Lukumystiikka ja -symboliikka kiehtoo monia ihmisiä. Itse en katso lukeutu-vani sellaisiin. Kaikki luvut voidaan selittää "mielenkiintoisiksi". Ennen oli työhuoneeni numero yliopistolla 314 eli noin 100π. Nyt se on 2025 eli 452, mikä on myös sillä tavalla kiintoisa, että jos jokaista numeroa kasvatetaan yh-dellä eli siirrytään lukuun 3136, niin se vuorostaan on 562. Vanhempieni pu-helinnumero oli aikoinaan Helsingissä 9 36 25 eli lukujen 3,6,5 neliöt
peräk-käin, mistä taas muodostuu vuoden päivien lukumäärä. Numerouudistuksen myötä eteen lisättiin 4 ja tämän numeron olen perinyt itselleni siis muodossa 49 36 25 eli lukujen 7,6,5 neliöt peräkkäin...
Matemaatikkojen keskuudessa on kauan kulkenut "todistus" sille, että itse asiassa kaikki positiiviset kokonaisluvut ovat mielenkiintoisia. Todistus on epäsuora. On ilmiselvää, että esim. kokonaisluvut 1,2 ja 3 ovat mielenkiintoi-sia. Teemme vastaoletuksen, joka sanoo, että kaikki kokonaisluvut eivät ole-kaan mielenkiintoisia. Näiden joukosta valitaan pienin, mutta sepä vasta onkin mielenkiintoinen luku. Vastaoletus johtaa siis ristiriitaan eli kaikki kokonais-luvut ovat mielenkiintoisia.
Tämä juttu, jonka alkuperää en tunne, huvittaa matemaatikoita, koska siinä sovelletaan epäsuoraa todistustapaa hiukan yllätyksellisesti. Muita se tuskin naurattaa lainkaan.
Tämän vuosisadan tunnetuin kokonaislukujen ystävä lienee omaperäisen ne-rokas Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920), joka vietti elämänsä alku- ja lop-puosan Intiassa. Hän oli itseoppinut ja hänen suhtautumistaan matematiikkaan leimasi kaikki muodollisuudet ohittava syvällinen näkemyksellisyys. Tämä johtui osaltaan siitä, miten hän tutustui matematiikkaan. Hän sai käsiinsä 15-vuotiaana noin 5000 matematiikan peruskaavaa sisältävän kokoelman, jonka oli laatinut englantilainen G.S.Carr oppaaksi opiskelijoille. Vaikka kaava-kokoelma etenee jotenkin johdonmukaisesti alkaen identiteetistä
a2− b2= (a − b)(a + b),
se ei sisällä juuri mitään todistuksia. Ilmeisesti tätä kirjaa selatessaan ja muis-tiinpanoja tehden Ramanujan kehitti omaleimaisen oivalluskyvyn. Hänellä oli silmää nähdä suoraan tuloksia ilman hankalia todistuksia. Vaikka hänen muo-dollinen koulutuksensa jäi vähiin, hän herätti ennen pitkää Intian matemaatik-kopiireissä sen verran huomiota, että ystävät kehottivat häntä hakeutumaan Englantiin. Hän kirjoitti johtaville matemaatikoille kirjeitä, joissa esitteli (ilman todistuksia) omia tuloksiaan. Vasta kolmannen kirjeen saaja, G.H.Hardy oivalsi, mistä on kysymys ja kutsui hänet vuonna 1914 Cambridgeen. Ennen pitkää Hardy ja Ramanujan tekivät yhteistä tutkimustyötä, joka päättyi jo vuonna 1919, jolloin Ramanujan palasi tuberkuloosiin sairastuneena takaisin Intiaan. Ramanujanin jäämistö koostuu suurelta osalta muistikirjoista. Niissä on kosolti aineistoa, josta on riittänyt selvittämistä matemaatikoille näihin päi-viin asti.
Hardy meni taksilla tapaamaan Ramanujania tämän ollessa toipilaana Lon-toossa. Poistuessaan taksista Hardy pani merkille rekisterinumeron 1729 ja kertoi nähdessään ystävänsä, miten olikaan tylsä numero - toivottavasti ei huono enne. Tähän Ramanujan totesi välittömästi: "Ei, Hardy, se on hyvin
Epäpuhdasta matematiikkaa 195 mielenkiintoinen luku - pienin, joka voidaan lausua kahdella eri tavalla kah-den luvun kuutioikah-den summana" eli 1729 = 123+ 13= 103+ 93.
Päästyään jo ennen Englannin kauttaan mukaan matemaatikkojen toimintaan Intiassa hän julkaisi ystävänsä lehdessä ongelmapalstalla mm. tehtävän, jossa pyydettiin vain laskemaan lausekkeen
√
1 + 2√
1 + 3 √ 1 + . . .arvo. Kului puoli vuotta, eikä kukaan lähettänyt lehteen ratkaisua. Ramanuja-nin piti kertoa se itse. Oikea vastaus on 3.
Ylläolevat tiedot olen lainannut Robert Kanigelin Ramanujan-elämänkerrasta, joka ilmestyi vuonna 1991 nimellä "The Man Who Knew Infinity".
Tarkastelen äskeistä tehtävää omasta näkökulmastani. Kun luin kirjaa ja näin tehtävän, yritin ratkaista sen. Vaikka vastaus mainitaan Kanigelin kirjassa, tein seuraavanlaisen numeerisen kokeen:
17 1 SURVO 84C EDITOR Tue Aug 27 14:07:05 1996 C:\KIRJA\ 23 80 0 17 1 SURVO 84C EDITOR Tue Aug 27 14:07:05 1996 C:\KIRJA\ 23 80 0 1 * 1 *
2 *F(n):=if(n=29)then(x)else(sqrt(1+n*F(n+1))) 2 *F(n):=if(n=29)then(x)else(sqrt(1+n*F(n+1))) 3 * 3 *
4 *x=1 F(2)= 4 *x=1 F(2)=2.9999999482162.999999948216 5 *x=1000000 F(2)= 5 *x=1000000 F(2)=3.00000016128483.0000001612848 6 *x=30 F(2)= 6 *x=30 F(2)=33
7 * 7 *
Matemaatikko luultavimmin lähtee tutkimaan tehtävää havaitsemalla, että kysymys on arvolla n = 2 funktiosta F(n), jolle pätee rekursiokaava
F(n) = √ 1 + n F(n + 1)) , n = 2, 3, . . .
Edellä olevassa Survon kaaviossa olen määritellyt tämän funktion rivillä 2 ja merkinnyt F(29) = x. Jos nyt muuttujalle x annetaan erilaisia arvoja, niin lähes riippumatta valitusta arvosta F(2) hakeutuu lähelle kolmosta. Näyttää ilmeisel-tä, että F(29) = 30 ja yleisesti F(n) = n + 1.
Kun oikean vastauksen tietää, tämän jälkeen sen oikeaksi todistaminen on olennaisesti helpompaa. Niinpä, jos ajattelee numeerisia laskentamahdolli-suuksia 1900-luvun alussa, tuskin kukaan pystyi saamaan sitä kautta selville, mitä arvoa tässä ollaan etsimässä. Vaikka tietääkin tuloksen, sen todistaminen oikeaksi saattaa silti tuottaa päänvaivaa. Useat, kuten minä, yrittävät varmaan käyttää hyväksi äskeistä rekursiota, mutta se ei johda nähdäkseni helposti tu-lokseen. Ratkaisu on lopulta ällistyttävän yksinkertainen ja perustuu siihen, että lähdetäänkin "epämatemaattisesti" liikkeelle vastauksesta 3 ja kehitellään sitä lausekkeen suuntaan. Siis
3 =√ 9 =
√
1 + 2 √ 16 =√
1 + 2√
1 + 3 √ 25ja niin edespäin. Loppujen lopuksi kaikki oikeastaan viriää Carrin kirjan ensimmäisestä kaavasta erikoistapauksessa
n2− 1 = (n − 1)(n + 1) eli n = √ 1 + (n − 1)(n + 1)) .
Matriisitulkki
Taulukkolaskentaa sivuavat toiminnot jakautuvat Survossa usean erilaisen laskentamuodon kesken. Näitä toimintoja edustavat kosketuslaskenta ja edito-riaalinen laskenta, jälkimmäinen erityisesti muuttujamuunnosten, mm. VAR-komennon kautta. Esim. tapa, jolla Pascalin kolmio muodostetaan kosketus-laskennalla toimituskenttään, on näppärä verrattuna tavanomaisen taulukkolas-kennan tyyliin. Asia on kuvattu englanninkielisen Survo-kirjan (1992) sivuilla 73-74 ja löytyy myös valmiina kirjan esimerkkien valikosta Survoa käytet-täessä. VAR-komento yhdistettynä datatiedostojen hallintaan puolestaan hoi-taa raskaat taulukkojen laskenhoi-taan ja muokkaukseen kuuluvat tehtävät.
Matriisilaskentaa ei kai yleensä lueta mukaan taulukkolaskentaan, vaikka sen avulla saatetaan käsitellä myös tuon tehtäväalueen ongelmia paljon yleisem-pien kysymysten ohessa. Matriisilaskennalle on tilastotieteessä paljon kysyn-tää mm. lineaaristen mallien ja monimuuttujamenetelmien yhteydessä.
Matriisilaskenta tulee käyttäjän ulottuville Survon matriisitulkin kautta. Tulk-kia ohjataan MAT-alkuisilla komennoilla. Tämä on kolmas matriisitulkki, jota olen elämäni aikana ollut tekemässä. Ensimmäisen rakensin 1960-luvun alus-sa Elliott 803 -autokoodiin eli Basicin tapaiseen ohjelmointikieleen. Seuraava syntyi SURVO 76:een ja tämä viimeinen nykyiseen Survoon. Ne ovat jokai-nen käyttötavaltaan erilaisia eikä aikaisempia kannata tässä enempää muistel-la.
Matriisitulkki käsittelee omiin tiedostoihinsa talletettuja matriiseja ja matrii-seihin viitataan näillä tiedostonimillä. Matriiseja syntyy Survossa tallettamalla taulukkoja toimituskentästä, poimimalla osia datatiedostoista tai erilaisten Survon toimintojen tuloksina. Survon matriiseja saatetaan käyttää jopa data-tiedostojen tapaan eli esim. faktorimatriisista saatetaan piirtää kuvia PLOT-komennoilla. Matriiseilla on paitsi tiedostonimensä, niiden syntyhistoriaa ku-vaava lauseke - esim. ((A+B)’*CA+B)’*C - sekä rivi- ja sarakeotsikot. Kun matriiseja käsitellään MAT-komennoilla, niiden lausekkeet ja otsikot muuttuvat toimen-piteiden mukaisesti. Näin käyttäjä pääsee seuraamaan, mitä matriiseille tapah-tuu. Matriisit näkyvät toimituskentässä nimiensä ja lausekkeittensa kautta.
Vasta tarvittaessa niitä poimitaan numeerisina taulukkoina toimituskenttään esim. MAT LOAD-komennolla.
Epäpuhdasta matematiikkaa 197
14 * 14 *MAT A!=YHTÄLÖT(*,1:3)MAT A!=YHTÄLÖT(*,1:3) / Erotetaan 3 ensimmäistä saraketta matriisiksi A / Erotetaan 3 ensimmäistä saraketta matriisiksi A 15 * 15 *MAT B!=YHTÄLÖT(*,4)MAT B!=YHTÄLÖT(*,4) / Erotetaan viimeinen sarake matriisiksi B / Erotetaan viimeinen sarake matriisiksi B 16 * 16 *MAT C=INV(A)MAT C=INV(A) / *C~INV(A) 3*3 / *C~INV(A) 3*3 ri-veille 7-11. Tämä 3 × 4 -matriisi on varustettu sopivilla rivi- ja sarakeotsikoilla.
Tässä muodossa se talletetaan rivin 13 MAT SAVE-komennolla otsikot kertovat kaiken olennaisen. Tuloksesta todella näkee, miten se on saatu aikaan. Matriisitulkki paitsi laskee myös noudattaa eräänlaista lauseke- ja
28 * 28 *MAT LOAD X,111.123456789012345,CUR+1MAT LOAD X,111.123456789012345,CUR+1 29 * 29 *MATRIX X MATRIX X