3.1. Diskreettiaikainen optionhinnoittelumalli
Aloitetaan t¨am¨a luku rakentamalla binomipuumalli, jossa on N aika-askelta. Bi-nomipuumalleja hy¨odynt¨avi¨a diskreettej¨a optionhinnoittelumalleja ovat kehitt¨aneet ensimm¨aiseksi Cox, Ross ja Rubinstein sek¨a Rendleman ja Bartter.
Tarkastellaan eurooppalaisia optioita, joiden maturiteettihetki on T = N∆t ja tuottofunktio on φ. Oletetaan, ett¨a on olemassa riskit¨on korko r. Olkoon Si∆t option kohde-etuuden hinta hetkell¨a i∆t, miss¨a i ∈ {0, . . . , N −1}. Olkoon p ∈ (0,1) ja u > er∆t > d >0. Kohde-etuuden hinta hetkell¨a (i+ 1)∆t on
• uSi∆t todenn¨ak¨oisyydell¨ap
• dSi∆t todenn¨ak¨oisyydell¨a 1−p.
Olkoon σ >0. Tarkastellaan tilannetta, jossa u:=e(r−12σ2)∆t+σ
√
∆t, d :=e(r−12σ2)∆t−σ
√
∆t ja p:= 1 2.
T¨ass¨a parametrit on valittu l¨ahteest¨a [5] l¨oytyv¨an RB-mallin mukaan. Jatkossa k¨ ay-tet¨a¨an aina kyseist¨a RB-mallia.
Oletetaan, ett¨a kohde-etuuden hinta liikkuu hetkeen n∆t menness¨a yl¨osp¨ain j kertaa ja alasp¨ain n−j kertaa. Kun merkit¨a¨an S0∆t =: s, saadaan kohde-etuuden hinnaksi hetkell¨a n∆t
Sn∆t =sujdn−j
=sej((r−12σ2)∆t+σ
√∆t)
e(n−j)((r−12σ2)∆t−σ
√∆t)
=sen((r−12σ2)∆t)eσ(2j−n)
√
∆t. (3.1)
Olkoon (1, . . . , n) jono satunnaismuuttujia, joille p¨atee i =
(√∆t, jos kohde-etuuden hinta nousee hetkell¨a i
−√
∆t, jos kohde-etuuden hinta laskee hetkell¨a i.
K¨aytet¨a¨an luvusta 2 tuttua satunnaisk¨avelyn merkint¨a¨a
Wn∆t=
n
X
i=1
i.
Edell¨a tarkastellussa tilanteessa kohde-etuuden hinta nousi j kertaa ja laski n− j kertaa, joten
25
Wn∆t=j√
∆t−(n−j)√
∆t= (2j−n)√
∆t.
N¨aiden merkint¨ojen ja yht¨al¨on (3.1) avulla saadaan seuraava m¨a¨aritelm¨a.
M¨a¨aritelm¨a 3.1. Option kohde-etuuden hinta hetkell¨an∆t,n ∈ {1, . . . , N} on Sn∆t:=sen((r−12σ2)∆t)eσWn∆t.
M¨a¨aritelm¨a 3.2. Option hinta riippuu ajanhetkest¨a n∆t, n ∈ {0, . . . , N}, ja kohde-etuuden hinnasta x > 0 kyseisell¨a ajanhetkell¨a. Olkoon i ∈ {0, . . . , N −1}.
M¨a¨aritell¨a¨an option hintafunktio C(x, N∆t) :=φ(x), (3.2)
C(x, i∆t) := 1
2[C(ux,(i+ 1)∆t) +C(dx,(i+ 1)∆t)]e−r∆t. (3.3)
Edellisen m¨a¨aritelm¨an kohta (3.2) perustuu ajatukseen, ett¨a option hinta ja tuotto ovat tasapainossa lunastushetkell¨a, jolloin ei ole riskitt¨om¨an voiton mahdollisuutta.
Kohta (3.3) taas pohjautuu siihen, ett¨a optio hinnoittautuu kullakin ajan hetkell¨a vastaamaan tulevan hetken odotettua hintaa riskit¨on korko huomioituna. Option al-kuper¨ainen hinta voidaan laskea ehtojen (3.2) ja (3.3) avulla k¨a¨anteisell¨a induktioalgo-ritmilla. Seuraava lause on t¨arke¨a tulos ja sit¨a hy¨odynnet¨a¨an k¨ayt¨ann¨oss¨a laskettaessa option hintaa.
Lause 3.3. Olkoot φ: R → R funktio ja C(s) := C(S0∆t,0∆t) option hinta het-kell¨a 0. Hinnalle C(s) p¨atee
C(s) = e−rN∆t
N
X
j=0
N j
1 2
N
φ(sujdN−j)
=E[e−rTφ(SN∆t)].
Todistus. T¨ass¨a todistuksessa k¨aytet¨a¨an m¨a¨aritelm¨an 3.2 avulla rakennettua k¨a¨anteist¨a induktioalgoritmia. Olkoonx∈R. Osoitetaan, ett¨a kaikilla i∈ {0, . . . , N} p¨atee
C(x,(N −i)∆t) = e−ir∆t 2i
i
X
k=0
i k
φ ukdi−kx . (3.4)
Ehdon (3.2) nojalla v¨aite (3.4) p¨atee, kuni= 0. Oletetaan nyt, ett¨a v¨aite p¨atee jollain luvulla i∈ {0, . . . , N −1}, ja osoitetaan, ett¨a se p¨atee my¨os luvullei+ 1.
C(x,[N −(i+ 1)]∆t)
(3.3)
= 1
2[C(ux,[N−i]∆t) +C(dx,[N −i]∆t)]e−r∆t
3.2. OPTION DELTA 27 t¨ast¨a suoraan lauseen varsinainen v¨aite:
C(s) = e−N r∆t
3.2. Option delta
Aiemmin esiteltyj¨a tuloksia voidaan soveltaa laskiessa option herkkyysparametria delta. Option delta kertoo kuinka herk¨asti option hinta reagoi kohde-etuuden hinnan muutoksiin. Seuraavaksi lasketaan eurooppalaisen option delta aiemmin m¨a¨ aritellys-s¨a binomipuumallissa. Oletetaan, ett¨a option tuotto-funktio φ on derivoituva ja sen derivaatta φ0 on jatkuva. Delta on option alkuper¨aisen hinnan m¨a¨ar¨av¨an funktionC ensimm¨ainen derivaatta kohde-etuuden hinnan s suhteen. Siis
∆N :=C0(s)
= d dsE
h e−rTφ
seN((r−12σ2)∆t)eσWN∆t i
=e−rTE h
φ0
se(r−12σ2)TeσWN∆t
e(r−12σ2)TeσWN∆ti
=e−rTE h
φ0(SN∆t)e(r−12σ2)TeσWN∆ti .
Otetaan viel¨a k¨aytt¨o¨on merkint¨aµ:=r−12σ2, jolloin diskreetti option delta voidaan kirjoittaa muodossa
∆N =e−rTE
φ0(SN∆t)eµTeσWN∆t .
Jatkossa tutkitaan jonon (WN∆t) k¨aytt¨aytymist¨a, kun N → ∞. T¨at¨a varten tar-vitaan heikon suppenemisen k¨asitett¨a, joka on liitteess¨a m¨a¨aritelm¨a A.4. T¨ah¨an liit-tyy vahvasti keskeinen raja-arvolause, joka on liitteess¨a tulos A.6. Keskeisen raja-arvolauseen nojalla
WN∆t
√T =⇒ g0 ∼N(0,1), kun N → ∞.
T¨all¨oin
WN∆t =⇒ g ∼N(0, T), kun N → ∞.
Luvun 3 lopullinen tavoite on osoittaa, ett¨a eurooppalaiselle osto-optiolle ja bin¨a¨ a-rioptiolle p¨atee
Nlim→∞∆N = e−rT sT σE
φ(seµTeσg)g , (3.5)
miss¨a yht¨al¨on oikea puoli on l¨ahteess¨a [9] luvussa 6.2.1 laskettu Black-Scholes -malliin perustuva option delta. Seuraavassa lauseessa option diskreetti delta kirjoitetaan hie-man erilaiseen muotoon, jonka my¨ot¨a p¨a¨ast¨a¨an hy¨odynt¨am¨a¨an Malliavin-laskentaa.
Lause 3.4. Olkoot f(x) =seµTeσx ja φ∈ C∞1,1. T¨all¨oin
∆N =e−rTE
"
φ(SN∆t)δ eµTeσWN∆t PN
j=1Dj∆t(SN∆t) ∆t
!#
+QN, miss¨a (Qn)∞n=1 on jono reaalilukuja ja
lim
N→∞QN = 0.
3.2. OPTION DELTA 29
Todistus. Huomataan aluksi, ett¨a f(WN∆t) = SN∆t. Esimerkin 1.10 kohdan 3 nojalla f ∈ C1,1. Kun (Hi∆t)Ni=1 on stokastinen prosessi, jolla
N
X
j=1
Hj∆t(eN)Dj∆tf(WN∆t)6= 0 kaikillaeN ∈DN,T, lausetta 2.12 soveltamalla saadaan
e−rTE
φ0(SN∆t)eµTeσWN∆t
=e−rTE
"
φ(SN∆t)δ eµTeσWN∆tH·∆t
PN
j=1Hj∆t(eN)Dj∆t(SN∆t) ∆t
!#
−E
" N X
i=1
RN,i√
∆t eµTeσWN∆tHi∆t(eN) PN
j=1Hj∆t(eN)Dj∆t(SN∆t)∆t∆t
# , miss¨a
RN,i√
∆t
≤Rφ◦f(WN∆t)√
∆t
ja kuvaus Rφ◦f on jatkuva. ValitsemallaHi∆t= 1 kaikilla i, saadaan e−rTE
φ0(SN∆t)eµTeσWN∆t
=e−rTE
"
φ(SN∆t)δ eµTeσWN∆t PN
j=1Dj∆t(SN∆t) ∆t
!#
−E
" N X
i=1
RN,i√
∆t eµTeσWN∆t PN
j=1Dj∆t(SN∆t)∆t∆t
# . Huomataan, ett¨a eσWN∆t = QN
j=1eσj, joten Malliavin-derivaatan m¨a¨aritelm¨ast¨a saadaan
Di∆t(seµTeσWN∆t) =seµTY
j6=i
eσj eσ
√
∆t−e−σ
√
∆t
2√
∆t
!
=seµTeσWN∆t eσ
√
∆t−e−σ
√
∆t
2√
∆t
! e−σi.
T¨all¨oin k¨aytt¨am¨all¨a lauseen 2.12 merkint¨a¨a Ui∆t(eN), kaikille i∈ {1, . . . , N} p¨atee Ui∆t(eN) = eµTeσWN∆t
PN
j=1Dj∆t(SN∆t)∆t
= 1
s∆teσ
√
∆t−e−σ
√
∆t
2√
∆t
PN
j=1e−σj
= 1 Eksponenttifunktion Taylorin kehitelm¨an avulla n¨ahd¨a¨an, ett¨a
2√
Edelliset p¨a¨atelm¨at yhdist¨am¨all¨a saadaan 1
N¨ain ollen Ui∆t t¨aytt¨a¨a huomautuksen 2.13 ehdon kaikilla i ja esimerkin 2.14 nojalla
lim sup Option diskreetti delta saadaan siis esitetty¨a Malliavin-derivaatan ja Skorohod-integraalin avulla. Seuraava tavoite on osoittaa, ett¨a rajoitetulle funktiolleφ p¨atee
T¨am¨a tulos muotoillaan lauseeksi 3.7 ja sen todistuksessa tarvitaan aputuloksia, jotka todistetaan seuraavaksi.
3.2. OPTION DELTA 31
Todistus. Kirjoitetaan aluksi
δ eµTeσWN∆t Nyt siis v¨aitteen vasen puoli saadaan muotoon
Skorohod-integraalin m¨a¨aritelm¨an nojalla saadaan
δ N
(i)= N Edell¨a viimeinen yht¨al¨o (i) saadaan seuraavasti:
Di∆t N Edell¨a tehtyjen laskujen nojalla saadaan arvio
1
3.2. OPTION DELTA 33 Nyt voidaan m¨a¨aritell¨a
ηN :=
Eksponenttifunktion Taylorin kehitelm¨an avulla n¨ahd¨a¨an, ett¨a
αN := 2σ√
∆t
eσ√∆t−e−σ√∆t →1, kun N → ∞.
Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava ja −√
∆t≤ −i ≤√ Nyt edellisiss¨a ep¨ayht¨al¨oiss¨a p¨atee
1 eσ
√∆t →1 ja 1 e−σ
√∆t →1, kun N → ∞, joten my¨os
βN := N PN
i=1e−σi →1.
Nyt voidaan kirjoittaa
|αNβN −1|=|αNβN −αN +αN −1|
≤ |αN||βN −1|+|αN −1|
≤ |sup
N0
αN0||βN −1|+|αN −1|
≤ |1 + sup
N0
αN0|[|βN −1|+|αN −1|]
−→
N 0.
T¨all¨oin siis
2σ√
∆t eσ
√
∆t−e−σ
√
∆t
N PN
j=1e−σj →1.
Nyt tiedet¨a¨an, ett¨a on olemassa jono (γN)N≥1 positiivisia reaalilukuja, joille 1
sT σ|αNβN −1| ≤γN ja lim
N→∞γN = 0.
Lis¨aksi tiedet¨a¨an, ett¨a limN→∞ηN = 0. T¨ast¨a seuraa v¨aite
δ eµTeσWN∆t PN
j=1Dj∆t(SN∆t) ∆t
!
− 1
sT σWN∆t
≤γN |WN∆t|+ηN.
Lauseen 3.7 todistamiseksi tarvitaan viel¨a arvio odotusarvolle E|WN∆t|. Laske-taan se seuraavaksi.
Lause 3.6. Olkoon (WN∆t)N≥0 diskreetti satunnaisk¨avely. T¨all¨oin kaikillaN ∈N E|WN∆t| ≤ E|WN∆t|212
=T12. Todistus. H¨olderin ep¨ayht¨al¨ost¨a saadaan
E|WN∆t| ≤ E|WN∆t|212 . Nyt
E|WN∆t|2 =E
N
X
k=1
k
2
=E
" N X
k=1
k
! N X
l=1
l
!#
=E
" N X
k=1 N
X
l=1
kl
#
=
N
X
k=1
E 2k
+X
k6=l
E[kl]
=T.
3.2. OPTION DELTA 35
Nyt ollaan saatu todistettua tarvittavat aputulokset ja voidaan todistaa tavoit-teena ollut lause.
Lause 3.7. Olkoon φ rajoitettu funktio. T¨all¨oin
N→∞lim
Todistus. Lemmasta 3.5 saadaan arvio
N 0. Oletuksen mukaan kuvaus φ on rajoitettu, joten on olemassa M < ∞ siten, ett¨a|φ(x)| ≤M kaikillax∈R. Nyt voidaan kirjoittaa
Edell¨a viimeinen ep¨ayht¨al¨o seuraa lauseesta 3.6.
Seuraava tavoite on osoittaa, ett¨a yht¨al¨o (3.5) p¨atee, kun kuvausφt¨aytt¨a¨a lauseen 3.4 oletukset ja on lis¨aksi rajoitettu. T¨at¨a tulosta varten tarvitaan seuraava lause.
Lause 3.8. Jatkuvalle ja rajoitetulle funktiolle φ p¨atee
N→∞lim E[φ(SN∆t)WN∆t] =E
takaa, ett¨a perhe (WN∆t)N≥1 on tasaisesti integroituva. Tasaisen integroituvuuden m¨a¨aritelm¨a ja tarvittava tulos l¨oytyv¨at liitteest¨a A. Olkoonc >0. M¨a¨aritell¨a¨an funk-tio Tc: R→[−c, c] seuraavasti:
Tc(x) =
Nyt voidaan kirjoittaa Vastaavasti ensimm¨aiselle termille p¨atee
Yhdist¨am¨all¨a edelliset p¨a¨atelm¨at saadaan ep¨ayht¨al¨o
Keskeisen raja-arvolauseen nojalla tiedet¨a¨an, ett¨a WN∆t =⇒ g, miss¨a g ∼N(0, T).
Lis¨aksi kuvaukset φ ja Tc ovat jatkuvia ja rajoitettuja, joten
Perhe (WN∆t)N≥1 on tasaisesti integroituva, joten
3.3. EUROOPPALAINEN OSTO-OPTIO JA BIN ¨A ¨ARIOPTIO 37
Seuraus 3.9. Jatkuvalle ja rajoitetulle funktiolle φ p¨atee
N→∞lim E Todistus. Lauseista 3.7 ja 3.8 saadaan
Nyt seurauksesta 3.9 ja lauseesta 3.4 saadaan tulos, jonka mukaan diskreetti delta suppenee Black-Scholes -mallin mukaiseen deltaan, kun option tuottofunktioφt¨aytt¨a¨a lauseen 3.4 oletukset ja on lis¨aksi rajoitettu.
Seuraus 3.10. Olkoot f(x) = seµTeσx ja φ ∈ C∞1,1 rajoitettu kuvaus. T¨all¨oin 3.3. Eurooppalainen osto-optio ja bin¨a¨arioptio
Aiemmin option tuottofunktion on oletettu olevan derivoituva ja rajoitettu. Esi-merkiksi eurooppalaisen osto-option tuottofunktio ja bin¨a¨arioption tuottofunktio ei-v¨at t¨ayt¨a n¨ait¨a oletuksia.
Sanotaan ett¨a kuvaukselle φ on olemassa yksinkertainenC2-approksimaatio, jos seu-raavat ehdot p¨atev¨at:
• 0≤φ(x)≤M kaikillax∈Rja kuvausφ on vakio v¨aleill¨a ]−∞,0] ja [M,∞[.
• Kaikilleη ∈ 0,K21
, joilla
Ii2η ∩Ij2η =∅ kun i6=j,
on olemassa kuvausφη ∈ C2(R), jolle p¨atee 0 ≤ φη(x) ≤ M kaikilla x ∈ R ja
φη(x) = φ(x) kaikilla x6∈Iη.
Tarkastellaan t¨ass¨a luvussa eurooppalaisia osto-optiota, jotka ovat muotoa φ(x) =
0, kun x < K
x−K, kun K ≤x < K+C C, kun K+C < x.
Kaikillaη >0 eurooppalaiselle osto-optiolle on olemassa yksinkertainen C2 -approksi-maatio v¨aleill¨a ]K−η, K +η[ ja ]K+C−η, K+C+η[, miss¨a 0<2η < C.
Kuva 3.1. Eurooppalainen osto-optio
Kuva 3.2. Bin¨a¨arioptio Bin¨a¨arioption tapauksessa tuottofunktio on
φ(x) = 1{x>K}.
Funktio on rajoitettu ja sille on olemassa yksinkertainen C2-approksimaatio v¨alill¨a ]K −η, K +η[. Seuraava lause on yleisempi versio seurauksesta 3.9 ja sen avulla
3.3. EUROOPPALAINEN OSTO-OPTIO JA BIN ¨A ¨ARIOPTIO 39
voidaan laskea delta esimerkiksi edell¨a mainituille eurooppalaiselle osto-optiolle ja bin¨a¨arioptiolle.
Lause 3.12. Olkoon φ: R → [0,∞[ mitallinen kuvaus, jolle on olemassa yksin-kertainen C2-approksimaatio. T¨all¨oin
N→∞lim E Todistus. Arvioidaan aluksi erotusta lis¨a¨am¨all¨a termej¨a ja k¨aytt¨am¨all¨a kolmio-ep¨ayht¨al¨o¨a
Tarkastellaan ep¨ayht¨al¨on oikeaa puolta pala kerrallaan. Otetaan k¨aytt¨o¨on selkeytt¨ a-v¨at merkinn¨at
AN :=
AN =
Kuvaus φη on jatkuva ja rajoitettu, joten se t¨aytt¨a¨a lauseen 3.8 oletukset ja siten kaikillaη
Funktiot φ ja φη ovat rajoitettuja. T¨all¨oin DN,η =
T¨all¨oin saadaan edelleen
DN,η≤ e−rT joten satunnaismuuttujan g tiheysfunktion jatkuvuuden nojalla
3.3. EUROOPPALAINEN OSTO-OPTIO JA BIN ¨A ¨ARIOPTIO 41
E h
1{g∈]aηi,bηi[}
i →0, kun η→0.
Edelleen kaikilla N p¨atee
DN,η→0, kunη→0.
Viimeiselle termille BN,η p¨atee
BN,η =
e−rT
sT σE[φ(SN∆t)WN∆t]−e−rT
sT σE[φη(SN∆t)WN∆t]
≤ e−rT
sT σE[|φ(SN∆t)−φη(SN∆t)| |WN∆t|]
≤ e−rT
sT σME
WN∆t1{SN∆t∈Iη}
. H¨olderin ep¨ayht¨al¨oll¨a saadaan
E
WN∆t1{SN∆t∈Iη}
≤ E
|WN∆t|212 E
h
1{SN∆t∈Iη}
2i12
=T12 E
1{SN∆t∈Iη}
12 . Nyt kaikilleKi l¨oytyy C2-funktio ϕKi,η, jolle p¨atee
• ϕKi,η(x)≤1 kaikilla x,
• 1{x∈Iη
i}(x)≤ϕKi,η(x) ja
• ϕKi,η(x) = 0 kaikilla x6∈]Ki−2η, Ki+ 2η[.
Nyt edellisten ominaisuuksien ja heikon suppenemisen nojalla kaikille i = 1, . . . , L saadaan
E h
1{SN∆t∈Iη
i}
i
≤E[ϕKi,η(SN∆t)]
−→
N E
ϕKi,η(seµTeσg) .
T¨all¨oin satunnaismuuttujang tiheysfunktion jatkuvuuden nojalla tiedet¨a¨an erityises-ti, ett¨a
lim sup
N E
h
1{SN∆t∈Iη
i}
i ≤E
ϕKi,η(seµTeσg)
→0, kunη →0.
Yhdist¨am¨all¨a edelliset p¨a¨attelyt saadaan arvio BN,η ≤ e−rT
sT σM T12
L
X
i=1
E[ϕKi,η(SN∆t)]
!12 .
Nyt p¨atee
Nyt kaikki ep¨ayht¨al¨on oikealla puolella olevat jonot ovat rajoitettuja, joten yl¨ araja-arvon ominaisuuksien nojalla
lim sup Lauseen alkuper¨ainen v¨aite seuraa t¨ast¨a, koska
e−rT
LIITE A
1.1. Binomikertoimet Lemma A.1. Olkoot N, k∈N ja 0< k≤N. T¨all¨oin
N + 1 k
= N
k
+ N
k−1
. 1.2. Tasainen integroituvuus
M¨a¨aritelm¨a A.2. Satunnaismuuttujaperhe {Xi}i≥1 on tasaisesti integroituva, jos
sup
i E
|Xi|1{|Xi|>c}
→0, kun c→ ∞.
Lemma A.3. Olkoon X1, X2, . . . jono satunnaismuuttujia ja G: [0,∞[ → [0,∞[
kasvava funktio, jolle p¨atee
t→∞lim G(t)
t =∞ ja
sup
i E[G(|Xi|)]<∞.
T¨all¨oin perhe {Xi}i≥1 on tasaisesti integroituva.
Lis¨a¨a tietoa tasaisesta integroituvuudesta l¨oytyy l¨ahteest¨a [12] sivulta 188 alkaen.
1.3. Heikko suppeneminen
M¨a¨aritelm¨aA.4. Olkoot (Ωn,Fn,Pn) ja (Ω,F,P) todenn¨ak¨oisyysavaruuksia se-k¨a Xn : Ωn →R ja X : Ω→R satunnaismuuttujia. Jono (Xn)∞n=1 suppenee heikosti satunnaismuuttujaan X, jos kaikille jatkuville ja rajoitetuille kuvauksille f : R→ R p¨atee
n→∞lim E(f(Xn)) =E(f(X)). Heikolle suppenemiselle k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a Xn =⇒ X.
43
Lemma A.5. Olkoot (Xn)∞n=1 ja X satunnaismuuttujia sek¨a Fn ja F vastaavat kertym¨afunktiot. T¨all¨oin
Xn =⇒ X jos ja vain jos
n→∞lim Fn(x) = F (x) kaikilla funktion F jatkuvuuspisteill¨a x.
Todistus. Todistus l¨oytyy l¨ahteest¨a [1] sivulta 24 alkaen.
LauseA.6 (Keskeinen raja-arvolause).Olkoon{X1, X2, . . .}jono riippumattomia ja samoinjakautuneita satunnaismuuttujia, joilla
E(Xi) = µ ja 0<E(Xi−EXi)2 =σ2 <∞.
Merkit¨a¨an lis¨aksiSn :=Pn
i=1Xi. T¨all¨oin
n→∞lim P
Sn−nµ
√
nσ2 ≤x
= 1
√2π Z x
−∞
e−y
2 2 dy, eli jono
S√n−nµ nσ2
suppenee heikosti kohti nomaalijakautunutta satunnaismuuttujaa g ∼N(0,1).
Todistus. Todistus l¨oytyy l¨ahteest¨a [12] sivulta 326.
L¨ ahdeluettelo
[1] Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, Inc., 1999.
[2] Richard CourantandFritz John: Introduction to Calculus and Analysis I. Springer, 1999.
[3] Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus.
Springer, 1991.
[4] Anthony W. Knapp: Basic Real Analysis. Birkh¨auser Boston, 2005.
[5] Ralf Korn and Stefanie M¨uller: Binomial Trees in Option Pricing - History, Practical Applications and Recent Developments. In: L. Devroye et al. (eds.), Recent Developments in Applied Probability and Statistics (2010) 59-77.
[6] Damien LambertonandBernard Lapeyre: Intoduction to Stochastic Calculus Applied to Finance. Chapman & Hall, 1996.
[7] Martin Leitz-Martini: A discrete Clarck-Ocone formula. MaPhySto Research Report, 2000.
http://www.maphysto.dk/publications/MPS-RR/2000/29.pdf (luettu 19.11.2015).
[8] Yoshifumi Muroi and Shintaro Suda: Discrete Malliavin calculus and computations of greeks in the binomial tree. European Journal of Operational Research 231 (2013) 349-361.
[9] David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Springer, 2006.
[10] Nicolas Privault: Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings. Springer, 2009.
[11] Walter Rudin: Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, Inc. 1974.
[12] Al’bert Nikolaevich Shiryaev: Probability. Springer, 1996.
[13] Steven Shreve: Stochastic Calculus for Finance I - The Binomial Asset Pricing Model.
Springer, 2004.
45