Käsitteen tehtävistä ja luonteesta

Käsitteet ovat ajattelun ja kommunikaation välineitä, joilla pyritään saamaan ote meitä kiinnostavista asioista. Käsitteillä nähdään ja koetaan asioita jonakin. Tiedon lisäksi käsitteellisiin välineisiimme kuuluvat esimerkiksi uskomukset, luulot ja väärinkäsi-tykset, jotka jäsentävät maailmaamme ja ohjaavat toimintojamme. Siksi niillä on suuri merkitys myös oppimisprosesseissa. Matematiikassa käsitteiden määrittelyllä on tärkeä tehtävä, jonka tarkoitus on osoittaa yksiselitteisesti tarkoitettu kohde ja ilmaista

täs-mällisesti kohteesta esitetty väite. Määrittely perustuu analyysiin, jossa käsitteen sisältö esitetään aiemmin tunnettujen osien avulla. Vaihtoehtoinen tapa on puhua merkityk-sestä, joka on käsitteen ilmaisulla (Lammenranta 1993, 75). Käsitteelliset muutokset ovat keskeistä tehtäväkenttää opettamisen ja oppimisen problematiikassa (ks. esim.

Vosniadou 1994; Merenluoto 2001).

Kommunikaatiossa ja ajattelussa käsite kuljettaa suuren määrän tiivistettyä infor-maatiota ja antaa valmiuksia toimia älykkäästi monissa tilanteissa (Brownell & Sims 1972/1946). Faktat antavat yleistä tietoa yksittäisistä olioista, mutta periaate tai yleistys koskee suurta joukkoa sen piiriin kuuluvia ilmiöitä. Esimerkiksi luku kolme on pariton luku ja edustaa faktatietoa, mutta väite ”kolmion kulmien summa on yhtä suuri kuin kaksi suoraa kulmaa” edustaa suurta joukkoa tasokuvioita. Käsitteiden hallinta on tärkeä, koska se säästää muistia ja tarjoaa faktatietoa yksittäisistä tapauksista. Yleisellä tasolla asia vaikutta helpolta, mutta opettamisen kannalta asia ei ole ongelmaton. Siksi aihetta valotetaan alaluvuissa tarkemmin.

Yleiskäsitteen tai lyhyemmin käsitteen (concept, Begriff ) kreikankielinen vastine idea (eidos) viittaa mielikuvaan tai ajatussisältöön (Lacey 1996, 53; 136; 368). Kirjal-lisuudessa käytetään usein sanaa ’idea’ käsitteellisen tiedon määrittelyssä tai ajattelun elementtinä (esim. Hiebert & Carpenter 1992; Pehkonen 2000; Kilpatrick 2009).

Esineiden havaitseminen voidaan selittää aistivaikutelmien ja käsitteellisen aineksen kombinaationa. Aistimus aktivoi mielessämme käsitteen tai käsite-edustuksen, ja näemme kohteen ”jonakin” (Salo 1999). Käänteisessä tapauksessa käsitteellä on mer-kitsemistehtävä, kun annamme ajattelun kohteelle merkityssisällön (Rauhala 1997, 65).

Käsite ’käsite’ ei siis ole kovin yksinkertainen asia. Monet maineikkaat filosofit ovat yrittäneet selvittää asiaa viimeisen kahden tuhannen vuoden aikana, mutta joutuneet analyyseissaan vaikeuksiin ja kiistoihin keskenään.

2.2.1 Käsitteen määrittely

Niiniluodon (1984) mukaan käsitteiden luonteen ja olemassaolon ongelma oli yksi keskiajan filosofian keskeisimmistä kiistakysymyksistä, josta on käytetty myös nimi-tystä universaaliongelma (lat. universalis). Termillä ’käsite’ on suuri joukko erilaisia merkityksiä, joista ei helposti löydy yhteistä tekijää. Käsitteitä voidaan kutsua ominai-suuksiksi, relaatioiksi, attribuuteiksi, kvaliteeteiksi tai universaaleiksi (emt., 123). Gag-ne (1977, 134) pitää käsitteitä sääntöinä, joiden tehtävä on poimia nimetyn luokan alaan kuuluvat oliot. Haapasalon (2004, 73) mukaan käsitteet ovat yksilön mentaalisia tai yhteisön hyväksymiä ilmauksia tai niiden merkityksiä. Semantiikassa puhutaan käsitteistä yleisten termien intensioina (Kivinen 1994, 140). Marzano (2001, 18) on halunnut luopua sanan ’käsite’ käytöstä sen monimerkityksisyyden vuoksi. Hän puhuu mieluummin yleistyksistä, joilla hän tarkoittaa periaatteita ja olioluokkien yhteisiä piir-teitä. Silfverberg (1999, 66) viittaa mainintaan, jonka mukaan ’käsite’ on suorastaan sanakirjan tekijän painajainen.

Yleiskäsite ”ymmärtäminen” on Wittgensteinin (1981/1953) mukainen ryväs-käsite, jota on vaikea kuvata kattavasti, saatikka antaa sille täsmällistä määritelmää.

Sekavaan tilanteeseen tuo hiukan selvyyttä, kun ymmärtämistä tarkastellaan osana sen lähikäsitteitä. Muun muassa Herscovics ja Bergeron (1983, 75) toteavat, että ’ymmär-tämistä’ ei voida erottaa sanoista ’ajatella’, ’tietää’ ja ’oppia’, koska ymmärtäminen on ajattelun tulos. Toisaalta ajattelu ei voi toimia tyhjiössä, koska se toimii aikaisemmin opitun ja ymmärretyn tiedon varassa. Hermeneuttinen perinne korostaa kielen asemaa, jolloin ajattelu, tieto ja kieli kulkevat yhdessä ja kieli on välttämätön kommunikaation elementti (Kusch 1986, 20).

Ideoita, käsitteitä ja ajatuksia ei voida välittää kommunikoinnissa suoraan, vaan tehtävä suoritetaan käyttämällä erilaisia merkkejä. Symbolisilla merkeillä on triadinen luonne: merkin kirjoitettu tai puhuttu muoto, merkin viittaama olio (objekti, refe-rentti) ja merkin ilmaisema käsite tai merkitys (Niiniluoto 1994, 3). Carnapin termein käsitteet ovat kielellisten ilmausten intensioita, kun taas referentiaaliset oliot, olioluo-kat ja asiat ovat ilmausten ekstensioita (Niiniluoto 1984, 120). Termit, predikaatit ja lauseet ovat kielellisiä ilmauksia.

Käsitteillä voidaan esittää luokkajäsenyyden ehtoja. Ehtojen määrittely tapahtuu usein olioista käsin, kun tietyssä joukosta etsitään sen alkioiden yhteisiä ominaisuuksia ja relaatiota (ks. esim. Sifverberg 1999, 68; Salo 1999, 172). Laine (1984, 16) määrit-telee käsitteen seuraavasti:

Käsite on joko samaa kieltä puhuvan ihmisryhmän piirissä yleistynyt tai yksilön mentaalisena konstruktiona muodostettu esineiden, symbolien, asioiden tai tapah-tumien luokka, joka perustuu ko. esineissä, symboleissa, asioissa tai tapahtumissa esiintyviin yhteisiin ominaisuuksiin tai johon voidaan viitata tietyn nimen tai symbolin avulla.

Käsitteeseen liittyvä ilmaus tekee kommunikaation mahdolliseksi, mutta se ei ole aina välttämätön käsitteen edellytys. Oppilas voi esimerkiksi tutustua jaollisuuteen ja antaa sen perusteella lukualueille nimiä kuten rationaaliluku.

Useimpiin käsitteisiin ei löydy kattavia luokitusehtoja. Siitä on esimerkkinä pelin käsite. Tällaisia käsitteitä kutsutaan ryväskäsitteiksi (Wittgenstein 1981/1953). Kä-sitteillä itselläänkin on ominaisuuksia kuten epämääräisyys (vagueness) tai täsmällisyys (exact, rigour). Epämääräisyys ei ole kuitenkaan sama asia kuin monimerkityksisyys (ambiguity) eli monimielisyys, joka on kielellisen ilmauksen semanttinen ominaisuus.

On huomattava, että käsitteellä on sisältö ja merkillä merkitys, mutta molemmilla on vielä asemansa mukainen kontekstuaalinen merkitys.

2.2.2 Käsiteluokista

Käsitteet eivät ole autonomisia entiteettejä, vaan ne muodostavat linkkien kautta järjes-telmiä kuten käsitepuut, käsitehilat ja käsitekartat tai ylä- ja alakäsitteiden hierarkkisia rakenteita (Haapasalo 2004, 76). Matematiikassa voidaan puhua luokkaelementtien mukaisesti objektikäsitteistä, operaatiokäsitteistä tai suhdekäsitteistä. Suhdekäsitteet koskevat objektien tai luokkien välisiä suhteita, ja faktassa käsite on omistettu yksittäi-selle oliolle. Operaatiokäsitteiden erityispiirteenä on, että ne sisältävät sekä

propositio-naalisen että proseduraalisen tiedon elementtejä ja kytkevät nämä tiedon lajit toisiinsa proseptuaaliseksi tiedoksi (ks. luku 2.2.4).

Voiko käsite olla yleistyksen lisäksi itsenäinen entiteetti? Voimmeko siis puhua esi-merkiksi lukukäsitteestä tai ääretönkäsitteestä? Haapasalo (2004, 79) kysyy lukijalta, pystyykö hän kuvittelemaan tietylle luvulle mentaalista esiintymää, vaikka lukumäärälle löytyykin helposti edustajia. Lukumäärissä tai fysiikan suureissa luvuilla on praktinen tehtävä. Suureet ovat fysiikan teorian kvantitatiivisia käsitteitä, joilla kuvaillaan reaali-maailman ilmiöitä ja joilla ilmiöt saadaan ”käsiin”. Mittaamisessa puhutaan realistisen tavan mukaan suureista ominaisuuksina, kun teoreettiset käsitteet on operationalisoitu ja ne ovat mittaamisen lisäksi laskettavissa. Kuvattaessa funktion kulkua ja raja-arvoja käytetään äärettömän käsitettä esimerkiksi kaltevuuden tarkasteluun (Viholainen 2008). Tässä esimerkissä äärettömän käsite ei ole itsenäinen entiteetti vaan tietoisuutta viivan ominaisuuksista. Vaikuttaa siltä, että käsite ei ole autonominen entiteetti, vaan se on jonkin asian käsite kuten Kivinen (1994, 139) sanoo. Tilanne on kuitenkin toinen antirealistisen tai konstruktivistisen metafysiikan näkökulmasta (Lammenranta 1993, 11), kun maailmaa konstruoidaan käsitteillä.

2.2.3 Käsitteen representaatiot

Käsitteen olemusta voidaan selvittää myös niiden tehtävien mukaan, joita sillä on havainnon muodostamisessa, tietämisessä, ajattelussa ja käyttäytymisessä (Salo 1999, 171). Puhuttu tai kirjoitettu kieli ei ole merkityksekäs tai viittaa mihinkään asiaan, ellei sitä tulkita. Kognitiotieteessä tulkinta nojaa sisäisiin representaatioihin tai skeemoihin, kun mentaaliset prosessit suorittavat esimerkiksi luokituksia tai päättelyjä (emt.). Re-presentaatiot ovat sisäisiä tai ulkoisia merkityksen kantajia. Goldinin (1998) mukaan sisäisiä representaatiojärjestelmiä ovat verbaaliset/syntaktiset, kuvalliset, formaaliset, strategiset ja heuristiset sekä affektiiviset systeemit. Sisäiset representaatiot kantavat merkityksiä mukanaan, mutta ulkoisten representaatioiden merkitykset saadaan tul-kinnan tuloksena (Salo 1999).

Representaatioiden jaottelussa sisäisiin ja ulkoisiin tulee helposti se käsitys, että ulkoinen esitys vain heijastaa, ilmaisee tai edustaa ajatusten maailmaa. Monet tutkijat Hähkiöniemen (2006) ja Viholaisen (2008) tavoin tarkastelevat representaatioita ajat-telun välineinä, joilla on sisäinen ja ulkoinen ilmenemismuoto. Kun esimerkiksi abst-raktille käsitteelle ei löydy mentaalista ilmentymää, voidaan ajatusoperaatiot suorittaa symboleilla. Hähkiöniemi (2006, 40) määrittelee oppimisen ja evaluaation kannalta tärkeän representaatioiden linkittämisen, joka perustuu assosiaatioon ja reflektioon.

Edellinen tapaus koskee siirtymää esityksestä toiseen, ja jälkimmäisessä representaatio selitetään toisella. Tavoitteiden asettamisessa ja aidoissa oppimistilanteissa on huomat-tava, että representaatiot, linkit ja tulkinnat ovat aina kontekstisidonnaisia.

Mentaalisten representaatioiden olemassaolosta ja tehtävistä on laaja yksimielisyys, mutta käsitteestä itsestään esitetyt teoriat ovat osoittautuneet ongelmallisiksi (esim.

Silfverberg 1999; Salo 1999; Fodor 1998; Fodor 2001). Käsitteiden pitäminen piirre-kimppuina johtaa käsitepuun ongelmaan, jossa halutaan selvittää, missä ovat käsitteen juuret. Usein käsitteet redusoidaan aistimuskäsitteisiin, joiden ala ei yleensä ole

määrit-telykysymys, vaan sillä näyttää olevan jokin väljempi kriteeri (Salo 1999, 172). Tähän ehtoon on pyritty löytämään ratkaisu prototyyppien avulla siten, että luokkajäsenyys perustuisi samankaltaisuuteen kategorian prototyypin kanssa tai luokan piirteiden tilastollisiin ehtoihin. Fodorin (emt., 12) mukaan prototyyppi ei olisikaan käsite vaan välivaihe käsitteenmuodostuksessa, kun mieli linkittää prototyypin käsitteeseen. Mut-ta tämäkään ratkaisu ei häivytä prototyypin tunnisMut-tamisen ongelmaa, johon kuuluu primitiivielementtejä. Näin ollen lupaavalta vaikuttava käsitepuun ja prototyypin idea eivät johda tyydyttävään tulokseen ainakaan opetuksen kannalta, vaan on etsittävä jokin uusi ratkaisu. Salo (1999) ja Fodor (emt.) arvelevat, että atomistinen käsiteteoria voisi tarjota varteenotettavan kilpailijan prototyyppiteorialle.

Vaikka määrittely- ja prototyyppiteoria ovat alttiita kritiikille, niille ei näyttäisi ole-van sopivaa vaihtoehtoa nykyisissä matematiikan oppimisteorioissa.

2.2.4 Abstrahointi käsitteen muodostuksessa

Käsitteellisiä muutoksia selitetään usein abstraktiolla. Sillä tarkoitetaan ympäristöstään irrottamista eli latinalaisittain ab (irti) ja trahere (vetäminen), jonka tulos voi olla pro-sessi, ominaisuus tai olio (Gray & Tall 2002,115). Esimerkiksi kahden esineen joukosta voidaan abstrahoida luku kaksi, joka on ajatusolio ja voidaan esittää numerolla 2. Pia-get (1973) erotti toisistaan empiirisen, pseudoempiirisen ja reflektiivisen abstraktion.

Ensimmäinen näistä kohdistuu konkreettisiin olioihin, toinen operaatioihin ja kolmas ajatusobjekteihin (Tall 2004).

Gray ja Tall (2001) sekä Tall (2004, 2005) kehittivät Piagetin mallia edelleen ja päätyivät käsitteenmuodostuksen kolmijakoon:

– Käsitteellis-havainnollinen malli (The (conceptual-) embodied world): Havain-tokäsitteet abstrahoidaan arkimaailman konkreettisista olioista tai piirretyistä kuvioista. Käsitteiden tehtävä on jäsentää fysikaalista havaintomaailmaa ja tarjota yksilön arkielämään orientaatiopohja, missä matematiikalla on lähinnä välineellinen asema.

– Proseptuaalis-symbolinen malli (The (proceptual-) symbolic world): Toimin-takäsitteet ovat dualistisia, missä matematiikan symbolit virittävät mentaalisia toimintakaavioita, niiden tuottamia tuloksia ja jäsentyneitä rakenteita. Päättely, sen tulos ja niiden ilmaus kapseloituvat proseptikäsitteeksi (procept). Esimer-kiksi symboli 100/25 on monimerkityksinen, kun se voi viitata murtolukuun, kahden luvun suhteeseen, suoritettavaan jakolaskuun tai laskun tulokseen neljä.

Prosept-käsitteet tarjoavat ajattelulle joustavia ja laajoja mieltämisyksikköjä säästäen työmuistin kapasiteettia.

– Formaalis-aksiomaattinen malli (The formal (-axiomatic) world): Formaalit kä-sitteet perustuvat määritelmiin ja aksiomisysteemin loogisiin johdannaisiin, jot-ka voidaan esittää verbaalisilla, kuvallisilla tai matematiijot-kan omilla symboleilla.

Edellä mainitut luokat eivät ole erillisiä toimintaympäristöjä, vaan ne täydentävät toi-siaan tehtävien työstämisessä (Hähkiöniemi 2006; Viholainen 2009).

Tall ja Vinner (1981) tarkoittavat käsitteellä yhteisöllistä entiteettiä, kun taas ”kä-sitekuva” (concept image) on käsitteen mentaalinen ilmentymä yksilölle. Käsitekuva sisältää mielikuvat, representaatiot ja attribuutit (Vinner 1983). Yksilöllisiä käsite-kuvia tai prosepteja ei välttämättä tarvitse pitää erillisinä, vaan esimerkiksi määritelty formaali käsite voidaan nähdä osana matemaatikon käsitekuvaa (Tall 2004).

Yhteenvetona käsitteestä voidaan todeta, että jo sen pitkä historia osoittaa, miten tärkeästä oliosta on kysymys. On helppo hyväksyä, että käsite on tehokas ajattelun väline. Sille on kuitenkin annettu niin vaativia tehtäviä, että sen täysipainoisen hyödyn-tämisen kanssa tulee ongelmia. Tässä luvussa nostettiin esille seikkoja, jotka koskevat käsitteen asemaa ajattelussa ja ymmärtämisessä. Käsitteen esitystavat liittävät sen kom-munikaatioon ja tiedon soveltamiseen. Matemaattisen käsitteen dualistinen luonne tekee siitä joustavan välineen ajattelulle ja ymmärtämiselle. Käsitteenmuodostuksen kolmijakoa (Tall 2004; 2005) noudattaen opettaja voi suunnata oppilaansa ajatus-maailmaa esineiden maailmasta aksiomaattisiin järjestelmiin ja päinvastoin. Käsitteen roolia tietämisessä tarkastellaan seuraavassa luvussa.