroin, lyhennysmerkintä ulkoisten kuormien aiheuttama sauvanpääkiertymä lyhennysmerkintä

vääntymä sauvavääntymä

kuormituksen aiheuttama tuen i siirtymä lyhennysmerkintä

alkuvinous, vääntökulma

alkuvinouden laskemisessa tarvittava kerroin Berryn funktio

kiertymä

kestävyyden osavarmuusluku

lyhennysmerkintä » epästabiiliuskerroin, hoikkuusluku dimensioton hoikkuus

lyhennysmerkintä 7t levyn hoikkuus uuman hoikkuus

kokonaispotentiaalienergia vääntymä, kiertymä z:n ympäri sauvanpäävääntymä

ulkoisen vääntökuoimituksen aiheuttama sauvanpäävääntymä suppeumaluku

pienennyskerroin

bimomentin aiheuttama normaalijännitys tehollinen jännitys

kriittinen jännitys

normaalijännitys, joka aiheutuu taivutusmomentista y-akselin ympäri normaalijännitys, joka aiheutuu taivutusmomentista z-akselin ympäri normaalivoiman aiheuttama normaalijännitys

normaalij ännitys leikkausjännitys

yksinkertaiseen ylikriittiseen tilaan perustuva leikkauslujuus y-akselin suuntaisen leikkausvoiman aiheuttama leikkausjännitys z-akselin suuntaisen leikkausvoiman aiheuttama leikkausjännitys vapaan väännön vääntömomentin aiheuttama leikkausjännitys estetyn väännön vääntömomentin aiheuttama leikkausjännitys sektori aalinen koordinaatti

kiertymä y:n ympäri, jännityssuhde sauvakiertymä

Benyn funktio

eff b b B

beff

h c

c, C2

A A

E eo F

fy

fyw G h I I,,

I, k

M

[*]

ko

*8

k»

ko

kz

kB kc kM

ks kT

k„

kv kv k»

kuorman etäisyys sauvan alkupäästä, levyn pituus poikkileikkauksen pinta-ala

poikkileikkauksen tehollinen pinta-ala sauvanpääbimomentin kerroin

pistekuonman etäisyys sauvan loppupäästä, jatkuvan kuorman pituus, levyn leveys levyn leveys

bimomentti tehollinen leveys

sauvanpääbimomentin kerroin sauvanpääbimomentti

jatkuvan kuorman etäisyys sauvan loppupäästä, laipan leveyden puolikas kerroin

kerroin

uuman paksuus

uuman taivutusjäykkyys laipan taivutusjäykkyys kimmokerroin

alkutaipuma pistekuorma

elementin kuormitusvektori myötöraja

uuman lujuus liukukerroin uuman korkeus j äyhyysmomentti

sektoriaalinen vääntöjäyhyysmomentti vääntöjäyhyysmomentti

jäyhyysmomentti y-akselin ympäri j äyhyysmomentti z-akselin ympäri lyhennysmerkintä L.

elementin jäykkyysmatriisi systeemin jäykkyysmatriisi jäykkyyskerroin

nuijahduskäyrästä ja kestävyyden osavarmuusluvusta riippuva kerroin vääntöj äykkyysmatriisi

lommahduskerroin leikkauslommahduskerroin vääntymäjousen jousivakio

pilarien lukumäärästä riippuva kerroin kiertymäjousen jousivakio

kerrosten lukumäärästä riippuva kerroin vääntöjousen jousivakio

aksiaalij äykkyysmatriisi

taivutusjäykkyysmatriisi z-akselin ympäri siirtymäjousen jousivakio

taivutusjäykkyysmatriisi _y-akselin ympäri

k y

L M M0 Mw Mcr My Mf m,

M, Mx Mxij K My M,

M

*s p

{^}

Per q Q er Q Q Q*

$

Qy

5z R sM Sy (S) sAs) t T U v V

v>

Pba.Rd ve vi vn v0

nuijahduskäyrästä, dimensiottomasta hoikkuudesta ja kestävyyden osavarmuusluvusta riippuva kerroin

pituus, nuijahduspituus taivutusmomentti pistemomentti

estetyn väännön vääntömomentti kriittinen momentti

sauvanpäämomentti

tuella i oleva ulkoinen pistemomentti vääntökuorma, jatkuva vääntömomentti vapaan väännön vääntömomentti kokonaisvääntömomentti

kokonaisvääntömomentti sauvan päässä i

ulkoisen kuorman aiheuttama kokonaisvääntömomentti sauvan päässä i taivutusmomentti y-akselin ympäri

taivutusmomentti z-akselin ympäri elementin geometrinen jäykkyysmatriisi systeemin geometrinen jäykkyysmatriisi pilarien lukumäärä

kerrosten lukumäärä puristava kuorma

systeemin kuormitusvektori kriittinen puristava kuoma jatkuva kuoma

kriittinen jatkuva kuoma leikkausvoima

pistemäinen tai jatkuva poikittaiskuoma leikkausvoima sauvan päässä i

ulkoisten kuomien aiheuttama leikkausvoima sauvan päässä i y-akselin suuntainen leikkausvoima

z-akselin suuntainen leikkausvoima tukireaktio

sektoriaalinen staattinen momentti staattinen momentti y-akselin ympäri staattinen momentti z-akselin ympäri levyn paksuus, laipan paksuus pistevääntömomentti

muodonmuutosenergia taipuma, siirtymä y-suunnassa ulkoisten voimien potentiaali alku vinouteen liittyvä taipuma

leikkauslommahduskestävyyden mitoitusarvo alkutaipumaan liittyvä taipuma

alkuvinoudesta johtuva tuen i siirtymä kuormituksen aiheuttama taipuma alku taipuma

lisätaipuma

siirtymä z-suunnassa

poikkileikkauksen kimmoinen taivutus vastus lyhennysmerkintä , siirtymä x-suunnassa y-koordinaatti

z-koordinaatti

1 Johdanto

1.1 Tutkimuksen tausta

Tutkimus liittyy Finnsteel-nimiseen teknologiaohjelmaan. Teknologiaohjelma on alkanut vuonna 1995 ja päättyy vuonna 1999. Ohjelman ensisijaisena tarkoituksena on parantaa teräsrakentamisen kilpailukykyä.

Yhtenä osana Finnsteel-teknologiaohjelmaa on suunnitteluapuvälineiden kehittäminen. Pienet ja vain satunnaisesti teräsrakenteita suunnittelevat toimistot tarvitsevat yksinkertaisia ja helppokäyttöisiä mitoitus- ohjelmistoja.

On olemassa monipuolisia kaupallisia rakenneanalyysiohjelmia, joita suuret suunnittelutoimistot käyttävät.

Näissä ohjelmissa on kuitenkin tarpeettoman paljon erilaisia ominaisuuksia, eivätkä ne kalleutensa vuoksi ole perusteltuja harvemmin teräsrakenteita suunnitteleville.

1.2 Tutkimuksen tavoitteet

Tämän tutkimuksen tavoitteena on kehittää mahdollisimman helppokäyttöinen ja joustavasti laajennettava tietokoneohjelma Pilari teräspilareiden mitoitukseen. Laskennassa pyritään tukeutumaan mahdollisimman pitkälle analyyttisiin ratkaisuihin.

1.3 Pilari

Sauvarakenteella tarkoitetaan rakennetta, jonka pituusmitta on suuri muihin mittoihin verrattuna.

Englanninkielessä beam (palkki) tarkoittaa sauvarakennetta, johon kohdistuu ainoastaan poikittaisia kuormia. Rakenteesta, johon tulee ainoastaan puristavaa pituussuuntaista kuormaa, käytetään nimeä column (pilari). Näiden yhdistelmä on beam-column. Suomenkielessä ei ole erikseen sanaa palkin ja pilarin yhdistelmälle. Vaakasuorat sauvarakenteet ovat palkkeja ja pystysuorat pilareita, riippumatta niihin tulevista kuormista.

Tässä työssä pilari-nimitystä käytetään merkityksessä beam-column. Tavanomaista pilarin käsitettä laajennetaan sen verran, että rakenteen ei vaadita olevan pystysuorassa.

1.4 Mitoitus

Pilarin mitoituksella tarkoitetaan laskentaprosessia, jonka tuloksena valitaan suunniteltavalle pilarille mitat ja materiaali. Vaatimuksena on, että pilari kestää sitä rasittavan kuormituksen.

Laskentaprosessin kulku on seuraava:

1 Selvitetään pilariin vaikuttavat kuormat.

2 Valitaan pilarille mitat ja materiaali.

3 Lasketaan kuormien aiheuttamat rasitukset pilariin.

4 Lasketaan pilarin kestävyys.

5 Verrataan kestävyyttä rasituksiin. Jos rasitukset ylittävät kestävyyden, palataan kohtaan 2.

Prosessia jatketaan, kunnes pilarin kestävyys on varmistettu. Yleensä pituus ja käytettävä materiaali on valittu etukäteen, joten ainoastaan poikkileikkauksen mittoja voi muuttaa laskentavaiheessa. Kuormissa ja rakenteessa on aina epävarmuutta, jotka otetaan laskennassa huomioon valitsemalla asianmukaiset varmuuskertoimet.

Sallittujen jännitysten menettelyssä pilarin rasitukset lasketaan todellisia kuormituksia käyttäen, mutta kestävyyttä alennetaan varmuuskertoimen avulla. Rajatilamenettelyssä käytetään pilarin todellista kestävyyttä, mutta kasvatetaan kuormia varmuuskertoimilla kertomalla. Nykyisin käytetään lähes yksinomaan rajatilamenettelyä.

Rajatilamenettelyn etuna on, että siinä voidaan paremmin ottaa huomioon erityyppisten kuormien erilaiset epävarmuudet. Esimerkiksi rakenteen oma paino voidaan yleensä laskea melko tarkkaan. Sille, kuten muillekin pysyville kuormille, käytetään murtorajatilassa varmuuskerrointa 1,35. Muuttuvat kuormat ovat jo nimensä mukaisesti epävarmempia. Muuttuvia kuormia ovat esimerkiksi lumi-, tuuli- ja hyötykuormat.

Niille käytettävä varmuuskerroin on 1,5. Lisäksi poikkileikkauksen kestävyydelle käytetään varmuus- kerrointa 1,1. Käyttörajatilassa varmuuskertoimet ovat ykkösiä.

Pilarin täytyy kestää kuormat niin, ettei siihen jää pysyviä muodonmuutoksia. Stabiiliutta ei saa menettää.

Palautuvatkaan taipumat eivät saa olla liian suuria.

1.5 Työn laajuus

Pilarin jännitykset lasketaan analyyttisesti toisen kertaluvun lineaarisen kimmoteorian mukaan.

Stabiiliustarkastelussa käytetään elementtimenetelmää.

Ohjelma mitoittaa kaksoissymmetrisiä I-poikkileikkauksia. Myöhemmin on helppo lisätä ohjelmaan mui­

takin poikkileikkaustyyppej ä.

Ohjelma laskee rakenteen jännitykset ja tarkistaa stabiiliuden. Jännitysjakauman perusteella lasketaan poikkileikkauksen levyjen hoikkuudet. Leikkauslommahduskestävyys tarkistetaan ottamatta huomioon pistekuorman aiheuttamaa paikallista lommahdusta. Pilarin taipuma lasketaan käyttörajatilassa.

Lämpötilan ja dynaamisten kuormien vaikutusta ei tarkastella tässä työssä.

Plastisten rajakuormien laskeminen analyyttisesti on hankalaa, eikä se kuulu tämän työn tavoitteisiin. Jos jännitys ylittää myötörajan rakenteen jossain pisteessä, ohjelma ilmoittaa sen käyttäjälle, ja kehottaa valitsemaan isomman poikkileikkauksen. Mitoitus on tällöin ainakin varmalla puolella. Rakenteiden plastisoitumisen-käsittelyyn on tarjolla kaupallisia valmisohjelmia.

Ohjelma ei mitoita neljänteen poikkileikkausluokkaan kuuluvia poikkileikkauksia. Levyjen tehollisten leveyksien määrittäminen yleisessä tapauksessa on liian työlästä yhden diplomityön osana. Jos poikkileikkaus kuuluu neljänteen luokkaan, ohjelma ainoastaan ilmoittaa sen ja kertoo, ettei laskentaa voi jatkaa.

2 Jatkuvan sauvan puristustaivutus

2.1 Yleistä

MIMMI

Kuva 2.1 Puristettu ja taivutettu kolmiaukkoinen sauva, (alapää vasemmalla)

Puristustaivutus lasketaan erikseen kummassakin pääjäyhyyssuunnassa. Pilari on alapäästään taivutuksen suhteen nivelisesti tuettu. Molemmissa päissä on kiertymäjousi, jolloin tukimomentti on suoraan verran­

nollinen kiertymään M = kMq.

Sekä yläpäässä että kaikilla välituilla on lisäksi siirtymäjousi. Tukireaktio on suoraan verrannollinen tuen siirtymään

R = ky v.

Pilarilla on esistandardin mukaan alkutaipuma e0 ja alkuvinous (•). 1 Lopullinen taipuma saadaan, kun näihin lisätään kuormituksen aiheuttama taipuma.

v = vq +ve + v,

♦ ’

jossa

ve on alku taipumasta aiheutuva taipuma, on alku vinouteen liittyvä taipuma j a vq on kuormituksen aiheuttama taipuma.

2.2 Alkutaipuma

Kestävyyden osoittamiseksi käytetään kimmoteoriaa. Ekvivalentti alkukäyryyttä kuvaava epätarkkuus e0 lasketaan tällöin kaavasta2

1 Eurocode 3, Teräsrakenteiden suunnittelu, s. 83-84; 134.

2 Eurocode 3, Teräsrakenteiden suunnittelu, s. 136.

/_ \ w

e0=a(l-0,2)ky-^ (2.2)

jossa

a on nurjahdus käyrästä riippuva epätarkkuustekijä X on dimensioton hoikkuus

kv on nuij ahduskäyrästä, dimensiottomasta hoikkuudesta ja kestävyyden osavarmuusluvusta riippuva kerroin

Wel on poikkileikkauksen kimmoinen taivutusvastus A on poikkileikkauksen pinta-ala

Hitsatulle I-poikkileikkaukselle käytettävä nuijahduskäyrä riippuu laipan paksuudesta ja taivutuksen suunnasta. Kun poikkileikkaus on ohutlaippainen, eli laipan paksuus on korkeintaan 40 mm, ja nurjahdus tapahtuu vahvempaan suuntaan, käytetään nuijahduskäyrää b. Nurjahduskäyrää c käytetään, kun sauvan poikkileikkaus on ohutlaippainen ja sauva nurjahtaa heikompaan suuntaan, tai kun sauva, jonka poikkileikkaus on paksulaippainen, nurjahtaa vahvempaan suuntaan. Kun poikkileikkaus on paksulaippainen ja sauva nurjahtaa heikompaan suuntaan, käytetään nurj ahduskäyrää d.

Epätarkkuustekijä a on

a = 0,34, kun käytetään nurj ahduskäyrää b a = 0,49 , kun käytetään nurj ahduskäyrää c a = 0,76 , kun käytetään nurj ahduskäyrää d.

Dimensioton hoikkuus X lasketaan kaavasta

(2.3)

jossa

on hoikkuusluku L

I

on nurjahduspituus, jonka tässä oletetaan olevan sama kuin jännevälin pituus on poikkileikkauksen jäyhyysmomentti

E on kimmokerroin

on myötöraja

fy

on poikkileikkauksen tehollinen pinta-ala.

Kerroin k v lasketaan kaavasta

kv = l-&5 +2£SX, kv > 1,0 (2.4)

jossa

k5 = 0,15, kun nuijahduskäyrä on b ks = 0,11, kun nuijahduskäyrä on c k& = 0,08 , kun nuijahduskäyrä on d.

Kerroin k& riippuu myös osavarmuusluvusta y Mi Jonka tässä on oletettu olevan 1,1.

Kimmoinen taivutusvastus Wel lasketaan jakamalla poikkileikkauksen jäyhyysmomentti korkeuden puolikkaalla.

/

Alku taipuma on sinikäyrä v, = en sin—. e° o L7LY

Kerroin e0 on alkukaarevuus, joka lasketaan erikseen jokaiselle jännevälille. Alkukaarevuuden avulla otetaan huomioon epätarkkuuksien vaikutukset sauvan mitoitukseen.

Alku taipuman merkki voi olla positiivinen tai negatiivinen, joten kaikille jänneväleille pitää tarkastaa kummankin suuntainen alkutaipuma. Vaarallisempi tapaus on se, jossa alkutaipuma ja kuormituksesta aiheutuva taipuma ovat samansuuntaisia.

2.3 Alkuvinous

Kehärakenteiden mitoittamisessa epätarkkuuksien vaikutukset otetaan huomioon ekvivalenttina geometrisena epätarkkuutena alkuvinouden avulla.

Alkuvinous <j) lasketaan kaavasta3

<l> = MA.

jossa

nc on pilarien lukumäärä tasoa kohti ns on kerrosten lukumäärä

Sauvan oletetaan olevan suora, eli vinous on vakio. Kulma on aina positiivinen.

3 Eurocode 3, Teräsrakenteiden suunnittelu, s. 83-84.

2.4 Taipuman määrittäminen

Puristetun ja taivutetun sauvan differentiaaliyhtälö on4

EIv"" + Pv" — q(x) (2.5)

ja tämän yhtälön yleinen ratkaisu on

v = A sin he + B cos he + Cx + D + v , ( 2.6)

jossa

v on yksityisratkaisu, joka riippuu poikittaisesta kuormasta q(x) A, B, C ja D ovat vakioita, jotka määräytyvät reunaehdoista.

Jos kuormafunktio ei ole jatkuva koko jännevälillä, differentiaaliyhtälö tulee ratkaista paloittain. Tällaisia epäjatkuvia kuormia ovat kaikki pistekuormat ja -momentit sekä sellaiset jatkuvat kuormat, jotka kohdistuvat jänneväliä lyhyempään osaan. Koska ratkaistavien yhtälöiden määrä kasvaisi helposti kohtuuttomasti, differentiaaliyhtälön ratkaiseminen suoraan ei ole tarkoituksenmukaista.

L

Kuva 2.2 Staattisesti määrätyn perusmuodon peruselementti

Momenttimenetelmässä sauva katkaistaan jännevälin mittaisiin peruselementteihin, jotka ovat kaksitukisia vapaasti tuettuja sauvoja. Sauvanpääsiirtymät ja -kiertymät asetetaan yhteensopiviksi sauvanpäämomenttien avulla.

Sauvanpäämomenttien ratkaisemiseen käytetään reunaehtoina momentti- ja leikkaus voimatasapainoa sauvan päissä. Yhteensopivuusehtona on sauvan jatkuvuus tuilla.

Kun sauvanpäämomentit on ratkaistu, lopullinen taipuma voidaan ratkaista. Ensin lasketaan pelkistä sauvanpäämomenteista ja normaalivoimasta aiheutuva taipuma. Siihen lisätään staattisesti määrätystä perusmuodosta laskettu taipuma.

Ohjelmoinnin kannalta momenttimenetelmä on erinomainen, koska siinä yhtälöryhmän koko riippuu ainoastaan jännevälien lukumäärästä. Kuormat eivät vaikuta tuntemattomien lukumäärään.

4 Timoshenko, Stephen P. & Gere, James M. Theory of Elastic Stability, s. 2.

2.5 Sauvanpäämomentit

Momenttimenetelmässä kiijoitetaan yhtälöt sauvanpääkiertymille. Kiertymiä aiheuttavat sauvanpää- momenttien lisäksi sauvan vinous, eli päiden poikittaissiirtymät, sekä ulkoiset kuormat. Momentti- menetelmän yhtälöt puristetulle ja taivutetulle sauvalle ovat:

o

<P21 -~r ^2lV(“l2)-"^y A^I2(!)(“l2) + Xl/21 +Ct21 (2.7)

jossa

Mjj on sauvanpäämomentti mella z sauvassa ij

\\fij on sauvakiertymä tukien i jaj välillä

a,® on poikittaiskuormirnksesta aiheumva sauvanpääkiertymä u = —XL

2

V|/(zz), 4>(m) ovat Berryn funktioita.

Tuntemattomia on neljä: A/l2, M2I, vj/]2ja \(/21. Ehto V12 = V21

pudottaa mntemattomien lukumäärän kolmeen.

Kaksiaukkoiselle sauvalle tarvitaan siis kuusi yhteensopivuusehtoa. Tuntemattomien sauvakiertymien tilalle otetaan tuntemattomiksi tukien siirtymät.

A2 — Aj V12 =V2i = ^7—1

L12

A2 +V*

^12

V|/23 =\j/32 = A3-A2 , vj-vj

-23 -23

jossa

v, on alkuvinoudesta johmva men i siirtymä

A,. on tuntematon kuormituksen aiheuttama men i siirtymä.

Tuki 1 on siirtymätön, koska oletetaan, että pilarin alapään on pysyttävä paikoillaan. Muilla millä on siirtymäjousi.

Alkuvinous on tunnettu, joten kaksiaukkoisen sauvan kuusi tuntematonta ovat:

^12 > M2\> a/23 , a/32 , a2 , a3

Kuva 2.3 Sauvanpäämomentit ja tuntemattomat tukisiirtymät. Tukisiirtymä A, on katkoviivan ja ehyen viivan välinen etäisyys tuella i.

Reunaehtoja tarvitaan kuusi.

Tuet 1 ja 3

Reunimmaisilla tuilla vallitsee momentti tasapaino. Sijoitetaan ehtoon k m, (Pi,- + + M® = 0

sauvanpääkiertymien lausekkeet 2.7, jolloin saadaan

/= 1:

3EI v '

'-MX

m: Mu +"T- + 71- + «?2 +T-i- = 0

6 EI (a)

-12 lM\

i = 3:

—+ -^-LV|/(w23)

*a/3 3£/n23; M32- -23 <J)(m23)A/23 +—---—

6£/ V 23 y 23 Z23 i23 vt — vt

-23

- + a Mj

32 = 0

1 Mi

(b)

M,° on tuella z mahdollisesti oleva ulkoinen pistemomentti.

Tuki 2

Momenttitasapaino vallitsee myös keskimmäisellä tuella.

Af 21 + M23 + A/2° = 0 (c)

Sauvan jatkuvuudesta tulevaan yhteensopivuusehtoon

<P21 "<P23 =0

sijoitetaan sauvanpääkiertymät lausekkeesta 2.7, ja saadaan

+-^jV{u\2)M2i -j^v{u2})M21 +^M^.

3 El ³²

jJA,___ !_ A - - d>

v4 . V3

1 ^12 ^•23 ,A2 , A3 ~

+23 . ^12 ^23 > 2 T~

+23

id)

-«21 +“23

Leikkausvoimatasapaino

Siirtymäjousien kohdalla leikkausvoimien pystykomponenttien on oltava tasapainossa jousivoiman kanssa. Tuki 1 on siirtymätön, mutta muilla tuilla on jousi. Oletetaan, että alkuvinous ei aiheuta jousivoimaa.

Sauvan leikkausvoimatasapainoehto tuilla on

„ My+M ••

Qo=Qh~■>

+>>■

(2.8)

jossa

el

M j+ M jj h PijVij

on poikittaiskuormista aiheutuva leikkausvoima sauvassa ij tuella i on normaalivoima sauvassa ij

on sauvanpäämomenttien aiheuttama leikkausvoima sauvan ij tuilla on normaalivoiman aiheuttama leikkausvoima vinoon sauvaan ij.

Kuva 2.4 Pystykuormien tasapaino tuella 2 Leikkausvoimatasapaino tuella 2

Ø21 +*>2^2 -023 = 0

on voimassa. Sijoitetaan tasapainoehtoon yhtälö 2.8:

j M12 M2l +——Mn+ ——Af,-, +

M2

( p p x

r12 , r23

'32

-23 -23

°,2 Ai ^\

+ *

-12 -23

A, +-SlA, 1 T 3

L23

V t,2 l23 yV2 + Ø23

+23

(e)

Kuva 2.5 Pystyvoimien tasapaino tuella 3 Leikkausvoimatasapaino tuella 3 on

Ö32 +^r3^3 = 0 •

Sijoitetaan tähänkin ehtoon leikkausvoimatasapainon yhtälö 2.8:

L23 L23

32 +”" ^2 + L23

r23

+ Ä-,

-23 00

Tässä yhtälöt on muodostettu kaksiaukkoiselle sauvalle. Jos sauva on yksiaukkoinen, tarvitaan vain yhtälöt a, b, ja/ Tällöin tietenkin yhtälöissä h ja/tukisiirtymät A2 ja v2 jäävät pois ja alaindeksit näissä yhtälöissä pienenevät yhdellä. Jos jännevälejä on kaksi tai useampia, lisätään väliin yhtälöiden c, d ja e kaltaisia lisäehtoja.

2.6 Ulkoisten kuormien aiheuttamat sauvanpääkiertymät

2.6.1 Periaate

Poikittaiskuorma aiheuttaa sauvaan taipuman, jonka suuruus on riippumaton muista sauvassa vaikuttavista poikittaiskuormista, kun normaalivoima pysyy muuttumattomana.5 Superpositioperiaatetta voidaan siis soveltaa, kun normaalivoiman vaikutus otetaan huomioon jokaisen poikittaiskuorman yhteydessä.

Kiertymä lasketaan derivoimalla taipumaa. Sauva ajatellaan yksiaukkoiseksi ja nivelisesti tuetuksi.

Kuormitustermit a ° ja a yhtälöissä 2.7 saadaan, kun lasketaan kaikista sauvalle tulevista poikittais­

kuormista aiheutuvat sauvanpääkiertymät yhteen.

5 Timoshenko, Stephen P. & Gere, James M. Theory of Elastic Stability, s. 7-8.

2.6.2 Pistekuorma

O v ^O

-ZÉ- 7777"

Kuva 2.6 Pistekuorma

Sauva taipuu pistekuorman vaikutuksesta. Sen jälkeen myös normaalivoimasta aiheutuu taivutus- momenttia ja lisää taipumaa. Momentin lauseke voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälönä

M = -j-x + Pv — F(x — a),Fb

jossa

(x - a) määritellään seuraavasti:

{x-a) = 0, kun x<a x-a, muulloin

Sijoitetaan lausekkeeseen yhteys M = -Elv'1 EIv" = -M = ——x-Pv + F{x-a)Fb

Differentiaaliyhtälö ratkaistaan paloittain. Yhtälöt voidaan esittää muodossa

(2.9)

, Fb

v"+Xv = -~£Ex’ °~X<a

„ -2 Fb F , x

v +X v =--- x + — (x-a), a<x<L EIL EI

jossa

X = J—.

V EI

Näiden yhtälöiden yleiset ratkaisut ovat:

v = A sin he + B cos ‘kx--- x,Fb

PL 0 < x < a v = C sin Xx + D cos Xx--- x + — (x-a), a<x<LFb F

PL P ⁽2.10)

A sin 0 + 5 cos 0- 0 = 0

=>5 = 0

C sin AL + D cos AL - 0 = 0

=> D = -C tan XL

Toiset kaksi ehtoa tulevat yhteensopivuudesta. Kuorman F kohdalla, eli pisteessä x = a, taipuma ja kiertymä ovat jatkuvia.

... Fb „ . . _ . r . Fb

A sm An---a = C sm ka - C tan AX cos Ka---a

PL PL

XA cos An--- -- AC cos An + AC tan XL sin An -Fb PL

Fb F_

PL P Ratkaistaan vakiot

F sin Xb AP sin AL 5 = 0

C _ F sin An AP tanAL D = — sin An .

AP

ja sijoitetaan ne taipuman lausekkeisiin 2.10 F sinA5 . . Fb v = --- sm Av--- x,

AP sin AL PL 0 < x < n

P sin An.. F . . . Fb F , , .

v = --- -—smAxH--- sm An cos Ax---xh—(x-a), a<x<L

APtanAL AP PL P

Taipuman yhtälöt saadaan muotoon F ( sm Xb . . b ^ v = — --- -—sm Av---- x

P IA sin AL L 0 < x < n ₍2.11«)

pf sin An . x n .

v = — --- smA L-xH—x-n , n < x < L.

P l A sin AL K ' L 1 ⁽2.11*)

Sauvan kiertymä on

dv P f sm Xb , L i dv P [ sin AL L.

dv _ P f sin An dx PV sin AL

0 < x < n

cosA(L-x) + y ]> n <x < L

Sauvan alkupään kiertymä on dv F f sin Xb b 'j dx |J=o P { sin XL L ) ja loppupään kiertymä vastaavasti

dv F f sinXa a' dx|x=£ P\ sinXZ L,

Momenttimenetelmän lausekkeisiin sijoitettavat a° -termit ovat näinollen

J p. v

«i-i

V

sin Xyb b s™ hy L;j Ly j

sinXjja a

sin XjjLjj Ly j-+- ⁽2.12)

2.6.3 Jatkuva kuorma

Kuorma alkaa pisteestä x = a ja se on jakaantunut pituudelle b.

de e

777TT

Kuva 2.7 Jatkuva tasainen kuorma

Jatkuva kuorma voidaan ajatella joukoksi pistekuormia, jotka ovat toisistaan etäisyydellä de ja joiden suuruus on q de. Näiden pistekuormien aiheuttamat taipumat voidaan laskea yhteen, ja koska de on hyvin pieni, voidaan yhteenlaskun asemesta integroida.6

Pistekuorman vasemmalla puolella taipuma lasketaan lausekkeesta 2.11a. Muunnetaan yhtälössä b e

F —>qde,

jolloin saadaan taipuma jatkuvan kuorman vasemmalla puolella.

v q sin Xx XP sin XL

b+c

j"

b+c

c

0 <x<a, (2.13)

6 Timoshenko, Stephen P. & Gere, James M. Theory of Elastic Stability, s. 9.

Yhtälö on integrointien jälkeen

v q s in Xx

P sin XL (- cos X(6 + c) + cos (2.14)

Sauvan alkupään kiertymä saadaan laskemalla taipuman derivaatta pisteessä x = 0.

dv dx |,=o

(-cosX(6 + c)+cosXc)-^ +2*c

X sin XL 2 L

Taipuman laskemiseksi kuorman oikealla puolella tehdään lausekkeeseen 2.116 samat muunnokset kuin edellä tehtiin laskettaessa taipumaa kuorman vasemmalla puolella.

sinX(L-x) X sin XL

b+c . J+c

J

J

v-*

P , a+b<x< L

ja lopulta saadaan suhteellisen yksinkertainen lauseke.

sin X(L-x) t (x \

—;--- cosXzz-cosX(a+6 H- 1

X2sinXL V V ,r\L Lb-b2 +2bc

, a+b<x< L ( 2.16)

Lasketaan sauvan loppupään kiertymä.

—-—[- cos la + cos X(u+6)1+6-^ +~bc

in

1 r

dv _ q

dxljc =i P XsinXL 1 Sauvanpääkiertymät ovat

J PiJ

- cosX,y (6+c) + cosXjjC b2 +2bc Xtj Sål ky Ly 2L„

cc °ji = — y pu

- cos Xjja+cos X(y (a+b) b2+2bc

— —\-b —

X,y siniijLy

21,

2.6.4 Pistemomentti

777/r

a b

L

Kuva 2.8 Pistemomentti

Pistemomentin aiheuttaman taivutusmomentin lauseke on M = —~x + Pv- A/0(x-a)°.

Kun differentiaaliyhtälö kirjoitetaan muodossa

x +A/0(x-a)°, (2.18)

L

se voidaan ratkaista paloittain, kuten kappaleessa 2.6.2 jo tehtiin pistekuorman tapauksessa. Kirjoitetaan ratkaisuyritteet:

Huomataan, että yhtälöt ovat muuten samanlaiset kuin pistekuorman yhtälöt, mutta kummassakin osassa on suoritettu muunnos

Fb -» M0 ja toisessa lisäksi

F(x-a) —> M0.

Vakioiden ratkaisemisessa voidaan käyttää hyväksi pistekuormalle jo ratkaistuja vakioita. Kaksi vakiota saadaan siitä ehdosta, että taipumat päissä häviävät.

D = —C tan XL 5 = 0

Yhteensopivuusehdot pisteessä x = a ovat

eli taipuma ja kiertymä ovat jatkuvia. Yhtälöparin

Mo M0 M0 A sin/xz--- ti = CsinXa-CtanXI cos Xn---a H---

PI PI P

X/l cos Xti - = XC cos Xxz + XC tan XI sin Xn---—

PI PI

ratkaisuna saadaan loput kaksi vakiota.

Mo_

P cosXa M0

tanXl P Taipuman lauseke on nyt

=> ^ =

tanXl+ sinX<2

Mo

M«

P

f

(tan XI J I

cos Xxz . . . . x ,

--- sm Xx - cos Xn cos Xx--- h 1

tanXl I

0 < x < a a<x < I

ja se voidaan lausua muodossa

M^

P M0

cos XI . . x ---- -—smXx----

s in XI I

cos Xa . , / x , --- smX x-1---hl

s in XI I

0<x<a a<x<L

Sauvanpääkiertymä sauvan alkupäässä on X cos kb 1

s in XI I ja loppupäässä

dv M0 dx |,=o ~ P

dv dx|x=i

M0 X cos ka 1 P s in XI I

Momenttimenetelmän yhtälöihin sijoitettavat sauvanpääkiertymät ovat:

(2.19)

M0 X,y coskjjb 1 _ sinXyly M M0 X,y COS X,yö 1

sinXyly

(2^.20⁾

2.6.5 Alkuvinous ja alkutaipuma

/////

L Kuva 2.9 Alkuvinous

Alku vinouden vaikutuksesta normaalivoimat sauvan päissä vaikuttavat eri korkeudella ja aiheuttavat siksi taivutusmomenttia sauvaan. Tukireaktiot Rt ja Rj saadaan siitä ehdosta, että molemmissa päissä taivutusmomentti on nolla.

Momenttitasapaino tuen i ympäri on -PtyL+RjL = 0.

Poikittaisia kuormia ei ole, joten tukireaktiot voidaan määrittää.

Rj = P0 X,=-P*

Momentin yhtälö on

M = RjX + P(<jxr + v,) jossa

v, on normaalivoiman aiheuttama lisätaipuma.

Ratkaistava differentiaaliyhtälö on EIv"+ Pv, = P(J).r - P(j).r = 0.

Lisätaipuman yritefunktio on v, = A sin kx + B cos he Alkupään taipuma on nolla:

v(0) = 5 = 0

Loppupään taipuma on nollasta eroava, mutta lisätaipuma häviää sielläkin.

v,(Z.) = A sinhL-0 Tästä saadaan /riksi

A = 0.

Lisätaipumaa ei edellisten laskelmien mukaan synny, joten ei synny myöskään sauvanpääkiertymiä, vaan ainoastaan sauvakiertymä 0. Sauvakiertymä on sama kaikissa kentissä ja se otetaan momenttimenetelmän yhtälöissä huomioon tukisiirtyminä vf = v?,, +0Z.,-.

Alku vinous 0 on ohjelmassa aina positiivisen y- tai z-akselin suuntainen. Kuormituksen suunta tulee valita siten, että vinous kasvattaa rasituksia. Käyttäjän kannattaa määrätä kuormitustapaukset niin, että pysty kuormat kuuluvat eri kuormitustapauksiin kuin vaakakuormat. Vaakakuormien suunnan voi tällöin kätevästi kääntää vaihtamalla näiden kuormitustapausten varmuuskertoimien etumerkit. Näin voi tarkis­

taa, kumpi suunta on vaarallisempi.

F N®

77777^"

Kuva 2.10 Alkukäyryys

Sauvan alkutaipuman voidaan olettaa olevan sinikäyrän puolikas . JDC

v0 = e0 sm — .

Normaalivoimasta aiheutuva momentti riippuu sauvan kokonaistaipumasta M = P(v0 +v,).

Alkutilassa sauvassa ei ole momenttia huolimatta alkukaarevuodesta. Sauvan momentti riippuu ainoas­

taan siitä käyristymästä, jonka normaalivoima aiheuttaa. Lisätaipuman v, differentiaaliyhtälö on siis

£/vf+P(v ,+v0) = 0

Sijoittamalla yksityisratkaisun yrite . Ttr

V| = a sm —

lisätaipuman yhtälöön 2.21saadaan

a = ■ Pen en •

EI — -P

.2 *0

--I'

Lr Yhtälön yleinen ratkaisu on

v1 = A sin A.V + B cos X.Y + -

1 Ttr

1---eQs,m — X2L2

-1

(2.21)

Reunaehdoista v, (O) = Oja v, (Z) = 0 johtuen yleisen ratkaisun vakiot A ja B häviävät. Sauvan kokonais- taipuma on alku taipuman ja lisätaipuman summa.

v = 1 + -

X2Z2

-1

7CX

en sin — = -

Ttc

1^--X2Z2 sm- (2.22)

Koska sauva on alkuaan kaareva, yhteensopivuusehdot kirjoitetaan ainoastaan kiertymän muutokselle.

Sauvanpääkiertymiin lasketaan täten ainoastaan normaalivoiman aiheuttama kiertymä.

Sauvanpääkiertymien laskemista varten derivoidaan lisätaipuman lauseketta.

dv,

dv -cos-Ttr

X2Z2

-1

7t

L‘j

i1 r2

KiLj

-1

“K.K 1^--

\2 T2 KULij

(2.23)

Alku taipuman e0 suunta määräytyy ohjelmassa jänneväleittäin. Jännevälillä olevista kuormista aiheutuvat sauvanpääkiertymät sauvan alkupäässä lasketaan yhteen. Jos kiertymän merkki on positiivinen, myös e0 on positiivinen. Jos kiertymä on negatiivinen, e0 on negatiivinen. Näin sauvanpääkiertymän itseisarvo samoinkuin jännevälin maksimimomentti kasvavat.

2.7 Berryn funktiot

p

Mj,Y^V Q),p -2S~

/////

Kuva 2.11 Sauvanpäämomentti MJ(

Sauvanpäämomentti aiheuttaa sauvaan taipuman, jonka lausekkeen voi kirjoittaa pistemomentin aiheut­

taman taipuman 2.19 avulla.

Koska Mji vaikuttaa sauvan oikeassa päässä, a = Z ja b - 0. Sauvanpäämomentti kiertää myötäpäivään, joten sen etumerkki on negatiivinen. Koko sauvan taipuma määräytyy yhdestä lausekkeesta

v = --Mji f sin Xx x

K sinXX X ⁽2.24)

Qi/M,

e

~z^~

/////

Kuva 2.12 Sauvanpäämomentti AT,

Sauvanpäämomentin AT, aiheuttaman taipuman laskemisessa rakenne on muuten edellisen peilikuva, mutta momentti on samanmerkkinen. Momentin merkki pitää vielä vaihtaa, minkä jälkeen voidaankin kulkea L-x -koordinaattia pitkin oikealta vasemmalle. Korvataan siis edellisessä yhtälössä

Mjj —> -AT, x -> L-x

Taipuman lauseke on tällöin

Mjj (sinX(X-x) L-x'

P v sin XL L (2.25)

Kun molemmat sauvanpäämomentit vaikuttavat, taipuman lausekkeet 2.24 ja 2.25 voidaan laskea yhteen.

M ji f sin Xr x) , Mu sin X(X-x) L-x' P 1 sinXX xj

P sin XX

L J

Sauvanpääkiertymät ovat

dv ₁ Mji if

x r

oIIH

45 p 1

l sin XL L,

J

1

xj

ja

dv Mj,

f n

f x

n

dxi,=i P 1 tanXX ^l\ ' P sin XX X y Sijoitetaan

X =

2 u

(2.26)

ja muokataan kertoimia samannäköisiksi kuin momenttimenetelmän yhtälöissä 2.7, jolloin saadaan

dv MtjL _{3 I}r 1 1 'I MHL 3|' 1 „n

dx|jt=o 3 EI ^2u\k2u tan2n t^{1 6EI u}\_{. sin2n} 2 ^uj

dv MJtL 3 ^{f 1 1 ) MVL 3/ 1 1 X}

dxljt=i 3 EI 2 u 2m tan2n, 6£/ uVsin2« 2«J Berryn funktiot ovat siis

x

>

(2.27)

2.8 Taivutusmomentti- ja leikkausvoimajakaumat

Taivutusmomentti pisteessä x on M(x) = -EIv"(x) ja leikkausvoima

Q(x) = -EIv"'(x).

Käsiteltäessä tapausta, jossa poikittaiskuormat ovat _v-akselin suuntaisia, saadaan Qy - ja M, -jakaumat.

Kun kuormat ovat z-akselin suuntaisia, saadaan Q. - ja M v -jakaumat.

Kun sauvanpäämomentit on ratkaistu, taivutusmomentti- ja leikkausvoimajakaumat voidaan laskea superpositioperiaatteen avulla. Kunkin kuorman aiheuttama voimasuurejakauma saadaan derivoimalla kyseisen kuorman aiheuttaman taipuman lauseketta. Leikkausvoimajakaumaan tulee lisäksi vakiotermi

Q = -p.jxV..=-P.j A.-A,+v»-v*

joka on normaalivoiman aiheuttama leikkausvoima vinoon sauvaan.

2.8.2 Sauvanpäämomentit

Sauvanpäämomenttien kuormittaman sauvan taivutusmomenttijakauma on M ji X2 s in Xr Mjj X2 s in X(L - ,r)

P sinXZ. P sinXZ, d2v

-EI---rr = -EI dx2 Sievennetään lauseketta.

(2.28)

M = My ^{sin X(L-x)}

sinXL ^Mj,

sinXx sinXL

Leikkausvoiman lauseke on taivutusmomentin ensimmäinen derivaatta.

Q dM

dx

Xcos X(L —x) XcosXx - M ,7--- ---M n---

sinXL 7 sinXL (2.29)

2.8.3 Pistekuorma

Pistekuorman aiheuttama taivutusmomenttijakauma on d2v F X sin XL

- EI —— = EI---— sm Ex, dc2 P s in XL

d2v

0<x<a v. , F f XsinXti . . , . , , .

-El—---El— --- -—smXx-XsmXncosXr , a<x<L

dv2 P\ tanXL 1

Lausekkeet voidaan esittää myös muodossa F sinXb . .

M =-———smXx, M =

X sinXL F sinXa X sinXL

0 <x<a

sin X(L-x), a<x<L. (2.30)

Leikkaus voimaj akauma on

Q dM sm Xb .

---= F--- -— cos Xx,

dv sinXL 0 <x<a

Q dM

dv

„ sinXa

= -F---- -—cos

sinXL X(L-x), a < x < L . (2.31)

2.8.4 Jatkuva kuorma

Taipuman lauseke on aiemmin määritetty jatkuvan kuorman vasemmalla ja oikealla puolella, mutta ei sen kohdalla. Kuorma voidaan jakaa kahteen osaan: Ensimmäinen osa alkaa pisteestä a ja loppuu pisteeseen x.

Toinen osa alkaa pisteestä x ja päättyy pisteeseen a+b. Pisteessä x ollaan siis ensimmäisen osan oikealla puolella ja toisen osan vasemmalla puolella. Näistä tulevat taipuman lausekkeet 2.13 ja 2.15 lasketaan yhteen.

Taipuma kuorman kohdalla on

J+C

1 J(L-e)d*

sin X(L-x) X sin XL

• J"

L-x ' L

q sinXv XP sinXL

L-x L-x

f

f

J PL J

Integroidaan lauseke ja sievennetään sitä

+ -i

sin X(X-x) X2 sin XX

sinXx P|_X2 sinXX kunnes saadaan lauseke

sinX(l-x) X2 sinXX

(cos

X/j

1

1 j|

2 j

(-cosX(X-x) + cosXc)- —^(Z-x)2 -c2 j

sinXx

(cos Xa - cos Xx) h— --- (- cos X( L - x) + cos Xc) X2 sinXZ,

P

1 ^f xx 1 — L)

'2 ' ,X„ . X.(^ZiL + ^c2

2 2 X (6 + c) + (x-X)(ft + c) + -

Taipuman lauseke tasaisen kuorman kuormittamalle yksiaukkoiselle sauvalle on nyt määritetty sauvan kaikissa kolmessa osassa:

kuorman vasemmalla puolella,

v-*

P smXx sinXZ X2

2 +2 6c)

’ 2 Z' / 0 <x<a

kuorman kohdalla

sinX(X-x) sin Xx / . , x , \

(cos Xti - cos Xx) + ^ (- cos X( X - x) + cos Xc)

+i.

P

X2 sinXX ai1 X z1 x^

X2 sinXZ x2 . / ,v, . x . iL~x)2

(Z> + c) +(x-X)(6+c) + - x 2

---+—c

2 2L , a < x <a+b

ja kuorman oikealla puolella.

sin X(X-x)

—--- - (cos Xti - cos X(zi + £>))+---- 1

X2 sinXZ V K {L Lb-y +2 bc

, a+b< x < L (2.32)

Taivutusmomenttijakauma on

£

dx 2 P sinXX

(- cos X(6 + c) + cos Xc), 0 < x < a

d2 v o

-EI—r- = -EI —

dx2 P

— EI—

sinX(Z-x), . cosX(X-x)sinXx

v - (cos Xc - cos Xx) - - v ’

sinXX sinXZ

sin Xx z .,. x . x cos Xx . , x , --- — -cosX L-x +cosXc--- — smX [L-x +1

sinXZ v v ’ ’ sinXZ. V ' , a<x<a+b

d2v asinX(Z-x), . ., x\

• EI—— = EI —--- -(cosXn-cosX(Z -c)),

dx2 P sinXX V V n a+b<x<L

ja se saadaan sieventämällä yksinkertaisempaan muotoon M

M q X2 X2

(- cos K(b + c) + cos Xc),

sinXL v v ’ ’

sinX(L-x) sinXx ,

---cos Ka +---— cos Ke -1

s in XL sinXL

0<x<ti a<x<a+b

M = - sm X(L-x)

sinXL (cos Ka-cos X(L-c)), a+b<x<L (2.33)

Leikkausvoimajakauma saadaan derivoimalla momentin lausekkeita.

Q-~r

C0S^~Y

^ X

cos X(L-x) cos Xx - cos Ka H——r— cos Xc

sinXL sinXL , a < x < a+b a cosX(L-x) , . .

Q = --- (-cosXcr + cosX(L -c)), a+b < x < L

X sinXL ' ’

2.8.5 Pistemomentti

Taivutusmomentin lauseke pistemomentin kuormittamalle yksiaukkoiselle sauvalle on

0 <x<a M = -EI d2v= M n sin Xx,

dx sinXL

., d2v , „ cosXct . . , .

M--EI—-=M0---- -—smX(x-L), a<x<L dx2 sinXL

ja leikkausvoiman lauseke Q=M0K Q=M0K

cos Kb sinXL cosXa sinXL

cosXx, cos X(x-L),

0 < x < a a < x < L .

(2.34)

(2.35)

(2.36)

2.8.6 Alkuvinous ja alkutaipuma

Pelkkä alkuvinous ei aiheuta sauvaan momenttia, sillä normaalivoima ei lisää vinon sauvan taipumaa, kun muita kuormia ei ole. Leikkausvoima, jonka normaalivoima aiheuttaa vinoon sauvaan, on laskettu kohdassa 2.8.1.

Alkuaan kaarevan sauvan taipumaa normaalivoima kasvattaa, joten myös momenttia ja leikkausvoimaa syntyy. Normaalivoiman aiheuttama taivutusmomentti on suoraan verrannollinen taipumaan.

M = Pv

Sijoitetaan yhtälöön kokonaistaipuman lauseke 2.22.

M=P (2.37)

1-

eo ■ rcx , sin — l2 r2 L XL

Leikkausvoimajakauma on

„ nK eo T«

Q = P--- r-^-cos—

L X2L2 L 1 —

7t"

2.5 Esimerkkitapaus

(2.38)

Kuva 2.13

9 = 1^1

^4

Esimerkkirakenne.

Esimerkkitapauksena on kaksijärmevälinen pilari. Molempien jänteiden pituus on L ja kaikki tuet ovat nivelisiä. Keskellä on z-suunnassa kiinteä tuki; y-suuntainen tuki on jousi, jonka jousivakio on k.

Rakennetta kuormittaa hyötykuorma P ylhäältä sekä y-akselin suuntainen tuulikuorma q. Tutkitaan jousivakion vaikutusta momentti-ja leikkausvoimajakaumaan sekä taipumaan.

Annetaan vakioille seuraavat arvot:

L = 3000 mm /*= lOkN q = lOkN/m

Molemmille kuormille on annettu varmuuskertoimeksi murtotilassa 1,60 ja käyttötilassa 1,00. Käytettävän teräksen lujuus on 355 MPa ja kimmokerroin 210000 MPa. Poikkileikkauksena on IP£ 220, jonka mitat ovat

b = llOmm / = 9,2mm h = 220 mm d = 5,9 mm

Annetaan keskimmäisen tuen jousivakiolle arvoja nollasta hyvin suureen. Huomataan, että jo melko pienillä jousivakion arvoilla momenttijakauman muoto alkaa muistuttaa kiinteätukisen pilarin momenttijakaumaa. Jousivakion arvolla k = 0 momenttijakauma on samanlainen kuin yksijännevälisen sauvan, jonka pituus on 2L. Jousivakion yksikkö on kN/m.

Momenttijakauma

-10

k=50 k=500 k=5000 k=50000 k=1e20

Kuva 2.14 Esimerkkirakenteen momenttijakauma laskettuna jousivakion eri arvoilla. Momentin yksikkö on kNm.

Leikkausvoimajakauma

k=0 k=50 k=500 k=5000 k=50000 k=1e20

Kuva 2.15 Esimerkkirakenteen leikkausvoimajakauma laskettuna jousivakion eri arvoilla. Käyrä, jossa ei ole epäjatkuvuutta välituella, on saatu arvolla k = 0. Leikkäusvoiman yksikkö

on kN.

Taipuma

oomr-o-f-coinr^oiT-coioh-oiT-co

i-r-r-T-i-CMCMC\ICNJCMC3n

k=50 k=500 k=5000 k=50000 k=1e20

Kuva 2.16 Esimerkkirakenteen taipuma jousivakion vaihdellessa. Taipuma on suurin, kun jousivakio k = 0. Taipuman yksikkö on mm.

3 Jatkuvan sauvan vääntö

3.1 Yleistä

Kuva 3.1 Jatkuva vääntösauva.

Epäkeskiset poikittaiskuormat aiheuttavat sauvaan taivutuksen lisäksi vääntöä. Vääntömomentin suuruus on

Mx =Qe, (3.1)

jossa

Q on poikittainen kuorma jommassakummassa pääjäyhyyssuunnassa e on kuorman vaikutuspisteen etäisyys vääntökeskiöstä.

Q voi olla joko pistekuorma tai jatkuva kuorma. Etäisyyden e otaksutaan pysyvän vakiona koko kuorman pituudella. Kuormitukseksi voi antaa myös suoraan pistemäisiä tai jatkuvia vääntömomentteja.

Pilarin alapäässä vääntö on estetty. Kaikilla muilla tuilla on lineaarinen jousi, jonka jousivakio on kT.

Tuen vääntömomentti on suoraan verrannollinen vääntökulmaan M, = Årr<t>.

Pilarin molemmissa päissä on lisäksi vääntymäjousi, jonka jousivakio on kB. Tuen bimomentti on tällöin suoraan verrannollinen vääntymään

B = k.

3.2 Voimamenetelmän yhtälöt

Jatkuvan vääntösauvan ratkaisemiseksi käytetään momenttimenetelmälle analogista voimamenetelmää.

Staattisesti määrätty perusmuoto on yksiaukkoinen molemmista päistään haarukkalaakeroitu sauva.

Yhtälöt kirjoitetaan vääntymällä eli vääntökulman ensimmäiselle derivaatalle. Yhtälöistä ratkaistavat staattisesti määräämättömät suureet ovat tukien bimomentit.

Yhtälöt sauvanpäävääntyrnille ovat 012 = <z125]2 +6i2S21 +X\2 +9?2

021 =a21512+62|^2i+X2i+02i (3.2)

jossa

Bjj on sauvanpääbimomentti

0° on ulkoisen vääntökuormituksen aiheuttama vääntymä sauvan ij päässä i ay, by ovat sauvanpääbimomenttien kertoimia

Xjj on sauva vääntymä Tuntemattomia on neljä: Bn, 521, X12 > X21

Sauvavääntymä on vakio koko sauvassa, joten ehdosta X12 = X21

tuntemattomien määrä putoaa kolmeen.

Kaksiaukkoiselle vääntösauvalle tarvitaan kuusi yhteensopivuusehtoa. Sauvavääntymien tilalle tuntemat­

tomiksi otetaan vääntökulmat tuilla.

X12 - X23 =

(t>2 _ §2_

L ~ L 03 ~02

Pilarin alapäässä vääntökulma on nolla. Kaksiaukkoiselle vääntösauvalle ratkaistavat kuusi tuntematonta ovat

■^12 > &21 > -®23 > ^32 > 02 > 03 •

Tasapaino- ja yhteensopivuusehtoja tarvitaan myös kuusi.

Tuki 1

Vääntymäjousen aiheuttaman tukireaktion on oltava tasapainossa ulkoisesta kuormituksesta aiheutuvan bimomentin kanssa. Sijoitetaan ehtoon

*81^12 + &i2 = 0 sauvanpäävääntymän lauseke 3.2.

*81

- + a. B\2 +012-521 +— 02 + ^12 (a)

Tuki!

Keskimmäisellä tuella vallitsee bimomenttitasapaino. Tästä saadaan toinen yhtälö.

^21 + ^23 = 0 (0)

Sauva on jatkuva, joten sen vääntymässä ei ole epäjatkuvuutta. Kun ehtoon 02| = 023

sijoitetaan sauvanpäävääntymien lausekkeet 3.2, saadaan kolmas yhtälö

a2\^2\ + ^2\B\2 ~a23^23 ~^22B22 +

- —021 +®23

( 1 1 X ---1----

V ^12 ^23 y<t>2--- — 03

^23 ^(C)

Tuki 3

Tuella oleva vääntymäjousi aiheuttaa tukireaktion, jonka on oltava tasapainossa sauvanpääbimomentin kanssa. Neljäs yhtälö saadaan sijoittamalla ehtoon

^•'53632 + -®32 = 0 sauvanpäävääntymän lauseke 3.2

V ^53

- + U32 ^32 + *32-^23 “"7 02 +~----03 +®32 ~0.

i-32 5, id)

-32

Kokonaisvääntömomenttitasapaino Kokonaisvääntömomentin lauseke on

Mxij = M% -■ ii+Bji +GI,Xj

L,j (3.3)

jossa

K

BH+Bi>

h G

/,

Gl.Xy

on sauvanpääbimomenttien aiheuttama kokonaisvääntömomentti sauvan ij tuilla. Termin oikeellisuuden voi tarkistaa laskemalla yhteen lausekkeet 3.24 ja 3.25 sauvan jommassakummassa päässä.

on liukukerroin

on vääntöj äyhyy smomentti

on sauvavääntymästä johtuva vapaan väännön vääntömomentti. Tämä termi täytyy ottaa mukaan, koska edellisissä termeissä ei ole otettu huomioon tukivääntökulmien erosta johtuvaa vääntymää.

Vääntömomenttitasapainon tuella 2 tulee olla voimassa. Sijoitetaan ehtoon MX21 +^7202 ~ ^x23 = 0

kokonaisvääntömomenttien lausekkeet yhtälöstä 3.3, jolloin saadaan viides yhtälö 1 „ 1 1 1

■5,2 — 5,2 L

= -M°x2l+M

' B2\ +" "S23 +' 532 +

-23 -23

, GI, GI, kj 2 + —--- h-

-12 -23 y

02-^03

L\2

x23

(e)

Kokonaisvääntömomenttitasapaino on voimassa myös mella 3.

Mx}2 + ^r3<t,3 - O

Kun edelliseen ehtoon sijoitetaan kokonaisvääntömomentin lauseke 3.3, saadaan kuudes yhtälö.

00

Näin on saatu tarvittavat rajoiteyhtälöt. Tässä yhtälöt on muodostettu kaksiaukkoiselle sauvalle. Jos sauva on yksiaukkoinen, tarvitaan vain yhtälöt a, d, ja f. Tällöin tietenkin yhtälöissä d ja/tuen 2 vääntökulma jää pois ja muut alaindeksit näissä yhtälöissä pienenevät yhdellä. Jos jännevälejä on kaksi tai useampia,

lisätään väliin yhtälöiden b, c ja e kaltaisia lisäehtoja.

3.3 Sauvanpääbimomenttien kertoimet

Voimamenetelmän yhtälöissä 3.2 sauvanpääbimomenttien edessä ovat kertoimet a ja b. Kun sauvan päässä on yksikön suuruinen bimomentti, eikä sauvalla ole muita kuormia, kerroin a on sauvanpää- vääntymä sauvan siinä päässä, jossa bimomentti vaikuttaa, ja kerroin b vääntymä sauvan vastakkaisessa päässä.

Väännön differentiaaliyhtälö on7

£/mr"-G/,<r=mi (3.4)

jossa

m, on sauvassa vaikuttava ulkoinen vääntökuormitus /M on sektoriaalinen jäyhyysmomentti.

Väännön differentiaaliyhtälö on analoginen vedetyn ja taivutetun sauvan differentiaaliyhtälön kanssa.

Sijoituksella

yhtälöstä tulee

Yhtälön ratkaisua voidaan etsiä yritteellä

(3.5) jossa

0 on yksityisratkaisu, joka riippuu ulkoisesta vääntökuormituksesta.

7Chen, W.F. & Atsuta, T. Theory of Beam-Columns. Volume 2. Space behavior and design, s. 47.

Kun kuormituksena on pelkkä sauvanpääbimomentti, differentiaaliyhtälö on homogeeninen. Vakiot A, B, C ja D ratkaistaan reunaehdoista. Sauva on haarukkalaakeroitu molemmista päistään.

Jos bimomentti on sauvan alkupäässä, reunaehdot ovat:

Haarukkalaakeroidun sauvan kummassakin päässä vääntökulma on nolla. Tästä saadaan kaksi yhtälöä.

<J>(0) = A + D = 0

<{)(Z,) = A + BL + C sinh k + D cosh k = 0

(a) (b) Bimomenttitasapaino on voimassa kummassakin päässä. Bimomentti on

Bq = —EIa <|)

Alaindeksi nolla on edellisessä lausekkeessa bimomentin perässä, jotta bimomenttia ei sotkettaisi differentiaaliyhtälöstä ratkaistavaan vakioon B.

Sauvan alkupäässä on kuormituksena yksikön suuruinen ulkoinen bimomentti. Saadaan kolmas yhtälö.

(c)

Sauvan loppupäässä ei ole ulkoista bimomenttia. Tästä saadaan neljäs yhtälö.

(<0 Kaikki vakiot voidaan nyt ratkaista.

=> A = —;--- k 2EIa

L2 cosh k k2EIa sinh*:

L

Vääntökulman yhtälö on

(3.6)

Vääntymä on vääntökulman ensimmäinen derivaatta

(3.7)

Vääntymät sauvan päissä ovat

k2 EI...

e(i)=

k2 EI,.

z , , cosh k) -1 + A---

sinh A ) cosh2 k

-1 + A ——, - k sinh k sum A

Koska on voimassa

cosh2 x-sinh2 x = 1, vääntymät voidaan esittää muodossa

e(r)—r^f-t—i

k2 EI a l sinh A (3.8)

Vastaavasti voidaan ratkaista vääntökulman yhtälö, kun yksikön suuruinen bimomentti vaikuttaa sauvan loppupäässä. Tällöin reunaehdot aja b säilyvät samanlaisina, mutta c ja d muuttuvat.

Bimomentti sauvan alkupäässä on nolla.

-DEIa-r = 0 (c)

Loppupään bimomentti on erimerkkinen kuin loppupään sauvanpääbimomentti. Siksi bimomentti sauvan loppupäässä on -1.

k2 .

L2--- L2

- EIa§"(L) = -CEI^ — sinh k - DEIa —cosh k = -1 Nyt vakiot ovat

id)

D = 0 A = 0

C = L 1

k2 EIa sinh A B = —

k2 EI,, ja vääntökulman yhtälö on

r 2 f

k2 EI „

f X 1

i, L smh k U ~7 X

JJ

Vääntymän yhtälö on

9 = 4U.

dx k2 EI,,

-1^+-

sinh A

Hr*)