Matematiikan ymmärtämisen tutkimus

Ymmärtäminen on pitkän aikaa ollut keskeinen aihe matematiikan oppimisen tutki-muksessa. Brownellia ovat seuranneet muun muassa Bloom (1956), Ausubel (1968), Wittrock (1974), Skemp (1976), Hiebert ja Lefevre (1986), Sierpinska (1994) ja Kilpatrick (2009). Se näkyy myös runsaana artikkelien määränä ja väitöskirjoina.

Esimerkiksi Glen Helmstad (1999) kirjoitti väitöskirjansa nimellä Understanding of understanding kuten myös Judith Mousley (2003) omansa nimellä Mathematical understanding as situated cognition tai Antti Viholaisen (2008) kirja Prospective mat-hematics teacher’s informal and formal reasoning about the conceps of derivative and dif-ferentialibility. Pari vuotta sitten ilmestyi Rauno Koskisen (2016) väitöskirja Mielekäs oppiminen matematiikan opetuksen lähtökohtana. Viimeisin väittelijä on Hanna Viitala (2018) kirjallaan Studying pupils’ mathematical thinking through problem solving and view of mathematics: Case studies of Finnish comprehensive school pupils. Suomalaisista tutkijoista mainittakoon vielä Huhtala (2000), Hassinen (2006), Joutsenlahti (2005), Hähkiöniemi (2006), Näveri (2009) ja Partanen (2011). Heidän tutkimuksensa vähintäänkin sivuavat ymmärtämistä. Ymmärtäminen on myös ollut kotimaisten ja kansainvälisten seminaarien teemana kuten Turun seminaari vuonna 2002: Workshop on Mathematical Understanding ja Prahan Semt-symposium vuonna 2009: The deve-lopment of Mathematical Understanding.

Tutkijat ovat tehneet ymmärtämistutkimusten luokituksia eri perusteilla, mutta Sierpinskan (1994, 119-120) luokitus sopii tämän työn ajatusmaailmaan parhaiten.

Hän on jakanut löytämänsä mallit ja teoriat neljään luokkaan a) hierarkkiset tasomallit, b) kognitiiviset struktuurit, c) dialektiset mallit ja d) historiallis-empiirinen käsiteana-lyysi. Kun viimeinen luokka korvataan Sierpinskan (emt., 56; 75) dynaamisella proses-sikuvauksella, saadaan kaivattuja lisäelementtejä uuden oppimismallin kehittämiseen tähän työhön:

a) Ymmärtämisen hierarkkiset tasomallit: Pirie ja Kieren (1994) ovat esittäneet kahdeksanosaisen vaihemallin, missä kognitiivinen struktuuri kehittyy proseduurin, abstraktion ja yleistämisen kautta (Kuvio 1).

Kuvio 1. Matemaattisen ymmärtämisprosessin vaiheet (Pirie & Kieren 1994).

Alkeistietämisen vaihetta lukuun ottamatta kukin vaihe kulkee proseduurien kautta käsitteiksi ja tietorakenteiksi. Ne kehittyvät konkreetista abstraktiin sekä yksinkertai-sista rakenteista monimutkaisiin ja yleisiin. Koska prosessiin kuuluu vaiheiden hallinta sisäkehältä lähtien, on tilanteen vaatiessa palattava työstämään ja täydentämään edel-tävien vaiheiden puutteita (folding back). Konkreettisista malleista luopuminen ja formaalille tasolle siirtyminen on radikaali muutos yksilön ajatusmaailmassa.

b) Kognitiiviset struktuurit ja käsitemallit: Hiebert ja Carpenter (1992, 67) tarkas-televat mielekästä oppimista ymmärtämisen näkökulmasta. Ymmärtäminen palautuu tietorakenteisiin ja niiden esitysmuotoihin eli representaatioihin. Heidän mukaansa ymmärtäminen liittyy tiettyyn yksilöön, tarkasteltavaan matemaattiseen sisältöön ja erityiseen ympäristöön: ”Henkilö on ymmärtänyt matematiikan idean, menetelmän tai tosiasian, jos se on osa hänen sisäistä tietoverkkoaan”. Ymmärtämisen aste riippuu tietoverkon yhteyksien lukumäärästä ja voimakkuudesta. Edelleen he toteavat, että jokin matematiikan osa-alue on ymmärretty, jos sen mentaalinen representaatio on osa yksilön tietoverkoston representaatiota. Hiebert ja Carpenter (emt.) pitävät ymmärtä-mistä oppimistuloksena ja ajattelun resurssitekijänä, mutta eivät sen lisäksi aktiivisena toimintana kuten esimerkiksi Sierpinska (1994) tekee.

c) Dialektiset mallit, joissa operationaalinen ja strukturaalinen ajattelu vuorottele-vat. Harel (2009) tarkasteli oppimista dialektisenä prosessina, jossa ymmärtäminen ja päättely toimivat komplementaarisena parina. Hänen DNR -mallinsa periaatteita ovat duaalisuus (Duality principle), mielenkiinto (Necessity principle) ja toistuva päättely (repeated Reasoning). Ensimmäinen periaate viittaa siihen, että oppimisprosessissa ym-märtäminen ja päättely täydentävät toisiaan. Laadukkaan oppimisen välttämättömänä ehtona Harel pitää oppilaan älyllistä mielenkiintoa matematiikkaa kohtaan. Toistuva harjoittelu tähtää asioiden sisäistämiseen, järjestämiseen ja rakenteiden muistamiseen

sekä joustavaan tietojen hallintaan. Keskeisinä ajattelun toimintoina Harel pitää ongel-manratkaisua, tulkintaa ja lauseen todistamista.

Anna Sfardin (1991) mallissa matemaattisen ymmärryksen kehittyminen on kuvat-tu dialektisenä prosessina, joka peruskuvat-tuu tiedon dualistiseen luonteeseen. Oppiminen noudattaa geneettistä kaaviota (Haapasalo 2004, 56) siten, että ajattelun operationaali-nen ja strukturaalioperationaali-nen vaihe täydentävät peräjälkeen toisiaan. Ajattelu intentionaalise-na toimintaintentionaalise-na kohdistuu objekteihin ja prosessi kapseloituu uudeksi rakenteeksi, joka on seuraavan ajatteluprosessin objektina (Kuvio 2).

Kuvio 2. Matemaattisen käsitteenmuodostuksen dialektinen malli (Sfard 1991, 221).

Sfardin mallin peruselementissä on kolme osaprosessia: sisäistäminen, tiivistämi-nen ja reifikaatio. Sisäistämistoiminnot kohdistuvat alkeistapauksissa konkreettisiin objekteihin tai niiden symbolisiin esityksiin. Esimerkiksi jakolaskuja voidaan käsitellä esineiden osituksina, mallien avulla tai kuvitteellisesti. Oppija voi tulkita kolme viides-osan siten, että jokin kappale on jaettu viiteen osaan, josta kolme on otettu erilleen.

Tiivistämisvaiheessa jakamisoperaatio rikastuu suoritukseksi, jonka välivaiheisiin ei tarvitse kiinnittää huomiota. Reifikaatiovaiheen tehtävä on abstrahoida operaatiot ja mielikuvat itsenäiseksi rakenteeksi, joka voi olla seuraavan vaiheen ajatuskohteena.

Sana reifikaatio on latinankielinen laina, joka palautuu sanoihin res ja facere eli tosi-asiaan palaaminen. Kysymys on siis tapahtumasta, jossa operaatio muuttuu tosiasiaksi ja molemmat voivat näyttäytyä saman asian eri puolina. Esimerkiksi kolme viidesosa voidaan nähdä laskutoimituksen tuloksena, suorituskompleksina tai kahden luvun suhteena, jolloin murtoluku näyttäytyy monimuotoisena.

Viimeksi mainitut mallit (Pirie & Kieren ja Sfard) kuvaavat matemaattisen ym-märtämisen vaiheittaista kehittymistä. Tällöin päättely ja ymmärtäminen sulautuvat matemaattiseksi ajatteluksi. Sitä vastoin Harelin malli edustaa sellaista toimintaa, jossa ymmärtäminen ja päättely täydentävät toisiaan prosessin edetessä.

d) Dynaaminen prosessikuvaus: Sierpinska (1994) jakaa ymmärtämisen kolmeen tapahtumaan: ymmärtämisen akti (act of understanding), ymmärtäminen (an unders-tanding) ja ymmärtämisen prosessi (process of undersunders-tanding). Akti on intentionaali-nen tapahtuma, joka koostuu neljästä tekijästä: subjekti, objekti, perusta (the basis) ja kytkemisoperaatio (act). Olkoonpa objekteina tosiasiat, tekstit tai ongelmat, kysymyk-sessä on vähintään kahden elementin kytkeminen toisiinsa tai osan liittäminen

koko-naisuuteen eli perustaan. Sierpinskan (emt. 56) mukaan kytkemisoperaatiota edeltää identifikaatio, diskriminaatio, yleistys ja synteesi. Jonkin asian ymmärtäminen (an understanding) on päättelyketjun (reasoning) tulos, missä yksittäiset aktit seuraavat toisiaan. Ymmärtäminen prosessina on pitkän ajanjakson tapahtuma, missä aktit ovat osatekijöinä ja yksilön käsitejärjestelmä muuttuu. Sierpinska (emt., 75) erottaa vielä spontaanit päättelyt ongelmiin suuntautuneesta ajattelusta. Viimeksi mainittuja ovat hänen mukaansa todistaminen, verifiointi ja selittäminen, jolloin prosessin käynnistää usein kysymys ”Miksi?”

Yhteenvetona voidaan todeta, että ymmärtämistutkimus on ollut aktiivista eri puolilla maailmaa. Sierpinskan luokitus tarjoaa tässä yössä aineksia dialektisen op-pimismallin kehittämiseen, jossa käsitteellinen taustatieto ja mentaaliset prosessit voivat muodostaa oppimisprosessissa toimivan parin. Seuraavassa luvussa selvitetään, miten opetussuunnitelmia ohjaavat tai myötäilevät mallit voivat antaa aineistoa tälle tutkimukselle.