Option deltan laskeminen diskreetin Malliavin-laskennan avulla

Option deltan laskeminen diskreetin Malliavin-laskennan avulla

Timo Puustinen

Matematiikan pro gradu

Jyv¨askyl¨an yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2016

Tiivistelm¨a:Timo Puustinen,Option deltan laskeminen diskreetin Malliavin-lasken- nan avulla (engl.Computation of option delta using discrete Malliavin calculus), ma- tematiikan pro gradu -tutkielma, 42 sivua, Jyv¨askyl¨an yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, syksy 2016.

T¨ass¨a tutkielmassa esitell¨a¨an tapa laskea diskreetti approksimaatio option deltal- le. Approksimaatio saadaan diskreetin Malliavin-laskennan avulla ja t¨at¨a varten m¨a¨a- ritell¨a¨an Malliavin-derivaatta sek¨a Skorohod-integraali sopivaan diskreettiin todenn¨a- k¨oisyysavaruuteen. Tavoitteena on laskea eurooppalaisen osto-option ja bin¨a¨arioption deltat.

Ensimm¨aisess¨a luvussa esitell¨a¨an oleellisimpia m¨a¨aritelmi¨a, esimerkkej¨a ja aputu- loksia, joita tarvitaan esitiedoiksi my¨ohempi¨a lukuja varten. Luvun m¨a¨aritelmiin ja aputuloksiin ei kuitenkaan syvennyt¨a sen enemp¨a¨a. Heti toisen luvun alussa m¨a¨a- ritell¨a¨an todenn¨ak¨oisyysavaruus diskreetti¨a satunnaisk¨avely¨a varten. Satunnaisk¨a- vely¨a k¨aytet¨a¨an diskreetiss¨a optionhinnoittelumallissa Brownin liikkeen vastineena, siis mallinnettaessa option kohde-etuuden hintaa. Toisessa luvussa k¨asitell¨a¨an my¨os diskreetti¨a Malliavin-laskentaa ja m¨a¨aritell¨a¨an kaksi oleellista k¨asitett¨a: Malliavin- derivaatta ja diskreetti Skorohod-integraali. Malliavin-derivaatan m¨a¨aritelm¨an yh- teydess¨a esitet¨a¨an tulokset, joiden nojalla diskreetti Malliavin-derivaatta yhdistyy tietyin oletuksin tavalliseen derivaattaan. Vastaava tulos esitet¨a¨an my¨os yhdistetyil- le funktioille. Toisen luvun lopussa m¨a¨aritell¨a¨an Skorohod-integraali ja todistetaan diskreetin Malliavin-laskennan osittaisintegrointikaava.

Kolmas ja viimeinen luku k¨asittelee binomipuumallia ja option deltan laskemista diskreetin Malliavin-laskennan avulla. Luku rakentuu siten, ett¨a ensin m¨a¨aritell¨a¨an binomipuumalli, jolla mallinnetaan option kohde-etuuden hintaa. Sen avulla saadaan diskreetit approksimaatiot Black-Scholes -mallin mukaiselle option hinnalle ja op- tion deltalle. T¨am¨an j¨alkeen option deltalle johdetaan muoto tilanteessa, jossa option tuottofunktio t¨aytt¨a¨a tietyt oletukset. Erityisesti tuottofunktion tulee olla rajoitet- tu, jatkuva ja derivoituva. Edelt¨avi¨a oletuksia voidaan kuitenkin lievent¨a¨a. Option tuottofunktiolla voi olla pisteit¨a, joissa se ei ole derivoituva tai edes jatkuva. Viimei- sess¨a ja t¨arkeimm¨ass¨a lauseessa lasketaan delta optiolle φ, jolla on ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a ongelmapisteit¨a ja jota voidaan approksimoida kaksi kertaa jatkuvasti derivoituvalla funktiolla kaikkien ongelmapisteiden ymp¨arist¨oiss¨a.

Avainsanoja:binomipuumalli, diskreetti Malliavin-laskenta, Malliavin-derivaatta, Skorohod-integraali, diskreetti satunnaisk¨avely, option delta

Sis¨ alt¨ o

Johdanto 5

Luku 1. K¨asitteit¨a ja m¨a¨aritelmi¨a 7

Luku 2. Diskreetti Malliavin-laskenta 11

2.1. Diskreetti Malliavin-derivaatta 11

2.2. Diskreetti Skorohod-integraali 18

Luku 3. Option deltan laskeminen 25

3.1. Diskreettiaikainen optionhinnoittelumalli 25

3.2. Option delta 27

3.3. Eurooppalainen osto-optio ja bin¨a¨arioptio 37

Liite A. 43

1.1. Binomikertoimet 43

1.2. Tasainen integroituvuus 43

1.3. Heikko suppeneminen 43

L¨ahdeluettelo 45

3

Johdanto

Optio on sopimus, joka antaa haltijalleen oikeuden ostaa tai myyd¨a sovitun m¨a¨a- r¨an kohde-etuutta ennalta sovittuun hintaan. Eurooppalaisilla optioilla on yksi tietty lunastushetki, mutta on olemassa my¨os esimerkiksi amerikkalaisia optioita, jotka voi- daan lunastaa koska vain option voimassaoloaikana. Option kohde-etuus voi olla mit¨a vain mink¨a hinta muuttuu ajan kuluessa, esimerkiksi osake tai valuutta.

Option hinnoittelussa kohde-etuuden hinnan mallintaminen on oleellista. Tunne- tussa Black-Scholes -mallissa eurooppalaisen option kohde-etuuden hintaa mallinne- taan Brownin liikkeen avulla. Mallin kehittiv¨at Robert Mertonin avustuksella Fischer Black ja Myron Scholes, ja se julkaistiin vuonna 1973. Vuonna 1997 ty¨ost¨a my¨onnet- tiin Mertonille ja Scholesille Ruotsin keskuspankin taloustieteen palkinto (The Sveri- ges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel). Black-Scholes -malli antoi ratkaisun t¨arke¨a¨an k¨ayt¨ann¨on ongelmaan, eurooppalaisen osto-option tas- apuolisen hinnan laskemiseen. My¨ohemmin Black-Scholes -mallia on yleistetty ja sen avulla voidaan hinnoitella my¨os muunlaisia optioita.

K¨ayt¨ann¨on sovelluksia varten Black-Scholes -mallista haluttiin kehitt¨a¨a yksinker- taistettu versio. Ensimm¨aisen¨a mallin diskreetti¨a vastinetta kehittiv¨at 1970-luvun lo- pulla John Cox, Stephen Ross ja Mark Rubinstein sek¨a Richard Rendleman ja Brit Bartter. Syit¨a mallin diskretisoinnille ovat esimerkiksi se, ett¨a kaupank¨aynti ei oi- keasti ole jatkuva-aikaista ja ett¨a tietokoneella ei voida laskea jatkuva-aikaisesti. Bi- nomipuumalli on Black-Scholes -mallin diskreetti vastine ja siihen liittyv¨a laskenta on k¨ayt¨ann¨on kannalta yksinkertaisempaa kuin jatkuva-aikainen. Binomipuumallilla approksimoidaan Brownin liikett¨a ja se pohjautuu Donskerin lauseeseen ja sopivasti skaalattuun Bernoulli-satunnaisk¨avelyyn.

Malliavin-laskenta on nyky¨a¨an t¨arke¨a ty¨okalu rahoitusteoriassa ja sit¨a k¨aytet¨a¨an laskettaessa option herkkyysparametreja. T¨ass¨a tutkielmassa ei k¨asitell¨a jatkuva- aikaista Malliavin-laskentaa, mutta siit¨a ja sen sovelluksista l¨oytyy lis¨atietoa l¨ahteest¨a [9]. T¨am¨a tutkielma pohjautuu monilta osin l¨ahteeseen [8], joka on Yoshifumi Muroin ja Shintaro Sudan kirjoittama artikkeli diskreetist¨a Malliavin-laskennasta. Artikke- lissa jatkuvaa Malliavin-laskentaa on pyritty yksinkertaistamaan m¨a¨arittelem¨all¨a sen vastine diskreetille satunnaisk¨avelylle. Diskreetti¨a Malliavin-laskentaa on k¨aytetty ar- tikkelissa option herkkyysparametrien laskemiseen. T¨ass¨a tutkielmassa m¨a¨aritell¨a¨an diskreetti Malliavin-derivaatta ja diskreetti Skorohod-integraali kuten edell¨amainitus- sa artikkelissa. My¨os diskreettiin Malliavin-laskentaan liittyv¨at lauseet ja osa option deltan laskemista k¨asittelev¨ast¨a luvusta pohjautuvat Muroin ja Sudan artikkeliin.

Tutkielmassa kyseisi¨a tuloksia on kuitenkin t¨asmennetty ja yleistetty, ja niiden todis- tuksiin on lis¨atty yksityiskohtia. Erityisesti deltan laskemisessa esiintyy artikkelissa ep¨at¨asm¨allisyytt¨a, joten se osa on tehty t¨ass¨a tutkielmassa eri tavalla.

5

Option hinta riippuu kohde-etuuden hinnasta. Delta m¨a¨aritell¨a¨an option hinta- funktion derivaattana kohde-etuuden hinnan suhteen. T¨am¨a m¨a¨aritelm¨a johtaa op- tion tuottofunktion derivaattaan. Eurooppalaisen osto-option tuottofunktiolla ei ole kuitenkaan olemassa derivaattaa lunastushinnassa ja bin¨a¨arioption tuottofunktio ei ole kyseisess¨a pisteess¨a edes jatkuva. Tutkielman viimeisen¨a tuloksena esitell¨a¨an kei- no m¨a¨aritt¨a¨a delta optiolle, jonka tuottofunktiolla on ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a vastaavia on- gelmapisteit¨a. Eurooppalaisen osto-option ja bin¨a¨arioption tuottofunktioista l¨oytyy GeoGebralla piirretyt kuvat luvun 3 loppupuolelta.

LUKU 1

K¨ asitteit¨ a ja m¨ a¨ aritelmi¨ a

T¨ass¨a luvussa m¨a¨aritell¨a¨an ja palautetaan mieleen tutkielman kannalta hy¨odyllisi¨a k¨asitteit¨a. Aloitetaan m¨a¨arittelem¨all¨a todenn¨ak¨oisyysavaruus.

M¨a¨aritelm¨a 1.1 (σ-algebra, mitallinen avaruus). Olkoon Ω ep¨atyhj¨a joukko.

Joukon Ω osajoukkojen kokoelmaa F sanotaan σ-algebraksi, jos se t¨aytt¨a¨a seuraavat kolme ehtoa:

(1) ∅,Ω∈ F,

(2) JosA∈ F, niin Ω\A∈ F, (3) JosA₁, A₂,· · · ∈ F, niin S∞

i=1A_i ∈ F. Paria (Ω,F) sanotaan mitalliseksi avaruudeksi.

M¨a¨aritelm¨a 1.2 (Potenssijoukko). Olkoon Ω ep¨atyhj¨a joukko. Joukon Ω kaik- kien osajoukkojen kokoelmaa sanotaan potenssijoukoksi ja merkit¨a¨an

P(Ω) :={A: A⊆Ω}.

M¨a¨aritelm¨a1.3 (Todenn¨ak¨oisyysmitta). Olkoon (Ω,F) mitallinen avaruus. Ku- vausP: F →[0,1] on todenn¨ak¨oisyysmitta, jos seuraavat ominaisuudet ovat voimas- sa:

(1) P(Ω) = 1 ,

(2) JosA₁, A₂,· · · ∈ F siten, ett¨a A_i∩A_j =∅ kaikillai6=j, niin

P

∞

[

i=1

A_i

!

=

∞

X

i=1

P(A_i). Kolmikkoa (Ω,F,P) kutsutaan todenn¨ak¨oisyysavaruudeksi.

M¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi filtraatio, joka kuvaa tietyll¨a ajanhetkell¨a k¨ayt¨oss¨a olevaa informaatiota.

M¨a¨aritelm¨a 1.4. Olkoon (Ω,F) mitallinen avaruus. Filtraatio (F_i)^∞_i=0 on jono σ-algebroja siten, ett¨a

F₀ ⊆ F₁ ⊆ · · · ⊆ F.

My¨ohemmin tarvitaan my¨os ehdollisen odotusarvon k¨asitett¨a, joten m¨a¨aritell¨a¨an se ja esitell¨a¨an kaksi siihen liittyv¨a¨a ominaisuutta. M¨a¨aritelm¨a, ominaisuudet ja to- distukset l¨oytyv¨at esimerkiksi l¨ahteest¨a [12] sivulta 213 alkaen.

7

M¨a¨aritelm¨a 1.5. Olkoon (Ω,F,P) todenn¨ak¨oisyysavaruus ja G ⊆ F σ-algebra.

Satunnaismuuttujanf ∈ L₁(Ω,F,P) ehdollinen odotusarvoσ-algebranG suhteen on G-mitallinen satunnaismuuttuja g ∈ L₁(Ω,G,P), jolle

Z

B

f dP= Z

B

gdP kaikillaB ∈ G.

Ehdolliselle odotusarvolle g k¨aytet¨a¨an merkint¨a¨a g =E(f| G).

Lemma 1.6. Olkoot f, g ∈ L₁(Ω,F,P) ja G ⊆ F σ-algebroja. T¨all¨oin seuraavat kaksi ominaisuutta ovat voimassa.

(i) Jos µ, λ∈R, niin melkein varmasti p¨atee

E(λf +µg| G) =λE(f| G) +µE(g| G).

(ii) Jos h: Ω → R on G-mitallinen kuvaus ja f h ∈ L₁(Ω,F,P), niin melkein var- masti p¨atee

E(hf| G) = hE(f| G).

Todistus. Todistus l¨oytyy l¨ahteest¨a [12] sivulta 215 alkaen.

M¨a¨aritelm¨a 1.7 (Funktioiden luokka C^1,θ). Olkoon θ > 0. Derivoituva kuvaus f : R → R kuuluu luokkaan C^1,θ, jos on olemassa jatkuva funktio h siten, ett¨a

|f⁰(x)| ≤h(x) kaikillax∈Rja jos kaikille >0 on olemassa jatkuva kuvausR_f,(x) siten, ett¨a kaikilla x, δ ∈R

f(x+δ) =f(x) +δf⁰(x) +R_f(x, δ), miss¨a

|R_f(x, δ)| ≤R_f,(x)|δ|^1+θ, kun |δ|< .

M¨a¨aritelm¨a 1.8 (Funktioiden luokka C_∞^1,1). Kuvaus g ∈ C^1,1 kuuluu luokkaan C_∞^1,1, jos on olemassa C >0 siten, ett¨a kaikilla >0 ja kaikilla x∈Rp¨atee

R_g,(x) = C.

Huomautus 1.9. Olkoon g ∈ C_∞^1,1. T¨all¨oin

|g(x+δ)−g(x)−δg⁰(x)| ≤C|δ|².

Esimerkki 1.10. (1) Olkoon f kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio, jonka toinen derivaatta f⁰⁰ on rajoitettu. T¨all¨oin kuvaus f kuuluu joukkoon C_∞^1,1 Taylorin lauseen ja m¨a¨aritelm¨an 1.8 nojalla.

(2) M¨a¨aritell¨a¨an kuvaus f: R→R siten, ett¨a f(x) :=

(0, kunx <0

1

2x², kunx≥0.

1. K ¨ASITTEIT¨A JA M ¨A ¨ARITELMI ¨A 9

T¨all¨oin kuvaus f on derivoituva ja f⁰ on jatkuva, mutta toista derivaattaa f⁰⁰ ei ole m¨a¨aritelty pisteess¨a x = 0. Kuvaus f kuuluu kuitenkin joukkoon C^1,1. Nimitt¨ain jos δ <0, niin

f(0 +δ) = 0 =f(0) +δf⁰(0) + 0.

Jos taasδ >0, saadaan f(0 +δ) = 1

2δ² =f(0) +δf⁰(0) +1 2δ².

(3) Olkoon f(x) = e^x. T¨all¨oin f⁰⁰(x) = e^x, joten t¨am¨an esimerkin kohdan (1) ehto ei t¨ayty. Taylorin lauseen nojalla kaikille δ∈R p¨atee kuitenkin

e^x+δ =e^x+δe^x+e^ξ 2δ², miss¨aξ ∈[x, x+δ] tai ξ∈[x−δ, x]. Siis f ∈ C^1,1.

Esimerkki 1.11. (1) Olkoon θ > 0. Olkoot lis¨aksi f, g ∈ C^1,θ ja α, β ∈ R. T¨all¨oin αf +βg ∈ C^1,θ, koska

(αf +βg) (x+δ)

=α(f(x) +δf⁰(x) +Rf(x, δ)) +β(g(x) +δg⁰(x) +Rg(x, δ))

= (αf +βg) (x) +δ(αf⁰+βg⁰) (x) +αR_f(x, δ) +βR_g(x, δ). Nyt kaikilla >0 on olemassa funktiotR_f,(x), R_g,(x) siten, ett¨a

|αR_f(x, δ) +βR_g(x, δ)| ≤(αR_f,(x) +βR_g,(x))|δ|^(1+θ), kun|δ|< .

(2) Olkoon θ > 0. Jos f, ϕ ∈ C^1,θ ja on olemassa vakio C_ϕ siten, ett¨a kaikilla >0 ja x∈R p¨atee R_ϕ,(x) = C_ϕ, niin ϕ◦f ∈ C^1,θ:

Olkoon >0 ja x, δ∈R siten, ett¨a |δ|< . Kirjoitetaan ϕ(f(x+δ)) =ϕ(f(x) +δf⁰(x) +R_f(x, δ))

ja otetaan k¨aytt¨o¨on merkint¨a ˆδ:=δf⁰(x) +R_f(x, δ). Nyt edelleen saadaan ϕ

f(x) + ˆδ

=ϕ(f(x)) + ˆδϕ⁰(f(x)) +Rϕ

f(x),δˆ

=ϕ(f(x)) +δf⁰(x)ϕ⁰(f(x)) +ϕ⁰(f(x))Rf(x, δ) +Rϕ

f(x),δˆ

= (ϕ◦f) (x) +δ(ϕ◦f)⁰(x) + h

ϕ⁰(f(x))Rf(x, δ) +Rϕ

f(x),δˆ i

. Nyt viimeiselle termille saadaan

ϕ⁰(f(x))R_f(x, δ) +R_ϕ

f(x),δˆ

≤[|ϕ⁰(f(x))|R_f,(x)]|δ|^1+θ+R_ϕ,ˆ(x)(f(x)) δˆ

1+θ

≤[|ϕ⁰(f(x))|Rf,(x)]|δ|^1+θ+Cϕ

h

|δ| |f⁰(x)|+Rf,(x)|δ|^1+θi1+θ

=

|ϕ⁰(f(x))|R_f,(x) +C_ϕh

|f⁰(x)|+R_f,(x)|δ|^θi1+θ

|δ|^1+θ, miss¨a ˆ :=|f⁰(x)|+R_f,(x)||^1+θ.

LUKU 2

Diskreetti Malliavin-laskenta

T¨ass¨a luvussa m¨a¨aritell¨a¨an Malliavin-derivaatan ja Skorohod-integraalin diskree- tit versiot ja todistetaan niihin liittyvi¨a t¨arkeit¨a tuloksia. L¨ahteess¨a [9] on esitelty vas- taavia tuloksia jatkuvalle Malliavin-laskennalle. Luvun p¨a¨atulos on osittaisintegroin- tikaava, jota k¨aytet¨a¨an laskettaessa option deltaa luvussa 3. Tutkielmassa k¨aytet¨a¨an binomipuumallia, joten m¨a¨aritell¨a¨an aluksi sopiva todenn¨ak¨oisyysavaruus.

M¨a¨aritelm¨a 2.1. Olkoot N ∈ N ja T > 0. Olkoon lis¨aksi 0 < p < 1. Otetaan selvyyden vuoksi k¨aytt¨o¨on merkint¨a ∆t := _N^T . M¨a¨aritell¨a¨an todenn¨ak¨oisyysavaruus

DN,T,F_N, µ^(p)_N

siten, ett¨a

D^N,T :=

n

eN = (1, . . . , N), i ∈n

−√

∆t,

√

∆t oo

, F_N :=P(D^N,T) ja

µ^(p)_N ({e_N}) :=p^k(1−p)^N−k, miss¨ak = #n

i:_i =√

∆to .

Huomautus 2.2. T¨ass¨a tutkielmassa k¨aytet¨a¨an avaruutta

(DN,T,F_N, µ_N) :=

DN,T,F_N, µ(¹2)

N

.

M¨a¨aritelm¨a 2.3. M¨a¨aritell¨a¨an avaruuteen

DN,T,F_N, µ^(p)_N

filtraatio (F_i)^N_i=0 asettamalla

F₀ :={∅,DN,T} ja F_i :=σ(₁, . . . , _i).

2.1. Diskreetti Malliavin-derivaatta

M¨a¨aritelm¨a 2.4. Olkoot W_j∆t :DN,T →R satunnaismuuttujia, joille

W_j∆t(e_N) :=

j

X

i=1

_i.

Stokastista prosessia (W_j∆t)^N_j=1 kutsutaan diskreetiksi satunnaisk¨avelyksi.

11

Edell¨a olevat m¨a¨aritelm¨at antavat diskreetin vastineen Brownin liikkeelle, jonka avulla mallinnetaan option kohde-etuuden hintaa jatkuva-aikaisessa Black-Scholes- mallissa. Perusjoukon alkioidene_N skaalaus perustuu Donskerin lauseeseen. Donskerin lauseesta l¨oytyy lis¨atietoa esimerkiksi l¨ahteest¨a [3] luvusta 2. Tulos on l¨ahteess¨a lause 4.20.

M¨a¨aritelm¨a2.5. My¨ohemmin k¨aytet¨a¨an jonojae_N, joissa alkio_ion kiinnitetty.

Otetaan n¨aille jonoille k¨aytt¨o¨on merkinn¨at eⁱ⁺_N :=

₁, . . . , i−1,√

∆t, _i+1, . . . , _N ja eⁱ⁻_N :=

₁, . . . , i−1,−√

∆t, _i+1, . . . , _N , miss¨a i∈ {1, . . . , N}. Merkit¨a¨an vastaavasti

W_j∆tⁱ⁺ :=W_j∆t eⁱ⁺_N W_j∆tⁱ⁻ :=W_j∆t eⁱ⁻_N , miss¨a i, j ∈ {1, . . . , N}.

M¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi diskreetti Malliavin-derivaatta, jota hy¨odynnet¨a¨an lu- vussa 3 option deltaa laskettaessa.

M¨a¨aritelm¨a 2.6. Satunnaismuuttujan F: DN,T → R Malliavin-derivaatta on prosessi (D_i∆tF)^N_i=1, miss¨a

D_i∆tF (e_N) := F eⁱ⁺_N

−F eⁱ⁻_N 2√

∆t .

Lause 2.7. Olkoot θ > 0, prosessi (W_j∆t)^N_j=1 diskreetti satunnaisk¨avely ja f kuvaus luokasta C^1,θ. T¨all¨oin on olemassa jatkuva kuvaus R^D_f siten, ett¨a kaikilla i, k ∈ {1, . . . , N} p¨atee

D_k∆tf(W_i∆t) =

f⁰(W_i∆t) +R_i,k√

∆t

1k≤i, miss¨a

Ri,k

√

∆t

≤R^D_f (Wi∆t)√

∆t^θ.

Todistus. Suoraan diskreetin Malliavin-derivaatan m¨a¨aritelm¨ast¨a saadaan Dk∆tf(Wi∆t) = f W_i∆t^k+

−f W_i∆t^k−

2√

∆t .

Tapaus k > i on selv¨a, koska t¨all¨oin

W_i∆t^k+ =W_i∆t^k−=W_i∆t

2.1. DISKREETTI MALLIAVIN-DERIVAATTA 13

ja siten D_k∆tf(W_i∆t) = 0. Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, jossa k ≤ i ja _k =

√∆t. T¨all¨oin

f W_i∆t^k+

=f(W_i∆t) ja

f W_i∆t^k−

=f

W_i∆t−2√

∆t . Olkoon ξ := 2√

T. Nyt koska f ∈ C^1,θ, m¨a¨aritelm¨an 1.7 nojalla on olemassa jatkuva kuvaus Rf,ξ siten, ett¨a

f

W_i∆t−2√

∆t

=f(W_i∆t)−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t ja

R_f

W_i∆t,−2√

∆t

≤R_f,ξ(W_i∆t) ∆t^1+θ2 .

T¨all¨oin satunnaismuuttujan f(Wi∆t) Malliavin-derivaatalle (Dk∆tf(Wi∆t))^N_k=1 p¨atee

D_k∆tf(W_i∆t) =

f(W_i∆t)−

f(W_i∆t)−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t

2√

∆t

= 2√

∆tf⁰(W_i∆t)−R_f

W_i∆t,−2√

∆t 2√

∆t

=f⁰(W_i∆t)− Rf

Wi∆t,−2√

∆t

2√

∆t .

Viimeinen tapaus, k≤i ja _k =−√

∆t, saadaan vastaavasti. T¨all¨oin nimitt¨ain f W_i∆t^k+

=f

W_i∆t+ 2√

∆t ja

f W_i∆t^k−

=f(W_i∆t). J¨alleen m¨a¨aritelm¨an 1.7 nojalla kuvauksellaR_f,ξ p¨atee

f

W_i∆t+ 2√

∆t

=f(W_i∆t) + 2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,2√

∆t ja

R_f

W_i∆t,2√

∆t

≤R_f,ξ(W_i∆t) ∆t^1+θ2 .

T¨ass¨a tapauksessa satunnaismuuttujan f(W_i∆t) Malliavin-derivaatalle (Dk∆tf(Wi∆t))^N_k=1

p¨atee

D_k∆tf(W_i∆t) =

f(W_i∆t) + 2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,2√

∆t

−f(W_i∆t) 2√

∆t

= 2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,2√

∆t 2√

∆t

=f⁰(W_i∆t) + R_f

W_i∆t,2√

∆t

2√

∆t .

T¨all¨oin siis

D_k∆tf(W_i∆t) =f⁰(W_i∆t) +R_i,k√

∆t , miss¨a

R_i,k√

∆t

:= R_f(W_i∆t,−2_k)

−2_k . Nyt erityisesti

R_i,k√

∆t

≤ R_f,ξ(W_i∆t) 2

√∆t^1+θ

√∆t

= R_f,ξ(W_i∆t) 2

√

∆t^θ. Nyt voidaan m¨a¨aritell¨a jatkuva kuvaus R^D_f :R→R,

R^D_f (x) := R_f,ξ(x)

2 ,

jolloin

R_i,k√

∆t

≤R^D_f (W_i∆t)√

∆t^θ.

Lause 2.8. Olkoot θ > 0 ja f, g funktioita luokasta C^1,θ. Oletetaan lis¨aksi, ett¨a on olemassa C_g >0, jolle R_g,(x) = C_g kaikilla > 0 ja kaikilla x ∈ R. T¨all¨oin on olemassa jatkuva kuvaus Rg◦f siten, ett¨a satunnaismuuttujan g◦f(W_i∆t) Malliavin- derivaatalle p¨atee

Dk∆tg(f(Wi∆t)) =

g⁰(f(Wi∆t))·Dk∆tf(Wi∆t) +Ri,k

√

∆t

1k≤i, miss¨a

R_i,k√

∆t

≤Rg◦f (W_i∆t)√

∆t^θ.

2.1. DISKREETTI MALLIAVIN-DERIVAATTA 15

Todistus. Tapauksessa k > i v¨aite p¨atee selv¨asti koska, W_i∆t^k+ =W_i∆t^k− =W_i∆t.

Kun k ≤ija _k =√

∆t, lauseen 2.7 todistusta j¨aljitellen saadaan funktiolle g◦f g f W_i∆t^k+

=g(f(W_i∆t)) ja

g f W_i∆t^k−

=g

f

W_i∆t−2√

∆t

=g

f(W_i∆t)−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t

. Nyt, koska my¨osg ∈ C^1,θ, voidaan edelleen kirjoittaa

g f W_i∆t^k−

=g

f(W_i∆t)−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t

=g(f(W_i∆t)) +

−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t

g⁰(f(W_i∆t)) +R_g

f(W_i∆t),−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t

=g(f(W_i∆t))−2√

∆tf⁰(W_i∆t)g⁰(f(W_i∆t)) +Rf

Wi∆t,−2√

∆t

g⁰(f(Wi∆t)) +Rg

f(Wi∆t),−2√

∆tf⁰(Wi∆t) +Rf

Wi∆t,−2√

∆t

. T¨all¨oin satunnaismuuttujan g◦f(W_i∆t) Malliavin-derivaataksi saadaan

Dk∆tg(f(Wi∆t)) = g f W_i∆t^k+

−g f W_i∆t^k−

2√

∆t

=

g(f(Wi∆t))−

g(f(Wi∆t))−2√

∆tf⁰(Wi∆t)g⁰(f(Wi∆t))

2√

∆t

− R_f

W_i∆t,−2√

∆t

g⁰(f(W_i∆t)) 2√

∆t

− R_g

f(W_i∆t),−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t

2√

∆t

=f⁰(W_i∆t)g⁰(f(W_i∆t))

− R_f

W_i∆t,−2√

∆t

g⁰(f(W_i∆t)) 2√

∆t

− R_g

f(W_i∆t),−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t

2√

∆t .

Lauseen 2.7 nojalla funktiolle f p¨atee

D_k∆tf(W_i∆t) = f⁰(W_i∆t)− R_f

W_i∆t,−2√

∆t 2√

∆t ,

mist¨a saadaan edelleen muoto

f⁰(W_i∆t) = D_k∆tf(W_i∆t) + R_f

W_i∆t,−2√

∆t 2√

∆t .

Sijoittamalla t¨am¨a satunnaismuuttujan g ◦ f(W_i∆t) Malliavin-derivaatan yht¨al¨o¨on saadaan

D_k∆tg(f(W_i∆t)) =g⁰(f(W_i∆t))D_k∆tf(W_i∆t)

− R_g

f(W_i∆t),−2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,−2√

∆t

2√

∆t .

T¨aysin vastaavalla p¨a¨attelyll¨a voidaan laskea satunnaismuuttujan g◦f(W_i∆t) Mal- liavin derivaatta, kunk ≤i ja _k =−√

∆t. T¨all¨oin arvoksi saadaan D_k∆tg(f(W_i∆t)) = g⁰(f(W_i∆t))D_k∆tf(W_i∆t)

+ R_g

f(W_i∆t),2√

∆tf⁰(W_i∆t) +R_f

W_i∆t,2√

∆t

2√

∆t .

Nyt voidaan yhdist¨a¨a edelliset p¨a¨atelm¨at, jolloin kaikillak ≤i p¨atee D_k∆tg(f(W_i∆t)) =g⁰(f(W_i∆t))D_k∆tf(W_i∆t) +R_i,k√

∆t , miss¨a

R_i,k√

∆t

:= R_g(f(W_i∆t),−2_kf⁰(W_i∆t) +R_f(W_i∆t,−2_k))

−2_k .

J¨a¨ann¨os R_i,k√

∆t

on haluttua muotoa, koska

Ri,k

√

∆t

≤ R_g,ξ(Wˆ

i∆t)(f(W_i∆t))|−2_kf⁰(W_i∆t) +R_f(W_i∆t,−2_k)|^1+θ 2√

∆t

≤ C_g

2√

∆tf⁰(W_i∆t) +

R_f,ξ(W_i∆t) ∆t^1+θ2

1+θ

2√

∆t

≤ C_g

|2f⁰(W_i∆t)|+

R_f,ξ(W_i∆t)√

∆t^θ

1+θ

2

√

∆t^θ, miss¨aξ := 2√

T ja ˆξ(Wi∆t) := 2√

T|f⁰(Wi∆t)|+Rf,ξ(Wi∆t)T^1+θ2 . Edell¨a kuvausRf,ξ

on jatkuva. Lis¨aksi on olemassa jatkuva kuvaus h siten, ett¨a |f⁰(x)| ≤ h(x) kaikille

2.1. DISKREETTI MALLIAVIN-DERIVAATTA 17

x∈R. Siis kun m¨a¨aritell¨a¨an Rg◦f (x) :=

C_g

|2h(x)|+

R_f,2^√_T(x)√

∆t^θ

1+θ

2 ,

alkuper¨ainen v¨aite on saatu todistettua.

Seuraavaa esimerkki¨a hy¨odynnet¨a¨an my¨ohemmin esimerkiss¨a 2.14, jota taas k¨ay- tet¨a¨an my¨ohemmin laskettaessa option deltaa.

Esimerkki 2.9. Olkoot s > 0 ja µ, σ ∈ R. Olkoot lis¨aksi f(x) = se^µTe^σx ja g ∈ C_∞^1,1.

Esimerkin 1.10 kohdan (3) nojalla f ∈ C^1,1. Koska funktion f derivaatta f⁰(x) = sσe^µTe^σx on jatkuva ja my¨osg ∈ C^1,1, lauseen 2.8 todistuksen nojalla saadaan

Dk∆tg(f(Wi∆t)) =

g⁰(f(Wi∆t))·Dk∆tf(Wi∆t) +Ri,k

√

∆t

1k≤i, miss¨a

R_i,k√

∆t

≤ C|−2_kf⁰(W_i∆t) +R_f(W_i∆t,−2_k)|² 2√

∆t .

Koska funktionf toinen derivaatta onf⁰⁰(x) = sσ²e^µTe^σx, j¨a¨ann¨okselleR_f(W_i∆t,−2_k) p¨atee esimerkin 1.10 kohdan (3) nojalla

|R_f(W_i∆t,−2_k)| ≤s|σ|²e^µTe^σ(^Wi∆t+2√

∆t) 2

2√

∆t2

= 2sσ²e^µT+2σ

√

∆te^σWi∆t∆t.

T¨at¨a arviota k¨aytt¨aen voidaan edelleen kirjoittaa

Ri,k

√

∆t

≤ C|−2kf⁰(Wi∆t) +Rf(Wi∆t,−2k)|² 2√

∆t

≤ C

2√

∆tf⁰(Wi∆t)

+|Rf(Wi∆t,−2k)|2

2√

∆t

= 2C√

∆t|f⁰(W_i∆t)|²

+ 2C|f⁰(W_i∆t)| |R_f(W_i∆t,−2_k)|+C|R_f(W_i∆t,−2_k)|² 2√

∆t

≤2C√

∆t s|σ|e^µTe^σWi∆t2

+ 2C s|σ|e^µTe^σWi∆t

2s|σ|²e^µT+2σ

√

∆te^σWi∆t∆t

+ C

2s|σ|²e^µT+2σ

√∆te^σWi∆t∆t2

2√

∆t

= 2C s|σ|e^µT2

e^2σWi∆t√

∆t

+ 4C

s²|σ|³e^2µT+2σ

√

∆t

e^2σWi∆t∆t + 2C

s|σ|²e^µT+2σ

√

∆t2

e^2σWi∆t∆t³². Nyt voidaan selkeyden vuoksi m¨a¨aritell¨a

α := 2C s|σ|e^µT2

, β_N := 4C

s²|σ|³e^2µT+2σ

√

∆t ja

γ_N := 2C

s|σ|²e^µT+2σ

√

∆t2

, jolloin

R_i,k√

∆t

≤α·e^2σWi∆t√

∆t+β_N ·e^2σWi∆t∆t+γ_N ·e^2σWi∆t∆t³². Erityisesti α <∞ ja yll¨a m¨a¨aritellyt jonot (β_N)_N≥1,(γ_N)_N≥1 suppenevat:

β_N →4C s²|σ|³e^2µT

, kun N → ∞ ja

γ_N →2C s|σ|²e^µT2

kun N → ∞.

Koska jonot (β_N)_N≥1,(γ_N)_N≥1 suppenevat, niille on olemassa my¨os yl¨arajat β ja γ.

2.2. Diskreetti Skorohod-integraali

M¨a¨aritell¨a¨an seuraavaksi Skorohod-integraali. Se on keskeinen k¨asite diskreetiss¨a Malliavin-laskennassa ja sit¨a k¨aytet¨a¨an luvussa 3 laskettaessa option deltaa.

M¨a¨aritelm¨a 2.10. Olkoot Fi∆t: D^N,T →R satunnaismuuttujia, miss¨a i∈ {1, . . . , N}. Prosessin (F_i∆t)^N_i=1 Skorohod-integraali on

δ(F·∆t) :=

N

X

i=1

(F_i∆t(e_N)_i−D_i∆tF_i∆t(e_N) ∆t).

Malliavin-derivaatalla ja Skorohod-integraalilla on seuraavan lauseen mukainen yhteys, joka vastaa osittaisintegrointikaavaa. Lauseen todistuksessa k¨aytet¨a¨an ehdol- lista odotusarvoa. Tarvittavat ominaisuudet on esitelty lemmana 1.6. Lausetta k¨ay- tet¨a¨an todistettaessa t¨am¨an luvun p¨a¨atulosta, lausetta 2.12.

Lause 2.11. Olkoon F: DN,T → R satunnaismuuttuja ja (U_i∆t)^N_i=1 stokastinen prosessi, miss¨a U_i∆t:DN,T →R kaikilla i. T¨all¨oin

E

" _N X

i=1

(D_i∆tF)U_i∆t(e_N) ∆t

#

=E[F δ(U·∆t)].

2.2. DISKREETTI SKOROHOD-INTEGRAALI 19

Todistus. Aloitetaan v¨aitteen vasemmasta puolesta. Se voidaan kirjoittaa odo- tusarvon lineaarisuuden ja Malliavin-derivaatan m¨a¨aritelm¨an nojalla muotoon

E

" _N X

i=1

(D_i∆tF)U_i∆t(e_N) ∆t

#

=

N

X

i=1

E

"

F eⁱ⁺_N

−F eⁱ⁻_N 2√

∆t U_i∆t(e_N)

#

∆t.

(2.1)

M¨a¨aritell¨a¨an nyt jokaiselle 1 ≤k≤N uusi σ-algebra F_N∆t^k siten, ett¨a F_N∆t^k :=σ(₁, . . . , _k−1, _k+1, . . . , _N).

Avaruus (DN,T,F_N, µ_N) on diskreetti ja ¨a¨arellinen, joten satunnaismuuttujan U_i∆t ehdollinen odotusarvo σ-algebran F_Nⁱ _∆t suhteen on

E

U_i∆t(e_N) F_N∆tⁱ

= U_i∆t eⁱ⁺_N

+U_i∆t eⁱ⁻_N

2 .

(2.2)

Jatketaan tarkastelemalla yht¨al¨on (2.1) oikealla puolella olevaa odotusarvoa. Seu- raavissa yht¨al¨oiss¨a k¨aytet¨a¨an lemman 1.6 kohtia (i) ja (ii), sek¨a yht¨al¨o¨a (2.2). Edel- l¨amainitulle odotusarvolle p¨atee

E

"

F eⁱ⁺_N

−F eⁱ⁻_N 2√

∆t Ui∆t(eN)

#

= E

"

E

"

F eⁱ⁺_N

−F eⁱ⁻_N 2√

∆t U_i∆t(e_N)

F_N∆tⁱ

##

(ii)= E

"

F eⁱ⁺_N

−F eⁱ⁻_N 2√

∆t E

Ui∆t(eN) F_N∆tⁱ

#

(2.2)

= E

"

F eⁱ⁺_N

−F eⁱ⁻_N 2√

∆t · U_i∆t eⁱ⁺_N

+U_i∆t eⁱ⁻_N 2

#

= E

"

F eⁱ⁺_N

U_i∆t eⁱ⁺_N 4√

∆t +F eⁱ⁺_N

U_i∆t eⁱ⁻_N 4√

∆t

−F eⁱ⁻_N

U_i∆t eⁱ⁺_N 4√

∆t − F eⁱ⁻_N

U_i∆t eⁱ⁻_N 4√

∆t

#

= E

"

1 2

F eⁱ⁺_N

U_i∆t eⁱ⁺_N

√∆t + F eⁱ⁻_N

U_i∆t eⁱ⁻_N

−√

∆t

!

− F eⁱ⁺_N

U_i∆t eⁱ⁺_N 4√

∆t +F eⁱ⁺_N

U_i∆t eⁱ⁻_N 4√

∆t

−F eⁱ⁻_N

U_i∆t eⁱ⁺_N 4√

∆t +F eⁱ⁻_N

U_i∆t eⁱ⁻_N 4√

∆t

# .

Nyt edelleen yht¨al¨on (2.2) ja lemman 1.6 kohtien (i) ja (ii) nojalla saadaan

E

"

1 2

F eⁱ⁺_N

U_i∆t eⁱ⁺_N

√∆t +F eⁱ⁻_N

U_i∆t eⁱ⁻_N

−√

∆t

!

− F eⁱ⁺_N

U_i∆t eⁱ⁺_N 4√

∆t +F eⁱ⁺_N

Ui∆t eⁱ⁻_N 4√

∆t − F eⁱ⁻_N

Ui∆t eⁱ⁺_N 4√

∆t +F eⁱ⁻_N

Ui∆t eⁱ⁻_N 4√

∆t

#

(2.2)

= E

E

F (e_N)U_i∆t(e_N) _i

F_Nⁱ _∆t

−1

2 F eⁱ⁺_N

+F eⁱ⁻_N U_i∆t eⁱ⁺_N

−U_i∆t eⁱ⁻_N 2√

∆t

!#

(2.2)

= E

E

F (e_N)U_i∆t(e_N) i

F_Nⁱ _∆t

−E

F (e_N) F_N∆tⁱ

D_i∆tU_i∆t(e_N)

(ii)= E

E

F (e_N)U_i∆t(e_N) _i

F_Nⁱ _∆t

−E

F (e_N)D_i∆tU_i∆t(e_N) F_N∆tⁱ

(i)= E

E

F (e_N)U_i∆t(e_N)

_i −F (e_N)D_i∆tU_i∆t(e_N)

F_N∆tⁱ

= E

F (eN)Ui∆t(eN)

_i −F (eN)Di∆tUi∆t(eN)

.

Sijoittamalla edell¨a saatu tulos alkuper¨aisen v¨aitteen vasempaan puoleen saadaan

E

" _N X

i=1

(Di∆tF)Ui∆t(eN) ∆t

#

=

N

X

i=1

E

F(e_N)U_i∆t(e_N) i

−F (e_N)D_i∆tU_i∆t(e_N)

∆t

=E

"

F (e_N)

N

X

i=1

U_i∆t(e_N)

_i −D_i∆tU_i∆t(e_N) #

∆t

=E

"

F (eN)

N

X

i=1

U_i∆t(e_N) ∆t

_i −Di∆tUi∆t(eN) ∆t #

(a)= E

"

F (e_N)

N

X

i=1

(U_i∆t(e_N)_i −D_i∆tU_i∆t(e_N) ∆t)

#

=E(F δ(U·∆t)).

Edell¨a yht¨al¨o (a) seuraa siit¨a, ett¨a ²_i = ∆t kaikilla i.

Todistetaan seuraavaksi luvun 2 t¨arkein lause, joka antaa keinon yhdist¨a¨a diskree- tin Malliavin-laskennan ja option deltan m¨a¨aritelm¨an luvussa 3.

2.2. DISKREETTI SKOROHOD-INTEGRAALI 21

Lause 2.12. Olkoot θ > 0 sek¨a f ja g funktioita luokasta C^1,θ. Olkoot lis¨aksi Y : DN,T →R satunnaismuuttuja ja (H_i∆t)^N_i=1 stokastinen prosessi siten, ett¨a

N

X

j=1

H_j∆t(e_N)D_j∆tf(W_N∆t)6= 0 kaikilla e_N ∈DN,T. Merkit¨a¨an

Ui∆t(eN) := Y Hi∆t(eN) PN

j=1Hj∆t(eN)Dj∆tf(WN∆t) ∆t. T¨all¨oin on olemassa jatkuva kuvaus Rg◦f siten, ett¨a

|E[g⁰(f(W_N∆t))Y]−E[g(f(W_N∆t))δ(U·∆t)]|= E

" _N X

i=1

R_N,i√

∆t

U_i∆t(e_N) ∆t

# ja termille R_N,i√

∆t p¨atee

R_N,i√

∆t

≤Rg◦f(W_N∆t)√

∆t^θ. Todistus. Aloitetaan kirjoittamalla

E[g(f(WN∆t))δ(U·∆t)]

(i)=E

" _N X

i=1

D_i∆tg(f(W_N∆t))U_i∆t(e_N)∆t

#

(ii)= E

" _N X

i=1

g⁰(f(W_N∆t))·D_i∆tf(W_N∆t) +R_N,i√

∆t

U_i∆t(e_N)∆t

#

=E

" _N X

i=1

g⁰(f(W_N∆t))·D_i∆tf(W_N∆t)U_i∆t(e_N)∆t+

N

X

i=1

R_N,i√

∆t

U_i∆t(e_N)∆t

#

=E ^N

X

i=1

g⁰(f(WN∆t))·Di∆tf(WN∆t) Y H_i∆t(e_N) PN

j=1Hj∆t(eN)Dj∆tf(WN∆t)∆t∆t +

N

X

i=1

R_N,i√

∆t

U_i∆t(e_N)∆t

=E

g⁰(f(WN∆t))Y PN

i=1D_i∆tf(W_N∆t)H_i∆t(e_N) PN

j=1Hj∆t(eN)Dj∆tf(WN∆t)∆t∆t +

N

X

i=1

R_N,i√

∆t

U_i∆t(e_N)∆t

=E[g⁰(f(W_N∆t))Y] +E

" _N X

i=1

R_N,i√

∆t

U_i∆t(e_N)∆t

# .

Kohta (i) seuraa lauseesta 2.11 ja kohta (ii) seuraa lauseesta 2.8. Lauseen 2.8 nojalla p¨atee lis¨aksi

R_N,i√

∆t

≤Rg◦f(W_N∆t)√

∆t^θ,

miss¨a Rg◦f on jatkuva kuvaus.

Seuraava huomautus ja sit¨a seuraava esimerkki ovat valmistelua lukua 3 varten.

Siell¨a niit¨a k¨aytet¨a¨an j¨a¨ann¨ostermin arvioinnissa laskettaessa option deltaa.

Huomautus 2.13. Oletetaan, ett¨a on olemassa vakiotC, η >0 siten, ett¨a edelli- sen lauseen 2.12 prosessille (U_i∆t) p¨atee kaikilla i

U_i∆t≤C, kun√

∆t < η.

Nyt edelleen, kun √

∆t < η, saadaan

E

" _N X

i=1

R_N,i√

∆t

U_i∆t(e_N)∆t

#

≤E

"

N

X

i=1

R_N,i√

∆t

U_i∆t(e_N)∆t

#

≤E h

N · |Rg◦f(W_N∆t)|√

∆t^θ·C·∆ti

=E[|Rg◦f(W_N∆t)|]CT√

∆t^θ.

Esimerkki 2.14. Olkoot s > 0 ja µ, σ ∈ R sek¨a f(x) = se^µTe^σx ja g ∈ C_∞^1,1. Arvioidaan lauseessa 2.12 esiintyv¨a¨a j¨a¨ann¨ostermi¨a R_N,i√

∆t

. Esimerkki¨a 2.9 so- veltamalla saadaan arvio

R_N,i√

∆t

≤α·e^2σWN∆t√

∆t+β_N ·e^2σWN∆t∆t+γ_N ·e^2σWN∆t∆t³²

=

α+β_N ·√

∆t+γ_N ·∆t

e^2σWN∆t√

∆t.

M¨a¨aritell¨a¨an nyt

Rg◦f (x) :=

α+β_N ·√

∆t+γ_N ·∆t e^2σx, jolloin saadaan edelleen

E[|Rg◦f(W_N∆t)|]≤

α+β·√

∆t+γ·∆t

·E

e^2σWN∆t . Olkoon a∈R. Nyt satunnaismuuttujat _i ovat riippumattomia, joten p¨atee

E

e^aWN∆t

=E

" _N Y

i=1

e^ai

#

=

N

Y

i=1

E[e^ai]

2.2. DISKREETTI SKOROHOD-INTEGRAALI 23

=

N

Y

i=1

1 2

e^a

√

∆t+e^−a

√

∆t

= e^a

√∆t+e^−a

√∆t

2

!N

. Taylorin lauseen nojalla

e^a

√∆t

= 1 +a

√

∆t+e^ξ1

2 a²∆t, miss¨a ξ1 ∈h 0, a

√

∆t i

. Vastaavasti

e^−a

√∆t

= 1−a√

∆t+e^ξ2

2 a²∆t, miss¨a ξ2 ∈h

−a√

∆t,0 i

. T¨all¨oin

E

e^aWN∆t

= 1 +a√

∆t+^eξ₂¹a²∆t+ 1−a√

∆t+^eξ₂²a²∆t 2

!N

= 2 + ^a2₂^∆t e^ξ1 +e^ξ2 2

!N

≤ 1 +

a²T 2N ·2e^a

√

∆t

2

!N

= 1 +

a²T 2 e^a

√

∆t

N

!N

N≥1

≤ 1 +

a²T 2 e^a

√ T

N

!N

. Koska

e^x = lim

n→∞

1 + x

n n

, niin

lim sup

N→∞ E

e^aWN∆t

≤e^a

2T 2 e^a

√

T <∞.

Nyt jos prosessi U_i∆t on kuten huomautuksessa 2.13, niin

lim sup

N→∞

E

" _N X

i=1

RN,i

√

∆t

Ui∆t(eN)∆t

#

≤lim sup

N→∞

E[|R_g◦f (W_N∆t)|]CT√

∆t

=CTlim sup

N→∞

E[|Rg◦f(W_N∆t)|]√

∆t

≤CT lim sup

N→∞

(E[|Rg◦f(W_N∆t)|]) lim sup

N→∞

√

∆t

≤CT lim sup

N→∞

α+β·√

∆t+γ·∆t

·E

e^2σWN∆t

lim sup

N→∞

√

∆t

≤CT α·lim sup

N→∞ E

e^2σWN∆t

lim sup

N→∞

√

∆t

≤CT α·e^{(2σ)2T2 e2σ}

√

T ·lim sup

N→∞

√

∆t

= 0.

LUKU 3

Option deltan laskeminen

3.1. Diskreettiaikainen optionhinnoittelumalli

Aloitetaan t¨am¨a luku rakentamalla binomipuumalli, jossa on N aika-askelta. Bi- nomipuumalleja hy¨odynt¨avi¨a diskreettej¨a optionhinnoittelumalleja ovat kehitt¨aneet ensimm¨aiseksi Cox, Ross ja Rubinstein sek¨a Rendleman ja Bartter.

Tarkastellaan eurooppalaisia optioita, joiden maturiteettihetki on T = N∆t ja tuottofunktio on φ. Oletetaan, ett¨a on olemassa riskit¨on korko r. Olkoon S_i∆t option kohde-etuuden hinta hetkell¨a i∆t, miss¨a i ∈ {0, . . . , N −1}. Olkoon p ∈ (0,1) ja u > e^r∆t > d >0. Kohde-etuuden hinta hetkell¨a (i+ 1)∆t on

• uS_i∆t todenn¨ak¨oisyydell¨ap

• dS_i∆t todenn¨ak¨oisyydell¨a 1−p.

Olkoon σ >0. Tarkastellaan tilannetta, jossa u:=e^{(r−12σ2)∆t+σ}

√

∆t, d :=e^{(r−12σ2)∆t−σ}

√

∆t ja p:= 1 2.

T¨ass¨a parametrit on valittu l¨ahteest¨a [5] l¨oytyv¨an RB-mallin mukaan. Jatkossa k¨ay- tet¨a¨an aina kyseist¨a RB-mallia.

Oletetaan, ett¨a kohde-etuuden hinta liikkuu hetkeen n∆t menness¨a yl¨osp¨ain j kertaa ja alasp¨ain n−j kertaa. Kun merkit¨a¨an S_0∆t =: s, saadaan kohde-etuuden hinnaksi hetkell¨a n∆t

S_n∆t =su^jd^n−j

=se^{j((r−12σ2)∆t+σ}

√∆t)

e^{(n−j)((r−12σ2)∆t−σ}

√∆t)

=se^{n((r−12σ2)∆t)}e^σ(2j−n)

√

∆t. (3.1)

Olkoon (₁, . . . , _n) jono satunnaismuuttujia, joille p¨atee _i =

(√∆t, jos kohde-etuuden hinta nousee hetkell¨a i

−√

∆t, jos kohde-etuuden hinta laskee hetkell¨a i.

K¨aytet¨a¨an luvusta 2 tuttua satunnaisk¨avelyn merkint¨a¨a

W_n∆t=

n

X

i=1

_i.

Edell¨a tarkastellussa tilanteessa kohde-etuuden hinta nousi j kertaa ja laski n− j kertaa, joten

25

Wn∆t=j√

∆t−(n−j)√

∆t= (2j−n)√

∆t.

N¨aiden merkint¨ojen ja yht¨al¨on (3.1) avulla saadaan seuraava m¨a¨aritelm¨a.

M¨a¨aritelm¨a 3.1. Option kohde-etuuden hinta hetkell¨an∆t,n ∈ {1, . . . , N} on Sn∆t:=se^{n((r−12σ2)∆t)}e^σWn∆t.

M¨a¨aritelm¨a 3.2. Option hinta riippuu ajanhetkest¨a n∆t, n ∈ {0, . . . , N}, ja kohde-etuuden hinnasta x > 0 kyseisell¨a ajanhetkell¨a. Olkoon i ∈ {0, . . . , N −1}.

M¨a¨aritell¨a¨an option hintafunktio C(x, N∆t) :=φ(x), (3.2)

C(x, i∆t) := 1

2[C(ux,(i+ 1)∆t) +C(dx,(i+ 1)∆t)]e^−r∆t. (3.3)

Edellisen m¨a¨aritelm¨an kohta (3.2) perustuu ajatukseen, ett¨a option hinta ja tuotto ovat tasapainossa lunastushetkell¨a, jolloin ei ole riskitt¨om¨an voiton mahdollisuutta.

Kohta (3.3) taas pohjautuu siihen, ett¨a optio hinnoittautuu kullakin ajan hetkell¨a vastaamaan tulevan hetken odotettua hintaa riskit¨on korko huomioituna. Option al- kuper¨ainen hinta voidaan laskea ehtojen (3.2) ja (3.3) avulla k¨a¨anteisell¨a induktioalgo- ritmilla. Seuraava lause on t¨arke¨a tulos ja sit¨a hy¨odynnet¨a¨an k¨ayt¨ann¨oss¨a laskettaessa option hintaa.

Lause 3.3. Olkoot φ: R → R funktio ja C(s) := C(S_0∆t,0∆t) option hinta het- kell¨a 0. Hinnalle C(s) p¨atee

C(s) = e^−rN∆t

N

X

j=0

N j

1 2

N

φ(su^jd^N−j)

=E[e^−rTφ(S_N∆t)].

Todistus. T¨ass¨a todistuksessa k¨aytet¨a¨an m¨a¨aritelm¨an 3.2 avulla rakennettua k¨a¨anteist¨a induktioalgoritmia. Olkoonx∈R. Osoitetaan, ett¨a kaikilla i∈ {0, . . . , N} p¨atee

C(x,(N −i)∆t) = e^−ir∆t 2ⁱ

i

X

k=0

i k

φ u^kd^i−kx . (3.4)

Ehdon (3.2) nojalla v¨aite (3.4) p¨atee, kuni= 0. Oletetaan nyt, ett¨a v¨aite p¨atee jollain luvulla i∈ {0, . . . , N −1}, ja osoitetaan, ett¨a se p¨atee my¨os luvullei+ 1.

C(x,[N −(i+ 1)]∆t)

(3.3)

= 1

2[C(ux,[N−i]∆t) +C(dx,[N −i]∆t)]e^−r∆t